基本不等式

基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。在使用基本不等式时，要牢记“一正”“二定”“三相等”的七字真言。“一正”就是指两个式子都为正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指当且仅当两个式子相等时，才能取等号。具体来说，利用基本不等式求最值包括下面两种类型的题目：已知x＞0；y＞0，则：如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值。(简记：积定和最小)如果和x+y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有最大值。(简记：和定积最大)基本不等式主要是看两点,1）两个相乘代数式中和是否为定值2）两个相加代数式积是否为定值如果不为定值,想办法看能不能凑出定值形式,再不行的话就用后面要学的导数来做哈再就是注意保证两式为正与取等条件即可.(要求最值一定保证一正二定三相等)关键是多做,对一些方法要有一定的感觉,而对方法有感觉的前提就是要建立在大量的做题中,把一些本来想不到的方法,想到.很多不等式的题目都是,技巧性很强,没碰到死活做不出,看了答案,发现原来这么简单的,为了达到这样一种水平就必须多做题.

即√(ab)≤(a+b)/2 (a≥0,b≥0) 　变形 ab≤((a+b)/2)^2 　　a^2+b^2≥2ab 　　（当且仅当a=b时，等号成立）

基本不等式公式都包含：对于正数a、b. A=(a+b)/2,叫做a、b的算术平均数 G=√(ab),叫做a、b的几何平均数 S=√[(a^2+b^2)/2],叫做a、b的平方平均数 H=2/(1/a+1/b)=2ab/(a+b)叫做调和平均数 不等关系：H=<G=<A=<S.其中G=<A是基本的基本不等式：又称柯西不等式，是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。二维形式：(a^2+b^2+c^2)*(1+1+1)>=(a+b+c)^2=1 (柯西不等式) 所(a^2+b^2+c^2)>=1/3 (1式) 又a^3+b^3+c^3=(a^3+b^3+c^...（平方的和的乘积不小于乘积的和的平方）

基本不等式的形式为：a+b>=2√ab(等号成立的条件：当且仅当a=b时）,因此运用基本不等式时，主要是为了解决最值问题！当遇上a+b或两数相加的形式的时候，题目有要求是求最小值，就用a+b>=2√ab(等号成立的条件：当且仅当a=b时）,当遇上√ab或两数乘积的时候，题目有要求是求最大值也用a+b>=2√ab。但，基本不等式有时会推广开来，比如比较典型的：（1）a^3+b^3+c^3>=3abc(等号成立的条件：当且仅当a=b=c时）,（2）(a1+a2+a3+...)/n>=(a1a2a3...)开n次方，(等号成立的条件：当且仅当a1=a2=a3=...时），（3）a+1/a>=2(等号成立的条件：当且仅当a=1/a时）且a属于正实数，（4）a+1/a<=-2(等号成立的条件：当且仅当a=1/a时）且a属于负实数，（（3）和（4）变成f(x)=x+1/x时，函数的图像叫做v形函数）（5）b/a+a/b>=2(等号成立的条件：当且仅当a=b时)且a，b同号（6）a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac(等号成立的条件：当且仅当a=b=c时）你可以问问老师，基本不等式，说难不难，说易不易，你要认真学，应为这是很有用的（在解大题的时候）！当碰到很难的题，就干脆使用导数，求出单调性，比较得最值！

1、基本不等式a^2+b^2≧2ab对于任意的实数a,b都成立，当且仅当a=b时，等号成立。证明的过程：因为（a-b）＾2≧0，展开的a^2+b^2-2ab≧0，将2ab右移就得到了公式a^2+b^2≧2ab。它的几何意义就是一个正方形的面积大于等于这个正方形内四个全等的直角三角形的面积和。2、基本不等式√ab≦(a+b)/2这个不等式需要a，b均大于0，等式才成立，当且仅当a=b时等号成立。证明过程：要证（a+b)/2≧√ab，只需要证a+b≧2√ab，只需证（√a-√b）＾2≧0，显然（√a-√b）＾2≧0是成立的。它的几何意义是圆内的直径大于被弦截后得到直径的两部分的乘积的二倍。3、基本不等式b/a+a/b≧2这个不等式的要求ab＞0，当且仅当a=b时等号成立，也就是说a，b可以同时为正数，也可以同时为负数。证明的过程：b/a+a/b=(a^2+b^2)/ab≧2，只需证a^2+b^2≧2ab即可。

重要不等式和基本不等式分别是指：1、重要不等式是指，一个数的二倍与另一个数的二倍之和一定大于或者等于这两个数乘积的二倍，指在初等与高等数学中常用于计算与证明问题的不等式。包括，排序不等式、均值不等式、完全的均值不等式、幂平均不等式、权方和不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式、琴生不等式等。2、基本不等式是指，一个数与另一个数的和除以数值二一定大于或者等于这两个数在开方情况下的乘积，基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为，两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。用向量来证：m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)。mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以（b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX。因为cosX≤1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn≤a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以（b1^+b2^+......+bn^)^1/2。这就证明了不等式。柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法。

