均值

在高中数学中有四个常用的均值不等式：（1）对于两个实数a和b，a²+b²≥2ab；（2）对于两个非负数，两数之和大于等于两数积的算术平方根的2倍；（3）若a、b、c是非负数，则a³+b³+c³≥3abc；（4）若a、b、c是非负数，三数之和大于等于三数积的立方根的3倍。

算术-几何平均值不等式，简称算几不等式，是一个常见而基本的不等式，表现了算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。算术-几何平均值不等式，简称算几不等式，是一个常见而基本的不等式，表现了算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设为n个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：等号成立当且仅当。算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。算术-几何平均值不等式有时被称为平均值不等式（或均值不等式），其实后者是一组更广泛的不等式。一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可以为 中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“其中，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域。整式不等式：整式不等式两边都是整式（即未知数不在分母上）。一元一次不等式：含有一个未知数(即一元),并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式。如3-X>0同理：二元一次不等式：含有两个未知数(即二元),并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式。

1常数代换例1：x，y 均为正实数，且 2x+y=1，求 1/x + 1/y 的最小值。本题较简单，在原式上乘以1，即2x+y即可：例2：x，y 均为正实数，且 x+3y=5xy，求 3x+4y 的最小值本题表面不存在常数，但只要将题设条件左右同时除以 5xy，即出现常数1。2换元换元的关键在于务必保留约束条件的全部信息。例3：x，y 均为正实数，且 x+2y+2xy=8，求 x+2y 的最小值本例似乎无法使用常数代换，考虑换元法。可令：p=x+2y，q=2xy，于是 p+q=8，但仅仅这样的话，并没有保留约束条件的全部信息，比如：p=2，q=6，是符合 p+q=8 这个约束条件的，但很明显这个方程组是无法解得 x，y 的正实数解的。即 p+q=8 并没有保留原始约束条件的全部信息，我们需要再加上其他的约束条件：故：上述条件即保留了完整约束信息，满足上述条件的 p，q 实数对，必然能联立解出 x，y 的正实数解。将 q=8-p 代入②式：解关于 p 的二次不等式且 p>0，解得 p=x+2y≥4，即 x+2y 的最小值为 4，当 x=2，y=1 时等号成立。3二次分式值域上述两种方法，可以解决高考中均值不等式的大部分问题。除此之外，还有一些问题可能间接的用到均值不等式，比如二次分式值域问题。例4：求二次分式的值域类似的题目，常数分离都是首要思路之一法一：如果此时分子只有一次项，则可以上下同除以 x，利用均值不等式或者对钩函数性质求解。但上式还包含常数项，能否使用同样的思路呢？只需简单的换元即可：令：t=3x+2，则：x=t/3-2/3则：此时，可以根据均值不等式或对钩函数性质解得函数值域为 [ 5/7 , 3] 。（注意：最终的⑤式中，分子不可能等于0，即⑤式不可能等于2，这是因为上下同除以了t，但原函数中t=0，即 x=-2/3 时，y 可以等于2。）还有一种比较直观的通用解法，即判别式法。判别式法的基本思路是：如果y能取到某一个值，则必有一个实数x与这个y值相对应，即y的取值必须满足x有实数解。法二：解：原函数可化为：整理得：当 y=2 时，x=-2/3当 y≠2 时，关于x的二次方程：所以，综上可得函数值域为 [ 5/7 , 3]。对所有二次分式值域问题，都可考虑用判别式法求解，但要注意变形后二次项系数是否为零及二次分式分母为零等问题，至于最终的代数结论，形式过于复杂

1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)。2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)。3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n。4、平方平均数：Qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn的式子即为均值不等式。不等式的性质。不等式两边相加或相减同一个数或式子，不等号的方向不变。（移项要变号）不等式两边相乘或相除同一个正数，不等号的方向不变。（相当系数化1，这是得正数才能使用）。不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。

四个不等式的几何解释

a>0,b>0√(ab)≤(a+b)/2.完整的平均值不等式就是调和平均数≤几何平均数≤算数平均数≤平方平均数.

1、log(1/2)y=1/log(1/2)x=log(1/2)(1/2)/log(1/2)x=log(1/2)[(1/2)-x]即y=(1/2)-x即x+y=1/2xy≤[(x+y)/2]^2=1/16填:大1/162、因为a>b>c>d所以差值最大的是a-d左式≥3√{[1/(a-b)][1/(b-c)][1/(c-d)]}下面全换最大变最小，此时n=33、1=x^2+y^2-xy≥2xy-xy=xy即xy≤1则x^2+y^2=1+xy≤2为最大值设x=acost,y=asint左式x^2-xy+y^2=a^2-(a^2/2)sin2t=1右式=a^2a^2=2/(2-sin2t)，sin2t取-1时最小值为2/34、a√(2+b^2)≤[(a^2+b^2)/2]+1又2a^+3b^2=2(a^2+b^2)+b^2=1得a^2+b^2=(1-b^2)/2代入第一式得[(1-b^2)/4]+1因b^2≥0所以原式≥5/45、因为x,y都是正数，所以乘除根号都可以，由4x+y≥mxy两边除xy可得4/y+1/x≥m再有x+y=4两边除4得x/4+y/4=14/y+1/x=(4/y+1/x)(x/4+y/4)=x/y+y/4x+5/4≥9/4m最大为9/4

