拉普拉斯

ut的拉普拉斯变换是：（t-1）u（t-1）+3u（t-1），（t-1）u（t-1）是t*u（t）的拉式变换乘上一个因子，t*u（t）是u（t）的拉氏变换的求导。可以用定义直接积分。也可以查表：L［u（t）］=1/s；对于L［u（t-1）］，用时移定理，L［u（t-1）］=exp（-s）*1/s，因此，L［u（t）-u（t-1）］=1/s-exp（-s）*1/s。对输入求拉普拉斯变换：F（s）=1+e^（-s）。对输出求拉普拉斯变换：Y（s）=［1-e^（-s）］/s。所以H（s）=Y（s）/F（s）是h（t）的拉式变换，对H（s）求拉式反变换就是h（t）。如果f（t）=δ（t）-δ（t−1）的话，h（t）=u（t），波形就是t≥0时的一条直线。电路分析实例在“电路分析”中，元件的伏安关系可以在复频域中进行表示，即电阻元件：V=RI，电感元件：V=sLI，电容元件：I=sCV。如果用电阻R与电容C串联，并在电容两端引出电压作为输出，就可用“分压公式”得出该系统的传递函数为H（s）=（1/RC）/（s+（1/RC）），于是响应的拉普拉斯变换Y（s）就等于激励的拉普拉斯变换X（s）与传递函数H（s）的乘积，即Y（s）=X（s）H（s）。以上内容参考：百度百科-拉普拉斯变换

1、拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要作用。 2、法国数学家、天文学家拉普拉斯(1749─1827年)，主要研究天体力学和物理学。他认为数学只是一种解决问题的工具，但在运用数学时创造和发展了许多新的数学方法。1812年拉普拉斯在《概率的分析理论》中总结了当时整个概率论的研究，论述了概率在选举、审判调查、气象等方面的应用，并导入“拉普拉斯变换”。拉普拉斯变换导致了后来海维塞德发现运算微积分在电工理论中的应用。

用matlab的实现拉普拉斯变换的函数是Laplace（），其逆变换是iLaplace（）。例1：求函数 y=sin2t 的 Laplace 变换。syms t f Ff=sin(2*t ) %原函数F=laplace(f) %象函数F = 2/(s^2 + 4)例2：求函数 1/(s(s²+5)) 的 Laplace 逆变换。syms s f FF=1/(s*(s^2+5)) %象函数f=ilaplace(F) %原函数f = 1/5 - cos(5^(1/2)*t)/5例3：求方程y"+2y"-3y=exp(-t),满足初始条件y(0)=0,y"(0)=1的解。解：对方程的两边取拉氏变换，并考虑到初始条件，则得s²Y(s)-1+2sY(s)-3Y(s)=1/(s+1)以下用matlab求解。Ys=solve("s^2*Y-1+2*s*Y-3*Y=1/(s+1)","Y")；simplify(ilaplace(Ys))ans = (3*exp(t))/8 - exp(-3*t)/8 - exp(-t)/4求解得微分方程的解y(t)=(3*exp(t))/8 - exp(-3*t)/8 - exp(-t)/4

常见拉普拉斯逆变换公式：f ( t ) = ∑ k = 1 n R e s [ F ( s ) e s t , s k ] . f(t) = sum_{ k =1}^{n}Res[~F(s)e^{st},s_k~].f(t)=k=1∑nRes[F(s)est,sk]。有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。拉普拉斯变换初值定理：单边信号拉普拉斯变换的初值定理成立的前提是：在时不包含冲激或高阶的奇异导数，为了看清楚这一事实，回顾下初值定理的证明过程：逐项求拉普拉斯变换两边同时乘以得到可以看出，如果时不包含冲激或高阶的奇异导数的话的情况下。但是你这个题目中，时表明时是可能包含冲激或高阶的奇异导数的，换言之上面证明过程中的泰勒展开是不收敛的，初值定理是不可以直接使用的。而，是的拉普拉斯变换，也就是上面说的时的冲激，去掉冲激项剩下的部分即可用初值定理。

分部积分

f(t)=e^(-t)sin(2t), 根据已有的拉普拉斯转换结果，把相关的系数带入，则sin(2t)的拉普拉斯变换为2/(p^2+2^2),再利用位移定理， e^(-t)sin(2t)的拉普拉斯变换表得2/(（p+1)^2+2^2).f(t)=2t^2+17t+6,根据已有的拉普拉斯转换的计算结果，把相关的系数带入可以得出结果是： 2 （2！/p^3)+17p^2+6/p.

有理拉普拉斯变换就是通过s多项式的加减乘除得到的变换。 一个有理拉普拉斯变化X(s)可以写成如下形式：X(s)=f/g, 这里f和g都是s的多项式函数。 它的零点和极点个数有限。

       常见拉普拉斯变换公式：V=sLI，I=sCV，H(s)=(1/RC)/(s+(1/RC))，Y(s)=X(s)H(s)等。拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉简戚氏变换。      拉氏变换是一祥袭个线性变换，可将谨咐兄一个有参数实数t（t≥0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要作用。

假定L［f（x）］＝F（s），L［g（x）］＝G（s），则：（1）线性 af（x）＋bg（x）的拉普拉斯变换是aF（s）＋bG（s）（a，b是常数）。（2）卷积 f（x）*g（x）的拉普拉斯变换是F（s）·G（s）。（3）微分 f′（x）的拉普拉斯变换是sF（s）－f（0）。（4）位移 eatf（x）的拉普拉斯变换是F（s－a）。简介如果对于实部σ >σc的所有s值上述积分均存在，而对σ ≤σc时积分不存在，便称 σc为f(t)的收敛系数。对给定的实变量函数 f(t)，只有当σc为有限值时，其拉普拉斯变换F(s)才存在。习惯上，常称F(s)为f(t)的象函数，记为F(s)=L[f(t)]；称f(t)为F(s)的原函数，记为f(t)=L-1[F(s)]。函数变换对和运算变换性质 　利用定义积分，很容易建立起原函数 f(t)和象函数 F(s)间的变换对，以及f(t)在实数域内的运算与F(s)在复数域内的运算间的对应关系。

具体内容如果定义：f(t),是一个关于t,的函数，使得当t<0,时候，f(t)=0,；拉普拉斯变换s,是一个复变量；mathcal是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分int_0^inftye^,dt；f(s),是f(t),的拉普拉斯变换结果。则f(t),的拉普拉斯变换由下列式子给出：f(s),=mathcalleft=int_^inftyf(t),e^,dt拉普拉斯逆变换，是已知f(s),，求解f(t),的过程。用符号mathcal^,表示。拉普拉斯变换/逆变换拉普拉斯逆变换的公式是：对于所有的t>0,；f(t)=mathcal^left=fracint_^f(s),e^,dsc,是收敛区间的横坐标值，是一个实常数且大于所有f(s),的个别点的实部值。为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。拉普拉斯变换用f(t)表示实变量t的一个函数，f(s)表示它的拉普拉斯变换，它是复变量s＝σ＋j

拉普拉斯变换是求解微分方程的一种方法。其求解步骤如下：1、对已知的微分方程取拉氏变换，如y"+2y"-3y=e^(-t),y(0)=0,y"(0)=1，则s²Y(s)-1+2sY(s)-3Y(s)=1/(s+1)2、解含有未知变量Y(s)的方程，即Y(s)=(s+2)/[(s+1)(s-1)(s+3)]3、将上式转换成部分分式的形式，即Y(s)=-1/[4(s+1)]+3/[8(s-1)]-1/[8(s+3)]4、取逆拉氏变换，可以得到微分方程的解y(t)=[3e^t-2e^(-t)-e^(-3t)]/8