【均值不等式的简介】概念：1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√[(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qna1、a2、…、an∈R+，当且仅当a1=a2=…=an时取“=”号均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时);(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)）则有：当r<s时，D(r)≤D(s)注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)●【均值不等式的变形】(1)对正实数a,b，有a²+b²≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a²+b²>0>-2ab(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a×b)≥0，即(a+b)/2≥√(a×b)≥0(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a×b)(4)对实数a,b(a≥b)，有a(a-b)≥b(a-b)(5)对非负数a,b，有a²+b²≥2ab≥0(6)对非负数a,b，有a²+b²≥½×(a+b)²≥ab(7)对非负数a,b,c，有a²+b²+c²≥1/3*(a+b+c)²(8)对非负数a,b,c，有a²+b²+c²≥ab+bc+ac(9)对非负数a,b，有a²+ab+b²≥¾×a+b)²2/（1/a+1/b）≤√ab≤a+b/2≤√（(a²+b²)/2）●【均值不等式的证明】方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等下面介绍个好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=lnn次√(x1*x2*...*xn)即(x1+x2+...+xn)/n≥n次√(x1*x2*...*xn)●【均值不等式的应用】例一证明不等式：2√x≥3-1/x(x>0)证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*3次√(√x)*(√x)*(1/x)=3所以，2√x≥3-1/x例二长方形的面积为p，求周长的最小值解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p因为a+b≥2√ab，所以2(a+b)≥4√ab=4√p周长最小值为4√p例三长方形的周长为p，求面积的最大值解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p因为a+b=p/2≥2√ab，所以ab≤p^2/16面积最大值是p^2/16

平均值不等式也就是均值不等式，是数学中的一个重要公式，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。均值不等式也可以看成是“对于若干个非负实数，它们的算术平均不小于几何平均”的推论。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。平均值不等式的推导过程：∵(a-b)²=a²-2ab+b²≧0；∴a²+b²≧2ab；当且仅仅当a=b时等号成立(a，b∈R）。∵(√m-√n)²=m-2√(mn)+n≧0；∴m+n≧2√(mn)；当且仅仅当m=n时等号成立(m，n∈R+)。高中均值不等式：a²+b²≥2ab；√(ab)≤(a+b)/2；a²+b²+c²≥（a+b+c）²/3；a+b+c≥3×三次根号abc。

平均值不等式是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等。相关信息：不等式两边相加或相减同一个数或式子，不等号的方向不变。（移项要变号）不等式两边相乘或相除同一个正数，不等号的方向不变；相当系数化1，这是得正数才能使用。不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变；÷或×1个负数的时候要变号。

