基本不等式

y＝[x^2+2/根号(x^2+2)]+[4/根号(x^2+2)] ≥2根号[4x^2+2/(x^2+2)]≥2*根号4=4 所以，y的最小值为4，不知道对不对啊，老了，脑子退化了，仅供参考啊~

可以

正规的叫法是平均值不等式，而非基本不等式。基本不等式是课标教材中的一种称谓，但不正规。很多不等式的常用结论，是不是也应纳入基本不等式的行列？例如：lnx≥x-1，x>041题http://tieba.baidu.com/p/2315496737?pn=2

即√(ab)≤(a+b)/2 (a≥0,b≥0) 　变形 ab≤((a+b)/2)^2 　　a^2+b^2≥2ab 　　（当且仅当a=b时，等号成立）

基本不等式公式都包含：对于正数a、b. A=(a+b)/2,叫做a、b的算术平均数 G=√(ab),叫做a、b的几何平均数 S=√[(a^2+b^2)/2],叫做a、b的平方平均数 H=2/(1/a+1/b)=2ab/(a+b)叫做调和平均数 不等关系：H=<G=<A=<S.其中G=<A是基本的基本不等式：又称柯西不等式，是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。二维形式：(a^2+b^2+c^2)*(1+1+1)>=(a+b+c)^2=1 (柯西不等式) 所(a^2+b^2+c^2)>=1/3 (1式) 又a^3+b^3+c^3=(a^3+b^3+c^...（平方的和的乘积不小于乘积的和的平方）

设a1,a2,a3,……,an都是正实数，则基本不等式可推广为： (a1a2a3a……an))^(1/n)≤(a1+a2+……+an)÷n 　　(当且仅当a1=a2=……an时取等号） 3个数，就是n=3 即（a1a2a3)^(1/3)≤（a1+a2+a3)÷3 （当且仅当a1=a2=a3时取等号）

基本不等式的形式为：a+b>=2√ab(等号成立的条件：当且仅当a=b时）,因此运用基本不等式时，主要是为了解决最值问题！当遇上a+b或两数相加的形式的时候，题目有要求是求最小值，就用a+b>=2√ab(等号成立的条件：当且仅当a=b时）,当遇上√ab或两数乘积的时候，题目有要求是求最大值也用a+b>=2√ab。但，基本不等式有时会推广开来，比如比较典型的：（1）a^3+b^3+c^3>=3abc(等号成立的条件：当且仅当a=b=c时）,（2）(a1+a2+a3+...)/n>=(a1a2a3...)开n次方，(等号成立的条件：当且仅当a1=a2=a3=...时），（3）a+1/a>=2(等号成立的条件：当且仅当a=1/a时）且a属于正实数，（4）a+1/a<=-2(等号成立的条件：当且仅当a=1/a时）且a属于负实数，（（3）和（4）变成f(x)=x+1/x时，函数的图像叫做v形函数）（5）b/a+a/b>=2(等号成立的条件：当且仅当a=b时)且a，b同号（6）a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac(等号成立的条件：当且仅当a=b=c时）你可以问问老师，基本不等式，说难不难，说易不易，你要认真学，应为这是很有用的（在解大题的时候）！当碰到很难的题，就干脆使用导数，求出单调性，比较得最值！

1、基本不等式a^2+b^2≧2ab对于任意的实数a,b都成立，当且仅当a=b时，等号成立。证明的过程：因为（a-b）＾2≧0，展开的a^2+b^2-2ab≧0，将2ab右移就得到了公式a^2+b^2≧2ab。它的几何意义就是一个正方形的面积大于等于这个正方形内四个全等的直角三角形的面积和。2、基本不等式√ab≦(a+b)/2这个不等式需要a，b均大于0，等式才成立，当且仅当a=b时等号成立。证明过程：要证（a+b)/2≧√ab，只需要证a+b≧2√ab，只需证（√a-√b）＾2≧0，显然（√a-√b）＾2≧0是成立的。它的几何意义是圆内的直径大于被弦截后得到直径的两部分的乘积的二倍。3、基本不等式b/a+a/b≧2这个不等式的要求ab＞0，当且仅当a=b时等号成立，也就是说a，b可以同时为正数，也可以同时为负数。证明的过程：b/a+a/b=(a^2+b^2)/ab≧2，只需证a^2+b^2≧2ab即可。