自Cauchy提出并用数学归纳法证明了算术--几何平均值不等式以后,不断有新的证法出现,据一本书上介绍,证法已经达到几十种甚至上百种。 楼主的不等式显然打错了。下面给出另一个数学归纳法的证明。 附件： 平均值不等式的证明[2].doc

x在0，1之间，所以log(2)x小于0，由均值不等式得log(2)x+5/log(2)x小于等于-2√5,所以f(x)=2+log(2)x+5/log(2)x (0<x<1)的最大值是2-2√5

均值不等式常见题型及解析：若a，b，c是互不相等的实数，求证：a2+b2+c2>ab+bc+ac。证明：∵ a，b，c是互不相等的实数。∴ a2+b2>2ab， a2+c2>2ac， b2+c2>2bc。上面三个式子相加得 2a2+2b2+2c2>2ab+2bc+2ac。即a2+b2+c2>ab+bc+ac。均值不等式基本性质①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y（对称性）。②如果x>y，y>z；那么x>z（传递性）。③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z（加法原则，或叫同向不等式可加性）。④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz（乘法原则）。⑤如果x>y，m>n，那么x+m>y+n(充分不必要条件)。

设a1,a2,a3,...,an是n个正实数，则(a1+a2+a3+...+an)/n≥n次√(a1*a2*a3*...*an)，当且仅当a1=a2=…=an时，均值不等式左右两边取等号.我好像是高二才学的，叫基本不等式，也就是对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0“一正二定三相等”也就是两个都要是正数，两数相乘的积是一个常数，当两数相等时取等号高中我们只掌握基本不等式就够了。下面的变形记下也无妨均值不等式的变形(1)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b)(4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b)(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0(6)对非负数a,b，有a^2+b^2≥1/2*(a+b)^2≥ab(7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2(8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac(9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2

I DON"T KNOW

平方平均>=算术平均>=几何平均>=调和平均举个三个数的例子，即：[√(a^2+b^2+c^2)]/3>=(a+b+c)/3>=三次根号下(abc)>=3/[(1/a)+(1/b)+(1/c)]这个公式就背吧，很有用的。

均值不等式公式叫做平方平均数、算术平均数、几何平均数、调和平均数。基本不等式公式都包含：A=（a+b）/2，叫做a、b的算术平均数。G=√（ab），叫做a、b的几何平均数。S=√［（a^2+b^2）/2］，叫做a、b的平方平均数。H=2/（1/a+1/b）=2ab/（a+b）叫做调和平均数。不等关系：H=<G=<A=<S。其中G=<A是基本的。相关介绍均值不等式公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)。2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)。3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n。4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n。

当x和b/x都大于0时，有x+b/x>=2根号b，当且仅当x=b/x时，等号成立，这时才在最小值为2根号b

均值不等式公式是：1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√（a1^2+a2^2+...+an^2)/n均值不等式介绍：均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

均值不等式6个基本公式如下：关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式。几何平均数是对各变量值的连乘积开项数次方根。求几何平均数的方法叫做几何平均法。如果总水平、总成果等于所有阶段、所有环节水平、成果的连乘积总和时，求各阶段、各环节的一般水平、一般成果，要使用几何平均法计算几何平均数，而不能使用算术平均法计算算术平均数。根据所拿握资料的形式不同，其分为简单几何平均数和加权几何平均数两种形式。

均值不等式公式四个及证明均值不等式:a²+b²≥2ab;√(ab)≤(a+b)/2;a²+b²+c²≥(a+b+c)²/3;a+b+c≥3×三次根号abc。均值不等式证明：均值不等式是什么：均值不等式是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。

均值不等式公式四个及证明均值不等式:a²+b²≥2ab;√(ab)≤(a+b)/2;a²+b²+c²≥(a+b+c)²/3;a+b+c≥3×三次根号abc。均值不等式证明：均值不等式是什么：均值不等式是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。

若有两个正数x,y, 则(x+y)/2>=根号xy，当且仅当x=y时取等号两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

解：算术平均值≥几何平均值：即（a+b）/2≥√（ab）证明如下：a>0，b>0，且有（a-b）^2≥0即a^2-2ab+b^2≥0，两边同加上4aba^2+2ab+b^2≥4ab（a+b）^2≥4ab两边同时开平方：a+b≥2√（ab）（a+b）/2≥√（ab）特别当a=b时（a+b）/2=√（ab）

