康托尔悖论如何解决 康托无穷集合论

1874年，康托尔开始引进他的令人感到神秘莫测的无穷大概念。康托尔的理论，特别是一一对应的方法造成的无穷中的悖论，与传统观念格格不入，难怪一开始康托尔就遭到那些坚持传统观念人士的强烈反对，说他的理论是“雾中之雾”，甚至有人说他是疯子。

据康托尔集合理论，任何性质都可以决定一个集合，这样所有的集合又可以组成一个集合，即“所有集合的集合”（大全集）。显然，此集合应该是最大的集合了，因此其基数也应是最大的，然而其子集的集合的基数按“康托尔定理”又必然是更大的，那么，“所有集合的集合”就不成其为“所有集合的集合”，这就是“康托尔悖论”。对这一悖论，康托尔并没有感到害怕，因为通过反证法恰恰证明没有“所有集合的集合”或者说“最大的集合”，当然也没有“最大的基数”。悖论的出现这时并没有引起多大的震动，人们觉得这似乎仅仅牵涉到集合理论的一些技术问题，只要作适当的修正，集合论仍然会成为数学大厦的基础，康托尔只是利用悖论进行反证，而并没有细究悖论的来源及意义，他没有意识到这种反证之所以可能，是因为他的理论中所使用的基本概念“集合”、“属于”、“元素”是包含着矛盾的。1901年罗素发表的“罗素悖论”则“剥掉了数学技术性的细节”，使其中的矛盾赤裸裸地暴露出来了！悖论（编辑：奇东）《古今数学思想》书中 (第四册289页) 指出：二十世纪数学中最为深入的活动，使关于基础的探讨，强加于数学家的问题，以及他们自愿承担的问题，不仅牵涉到数学的本质，也牵涉到演绎数学的正确性。在这世纪的前期，有几种活动汇合起来把基础问题引到一个高潮，首先是矛盾的发现，委婉地被称为悖论，在集合论中尤为突出。……。

1874年，康托尔开始引进他的令人感到神秘莫测的无穷大概念。伟大的伽利略曾经在先前考虑过无穷大，但康托尔是第一个建立起完整的逻辑结构的人，在这种结构中，他提出一个超限数的序列，可以说，这就是无穷大的级。从能够加以描述的集合来说，无穷大的级并不很多，全体整数序列相当于它的第一级，所有实数的集合较高一级，相当于第二级，而所有函数的集合又较高一级，相当于第三级，但到此我们就必须止步了。康托尔的观点并未能被同时代的所有人接受，特别是康托尔的老师克朗涅克尔（L.Kronecker）就猛烈攻击康托尔的研究工作，同时出于专业嫉恨，他还竭力阻挠康托尔的提升，不让其在柏林大学获得一个职位。长期的过度疲劳和激烈的争吵论战，使得康托尔的精神终于在1884年崩溃，1918年1月6日，他在哈尔精神病医院逝世。

康托尔（Georg Cantor，1845-1918，德） 康托尔1845年出生于俄国的圣彼得堡，后来离开俄国迁入德国，其家庭是犹太人后裔。早在学生时代，康托尔就显露出数学天才，不顾其父亲的反对，他选择了数学作为自己的专业，并于1867年以优异成绩获得了柏林大学的哲学博士学位，其后，在哈尔大学得到一个教师职位，1872年提升为教授。

一年一度的某中学艺术节又要到来了。本次艺术节共设三项：书画比赛、歌咏比赛和围棋比赛。初二·三班的文艺委员孟娟对本班参赛人员进行统计，结果是：参加书画比赛的15人，参加歌咏比赛的28人，参加围棋比赛的25人，但使孟娟百思不得其解的是，参加人员总计68人，而她的班里总共才有60人，剩余的8人是从何处来的呢？原来，这是由集合的性质造成的。

1 理发师悖论 ，就是罗素悖论的一种通俗表达方式。 2康托尔悖论3 布拉利—福尔蒂悖论。

悖论就是同一个命题之中包含两个完全相反的答案。从A中可以推导出非A，非A又可以推导出A。例如：他发誓不会给任何男人刮胡子。这里面如果他给自己刮胡子，那么就违反了不给小镇上的男人刮胡子。如果给男人包括自己刮胡子，遍违背了誓言。悖论是人类使用逻辑的时候在某些特定的情况下所产生的一种推论上的无可奈何。悖论的产生显示了人的逻辑的局限性，同时也反映出我们看待事物的时候所产生的主观上的局限性。还有一个比较有名的例子，忒修斯之船。说一天换一块船板，直到全部换完，那么这只船还是不是忒修斯之船？如果是则此船全部已经被换过了，并非原来的船。如果不是，可它仍然叫做忒修斯之船。悖论的研究还是比较有意思的,可以提供不同的视角和思维多样化。当然，缺点是 它是没有固定答案的。

悖论 也可叫“逆论”,或“反论”,是指一种导致矛盾的命题.悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”,意思是“多想一想”.这个词的意义比较丰富,它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论,那些结论会使我们惊异无比.悖论是自相矛盾的命题.即如果承认这个命题成立,就可推出它的否定命题成立；反之,如果承认这个命题的否定命题成立,又可推出这个命题成立 如果承认它是真的,经过一系列正确的推理,却又得出它是假的；如果承认它是假的,经过一系列正确的推理,却又得出它是真的.古今中外有不少著名的悖论,它们震撼了逻辑和数学的基础,激发了人们求知和精密的思考,吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力.解决悖论难题需要创造性的思考,悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念. 例如比较有名的理发师悖论：某乡村有一位理发师,一天他宣布：只给不自己刮胡子的人刮胡子.这里就产生了问题：理发师给不给自己刮胡子?如果他给自己刮胡子,他就是自己刮胡子的人,按照他的原则,他不能给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子,他就是不自己刮胡子的人,按照他的原则,他就应该给自己刮胡子.这就产生了矛盾. 1900年前后,在数学的集合论中出现了三个著名悖论,理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式.此外还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论.这些悖论特别是罗素悖论,在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动.触发了数学的第三次危机. 悖论有三种主要形式. 1．一种论断看起来好像肯定错了,但实际上却是对的（佯谬）. 2．一种论断看起来好像肯定是对的,但实际上却错了（似是而非的理论）. 3．一系列推理看起来好像无懈可击,可是却导致逻辑上自相矛盾. 悖论有以下几类： 逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等. 历史上著名的悖论 NO.1 说谎者悖论(1iar paradox or Epimenides" paradox) 最古老的语义悖论.公元前6世纪古希腊哲学家伊壁孟德 所创的四个悖论之一.是关于“我正在撒谎”的悖论.具体为：如果他的确正在撒谎,那么这句话是真的,所以伊壁孟德不在撤谎,如果他不在撒谎,那么这句话是假的,因而伊壁孟德正在撒谎. NO.2 伊勒克特拉悖论(Eletra paradox) 逻辑史上最早的内涵悖论.由古希腊斯多亚学派提出.它的基本内容是：伊勒克特拉有位哥哥奥列斯特回家了．尽管伊勒支持拉知道奥列斯特是她的哥哥．但她并不认识站在她面前的这个男人. 写成一个推理．即： 伊勒克持拉不知道站在她面前的这个人是她的哥哥. 伊勒克持拉知道奥列期特是她的哥哥. 站在她面前的人是奥列期特. 所以,伊勒克持拉既知道并且又不知道这个人是她的 哥哥. NO.3 M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的.一个理发师的招牌上写着： 告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸,我也只给这些人刮脸. M：谁给这位理发师刮脸呢? M：如果他自己刮脸,那他就属于自己刮脸的那类人.但是,他的招牌说明他不给这类人刮脸,因此他不能自己来刮. M：如果另外一个人来给他刮脸,那他就遣蛔约汗瘟车娜恕5?恼信扑邓?姓饫嗳斯瘟场R虼似渌?魏稳艘膊荒芨?瘟场?蠢矗?挥腥魏稳四芨?馕焕矸⑹?瘟沉耍? NO.4 唐·吉诃德悖论 M：小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题. 问,你来这里做什么? M：如果旅游者回答对了.一切都好办.如果回答错了,他就要被绞死. M：一天,有个旅游者回答—— 旅游者：我来这里是要被绞死. M：这时,卫兵也和鳄鱼一样慌了神,如果他们不把这人绞死,他就说错了,就得受绞刑.可是,如果他们绞死他,他就说对了,就不应该绞死他.

