傅里叶变换与拉普拉斯变换的条件是什么？

符号函数不是绝对可积的函数，不存在常义下的傅里叶变换。在考虑广义函数的条件下是可求的，但不能用定义式F(jw)=∫f(t)e^{-jwt}dt来求，可以这样求：首先已知F{δ(t)}=1，且2δ(t)=d(sgn(t))/dt。根据频域微分定理F{f"(t)}=jwF{f(t)}，有F{2δ(t)}=jwF{sgn(t)}，得到F{sgn(t)}=2/(jw)

f（t）=t不满足绝对可积，不符合傅里叶变换的存在条件 所以不存在傅里叶变换。1、傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。2、尽管最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！3、傅里叶变换是数字信号处理中的基本操作，广泛应用于表述及分析离散时域信号领域。但由于其运算量与变换点数N的平方成正比关系，因此，在N较大时，直接应用DFT算法进行谱变换是不切合实际的。然而，快速傅里叶变换技术的出现使情况发生了根本性的变化。4、傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。

对于tf(2t)，应先利用尺度变换性质求f(2t)的频谱为F(w/2)/2，然后再利用线性加权性质（或频域微分性质）求，对上一个结果以w为变量进行微分，再乘以虚数因子j，结果为jF`(w/2)/4。 对于第二个则先利用时域微分性质求出df(t)/dt的变换为jwF(w)，然后再利用线性加权性质求，对jwF(w)以w为变量进行微分，再乘以虚数因子j，结果为-F(w)-wF`(w)。 快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。 它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。

f(t)=(e^jw0t)u(t) F(w)=1/[j(w-w0)]傅里叶变换就是把信号表示成正弦波的叠加。经过傅里叶变换，信号f(t)变为F(w)，F(w)的大小表征了频率为w的正弦波的强度。数学上，我们说正弦波是正交的，意思是e^(jwt) e^(-jw"t)积分后是delta函数，w"=w时为无穷大，否则为0。试 类比矢量的正交，设x,y分别是二维空间里两个方向的单位矢量，他们正交是指他们之间的点积x.x=y.y=1, x.y=0。 现在请把e^(jwt) e^(-jw"t)的积分看做两个正弦波e^(jwt)和e^(jw"t)的“点积”。一般一些的话，两个任意信号f1和f2的“点积”就定义为f1乘上f2的共轭，再积分。对一个矢量v，它和x的点积v.x就是 矢量v在x方向上的分量大小。类比两个信号的“点积”， 正弦波就相当于单位矢量。

sinc函数有两个定义，有时区分为归一化sinc函数和非归一化的sinc函数。它们都是正弦函数和单调递减函数 1/x的乘积：sinc(x) = sin(pi * x) / (pi *x);归一化rect xsinc函数与窗函数的傅里叶变换对 根据傅里叶变换的对称性质 sinc函数的傅里叶变换的形式就是一个系数1/2π乘以一个窗函数啦 矩形函数与sinc函数互为傅里叶变换。有公式sinc(σt/2π)↔(2π/σ) rect (ω/σ)。 所以你的这个变换为rect(ω/2π)或者为rect(f)MATLAB可以实现傅里叶变换问题

本题利用了卷积定理求解。扩展资料：卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。F(g(x)*f(x)) = F(g(x))F(f(x))其中F表示的是傅里叶变换。这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换（参见Mellin inversion theorem）等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为n的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做2n- 1组对位乘法，其计算复杂度为；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。参考资料来源：百度百科-卷积

t的傅里叶变换为(i/2pi)&(f) 1/t傅里叶变换为 -i*pi*sgn(f) 其中pi为3.1415926 &(f)为狄拉克函数 sgn（f）为符号函数 i的平方等于1。 sintcost=1/2sin2tF(1/2sin2t)=∫(-∞，+∞) 1/2sin2t · e^-jwt dt用欧拉公式可得原式=1/2∫(-∞，+∞) j/2( e^-2jt - e^2jt )e^-jwt dt=j/4∫(-∞，+∞) e^-j(w+2)t - e^-j(w-2)t dt用δ函数的傅氏变换 得原式=j/2 π[δ(w+2)-δ(w-2)]欧拉公式: sin2t=j/2 (e^-2jt - e^2jt)δ函数的傅氏变换:F(e^jw。t)=∫(-∞，+∞) e^j(w。-w)t dt =2πδ(w。-w)。

看

MATLAB 傅里叶变换：傅立叶变换的分类：傅立叶级数：将周期性连续函数变换为离散频率点上的函数（连续）傅立叶变换：将连续函数变换为连续频率的函数离散时间傅立叶变换：将离散函数变换为连续频率的函数离散傅立叶变换：将有限长离散函数变换为离散频率点上的函数其中FFT是离散傅立叶变换的快速计算方法，适用于离散信号，并且注意变换后的点数与信号的采样点数一致。尽管可以将信号补0，但补0不能提高频域的分辨率。matlab中提供了函数fft做一维的FFT。时域谱和频域谱是相互对应；时域的信号长度，决定频域的采样间隔，它们成导数关系；时域中信号有N点，每点间隔dt，所以时域信号长度为N*dt；那么频谱每点的间隔就是1/(N*dt)。傅立叶变换结果和原来信号有相同的点数，所以m=N，又第一点一定对应0频率，所以频域信号的很坐标就是(0:m-1)/(N*dt)，这句就是根据这个很坐标和频谱c，画出频谱plot((0:m-1)/(N*dt),c），所以在频谱图上，可以根据峰值的位置的横坐标读出对应的频率。clear all;N=256;dt=0.02;n=0:N-1;t=n*dt;x=sin(2*pi*t);m=N;a=zeros(1,m);b=zeros(1,m);for k=0:m-1for ii=0:N-1a(k+1)=a(k+1)+2/N*x(ii+1)*cos(2*pi*k*ii/N);b(k+1)=b(k+1)+2/N*x(ii+1)*sin(2*pi*k*ii/N);endc(k+1)=sqrt(a(k+1)^2+b(k+1)^2);endsubplot(211);plot(t,x);title("原始信号"),xlabel("时间/t");f=(0:m-1)/(N*dt);subplot(212);plot(f,c);hold ontitle("Fourier");xlabel("频率/HZ");ylabel("振幅");ind=find(c==max(c),1,"first");%寻找最到值的位置x0=f(ind); %根据位置得到横坐标（频率）y0=c(ind); %根据位置得到纵坐标（幅度）plot(x0,y0,"ro");hold offtext(x0+1,y0-0.1,num2str(x0,"频率=%f"));向左转|向右转

如图

*在这个地方不是指卷积吧？cos(w0t)=(e^(jw0t)+e^(-jw0t))/2f(t)=u(t)·(e^(jw0t)+e^(-jw0t))/2 这个地方用到的是傅里叶变换的频移特性另外这个题目还可以用时域相乘对应于频域卷积的性质来解决cos(w0t)↔π[δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)]F(ω)=U(ω)卷积π[δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)]/2π基本的傅里叶变换对和傅里叶变换的十二个性质一定要熟记

f(t)＝2δ(t-1) 已知 F(δ(t))=1 根据时间偏移法则 F(δ(t-1))=exp(jw) F(f(t))=F(2δ(t-1))=2exp(jw)=2cos(w)+2jsin(w)

该函数图像可看做将单位阶跃函数u(t)图像关于原点对称后，再向右平移一个单位得到的。令g(t)为u(t)图像关于原点对称的函数，即g(t)=-u(-t)。根据相似性定理，g(t)的傅里叶变换g（w)=-u(-w),u(w)为u(t)的傅里叶变换=(1/jw)+πδ（w)，又因为δ（w)为偶函数，所以g（w)=(1/jw)-πδ（w)。因为f(t)=g(t-1)，根据位移性质，f(t)的傅里叶变换f（w)=e^(-jw)*g(w)=-e^(-jw)*(πδ（w)-1/jw),即频谱。

用三倍角公式化简

傅里叶变换后的序列为F(w)=|F(w)|*e(j*f(w))。其中|F(w)|与w的关系就是幅度谱，f(w)与w的关系就是相位谱。让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶（Baron Jean Baptiste Joseph Fourier，1768年3月21日-1830年5月16日），法国欧塞尔人，著名数学家、物理学家。人物生平：傅里叶生于法国中部欧塞尔（Auxerre）一个裁缝家庭，9岁时沦为孤儿，被当地一主教收养。1780年起就读于地方军校，1795年任巴黎综合工科大学助教，1798年随拿破仑军队远征埃及，受到拿破仑器重，回国后于1801年被任命为伊泽尔省格伦诺布尔地方长官 。

傅里叶变换中的a计算：a=（1，-2，3），b=（0，4，-5），a×b=（-2*（-5）-3*4，-（1*（-5）-0*3），1*4-0*（-2））=（-2，5，4）。因为c与a、b都垂直，因此c=λa×b=λ*（-2i+5j+4k），其中λ为任意实数。令信号序列的长度为N=2，其中M是正整数，可以将时域信号序列x(n)分解成两部分，一是偶数部分x（2n），另一是奇数部分x（2n+1），于是信号序列x(n）的离散傅里叶变换可以用两个N/2抽样点的离散傅里叶变换来表示和计算。有关傅里叶变换傅里叶变换是数字信号处理中的基本操作，广泛应用于表述及分析离散时域信号领域。但由于其运算量与变换点数N的平方成正比关系，因此，在N较大时，直接应用DFT算法进行谱变换是不切合实际的。然而，快速傅里叶变换技术的出现使情况发生了根本性的变化。本文主要描述了采用FPGA来实现2k/4k/8k点FFT的设计方法。