数学归纳法适用于证明可列（也称可数：即问题和1,2,3,4……相对应）类问题，平均值不等式不是这类问题，所以不适宜用数学归纳法来证明。

http://www.ltzx.org/XueKe/ShuXue/jiaoan/shuxueershang/diliuzhangbudengshi/junzhibudengshi2.doc

均值不等式链，又称为平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。证明关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式。

正规的叫法是平均值不等式，而非基本不等式。基本不等式是课标教材中的一种称谓，但不正规。很多不等式的常用结论，是不是也应纳入基本不等式的行列？例如：lnx≥x-1，x>041题http://tieba.baidu.com/p/2315496737?pn=2

当x和b/x都大于0时，有x+b/x>=2根号b，当且仅当x=b/x时，等号成立，这时才在最小值为2根号b

【均值不等式的简介】概念：1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√[(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qna1、a2、…、an∈R+，当且仅当a1=a2=…=an时取“=”号均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时);(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)）则有：当r<s时，D(r)≤D(s)注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)●【均值不等式的变形】(1)对正实数a,b，有a²+b²≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a²+b²>0>-2ab(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a×b)≥0，即(a+b)/2≥√(a×b)≥0(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a×b)(4)对实数a,b(a≥b)，有a(a-b)≥b(a-b)(5)对非负数a,b，有a²+b²≥2ab≥0(6)对非负数a,b，有a²+b²≥½×(a+b)²≥ab(7)对非负数a,b,c，有a²+b²+c²≥1/3*(a+b+c)²(8)对非负数a,b,c，有a²+b²+c²≥ab+bc+ac(9)对非负数a,b，有a²+ab+b²≥¾×a+b)²2/（1/a+1/b）≤√ab≤a+b/2≤√（(a²+b²)/2）●【均值不等式的证明】方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等下面介绍个好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=lnn次√(x1*x2*...*xn)即(x1+x2+...+xn)/n≥n次√(x1*x2*...*xn)●【均值不等式的应用】例一证明不等式：2√x≥3-1/x(x>0)证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*3次√(√x)*(√x)*(1/x)=3所以，2√x≥3-1/x例二长方形的面积为p，求周长的最小值解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p因为a+b≥2√ab，所以2(a+b)≥4√ab=4√p周长最小值为4√p例三长方形的周长为p，求面积的最大值解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p因为a+b=p/2≥2√ab，所以ab≤p^2/16面积最大值是p^2/16

平均值不等式也就是均值不等式，是数学中的一个重要公式，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。均值不等式也可以看成是“对于若干个非负实数，它们的算术平均不小于几何平均”的推论。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。平均值不等式的推导过程：∵(a-b)²=a²-2ab+b²≧0；∴a²+b²≧2ab；当且仅仅当a=b时等号成立(a，b∈R）。∵(√m-√n)²=m-2√(mn)+n≧0；∴m+n≧2√(mn)；当且仅仅当m=n时等号成立(m，n∈R+)。高中均值不等式：a²+b²≥2ab；√(ab)≤(a+b)/2；a²+b²+c²≥（a+b+c）²/3；a+b+c≥3×三次根号abc。

平均值不等式是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等。相关信息：不等式两边相加或相减同一个数或式子，不等号的方向不变。（移项要变号）不等式两边相乘或相除同一个正数，不等号的方向不变；相当系数化1，这是得正数才能使用。不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变；÷或×1个负数的时候要变号。

