球坐标系下拉普拉斯算符的推导

范围如下：球坐标系的三个参数为ρ，θ，φ。其中θ和φ（你的问题上的ψ）有时候因为习惯不同，使用的会有所不同。这里按照同济的《高等数学》里θ和φ的意思来说明，也是最常见的。（如果和描述不一样，反过来即可。θ是点在xOy平面上的投影与原点的连线和x轴正方向所成夹角，也就是一般说的极坐标的θ，取值范围为[0, 2π)或[0, 2π]。φ（问题所问的）是点与原点所成连线和z轴正半轴所成夹角，取值范围为[-π, π] (必须全闭，否则顶点取不到)。球坐标系是三维坐标系的一种，用以确定三维空间中点、线、面以及体的位置，它以坐标原点为参考点，由方位角、仰角和距离构成。定义：在数学里，球坐标系（英语：Spherical coordinate system）是一种利用球坐标。表示一个点 p 在三维空间的位置的三维正交坐标系。图1显示了球坐标的几何意义：原点到 P 点的距离 r ，原点到点 P 的连线与正 z-轴之间的天顶角。以及原点到点 P 的连线，在 xy-平面的投影线，与正 x-轴之间的方位角。例解：假设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数(r，θ，φ)来确定，其中r为原点O与点P间的距离；θ为有向线段OP与z轴正向的夹角；φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到OM所转过的角，这里M为点P在xOy面上的投影。这样的三个数r，θ，φ叫做点P的球面坐标，显然，这里r，θ，φ的变化范围为r∈[0,+∞)，θ∈[0, π]， φ∈[0,2π] ，如图1所示。当r,θ或φ分别为常数时,可以表示如下特殊曲面:r = 常数，即以原点为心的球面；θ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；φ= 常数，即过z轴的半平面。

设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O与点P间的距离，θ为有向线段与z轴正向所夹的角，φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段的角，这里M为点P在xOy面上的投影。这样的三个数r，φ，θ叫做点P的球面坐标，这里r，φ，θ的变化范围为 r∈[0,+∞), φ∈[0, 2π], θ∈[0, π] . 当r,θ或φ分别为常数时,可以表示如下特殊曲面: r = 常数，即以原点为心的球面； θ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面； φ= 常数，即过z轴的半平面。 球坐标系下的微分关系: 在球坐标系中，沿基矢方向的三个线段元为： dl(r)=dr, dl(θ)=rdθ, dl(φ)=rsinθdφ 球坐标的面元面积是： dS=dl(θ)× dl(φ)=r2sinθdθdφ 体积元的体积为： dV=dl(r)×dl(θ)×dl(φ)= r2sinθdrdθdφ 对于球壳转动惯量：设以z坐标为轴的转动惯量J；球壳面积密度ρ；回转半径Rsinθ；dJ=ρ(Rsinθ)2 dS球壳半径为常数，dS =R2sinθdθdφ J=2∫02∏∫0∏/2 ρ(Rsinθ)2 R2sinθdθdφ ;取半壳积分=2ρR4∫02∏∫0∏/2 sinθ3 dθdφ=8/3 ρ∏R4ρ=球壳质量M/球壳面积SS=2∫02∏∫0∏/2 R2sinθdθdφ=4∏R2 把ρ=M/(4∏R2)代入得得 J=2/3 MR2

1).球坐标系(r,θ,φ)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系:x=rsinθcosφ.y=rsinθsinφ.z=rcosθ.2).反之，直角坐标系(x,y,z)与球坐标系(r,θ,φ)的转换关系为:

球坐标系(r，θ，φ)与直角坐标系(x，y，z)的转换关系：x=rsinθcosφ；y=rsinθsinφ；z=rcosθ。假设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数(r，θ，φ)来确定，其中r为原点O与点P间的距离；θ为有向线段OP与z轴正向的夹角；φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到OM所转过的角，这里M为点P在xOy面上的投影。这样的三个数r，θ，φ叫做点P的球面坐标，显然，这里r，θ，φ的变化范围为r∈[0，+∞)，θ∈[0，π]， φ∈[0，2π]。扩展资料：相交于原点的两条数轴，构成了平面直角坐标系。如两条数轴上的度量单位相等，则称此直角坐标系为笛卡尔坐标系。两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系。二维的直角坐标系是由两条相互垂直、0 点重合的数轴构成的。在平面内，任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的。在平面内，任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐标的对应关系。参考资料来源：百度百科--球坐标系参考资料来源：百度百科--直角坐标