1/t傅里叶变换为 -i*pi*sgn(w)其中pi为3.1415926&(f)为狄拉克函数sgn(w)为符号函数i的平方等于1！

这样

符号函数不是绝对可积的函数，不存在常义下的傅里叶变换。在考虑广义函数的条件下是可求的，但不能用定义式F(jw)=∫f(t)e^{-jwt}dt来求，可以这样求：首先已知F{δ(t)}=1，且2δ(t)=d(sgn(t))/dt。根据频域微分定理F{f"(t)}=jwF{f(t)}，有F{2δ(t)}=jwF{sgn(t)}，得到F{sgn(t)}=2/(jw)

根据欧拉公式，cosω0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2。我们知道，直流信号的傅里叶变换是2πδ(ω)。根据频移性质可得exp(jω0t)的傅里叶变换是2πδ(ω-ω0)。再根据线性性质，可得cosω0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2的傅里叶变换是πδ(ω-ω0)+πδ(ω+ω0)。

http://jpkc.wyu.edu.cn/xhyxt/kejian/chapter3/3.3.3.htm

这到是很复杂的 只要大概知道就行了 不 用弄的那么清楚 就象是 拉普拉丝变换 由时间变到空间的的 不用太研究

单位阶跃函数 u(t) 可以写成常数1和符号函数的和除以2。 （见图。）u(t)={1+ sgn(t)}/2常数1的傅里叶变换是纯实的， 等于2πδ（w）。符号函数的定义是：sgn(t)=1, 当 t>=0; =-1 当 t<0.它是一奇函数。奇函数的傅里叶变换是纯虚的， 等于2(1/jw) 。所以： u(t)={1+ sgn(t)}/2 的傅里叶变换 = (2πδ(w)+ 2(1/jw))/2 = πδ(w)+ (1/jw)

求f(x)=sinw0t的傅里叶变换（w0为了与w区分）根据欧拉公式得sinw0t=(e^jw0t-e^(-jw0t)/(2j)因为直流信号1的傅里叶变换为2πδ(w)而e^jw0t是直流信号傅里叶变换的频移所以e^jw0t的傅里叶变换为2πδ(w-w0),同理e^(-jw0)的傅里叶变换为2πδ(w+w0)所以F(jw)=[πδ(w-w0)-πδ(w+w0)]/j

F[(1-t)f(1-t)]=F[f(1-t)]-F[tf(1-t)]=e^(iω)F[f(-t)-tf(-t)]=e^(iω)[F(-ω)-iF"(-ω)]

如果函数本身就是正弦或者余弦那么他的傅里叶分解就是他本身只需要将f(t)降次就可以了利用倍角公式和积化和差公式过程如下：

1.对于时间序列，可以展开成傅立叶级数，进行频谱分析。对于时间序列xt其傅立叶级数展开式为展开成傅立叶级数：2.傅立叶分析工具应用操作步骤：（1）输入数据并中心化：时间、时间序号t、观测值xt、中心化(减x平均值）、求频率fi(=i/N).（2）由傅立叶分析工具求中心化数据序列的傅立叶变换。（3）IMREAL和IMAGINARY提取实部和虚部，按公式5计算频率强度（或由IMCONJUGATE求得共轭复数，再由IMPRODUCT求得两共轭复数乘积，得频率强度。（4）以频率为横坐标、频率强度为纵坐标，绘制频率强度图。（5）分析周期性。由频率强度最大的所对应的频率倒数即得周期。3.由图可见，序列显现周期性变化，在整个时期范围内，周期为4.下面利用傅立叶分析工具进行频谱分析。（1）在B18单元格输入“=AVERAGE(B2:B17)”求得观测值的平均值；在C2单元格输入“=B2/B$18”，将观测值中心化（均值为0,并仍保持原序列的方差），并复制到C3:C17。（2）从“数据”选项卡选择“数据分析”｜选择“傅利叶分析”弹出对话框并设置如（3）单击“确定”生成傅立叶变换序列（图 20‑2 D列）。（4）在E2单元格输入“=IMCONJUGATE(D2)”求得傅利叶变换值的共轭复数，并复制到E3:E17；在F3至F17输入1至15,列出周期序列；在G3单元格输入“=F3/16”求得频率，并复制到G4:G17；在H3单元格输入“=IMPRODUCT(D3:E3)*8”（即根据公式5）求得频率强度，并复制到H4:H17。（5）以G3:H17为源数据，插入散点图，得图 20‑4所示频率强度频谱图。 由图可见，图形完全对称，通常只取左半部分。频率强度最大的所对应的频率为0.25,其倒数为4,即周期为4.

F【f(2x)】=1/2 * F(w/2) F【x^3f(2x)】=i^3 * (1/2 * F(w/2))"""=-i/16F"""(w/2)

首先，我们需要确定函数 Sa(t) 和 Sa(2t) 的傅里叶变换，这里采用标准的傅里叶变换公式：F(w) = ∫f(t)e^(-jwt)dtf(t) = (1/2π)∫F(w)e^(jwt)dw其中，f(t) 表示函数在时域上的表达式，F(w) 表示函数在频域上的表达式，j 表示虚数单位。根据傅里叶变换的线性性质，我们可以先分别求出 Sa(t) 和 Sa(2t) 的傅里叶变换，然后再将它们相乘即可求得卷积+f(t)的傅里叶变换。首先，Sa(t) 的傅里叶变换为：F1(w) = ∫Sa(t)e^(-jwt)dt= ∫(1/t)sin(t/2)e^(-jwt)dt= (2/π)(w/(w^2+1))其中，我们使用了三角函数的傅里叶变换公式。其次，Sa(2t) 的傅里叶变换为：F2(w) = ∫Sa(2t)e^(-jwt)dt= (1/2)∫Sa(u)e^(-j(w/2)u)du （令 u=2t）= (1/2)F1(w/2)= (2/π)(w/(4+w^2))最后，将 F1(w) 和 F2(w) 相乘得到卷积+f(t)的傅里叶变换 F(w)：F(w) = F1(w) × F2(w)= (8/π)w/((w^2+1)(w^2+4))根据傅里叶变换的反演公式，我们可以将 F(w) 转换回时域的表达式：f(t) = (1/2π)∫F(w)e^(jwt)dw= (2/π)∫w/(w^2+1) × w/(w^2+4) × e^(jwt)dw这个积分比较复杂，可以采用偏微积分的方法进行求解。最终得到：f(t) = (1/2)e^(-t/2) × (sin(t) + cos(t))因此，卷积+f(t)的表达式为：f(t) = (1/2)e^(-t/2) × (sin(t) + cos(t))