1、拉氏变换微分基本性质：线性性质、微分性质、积分性质、位移性质、延迟性质、初值定理与终值定理 [1]  。位移性质：设F(s)=L[f(t)]，则有它们分别表示时域中的位移定理和复域中的位移定理。 微分性质：2、积分性质 ：积分都满足一些基本的性质。以下的 在黎曼积分意义上表示一个区间，在勒贝格积分意义下表示一个可测集合。积分是线性的。如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。所有在 上可积的函数构成了一个线性空间。黎曼积分的意义上，所有区间[a,b]上黎曼可积的函数f和g都满足：所有在可测集合 上勒贝格可积的函数f和g都满足：在积分区域上，积分有可加性。黎曼积分意义上，如果一个函数f在某区间上黎曼可积，那么对于区间内的三个实数a, b, c，有如果函数f在两个不相交的可测集 和 上勒贝格可积，那么如果函数f勒贝格可积，那么对任意 ，都存在 ，使得 中任意的元素A，只要 ，就有扩展资料：拉普拉斯变换的公式：拉普拉斯变换是对于t>=0函数值不为零的连续时间函数x(t)通过关系式 (式中-st为自然对数底e的指数)变换为复变量s的函数X(s)。它也是时间函数x(t)的“复频域”表示方式。拉普拉斯逆变换：拉普拉斯逆变换是已知F(s) 求解 f(t) 的过程。用符号 表示。拉普拉斯逆变换的公式是：对于所有的t>0，f(t)= mathcal ^ left=frac int_ ^ F(s)" e"ds，c" 是收敛区间的横坐标值，是一个实常数且大于所有F(s)" 的个别点的实部值。参考资料：百度百科-拉普拉斯变换参考资料:百度百科 -积分

拉普拉斯变换公式表如下：拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。工程数学是好几门数学的总称。工科专业的学生大一学了高数后。就要根据自己的专业学“积分变换”、“复变函数”、“线性代数”、“概率论”、“场论”等数学，这些都属工程数学。数学物理方程和特殊函数也是工学数学的一分支。拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用。如果对于实部σ >σc的所有s值上述积分均存在，而对σ ≤σc时积分不存在，便称 σc为f(t)的收敛系数。对给定的实变量函数 f(t)，只有当σc为有限值时，其拉普拉斯变换F(s)才存在。习惯上，常称F(s)为f(t)的象函数，记为F(s)=L[f(t)]；称f(t)为F(s)的原函数，记为f(t)=L-1[F(s)]。拉普拉斯变换是对于t>=0函数值不为零的连续时间函数x(t)。应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。

拉普拉斯变换是求解微分方程的一种方法。其求解步骤如下：1、对已知的微分方程取拉氏变换，如y"+2y"-3y=e^(-t),y(0)=0,y"(0)=1，则s²Y(s)-1+2sY(s)-3Y(s)=1/(s+1)2、解含有未知变量Y(s)的方程，即Y(s)=(s+2)/[(s+1)(s-1)(s+3)]3、将上式转换成部分分式的形式，即Y(s)=-1/[4(s+1)]+3/[8(s-1)]-1/[8(s+3)]4、取逆拉氏变换，可以得到微分方程的解y(t)=[3e^t-2e^(-t)-e^(-3t)]/8

因为一般拉普拉斯变换处理的是因果信号，所以f(t)=1经常加上一个t≥0的条件，就变成了阶跃函数u(t)，这时结果是1/s。如果去掉t≥0的限制条件，在全时域讨论f(t)=1的拉普拉斯变换，也就是双边拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数t（t≥0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要作用。 应用领域定理 有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果， 在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。 应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。

之前的两位兄台也不知道咋想的，我反复验算过，那一步积分取极限就是0-0，最后根本没有1，希望后来的看官能看清楚

拉普拉斯变换性质有：线性性质、微分性质、积分性质、位移性质、延迟性质、初值定理与终值定理。1、拉普拉斯变换是对于t>=0函数值不为零的连续时间函数x(t)通过关系式X(s)=(式中-st为自然对数底e的指数)变换为复变量s的函数X(s)。它也是时间函数x(t)的“复频域”表示方式。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。2、拉普拉斯变换变换和傅里叶变换都是用于LTI连续时间系统分析的数学工具。拉普拉斯变换可以看作是傅里叶变换的一种推广，通过这一推广首先将作为分析对象的信号的范畴大大拓展了，拉氏变换方法是围绕简化线性微分方程求解而形成的。发展至今，这种方法的应用领域已经拓展到通信与控制工程的诸多方面。应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。

图像的轮廓往往是像素突变的。要么中间的亮，两边的暗，要么中间暗，两边亮。这种模板就能让这个特性加剧，也就是说让大的值更大，即锐化。举个例子，如果图像很平缓，和拉普拉斯核做卷积之后，得到的值为0。这时候 原图 减去 拉普拉斯变换后的图还是 等于 原图 ，但是如果图像很陡峭，因为拉普拉斯变换之后的图像的值必定是大于零的，那么 原图减去拉普拉斯变换后的图必定会小于原图 。当值变小了之后，相当于给陡峭的地方画上了 粗粗的黑线 。这样就把边缘描绘出来了。因此拉普拉斯变换是一种高通滤波。 https://blog.csdn.net/zxc024000/article/details/51252073 https://blog.csdn.net/majinlei121/article/details/46831769 http://www.cnblogs.com/xfzhang/archive/2011/01/19/1939020.html

L{A}=A/s ，A为常数；

拉普拉斯变换的性质有：线性性质、微分性质、积分性质、位移性质、延迟性质、初值定理与终值定理。拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数t（t≥0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要作用。有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。

(t-1)u(t-1)+3u(t-1)，这两部分都有相应的性质可以用，(t-1)u(t-1)是t*u(t)的拉式变换乘上一个因子，t*u(t)是u(t)的拉氏变换的求导。可以用定义直接积分。也可以查表：L[u(t)]=1/s；对于L[u(t-1)]，用时移定理，L[u(t-1)]=exp(-s)*1/s，因此，L[u(t)-u(t-1)]=1/s-exp(-s)*1/s。对输入求拉普拉斯变换：F(s)=1+e^(-s)对输出求拉普拉斯变换：Y(s)=[1-e^(-s)]/s所以H(s)=Y(s)/F(s)是h(t)的拉式变换，对H(s)求拉式反变换就是h(t)如果f(t)=δ(t) -δ( t− 1)的话，h(t)=u(t)，波形就是t≥0时的一条直线。扩展资料：两个相异的可积函数，只有在其差的勒贝格测度为零时，才会有相同的拉普拉斯变换。因此以转换的角度而言，存在其反转换。包括可积分函数在内，拉普拉斯变换是单射映射，将一个函数空间映射到其他的函数空间。典型的函数空间包括有界连续函数、函数空间L(0, ∞)、或是更广义，在 (0, ∞) 区间内的缓增广义函数（函数的最坏情形是多项式增长）。在实务上一般会配合查表，将函数的拉普拉斯变换分换为许多已知函数的拉普拉斯变换，再利用观察的方式产生其拉普拉斯逆变换。在微分方程中会用到拉普拉斯逆变换，会比用傅里叶转换的处理方式要简单。参考资料来源：百度百科-拉普拉斯变换法

假定L［f（x）］＝F（s），L［g（x）］＝G（s），则（1）线性 af（x）＋bg（x）的拉普拉斯变换是aF（s）＋bG（s）（a，b是常数）；（2）卷积 f（x）*g（x）的拉普拉斯变换是F（s）·G（s）；（3）微分 f′（x）的拉普拉斯变换是sF（s）－f（0）；（4）积分 ∫x0f（x）dt的拉普拉斯变换是 （5）位移 eatf（x）的拉普拉斯变换是F（s－a）；（6）时移（延迟） f（x－x0）的拉普拉斯变换是 ［例1］求方程y″＋2y′－3y＝e－t满足初始条件y｜t＝0＝0，y′｜t＝0＝1的解。解：设L［y（t）］＝Y（s），对方程的两边取拉氏变换，并考虑到初始条件，则得地球物理数据处理基础这是含未知量Y（s）的代数方程，整理后解出Y（s），即地球物理数据处理基础这便是所求函数的拉氏变换，取它的逆变换便可以得出所求函数y（t）。［例2］求解 满足初始条件 解：假定L［y（t）］＝Y（s），L［x（t）］＝X（s），对方程两边取拉氏变换，并考虑到初始条件，则得地球物理数据处理基础整理化简，得地球物理数据处理基础解这个方程组，即得地球物理数据处理基础根据逆变换，我们可得地球物理数据处理基础这便是方程组的解。

u(t+2)的拉普拉斯变换的方法L[u(t)]=2/s；对于L[u(t-2)]，用时移定理，L[u(t-1)]=exp(-s)*2/s，因此，L[u(t)-u(t-1)]=2/s-exp(-s)*2/s