1、x^2+y^2+z^2=1在直角坐标系中，表示为一个以1为半径的球体，即我们所讲的三维空间中的一个立体的球形，也被称为球坐标系。2、x+y+z=0表示为一个xyz的直角坐标系，无实际意义。扩展资料：球坐标系在数学中成球的解释：假设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数(r，θ，φ)来确定，其中r为原点O与点P间的距离；θ为有向线段OP与z轴正向的夹角；φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到OM所转过的角，这里M为点P在xOy面上的投影。这样的三个数r，θ，φ叫做点P的球面坐标，显然，这里r，θ，φ的变化范围为r∈[0,+∞)，θ∈[0, π]， φ∈[0,2π] ，如图1所示。当r,θ或φ分别为常数时,可以表示如下特殊曲面:r = 常数，即以原点为心的球面；θ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；φ= 常数，即过z轴的半平面。参考资料来源：百度百科—球坐标系

球坐标是：以原点为球心的球面族，以z轴为轴的半平面族，和以原点为顶点的圆锥面族组成的坐标系，有三个参数，一般用希腊字母表示， ho是点到原点的距离， hete是点和原点连线与z轴的夹角，phi是点和原点连线在xy平面的投影与x轴的夹角。地球的经纬度就是球面坐标。

球坐标变换公式是：球坐标系(r，θ，φ)与直角坐标系(x，y，z)的转换关系:x=rsinθcosφ。y=rsinθsinφ。z=rcosθ。反之，直角坐标系(x，y，z)与球坐标系(r，θ，φ)的转换关系为:r= sqrt(x*2 + y*2 + z*2)。φ= arctan(y/x)。θ= arccos(z/r)。原理：地理坐标系用两个角值，纬度与经度，来表示地球表面的地点。正如二维直角坐标系专精在平面上，二维球坐标系可以很简易的设定圆球表面上的点的位置。在这里，我们认定这圆球是个单位圆球；其半径是1。通常我们可以忽略这圆球的半径。在解析旋转矩阵问题上，这方法是非常有用的。用来描述与分析拥有球状对称性质的物理问题，最自然的坐标系，莫非是球坐标系。例如，一个具有质量或电荷的圆球形位势场。两种重要的偏微分方程式，拉普拉斯方程与亥姆霍兹方程，在球坐标里，都可以成功的使用分离变数法求得解答。这种方程式在角部分的解答，皆呈球谐函数的形式。球坐标的概念，延伸至高维空间，则称为超球坐标(n-sphere)。

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球坐标是：以原点为球心的球面族，以z轴为轴的半平面族，和以原点为顶点的圆锥面族组成的坐标系，有三个参数，一般用希腊字母表示， ho是点到原点的距离， hete是点和原点连线与z轴的夹角，phi是点和原点连线在xy平面的投影与x轴的夹角。地球的经纬度就是球面坐标。

极坐标系也可以运用坐标(ρ, φ, θ)扩展为三维，其中ρ是距离球心的距离，φ是球半径在xy平面的投影距离x轴的角度（与极坐标中一样），θ是距离z轴的角度（称作余纬度或顶角，角度从0到180°）。这个坐标系被称作球坐标系。

球坐标系中,利用坐标变换公式：x=rsinθcosψ,y=rsinθsinψ,z=rcosψ（这个代换在大学数学里有的,非常重要,基本遇到球坐标都一定会用到的）这样,▽=(d/dx,d/dy,d/dz),就可以带入上式中的x,y,z求出来.举个例子,d/dx=...

