泛代数

艰苦大多数似的大多数

首先定义运算的元，或者运算的阶。简单来讲就是一元运算，二元运算，等等。 每一个运算都可以表示为一个函数符号，比如 ，定义时还要指明他的元数，我们都知道前面的运算都是二元运算，可以将他们记为有序二元对的形式， 。类似的可以定义出n元运算 ，将这些运算作为元素可以构成一个集合，称之为代数的类型，或者代数的语言，记为F。.(个人感觉称之为代数的类型比较合适)这个集合包含多少元素是随意的，可以只含一个运算，也可以含许多个运算。 由于大家一般接触到的几乎都是二元运算，这里稍作介绍，一元运算就是对一个量都可以进行运算，比如取逆元，转置，共轭，最简单的就是取相反数， .。 至于零元运算，其实就是指定一个元素，感觉也称不上运算，比如，规定一个群的单位元是e，或者规定自然数中0是一个特殊的元素，任何自然数加零数值不变。 于是，一个代数就可以定义为，一个集合A，以及一个代数类型F，用序对表示为 ，称之为类型为F的代数A，其中要求A是非空集合，F为有限元运算的集合（例如，实数序列的无穷级数可以看作实数上的无限元运算），集合A往往又称为基础集，F中的元素称之为基本运算。 如果F是有限集，通常可以将记号 记为 ，也就是说显式的把运算写出来，一般要把元数多的运算写在前面，元数少的写在后面，也就是按照元数排序。 下面就是按照这种表示法给出的一些代数结构。 只含有一元运算的代数，运算个数没有要求，对元数有要求。 只含有一个一元运算的代数，个数，元数都指定了。 只含有一个二元运算的代数，对于一元运算，0元运算的个数没有限制。这个唯一的二元运算可以记为 或者 。运算的结果称之为和或者积。 基础集A是有限集 基础集A只含一个元素 可以记为 ，基础集G，一个二元运算，一个一元运算，一个零元运算。并且满足下面的等式。结合律，单位元，逆交换群 交换群和群的记号是一样的，不过还需满足交换律记为 ，并满足交换半群 满足交换律的半群记为 ，满足当然也有交换幺半群。 记为 ，有三个二元运算，满足带有恒等元的准群 ，满足今天比较高兴，所以更一下。