1拆成两项 2分母凑完全平方 3利用求导性质 4拆成两项，后一项利用延时性质 自己算一下，我只是给个思路。

根据性质L(f"(x)) = sF(s) - f(0)推广：L(f""(x)) = sF"(s) - f"(0) = s ( sF(s) - f(0) ) - f"(0) = s^2F(s) - sf(0) - f"(0)可继续推导出f(x)的n阶导的拉变换代入初始条件后可得f(x)的拉变换，再进行拉式反变换即可得到原函数f(x)

不是的。1.单边拉普拉斯变换只关心t>=0处的值，两函数负半轴值不一样无法在单边拉普拉斯变换中体现出来2.不影响积分值的不同也不会体现在拉普拉斯变换中，比如说x1(t)=sint,x2(t)=sint(t≠2)100(t=2)这两个函数的拉普拉斯变换相同

拉普拉斯在研究天体问题的过程中，创造和发展了许多数学的方法，以他的名字命名的拉普拉斯变换、拉普拉斯定理和拉普拉斯方程，在科学技术的各个领域有着广泛的应用。拉普拉斯，法国数学家、天文学家，法国科学院院士。是天体力学的主要奠基人、天体演化学的创立者之一，他还是分析概率论的创始人，因此可以说他是应用数学的先驱。1773年解决了一个当时著名的难题：解释木星轨道为什么在不断地收缩，而同时土星的轨道又在不断地膨胀。拉普拉斯用数学方法证明行星平均运动的不变性，即行星的轨道大小只有周期性变化，并证明为偏心率和倾角的3次幂。这就是著名的拉普拉斯定理。1784～1785年，他求得天体对其外任一质点的引力分量可以用一个势函数来表示，这个势函数满足一个偏微分方程，即著名的拉普拉斯方程。1786年证明行星轨道的偏心率和倾角总保持很小和恒定，能自动调整，即摄动效应是守恒和周期性的，不会积累也不会消解。拉普拉斯注意到木星的三个主要卫星的平均运动Z1，Z2，Z3服从下列关系式：Z1-3×Z2+2×Z3=0。同样，土星的四个卫星的平均运动Y1，Y2，Y3，Y4也具有类似的关系：5×Y1-10×Y2+Y3+4×Y4=0。后人称这些卫星之间存在可公度性，由此演变出时间之窗的概念。

u(t)是拉普拉斯变换的条件（t>0-）cos(2t)是s/(s^2+2^2)exp(-t)将原拉普拉斯变换中的s用s+1代替结果为(s+1)/[(s+1)^2+4]

根据拉普拉斯变换的定义，从负无穷到正无穷对周期信号进行积分所得的结果不收敛，所以周期信号应该没有拉普拉斯变换，如果你指的周期信号是从0开始的，那应该有拉普拉斯变换

F(s)=1/[s^2(s^2-1)]=(1/2)1/(s-1)-(1/2)1/(s+1)-1/(s^2)，所以f(s)=(1/2)exp(t)-(1/2)exp(-t)-tL(sint)=1/(s^2+1)，所以L(t*sint)=-[1/(s^2+1)]"=2s/(s^2+1)^2，所以L(t*sint*exp(2t))=2(s-2)/[(s-2)^2+1]^2

u(t)------1/su(t-2)-------e^(-2s)/su(3t-2)-------e^(-2/3s)/stu(t)----1/s^2(3t-2)u(3t-2)----3*e^(-2s/3)/(s^2)

最近在预习复变函数，看到拉普拉斯变换了，应该说是比较熟悉的， 初中看高数时在常微分方程里就介绍过用拉氏变换解常系数线性微分方程的方法， 我印象中那时我看到这种方法很高兴，因为我很容易地推导出了附录里两页几乎全部的拉氏变换公式（那时我还不能推导出附录里积分表的所有公式） 可现在我重新看的时候，发现我找不回当时推导拉氏变换公式的那种简单方法了，只会用书上那些要用到我初中时还不会的知识的麻烦方法。 比如t^n的变换，按现在方法是要用到欧拉积分里的伽马函数的知识，可我是直到高中才推导出伽马函数的表达式的，（当然初中看的那本简单的高数里是用我那时知道的阶乘表示的），我不可能用这种方法推导的。 还有现在使用的方法大量使用复数各种运算，可当时我连欧拉公式都不知道。。我感到很疑惑，虽然当时可能不是用的严格的方法做的，但结果是的确对的，

拉普拉斯变换不适用于含二极管的动态电路：拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，用于将一个时间域的函数转换为一个复频率域的函数。它在工程、物理学、控制论等领域中都有广泛的应用，被认为是微积分学中最重要的工具之一。拉普拉斯变换的意义在于它可以将一个复杂的微分方程转化为一个简单的代数方程，从而便于解决。在实际应用中，很多物理系统都可以用微分方程来描述，但是微分方程的解析解往往难以求得，而拉普拉斯变换则可以将微分方程转换为一个代数方程，从而可以更方便地求解。拉普拉斯变换的定义式为：$$F(s) = int_{0}^{infty} f(t) e^{-st} dt$$，其中，$f(t)$ 是时间域函数，$F(s)$ 是拉普拉斯变换后的复频率域函数，$s$ 是复变量。拉普拉斯变换的逆变换式为：$$f(t) = frac{1}{2pi i}int_{gamma - iinfty}^{gamma + iinfty} F(s) e^{st} ds$$，其中，$gamma$ 是一个实数，$gamma$ 大于所有极点的实部，$gamma$ 从左侧开始逼近所有极点的实部，即 $gamma ightarrow -infty$。拉普拉斯变换的一些重要性质包括线性性、移位性、尺度性和微分性等。这些性质使得拉普拉斯变换在实际应用中非常方便。例如，在控制系统中，拉普拉斯变换可以用来分析系统的稳定性、性能等。在信号处理中，拉普拉斯变换可以用来分析信号的频谱、滤波等。在电路分析中，拉普拉斯变换可以用来分析电路的稳态响应、瞬态响应等。总之，拉普拉斯变换是一种非常有用的数学工具，它在解决微分方程、分析系统性质、信号处理、电路分析等方面都有广泛的应用。它的基本思想是将一个时间域函数转换为一个复频率域函数，从而便于分析和求解。

拉斯变换的重要性质包括：尺度变换、时移、频移、微分、积分、卷积、初值定理与终值定理。它是一个线性变换，意义为可将一个有引数实数t（t≥0）的函数转换为一个引数为复数s的函数。利用拉氏变换变换求解数学模型时，可以当作求解一个线性方程，换而言之拉氏变换不仅可用来将简单的时域信号转换为复数域信号，还可以用来求解控制系统微分方程。拉氏变换是将时域信号变为复数域信号，反之，拉氏反变换是将复数域信号变为时域信号。意义和作用：如果对于实部σ >σc的所有s值上述积分均存在，而对σ ≤σc时积分不存在，便称 σc为f(t)的收敛系数。对给定的实变量函数 f(t)，只有当σc为有限值时，其拉普拉斯变换F(s)才存在。习惯上，常称F(s)为f(t)的象函数，记为F(s)=L[f(t)]；称f(t)为F(s)的原函数，记为f(t)=L-1[F(s)]。函数变换对和运算变换性质 　利用定义积分，很容易建立起原函数 f(t)和象函数 F(s)间的变换对，以及f(t)在实数域内的运算与F(s)在复数域内的运算间的对应关系。

设函数f（t）当t≥0时有定义，而且积分∫＋∞0f（t）e－stdt（s是一个复数变量），在s的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可以写为地球物理数据处理基础则我们称上式为函数f（t）的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）。记为地球物理数据处理基础F（s）称为f（t）的拉氏变换。我们可以看出，f（t）（t≥0）的拉氏变换，实际上就是φ（t）u（t）e－βt的傅氏变换。

　拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏转换。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有引数实数 t（ t≥ 0）的函数转换为一个引数为复数 s的函数。拉普拉斯变换(3)　　有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。

拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。 拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要作用。