概念：1、调和平均数：Hn=2、几何平均数：Gn=3、算术平均数：An=4、平方平均数：Qn=5、均值定理： 如果属于 正实数 那么且仅当时 等号成立。这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qna1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r）（当r不等于0时）；（a1a2...an)^(1/n）（当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n））则 [1]当注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1）≤D(0）≤D⑴≤D⑵由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b）≤√ab≤（a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]均值定理的证明：因为 a 〉0 ， b 〉0 所以（ a+b）/2 - √ab =（ a+b-2√ab）/2 = (√a-√b)^2/2 ≥ 0即（ a+b）/2≥√ab. 当且仅当a= b ,等号成立。[1]编辑本段记忆调几算方，即调和平均数【Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)】≤ 几何平均数【Gn=(a1a2...an)^(1/n) 】≤算术平均数【An=(a1+a2+...+an)/n】 ≤平方平均数：【Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n】 Hn≤Gn≤An≤Qn编辑本段变形⑴对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab （当且仅当a=b时取“=”号），a^2+b^2>0>-2ab⑵对非负实数a,b，有a+b≥2√（a×b）≥0，即（a+b)/2≥√（a×b）≥0⑶对负实数a,b，有a+b<-2√（a*b)<0⑷对实数a,b，有a(a-b）≥b(a-b)⑸对非负实数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0⑹对实数a,b，有a^2+b^2≥1/2*(a+b）^2≥2ab⑺对实数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2⑻对实数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac⑼对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2⑽对非负数a,b,c，有（a+b+c)/3≥（abc)^(1/3)编辑本段证明均值不等式方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。引理：设A≥0，B≥0，则（A+B)^n≥A^n+nA^(n－1)B。注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）。原题等价于：（（a1+a2+…+an)/n)^n≥a1a2…an。当n=2时易证；假设当n=k时命题成立，即（（a1+a2+…+ak)/k)^k≥a1a2…ak。那么当n=k+1时，不妨设a(k+1）是a1，a2 ，…，a(k+1）中最大者，则k a(k+1）≥a1+a2+…+ak。设s=a1+a2+…+ak，{[a1+a2+…+a(k+1)]/(k+1)}^(k+1)={s/k+[k a(k+1）－s]/[k(k+1)]}^(k+1)≥（s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k[k a(k+1）－s]/k(k+1) 用引理=(s/k)^k* a(k+1)≥a1a2…a(k+1）。用归纳假设下面介绍个好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函数f(x），x1,x2,...xn是函数f(x）在区间（a,b）内的任意n个点，则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]设f(x)=lnx，f(x）为上凸增函数所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1/n)]即（x1+x2+...+xn)/n≥（x1*x2*...*xn)^(1/n)在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）编辑本段应用例一 证明不等式：2√x≥3-1/x (x>0)证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*[（√x)*（√x)*(1/x)]^(1/3)=3所以，2√x≥3-1/x例二 长方形的面积为p，求周长的最小值解：设长，宽分别为a,b，则a*b=p因为a+b≥2√（ab），所以2(a+b）≥4√（ab)=4√p周长最小值为4√p例三 长方形的周长为p，求面积的最大值解：设长，宽分别为a,b，则2(a+b)=p因为a+b=p/2≥2√（ab），所以ab≤p^2/16面积最大值是p^2/16编辑本段其他不等式琴生不等式 （具有凹凸性）绝对值不等式权方和不等式赫尔德不等式闵可夫斯基不等式贝努利不等式柯西不等式切比雪夫不等式外森比克不等式排序不等式编辑本段重要不等式柯西不等式柯西不等式的一般证法有以下几种：⑴Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,bi，则有 （∑ai^2) * （∑bi^2) ≥ （∑ai * bi)^2.我们令 f(x) = ∑（ai + x * bi)^2 = （∑bi^2) * x^2 + 2 * （∑ai * bi) * x + （∑ai^2)则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * （∑ai * bi)^2 - 4 * （∑ai^2) * （∑bi^2) ≤ 0.于是移项得到结论。⑵用向量来证.m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以（b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX．因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以（b1^+b2^+......+bn^)^1/2这就证明了不等式．柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法．柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。巧拆常数：例：设a、b、c 为正数且各不相等。求证：（2/a+c)+(2/b+c)+(2/c+a)>(9/a+b+c)分析：∵a 、b 、c 均为正数∴为证结论正确只需证：2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]>9而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)又 9=(1+1+1)(1+1+1)证明：Θ2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]≥（1+1+1)(1+1+1)=9又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立∴原不等式成立。像这样的例子还有很多，词条里不再一一列举，大家可以在参考资料里找到柯西不等式的证明及应用的具体文献．排序不等式排序不等式是高中数学竞赛大纲要求的基本不等式。设有两组数 a 1,a 2，…… a n,b 1,b 2，…… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n,b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 则有 a 1 b n + a 2 b n?1 +……+ a n b1≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 +……+ a n b n 式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列， 当且仅当 a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 时成立。以上排序不等式也可简记为：反序和≤乱序和≤同序和.证明时可采用逐步调整法。例如，证明：其余不变时，将a 1 b 1 + a 2 b 2 调整为a 1 b 2 + a 2 b 1 ，值变小，只需作差证明（a 1 -a 2)*（b 1 -b 2）≥0，这由题知成立。依次类推，根据逐步调整法，排序不等式得证。切比雪夫不等式切比雪夫不等式有两个⑴设存在数列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≤b2≤b3≤......≤bn那么，∑aibi≥（1/n）（∑ai）（∑bi)⑵设存在数列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≥b2≥b3≥......≥bn那么，∑aibi≤（1/n）（∑ai）（∑bi)琴生不等式设f(x）为上凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n，称为琴生不等式（幂平均）。加权形式为：f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn），其中ai>=0(i=1,2，……，n），且a1+a2+……+an=1.从图中直观地证明E1F1≥E2F2≥E3F3≥E4F4，当a=b时取等号。幂平均不等式幂平均不等式：ai>0(1≤i≤n），且α>；β，则有（∑ai^α/n)^1/α≥（∑ai^β/n)^1/β成立iff a1=a2=a3=……=an 时取等号加权的形式：设ai>0，pi>0(1≤i≤n），且α>；β，则有（∑pi*ai^α/∑pi)^1/α≥（∑pi*ai^β/∑pi)^1/βiff a1=a2=a3=……=an， p1=p2=p3=……=pn 时取等号。特例：- 调和平均（-1次幂）， - 几何平均（0次幂）， - 算术平均（1次幂）， ， - 二次平均（2次

