极限序数

On虽为一真类，但<On,<>；具有性质：On的任一非空子类都有最小元。因此，要想证明每一序数都具有性质φ，即可应用超限归纳原理：对于任给的一序数β，若每一比β小的序数α都具有性质φ则β亦具有性质φ，那么对所有的序数都具有性质φ。在定义序数运算（加、乘、幂）时，需要用超限递归定理：若G是一运算，则有一运算F，使得对每一序数α，都有F(α)=G(α）。而这一定理的证明要用到替换公理。有了替换公理还可以得到极限序数ω+ω的存在性。如果先将正整数从小排到大，再把非正整数从大排到小而成一序列：1,2,3，…，0，-1,-2，…。从而全体整数就良序了，其序型即为ω+ω。事实上，任一良序集〈ω，<；〉，都有惟一的序数α使得〈w，<；〉序同构于〈α，∈〉。因此，就可以把良序集按序同构来分类，并将同属于一类的称为具有同一序型的良序集。而序数就可定义作为同构的良序集的代表。依此，可以定义序数的运算。例如，序数的加法可以定义如下：若α,β为序数，γ为极限序数β+0=β,β+s(α)=s(β+α),β+γ(β+α），即用关于α的超限归纳原理来定义β+α。同样地可以定义序数的积β.α和幂βα，以及相应的运算性质，如结合律等。　可以证明：替换公理是独立于其他公理的。

能。极限序数是能写成两个序数之和的，极限序数是一种集合论术语，是指一类特殊的序数，指不为0且不是后继序数的序数，以集合为研究对象的一个数学基本分支，集合论的内容渗透到数学的一切领域，它在现代数学的发展中起了很大的作用，是现代数学各个分支的基础。按照现代数学的观点，数学各个分支都可以看作是研究具有某种特定结构的集合。