拉普拉斯变换 拉普拉斯变换（英文：Laplace Transform)，是工程数学中常用的一种积分变换。 如果定义： f(t),是一个关于t,的函数，使得当t<0,时候，f(t)=0,； s, 是一个复变量； mathcal 是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分int_0^infty e^ ,dt；F(s),是f(t),的拉普拉斯变换结果。 则f(t),的拉普拉斯变换由下列式子给出： F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt 拉普拉斯逆变换，是已知F(s),，求解f(t),的过程。用符号 mathcal ^ ,表示。 拉普拉斯逆变换的公式是： 对于所有的t>0,； f(t) = mathcal ^ left =frac int_ ^ F(s),e^ ,ds c,是收敛区间的横坐标值，是一个实常数且大于所有F(s),的个别点的实部值。 为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。 用 f(t)表示实变量t的一个函数，F(s)表示它的拉普拉斯变换，它是复变量s＝σ＋j&owega;的一个函数，其中σ和&owega; 均为实变数,j2＝-1。F(s)和f(t)间的关系由下面定义的积分所确定： 如果对于实部σ ＞σc的所有s值上述积分均存在，而对σ ≤σc时积分不存在，便称 σc为f(t)的收敛系数。对给定的实变量函数 f(t)，只有当σc为有限值时，其拉普拉斯变换F(s)才存在。习惯上,常称F(s)为f(t)的象函数,记为F(s)＝L[f(t)];称f(t)为F(s)的原函数,记为ft＝L-1[F(s)]。 函数变换对和运算变换性质 利用定义积分，很容易建立起原函数 f(t)和象函数 F(s)间的变换对，以及f(t)在实数域内的运算与F(s)在复数域内的运算间的对应关系。表1和表2分别列出了最常用的一些函数变换对和运算变换性质。

拉普拉斯变换具有下列性质：1、线性性质2、微分性质3、积分性质4、位移性质5、延迟性质

傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。fourier变换是将连续的时间域信号转变到频率域。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。 拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要作用。拓展资料：一般情况下，若“傅里叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数表示成复指数函数的积分形式：上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换，即将时间域的函数表示为频率域的函数的积分。反过来，其正变换恰好是将频率域的函数。表示为时间域的函数的积分形式。一般可称函数为原函数，而称函数为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。当为奇函数（或偶函数）时，其余弦（或正弦）分量为零，而可以称这时的变换为余弦变换（或正弦变换）。

傅里叶变换和拉普拉斯变换都是数学中的重要工具，用于分析和处理信号和系统。傅里叶变换可以将一个时间域上的信号分解成不同频率的正弦和余弦波，从而更好地理解信号在频域上的特性。它在信号处理、图像处理、通信系统等领域中有着广泛的应用。而拉普拉斯变换则是一种更为通用的变换方法，它可以将一个时间域上的函数转化成一个复平面上的函数，从而更好地描述函数在复平面上的性质。它在控制理论、电路分析、微积分等领域中有着广泛应用。总之，傅里叶变换和拉普拉斯变换都是数学中非常重要的工具，它们为我们研究和理解信号与系统提供了强大的数学工具。

这个你为什么不去问问你的高数老师？？？

1、傅里叶变换的条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。2、拉普拉斯变换的条件：t>=0函数值不为零的连续时间函数x(t)。扩展资料：1、傅里叶变换的应用：（1）傅里叶变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子；（2）傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似；（3）正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。2、拉普拉斯变换的应用：在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。参考资料来源：百度百科-拉普拉斯变换参考资料来源：百度百科-傅里叶变换

1、傅里叶变换的条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。2、拉普拉斯变换的条件：t>=0函数值不为零的连续时间函数x(t)。扩展资料：1、傅里叶变换的应用：（1）傅里叶变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子；（2）傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似；（3）正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。2、拉普拉斯变换的应用：在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。参考资料来源：百度百科-拉普拉斯变换参考资料来源：百度百科-傅里叶变换

先说一下三个变换的定义，写一下公式（包括逆变换）然后说关系：傅立叶变换是最基本得变换，由傅里叶级数推导出。傅立叶级数只适用于周期信号，把非周期信号看成周期T趋于无穷的周期信号，就推导出傅里叶变换，能很好的处理非周期信号的频谱。但是傅立叶变换的弱点是必须原信号必须绝对可积，因此适用范围不广。拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广，傅立叶变换不适用于指数级增长的函数，而拉氏变换相当于是带有一个指数收敛因子的傅立叶变换，把频域推广到复频域，能分析的信号更广。然而缺点是从拉普拉斯变换的式子中，只能看到变量s，没有频率f的概念，要看幅频响应和相频响应，还得令s=j2πfZ变换的本质是离散时间傅里叶变换（DTFT），如果说拉普拉斯变换专门分析模拟信号，那Z变换就是专门分析数字信号，Z变换可以把离散卷积变成多项式乘法，对离散数字系统能发挥很好的作用。Z变换看系统频率响应，就是令Z在复频域的单位圆上跑一圈，即Z=e^(j2πf)，即可得到频率响应。由于傅里叶变换的特性“时域离散，则频域周期”，因此离散信号的频谱必定是周期的，就是以这个单位圆为周期，Z在单位圆上不停的绕圈，就是周期重复。单位圆0°位置是实际频率0HZ，单位圆180度的实际频率就是采样频率的一般,fs/2.*****************************************************考试题目看分数多少，压轴大题的话，就多写点，自己再展开细化一下，我上面也只是点到为止，但内容基本上就是这些。

傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。拉普拉斯变换定义式：设有一时间函数f(t)[0,∞]或0≤t≤∞单边函数其中，S=σ+jω是复参变量，称为复频率。左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为F(s),=mathcalleft=int_^inftyf(t),e^,dt其中积分下标取0-而不是0或0+，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。z变换可将分散的信号（现在主要用于数字信号）从时域转换到频域。作用和拉普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到频域）是一样的。希尔伯特变换一物理可实现系统其传递函数为一解析函数，而其冲激响应必为因果函数(即时，冲击响应为0)。也就是说时域的因果性与频域得解析性是等效的。