是

悖论一览 1． 理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？ 如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。这样，理发师陷入了两难的境地。 2． 芝诺悖论——阿基里斯与乌龟：公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯与乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始。假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍。比赛开始，当阿基里斯跑了1000米时，乌龟仍前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他10米……所以，阿基里斯永远追不上乌龟。 3． 说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。” 如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。 所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。 公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：“我现在正在说的这句话是假的。”同上，这又是难以自圆其说！ 说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家。说谎者悖论有许多形式。如：我预言：“你下面要讲的话是‘不"，对不对？用‘是"或‘不是"来回答。” 又如，“我的下一句话是错（对）的，我的上一句话是对（错）的”。 4． 跟无限相关的悖论： {1，2，3，4，5，…}是自然数集： {1，4，9，16，25，…}是自然数平方的数集。 这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗？ 5． 伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC一样长，与图矛盾。为什么？ 6． 预料不到的考试的悖论：一位老师宣布说，在下一星期的五天内（星期一到星期五）的某一天将进行一场考试，但他又告诉班上的同学：“你们无法知道是哪一天，只有到了考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。” 你能说出为什么这场考试无法进行吗？ 7． 电梯悖论：在一幢摩天大楼里，有一架电梯是由电脑控制运行的，它每层楼都停，且停留的时间都相同。然而，办公室靠近顶层的王先生说：“每当我要下楼的时候，都要等很久。停下的电梯总是要上楼，很少有下楼的。真奇怪！”李小姐对电梯也很不满意，她在接近底层的办公室上班，每天中午都要到顶楼的餐厅吃饭。她说：“不论我什么时候要上楼，停下来的电梯总是要下楼，很少有上楼的。真让人烦死了！” 这究竟是怎么回事？电梯明明在每层停留的时间都相同，可为什么会让接近顶楼和底层的人等得不耐烦？ 8． 硬币悖论：两枚硬币平放在一起，顶上的硬币绕下方的硬币转动半圈，结果硬币中图案的位置与开始时一样；然而，按常理，绕过圆周半圈的硬币的图案应是朝下的才对！你能解释为什么吗？9． 谷堆悖论：显然，1粒谷子不是堆； 如果1粒谷子不是堆，那么2粒谷子也不是堆； 如果2粒谷子不是堆，那么3粒谷子也不是堆； …… 如果99999粒谷子不是堆，那么100000粒谷子也不是堆； …… 10． 宝塔悖论：如果从一砖塔中抽取一块砖，它不会塌；抽两块砖，它也不会塌；……抽第N块砖时，塔塌了。现在换一个地方开始抽砖，同第一次不一样的是，抽第M块砖是，塔塌了。再换一个地方，塔塌时少了L块砖。以此类推，每换一个地方，塔塌时少的砖块数都不尽相同。那么到底抽多少块砖塔才会塌呢？ 悖论 悖论[汉语拼音] bèilùn[英文]paradox[简要解释] 逻辑学和数学中的“矛盾命题”[其他详尽解释]也可叫“逆论”，或“反论”，是指一种导致矛盾的命题。悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。 悖论是自相矛盾的命题。即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立 如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。 古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。 例如比较有名的理发师悖论：某乡村有一位理发师，一天他宣布：只给不自己刮胡子的人刮胡子。这里就产生了问题：理发师给不给自己刮胡子？如果他给自己刮胡子，他就是自己刮胡子的人，按照他的原则，他不能给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，他就是不自己刮胡子的人，按照他的原则，他就应该给自己刮胡子。这就产生了矛盾。1900年前后,在数学的集合论中出现了三个著名悖论，理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式。此外还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论。这些悖论特别是罗素悖论，在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动。触发了数学的第三次危机。悖论有三种主要形式。1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。悖论有以下几类：逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等。历史上著名的悖论 NO.1 说谎者悖论(1iar paradox or Epimenides" paradox) 最古老的语义悖论。公元前6世纪古希腊哲学家伊壁孟德 所创的四个悖论之一。是关于“我正在撒谎”的悖论。具体为：如果他的确正在撒谎，那么这句话是真的，所以伊壁孟德不在撤谎，如果他不在撒谎，那么这句话是假的，因而伊壁孟德正在撒谎。 NO.2 伊勒克特拉悖论(Eletra paradox) 逻辑史上最早的内涵悖论。由古希腊斯多亚学派提出。它的基本内容是：伊勒克特拉有位哥哥奥列斯特回家了．尽管伊勒支持拉知道奥列斯特是她的哥哥．但她并不认识站在她面前的这个男人。 写成一个推理．即： 伊勒克持拉不知道站在她面前的这个人是她的哥哥。 伊勒克持拉知道奥列期特是她的哥哥。 站在她面前的人是奥列期特。 所以，伊勒克持拉既知道并且又不知道这个人是她的 哥哥。 NO.3 M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发师的招牌上写着： 告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸。 M：谁给这位理发师刮脸呢？ M：如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来刮。 M：如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的人。但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他任何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发师刮脸了！ NO.4 唐·吉诃德悖论 M：小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。 问，你来这里做什么？ M：如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。 M：一天，有个旅游者回答—— 旅游者：我来这里是要被绞死。 M：这时，卫兵也和鳄鱼一样慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。

把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，假令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，于是有： P={A∣A∈A} Q={A∣A∉A} 问，Q∈P 还是 Q∈Q？ 若Q∈P，那么根据第一类集合的定义，必有Q∈Q，但是Q中任何集合都有A∉A的性质，因为Q∈Q，所以Q￠Q，引出矛盾。若Q∈Q，根据第一类集合的定义，必有Q∈P，而显然P∩Q=∅，所以Q∉Q，还是矛盾。 这就是著名的“罗素悖论”。罗素悖论还有一些较为通俗的版本，如理发师悖论等。 1900年前后，在数学的集合论中出现了三个著名悖论，理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式。此外还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论。这些悖论特别是罗素悖论，在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动。触发了第三次数学危机。希望帮助到你，若有疑问，可以追问~~~祝你学习进步，更上一层楼！(*^__^*)