　　超几何分布是统计学上一种离散概率分布。它描述了由有限个物件中抽出n个物件，成功抽出指定种类的物件的次数（不归还）。　　在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=k，则P(X=k)=C（M，k）·C(N-M,n-k)/C(N,n）， C（a b）为古典概型的组合形式，a为下限，b为上限，此时我们称随机变量X服从超几何分布（hypergeometric distribution）　　（1）超几何分布的模型是不放回抽样　　（2）超几何分布中的参数是M,N,n上述超几何分布记作X~H(N,n,M）。　　期望　　对X~H(N，M，n），E(x)=nM/N　　证明：引理一：∑{C(x,a)*C(d-x,b),x=0..min{a,d}}=C(d,a+b），考察（1+x)^a*（1+x)^b中x^d的系数即得。（另：还可以由超几何分布1=∑P(X=K),k=0,1,2....n得）　　引理二：k*C(k,n)=n*C(k-1,n-1），易得。　　正式证明：　　EX=∑{k*C(k,M)*C(n-k,N-M)/C(n,N),k=0..min{M,n}}　　=1/C(n,N)*∑{M*C(k-1,M-1）*C(n-k,N-M),k=1..min{M,n}}　　//（提取公因式，同时用引理二变形，注意k的取值改变）　　=M/C(n,N)*∑{C(k-1,M-1）*C(n-k,N-M),k=1..min{M,n}} （提取，整理出引理一的前提）　　=M*C(n-1,N-1）/C(n,N) （利用引理一）　　=Mn/N （化简即得）　　二项分布即重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布就是伯努利分布。　　证明:由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p.因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和.　　设随机变量X（k）(k=1,2,3...n)服从（0-1）分布，则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n).　　因X(k)相互独立,所以期望：E(X)=E[X(1)+X(2)+X(3)....X(n)]=np.　　方差：D(X)=D[X(1)+X(2)+X(3)....X(n)]=np(1-p).　　证毕.

几何分布的期望和方差公式分别是E(n)等于1/p、E(m)等于(1-p)/p，几何分布是离散型概率分布。其中一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。详细地说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。几何分布是帕斯卡分布当r=1时的特例。数学期望，在概率论和统计学中是指试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。

指数分布的期望：E（X）=1/λ。指数分布的方差：D（X）=Var（X）=1/λ²。指数分布与分布指数族的分类不同，后者是包含指数分布作为其成员之一的大类概率分布，也包括正态分布，二项分布，伽马分布，泊松分布等等。六个常见分布的期望和方差：1、均匀分布，期望是（a+b）/2，方差是（b-a）的平方/12。2、二项分布，期望是np，方差是npq。3、泊松分布，期望是p，方差是p。4、指数分布，期望是1/p,方差是1/(p的平方)。5、正态分布，期望是u，方差是&的平方。6、x服从参数为p的0-1分布，则e(x)=p，d(x)=p(1-p)。

x和2113y相互独立则有fx（x）*fy（y）=f（x，y）。y服从均值为1/2的指数分布，即参数1/λ5261=1/2，λ=2然后就可以对联合4102分布p（y<=x）=∫∫f（x，y）dydxx（0，2）。y（0，x）求积分。结果为16531/4*（3+e^(-4))样本均值的抽样分布在形状上却是对称的2113。随着样本量n的增大，不论原来5261的总体是否服从正态分布，样本均值的抽样分布都将趋于正态分布，其4102分布的数学期望为总体均值μ，方差为总体方差的1/n。扩展资料指数分布与分布指数族的分类不同，后者是包含指数分布作为其成员之一的大类概率分布，也包括正态分布，二项分布，伽马分布，泊松分布等等。指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又称遗失记忆性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，当s,t>0时有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。指数分布虽然不能作为机械零件功能参数的分布规律，但是，它可以近似地作为高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型，特别是在部件或机器的整机试验中得到广泛的应用。参考资料来源：百度百科-指数分布

x和y相互独立则有fx（x）*fy（y）=f（x，y）y服从均值为1/2的指数分布，即参数1/λ=1/2，λ=2然后就可以对联合分布p（y<=x）=∫∫f（x，y）dydxx（0，2）y（0，x）求积分结果为1/4*（3+e^(-4))

以1/θ为参数的指数分布，期望是θ，方差是θ的平方 这是同济大学4版概率论的说法。当然，一般参考书说成：以λ为参数的指数分布，期望是1/λ，方差是（1/λ）的平方

令原件寿命为x，x服从参数为λ的指数分布。则x的密度函数如下： 由密度函数可知x的期望Ex＝1/λ 方差Dx＝1/(λ^2) 现在已知Ex=100,则λ＝1/100.所以Dx＝10000 Xi是从指数分布整体随机抽样，所以Xi也服从λ＝1/100的指数分布，因此E(Xi)=100,D(Xi)=100...