傅立叶变换是拉普拉斯变换的一种特例，在拉普拉斯变换中，只要令Re[s]=1,就得到傅立叶变换。当然，两者可以转换的前提是信号的拉普拉斯变换的收敛域要包含单位圆（即包含圆周上的点）。 很多信号都不一定有傅立叶变换，因为狄力克雷条件比较苛刻，而绝大多数信号都有拉普拉斯变换。故对于连续信号，拉普拉斯变换比傅立叶变换用得更广泛。傅立叶变换 中文译名 Transformée de Fourier有多种中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“傅立叶变换”、“付立叶变换”、“富里叶变换”、“富里哀变换”等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。 应用 傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 概要介绍 * 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的（参见：林家翘、西格尔著《自然科学中确定性问题的应用数学》，科学出版社，北京。原版书名为 C. C. Lin & L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan Inc., New York, 1974）。 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; * 卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段; * 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)). 基本性质 线性性质 两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数f left( x ight )和g left(x ight)的傅里叶变换mathcal[f]和mathcal[g]都存在，α 和 β 为任意常系数，则mathcal[alpha f+eta g]=alphamathcal[f]+etamathcal[g]；傅里叶变换算符mathcal可经归一化成为么正算符； 频移性质 若函数f left( x ight )存在傅里叶变换，则对任意实数 ω0，函数f(x) e^{i omega_ x}也存在傅里叶变换，且有mathcal[f(x)e^{i omega_ x}]=F(omega + omega _0 ) 。式中花体mathcal是傅里叶变换的作用算子，平体F表示变换的结果（复函数），e 为自然对数的底，i 为虚数单位sqrt； 微分关系 若函数f left( x ight )当|x| ightarrowinfty时的极限为0，而其导函数f"(x)的傅里叶变换存在，则有mathcal[f"(x)]=-i omega mathcal[f(x)] ，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 − iω 。更一般地，若f(pminfty)=f"(pminfty)=ldots=f^{(k-1)}(pminfty)=0，且mathcal[f^{(k)}(x)]存在，则mathcal[f^{(k)}(x)]=(-i omega)^ mathcal[f] ，即 k 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子( − iω)k。 卷积特性 若函数f left( x ight )及g left( x ight )都在(-infty,+infty)上绝对可积，则卷积函数f*g=int_{-infty}^{+infty} f(x-xi)g(xi)dxi的傅里叶变换存在，且mathcal[f*g]=mathcal[f]cdotmathcal[g] 。卷积性质的逆形式为mathcal^[F(omega)G(omega)]=mathcal^[F(omega)]*mathcal^[G(omega)] ，即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积。 Parseval定理 若函数f left( x ight )可积且平方可积，则int_{-infty}^{+infty} f^2 (x)dx = frac{2pi}int_{-infty}^{+infty} |F(omega)|^domega 。其中 F(ω) 是 f(x) 的傅里叶变换。 傅里叶变换的不同变种 连续傅里叶变换 主条目：连续傅立叶变换 一般情况下,若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。 f(t) = mathcal^[F(omega)] = frac{sqrt{2pi}} intlimits_{-infty}^infty F(omega) e^{iomega t},domega. 上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换，即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。反过来,其正变换恰好是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅立叶变换对(transform pair)。 一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）。 当f(t)为奇函数(或偶函数)时,其余弦(或正弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦转换(cosine transform) 或 正弦转换(sine transform). 另一个值得注意的性质是,当f(t) 为纯实函数时,F(−ω) = F(ω)*成立. 傅里叶级数 主条目：傅里叶级数 连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的： f(x) = sum_{n=-infty}^{infty} F_n ,e^ , 其中Fn 为复振幅。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成： f(x) = fraca_0 + sum_{n=1}^inftyleft[a_ncos(nx)+b_nsin(nx) ight], 其中an和bn是实频率分量的振幅。 离散时间傅里叶变换 主条目：离散时间傅里叶变换 离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆。 离散傅里叶变换 主条目：离散傅里叶变换 为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数xn 定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下, 使用离散傅里叶变换，将函数 xn 表示为下面的求和形式： x_n = frac1 sum_{k=0}^ X_k e^{ifrac{2pi} kn} qquad n = 0,dots,N-1 其中Xk是傅里叶振幅。直接使用这个公式计算的计算复杂度为mathcal(n^2)，而快速傅里叶变换（FFT）可以将复杂度改进为mathcal(n log n)。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。 在阿贝尔群上的统一描述 以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一问题属于调和分析的范畴。在调和分析中, 一个变换从一个群变换到它的对偶群(dual group)。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。傅里叶变换的广义理论基础参见庞特里雅金对偶性（英文版）中的介绍。 时频分析变换 主条目：时频分析变换 小波变换，chirplet转换和分数傅里叶转换试图得到时间信号的频率信息。同时解析频率和时间的能力在数学上受不确定性原理的限制。 傅里叶变换家族 下表列出了傅里叶变换家族的成员. 容易发现,函数在时(频)域的离散对应于其像函数在频(时)域的周期性.反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性. 变换 时间 频率 连续傅里叶变换 连续, 非周期性 连续, 非周期性 傅里叶级数 连续, 周期性 离散, 非周期性 离散时间傅里叶变换 离散, 非周期性 连续, 周期性 离散傅里叶变换 离散, 周期性 离散, 周期性 傅里叶变换的基本思想首先由法国学者傅里叶系统提出，所以以其名字来命名以示纪念。 从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅立叶变换属于调和分析的内容。"分析"二字，可以解释为深入的研究。从字面上来看，"分析"二字，实际就是"条分缕析"而已。它通过对函数的"条分缕析"来达到对复杂函数的深入理解和研究。从哲学上看，"分析主义"和"还原主义"，就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子，而原子不过数百种而已，相对物质世界的无限丰富，这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。 在数学领域，也是这样，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是,现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质,使得它如此的好用和有用,让人不得不感叹造物的神奇: 1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子; 2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似; 3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; 4. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段; 5. 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT)). 正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换（英文：Laplace Transform)，是工程数学中常用的一种积分变换。 如果定义： f(t),是一个关于t,的函数，使得当t<0,时候，f(t)=0,； s, 是一个复变量； mathcal 是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分int_0^infty e^ ,dt；F(s),是f(t),的拉普拉斯变换结果。 则f(t),的拉普拉斯变换由下列式子给出： F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt 拉普拉斯逆变换，是已知F(s),，求解f(t),的过程。用符号 mathcal ^ ,表示。 拉普拉斯逆变换的公式是： 对于所有的t>0,； f(t) = mathcal ^ left =frac int_ ^ F(s),e^ ,ds c,是收敛区间的横坐标值，是一个实常数且大于所有F(s),的个别点的实部值。 为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。 用 f(t)表示实变量t的一个函数，F(s)表示它的拉普拉斯变换，它是复变量s＝σ＋j&owega;的一个函数，其中σ和&owega; 均为实变数,j2＝-1。F(s)和f(t)间的关系由下面定义的积分所确定： 如果对于实部σ ＞σc的所有s值上述积分均存在，而对σ ≤σc时积分不存在，便称 σc为f(t)的收敛系数。对给定的实变量函数 f(t)，只有当σc为有限值时，其拉普拉斯变换F(s)才存在。习惯上,常称F(s)为f(t)的象函数,记为F(s)＝L[f(t)];称f(t)为F(s)的原函数,记为ft＝L-1[F(s)]。 函数变换对和运算变换性质 利用定义积分，很容易建立起原函数 f(t)和象函数 F(s)间的变换对，以及f(t)在实数域内的运算与F(s)在复数域内的运算间的对应关系。表1和表2分别列出了最常用的一些函数变换对和运算变换性质。

区别如下：拉普拉斯算子(或拉普拉斯算符)和拉普拉斯变换是两个处理函数的方式，一个是微分，一个是积分，具体形式不写了，可查参考书顾樵《数学物理方法》还有梁昆淼《数学物理方法》。信号与系统里面主要应用的就是拉普拉斯变换。这两种方式对函数处理的出发点和目的是不一样的。拉普拉斯算子是从处理函数的散度、旋度过程中产生的，常用到的是拉普拉斯方程和泊松方程。积分形式是在处理不满足傅里叶变换条件的函数问题过程中引入的，其目的在于从不同的角度或域去观察一个函数。

在物理中，常用于波方程的数学模型、热传导方程以及亥姆霍兹方程。在静电学中，拉普拉斯方程和泊松方程的应用随处可见。在量子力学中，其代表薛定谔方程式中的动能项。

泊松方程或拉普拉斯方程一般是三维的偏微分方程，只有带电体的场呈“球、柱”形对称时，三维方程才退化为低维的微分方程。通过分离变量法可以得到方程的级数解。拉普拉斯方程的基本解满足其中的三维δ函数代表位于的一个点源。 由基本解的定义，若对u作用拉普拉斯算子，再把结果在包含点源的任意体积内积分，那么由于坐标轴旋转不改变拉普拉斯方程的形式，所以基本解必然包含在那些仅与到点源距离r相关的解中。如果我们选取包含点源、半径为a的球形域作为积分域，那么根据高斯散度定理求得在以点源为中心，半径为r的球面上有所以经过类似的推导同样可求得二维形式的解 格林函数是一种不但满足前述基本解的定义，而且在体积域V的边界S上还满足一定的边界条件的基本解。譬如，可以满足现设u为在V内满足泊松方程的任意解:且u在边界S上取值为g，那么我们可以应用格林公式（是高斯散度定理的一个推论），得到un和Gn分别代表两个函数在边界S上的法向导数。考虑到u和G满足的条件，可将上式化简为所以格林函数描述了量f和g对(x",y",z")点函数值的影响。格林函数在半径为a的球面内的点上得值可以通过镜像法求得（Sommerfeld, 1949）：距球心ρ的源点P的通过球面的“反射镜像”P"距球心需要注意的是，如果P在球内，那么P"将在球外。于是可得格林函数为式中R表示距源点P的距离，R"表示距镜像点P"的距离。从格林函数上面的表示式可以推出泊松积分公式。设ρ、θ和φ为源点P的三个球坐标分量。此处θ按照物理学界的通用标准定义为坐标矢径与竖直轴（z轴）的夹角（与欧洲习惯相同，与美国习惯不同）。于是球面内拉普拉斯方程的解为： 这个公式的一个显见的结论是：若u是调和函数，那么u在球心处的取值为其在球面上取值的平均。于是我们可以立即得出以下结论：任意一个调和函数（只要不是常函数）的最大值必然不会在其定义域的内部点取得。