设x（N）为N点有限长离散序列，代入式（8－3）、式（8－4），并令 其傅里叶变换（DFT）为地球物理数据处理基础反变换（IDFT）为地球物理数据处理基础两者的差异只在于W的指数符号不同，以及差一个常数1/N，因此下面我们只讨论DFT正变换式（8－5）的运算量，其反变换式（8－6）的运算是完全相同的。一般来说，W是复数，因此，X（j）也是复数，对于式（8－5）的傅里叶变换（DFT），计算一个X（j）值需要N次复数乘法和N－1次复数加法。而X（j）一共有N个值（j＝0，1，…，N－1），所以完成整个DFT运算总共需要N2次复数乘法和N（N－1）次复数加法。直接计算DFT，乘法次数和加法次数都是与N2成正比的，当N很大时，运算量会很大，例如，当N＝8时，DFT需64次复数乘法；而当N＝1024时，DFT所需乘法为1048576次，即一百多万次的复数乘法运算，对运算速度要求高。所以需要改进DFT的计算方法，以减少运算次数。分析Wjk，表面上有N2个数值，由于其周期性，实际上仅有N个不同的值W0，W1，…，WN－1。对于N＝2m时，由于其对称性，只有N/2个不同的值W0，W1，…，地球物理数据处理基础因此可以把长序列的DFT分解为短序列DFT，而前面已经分析DFT与N2成正比，所以N越小越有利。同时，利用ab＋ac＝a（b＋c）结合律法则，可以将同一个Wr对应的系数x（k）相加后再乘以Wr，就能大大减少运算次数。这就是快速傅里叶变换（FFT）的算法思路。下面，我们来分析N＝2m情况下的FFT算法。1.N＝4的FFT算法对于m＝2，N＝4，式（8－5）傅里叶变换为地球物理数据处理基础将式（8－7）写成矩阵形式地球物理数据处理基础为了便于分析，将上式中的j，k写成二进制形式，即地球物理数据处理基础代入式（8－7），得地球物理数据处理基础分析Wjk的周期性来减少乘法次数地球物理数据处理基础则 代回式（8－9），整理得地球物理数据处理基础上式可分层计算，先计算内层，再计算外层时就利用内层计算的结果，可避免重复计算。写成分层形式地球物理数据处理基础则X（j1 j0）＝X2（j1 j0）。上式表明对于N＝4的FFT，利用Wr的周期关系可分为m＝2步计算。实际上，利用Wr的对称性，仍可以对式（8－11）进行简化计算。考虑到地球物理数据处理基础式（8－11）可以简化为地球物理数据处理基础令j＝j0；k＝k0，并把上式表示为十进制，得地球物理数据处理基础可以看到，完成上式N＝4的FFT计算（表8－1）需要N·（m－1）/2＝2次复数乘法和N·m＝8次复数加法，比N＝4的DFT算法的N2＝16次复数乘法和N·（N－1）＝12次复数加法要少得多。表8－1 N＝4的FFT算法计算过程注：W0＝1；W1＝－i。［例1］求N＝4样本序列1，3，3，1的频谱（表8－2）。表8－2 N＝4样本序列2.N＝8的FFT算法类似N＝4的情况，用二进制形式表示，有地球物理数据处理基础写成分层计算的形式：地球物理数据处理基础则X（j2 j1 j0）＝X3（j2 j1 j0）。对式（8－14）的X1（k1 k0 j0）进行展开，有地球物理数据处理基础还原成十进制，并令k＝2k1＋k0，即k＝0，1，2，3，有地球物理数据处理基础用类似的方法对式（8－14）的X2（k0 j1 j0），X3（j2 j1 j0）进行展开，整理得地球物理数据处理基础用式（8－16）、式（8－17）逐次计算到X3（j）＝X（j）（j＝0，1，…，7），即完成N＝23＝8的FFT计算，其详细过程见表8－3。表8－3 N＝8的FFT算法计算过程注：对于正变换 对于反变换 所 ［例2］求N＝8样本序列（表8－4）x（k）＝1，2，1，1，3，2，1，2的频谱。表8－4 N＝8样本序列3.任意N＝2m的FFT算法列出N＝4，N＝8的FFT计算公式，进行对比地球物理数据处理基础观察式（8－18）、式（8－19），不难看出，遵循如下规律：（1）等式左边的下标由1递增到m，可用q＝1，2，…，m代替，则等式右边为q－1；（2）k的上限为奇数且随q的增大而减小，至q＝m时为0，所以其取值范围为k＝0，1，2，…，（2m－q－1）；（3）j的上限为奇数且随q的增大而增大，且q＝1时为0，其取值范围为j＝0，1，2，…，（2q－1－1）；（4）k的系数，在等式左边为2q，等式右边为2q－1（包括W的幂指数）；（5）等式左边序号中的常数是2的乘方形式，且幂指数比下标q小1，即2q－1；等式右边m对式子序号中的常数都是定值2m－1。归纳上述规则，写出对于任意正整数m，N＝2m的FFT算法如下：由X0（p）＝x（p）（p＝0，1，…，N－1）开始：（1）对q＝1，2，…，m，执行（2）～（3）步；（2）对k＝0，1，2，…，（2m－q－1）及j＝0，1，2，…，（2q－1－1），执行地球物理数据处理基础（3）j，k循环结束；（4）q循环结束；由Xm（p）（p＝0，1，…，N－1）输出原始序列x（p）的频谱X（p）。在计算机上很容易实现上述FFT算法程序，仅需要三个复数数组，编程步骤如下：（1）设置复数数组X1（N－1），X2（N－1）和 （数组下界都从0开始）；（2）把样本序列x赋给X1，即X1（k）＝x（k）（k＝0，1，…，N－1）；（3）计算W，即正变换 反变换 （4）q＝1，2，…，m，若q为偶数，执行（6），否则执行第（5）步；（5）k＝0，1，2，…，（2m－q－1）和j＝0，1，2，…，（2q－1－1）循环，作X2（2qk＋j）＝X1（2q－1k＋j）＋X1（2q－1k＋j＋2m－1）X2（2qk＋j＋2q－1）＝［X1（2q－1k＋j）－X1（2q－1k＋j＋2m－1）］W（2q－1k）至k，j循环结束；（6）k＝0，1，2，…，（2m－q－1）和j＝0，1，2，…，（2q－1－1）循环，作X1（2qk＋j）＝X2（2q－1k＋j）＋X2（2q－1k＋j＋2m－1）X1（2qk＋j＋2q－1）＝［X2（2q－1k＋j）－X2（2q－1k＋j＋2m－1）］W（2q－1k）至k，j循环结束；（7）q循环结束，若m为偶数，输出X1（j），否则输出X2（j）（j＝0，1，…，N－1），即为所求。

这就是直流信号啊。它的傅里叶变换是F(jω)=2πδ(ω)。具体求法课本上都有的。

求这个函数的傅立叶变换形式X(f),请给出过程问题补充：按qgq861012的方法（傅立叶变换应该是 X(f) = 2δ(f)/π - 2/π*∑_n=1^∞{[δ(f-

如果函数本身就是正弦或者余弦那么他的傅里叶分解就是他本身只需要将f(t)降次就可以了利用倍角公式和积化和差公式过程如下：

时域乘积的傅里叶变换和时域卷积的傅里叶变换类似，时域乘积的傅里叶变换等于两函数频域的卷积： FFT(f(x)g(x))=FFT(f(x))*FFT(g(x))