球坐标用离原点距离r、平面角thita、高度角fai来定义物体的空间坐标。柱面坐标使用平面极坐标和Z方向距离来定义物体的空间坐标，即r、thita、z

2.4.1 笛卡尔坐标系 笛卡儿坐标系又称为直角坐标系，由一个原点（坐标为(0,0)）和两个通过原点的、相互垂直的坐标轴构成（见图2-11）。其中，水平方向的坐标轴为X轴，以向右为其正方向；垂直方向的坐标轴为Y轴，以向上为其正方向。平面上任何一点P都可以由X轴和Y轴的坐标所定义，即用一对坐标值（x,y）来定义一个点。 例如，某点的直角坐标为（3,4）。 2.4.2 极坐标系 极坐标系是由一个极点和一个极轴构成（见图2-12），极轴的方向为水平向右。平面上任何一点P都可以由该点到极点的连线长度L（>0）和连线与极轴的交角a（极角，逆时针方向为正）所定义，即用一对坐标值（L<a）来定义一个点，其中“<”表示角度。 例如，某点的极坐标为（5<30）。 2.4.3 相对坐标 在某些情况下，用户需要直接通过点与点之间的相对位移来绘制图形，而不想指定每个点的绝对坐标。为此，AutoCAD提供了使用相对坐标的办法。所谓相对坐标，就是某点与相对点的相对位移值，在AutoCAD中相对坐标用“@”标识。使用相对坐标时可以使用笛卡儿坐标，也可以使用极坐标，可根据具体情况而定。 例如，某一直线的起点坐标为（5,5）、终点坐标为（10,5），则终点相对于起点的相对坐标为（@5,0）,用相对极坐标表示应为（@5<0）。 2.4.4 坐标值的显示 在屏幕底部状态栏中显示当前光标所处位置的坐标值,该坐标值有三种显示状态，如图2-13所示。 (1) 绝对坐标状态：显示光标所在位置的坐标。 (2) 相对极坐标状态：在相对于前一点来指定第二点时可使用此状态。 (3) 关闭状态：颜色变为灰色，并“冻结”关闭时所显示的坐标值。 用户可根据需要在这三种状态之间进行切换，方法也有三种： (1) 连续按F6键可在这三种状态之间相互切换。 (2) 在状态栏中显示坐标值的区域，双击也可以进行切换。 (3) 在状态栏中显示坐标值的区域，单击右键可弹出快捷菜单，如图2-14所示，可在菜单中选择所需状态。 2.4.5 WCS和UCS AutoCAD系统为用户提供了一个绝对的坐标系，即世界坐标系（WCS）。通常，AutoCAD构造新图形时将自动使用WCS。虽然WCS不可更改，但可以从任意角度、任意方向来观察或旋转。 相对于世界坐标系WCS，用户可根据需要创建无限多的坐标系，这些坐标系称为用户坐标系（UCS，User Coordinate System）。用户使用“ucs”命令来对UCS进行定义、保存、恢复和移动等一系列操作，详见19.3。如果在用户坐标系UCS下想要参照世界坐标系WCS指定点，在坐标值前加星号“*”。

先把空间区域投影到到yOz平面，而φ是z正轴到z负轴的角度，要从空间方程取得φ，先把x设为0，方程变为f(y,z)=0这形式内，然后两个关于y和z的方程的交接点，以第一象限为准，最后φ=arctan(z坐标容/y坐标)，对于锥面，φ一般为π/4。 球坐标系是三维坐标系的一种，用以确定三维空间中点、线、面以及体的位置，它以坐标原点为参考点，由方位角、仰角和距离构成。球坐标系在地理学、天文学中都有着广泛应用。

▽A=(i*d/dx+j*d/dy+k*d/dz)A=i*dA/dx+j*dA/dy+k*dA/dz，标量场通过哈密顿算子运算就成了矢量场，该矢量场反应了标量场的分布。点乘运算：▽·zhiA=(i*d/dx+j*d/dy+k*d/dz)·(Ax*i+Ay*j+Az*k)=dAx/dx+dAy/dy+dAz/dz。叉乘运算：▽×A=(dAz/dy-dAy/dz)*i+(dAx/dz-dAz/dx)*j+(dAy/dx-dAx/dy)*k。标量场的梯度与矢量场的散度、旋度计算公式：[梯度]：gradA=▽A；[散度]：divA=▽·A；[旋度]：rotA=▽×A.A——标量。扩展资料：假设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数(r，θ，φ)来确定，其中r为原点O与点P间的距离；θ为有向线段OP与z轴正向的夹角；φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到OM所转过的角，这里M为点P在xOy面上的投影。这样的三个数r，θ，φ叫做点P的球面坐标，显然，这里r，θ，φ的变化范围为r∈[0,+∞)，θ∈[0, π]， φ∈[0,2π] 。当r,θ或φ分别为常数时，可以表示如下特殊曲面：r = 常数，即以原点为心的球面；θ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；φ= 常数，即过z轴的半平面。参考资料来源：百度百科-球坐标系