芝诺悖论是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。这些悖论中最著名的两个是：“阿喀琉斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。这些方法现在可以用微积分（无限）的概念解释。两分法悖论运动是不可能的。由于运动的物体在到达目的地前必须到达其半路上的点，若假设空间无限可分则有限距离包括无穷多点，于是运动的物体会在有限时间内经过无限多点。最早应是《庄子天下篇》中，庄子提出的:“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”阿奇里斯(Achilles)悖论“ 动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。 ” ——亚里士多德，物理学 VI:9, 239b15如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑"数学派"所代表的毕达哥拉斯的"1>0.999..., 1-0.999...>0"思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的"1=0.999..., 但1-0.999...>0"思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的"1-0.999...=0, 或1-0.999...>0"思想。飞矢不动悖论一支飞行的箭是静止的。由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而是静止的，因此箭就不能处于运动状态。游行队伍悖论首先假设在操场上，在一瞬间（一个最小时间单位）里，相对于观众席A，列队B、C将分别各向右和左移动一个距离单位。 □□□□ 观众席A ■■■■ 队列B……向右移动 ▲▲▲▲ 队列C……向左移动B、C两个列队开始移动，如下图所示相对于观众席A，B和C分别向右和左各移动了一个距离单位。 □□□□ ■■■■▲▲▲▲而此时，对B而言C移动了两个距离单位。也就是，队列既可以在一瞬间（一个最小时间单位）里移动一个距离单位，也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。因此队列是移动不了的。 运用无穷级数求和能破解芝诺悖论吗?彭哲也(人在井天)有一种思想认为可以通过无穷级数求和的办法解决这个问题(两分法和阿基里斯追龟).我们设物最后到达终点后所走过的空间距离为1,所走过的时间距离为1.首先我们假设物没有最后一个中点要走,则物走过无穷个中点之后物在空间上所走过的距离s是:S=1/2+1/2^2+......1/2^n=(2^n-1)/2^n=1-1/2^n(n为无穷大)我们可以看出,这里面的s是无限接近物实际到达的空间距离1.但无限接近并不是等于,也就是说,物并没有最终到达.现在我们假设物有最后一个中点要走.则有S=1/2+1/2^2+1/2^2S=1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^3.............S=1/2+1/2^2+1/2^3+.........1/2^n+1/2^n=(2^n-1)/2^n+1/2^n=1也就是说,物走过最后一个中点与终点之间的距离之后所走过的距离与物实际到达所走过的距离是一致的.从上面的计算我们可以很简单地看出,物如果到达了终点,它走过了最后一个中点.如果物没有走过最后一个中点,物就不能到达终点.同理,我们可以算物走过无穷个中点所用的时间.设实际到达的时间为1.如果物没有最后一个中点要走.物走过无穷个中点所用的时间t是:t=1/2+1/2^2+......1/2^n=(2^n-1)/2^n=1-1/2^n可以看得出,这里的t是无限接近物实际到达终点所用的时间,但无限接近并不是等于.如果物有最后一个中点要走,则有t=1/2+1/2^2+1/2^3+.........1/2^n+1/2^n=(2^n-1)/2^n+1/2^n=1也就是说,物走过最后一个中点与终点之间的距离之后所用的时间与物实际到达的时间是一致的.从上面的计算可以很清楚地看得出来,物如果有最后一个中点要走,物所用的时间与实际到达的时间相同.物如果没有最后一个中点要走,物所用的时间只能是无限接近物实际到达终点所用的时间,而不能等于.所以无穷级数求和的结果是,如果物能到达终点,物必须走过最后一个中点.但是物是如何走过最后一个中点的呢?这里没有半点依据.也就是说,两分法的悖论依旧.或者说,这种无穷级数求和的办法反而更加加深了这个悖论的逻辑性.两分法悖论与阿基里斯追龟悖论其实是同一个悖论的两种表述.两分法不能解决,阿基里斯追龟当然依旧.

悖论是自相矛盾的命题。即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立 如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。 古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。 例如比较有名的理发师悖论：某乡村有一位理发师，一天他宣布：只给不自己刮胡子的人刮胡子。这里就产生了问题：理发师给不给自己刮胡子？如果他给自己刮胡子，他就是自己刮胡子的人，按照他的原则，他不能给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，他就是不自己刮胡子的人，按照他的原则，他就应该给自己刮胡子。这就产生了矛盾。 1900年前后,在数学的集合论中出现了三个著名悖论，理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式。此外还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论。这些悖论特别是罗素悖论，在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动。触发了数学的第三次危机。 悖论有三种主要形式。 1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。 2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。 3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。 悖论有以下几类： 逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等。 历史上著名的悖论 NO.1 说谎者悖论(1iar paradox or Epimenides" paradox) 最古老的语义悖论。公元前6世纪古希腊哲学家伊壁孟德 所创的四个悖论之一。是关于“我正在撒谎”的悖论。具体为：如果他的确正在撒谎，那么这句话是真的，所以伊壁孟德不在撤谎，如果他不在撒谎，那么这句话是假的，因而伊壁孟德正在撒谎。 NO.2 伊勒克特拉悖论(Eletra paradox) 逻辑史上最早的内涵悖论。由古希腊斯多亚学派提出。它的基本内容是：伊勒克特拉有位哥哥奥列斯特回家了．尽管伊勒支持拉知道奥列斯特是她的哥哥．但她并不认识站在她面前的这个男人。 写成一个推理．即： 伊勒克持拉不知道站在她面前的这个人是她的哥哥。 伊勒克持拉知道奥列期特是她的哥哥。 站在她面前的人是奥列期特。 所以，伊勒克持拉既知道并且又不知道这个人是她的 哥哥。 NO.3 M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发师的招牌上写着： 告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸。 M：谁给这位理发师刮脸呢？ M：如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来刮。 M：如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的人。但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他任何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发师刮脸了！ NO.4 唐·吉诃德悖论 M：小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。 问，你来这里做什么？ M：如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。 M：一天，有个旅游者回答—— 旅游者：我来这里是要被绞死。 M：这时，卫兵也和鳄鱼一样慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。 回答你的问题： 1、不是 2、可以

y=tg(arcsinx)

无穷或无限，数学符号为∞。来自于拉丁文的“infinitas”，即“没有边界”的意思。它在神学、哲学、数学和日常生活中有着不同的概念。通常使用这个词的时候并不涉及它的更加技术层面的定义。在神学方面，例如在像神学家东斯歌德（Duns Scotus）的著作中，上帝的无限能量是运用在无约束上，而不是运用在无限量上。在哲学方面，无穷可以归因于空间和时间。在神学和哲学两方面，无穷又作为无限，很多文章都探讨过无限、绝对、上帝和芝诺悖论等的问题。在数学方面，无穷与下述的主题或概念相关：数学的极限、阿列夫数、集合论中的类、戴德金的无限群、罗素悖论、超实数、射影几何、扩展的实数轴以及绝对无限。 对于无限有以下解释或定义“无限不是指边界外就没有东西，而是指边界外永远有另一个边界存在。”在数学方面，无穷与下述的主题或概念相关：数学的极限、阿列夫数、集合论中的类、戴德金－无限群、罗素悖论、超实数、射影几何、扩展的实数轴以及绝对无限。在一些主题或概念中，无穷被认为是一个超越边界而增加的概念，而不是一个数。在大众文化方面，《玩具总动员》中巴斯光年的口头禅：“To infinity and beyond!”(到达无穷，超越无穷)，这句话也可被看作研究大型基数的集合论者的呐喊。 在集合论中对无穷有不同的定义。德国数学家康托尔提出，对应于不同无穷集合的元素的个数(基数)，有不同的“无穷”。这里比较不同的无穷的“大小”的时候唯一的办法就是通过是否可以建立“一一对应关系”来判断，而抛弃了欧几里得“整体大于部分”的看法。例如整数集和自然数集由于可以建立一一对应的关系，它们就具有相同的无穷基数。例如， 可数集合，如自然数集，整数集乃至有理数集对应的基数被定义为阿列夫0。比可数集合“大”的称之为不可数集合，如实数集，其基数与自然数的幂集相同。由于一个无穷集合的幂集总是具有比它本身更高的基数，所以通过构造一系列的幂集，可以证明无穷的基数的个数是无穷的。然而有趣的是，无穷基数的个数比任何基数都多，从而它是一个比任何无穷大都要大的“无穷大”，它不能对应于一个基数，否则会产生康托尔悖论的一种形式。换号数学数字反应现像多余感应验收破译驳运数字。