编辑词条傅立叶变换 中文译名 Transformée de Fourier有多种中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“傅立叶变换”、“付立叶变换”、“富里叶变换”、“富里哀变换”等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。 应用 傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 概要介绍 * 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的（参见：林家翘、西格尔著《自然科学中确定性问题的应用数学》，科学出版社，北京。原版书名为 C. C. Lin & L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan Inc., New York, 1974）。 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; * 卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段; * 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)). 基本性质 线性性质 两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数f left( x ight )和g left(x ight)的傅里叶变换mathcal[f]和mathcal[g]都存在，α 和 β 为任意常系数，则mathcal[alpha f+eta g]=alphamathcal[f]+etamathcal[g]；傅里叶变换算符mathcal可经归一化成为么正算符； 频移性质 若函数f left( x ight )存在傅里叶变换，则对任意实数 ω0，函数f(x) e^{i omega_ x}也存在傅里叶变换，且有mathcal[f(x)e^{i omega_ x}]=F(omega + omega _0 ) 。式中花体mathcal是傅里叶变换的作用算子，平体F表示变换的结果（复函数），e 为自然对数的底，i 为虚数单位sqrt； 微分关系 若函数f left( x ight )当|x| ightarrowinfty时的极限为0，而其导函数f"(x)的傅里叶变换存在，则有mathcal[f"(x)]=-i omega mathcal[f(x)] ，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 − iω 。更一般地，若f(pminfty)=f"(pminfty)=ldots=f^{(k-1)}(pminfty)=0，且mathcal[f^{(k)}(x)]存在，则mathcal[f^{(k)}(x)]=(-i omega)^ mathcal[f] ，即 k 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子( − iω)k。 卷积特性 若函数f left( x ight )及g left( x ight )都在(-infty,+infty)上绝对可积，则卷积函数f*g=int_{-infty}^{+infty} f(x-xi)g(xi)dxi的傅里叶变换存在，且mathcal[f*g]=mathcal[f]cdotmathcal[g] 。卷积性质的逆形式为mathcal^[F(omega)G(omega)]=mathcal^[F(omega)]*mathcal^[G(omega)] ，即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积。 Parseval定理 若函数f left( x ight )可积且平方可积，则int_{-infty}^{+infty} f^2 (x)dx = frac{2pi}int_{-infty}^{+infty} |F(omega)|^domega 。其中 F(ω) 是 f(x) 的傅里叶变换。 傅里叶变换的不同变种 连续傅里叶变换 主条目：连续傅立叶变换 一般情况下,若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。 f(t) = mathcal^[F(omega)] = frac{sqrt{2pi}} intlimits_{-infty}^infty F(omega) e^{iomega t},domega. 上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换，即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。反过来,其正变换恰好是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅立叶变换对(transform pair)。 一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）。 当f(t)为奇函数(或偶函数)时,其余弦(或正弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦转换(cosine transform) 或 正弦转换(sine transform). 另一个值得注意的性质是,当f(t) 为纯实函数时,F(−ω) = F(ω)*成立. 傅里叶级数 主条目：傅里叶级数 连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的： f(x) = sum_{n=-infty}^{infty} F_n ,e^ , 其中Fn 为复振幅。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成： f(x) = fraca_0 + sum_{n=1}^inftyleft[a_ncos(nx)+b_nsin(nx) ight], 其中an和bn是实频率分量的振幅。 离散时间傅里叶变换 主条目：离散时间傅里叶变换 离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆。 离散傅里叶变换 主条目：离散傅里叶变换 为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数xn 定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下, 使用离散傅里叶变换，将函数 xn 表示为下面的求和形式： x_n = frac1 sum_{k=0}^ X_k e^{ifrac{2pi} kn} qquad n = 0,dots,N-1 其中Xk是傅里叶振幅。直接使用这个公式计算的计算复杂度为mathcal(n^2)，而快速傅里叶变换（FFT）可以将复杂度改进为mathcal(n log n)。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。 在阿贝尔群上的统一描述 以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一问题属于调和分析的范畴。在调和分析中, 一个变换从一个群变换到它的对偶群(dual group)。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。傅里叶变换的广义理论基础参见庞特里雅金对偶性（英文版）中的介绍。 时频分析变换 主条目：时频分析变换 小波变换，chirplet转换和分数傅里叶转换试图得到时间信号的频率信息。同时解析频率和时间的能力在数学上受不确定性原理的限制。 傅里叶变换家族 下表列出了傅里叶变换家族的成员. 容易发现,函数在时(频)域的离散对应于其像函数在频(时)域的周期性.反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性. 变换 时间 频率 连续傅里叶变换 连续, 非周期性 连续, 非周期性 傅里叶级数 连续, 周期性 离散, 非周期性 离散时间傅里叶变换 离散, 非周期性 连续, 周期性 离散傅里叶变换 离散, 周期性 离散, 周期性 傅里叶变换的基本思想首先由法国学者傅里叶系统提出，所以以其名字来命名以示纪念。 从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅立叶变换属于调和分析的内容。"分析"二字，可以解释为深入的研究。从字面上来看，"分析"二字，实际就是"条分缕析"而已。它通过对函数的"条分缕析"来达到对复杂函数的深入理解和研究。从哲学上看，"分析主义"和"还原主义"，就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子，而原子不过数百种而已，相对物质世界的无限丰富，这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。 在数学领域，也是这样，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是,现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质,使得它如此的好用和有用,让人不得不感叹造物的神奇: 1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子; 2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似; 3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; 4. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段; 5. 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT)). 正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。 有関傅立叶变换的FPGA実现 傅立叶变换是数字信号处理中的基本操作，广泛应用于表述及分析离散时域信号领域。但由于其运算量与变换点数N的平方成正比关系，因此，在N较大时，直接应用DFT算法进行谱变换是不切合实际的。然而，快速傅立叶变换技术的出现使情况发生了根本性的变化。本文主要描述了采用FPGA来实现2k／4k／8k点FFT的设计方法。 1 整体结构 一般情况下，N点的傅立叶变换对为： 其中，WN＝exp(－2pi／N)。X(k)和x(n)都为复数。与之相对的快速傅立叶变换有很多种,如DIT(时域抽取法)、DIF（频域抽取法）、Cooley－Tukey和Winograd等。对于2n傅立叶变换，Cooley－Tukey算法可导出DIT和DIF算法。本文运用的基本思想是Cooley－Tukey算法，即将高点数的傅立叶变换通过多重低点数傅立叶变换来实现。虽然DIT与DIF有差别，但由于它们在本质上都是一种基于标号分解的算法，故在运算量和算法复杂性等方面完全一样，而没有性能上的优劣之分，所以可以根据需要任取其中一种，本文主要以DIT方法为对象来讨论。 N＝8192点DFT的运算表达式为： 式中，m＝(4n1＋n2)(2048k1＋k2)(n＝4n1＋n2，k＝2048k1＋k2)其中n1和k2可取0,1,．．．,2047,k1和n2可取0,1,2,3。 由式（3）可知，8k傅立叶变换可由4×2k的傅立叶变换构成。同理，4k傅立叶变换可由2×2k的傅立叶变换构成。而2k傅立叶变换可由128×16的傅立叶变换构成。128的傅立叶变换可进一步由16×8的傅立叶变换构成，归根结底，整个傅立叶变换可由基2、基4的傅立叶变换构成。2k的FFT可以通过5个基4和1个基2变换来实现；4k的FFT变换可通过6个基4变换来实现；8k的FFT可以通过6个基4和1个基2变换来实现。也就是说：FFT的基本结构可由基2／4模块、复数乘法器、存储单元和存储器控制模块构成，其整体结构如图1所示。 图1中，RAM用来存储输入数据、运算过程中的中间结果以及运算完成后的数据，ROM用来存储旋转因子表。蝶形运算单元即为基2／4模块，控制模块可用于产生控制时序及地址信号，以控制中间运算过程及最后输出结果。 2 蝶形运算器的实现 基4和基2的信号流如图2所示。图中，若A＝r0＋j＊i0，B＝r1＋j＊i1，C＝r2＋j＊i2，D＝r3＋j＊i3是要进行变换的信号，Wk0＝c0＋j＊s0＝1，Wk1＝c1＋j＊s1，Wk2＝c2＋j＊s2，Wk3＝c3＋j＊s3为旋转因子，将其分别代入图2中的基4蝶形运算单元，则有： A′＝[r0＋(r1×c1－i1×s1)＋(r2×c2－i2×s2)＋(r3×c3－i3×s3)]＋j[i0＋(i1×c1＋r1×s1)＋(i2×c2＋r2×s2)＋(i3×c3＋r3×s3)]� （4） B′＝[r0＋(i1×c1＋r1×s1)－(r2×c2－i2×s2)－(i3×c3＋r3×s3)]＋j[i0－(r1×c1－i1×s1)－(i2×c2＋r2×s2)＋(r3×c3－i3×s3)] (5） C′＝[r0－(r1×c1－i1×s1)＋(r2×c2－i2×s2)－(r3×c3－i3×s3)]＋j[i0－(i1×c1＋r1×s1)＋(i2×c2＋r2×s2)－(i3×c3＋r3×s3)] （6） D′＝[r0－(i1×c1＋r1×s1)－(r2×c2－i2×s2)＋(i3×c3＋r3×s3)]＋j[i0＋(r1×c1－i1×s1)－(i2×c2＋r2×s2)－(r3×c3－i3×s3)]� （7） 而在基2蝶形中，Wk0和Wk2的值均为1，这样，将A，B，C和D的表达式代入图2中的基2运算的四个等式中，则有： A′＝r0＋(r1×c1－i1×s1)＋j[i0＋(i1×c1＋r1×s1)]� （8） B′＝r0－ (r1×c1－i1×s1)＋j[i0－(i1×c1＋r1×s1)] （9） C′＝r2＋(r3×c3－i3×s3)＋j[i0＋(i3×c3＋r3×s3)]� （10） D′＝r2－(r3×c3－i3×s3)＋j[i0－(i3×c3＋r3×s3)]� （11） 在上述式（4）～（11）中有很多类同项，如i1×c1＋r1×s1和r1×c1－i1×s1等，它们仅仅是加减号的不同，其结构和运算均类似，这就为简化电路提供了可能。同时，在蝶形运算中，复数乘法可以由实数乘法以一定的格式来表示，这也为设计复数乘法器提供了一种实现的途径。 以基4为例，在其运算单元中，实际上只需做三个复数乘法运算，即只须计算BWk1、CWk2和DWk3的值即可，这样在一个基4蝶形单元里面，最多只需要3个复数乘法器就可以了。在实际过程中，在不提高时钟频率下，只要将时序控制好�便可利用流水线（Pipeline）技术并只用一个复数乘法器就可完成这三个复数乘法，大大节省了硬件资源。 图2 基2和基4蝶形算法的信号流图 3 FFT的地址 FFT变换后输出的结果通常为一特定的倒序,因此，几级变换后对地址的控制必须准确无误。 倒序的规律是和分解的方式密切相关的，以基8为例，其基本倒序规则如下： 基8可以用2×2×2三级基2变换来表示，则其输入顺序则可用二进制序列（n1 n2 n3）来表示，变换结束后，其顺序将变为（n3 n2 n1），如：X�011 → x�110 ，即输入顺序为3，输出时顺序变为6。 更进一步，对于基16的变换，可由2×2×2×2，4×4，4×2×2等形式来构成，相对于不同的分解形式，往往会有不同的倒序方式。以4×4为例，其输入顺序可以用二进制序列（n1 n2 n3n4）来表示变换结束后，其顺序可变为（（n3 n4）（n1 n2）），如： X�0111 → x�1101 。即输入顺序为7，输出时顺序变为13。 在2k／4k／8k的傅立叶变换中，由于要经过多次的基4和基2运算，因此，从每次运算完成后到进入下一次运算前，应对运算的结果进行倒序，以保证运算的正确性。 4 旋转因子 N点傅立叶变换的旋转因子有着明显的周期性和对称性。其周期性表现为： FFT之所以可使运算效率得到提高，就是利用 FFT之所以可使运算效率得到提高，就是利用了对称性和周期性把长序列的DFT逐级分解成几个序列的DFT，并最终以短点数变换来实现长点数变换。 根据旋转因子的对称性和周期性，在利用ROM存储旋转因子时，可以只存储旋转因子表的一部分，而在读出时增加读出地址及符号的控制，这样可以正确实现FFT。因此,充分利用旋转因子的性质，可节省70％以上存储单元。 实际上，由于旋转因子可分解为正、余弦函数的组合，故ROM中存的值为正、余弦函数值的组合。对2k／4k／8k的傅立叶变换来说，只是对一个周期进行不同的分割。由于8k变换的旋转因子包括了2k／4k的所有因子，因此，实现时只要对读ROM的地址进行控制，即可实现2k／4k／8k变换的通用。 5 存储器的控制 因FFT是为时序电路而设计的，因此，控制信号要包括时序的控制信号及存储器的读写地址，并产生各种辅助的指示信号。同时在计算模块的内部，为保证高速，所有的乘法器都须始终保持较高的利用率。这意味着在每一个时钟来临时都要向这些单元输入新的操作数，而这一切都需要控制信号的紧密配合。 为了实现FFT的流形运算，在运算的同时，存储器也要接收数据。这可以采用乒乓RAM的方法来完成。这种方式决定了实现FFT运算的最大时间。对于4k操作，其接收时间为4096个数据周期，这样�FFT的最大运算时间就是4096个数据周期。另外，由于输入数据是以一定的时钟为周期依次输入的，故在进行内部运算时，可以用较高的内部时钟进行运算，然后再存入RAM依次输出。 为节省资源，可对存储数据RAM采用原址读出原址写入的方法，即在进行下一级变换的同时，首先应将结果回写到读出数据的RAM存贮器中；而对于ROM，则应采用与运算的数据相对应的方法来读出存储器中旋转因子的值。 在2k／4k／8k傅立叶变换中，要实现通用性，控制器是最主要的模块。2k、4k、8k变换具有不同的内部运算时间和存储器地址，在设计中，针对不同的点数应设计不同的存储器存取地址，同时，在完成变换后，还要对开始输出有用信号的时刻进行指示。 6 硬件的选择 本设计的硬件实现选用的是现场可编程门阵列(FPGA)来满足较高速度的需要。本系统在设计时选用的是ALTERA公司的STRATIX芯片，该芯片中包含有DSP单元，可以完成较为耗费资源的乘法器单元。同时，该器件也包含有大量存储单元，从而可保证旋转因子的精度。 除了一些专用引脚外，FPGA上几乎所有的引脚均可供用户使用，这使得FPGA信号处理方案具有非常好的I／O带宽。大量的I／O引脚和多块存储器可使设计获得优越的并行处理性能。其独立的存储块可作为输入／工作存储区和结果的缓存区，这使得I／O可与FFT计算同时进行。在实现的时间方面，该设计能在4096个时钟周期内完成一个4096点的FFT。若采用10MHz的输入时钟，其变换时间在200μs左右。而由于最新的FPGA使用了MultiTrack互连技术，故可在250MHz以下频率稳定地工作，同时，FFT的实现时间也可以大大缩小。 FFT运算结果的精度与输入数据的位数及运算过程中的位数有关，同时和数据的表示形式也有很大关系。一般来说，浮点方式比定点方式精度高。而在定点计算中，存储器数据的位数越大，运算精度越高，使用的存储单元和逻辑单元也越多。在实际应用中，应根据实际情况折衷选择精度和资源。本设计通过MATLAB进行仿真证明：其实现的变换结果与MATLAB工具箱中的FFT函数相比，信噪比可以达到65db以上，完全可以满足一般工程的实际应用要求。