重要不等式和基本不等式分别是指：1、重要不等式是指，一个数的二倍与另一个数的二倍之和一定大于或者等于这两个数乘积的二倍，指在初等与高等数学中常用于计算与证明问题的不等式。包括，排序不等式、均值不等式、完全的均值不等式、幂平均不等式、权方和不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式、琴生不等式等。2、基本不等式是指，一个数与另一个数的和除以数值二一定大于或者等于这两个数在开方情况下的乘积，基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为，两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。用向量来证：m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)。mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以（b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX。因为cosX≤1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn≤a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以（b1^+b2^+......+bn^)^1/2。这就证明了不等式。柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法。

基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。在使用基本不等式时，要牢记“一正”“二定”“三相等”的七字真言。“一正”就是指两个式子都为正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指当且仅当两个式子相等时，才能取等号。具体来说，利用基本不等式求最值包括下面两种类型的题目：已知x＞0；y＞0，则：如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值。(简记：积定和最小)如果和x+y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有最大值。(简记：和定积最大)基本不等式主要是看两点,1）两个相乘代数式中和是否为定值2）两个相加代数式积是否为定值如果不为定值,想办法看能不能凑出定值形式,再不行的话就用后面要学的导数来做哈再就是注意保证两式为正与取等条件即可.(要求最值一定保证一正二定三相等)关键是多做,对一些方法要有一定的感觉,而对方法有感觉的前提就是要建立在大量的做题中,把一些本来想不到的方法,想到.很多不等式的题目都是,技巧性很强,没碰到死活做不出,看了答案,发现原来这么简单的,为了达到这样一种水平就必须多做题.

三元基本不等式公式证明：如果a，b，c∈R，那么a3+b3+c3≥3abc，当且仅当a=b=c时，等号成立；如果a，b，c∈R+，那么（a+b+c）/3≥3√（abc），当且仅当a=b=c时，等号成立。 一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）“≥”、不大于号（小于或等于号）“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。总的来说，用不等号（，≥，≤，≠）连接的式子叫做不等式。

加油！！1.不等式的基本性质:性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么acb,c>d,那么a+c>b+d.性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.例1:判断下列命题的真假,并说明理由.若a>b,c=d,则ac2>bd2;(假)若,则a>b;(真)若a>b且ab<0,则;(假)若a若,则a>b;(真)若|a|b2;(充要条件)命题A:a命题A:,命题B:0说明:本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程,在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性.a,b∈R且a>b,比较a3-b3与ab2-a2b的大小.(≥)说明:强调在最后一步中,说明等号取到的情况,为今后基本不等式求最值作思维准备.例4:设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小.说明:本例条件是a>b,与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件,为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b,可由三种情况(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想.练习:1.若a≠0,比较(a2+1)2与a4+a2+1的大小.(>)2.若a>0,b>0且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小.(>)3.判断下列命题的真假,并说明理由.(1)若a>b,则a2>b2;(假)(2)若a>b,则a3>b3;(真)(3)若a>b,则ac2>bc2;(假)(4)若,则a>b;(真)若a>b,c>d,则a-d>b-c.(真).

基本不等式公式都包含：对于正数a、b. A=(a+b)/2,叫做a、b的算术平均数 G=√(ab),叫做a、b的几何平均数 S=√[(a^2+b^2)/2],叫做a、b的平方平均数 H=2/(1/a+1/b)=2ab/(a+b)叫做调和平均数 不等关系：H=<G=<A=<S.其中G=<A是基本的基本不等式：又称柯西不等式，是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。二维形式：(a^2+b^2+c^2)*(1+1+1)>=(a+b+c)^2=1 (柯西不等式) 所(a^2+b^2+c^2)>=1/3 (1式) 又a^3+b^3+c^3=(a^3+b^3+c^...（平方的和的乘积不小于乘积的和的平方）