1900年前后,在数学的集合论中出现了三个著名悖论，理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式。此外还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论。这些悖论特别是罗素悖论，在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动。触发了数学的第三次危机。悖论 让我们先了解下什么是悖论。悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。 悖论是自相矛盾的命题。即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立 如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。 古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。 悖论有三种主要形式。1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。2．一种论断看起来 好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。罗素悖论定义： M：所有包含集合自身的集合； N：所有不包含集合自身的集合； 问：N∈M还是∈N。 如果N ∈M ，说明N 具备M 的特征，根据M 的定义，N 包含集合自身， 但这和N 的定义矛盾；如果N ∈N ，说明N 具备包含自己的特征，这与N 的 定义矛盾；但M ＋N 遍历所有集合域，所以N 也不是空集。 于是，悖论产生。 罗素悖论例子： 世界文学名著《唐·吉诃德》中有这样一个故事： 唐·吉诃德的仆人桑乔·潘萨跑到一个小岛上，成了这个岛的国王。他颁布了一条奇怪的法律：每一个到达这个岛的人都必须回答一个问题：“你到这里来做什么？”如果回答对了，就允许他在岛上游玩，而如果答错了，就要把他绞死。对于每一个到岛上来的人，或者是尽兴地玩，或者是被吊上绞架。有多少人敢冒死到这岛上去玩呢？一天，有一个胆大包天的人来了，他照例被问了这个问题，而这个人的回答是：“我到这里来是要被绞死的。”请问桑乔·潘萨是让他在岛上玩，还是把他绞死呢？如果应该让他在岛上游玩，那就与他说“要被绞死”的话不相符合，这就是说，他说“要被绞死”是错话。既然他说错了，就应该被处绞刑。但如果桑乔·潘萨要把他绞死呢？这时他说的“要被绞死”就与事实相符，从而就是对的，既然他答对了，就不该被绞死，而应该让他在岛上玩。小岛的国王发现，他的法律无法执行，因为不管怎么执行，都使法律受到破坏。他思索再三，最后让卫兵把他放了，并且宣布这条法律作废。这又是一条悖论。 由著名数学家伯特兰·罗素（Russel，1872—1970）提出的悖论与之相似： 在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。 理发师悖论与罗素悖论是等价的。因为，如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是村里不属于自身的那些集合，并且村里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。影响 十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……” 可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素的这条悖论使集合理论产生了危机。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。德国的著名逻辑学家弗里兹在他的关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。” 1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。 罗素的悖论发表之后，接着又发现一系列悖论（后来归入所谓语义悖论）： 1、理查德悖论 2、培里悖论 3．格瑞林和纳尔逊悖论。解决 罗素悖论提出，危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”1908年，策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。　　 以上简单介绍了数学史上由于悖论而导致的三次数学危机与度过，从中我们不难看到悖论在推动数学发展中的巨大作用。有人说：“提出问题就是解决问题的一半”，而悖论提出的正是让数学家无法回避的问题。它对数学家说：“解决我，不然我将吞掉你的体系！”正如希尔伯特在《论无限》一文中所指出的那样：“必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。人们试想：在数学这个号称可靠性和真理性的模范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至于数学思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展，这或许就是数学悖论重要意义之所在吧，而罗素悖论在其中起到了重要的作用。理性不能回答关于其自身的问题，这个问题在康德时期就发现了。逻辑存在无法弥补的漏洞，却是人了解世界的唯一途径。到头来你会发现，不是否定理性就是否定信仰。因为所谓唯心唯物之争都是建立在这样不完备的逻辑体系上的纯粹理性科学。既然理性无法对其自身做出判断，那么选择立场就不能以理性为依据，从而变成一种实质上的迷信。当然如果你坚持要说自己的立场是合乎所谓的科学或实践的，那么其实你既不属于唯物也不属于唯心，本质上只是一种泛经验主义或者泛逻辑主义罢了。当然，这里的逻辑主义当然不是罗素的那个，只是一个形象点的称呼而已。

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一、超限和超载有什么区别1、超限和超载区别如下：（1）超载和超限标准的技术参数根据不同，超载标准的技术参数是根据车辆的装载能力来确定的；超限标准的技术参数是根据公路的设计技术标准来确定的；（2）超载和超限的客体物不同，超载既有货物装载，又有客运超载；而超限只在货物运输中有，客运中没有超限的规定；（3）超载和超限的执法主体不同，超载的执法主体是公安机关，超限的执法主体是交通主管部门或公路管理机构。2、法律依据：《中华人民共和国道路交通安全法》第九十二条公路客运车辆载客超过额定乘员的，处二百元以上五百元以下罚款；超过额定乘员百分之二十或者违反规定载货的，处五百元以上二千元以下罚款。货运机动车超过核定载质量的，处二百元以上五百元以下罚款；超过核定载质量百分之三十或者违反规定载客的，处五百元以上二千元以下罚款。有前两款行为的，由公安机关交通管理部门扣留机动车至违法状态消除。运输单位的车辆有本条第一款、第二款规定的情形，经处罚不改的，对直接负责的主管人员处二千元以上五千元以下罚款。二、危险驾驶判几年1、构成危险驾驶罪的，可以在一个月至二个月拘役幅度内确定量刑起点；2、在量刑起点的基础上，可以根据危险驾驶行为等其他影响犯罪构成的犯罪事实增加刑罚量，确定基准刑；3、对于醉酒驾驶机动车的被告人，应当综合考虑被告人的醉酒程度、机动车类型、车辆行驶道路、行车速度、是否造成实际损害以及认罪悔罪等情况，准确定罪量刑。对于情节显著轻微危害不大的，不予定罪处罚，犯罪情节轻微不需要判处刑罚的，可以免予刑事处罚。

超限是指货运车辆的载货长度、宽度、高度和载货质量超过规定限度。行驶车辆超限标准：1、车货总高度从地面算起4米以上（集装箱车货总高度从地面算起4.2米以上）；2、车货总长18米以上；3、车货总宽度2.5米以上；4、单车、半挂列车、全挂列车车货总质量40000千克以上；集装箱半挂列车车货总质量46000千克以上；5、车辆轴载质量。载运不可解体物品的超限运输车辆，应当依法办理有关许可手续，采取有效措施后，按照指定的时间、路线、速度行驶公路。未经许可，不得擅自行驶公路。《超限运输车辆行驶公路管理规定》第三条 本规定所称超限运输车辆，是指有下列情形之一的货物运输车辆：（一）车货总高度从地面算起超过4米；（二）车货总宽度超过2.55米；（三）车货总长度超过18.1米；（四）二轴货车，其车货总质量超过18000千克；（五）三轴货车，其车货总质量超过25000千克；三轴汽车列车，其车货总质量超过27000千克；（六）四轴货车，其车货总质量超过31000千克；四轴汽车列车，其车货总质量超过36000千克；（七）五轴汽车列车，其车货总质量超过43000千克；（八）六轴及六轴以上汽车列车，其车货总质量超过49000千克，其中牵引车驱动轴为单轴的，其车货总质量超过46000千克。前款规定的限定标准的认定，还应当遵守下列要求：（一）二轴组按照二个轴计算，三轴组按照三个轴计算；（二）除驱动轴外，二轴组、三轴组以及半挂车和全挂车的车轴每侧轮胎按照双轮胎计算，若每轴每侧轮胎为单轮胎，限定标准减少3000千克，但安装符合国家有关标准的加宽轮胎的除外；（三）车辆最大允许总质量不应超过各车轴最大允许轴荷之和；（四）拖拉机、农用车、低速货车，以行驶证核定的总质量为限定标准；（五）符合《汽车、挂车及汽车列车外廓尺寸、轴荷及质量限值》（GB1589）规定的冷藏车、汽车列车、安装空气悬架的车辆，以及专用作业车，不认定为超限运输车辆。