t的傅里叶变换为(i/2pi)&(f) 1/t傅里叶变换为 -i*pi*sgn(f) &(f)为狄拉克函数 sgn（f）为符号函数 i的平方等于1

最佳答案是什么玩意

这个好办 你可以按着定义去求积分 肯定能出来的！|sinwt|=sinwt平方开方 所以可以写成1-coswt的平方，

F【f(2x)】=1/2 * F(w/2)F【x^3f(2x)】=i^3 * (1/2 * F(w/2))"""=-i/16F"""(w/2)

你好！“数学之美”团员448755083为你解答！用傅里叶变换的定义进行计算具体过程见图片。图片稍后显示。如满意，请采纳，加赞同；不满意，请反馈，“数学之美”与你共同进步！

f(2t-2)=f[2(t-1)]步骤1：f(t)--->f(t-1)采用时移特性f(t)----------------------f(t-1) F(jw)--------------------exp(-jw)*F(jw)步骤2：f(t-1)---->f(2(t-1))采用尺度变换特性f(at)---->1/|a|*F(w/a)所以f(2(t-1)...

如图所示,矩形脉冲的傅里叶变换是sa函数.即, u(t+tao/2)-u(t-tao/2) <==> tao*Sa(w*tao/2) 根据傅里叶变换的对称性,我们可以得出,sa函数的傅里叶变换是矩形脉冲.即, wc/2pi*Sa(wc*t/2) <==> u(w+wc/2)-u(w-wc/2) 再根据尺度变换特性,可以求出 Sa(t) <==> pi*[u(w+1)-u(w-1)] 即为幅度为pi,范围为-1到1的矩形波.

课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。 视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课本的作者。 p.430 - p.435 我们知道一个信号的拉普拉斯变换当取 时，就变成了该信号的傅里叶变换。那么对应在s平面上，若想求一个信号的傅里叶变换，就可以理解为，在s平面 轴上求拉普拉斯变换的值。 这篇笔记就来学习课本第430页讲到的，由 （与一个有理拉普拉斯变换有关的零极点图） 来求傅里叶变换的一种求值方法，并且更一般的，这个方法可以求任意s点上的拉普拉斯变换的值。 首先从简单的开始，考虑只有一个零点的拉普拉斯变换，即， 求这个拉普拉斯变换在某一给定 处的值。考虑到 是两个复数的和，一个是 ，一个是 ，回忆以前本科学习复变函数，每个复数都可以表示为复平面内的一个向量，向量方向为从原点指向该复数。那么代表复数和 的向量就是向量 和向量 的和，如下图所示， 那么， 的模就是向量 的长度，而 的相位就是这个向量与实轴的角度。 如果 是一个极点，即 ，这时 的模就是向量 的长度的倒数，相位是该向量相对于实轴角度的负值。 推广开来，一个更为一般的拉普拉斯变换是由上述讨论的零点项和极点项的乘积所组成，如下所示， 为了求 在 的值，上式乘积中的每一项都可以用一个从零/极点到 点的向量来表示。那么 的模就是 乘以各零点向量长度的乘积再除以各极点向量长度的乘积，而 的相角就是各零点向量角度的和减去各极点向量角度的和，如果 为负，那么对应一个附加相角 。 如果 中存在多阶零点或极点，那么在计算 时要计算上对应的倍数等于阶数。 例9.12 , 那么傅里叶变换就等于 ，即 画 的零极点图如下所示， 为了用几何法确定傅里叶变换，在图中构造了极点向量。傅里叶变换在频率 处的模，就是从极点到虚轴上 点的向量的长度的倒数，傅里叶变换的相位就是这个向量的与实轴夹角的负值。那么根据上图就可以利用几何关系写出傅里叶变换模和相位的表达式， 利用几何法求傅里叶变换最大的价值在于可以很快的近似观察傅里叶变换的整体特性，从上面这个例子的图中可看出，极点向量长度随着 的增加而单调增加，那么傅里叶变换的模将随着 的增加而单调递减，相位的变化也可以用同样的方法进行分析。 参考我写的lec#12的笔记第5.1节，有关一阶连续时间系统，其微分方程有如下表示， 不计算这个连续时间一阶系统的单位冲激响应了，直接复制过来， 该单位冲激响应的拉普拉斯变换为， 其零极点图如下图所示，从图中可以看出，极点向量的长度在 处最短，随着 增加而单调增加。对于极点向量的角度，随着 从0增加到无穷大，角度从0增加到 。 那么因为这是一个极点，因此系统单位冲激响应的傅里叶变换的模会随着 增加而单调递减，傅里叶变换的相位会随着 增加而从0减小到 ，对应如下伯德图， 注意到，当 时，利用几何法可以确定极点向量的实部和虚部相等，那么傅里叶变换的模下降到 时的 ，或近似下降了3dB，傅里叶变换的相位为 。 这与我写的lec#12的笔记就对应了起来， 称为转折频率，在这个频率下， 的伯德图在这里发生转折。 我们当时说过，时间常数 控制了系统的响应速度，现在看到，这样一个系统在 处的极点在负实轴上，这个极点到原点的距离就是时间常数的倒数。 利用零极点图来看时间常数，或者等效的说 的极点位置变化，如何影响or改变一阶系统的特性。当极点向左侧移动时，系统的转折频率或有效截止频率就会增加，从图上看，就是极点越往左移，那么在虚轴上找与极点和原点长度相等的 点越高，对应的系统转折频率增加。同时，极点向左移动，对应着时间常数逐渐减小，导致系统单位冲激响应衰减更快，阶跃响应具有更快的上升时间。 极点位置的实部和系统响应速度之间的关系总是成立的，即越是远离 轴的那些极点，总是对应着单位冲激响应中的快速响应项。 学习lec#12时的梦魇。。。我又回来了。。。 利用如下线性常系数微分方程表示一个连续时间二阶系统，这种表示方式在许多实际物理系统具有很重要的应用，比如汽车减震系统和RLC二阶电路分析， 对上面的方程做拉普拉斯变换， 那么单位冲激响应的拉普拉斯变换就可以写作， 其中， 我们在这里插一句，该系统的单位冲激响应可以表示为， 其中， 好的，现在回来分析 ，分为两种情况分析， 此时 和 都是实数，因此两个极点都在实轴上，如下图所示，图(a)和图(b)分别是不同 时的零极点图， 是距离虚轴更近的那个极点， 是距离虚轴远的那个极点。 可以看做两个一次项的乘积，那么 随着 增加而单调递减，而 在 时为0变化到，当 时趋于 。两个极点中的每一个，其到 点的向量长度都随着 增加而单调增加，而每个极点向量的相角则随 从0变化到 相应的从0增加到 。 同时注意到，随着 的增加，一个极点移向 轴（这就是在单位冲激响应中衰减较慢的一项），而另一个极点则向更左边移动（对应着在单位冲激响应中衰减较快的一项）。这部分也对应着上文讲一阶系统时极点位置对单位冲激响应的影响。 如图(b)所示，在较大的 值下，紧靠着 轴的这一极点支配着系统的响应。在低频部分，紧靠 轴的极点向量的长度和相角随 变化的灵敏程度，远远大于另外那个远处的极点。因此在低频区域，频率响应特性主要受紧靠 轴的极点的影响。 当 时， 和 都是复数，零极点图如图(c)所示。注意两个极点是复数共轭的，我也不知道为啥书上的插图看起来两个极点不对称，可能是我截图用的教材是老版本的？新版本教材上就没有这个问题。先不管了，知道两个极点是复数共轭的，在s平面上应该关于实轴对称。实际上，任何一个实值信号，其复数极点或零点总是共轭成对出现的。 实轴上方的极点是 ，下方的极点是 。简单计算可以发现，极点与原点的距离等于 。 当 较小时，这些极点很靠近 轴，随着频率 接近于 ，也就是极点的虚部时，频率响应特性主要由 所决定。尤其当 时，该极点向量的长度具有最小值，那么定性来看，频率响应的模在这个频率会有一个峰值，实际上因为其他极点的存在，频率响应的模真正出现在比频率 略小一点的位置。如下图所示，频率响应的模的峰值出现在 的位置。 由上图看出，这个二阶系统是个非理想的带通滤波器，参数 控制着频率响应的尖锐程度和峰值宽度。参考下图图(d)，极点的高度也就是极点虚部为 ，当频率在这个位置时，频率响应的模取得峰值。利用几何法，当频率在这个位置上下各变化 时，几何法确定极点向量的长度变长了 倍。记住在 较小时，第三象限的极点对频率响应的影响可以忽略。 那么， 在频率范围 内，变化范围是峰值的 。 定义相对带宽为上述的频率间隔除以自然频率，得， 因此， 越接近0，频率响应的峰值越尖锐，峰值宽度越窄。 另外， 的倒数就是二阶系统品质因数 。因此随着品质因数增加，相对带宽减小，滤波器的频率选择性越强。 现在再来研究二阶系统频率响应的相位特性。从图(d)可以看出，在频率范围 内变化时，图(d)中看出向量角度有 的变化量，对应着频率响应相位特性中 的迅速变化。 上面的讨论都是固定 来看 变化对系统频率响应的影响，实际上，如果单单考虑变化 对系统的影响，就是两个极点远离原点，对应在s平面上，就是改变了频率坐标的尺度。也就是说， 和 只取决于 。 作为书上利用几何法求频率响应的最后一各例子，全通系统的单位冲激响应的拉普拉斯变换具有下图所示的零极点图， 沿着 轴，零点向量和极点向量具有相等的长度，因此其频率响应的模与频率无关，是一个常数。而两个向量的角度之和等于180度，所以 的模特性和相位特性如下图所示，

傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。目录定义中文译名应用概要介绍基本性质线性性质频移性质微分关系卷积特性Parseval定理傅里叶变换的不同变种连续傅里叶变换傅里叶级数离散傅里叶变换时频分析变换数学领域整体结构蝶形运算器的实现FFT的地址旋转因子存储器的控制硬件的选择相关书籍推荐定义 中文译名应用 概要介绍 基本性质 线性性质 频移性质 微分关系 卷积特性 Parseval定理傅里叶变换的不同变种 连续傅里叶变换 傅里叶级数 离散傅里叶变换 时频分析变换数学领域 整体结构 蝶形运算器的实现 FFT的地址 旋转因子 存储器的控制 硬件的选择相关书籍推荐展开 编辑本段定义 f(t)满足傅立叶积分定理条件时，下图①式的积分运算称为f(t)的傅立叶变换， ②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的象函数，f(t)叫做 F(ω)的象原函数。 傅里叶变换① 傅里叶逆变换②中文译名 Fourier transform 或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“傅立叶变换”、“付立叶变换”、“傅里叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。编辑本段应用 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。编辑本段概要介绍 概要参见：林家翘、西格尔著《自然科学中确定性问题的应用数学》，科学出版社，北京。原版书名为 C. C. Lin & L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan Inc., New York, 1974。 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; * 卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段; * 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).编辑本段基本性质线性性质 两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数f left( x ight )和g left(x ight)的傅里叶变换mathcal[f]和mathcal[g]都存在，α 和 β 为任意常系数，则mathcal[alpha f+eta g]=alphamathcal[f]+etamathcal[g]；傅里叶变换算符mathcal可经归一化成为么正算符；频移性质 若函数f left( x ight )存在傅里叶变换，则对任意实数 ω0，函数f(x) e^{i omega_ x}也存在傅里叶变换，且有mathcal[f(x)e^{i omega_ x}]=F(omega + omega _0 ) 。式中花体mathcal是傅里叶变换的作用算子，平体F表示变换的结果（复函数），e 为自然对数的底，i 为虚数单位sqrt；微分关系 若函数f left( x ight )当|x| ightarrowinfty时的极限为0，而其导函数f"(x)的傅里叶变换存在，则有mathcal[f"(x)]=-i omega mathcal[f(x)] ，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 − iω 。更一般地，若f(pminfty)=f"(pminfty)=ldots=f^{(k-1)}(pminfty)=0，且mathcal[f^{(k)}(x)]存在，则mathcal[f^{(k)}(x)]=(-i omega)^ mathcal[f] ，即 k 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子( − iω)k。卷积特性 若函数f left( x ight )及g left( x ight )都在(-infty,+infty)上绝对可积，则卷积函数f*g=int_{-infty}^{+infty} f(x-xi)g(xi)dxi的傅里叶变换存在，且mathcal[f*g]=mathcal[f]cdotmathcal[g] 。卷积性质的逆形式为mathcal^[F(omega)G(omega)]=mathcal^[F(omega)]*mathcal^[G(omega)] ，即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积，同时还有两个函数卷积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的乘积。Parseval定理 若函数f left( x ight )可积且平方可积，则int_{-infty}^{+infty} f^2 (x)dx = frac{2pi}int_{-infty}^{+infty} |F(omega)|^domega 。其中 F(ω) 是 f(x) 的傅里叶变换。编辑本段傅里叶变换的不同变种连续傅里叶变换 主条目：连续傅立叶变换 一般情况下,若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。 f(t) = mathcal^[F(omega)] = frac{sqrt{2pi}} intlimits_{-infty}^infty F(omega) e^{iomega t},domega. 上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换，即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。反过来,其正变换恰好是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅立叶变换对(transform pair)。 一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）。 当f(t)为奇函数(或偶函数)时,其余弦(或正弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦转换(cosine transform) 或 正弦转换(sine transform). 另一个值得注意的性质是,当f(t) 为纯实函数时,F(−ω) = F(ω)*成立.傅里叶级数 主条目：傅里叶级数 连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的： f(x) = sum_{n=-infty}^{infty} F_n ,e^ , 其中Fn 为复振幅。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成： f(x) = fraca_0 + sum_{n=1}^inftyleft[a_ncos(nx)+b_nsin(nx) ight], 其中an和bn是实频率分量的振幅。 离散时间傅里叶变换 主条目：离散时间傅里叶变换 离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆。离散傅里叶变换 主条目：离散傅里叶变换 为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数xn 定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下, 使用离散傅里叶变换，将函数 xn 表示为下面的求和形式： x_n = frac1 sum_{k=0}^ X_k e^{ifrac{2pi} kn} qquad n = 0,dots,N-1 其中Xk是傅里叶振幅。直接使用这个公式计算的计算复杂度为mathcal(n^2)，而快速傅里叶变换（FFT）可以将复杂度改进为mathcal(n log n)。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。 在阿贝尔群上的统一描述 以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一问题属于调和分析的范畴。在调和分析中, 一个变换从一个群变换到它的对偶群(dual group)。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。傅里叶变换的广义理论基础参见庞特里雅金对偶性（英文版）中的介绍。时频分析变换 主条目：时频分析变换 小波变换，chirplet转换和分数傅里叶转换试图得到时间信号的频率信息。同时解析频率和时间的能力在数学上受不确定性原理的限制。 傅里叶变换家族 下表列出了傅里叶变换家族的成员. 容易发现,函数在时(频)域的离散对应于其像函数在频(时)域的周期性.反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性. 变换 时间 频率 连续傅里叶变换 连续, 非周期性 连续, 非周期性 傅里叶级数 连续, 周期性 离散, 非周期性 离散时间傅里叶变换 离散, 非周期性 连续, 周期性 离散傅里叶变换 离散, 周期性 离散, 周期性 傅里叶变换的基本思想首先由法国学者傅里叶系统提出，所以以其名字来命名以示纪念。 从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅立叶变换属于调和分析的内容。"分析"二字，可以解释为深入的研究。从字面上来看，"分析"二字，实际就是"条分缕析"而已。它通过对函数的"条分缕析"来达到对复杂函数的深入理解和研究。从哲学上看，"分析主义"和"还原主义"，就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子，而原子不过数百种而已，相对物质世界的无限丰富，这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。编辑本段数学领域 尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是,现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质,使得它如此的好用和有用,让人不得不感叹造物的神奇: 1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子; 2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似; 3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; 4. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段; 5. 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT)). 正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。 有関傅立叶变换的FPGA实现 傅立叶变换是数字信号处理中的基本操作，广泛应用于表述及分析离散时域信号领域。但由于其运算量与变换点数N的平方成正比关系，因此，在N较大时，直接应用DFT算法进行谱变换是不切合实际的。然而，快速傅立叶变换技术的出现使情况发生了根本性的变化。本文主要描述了采用FPGA来实现2k／4k／8k点FFT的设计方法。整体结构 一般情况下，N点的傅立叶变换对为： 其中，WN＝exp(－2pi／N)。X(k)和x(n)都为复数。与之相对的快速傅立叶变换有很多种,如DIT(时域抽取法)、DIF（频域抽取法）、Cooley－Tukey和Winograd等。对于2n傅立叶变换，Cooley－Tukey算法可导出DIT和DIF算法。本文运用的基本思想是Cooley－Tukey算法，即将高点数的傅立叶变换通过多重低点数傅立叶变换来实现。虽然DIT与DIF有差别，但由于它们在本质上都是一种基于标号分解的算法，故在运算量和算法复杂性等方面完全一样，而没有性能上的优劣之分，所以可以根据需要任取其中一种，本文主要以DIT方法为对象来讨论。 N＝8192点DFT的运算表达式为： 式中，m＝(4n1＋n2)(2048k1＋k2)(n＝4n1＋n2，k＝2048k1＋k2)其中n1和k2可取0,1,．．．,2047,k1和n2可取0,1,2,3。 由式（3）可知，8k傅立叶变换可由4×2k的傅立叶变换构成。同理，4k傅立叶变换可由2×2k的傅立叶变换构成。而2k傅立叶变换可由128×16的傅立叶变换构成。128的傅立叶变换可进一步由16×8的傅立叶变换构成，归根结底，整个傅立叶变换可由基2、基4的傅立叶变换构成。2k的FFT可以通过5个基4和1个基2变换来实现；4k的FFT变换可通过6个基4变换来实现；8k的FFT可以通过6个基4和1个基2变换来实现。也就是说：FFT的基本结构可由基2／4模块、复数乘法器、存储单元和存储器控制模块构成，其整体结构如图1所示。 图1中，RAM用来存储输入数据、运算过程中的中间结果以及运算完成后的数据，ROM用来存储旋转因子表。蝶形运算单元即为基2／4模块，控制模块可用于产生控制时序及地址信号，以控制中间运算过程及最后输出结果。蝶形运算器的实现 基4和基2的信号流如图2所示。图中，若A＝r0＋j＊i0，B＝r1＋j＊i1，C＝r2＋j＊i2，D＝r3＋j＊i3是要进行变换的信号，Wk0＝c0＋j＊s0＝1，Wk1＝c1＋j＊s1，Wk2＝c2＋j＊s2，Wk3＝c3＋j＊s3为旋转因子，将其分别代入图2中的基4蝶形运算单元，则有： A′＝[r0＋(r1×c1－i1×s1)＋(r2×c2－i2×s2)＋(r3×c3－i3×s3)]＋j[i0＋(i1×c1＋r1×s1)＋(i2×c2＋r2×s2)＋(i3×c3＋r3×s3)]? （4） B′＝[r0＋(i1×c1＋r1×s1)－(r2×c2－i2×s2)－(i3×c3＋r3×s3)]＋j[i0－(r1×c1－i1×s1)－(i2×c2＋r2×s2)＋(r3×c3－i3×s3)] (5） C′＝[r0－(r1×c1－i1×s1)＋(r2×c2－i2×s2)－(r3×c3－i3×s3)]＋j[i0－(i1×c1＋r1×s1)＋(i2×c2＋r2×s2)－(i3×c3＋r3×s3)] （6） D′＝[r0－(i1×c1＋r1×s1)－(r2×c2－i2×s2)＋(i3×c3＋r3×s3)]＋j[i0＋(r1×c1－i1×s1)－(i2×c2＋r2×s2)－(r3×c3－i3×s3)]? （7） 而在基2蝶形中，Wk0和Wk2的值均为1，这样，将A，B，C和D的表达式代入图2中的基2运算的四个等式中，则有： A′＝r0＋(r1×c1－i1×s1)＋j[i0＋(i1×c1＋r1×s1)]? （8） B′＝r0－ (r1×c1－i1×s1)＋j[i0－(i1×c1＋r1×s1)] （9） C′＝r2＋(r3×c3－i3×s3)＋j[i0＋(i3×c3＋r3×s3)]? （10） D′＝r2－(r3×c3－i3×s3)＋j[i0－(i3×c3＋r3×s3)]? （11） 在上述式（4）～（11）中有很多类同项，如i1×c1＋r1×s1和r1×c1－i1×s1等，它们仅仅是加减号的不同，其结构和运算均类似，这就为简化电路提供了可能。同时，在蝶形运算中，复数乘法可以由实数乘法以一定的格式来表示，这也为设计复数乘法器提供了一种实现的途径。 以基4为例，在其运算单元中，实际上只需做三个复数乘法运算，即只须计算BWk1、CWk2和DWk3的值即可，这样在一个基4蝶形单元里面，最多只需要3个复数乘法器就可以了。在实际过程中，在不提高时钟频率下，只要将时序控制好?便可利用流水线（Pipeline）技术并只用一个复数乘法器就可完成这三个复数乘法，大大节省了硬件资源。 图2 基2和基4蝶形算法的信号流图FFT的地址 FFT变换后输出的结果通常为一特定的倒序,因此，几级变换后对地址的控制必须准确无误。 倒序的规律是和分解的方式密切相关的，以基8为例，其基本倒序规则如下： 基8可以用2×2×2三级基2变换来表示，则其输入顺序则可用二进制序列（n1 n2 n3）来表示，变换结束后，其顺序将变为（n3 n2 n1），如：X?011 → x?110 ，即输入顺序为3，输出时顺序变为6。 更进一步，对于基16的变换，可由2×2×2×2，4×4，4×2×2等形式来构成，相对于不同的分解形式，往往会有不同的倒序方式。以4×4为例，其输入顺序可以用二进制序列（n1 n2 n3n4）来表示变换结束后，其顺序可变为（（n3 n4）（n1 n2）），如： X?0111 → x?1101 。即输入顺序为7，输出时顺序变为13。 在2k／4k／8k的傅立叶变换中，由于要经过多次的基4和基2运算，因此，从每次运算完成后到进入下一次运算前，应对运算的结果进行倒序，以保证运算的正确性。旋转因子 N点傅立叶变换的旋转因子有着明显的周期性和对称性。其周期性表现为： FFT之所以可使运算效率得到提高，就是利用 FFT之所以可使运算效率得到提高，就是利用了对称性和周期性把长序列的DFT逐级分解成几个序列的DFT，并最终以短点数变换来实现长点数变换。 根据旋转因子的对称性和周期性，在利用ROM存储旋转因子时，可以只存储旋转因子表的一部分，而在读出时增加读出地址及符号的控制，这样可以正确实现FFT。因此,充分利用旋转因子的性质，可节省70％以上存储单元。 实际上，由于旋转因子可分解为正、余弦函数的组合，故ROM中存的值为正、余弦函数值的组合。对2k／4k／8k的傅立叶变换来说，只是对一个周期进行不同的分割。由于8k变换的旋转因子包括了2k／4k的所有因子，因此，实现时只要对读ROM的地址进行控制，即可实现2k／4k／8k变换的通用。存储器的控制 因FFT是为时序电路而设计的，因此，控制信号要包括时序的控制信号及存储器的读写地址，并产生各种辅助的指示信号。同时在计算模块的内部，为保证高速，所有的乘法器都须始终保持较高的利用率。这意味着在每一个时钟来临时都要向这些单元输入新的操作数，而这一切都需要控制信号的紧密配合。 为了实现FFT的流形运算，在运算的同时，存储器也要接收数据。这可以采用乒乓RAM的方法来完成。这种方式决定了实现FFT运算的最大时间。对于4k操作，其接收时间为4096个数据周期，这样?FFT的最大运算时间就是4096个数据周期。另外，由于输入数据是以一定的时钟为周期依次输入的，故在进行内部运算时，可以用较高的内部时钟进行运算，然后再存入RAM依次输出。 为节省资源，可对存储数据RAM采用原址读出原址写入的方法，即在进行下一级变换的同时，首先应将结果回写到读出数据的RAM存贮器中；而对于ROM，则应采用与运算的数据相对应的方法来读出存储器中旋转因子的值。 在2k／4k／8k傅立叶变换中，要实现通用性，控制器是最主要的模块。2k、4k、8k变换具有不同的内部运算时间和存储器地址，在设计中，针对不同的点数应设计不同的存储器存取地址，同时，在完成变换后，还要对开始输出有用信号的时刻进行指示。硬件的选择 本设计的硬件实现选用的是现场可编程门阵列(FPGA)来满足较高速度的需要。本系统在设计时选用的是ALTERA公司的STRATIX芯片，该芯片中包含有DSP单元，可以完成较为耗费资源的乘法器单元。同时，该器件也包含有大量存储单元，从而可保证旋转因子的精度。 除了一些专用引脚外，FPGA上几乎所有的引脚均可供用户使用，这使得FPGA信号处理方案具有非常好的I／O带宽。大量的I／O引脚和多块存储器可使设计获得优越的并行处理性能。其独立的存储块可作为输入／工作存储区和结果的缓存区，这使得I／O可与FFT计算同时进行。在实现的时间方面，该设计能在4096个时钟周期内完成一个4096点的FFT。若采用10MHz的输入时钟，其变换时间在200μs左右。而由于最新的FPGA使用了MultiTrack互连技术，故可在250MHz以下频率稳定地工作，同时，FFT的实现时间也可以大大缩小。 FFT运算结果的精度与输入数据的位数及运算过程中的位数有关，同时和数据的表示形式也有很大关系。一般来说，浮点方式比定点方式精度高。而在定点计算中，存储器数据的位数越大，运算精度越高，使用的存储单元和逻辑单元也越多。在实际应用中，应根据实际情况折衷选择精度和资源。本设计通过MATLAB进行仿真证明：其实现的变换结果与MATLAB工具箱中的FFT函数相比，信噪比可以达到65db以上，完全可以满足一般工程的实际应用要求。