这是因为：Uxx+Uyy=0，通解为U(x,y)=f(x+iy)+g(x-iy)，你求导就知道为什么了。具体，怎么算。你看看它的通解，是不是跟欧拉公式相似？ 给我邮箱，我给你。 给你了，你邮箱那里

用来确定电位函数中的待定量。

②laplace方程只有在特殊边界条件下存在真解，若要求的真解，请具体给出计算域的边界条件。 ③使用surf函数并不难，需要得到二维数组Z（若laplace方程是二维的，而且方程是直角坐标系下的方程），如果要设置好想x轴，y轴，需要使用meshgrid函数生成二维坐标系xx，yy。即[xx,yy]=meshgrid(x,y)。x,y分别是一维方向的离散数组。再使用surf(xx,yy,Z)就可以得到曲面。

用极坐标、直角坐标变换公式+拉普拉斯方程得来。推倒过程如下：u""xx+u""yy=0x=ρcosα，y=ρsinα∂u/∂ρ=∂u/∂x.∂x/∂ρ+∂u/∂y.∂y/∂ρ=u"x.cosα+u"y.sinα∂²u/∂ρ²=cosα(u""xx.x"ρ+u""xy.y"ρ)+sinα(u""yy.y"ρ+u""yx.x"ρ)=cosα(u""xx.cosα+u""xy.sinα)+sinα(u""yy.sinα+u""yx.cosα)=u""xx.cos²α+2u""xy.sinαcosα+u""yy.sin²αρ²∂²u/∂ρ²=ρ²u""xx.cos²α+2ρ²u""xy.sinαcosα+ρ²u""yy.sin²α.....（1）∂u/∂α=∂u/∂x.∂x/∂α+∂u/∂y.∂y/∂α=u"x.（-ρsinα）+u"y.ρcosα∂²u/∂α²=（-ρsinα）（u""xx.x"α+u""xy.y"α）+ρcosα(u""yx.x"α+u""yy.y"α)-u"x.（ρcosα）-u"y.ρsinα=（-ρsinα）（u""xx.（-ρsinα）+u""xy.ρcosα）+ρcosα(u""yx.（-ρsinα）+u""yy.ρcosα)-ρ[u"x.cosα+u"y.sinα]=（-ρsinα）（u""xx.（-ρsinα）+u""xy.ρcosα）+ρcosα(u""yx.（-ρsinα）+u""yy.ρcosα)-ρ∂u/∂ρ=ρ²sin²αu""xx-2ρ²u""xysinαcosα+ρ²u""yy.cos²α-ρ∂u/∂ρ.........（2）（1）+（2）ρ²∂²u/∂ρ²+∂²u/∂α²=ρ²u""xx（cos²α+sin²α）+ρ²u""yy.（cos²α+sin²α）+2ρ²u""xy.sinαcosα-2ρ²u""xysinαcosα-ρ∂u/∂ρ=ρ²u""xx+ρ²u""yy-ρ∂u/∂ρ=ρ²（u""xx+u""yy）-ρ∂u/∂ρ=-ρ∂u/∂ρρ²∂²u/∂ρ²+∂²u/∂α²+ρ∂u/∂ρ=0∂²u/∂ρ²+(1/ρ²)∂²u/∂α²+(1/ρ)∂u/∂ρ=0扩展资料基本概述一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P=P1-P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。在数理方程中拉普拉斯方程为：，其中∇²为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ：其中∇²称为拉普拉斯算子。拉普拉斯方程的解称为调和函数。如果等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即：则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplaceoperator或简称作Laplacian。参考资料百度百科——拉普拉斯方程

泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀电介质。（电气工程的一位同学正学到的，望采纳，谢谢！）

不知道

拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用 R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差△P= P1- P2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：，式中γ是液体表面张力。该公式称为拉普拉斯方程。 拉普拉斯方程为：，其中 为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ：其中 Δ 称为拉普拉斯算子.

泊松方程是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程。是因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。泊松首先在无引力源的情况下得到泊松方程，△Φ=0（即拉普拉斯方程）；当考虑引力场时，有△Φ=f（f为引力场的质量分布）。后推广至电场磁场，以及热场分布。该方程通常用格林函数法求解，也可以分离变量法，特征线法求解。拉普拉斯方程又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程，因由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。拉普拉斯方程表示液面曲率与液体表面压强之间的关系的公式。1、在静电学中的泊松方程：根据静电学高斯定律阐明，流出一个闭表面的电通量与这闭曲面内含的总电荷量成正比。2、比例常数是电常数的倒数。3、用微分方程式形式表达，泊松方程式综合电位的定义和高斯定律的微分方程式，可以给出电位 V和电荷密度ρ之间的关系方程式，称为泊松方程式：φ代表电势（单位为伏特）， ρ是电荷体密度（单位为库仑/立方米），而ε是真空电容率（单位为法拉/米）。4、如果空间中有某区域没有带电粒子，则假若电荷密度是零，则帕松方程式变为拉普拉斯方程式：如果有一个三维球对称的高斯分布电荷密度ρ(r)：此泊松方程的解Φ(r)则为：erf(x)代表的是误差函数。5、扩展资料：什么是泊松比方程：泊松方程是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程。6、是因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。7、泊松首先在无引力源的情况下得到泊松方程，△Φ=0（即拉普拉斯方程）；当考虑引力场时，有△Φ=f（f为引力场的质量分布）。8、后推广至电场磁场，以及热场分布。9、该方程通常用格林函数法求解，也可以分离变量法，特征线法求解。10、参考资料来源：百度百科——泊松方程参考资料来源：百度百科——静电学。

泊松方程和拉普拉斯方程是势函数的一种二阶偏微分方程。广泛应用于电学、磁学、热学等多种热场的研究与计算。1777年，J.L.拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量mk除以它们到任意观察点P的距离rk,并且把这些商加在一起，其总和即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P点的质点所受总引力的相应分力。1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：,叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。1813年,S.-D.泊松撰文指出,如果观察点P在充满引力物质的区域内部,则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用,并指出导体表面为等热面。静电场的泊松方程和拉普拉斯方程 　若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法/米。

我看过的有两种方法可以推倒出来,第一种方法是可以参照郭硕宏著的<电动力学>后面的附录,比较简单,第二种方法比较繁,给你推倒思路:由x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθ解出r，θ，φ，r＾2＝x＾2＋y＾2＋z＾2，cosθ＝z／r，tanφ＝y／x，再将r，φ分别对x，y，z求偏倒，然后整体求出对x，y，z的一价偏导数，再次偏导可求出拉普拉斯算子的平方在球坐标系下的表示

望采纳！

f(t)?g(t)=∫t0f(u)g(t?u)du(1)。卷积的拉普拉斯变换=拉普拉斯变换后的乘积公式：L[f(t)*g(t)]=F(s)G(s)5输入的拉普拉斯变换（Laplace）×传递系数。

卷积的拉普拉斯变换等于各自拉普拉斯变换的乘积.拉普拉斯乘积的逆变换等于卷积.

卷积的拉普拉斯变换等于各自拉普拉斯变换的乘积.拉普拉斯乘积的逆变换等于卷积.求采纳为满意回答。

fourier变换是将连续的时间域信号转变到频率域；它可以说是laplace变换的特例,laplace变换是fourier变换的推广,存在条件比fourier变换要宽,是将连续的时间域信号变换到复频率域（整个复平面,而fourier变换此时可看成仅在jΩ轴）；z变换则是连续信号经过理想采样之后的离散信号的laplace变换,再令z=e^sT时的变换结果（T为采样周期）,所对应的域为数字复频率域,此时数字频率ω=ΩT.