球面坐标系是表示三维空间中某一点的另一种方式。它也要求三个数值，其中两个是角度，第三个是距离。想象一条来自原点的射线(线段)，它的两个角度可以决定该射线的方向。X=OPcos=rsinφcosθY=OPsin=rsinφsinθZ=rcosφ

1).球坐标系(r,θ,φ)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系:x=rsinθcosφ.y=rsinθsinφ.z=rcosθ.2).反之，直角坐标系(x,y,z)与球坐标系(r,θ,φ)的转换关系为:

圆柱坐标系是极坐标系在三维空间往z-轴的延伸。{displaystyle z}坐标用来表示高度。使用以下方程式，可以从球坐标变换为圆柱坐标 ：反过来，可以从圆柱坐标变换为球坐标：球坐标系下的积分和微分公式梯度公式：散度公式：拉普拉斯算子：[3]

在球坐标系中展开意思如下:球坐标系是三维坐标系的一种，用以确定三维空间中点、线、面以及体的位置，它以坐标原点为参考点，由方位角、仰角和距离构成。球坐标系在地理学、天文学中都有着广泛应用。球坐标系　　球坐标中是这样表示空间中一点的：用ρ表示点到原点的距离，0 ≤ ρ≤ +∞；在ρz平面上，从z轴正半轴向ρ偏转的角度是φ，0 ≤ φ≤ π；从x轴偏转到平面的角度是θ，0 ≤ θ≤ 2π，如下图所示：　　被称作球坐标的原因是，如果固定了ρ=a作为半径，通过移动ρ就可以得到一个球面，φ就是ρ的南北朝向，0°≤ φ < 90°，ρ朝北，90°<φ≤ 180°，ρ朝南：　　如果将上图看作地球，φ和纬度相似，都是衡量点到南北极点的距离。当然，在具体度量上有所差别，地理上赤道是0°纬线，然后向两极递增；球坐标的φ从北极点出发，向南极递增，赤道位置是90°。θ和经度类似，用来衡量东西方位，因此可将x轴正半轴的指向看作本初子午线，也就是0°经线，由于球坐标中θ的取值是[0, 2π],所以只有东经没有西经。　　球坐标到柱坐标的互相转换相当于rz平面的极坐标表示法：　　以上是球坐标系的所有公式，实际上只要记住图形就可以了。　　如果仅定义了ρ和φ，相当于向量绕着z轴旋转；特别地，当ρ从原点出发绕z轴旋转，将形成一个圆椎体，如下图所示：　　如果φ=π/2，则变成扁平的高度为0的圆锥——xy平面的圆。球坐标系的积分　　想要计算三重积分，就需要知道体积积元dv，在球坐标系中dv需要转换成dρdφdθ，那么三者的顺序，也就是面积积元应当是什么？　　尝试用dφdθ作为面积积元，如下图所示：　　ΔS是三维空间中物体便面积的微小面积块，在球坐标系中，当Δφ和Δθ足够小时，ΔS的两边p和q可以看作以O和O" 为圆心的圆的微小弧长，两个圆互相垂直。如果两个圆的半径分别为r和a，则：　　Δρ是ΔV的厚度积元，对于球坐标来说，a = ρ：　　通常按照dρdφdθ的顺序计算最为简单。综合示例示例1　　计算单位球和z = 2-1/2所围的区域的体积：　　尝试使用球坐标处理，积分很简单：　　问题转换成确定ρφθ的取值范围。因为是球体，很明显θ的取值范围就是[0, 2π]。通过球体的切面图形确定其余两个积元的取值：　　切面左右两侧对称，只需要观察一侧即可。φ是直角三角形的一角，随着ρ的滑动，φ的取值将是[0, π/4]。无论φ怎样取值，ρ的最大值都在球面上，所以ρ的最大值是1。当φ=0时，ρ在z轴上，此时ρ的最小值是2-1/2。这里很容易将ρ的取值误判为[2-1/2, 1]，这需要用下图解释：　　ρ向z轴方向旋转，此时φ减小，ρ的最大值始终位于球面，最小值是ρ与平面的交点处，所以ρ与φ有关。当ρ取最小值时，z始终是2-1/2，通过球坐标的公式可知：

地球坐标系有两种几何表达方式，即地球直角坐标系和地球大地坐标系。地球直角坐标系的定义是：原点O与地球质心重合，Z轴指向地球北极，X轴指向地球赤道面与格林尼治子午圈的交点