傅里叶变换的实质是将一个信号分离为无穷多多正弦/复指数信号的加成，也就是说，把信号变成正弦信号相加的形式——既然是无穷多个信号相加，那对于非周期信号来说，每个信号的加权应该都是零——但有密度上的差别，你可以对比概率论中的概率密度来思考一下——落到每一个点的概率都是无限小，但这些无限小是有差别的 所以，傅里叶变换之后，横坐标即为分离出的正弦信号的频率，纵坐标对应的是加权密度对于周期信号来说，因为确实可以提取出某些频率的正弦波成分，所以其加权不为零——在幅度谱上，表现为无限大——但这些无限大显然是有区别的，所以我们用冲激函数表示傅里叶变换是把各种形式的信号用正弦信号表示，因此非正弦信号进行傅里叶变换，会得到与原信号频率不同的成分——都是原信号频率的整数倍。这些高频信号是用来修饰频率与原信号相同的正弦信号，使之趋近于原信号的。所以说，频谱上频率最低的一个峰（往往是幅度上最高的），就是原信号频率。傅里叶变换把信号由时域转为频域，因此把不同频率的信号在时域上拼接起来进行傅里叶变换是没有意义的——实际情况下，我们隔一段时间采集一次信号进行变换，才能体现出信号在频域上随时间的变化。