在复习傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换和卷积等知识时，我发现网上有非常非常多的大牛。他们用通俗易懂的语言来讲解这些复杂的知识，使人豁然开朗。 如果现在还无法理解，为什么要对信号进行傅里叶变换，请看这篇博客，保证秒懂： 傅里叶分析之掐死教程 这篇文章可以帮助回忆周期信号的傅里叶级数及其性质： 傅里叶级数及其性质 这篇文章可以帮助回忆非周期信号的傅里叶变换及其性质（非周期信号也可理解为周期无穷大的周期信号） ： 傅里叶变换及其性质 这篇博客记录了常用信号的傅里叶变换对，文章不仅描写了傅里叶变换的数学表达式，还画出了对应的图形，非常方便理解： 常用傅里叶变换对 这篇文章将常用的傅里叶变换对列成表，方便查询： 常用傅里叶变换对表 这边文章可以帮助回忆离散时间傅里叶变换： 离散时间傅里叶变换 这篇知乎文章可以帮助理解离散傅里叶变换： 如何通俗地解释什么是离散傅里叶变换？ DFT的推导（记录与疑惑） 这边文章可以帮助我们更深入的理解DFT。 一幅图弄清DFT与DTFT,DFS的关系 这篇文章以采样为例子，详细地介绍DFT、DTFT和DFS之间的关系，非常容易理解。 拉普拉斯变换 这篇文章详细介绍了拉普拉斯变换的定义、性质以及和连续时间傅里叶变换的关系。 Z变换 这篇文章详细介绍了Z变换的定义、性质以及和离散时间傅里叶变换的关系。 如果没有理解，为什么可以使用卷积运算来表示线性时不变系统的输出，这边博客将会让人恍然大悟，使人产生相见很晚之感： 如何通俗易懂地解释卷积？ 参考文献： [1]. （一看就懂）傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、卷积的经典文章汇总 [2]. 一幅图弄清DFT与DTFT,DFS的关系 [3]. 傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06

离散信号对应的“拉普拉斯变换”我们成为z变换1.e(kT)=1-e^(-akT)对应连续信号e(t)=1-e^(-at) 1对应z变换为z/z-1 e^(-at)对应z变换为z/z-e^-(aT) 则：e(kT)=1-e^(-akT)对应z变换为z/z-1 -z/z-e^-(aT)2.e(kT)=e^(-akT)*cos(bkT)对应连续信号e(t)=e^(-at)*cos(bt)这个怎么变换我也不会，其实考试不会考这样的，一般来说你只要把常规z变换记住就行了，不需要会推导

以下是我觉得的：1。其实傅里叶没有把实数的东西变成复数了。把一个周期实数函数用傅里叶级数展开，如果用cos和sin，每一个n(这里的n是从0到正无穷)对应两个实数系数an（cos项前面的系数）和bn（sin项前面的系数），有两项，这样很麻烦。于是，动用，欧拉定律，可以把cos和sin都变成指数函数，然后观察到每一个n也得到两项，每项是一个系数乘上一个指数函数。但是好处在于这两项神奇地共扼（指数函数共扼，系数也共扼）啊，只要把n变成从负无穷到正无穷，那么至少看起来就是只有一项了，因为n与－n两项是共扼的。而这里的这个系数，常常是复数，然后，这个系数就叫做这个函数的傅里叶级数表示。而傅里叶变换呢，把积分看成取和吧。2.傅里叶变换为什么好用在于很多计算在傅里叶变换之后变得简单了。比如积分，微分，成了乘法和除法。也因此，在数学里面，这本身就是一种解微分方程的方法。但是，它有个缺陷，收敛的条件很苛刻，这样有的系统没法进行傅里叶变换。拉普拉斯就狠了，都能变（但在某个范围内成立，且这个范围很重要，表达式相同，范围不同可能意味着不同系统），这意味着，那些通过傅里叶变换变换获得的简单，对于大多数系统都能用了。3。z变换是离散傅里叶变换的推广。4。拉普拉斯的两个用途：它的收敛区域隐含着有关系统是否稳定的信息，还有其他有趣的信息。还有就是上面说的简化解系统方程，尤其是在电路里面，因为kcl和kvl这些家伙在s域都成立。5。傅里叶变换首先也是可以简化运算，因为它其实就是s为纯虚数时候的拉普拉斯变换。而傅里叶变换还有个作用就是分析稳定系统的频率响应。这是因为我们常见的大多数信号的傅里叶变换都是收敛的，所以傅里叶就够用了。而系统稳不稳定呢，先用拉普拉斯去分析，因为不管你稳不稳，我都能变换。稳定了，我们再回来分析你的频率响应。

（1）傅里叶变换的充分条件：函数f(t)在无限区间上绝对可积。引入广义函数的概念后，许多绝对不可积的函数傅里叶变换也存在。（2）拉普拉斯变换条件：函数f(t)在有限区间内可积；|f(t)|乘上衰减因子后，t趋于无穷的时候趋于0。

同学，第一个你把拉普拉斯算子（二姐微分算子）定义理解错了△f=▽▽f再算一遍吧。

拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径r1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径r2，用r1与r2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差△p=p1-p2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：　　在数理方程中，拉普拉斯方程为：△u=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中△为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ：　　上面的方程常常简写作：　　或　　其中div表示矢量场的散度（结果是一个标量场），grad表示标量场的梯度（结果是一个矢量场），或者简写作：　　其中δ称为拉普拉斯算子.　　拉普拉斯方程的解称为调和函数。　　如果等号右边是一个给定的函数f(x,y,z)，即：　　则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子或δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是laplaceoperator或简称作laplacian。　　拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域d内定义的函数φ，使得在d的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。　　拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域d边界处的温度函数φ本身，而是φ沿d的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。　　拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。　　在流场中的应用　　设u、v分别为满足定常、不可压缩和无旋条件的流体速度场的x和y方向分量（这里仅考虑二维流场），那么不可压缩条件为：　　无旋条件为：　　若定义一个标量函数ψ，使其微分满足：　　那么不可压缩条件便是上述微分式的可积条件。积分的结果函数ψ称为流函数，因为它在同一条流线上各点的值是相同的。ψ的一阶偏导为：　　无旋条件即令ψ满足拉普拉斯方程。ψ的共轭调和函数称为速度势。柯西-黎曼方程要求　　所以每一个解析函数都对应着平面内的一个定常不可压缩无旋流场。解析函数的实部为速度势函数，虚部为流函数。

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拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用 R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差△P= P1- P2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：▽p=γ（1/R1+1/R2）式中γ是液体表面张力。该公式成为拉普拉斯方程。在数理方程中　　拉普拉斯方程为：▽u=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中 ▽ 为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ： 　　其中 ▽ 称为拉普拉斯算子. 　　拉普拉斯方程的解称为调和函数。 　　如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即： 　　则该方程称为泊松方程。 拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子或 ▽（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是 Laplace operator 或简称作 Laplacian。狄利克雷问题　　拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得在D的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。诺伊曼边界条件　　拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。拉普拉斯方程的解　　称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。编辑本段二维拉普拉斯方程　　两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式： 　　函数h (x,y) 为二元函数，h(x,y) 对x的二阶偏导数 + h(x,y)对y的二阶偏导数 = 0解析函数　　解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。换言之，若z = x + iy，并且 　　那么f(z)是解析函数的充要条件是它满足下列柯西-黎曼方程：f（z） = u(x,y) + iv(x ,y) 　　u 对x的偏导数 = v 对y 的偏导数 ， u 对y 的偏导数 = - （v 对 x 的偏导数） 　　上述方程继续 求导就得到 　　所以u 满足拉普拉斯方程。类似的计算可推得v 同样满足拉普拉斯方程。 　　反之，给定一个由解析函数（或至少在某点及其邻域内解析的函数）f(z)的实部确定的调和函数，若写成下列形式： 　　则等式 　　成立就可使得柯西-黎曼方程得到满足。 上述关系无法确定ψ，只能得到它的微增量表达式： 　　φ满足拉普拉斯方程意味着ψ满足可积条件： 　　所以可以通过一个线积分来定义ψ。可积条件和斯托克斯定理的满足说明线积分的结果与积分经过的具体路径无关，仅由起点和终点决定。于是，我们便通过复变函数方法得到了φ和ψ这一对拉普拉斯方程的解。这样的解称为一对共轭调和函数。这种构造解的方法只在局部（复变函数f(z)）的解析域内）有效，或者说，构造函数的积分路径不能围绕有f(z)的奇点。譬如，在极坐标平面(r,θ)上定义函数 　　那么相应的解析函数为 　　在这里需要注意的是，极角θ 仅在不包含原点的区域内才是单值的。 　　拉普拉斯方程与解析函数之间的紧密联系说明拉普拉斯方程的任何解都无穷阶可导（这是解析函数的一个性质），因此可以展开成幂级数形式，至少在不包含奇点的圆域内是如此。这与波动方程的解形成鲜明对照，后者包含任意函数，其中一些的可微分阶数是很小的。 　　幂级数和傅里叶级数之间存在着密切的关系。如果我们将函数f 在复平面上以原点为中心，R 为半径的圆域内展开成幂级数，即 　　将每一项系数适当地分离出实部和虚部 　　那么 　　这便是f 的傅里叶级数。三维情况下　　拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ： 　　上面的方程常常简写作： 　　或