球面坐标系吧。如地球上的地理坐标系就是一例，天球坐标系则是另一例。

当然是属于的球坐标系是利用球坐标表示点p在三维空间的位置一种三维正交坐标系与直角坐标系，柱坐标系三者都是常用的

到原点的距离dr, 与z轴的夹角dθ, 与x轴的夹角dφ r,φ,θ的变化范围为r∈[0,+∞),φ∈[0,2π],θ∈[0,π] 在球坐标系中,体积元的体积微元为： dV=dl(r)*dl(θ)*dl(φ)=r^2*sinθdrdθdφ

1：画图，直观得到2：根据所给空间的方程： θ的积分限确定：先求出在Dxy平面的投影方程（消去Z），然后画出图像得到。 ψ ：直接将球面代换的X,Y,Z带入原空间方程，得到ψ 的取值范围。

球面坐标系是以地球面上任一点为极点，用垂直圈和等高圈组成的球面坐标网。

球坐标系角速度w的方向指定义在球坐标系中的方向。根据查询相关公开信息显示，球坐标系角速度w的方向是指定义在球坐标系中的角速度w的方向，该方向通常与球坐标系x轴、y轴、z轴有关，即：当w在x轴上定义时，可以等于-1或1；当w在y轴上定义时，可以等于-1或1；而当w在z轴上定义时，可以等于-1或1。

三重积分求的是体积，求表面积用的是二重曲面积分，计算的时候可能会化为三重积分，用高斯公式。如果光是求三重积分球面坐标的话，那就带入球面坐标，分部积分即可。另外，二重曲面积分化为三重积分只是针对第二型曲面积分，第一型的话一般都是公式法

xa=longitude

球坐标中是这样表示空间中一点的：用ρ表示点到原点的距离，0≤ρ≤+∞，在ρz平面上，从z轴正半轴向ρ偏转的角度是φ，0≤φ≤π，从x轴偏转到平面的角度是θ，0≤θ≤2π。被称作球坐标的原因是，如果固定了ρ＝a作为半径，通过移动ρ就可以得到一个球面，φ就是ρ的南北朝向，0°≤φ< 90°，ρ朝北，90°<φ≤180°，ρ朝南。直角坐标系法适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法：⑴先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。①区域条件：对积分区域Ω无限制。②函数条件：对f（x,y,z）无限制。

不是这样的吧？它应该是个参数方程的，就是：z=rcosφx=rsinθcosφy=rsinθsinφr是球半径，φ是原点到球面上某点的向量与z轴正方向的夹角，θ是该向量与x轴正方向的夹角。

圆柱坐标系的直角坐标为 (ρ, θ, z)，其中ρ表示极径或半径，θ表示与x轴的夹角，z表示z轴坐标。而球坐标系的直角坐标为 (r, θ, φ)，其中r表示球心到点的距离，θ表示与x轴的夹角，φ表示该点到正极面的极角。虽然它们的变量名称有些类似，但ρ和r并不相同。圆柱坐标系和球坐标系是两个独立的坐标系，二者的坐标系方程、变量以及物理意义都是不同的。因此，圆柱里的ρ和球坐标系里的r是不相同的。

1 被积函数图像上任意一点P与原点的连线与 z轴正方向之间的夹角为φ2 原点与点 P 的连线，在 xoy平面上的投影线，与正 x轴之间的方位角为θ

地平坐标系（方位角，仰角）第一赤道坐标系（时角，赤纬）第二赤道坐标系（赤经，赤纬）黄道坐标系（黄经，黄纬）银道坐标系（银经，银纬）基本上所有的天文观测，采用的都是这五种坐标系。

fluent建模时三维坐标系中一般用：1、最基本笛卡尔直角坐标系（x,y,z）。2、球坐标系（r，φ，θ），r是点到原点距离，φ为从正z轴自x轴按逆时针方向转到点与原点连线在xy平面内投影所转过的角，θ为点与原点连线与z轴正向的夹角。3、柱坐标系（r、φ、z），r，φ与球坐标系一样，z是点的纵坐标。4、在三维坐标系中，Z轴的正轴方向是根据右手定则确定的。右手定则也决定三维空间中任一坐标轴的正旋转方向。要标注X、Y和Z轴的正轴方向，就将右手背对着屏幕放置，拇指即指向X轴的正方向。伸出食指和中指，食指指向Y轴的正方向，中指所指示的方向即是Z轴的正方向。