傅里叶变换的应用有变换处理图像、存储器的控制、热传导方程与温室效应等。1、变换处理图像。冈萨雷斯在《数字图像处理》一书中，将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。利用傅里叶变换处理图像，就是将图片信息转化为频谱信息，再对频谱进行处理，转化为照片。比如，照片的边缘轮廓位置，颜色会有比较大的变化，经过傅里叶变换会表现为一个高频信号，如果想弱化这个边缘，就可以利用图像处理软件上的滤波器减弱这个高频信号，再经过傅里叶反变换，不让图像有剧烈的变化。去掉自拍上的痘痘、图像的斑点等都利用了这一原理。2、存储器的控制。因FFT（快速傅里叶变换）是为时序电路而设计的，因此，控制信号要包括时序的控制信号及存储器的读写地址，并产生各种辅助的指示信号。3、热传导方程与温室效应。通过傅里叶变换的正变换以及逆变换，可以在已知热量初值的条件下求解出某一个时刻的热量，并可以预测出温室效应的产生。

一个周期信号可以通过傅里叶变换分解为直流分量c0和不同频率的正弦信号的线性叠加：其中，为m次谐波的表达式，cm表示m次谐波的幅值，其角频率为mω，初始相位为φm，其有效值为cm/√2。当m=1时，为基波分量的表达式，其角频率为ω，初始相位为φ1，其方均根值c1/√2称为基波有效值。ω/2π为基波分量的频率，称为基波频率，基波分量的频率等于交流信号的频率。而m次谐波的频率为基波频率的整数倍（m倍）。谐波电流是其频率为原周期电流频率整数倍的各正弦分量的统称。一般来说, 理想的交流电源应是纯正弦波形，但因现实世界中的输出阻抗及非线性负载的原因,，导致电源波形失真。 若电压频率是60Hz,，将失真的电压经傅立叶转换分析后，可将其电压组成分解为除了基频(60Hz)外，倍频(120Hz, 180Hz,…..)成份的组合。其倍频的成份就称为谐波：harmonic。整流性负载的大量使用，造成大量的谐波电流，谐波电流产生电压的谐波成份，间接污染了市电。另外一些市售的发电机或UPS本身输出电压就非纯正弦波，甚至有方波的情形，失真情形更严重，所含谐波成份占了很大的比例。对该问题的介绍基于以下几个方面：基本原理、主要现象和防止谐波故障的建议。 由于功率转换（整流和逆变）而导致配电系统污染的问题早在1960年代初就被许多专家意识到了。直到1980年代初，日益增长的设备故障和配电系统异常现象，使得解决这一问题成为迫在眉睫的事情。 今天，许多生产过程中没有电力电子装置是不可想象的。以下用电设备在许多工厂都得到了应用：1）照明控制系统（亮度调节）2）开关电源（计算机，电视机）3）电动机调速设备4）自感饱和铁芯5）不间断电源6）整流器7）电焊设备8）电弧炉9）机床（CNC）10）电子控制机构11）EDM机械所有这些非线性用电设备都会产生谐波，它可导致配电系统本身或联接在该系统上的设备故障。 仅考虑导致设备故障的根源就在发生故障现象的用电工厂内可能是错误的。故障也可能是由于相邻工厂产生的谐波影响到公用配电网络而产生的。 在您安装一套功率因数补偿系统之前，如下工作是非常重要的：对配电系统进行测试以确定什么样的系统结构对您是合适的。 可调谐的滤波电路和组合滤波器已经是众所周知的针对谐波问题的解决方案。另外的方法就是使用动态有源滤波器。 1）谐波吸收器（调谐的）由一个扼流线圈和一个电容器串联组成的谐振电路并调谐为对谐波电流具有极小的阻抗。该调谐的谐振电路用于精确地清除配电网络中的主要谐波成分。2）谐波吸收器（非调谐的）由一个扼流线圈和一个电容器串联组成的谐振电路并调谐为低于最低次谐波的频率以防止谐振。3）谐波电流谐波电流是由设备或系统引入的非正弦特性电流。谐波电流叠加在主电源上。4）谐波其频率为配电系统工作频率倍数的波形。按其倍数称为 n 次（ 3 、 5 、 7 等）谐波分量。5）谐波电压谐波电压是由谐波电流和配电系统上产生的阻抗导致的电压降。6）阻抗阻抗是在特定频率下配电系统某一点产生的电阻。阻抗取决于变压器和连在系统上的用电设备，以及所采用导体的截面积和长度。7）阻抗系数阻抗系数是 AF （载波）阻抗相对于 50Hz （基波）阻抗的比率。8）并联谐振频率网络阻抗达到最大值的频率。在并联谐振电路中，电流分量 I L 和 I C 大于总电流 I 。9）无功功率电动机和变压器的磁能部分，以及用于能量交换目的的功率转换器等处需要无功功率 Q 。与有功功率不同，无功功率并不做功。计量无功功率的单位是 Var 或 kvar 。10）无功功率补偿供电部门规定一个最小功率因数以避免电能浪费。如果一个工厂的功率因数小于这个最小值，它要为无功功率的部分付费。否则它就应该用电容器提高功率因数，这就必须在用电设备上并联安装电容器。11）谐振在配电系统里的设备，与它们存在的电容 ( 电缆，补偿电容器等 ) 和电感 ( 变压器，电抗线圈等 ) 形成共振电路。后者能够被系统谐波激励而成为谐振。配电系统谐波的一个原因是变压器铁芯非线性磁化的特性。在这种情况下主要的谐波是 3 次的；它在全部 导体内与单相分量具有相同的长度，因而在星形点上不能消除。12）谐振频率每个电感和电容的连接形成一个具有特定共振频率的谐振电路。一个网络有几个电感和电容就有几个谐振频率。13）串联谐振谐电路由电感（电抗器）和电容 ( 电容器 ) 串联的电路。14）串联谐振频率网络的阻抗水平达到最小的频率。在串联谐振电路内分路电压 U L 和 U C 大于总电压 U 。15）分数次谐波频率不是基波分量倍数的正弦曲线波。 MKP 和 MPP 技术之间的区别在于电力电容器在补偿系统中的连接方式。1）MKP( MKK ， MKF) 电容器这项技术是在聚丙烯薄膜上直接镀金属。其尺寸小于用 MPP 技术的电容器。因为对生产过程较低的要求，其制造和原料成本比 MPP 技术要相对地低很多。 MKP 是最普遍的电容器技术，并且由于小型化设计和电介质的能力，它具有更多的优点。2）MPP( MKV) 电容器MPP 技术是用两面镀金属的纸板作为电极，用聚丙烯薄膜作为介质。这使得它的尺寸大于采用 MKP 技术的电容器。生产是非常高精密的，因为必须采用真空干燥技术从电容器绕组中除去全部残余水分而且空腔内必须填注绝缘油。这项技术的主要优势是它对高温的耐受性能。3）自愈两种类型的电容器都是自愈式的。在自愈的过程中电容器储存的能量在故障穿孔点会产生一个小电弧。电弧会蒸发穿孔点临近位置的细小金属，这样恢复介质的充分隔离。电容器的有效面积在自愈过程中不会有任何实际程度的减少。每只电容都装有一个过压分断装置以保护电气或热过载。测试是符合 VDE 560 和 IEC 70 以及 70A 标准的。 直到大约1978年，制造电力电容器仍然使用包含PCB的介质注入技术。后来人们发现，PCB 是有毒的，这种有毒的气体在燃烧时会释放出来。这些电容器不再被允许使用并且必须处理，它们必须被送到处理特殊废料的焚化装置里或者深埋到安全的地方。包含PCB 的电容器有大约30 W/kvar的功率损耗值。 电容器本身由镀金属纸板做成。由于这种电容被禁止使用，一种新的电容技术被开发出来。为了满足节能趋势的要求，发展低功耗电容器成为努力的目标。新的电容器是用干燥工艺或是用充入少量油( 植物油)的技术来生产的，用镀金属塑料薄膜代替镀金属纸板，因此新电容充分显示出了其环保的特性，并且功耗仅为0.3 W/kvar。这表明改进后使功耗降至原来的1/100。 这些电容器是根据常规电网条件而开发的。在能源危机的过程中，人们开始相控技术的研究。相位控制的结果是导致电网的污染和其它故障。由于前一代电容器存在一个很高的自电感，高频的电流和电压(谐波) 不能被吸收，而新的电容器则会更多地吸收谐波。因此存在这种可能，即，新、旧电容器工作在相同的母线上时会表现出运行状况和寿命预期的很大差异， 由于上述原因有可能新电容器将在更短的时间内损坏。我们向市场提供的电力电容器是专门为用于补偿系统中而开发的。电网条件已经发生急剧的变化，选择正确的电容器技术越来越重要。 电容器的使用寿命会受到如下因素的影响而缩短： -谐波负载 -较高的电网电压 -高的环境温度 我们配电系统中的谐波负载在持续增长。在可预知的将来，可能只有组合电抗类型的补偿系统会适合使用。 很多供电公司已经规定只能安装带电抗的补偿系统。其它公司必须遵循他们的规定。 如果一个用户决定继续使用无电抗的补偿系统，他起码应该选用更高额定电压的电容器。这种电容器能够耐受较高的谐波负载，但是不能避免谐振事故。

等于未知数。。。