比如你射击n次，每次射击命中的概率为P，则n次射击中命中k（0≤k≤n）的概率为P（x=k）=[n!/(n-k)!×k!]P^k×(1-P)^(n-k)

你好！二项分布期望：E(x)=np.方差:D(x)=np(1-p)我的回答你还满意吗~~

shuju=[ ]; % 读入数据jun_zhi = mean(shuju) % 求均值biao_zhun_cha=std(shuju) % 标准差pian_du=skewness(shuju) % 偏度：>0 称为右偏态，<0，称为左偏态feng_du=kurtosis(shuju) % 峰度：用作衡量偏离正态分布的尺度之一

shuju=[ ]; % 读入数据x0dx0ajun_zhi = mean(shuju) % 求均值x0dx0abiao_zhun_cha=std(shuju) % 标准差x0dx0ax0dx0apian_du=skewness(shuju) % 偏度：>0 称为右偏态，<0，称为左偏态x0dx0ax0dx0afeng_du=kurtosis(shuju) % 峰度：用作衡量偏离正态分布的尺度之一

shuju=[];%读入数据jun_zhi=mean(shuju)%求均值biao_zhun_cha=std(shuju)%标准差pian_du=skewness(shuju)%偏度：>0称为右偏态，<0，称为左偏态feng_du=kurtosis(shuju)%峰度：用作衡量偏离正态分布的尺度之一

标准误是样本均值抽bai样分布里的统计量。不是原始分布里的参数或统计量。样本均值分布是所有样本的均值呈现出的正态分布，坐标轴上的每一个数据都是一个样本的均值，而这个样本均值分布的均值则接近于总体的均值（期望的M）。标准误相当于样本均值分布的标准差，它衡量的是所有样本均值的离散趋势。峰度系数是用来反映频数分布曲线顶端尖峭或扁平程度的指标。有时两组数据的算术平均数、标准差和偏态系数都相同，但他们分布曲线顶端的高耸程度却不同。偏度系数是描述分布偏离对称性程度的一个特征数。当分布左右对称时，偏度系数为0。当偏度系数大于0时，即重尾在右侧时，该分布为右偏。当偏度系数小于0时，即重尾在左侧时，该分布左偏。扩展资料：在概率统计中最常使用作为统计分布程度（statisticaldispersion）上的测量。标准差定义是总体各单位标准值与其平均数离差平方的算术平均数的平方根。它反映组内个体间的离散程度。测量到分布程度的结果;为非负数值，与测量资料具有相同单位。一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。参考资料来源:标准差

设E(X)=μ则：E(X的平均值)=E(1/n·∑Xi) 【i从1到n】=1/n·E(∑Xi)=1/n·∑E(Xi)=1/n·nμ=μ

三维调和函数的平均值公式：f（x1，x2）=ln（x12+x22）。对于不可压缩流的二维流动，无论是有旋流动还是无旋流动，流体有粘性还是没有粘性，一定存在流函数。在三维流动中一般不存在流函数（轴对称流动除外），对于不可压缩流体的平面流动，流函数永远满足连续性方程。可以证明U上的分布T满足ΔT=0，则T是解析且调和的函数。为使在U上局部可积的函数f是调和的，必须且只须对U的任一点a及对任一使以a为中心、α为半径的闭球含于U中的正实数α，f(a)等于f在球B上的平均值。或等于f在以a为中心、α为半径的球面上的平均值。由此容易推出： 定义在连通开集U上、使 |f|在U的一点达到其极大值的调和函数是常值函数(极大值原理)。

f(x1,x2) =ln(x12+x22)。在某些教科书上平均值性质就是调和函数的定义，值得一提的是任何调和函数都可以局部地视为一个解析函数的实部，从而任意阶可导，从一个积分性质导出调和性质再导出任意阶可导是神奇的。正则性即函数的光滑程度的表述，接下来我们将研究调和函数的正则性（无限可微）。这个函数定义在R {0}上（实际上是一个均匀线电荷所产生的电势或一个细长的均匀无限长圆柱形物体产生的引力势所对应的数学模型）。性质：在给定的开集U上所有的调和函数的集合是其上的拉普拉斯算子Δ的核，因此是一个R的向量空间：调和函数的和与差以及数乘，结果依然是调和函数。如果f是U上的一个调和函数，那么f的所有偏导数也仍然是U上的调和函数，在调和函数类上，拉普拉斯算子和偏导数算子是交换的。