车辆超限如何处罚 车已经成为人们生活中很重要的一部分，很多人都喜欢开车出门，不管是上班还是旅游，自驾总是人们的首选。但是，中国的道路对于车速有着严格的标准，超速了就得处罚。那么，超限如何处罚呢?我为您整理了以下内容为您解答疑惑，希望对您有所帮助。 以浙江省为例: 车辆超限处罚规定 由杭州市公路管理局获悉，货车超限认定有新标准，新标准将从9月21日起施行，明确六轴及以上货运车辆总质量不得超过49吨，统一了超限认定标准，同时，优化了超限的大件运输许可流程，加强了对大件运输车辆行驶公路的管理，规范了对违法超限运输行为的处罚等。 根据《超限运输车辆行驶公路管理规定》(交通运输部2016年第62号令)，货车的超限认定标准将严格按照强制性国家标准《汽车、挂车及汽车列车外廓尺寸、轴载及质量限值》(GB1589-2016)执行。 其中，最显著的变化就是，取消车货总重超过55吨、平均轴载超过10吨和载货超过车辆出厂标记载质量的超限超载认定标准。通俗来说，以前是根据轴数来认定超限，比如5轴货车，车货总重超过50吨以上涉嫌违法超限运输。按照新的标准，同样是五轴货车，超过43吨(个别车型超过42吨)，即涉嫌违法超限运输。 此外，规定对违法超限货车的处罚标准也进行了细化。《公路法》对超限处罚只规定了3万的处罚上限。新规定对违法超 限行 为的处罚金额都进行了细化。如对车货总重超限的车辆，每超过一吨罚款500元，最高不超过3万元。公路部门提醒广大货车驾驶员、车主，严格按照新规定进行货物装载，守护公路安全，平安出行从我做起! 月份起，对超限运输车辆处罚实行《交通运输行政处罚裁量基准》新标准，新标准对涉及公路超限运输的行政处罚自由裁量权进行了规范和细化。 据悉，新标准中对车辆超高、超宽、超长、车货总质量超重的，根据超限程度规定了轻微、一般、较重、严重、特别严重5种处罚标准。 新标准在处罚幅度上也有明显降低。根据新标准，车货总质量超限10%至20%的，处罚额度为300元至700元，而根据原标准，车货总质量超限10%至15%的，处罚额度为1000元至1500元，超限货物还是按原标准一律卸载。 治超将按照“机构不撤、人员不减、力度加大”的原则，对超限运输严重路段，实施24小时不间断治超，并加强流动巡查，封堵治超死角。对暴力冲卡、拒绝和阻碍治超执法公务、堵塞治超检查通道等违法行为将分别进行强制拖移、暂扣车辆处置，构成犯罪的，坚决依法追究刑事责任。 累计超限3次者，将强制参加一周法规培训对于超限违法记录次数累计超过3次(含3次)的营运驾驶员，将责令其参加不少于一周的货运法律法规、货物装载等基本知识培训，并重新考试。对有超限超载登记的营运货车超过总数5%的运输企业，要向社会公布，并责令其停业整顿。 另外，根据国家发改委公布的“大吨小标”车型，相关部门将加快做好车辆参数更正、行驶证换发等各项工作。 以上便是我为大家整理的有关超限的有关处罚，相信大家看了这篇文章后对于超限有了进一步的了解，希望大家以后注意，不仅是为了大家，也是为你的安全。如果你的情况比较复杂，也提供律师在线咨询服务，欢迎您进行法律咨询。 车辆超限如何处罚 @2019

超限属于超载的一种，处罚的标准依据《道路交通安全法》第九十二条。货车超载的，处二百元以上五百元以下罚款；超过核定载质量百分之三十或者违反规定载客的，处五百元以上二千元以下罚款。【法律依据】《道路交通安全法》第九十二条公路客运车辆载客超过额定乘员的，处二百元以上五百元以下罚款；超过额定乘员百分之二十或者违反规定载货的，处五百元以上二千元以下罚款。货运机动车超过核定载质量的，处二百元以上五百元以下罚款；超过核定载质量百分之三十或者违反规定载客的，处五百元以上二千元以下罚款。有前两款行为的，由公安机关交通管理部门扣留机动车至违法状态消除。运输单位的车辆有本条第一款、第二款规定的情形，经处罚不改的，对直接负责的主管人员处二千元以上五千元以下罚款。

法律分析：超限：是指汽车装载超过公路对其的限值，主要研究的是车辆装载与公路的关系，特别关注的是公路的正常使用。超载：指汽车装载货物时超过汽车额定载重量，对超载的核定，主要关注的是汽车性能以及由此而引发的行车安全性。法律依据：《中华人民共和国道路交通安全法》 第四十八条 机动车载物应当符合核定的载质量，严禁超载;载物的长、宽、高不得违反装载要求，不得遗洒、飘散载运物。第九十二条 货运机动车超过核定载质量的，处二百元以上五百元以下罚款;超过核定载质量百分之三十或者违反规定载客的，处五百元以上二千元以下罚款。运输单位的车辆经处罚不改的，对直接负责的主管人员处二千元以上五千元以下罚款。

会扣分吗？

超限运输是：是指在公路上行驶的各种机动车辆装载货物超过一定限度或者车辆轴载超过了规定值所规定的行为。备注一：超限的危害一：超限运输严重损害公路设施。公路管理机构就车辆超限运输作专项调研，数据显示货运车超限行驶公路对公路路面和桥梁造成直接或间接影响。超过公路、桥梁限载标准的运输车辆在公路上行驶，致使公路严重损坏，大大缩短了其使用年限。当车辆轴载质量超过标准轴载质量一定值时，车辆对路面的损坏是成几何级数增加的。调研结果和实践也表明，货物运输承运人超载、超限造成公路沥青路面寿命缩短40%，水泥路面寿命缩短50%。一些超载超限车辆抛锚后，车上机油大量滴泻到路面，造成路面污染松散，从而形成坑凼。超限车辆对桥梁的安全也构成了重大威胁，车辆严重超限，使水泥混凝土桥梁产生桥梁挠度增大，水泥混凝土过早开裂，最终缩短桥梁使用寿命。超限的危害二：车辆超限运输严重影响交通安全。车辆超限超载运输诱发了大量道路交通安全事故，降低了道路的通行能力，对社会经济发展造成危害。我国发生的一系列伤亡人数较多的重特大交通事故，均与车辆的超限有关。车辆超限，使车辆的技术性能、安全性能降低，车辆行驶的稳定性、转向、刹车、悬挂承荷能力降低，轮胎爆胎可能性增大，刹车失灵、转向器抖动、钢板折断、半轴断裂，直接导致交通安全事故的发生。据统计，货运车辆道路交通事故中有70%以上是由于超限超载运输引起的

一、超限车辆认定标准是多少1、超限车辆认定标准是：（1）、二轴车辆，其车货总重超过20吨的；（2）、三轴车辆，其车货总重超过30吨的；（3）、四轴车辆，其车货总重超过40吨的；（4）、五轴车辆，其车货总重超过50吨的；（5）、六轴及六轴以上车辆，其车货总重超过55吨的。2、法律依据：《超限运输车辆行驶公路管理规定》第三条超限运输车辆，是指有下列情形之一的货物运输车辆：（一）、车货总高度从地面算起超过4米；（二）、车货总宽度超过2.55米；（三）、车货总长度超过18.1米；（四）、二轴货车，其车货总质量超过18000千克；（五）、三轴货车，其车货总质量超过25000千克；三轴汽车列车，其车货总质量超过27000千克；（六）、四轴货车，其车货总质量超过31000千克；四轴汽车列车，其车货总质量超过36000千克；（七）、五轴汽车列车，其车货总质量超过43000千克；（八）、六轴及六轴以上汽车列车，其车货总质量超过49000千克，其中牵引车驱动轴为单轴的，其车货总质量超过46000千克。二、超限超载有哪些影响一年超限3次，吊销营运证。其它影响：除了罚款、扣分、吊销营运证之外，执法部门还有权力“扣留机动车至违法状态消除”。超载超限行为如今已经同征信系统挂钩了。如果被列入失信名单，联合惩戒期间，不享受“绿色通道”免收车辆通行费的优惠政策。除此之外，还会影响个人征信，购房贷款、购车贷款、出行、工作等各方面都会受到影响。

一、超载超限新规定是什么?超载超限新规定对于货运机动车超过核定载质量的处200元以上500元以下罚款;超过核定载质量30%或者违反规定载客的，处500元以上2000元以下罚款;货车载物大于核定载质量30%以上或者违反规定载客的，一次扣6分;货车载物大于核定载质量但未达30%的，一次扣3分;具体的超限超载新规定如下：1、货车超限施行新标准。货车超限认定标准将严格按照强制性国家标准。取消车货总重超过55吨、平均轴载超过10吨和载货超过车辆出厂标记载质量的超限超载认定标准。2、对于尺寸超限以及重量超限的违法行为，根据违法行为性质、情节和危害程度，明确了处罚自由裁量权。其中，尺寸超限的，按照超限程度分别处200元以下、200元以上1000元以下、1000元以上3000元以下的罚款;重量超限的，明确了每超1000千克罚款500元的标准，载货越多，处罚力度越大。3、《超限运输车辆行驶公路管理规定》对超限超载认定标准进行了修改。在重量超限超载认定上，按照《道路车辆外廓尺寸、轴荷及质量限值》确定的最大质量限值作为认定标准。在外廓尺寸超限认定上，继续沿用了车辆高度4米的标准，车辆长度从18米调整为18.1米，车辆宽度从2.5米调整为2.55米。二、私家车超载怎么处罚按照新交规，驾驶营运客车(不包括公共汽_)、校车以外的载客汽车载人超越核定人数未达20%的罚款100元，记3分，超越核定人数20%以上的罚款100元，记6分。也就是说，一辆普通的5座轿车，如果超载一人，便达到超载20%的标准，就会面临一次性扣6分并罚款200元的处罚。新交规对于超载超限做出了规定，对于超载超限的违法行为除了罚款还要被扣分，现在是取消车货总重超过55吨，车辆的长度从18米调成了18.1米，如果车辆超长了，也是要被罚的。