在地球面上确定点的位置除了用地理坐标（即用经纬度表示的坐标，如武汉位于北纬29度，东经113度）外，还可以视地球为球体，用其他坐标系统确定点的位置，如球面坐标系。当地图投影为斜轴投影或横轴投影时，应用球面坐标系，类似地理坐标系求正轴投影公式，则可以简化求得斜轴或横轴投影公式。 经纬网(绕着球体的一种网格状参考网)是基于球面坐标系的。一般而言，参照导航和对地球位置进行定位需要一种不同的坐标系，它比数学家使用的更抽象一些 。该系统的原点是地心点。赤道则是x-y平面与我们所想象的地球球体的相交线。为了确定一个点的坐标，需要一个角度(纬度)来测定它与x-y平面的夹角，另一个角度(经度)则在x-y平面上，它是该点与英格兰格林尼治子午线之间的夹角。第三个值在数学球面坐标系中是从原点到该点这条射线上的距离长度。但在经纬度系统中，高程一般不是这样定义，它是指沿着这条射线，该点与平均海平面(MSL)或NAVSTAR GPS中使用重力定义的伪椭球体之间的距离，这些内容我们会在后面进行讨论。通过使用这三个数值，就能够对地球上任意一点的位置进行定位和表达。当然，这些数值需要有一套限制参数。根据坐标系所选择的参数(如单位)的不同，地表上的任何一个指定点都可以使用多套数值集来表示。在组织GIS数据时，这些参数必须一致。

【解】极坐标系,在某一平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。柱面坐标使用平面极坐标和Z方向距离来定义物体的空间坐标，即r、thita、z.柱面坐标系就是平面极坐标系加上轴。(球坐标用离原点距离r、平面角thita、高度角fai来定义物体的空间坐标。)自然坐标系是沿质点的运动轨道建立的坐标系.在质点运动轨道上任取一点作为坐标原点O,质点在任意时刻的位置,都可用它到坐标原点O的轨迹的长度来表示.在自然坐标系中,两个单位矢量是这样定义的:切向单位矢量,沿质点所在点的轨道切线方向;法向单位矢量,垂直于在同一点的切向单位矢量而指向曲线的凹侧.可见这两个单位矢量的方向,也是随质点位置的不同而不同的.（在自然坐标系中表示质点速度,是非常简单的,因为无论质点处在什么位置上速度都只有切向分量,而没有法向分量.自然坐标系不仅适用于平面运动,也可以用于三维空间的运动.不过在三维情况下,应该引入两个法向单位矢量.）

只是习惯而已

球坐标系由半径和这3个角向量组成，表示3维空间。这3个角类似于空间直角坐标系中的x，y，z3个轴。

球坐标中是这样表示空间中一点的：用ρ表示点到原点的距离，0≤ρ≤+∞；在ρz平面上，从z轴正半轴向ρ偏转的角度是φ，0≤φ≤π；从x轴偏转到平面的角度是θ，0≤θ≤2π，被称作球坐标的原因是，如果固定了ρ＝a作为半径，通过移动ρ就可以得到一个球面，φ就是ρ的南北朝向，0°≤φ< 90°，ρ朝北，90°<φ≤180°，ρ朝南。坐标系用两个角值，纬度与经度，来表示地球表面的地点。正如二维直角坐标系专精在平面上，二维球坐标系可以很简易的设定圆球表面上的点的位置。在这里，我们认定这圆球是个单位圆球；其半径是1。通常我们可以忽略这圆球的半径。在解析旋转矩阵问题上，这方法是非常有用的。例解假设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数(r，θ，φ)来确定，其中r为原点O与点P间的距离；θ为有向线段OP与z轴正向的夹角；φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到OM所转过的角，这里M为点P在xOy面上的投影。这样的三个数r，θ，φ叫做点P的球面坐标，显然，这里r，θ，φ的变化范围为r∈[0,+∞)，θ∈[0, π]， φ∈[0,2π]。当r,θ或φ分别为常数时,可以表示如下特殊曲面:r = 常数，即以原点为心的球面；θ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；φ= 常数，即过z轴的半平面。