解答：（1）均值定理a>0,b>0则(a+b)/2≥√ab（2）简单的说，就是求和的最值时，需要积是定值求积的最值时，需要和是定值。需要具体的题目。给你个资料，http://wenku.baidu.com/link?url=y7GWrAqGw5tvKgOTxSdd11TpF37eXE72-qJvQUDQ12f7QVNtPB4EWBb09AGQJea_SBxgZqGDNIEf899nFDW_ZXSeztKJ8yWhQm0HHXNsiyy

如下：泊松分布的期望和方差均是λ，λ表示总体均值；P(X=0)=e^(-λ)。X～P(λ) 期望E(X)=λ，方差D(X)=λ 。利用泊松分布公式P(x=k)=e^(-λ)*λ^k/k!P表示概率，x表示某种函数关系，k表示数量，等号的右边，λ 表示事件的频率。P(λ)期望 E(X)=λ。方差D(X)=λ。利用泊松分布公式P(x=k)=e^(-λ)*λ^k/k!可知P(X=0)=e^(-λ)。泊松分布命名原因：泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。

公式：总资产周转率=销售收入/[（期初资产总额+期末资产总额）/2]总资产周转率没有统一的一个正常指标，每个企业情况不一样，周转率也不一样。总资产周转率是指企业在一定时期业务收入净额同平均资产总额的比率。总资产周转率的意义：该指标属于资产管理比率，反映总资产的周转速度，周转越快，说明销售能力越强。企业可以采用薄利多销的方法，加速资产周转，带来利润绝对额的增加。分析方法：总资产周转指标用于衡量企业运用资产赚取利润的能力。经常和反映盈利能力的指标一起使用，全面评价企业的盈利能力。扩展资料：总资产周转率公式总资产周转率（次）=营业收入净额/平均资产总额总资产周转率=销售收入/总资产总资产周转天数=360÷总资产周转率（次）公式中：营业收入净额是减去销售折扣及折让等后的净额。平均资产总额是指企业资产总额年初数与年末数的平均值。数值取自《资产负债表》其计算公式为：平均资产总额=（资产总额年初数+资产总额年末数）/2总资产周转率是考察企业资产运营效率的一项重要指标，体现了企业经营期间全部资产从投入到产出的流转速度，反映了企业全部资产的管理质量和利用效率。通过该指标的对比分析，可以反映企业本年度以及以前年度总资产的运营效率和变化，发现企业与同类企业在资产利用上的差距，促进企业挖掘潜力、积极创收、提高产品市场占有率、提高资产利用效率、一般情况下，该数值越高，表明企业总资产周转速度越快。销售能力越强，资产利用效率越高。参考资料来源：百度百科--总资产周转率

这个东西，我也是不熟悉。有人回答了，我也跟着学习。

平均速度是一种速度，有大小有方向。速度平均值指的是平均速度的大小，是数值。

首先速度是一个矢量，速度的平均值这样的提法本身就存在问题。但这种提法还是很常见，这时我们只能将速度理解为速率，即速度的平均值指全时段内速率的平均值。平均速度则是总位移除以总时间，也是一个矢量。火车以速度V经过某一段路。由于火车行驶中不可能保持一个速度不变。因此V只能是指平均速度。其实这句话中将速度与速率的概念模糊化了，因为在日常生活中并没有速度的概念，说的速度都是指速率。而这句话明显是来自于日常生活的，所以不必过分追究这里到底是速度还是速率，真要搞清楚恐怕只有去问说这话的人了。

均值不等式6个基本公式是、Hn≤Gn≤An≤Qn。1、均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。2、关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式。3、均值基本公式：已知x,y∈R+,x+y=S,x·y=P,如果P是定值，那么当且仅当x=y时，S有最小值；如果S是定值，那么当且仅当x=y时，P有最大值。或当a、b∈R+,a+b=k（定值）时，a+b≥2√ab (定值）当且仅当a=b时取等号。4、设X1,X2,X3,……，Xn为大于0的数，则X1+X2+X3+……＋Xn≥n乘n次根号下X1乘X2乘X3乘……乘Xn。均值定理，又称基本不等式。主要内容为在正实数范围内，若干数的几何平均数不超过他们的算术平均数，且当这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等。5、均值定理是高中数学学习中的一个非常重要的知识点，在函数求最值问题中有十分频繁的应用。均值定理特点：一正：各部分为正数。二定：不等号左或右是定值。三相等：等号能够取得。

abc的均值不等式公式：a^2+b^2 ≥ 2ab√(ab)≤(a+b)/2 ≤（a^2+b^2）/2a^2+b^2+c^2≥（a+b+c）^2/3≥ab+bc+aca+b+c≥3×三次根号abc证明关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法的证明方法：（注：在此证明的，是对n维形式的均值不等式的证明方法）用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