超限和超载是两个不同的意思，那超限和超载的区别?为了方便大家能够了解更多的法律知识，以下就由为您一一介绍关于超载和超限的相关内容，接下来我们就一起来了解一下吧，相信以下文章的内容会对您有所帮助的。一、超限和超载的区别?很多人容易将超限和超载混淆，其实两者还是有明显区别的。超限:是指汽车装载超过公路对其的限值，主要研究的是车辆装载与公路的关系，特别关注的是公路的正常使用。 超载:指汽车装载货物时超过汽车额定载重量，对超载的核定，主要关注的是汽车性能以及由此而引发的行车安全性。超限和超载的区别主要表现在以下几个方面:      (一)超载和超限标准的技术参数根据不同:超载标准的技术参数是根据车辆的装载能力来确定的，例如载质量不满1000公斤的小型汽车装载1200公斤就是超载;超限标准的技术参数是根据公路的设计技术标准来确定的，不同等级的公路(含桥梁)其设计的限载标准是不同的。      (二)超载和超限的客体物不同:虽然两者在货物装载中均有超重、超高、超宽、超长的表述，但超载既有货物装载，又有客运超载;而超限只在货物运输中有，客运中没有超限的规定。      (三)超载和超限的执法主体不同:根据国务院《道路交通管理条例》的相关内容规定，超载的执法主体是公安机关;根据《公路法》的相关内容规定，超限的执法主体是交通主管部门或公路管理机构。另据有关法律要求，在没有综合执法授权的前提下，公安机关和交通主管部门或公路管理机构只能各执自己的法，不能越权。      (四)超载和超限的法律责任不同:根据国务院《道路交通管理条例》的相关内容规定，超载的法律责任包括《治安管理处罚条例》的相关内容规定的5元以下罚款或者警告，并可以根据国务院《道路交通管理条例》的相关内容规定在罚款或者警告同时并处吊扣1个月以下的驾驶证，因此超载只有行政法上的法律责任;根据《公路法》的相关内容规定，超限的法律责任是罚款3万元以下，造成公路损害的还应当依法承担民事责任，因此超限有行政法和民事法律上的双重法律责任。      《道路交通安全法》的相关内容规定中就货车超载的处罚作出了规定，不同类型的货车其实准载重量是不同，在判断是否有超载行为的时候，往往需要结合准载的重量加以判定。一旦认定属于超载，则一般都是对驾驶人员给予罚款的处罚。      二、超载扣多少分罚多少钱一般私家车的限载人数只有5人，只要是多乘坐一个人，其超员比例就高达20%，因此稍不注意就有可能被重罚。      2013 新交规明确规定驾驶营运车辆(不包括公交车)、校车以外的载客汽车，超员不足20%的将扣罚3 分、罚款100元;超过20%的则扣罚6分，罚款200元。      超载人数按“人头“算      四个大人带一个孩子乘车，或者三个大人带两个孩子，搭车出租车这样到底算不算超载?对此记者专门咨询了市交委和交警部门，得到的答复都是“只要超过核定人数 (含司机5人)，就算超载”。交委表示，“规定是按‘人头"算的，五个乘客也是超载”。而交警方面则表示，由于法律并没有规定乘坐人员的年龄、身高、体重，因此，“只要超过核定人数就是超载”。      三、超载超限认定标准是怎样的根据交通运输部相关规定，各地交通主管部门按照以下第1至第5种情形，公安交管部门按照以下第6种情形，认定和纠正超限超载车辆:      (一)两轴车辆，其车货总重超过20吨的;      (二)三轴车辆，其车货总重超过30吨的(双联轴按照2个轴计算，三联轴按照3个轴计算，下同);      (三)四轴车辆，其车货总重超过40吨的;      (四)五轴车辆，其车货总重超过50吨的;      (五)六轴及六轴以上车辆，其车货总重超过55吨的;      (六)虽未超过上述5种情形，但装载质量超过行驶证核定载质量30%以上的。

超过规定限度。为加强对超限运输车辆行驶公路的管理，维护公路完好，保障公路安全畅通，颁布“中华人民共和国交通部令2000年第2号”《超限运输车辆行驶公路管理规定》，明确规定了运输车辆的车辆长度、车辆宽度、车辆高度和车货总重量。在车辆超过此标准时称之为超限。

1、定义不同货车超重是指实际装载的货物质量超过核定载质量的运输车辆在公路上行驶的情况。货车超重是针对车辆而言的，特别是车辆结构的承载能力。货车超限是指货运车辆的载货长度、宽度、高度和载货质量超过规章制度规定的限度。是针对占用道路和路面承受能力制定的。2、处罚措施不同货车超重处罚措施：《道路交通安全法》第九十二条规定，“货运机动车超过核定载质量的，处二百元以上五百元以下罚款;超过核定载质量百分之三十或者违反规定载客的，处五百元以上二千元以下罚款。运输单位的车辆经处罚不改的，对直接负责的主管人员处二千元以上五千元以下罚款。”车辆违法超限运输，视危害程度给予处罚：1、车货总高度从地面算起未超过4.2米、总宽度未超过3米且总长度未超过20米的，可以处200元以下罚款;2、车货总高度从地面算起未超过4.5米、总宽度未超过3.75米且总长度未超过28米的，处200元以上1000元以下罚款;3、车货总高度从地面算起超过4.5米、总宽度超过3.75米或者总长度超过28米的，处1000元以上3000元以下的罚款;4、车货总质量超过本规定第三条第一款第四项至第八项规定的限定标准，但未超过1000千克的，予以警告;超过1000千克的，每超1000千克罚款500元，最高不得超过30000元。5、有前款所列多项违法行为的，相应违法行为的罚款数额应当累计，但累计罚款数额最高不得超过30000元。扩展资料根据《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》，有下列情形之一的运输车辆即为超重车辆。1、汽车总质量在32000kg以上；半挂车、其他挂车总质量40000kg以上；汽车列车总质量在49000kg以上。2、车辆轴荷质量在下列规定值以上：①单轴(每侧单轮胎)载质量6000kg；单轴(每侧双轮胎)载质量10000kg，驱动轴为11500kg；②汽车并装双轴(轴距)1300mm，且小于1800mm，轴荷质量18000kg(驱动轴为每轴每侧双轮胎且装备空气悬架时，轴荷最大限值为19000kg)；③挂车并装双轴(轴距)1800mm，轴荷质量20000kg，并装三轴(相邻两轴之间距离大于1300mm，且小于1400mm)，轴荷质量24000kg。二、货车车辆超限标准：1、车货总高度从地面算起4米以上（集装箱车货总高度从地面算起4．2米以上）；2、车货总长18米以上；3、车货总宽度2．5米以上；4、单车、半挂列车、全挂列车车货总质量40000千克以上；集装箱半挂列车车货总质量46000千克以上；5、车辆轴载质量在下列规定值以上：单轴（每侧单轮胎）载质量6000千克；单轴（每侧双轮胎）载质量10000千克；双联轴（每侧单轮胎）载质量10000千克；双联轴（每侧各一单轮胎、双轮胎）载质量14000千克；双联轴（每侧双轮胎）载质量18000千克；三联轴（每侧单轮胎）载质量12000千克；三联轴（每侧双轮胎）载质量22000千克。