我猜的。

那么φ的上下限应该是0到π还是0到2π？应该是0到π因为φ是指过原点引射线，射线与z轴正向的夹角。它的最大范围是：0到π

就是球坐标系下求解散度的公式啊，教材正文或者附录中都会有这个公式的，E只和r有关系，并且只有r方向的分量，其大小随着r的增大而增大，与xita，fai都没有关系，照着球坐标系散度公式代入计算就可以了。 E=Er er+Eθ eθ+Eφ eφ=(r^3+Ar^2)er+0+0 Er=r^3+Ar^2，Eθ =Eφ=0 把Er代入到第三个式子，求导即可。

m点？是正方体的中心吗？如果是因为am=√[(3-0)²+(-1-1)²+(2-2)²]=√13所以正方体的体对角线的长是2√13则棱长是2√13/√3=2√39/3

　　质点的运动方程是描述质点随时间变化的函数方程，表达式为r=r(t),在二维坐标系上一般表示为：r(t)=x(t)i+y(t)j.　　质点的轨道方程，也叫轨迹方程，表示质点运动的曲线方程，表达式为：y=f(x).　　二者的区别主要有：轨迹方程是x和y的函数,运动方程是x与t的函数。质点的运动方程和轨迹方程可以互相转换。前者可以看做向量，后者可以看出是函数关系。

这个你在网上找不道，这都是复制的。 你就得查书，挺多这都查不到。

看数析课本,高等数课本行,物理先数.球坐标种三维坐标 设M（xyz）空间内点则点M用三序数rφθ确定其r原点O与点M间距离φ向线段与z轴向所夹角θz轴看自x轴按逆针向转向线段角P点MxOy面投影三数rφθ叫做点M球面坐标rφθ变化范围 0 ≤ r < +∞, 0 ≤φ≤ π, 0 ≤θ≤ 2π. r = 数即原点球面； φ= 数即原点顶点、z轴轴圆锥面； θ = 数即z轴半平面换直角坐标系x=rsinφ cosθy=rsinφ sinθz=rcosφ具体物理问题我太清楚

世界上不同的民族、不同的国家，都选用不同的方法去认识天空现象。这不同的方法认识的结果，是产生了世界学术界大家公认的三种天球坐标系，即我国的赤道坐标系统，阿拉伯的地平坐标系统，希腊的黄道坐标系统。三种天球坐标系与生俱来的差异，决定了它们在实地观测中空间取向上的差异。这种差异体现出赤道坐标系的独特性，同时也是我国古代天文学的独特性。我国古代天文学的赤道坐标系，是用于对整个天地的划分，赤经、赤纬是不变的，依据天极、赤道划分的南北东西也是固定的。它不同于阿拉伯系统所使用的那种地平坐标系，因为它是以观测者为中心来确定天顶和天底，地平经度与地平纬度随观测者所在地不同而不同，依据天顶、天底、地平圈划分的南北东西也是随之变化的。赤道坐标系以天极为中心来划分东南西北4个方位，是将整圈赤道等分为4等；以天顶为中心来划分东南西北4个方位，划分的是以观测者为中心的东南西北4个方位。比如殷商时主要活动地域是河南一带，如果以被古人视为“地中”的阳城为中心来划分方位，划分的就是中华大地的东西南北中。依据赤道坐标系的十二辰而制订的“十二支”历法为例，如果将“十二支”认作“地平十二支”，就会在地平坐标系内探询十二支的空间取向。比如以阳城为中心来划分12个方位，在中华大地的东、西、南、北、中地域探询十二支的时空依据。中华大地的东、西、南、北、中是无法圆出360度的，只有赤道坐标系所界定的整个天地的十二时辰才是十二支的真正归宿。现今天文学中以英国格林尼治本初子午线为基准的一天24小时划分，与我国古代历法的一天十二时辰直接对应；现代天文学的赤道大圆360度与我国古代天文学的二十八宿如出一辙。现代南北两个半球的划分是依据赤道一分为二。这些都体现出现代天文学是对我国古代天文学赤道坐标系的承传，并证实了我国古代赤道坐标系是用于对整个天地的划分。我国古代独特的赤道坐标系统的实在性和科学性，蕴涵着古代先哲们对时间、空间与物质世界科学认知的思想精华，对认识宇宙具有重大意义。

x²+y²+z²=r²z=rcosφ∴球面的球面坐标方程为r²=rcosφ即：r=cosφ∴r的下限为0，上限为cosφ