均值不等式公式如下：扩展资料不等式在初中、高中甚至竞赛中都是比较相对综合、有难度的一块内容，经常会与方程、函数等其它知识点一起考察，一般的题型有：解不等式、证明不等式、求最大最小值。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

均值不等式6个基本公式如下：关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式。几何平均数是对各变量值的连乘积开项数次方根。求几何平均数的方法叫做几何平均法。如果总水平、总成果等于所有阶段、所有环节水平、成果的连乘积总和时，求各阶段、各环节的一般水平、一般成果，要使用几何平均法计算几何平均数，而不能使用算术平均法计算算术平均数。根据所拿握资料的形式不同，其分为简单几何平均数和加权几何平均数两种形式。

均值不等式公式如下：1、√((a2+b2)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)。(当且仅当a=b时间，等号成立)2、√(ab)≤(a+b)/2。(当且仅当a=b时间，等号成立)3、a2+b2≥2ab。(当且仅当a=b时间，等号成立)4、ab≤(a+b)2/4。(当且仅当a=b时间，等号成立)5、||a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|。(当且仅当a=b时间，等号成立)均值不等式的证明关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式。用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）（或用二项展开公式更为简便）。以上资料参考：百度百科-均值不等式

定理1：如果a,b,c∈R，那么a³+b³+c³≥3abc，当且仅当a=b=c时，等号成立。定理2：如果a,b,c∈R+,那么（a+b+c)/3≥³√（abc),当且仅当a=b=c时，等号成立。结论：设x,y,z都是正数，则有：（1)若xyz=S(定值），则当x=y=z时，x+y+z有最小值3³√S。（2)若x+y+z=P(定值），则当x=y=z时，xyz有最大值P³/27。记忆：“一正、二定、三相等”。不等式的特殊性质有以下三种：①不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。②不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。③不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变。总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。

均值不等式6个基本公式如下：关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式。几何平均数是对各变量值的连乘积开项数次方根。求几何平均数的方法叫做几何平均法。如果总水平、总成果等于所有阶段、所有环节水平、成果的连乘积总和时，求各阶段、各环节的一般水平、一般成果，要使用几何平均法计算几何平均数，而不能使用算术平均法计算算术平均数。根据所拿握资料的形式不同，其分为简单几何平均数和加权几何平均数两种形式。

均值不等式的公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn。拓展资料：均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。简记为“调几算方”。调和平均数：几何平均数：算术平均数：平方平均数：

均值不等式公式如下：扩展资料不等式在初中、高中甚至竞赛中都是比较相对综合、有难度的一块内容，经常会与方程、函数等其它知识点一起考察，一般的题型有：解不等式、证明不等式、求最大最小值。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

概念：　　1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)　　2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)　　3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n　　4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]　　这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn　　a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号　　均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时);　　(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)）　　则有：当r<s时，D(r)≤D(s)　　注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)

均值不等式公式如下：不等式在初中、高中甚至竞赛中都是比较相对综合、有难度的一块内容，经常会与方程、函数等其它知识点一起考察，一般的题型有：解不等式、证明不等式、求最大最小值。相关内容解释关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法的证明方法：（注：在此证明的，是对n维形式的均值不等式的证明方法。）用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）（或用二项展开公式更为简便）。

均值不等式

均值不等式公式如下：扩展资料不等式在初中、高中甚至竞赛中都是比较相对综合、有难度的一块内容，经常会与方程、函数等其它知识点一起考察，一般的题型有：解不等式、证明不等式、求最大最小值。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

均值不等式6个基本公式是、Hn≤Gn≤An≤Qn。1、均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。2、关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式。3、均值基本公式：已知x,y∈R+,x+y=S,x·y=P,如果P是定值，那么当且仅当x=y时，S有最小值；如果S是定值，那么当且仅当x=y时，P有最大值。或当a、b∈R+,a+b=k（定值）时，a+b≥2√ab (定值）当且仅当a=b时取等号。4、设X1,X2,X3,……，Xn为大于0的数，则X1+X2+X3+……＋Xn≥n乘n次根号下X1乘X2乘X3乘……乘Xn。均值定理，又称基本不等式。主要内容为在正实数范围内，若干数的几何平均数不超过他们的算术平均数，且当这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等。5、均值定理是高中数学学习中的一个非常重要的知识点，在函数求最值问题中有十分频繁的应用。均值定理特点：一正：各部分为正数。二定：不等号左或右是定值。三相等：等号能够取得。

(1)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b)(4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b)(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0(6)对非负数a,b，有a^2+b^2≥1/2*(a+b)^2≥ab(7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2(8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac(9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^