一、超限超载的认定标准是什么1、超限超载的认定标准如下：（1）二轴车辆，其车货总重超过20吨的；（2）三轴车辆，其车货总重超过30吨的；（3）四轴车辆，其车货总重超过40吨的；（4）五轴车辆，其车货总重超过50吨的；（5）六轴及六轴以上车辆，其车货总重超过55吨的。2、法律依据：《中华人民共和国道路交通安全法》第四十九条机动车载人不得超过核定的人数，客运机动车不得违反规定载货。第五十条禁止货运机动车载客。货运机动车需要附载作业人员的，应当设置保护作业人员的安全措施。第五十一条机动车行驶时，驾驶人、乘坐人员应当按规定使用安全带，摩托车驾驶人及乘坐人员应当按规定戴安全头盔。第五十二条机动车在道路上发生故障，需要停车排除故障时，驾驶人应当立即开启危险报警闪光灯，将机动车移至不妨碍交通的地方停放；难以移动的，应当持续开启危险报警闪光灯，并在来车方向设置警告标志等措施扩大示警距离，必要时迅速报警。二、载客汽车超载怎么处罚1、客车超载的，处二百元以上五百元以下罚款；2、超载达到百分之二十的，处五百元以上二千元以下罚款；3、载客汽车载人超过核定人数百分之五十以上未达到百分之百的扣9分。

超过一定限量，比如速度 重量 面积等

一、超载和超限的区别1、超限指的是汽车装载超过公路对其的限值，主要研究的是车辆装载与公路的关系，特别关注的是公路的正常使用。超载指的是汽车装载货物时超过汽车额定载重量，对超载的核定，主要关注的是汽车性能以及由此而引发的行车安全性。2、法律依据：《中华人民共和国道路交通安全法》第四十八条 机动车载物应当符合核定的载质量，严禁超载；载物的长、宽、高不得违反装载要求，不得遗洒、飘散载运物。二、超限超载国标准具体是怎样的1、货运车的超载标准：公路货运车辆总质量最多不得超过49吨。原交通运输部门对货车超限的认定标准是“车货总重超过55吨、平均轴载质量超过10吨”的标准，即2轴车载重不得超过20吨，3轴车不得超过30吨，6轴及以上车辆不得超过55吨。这次统一执行的强制性新国家标准为：2轴车载重不得超过18吨，3轴车不得超过27吨，6轴及以上车辆不得超过49吨。2、小轿车的超载标准：按照新交规的规定，驾驶营运客车、不包括公共汽车、校车载人超过核定人数未达20%的，或者驾驶其他载客汽车载人超过核定人数20%以上的一次记6分=驾驶营运客车、不包括公共汽车、校车以外的载客汽车载人超过核定人数未达20%的一次记3分。

超限额度是部分银行为了方便用户刷卡消费而设立的一个隐含额度。央行规定超限额度必须小于总额度的10%。但是这就会涉及到信用卡超限费，一般银行都会给予5%-10%的超额度，但是大家要注意每家银行都有所不同，详细情况可以拨打客服电话查询。拓展资料一、所谓的超限额度，就是指持卡人在刷完信用卡之后，还可以刷一笔超过额度限制的额度。假设持卡人的浦发信用卡额度为1万元，持卡人刷完了这1万元的额度之后，还可以额外再刷1000元。超限额度并不是每个银行都有，每个银行对于超限额度固定也不一样，不过持卡人刷了超限额度的话，是需要支付超限费用的。浦发银行的信用卡虽然支持超限额度，但大部分用户需要自己主动申请开通。可以拨打银行的客服要求开通。当然了，其实信用卡的“临时额度”也有一点类似于信用卡的“超限额度”。本质上来说，这二者都属于信用卡超额消费。如果持卡人想要快速提额的话，也可以偶尔使用一下超限额度，让银行觉得当前额度不够持卡人使用，能够增加提额概率。二、浦发信用卡超限额度浦发信用卡的超限额度为信用卡授信额度的10%，持卡人在使用了超限额度后，需要支付5%的超限费用。另外大家需要注意的是，超限额度逾期的话，也是会影响征信的。1.中国银行：最高的超限额度为超过信用额度部分的5%，如信用卡额度是10000元，可以超额500元；2.建设银行：超限额度最高为信用卡额度的10%，不收取超限费，但如果不能及时还款，将会产生逾期罚息；3.工商银行：可以超出额度10%，但需要收取超限费，并且根据信用卡币种的不同，超限费的收取情况各有不同；4.农业银行:超限额为信用卡额度的10%，尽管可以超限消费20%，但消费后暂时不能使用信用卡，需要归还一部分钱后有了额度，方可继续使用。

大家都知道交通法规定了任何车辆不允许超限超载，因为车辆超载与车辆超限同属于交通违章行为，然而对驾驶者的处罚是不同的。那么，超限超载的处罚标准是什么?我整理了以下内容为您解答，希望对您有所帮助。 按照新交规的规定，驾驶营运客车(不包括公共汽车)、校车载人超过核定人数未达20%的，或者驾驶其他载客汽车载人超过核定人数20%以上的一次记6分;驾驶营运客车(不包括公共汽车)、校车以外的载客汽车载人超过核定人数未达20%的一次记3分。 可能有的人认为，一辆规定5人座的轿车，坐上5个大人和1个四五岁的孩童也是完全可以的，这应该不是超载。根据相关规定，孩童也按一个载客计算，所以，大人抱小孩儿坐一个座位也算是超载驾驶，同样要受到2013轿车超载处罚扣分。轿车也属于载客汽车的范畴，所以，轿车超载也是要接受处罚的。轿车超载处罚同营运客车是一样的。驾驶车辆出行应严格按照规定进行载客，一旦超载将按照2013轿车超载处罚进行扣分，孩童也按一个载客计算。 车辆超载和超限有什么区别 1、超载和超限标准的技术参数根据不同：超载标准的技术参数是根据车辆的装载能力来确定的，例如载质量不满1000公斤的小型汽车装载1200公斤就是超载;超限标准的技术参数是根据公路的设计技术标准来确定的，不同等级的公路(含桥梁)其设计的限载标准是不同的。 2、超载和超限的客体物不同：虽然两者在货物装载中均有超重、超高、超宽、超长的表述，但超载既有货物装载，又有客运超载;而超限只在货物运输中有，客运中没有超限的规定。 3、超载和超限的执法主体不同：根据国务院《道路交通管理条例》第8条规定，超载的执法主体是公安机关;根据《公路法》第8条规定，超限的执法主体是交通主管部门或公路管理机构。另据有关法律要求，在没有综合执法授权的前提下，公安机关和交通主管部门或公路管理机构只能各执自己的法，不能越权。 4、超载和超限的法律责任不同：根据国务院《道路交通管理条例》第80条规定，超载的法律责任包括《治安管理处罚条例》第28条规定的5元以下罚款或者警告，并可以根据国务院《道路交通管理条例》第80条规定在罚款或者警告同时并处吊扣1个月以下的驾驶证，因此超载只有行政法上的法律责任;根据《公路法》第75条和第84条规定，超限的法律责任是罚款3万元以下，造成公路损害的还应当依法承担民事责任，因此超限有行政法和民事法律上的双重法律责任。

不是。根据百度百科资料，可数集不一定是可列集，可列集是和自然数集对等的集合，可列集与有限集统称为可数集。可数集在数学上，可数集是与自然数集的某个子集具有相同基数（等势）的集合。

如下：[0,1]可与(0,1)建立双射(0,1)可与 extbf{R}建立双射故只用证明[0,1]不可列假设不然，则记$[0,1]={x_1,x_2,…}$将[0,1]等分为$[0,frac{1}{3}],[frac{1}{3},frac{2}{3}],[frac{2}{3},1]$，则$x_1$必不属于其中某一个闭区间，记为$U_1$.将$U_1$三等分，则$x_2$必不属于其中某一个闭区间，记为$U_2$……依此类推，得到一列递减闭区间${U_n}$.由闭区间套定理，诸${U_n}$的交(设为$U$)含且仅含一个元素，设为a.一方面，a不等于任意一个$x_n$,从而不在[0,1]中；另一方面，a属于每一个$U_n$，从而在[0,1]中，矛盾！实数集，包含所有有理数和无理数的集合，通常用大写字母R表示。18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。但当时的实数集并没有精确的定义。直到1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。任何一个非空有上界的集合（包含于R）必有上确界。通俗地认为，通常包含所有有理数和无理数的集合就是实数集，通常用大写字母R表示。18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。但当时的实数集并没有精确的定义。直到1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。定义是由四组公理为基础的。