        朴素贝叶斯算法中的拉普拉斯平滑，是为了缓解先验概率为零的情况。在贝叶斯估计中，使用狄利克雷分布作为先验分布，来估计多项分布中的参数值，即可得到拉普拉斯平滑。证明如下：         引入狄利克雷分布的定义，若随机向量符合狄利克雷分布，即  ，其中  ，设 ，则   的概率密度函数为：    下面计算随机向量   的分量   的期望。我们通过计算   来代替，这仍然不失一般性。  的概率密度函数为： 的期望为：故，         引入多项分布的定义，若随机向量满足多项分布，即   ，其中  ，则   的分布律为：        在多项分布参数的贝叶斯估计中，使用狄利克雷分布作为先验分布。设  为狄利克雷分布的概率密度函数，  为多项分布的分布律，则后验分布为：        由于多项分布的后验分布也是狄利克雷分布，故狄利克雷分布是多项分布的共轭分布。由此可得多项分布参数   的贝叶斯估计值为：        设   为数据集中的样本，  为样本特征向量，  为分类变量。   为数据集样本数，  为分类个数，  表示第  个分类，  表示数据集中第   个分类的样本数。现在要根据数据集来估计分类的先验概率 。         由于  ，所以这是一个多项分布的参数估计问题。使用上面已经证明的多项分布参数的贝叶斯估计，并设  ，则：        根据数据集估计特定分类下特征值的先验概率，其实就是在该分类的子数据集中进行多项分布的参数估计。按照上面相同的方法，设   为特征个数，   为第   个特征包含的值个数，  为第  个特征的第  个值，  为第  个分类的数据集中第  个特征取第   个值的样本数，则：        这就证明了朴素贝叶斯算法中的拉普拉斯平滑。

拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径r1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径r2，用r1与r2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差△p=p1-p2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：　　在数理方程中，拉普拉斯方程为：△u=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中△为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ：　　上面的方程常常简写作：　　或　　其中div表示矢量场的散度（结果是一个标量场），grad表示标量场的梯度（结果是一个矢量场），或者简写作：　　其中δ称为拉普拉斯算子.　　拉普拉斯方程的解称为调和函数。　　如果等号右边是一个给定的函数f(x,y,z)，即：　　则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子或δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是laplaceoperator或简称作laplacian。　　拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域d内定义的函数φ，使得在d的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。　　拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域d边界处的温度函数φ本身，而是φ沿d的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。　　拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。　　在流场中的应用　　设u、v分别为满足定常、不可压缩和无旋条件的流体速度场的x和y方向分量（这里仅考虑二维流场），那么不可压缩条件为：　　无旋条件为：　　若定义一个标量函数ψ，使其微分满足：　　那么不可压缩条件便是上述微分式的可积条件。积分的结果函数ψ称为流函数，因为它在同一条流线上各点的值是相同的。ψ的一阶偏导为：　　无旋条件即令ψ满足拉普拉斯方程。ψ的共轭调和函数称为速度势。柯西-黎曼方程要求　　所以每一个解析函数都对应着平面内的一个定常不可压缩无旋流场。解析函数的实部为速度势函数，虚部为流函数。

高斯拉普拉斯算子（LOG，Laplacian of Gaussian）常用于边缘/角点检测。其原理是利用拉普拉斯算子识别图像中灰度值变化速度极大值点，利用高斯核平滑图像、以降低拉普拉斯算子对噪声敏感带来的问题。 所以，LOG是由高斯函数和拉普拉斯算子组成的。以下将介绍 1）高斯函数 2）拉普拉斯算子 3）二者结合的必要性 4）LOG的平替 高斯函数卷积核与图像进行卷积，目的是为了 平滑图像 ，这个卷积过程也常被成为【高斯平滑】。实质是 以高斯函数的积分值作为权重对卷积区域的点进行加权求和 ，卷积区域的中心点对应的权重对应高斯函数对称轴附件区域的积分值，权重最高。所以此平滑方法能够有效地刻画【边缘效应】。 高斯函数公式： 其中， 为标准差，其值越大，平滑程度越大 。可以根据高斯函数曲线去理解，标准差越大，曲线越矮胖，邻域像素值的权重也就越大。 如何确定高斯核的大小呢？研究表明，距离中心点 范围外的点一般作用很小，所以 高斯核尺寸通常为 。 拉普拉斯算子是对图像 求两个方向的二阶导数之和 ，其中 为图像像素的灰度值 。 求导，可以获得局部区域的灰度值变化幅度，从而检测出边缘/角点。至于为什么求二阶导而不是一阶导，是因为一阶导之后求的是极值，二阶导之后求的是零点，零点比极值更方便获得。 首先， 求导使计算对噪点变得很敏感 ，需要在求导之前先进行图像平滑。 其次，先对图像进行高斯卷积，再进行拉普拉斯算子卷积，两次卷积会产生较大计算量。而根据卷积运算的结合律，可以先计算高斯函数与拉普拉斯算子，形成一个卷积核，然后对图像进行一次卷积，大大 减小计算量 。 我们常用DOG（Difference of Gaussian）来近似LOG，这是将两个大小不同的高斯核与图像分别卷积后进行差分，可以产生一种LOG的平方近似。在 计算速度上有较大的提高 。参考文献 https://zhuanlan.zhihu.com/p/92143464  http://jgwu.top/blogs/Laplacian-of-Gaussian-LOG-%E9%AB%98%E6%96%AF%E6%8B%89%E6%99%AE%E6%8B%89%E6%96%AF%E7%AE%97%E5%AD%90/ 

解析函数和共轭调和函数是互为充要的，而u,v是调和函数不一定解析，但是解析又u,v一定是调和函数。满足C-R方程的就称v是u的共轭调和函数 ，但是调和函数呢，只要满足拉普拉斯算子就可以了。公式：C-R方程： du/dx=dv/dy ,du/dy=-dv/dx 则v是u的共轭调和函数 （d为偏导）拉普拉斯算子： u对x的二次偏导+u对y的二次偏导=0 （v也一样） 满足就为调和函数

在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。例如，n=2时,调和函数u(x,y)在某平面区域内满足方程若所考虑的区域包含一个闭圆域，例如x+y≤R，则有下列关于调和函数的平均值公式：即u(x,y)在圆心的值等于圆周上的积分平均值。更一般地，圆内任何一点x=rcosφ，y=rsinφ(0≤r<R)处调和函数 u=u(r, φ)的值可以由下列泊松公式给出：形如上式右端的积分称作泊松积分。设u(x,y)为平面区域G中的调和函数,且在G的闭包上连续,则借助于平均值公式可以证明,它不能在G 的内部取其最大值与最小值，除非它恒等于一常数。这就是调和函数的最大、最小值原理。由泊松积分出发可解决下列狄利克雷问题：在区域G的边界G上给定一连续函数 ƒ(x,y)，要求给出G中的调和函数u(x,y)，使其在嬠G上取ƒ(x,y)的值，即在G的边界嬠G满足一定的条件下,这个问题的解存在且惟一。对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和惟一性定理。二维调和函数与解析函数论有着密切联系。在某区域内的调和函数一定是该区域内某解析函数(可能多值)的实部或虚部；反之，某区域内的解析函数其实部与虚部都是该区域内的调和函数，并称其虚部为实部的共轭调和函数。用复数z=x+iy的记法,将u(x,y)写成u(z),若u(z)在│z│<R内调和，在│z│≤R上连续，则泊松公式就成为(0≤r<R)。对于任何α,│α│<R，此式还可写成泊松积分是近代复变函数论中一个重要的研究工具，由此出发，可得出函数论中一系列重要结果。