这不一定，我们知道假如A,B是两个集合，A属于B，那么可能A集合当中的元素是无数个，但他属于集合B，这种情况的集合不是单指我们的元素集合，而是我们的抽象集合。也就是说无限集合在可数集合当中，推荐看看实变函数里的可数集合与不可数集合这两节

楼下那个阿列夫零×阿列夫零不是可数个可数集的直积，是可数个可数集的并。可数个可数集的并可数不用选择公理也行。把它横竖两排，分别标A1A2……集合也标A1A2……于是A1A1,A1A2,A2A1,A3A1,A2A2,A1A3,A1A4,A2A3,A3A2,A4A1,A5A1,A4A2,A3A3……这样的顺序便就能把可数个可数集的并数完。类似有理数可数的证法。当然，可数个可数集的直积，这实际上不是可数集，而是不可数的。可数个可数集的直积不是将它对应到唯一分解。而是把可数个可数集乘起来。将它对应到唯一分解只是对应到它的有限支撑，不是对应到可数个可数集的直积，肯定可数。事实上，可数个可数集的直积是不可数的。A=｛自然数集｝=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,……｝B=A×A×A×A×A×……(可数个A乘起来)然后得到集合B=(｛0，0，0，0，0，……｝，｛0，0，0，0，0，……｝……)集合B里面的元素就是可数个可数集的笛卡尔积。假设可数个可数集的直积可数，则该集合B里面所有集合能与自然数全体一一对应。0 ｛0，0，0，0，0，0，0，……｝1 ｛0，0，0，1，0，1，1，……｝2 ｛1，2，3，4，5，6，7，……｝3 ｛2，5，2，1，3，4，5，……｝4 ｛5，1，0，11，2，5，4，……｝5 ｛3，0，0，5，7，5，5，……｝……于是我们能创造一个集合，里面第一个数与0的不同，第二个数与1的不同……于是有集合x=｛1，1，2，3，8，6，……｝，该集合与0不同，与1不同，与2也不同……，但是属于集合B里面的一个元素。矛盾，所以可数个可数集的直积是不可数的。(注:证明类似证实数集是不可数集，因为实数的小数部分位数是可数的，而且每位上有不同的选择，可数个可数集的直积跟这一点很相似。)

闭区间套应用于区间，而单看有理数，它是集合，应该考虑类似于可列集上闭区间套的法则，再来进行证明，否则不是严格的。

两个可数集的交集最大等于两个数集中成员小的那个集合，所以是可数集。两个可数集的交集还是可数集

与证明（0，1）内的实数不可数的方法类似。你给出一个枚举的方法，我就可以在你的方法上构造一个不在你的枚举中的集合B。构造方法：1.A是可数的，按照A的列举方法，将A中的元素标为a1，a2,a3……2.如果如果2^A中的第一个集合中有a1,则B中没有，反之，B中含有a1，对2^A中的第二个第三个集合……同样按照这个方法，最终构造出来的B集合不再2^A中，所以不可数

不可数，无限

无理数比有理数多

  这两个无穷——无穷无尽的自然数和无穷稠密的连续统——在某些方面有相似之处吗？或者说它们完全不同？   正整数集合{1,2,3,...}和正偶数集合{2,4,6,...}的势是相等的！   即集合的元素个数是一样多的！   我们可以通过与自然数做一一对应，来数无限集合里的正偶数：   对于每一个正整数，都有一个偶数与之对应。对于任何一个偶数，都有一个正整数与之对应。这么一看，这两个集合现在似乎变得一样大了，也就是说它们是等势的。   这是怎么回事？（事实上，无限集合的这种独有特征是伽利略在1683年提出的，因此有时也称作伽利略悖论。）   格奥尔格·康托尔（1845—1918）伟大的数学家，出生于圣彼得堡，以建立集合论而闻名。   如果集合中的元素能与自然数一一对应，那么我们称这个集合为可数的。如果我们能将集合中的元素按照某种方式排序或列举出来，那么这个集合就是可数的，因为任何一个列表都是可以标号的，也就是将各项与自然数1，2，3，...一一配对。所有有限集合当然都是可数的。真正的难题来自于无限集合。   在1874年发表的一篇论文“关于实代数数集合的性质”中，康托尔指出整数、有理数甚至 代数数 都是可数的。   正如我们知道的，代数数是代数方程的解，代数方程的一般式是 其中N是正整数，ai是整数。对于任何一个代数方程，将所有的系数（ai）的绝对值和N相加，我们称所得的值为方程的高。对于某个特定的高（例如5），存在有限个数的方程，每个方程至多有N个解。所以，所有的代数数都可以根据它的高和解来排列。因此，代数数是可数的。   那么超越数呢？超越数是否可以按照某种方式列成一张表？这看上去极不可能！我们甚至没有检测一个特定的数是否是超越数的一般步骤！   那么包含了代数数和超越数的实数呢？实数可数吗？   在1874年康托尔证明代数数可数的同一篇论文中，他也证明了实数是不可数的。   康托尔最终意识到至少有两种无穷：可数的无穷和不可数的无穷，即自然数的无穷和连续统的无穷。   我们眼前有两种不同的无穷的势：一种势适用于自然数、有理数与代数数；另一种势适用于实数和连续统。   可数的无穷和不可数的无穷之间的区别已被证明是极其有用的，即使想象一种简单的无穷就足以震撼人心。   康托尔在探索无限集合时还有其他惊人发现。他发现我们可以在连续统（直线上的实数）和平面上的点，乃至N维空间中的点之间建立一一对应关系。   1891年，康托尔发表了另一个实数不可数的证明，从那以后，这个证明至今令人拍案叫绝。康托尔的证明涉及了集合而非数字，这种思路被称作对角线证明法（diagonal proof）、对角线过程（diagonal process）、对角线论证（diagonal argument）或者对角化（diagonalization）。   1895年，康托尔选择用希伯来文字母表中的第一个字母加上下标0， 来表示可数的自然数集合（因此也是任何可数的无限集合）的基数。康托尔称这是第一超限数。 康托尔证明连续统的基数是：   康托尔证明了将任何一个非空集合的元素与其幂集的元素一一对应是不可能的，这个事实对于有限集合很明显，但对于无限集合就不明显了。这个结论现在称为 康托尔定理 ，它也是1891年那篇介绍对角化技巧的论文的主要成果。正如一个集合有幂集一样，一个幂集同样可以有自己的幂集，等等。所有这些集合都有不同的基数。 康托尔的连续统假设，用数学语言表示为：   这一切的深刻涵义在于可数集合的基数不仅仅是比连续统的基数小， 而且是非常，非常，非常，非常，非常小： 事实上，连续统与可数集的唯一区别在于，是否包含超越数。这说明，超越数非常非常非常多，占了实数的绝大部分。   某些有现实意义的数学证明，包括图灵论文里的证明，核心问题就在于可数集合与不可数集合的区别上，如下图所示。

不可数名词是指不能以数目来计算，不可以分成个体的概念、状态、品质、感情，或表示物质材料的东西；当不可数名词使用复数形式时，其意思会有变。如glass玻璃，glasses眼镜。或有泛指所有同类事物，如fruit水果，fruits（各种）水果。

无理数。。。

设二元集A = {0,1}，只需证明可数个A的直积是不可数的。设B = A×A×A...，那么B中的元素就是一个0-1序列(a_1,a_2,...a_m, ..)，这个序列对应于正整数集的一个子集{n | a_n = 1}，显然这个对应是一一对应。可见B与正整数的幂集等势，所以B不可数。

证 若集合A可数,则自然数N的全部子集也为可数,则自然数N也为可数的,则可设最大的自然数为x,则x+1也为自然数,x+1＞x与所设x为最大自然数矛盾,所以 自然数N为不可数,所以自然数N的全部子集为不可数,所以集合A不可数。

可以举个例子：1.｛-1，0，1｝是可数集2.｛x|-1<x<1｝是有限集

是的，类似有理数的排列方式。自然数乘以自然数相当于自然数对。(0，0)，(0，1)，(1，0)，(2，0)，(1，1)，(0，2)，(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)……然后按以上的规律一个接一个，就能数完了。要可数多个自然数相乘才是不可数集。