概念：1、调和平均数：Hn=2、几何平均数：Gn=3、算术平均数：An=4、平方平均数：Qn=5、均值定理： 如果属于 正实数 那么且仅当时 等号成立。这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qna1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r）（当r不等于0时）；（a1a2...an)^(1/n）（当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n））则 [1]当注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1）≤D(0）≤D⑴≤D⑵由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b）≤√ab≤（a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]均值定理的证明：因为 a 〉0 ， b 〉0 所以（ a+b）/2 - √ab =（ a+b-2√ab）/2 = (√a-√b)^2/2 ≥ 0即（ a+b）/2≥√ab. 当且仅当a= b ,等号成立。[1]编辑本段记忆调几算方，即调和平均数【Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)】≤ 几何平均数【Gn=(a1a2...an)^(1/n) 】≤算术平均数【An=(a1+a2+...+an)/n】 ≤平方平均数：【Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n】 Hn≤Gn≤An≤Qn编辑本段变形⑴对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab （当且仅当a=b时取“=”号），a^2+b^2>0>-2ab⑵对非负实数a,b，有a+b≥2√（a×b）≥0，即（a+b)/2≥√（a×b）≥0⑶对负实数a,b，有a+b<-2√（a*b)<0⑷对实数a,b，有a(a-b）≥b(a-b)⑸对非负实数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0⑹对实数a,b，有a^2+b^2≥1/2*(a+b）^2≥2ab⑺对实数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2⑻对实数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac⑼对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2⑽对非负数a,b,c，有（a+b+c)/3≥（abc)^(1/3)编辑本段证明均值不等式方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。引理：设A≥0，B≥0，则（A+B)^n≥A^n+nA^(n－1)B。注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）。原题等价于：（（a1+a2+…+an)/n)^n≥a1a2…an。当n=2时易证；假设当n=k时命题成立，即（（a1+a2+…+ak)/k)^k≥a1a2…ak。那么当n=k+1时，不妨设a(k+1）是a1，a2 ，…，a(k+1）中最大者，则k a(k+1）≥a1+a2+…+ak。设s=a1+a2+…+ak，{[a1+a2+…+a(k+1)]/(k+1)}^(k+1)={s/k+[k a(k+1）－s]/[k(k+1)]}^(k+1)≥（s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k[k a(k+1）－s]/k(k+1) 用引理=(s/k)^k* a(k+1)≥a1a2…a(k+1）。用归纳假设下面介绍个好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函数f(x），x1,x2,...xn是函数f(x）在区间（a,b）内的任意n个点，则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]设f(x)=lnx，f(x）为上凸增函数所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1/n)]即（x1+x2+...+xn)/n≥（x1*x2*...*xn)^(1/n)在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）编辑本段应用例一 证明不等式：2√x≥3-1/x (x>0)证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*[（√x)*（√x)*(1/x)]^(1/3)=3所以，2√x≥3-1/x例二 长方形的面积为p，求周长的最小值解：设长，宽分别为a,b，则a*b=p因为a+b≥2√（ab），所以2(a+b）≥4√（ab)=4√p周长最小值为4√p例三 长方形的周长为p，求面积的最大值解：设长，宽分别为a,b，则2(a+b)=p因为a+b=p/2≥2√（ab），所以ab≤p^2/16面积最大值是p^2/16编辑本段其他不等式琴生不等式 （具有凹凸性）绝对值不等式权方和不等式赫尔德不等式闵可夫斯基不等式贝努利不等式柯西不等式切比雪夫不等式外森比克不等式排序不等式编辑本段重要不等式柯西不等式柯西不等式的一般证法有以下几种：⑴Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,bi，则有 （∑ai^2) * （∑bi^2) ≥ （∑ai * bi)^2.我们令 f(x) = ∑（ai + x * bi)^2 = （∑bi^2) * x^2 + 2 * （∑ai * bi) * x + （∑ai^2)则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * （∑ai * bi)^2 - 4 * （∑ai^2) * （∑bi^2) ≤ 0.于是移项得到结论。⑵用向量来证.m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以（b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX．因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以（b1^+b2^+......+bn^)^1/2这就证明了不等式．柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法．柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。巧拆常数：例：设a、b、c 为正数且各不相等。求证：（2/a+c)+(2/b+c)+(2/c+a)>(9/a+b+c)分析：∵a 、b 、c 均为正数∴为证结论正确只需证：2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]>9而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)又 9=(1+1+1)(1+1+1)证明：Θ2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]≥（1+1+1)(1+1+1)=9又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立∴原不等式成立。像这样的例子还有很多，词条里不再一一列举，大家可以在参考资料里找到柯西不等式的证明及应用的具体文献．排序不等式排序不等式是高中数学竞赛大纲要求的基本不等式。设有两组数 a 1,a 2，…… a n,b 1,b 2，…… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n,b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 则有 a 1 b n + a 2 b n?1 +……+ a n b1≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 +……+ a n b n 式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列， 当且仅当 a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 时成立。以上排序不等式也可简记为：反序和≤乱序和≤同序和.证明时可采用逐步调整法。例如，证明：其余不变时，将a 1 b 1 + a 2 b 2 调整为a 1 b 2 + a 2 b 1 ，值变小，只需作差证明（a 1 -a 2)*（b 1 -b 2）≥0，这由题知成立。依次类推，根据逐步调整法，排序不等式得证。切比雪夫不等式切比雪夫不等式有两个⑴设存在数列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≤b2≤b3≤......≤bn那么，∑aibi≥（1/n）（∑ai）（∑bi)⑵设存在数列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≥b2≥b3≥......≥bn那么，∑aibi≤（1/n）（∑ai）（∑bi)琴生不等式设f(x）为上凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n，称为琴生不等式（幂平均）。加权形式为：f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn），其中ai>=0(i=1,2，……，n），且a1+a2+……+an=1.从图中直观地证明E1F1≥E2F2≥E3F3≥E4F4，当a=b时取等号。幂平均不等式幂平均不等式：ai>0(1≤i≤n），且α>；β，则有（∑ai^α/n)^1/α≥（∑ai^β/n)^1/β成立iff a1=a2=a3=……=an 时取等号加权的形式：设ai>0，pi>0(1≤i≤n），且α>；β，则有（∑pi*ai^α/∑pi)^1/α≥（∑pi*ai^β/∑pi)^1/βiff a1=a2=a3=……=an， p1=p2=p3=……=pn 时取等号。特例：- 调和平均（-1次幂）， - 几何平均（0次幂）， - 算术平均（1次幂）， ， - 二次平均（2次

均值不等式公式叫做平方平均数、算术平均数、几何平均数、调和平均数。基本不等式公式都包含：A=（a+b）/2，叫做a、b的算术平均数。G=√（ab），叫做a、b的几何平均数。S=√［（a^2+b^2）/2］，叫做a、b的平方平均数。H=2/（1/a+1/b）=2ab/（a+b）叫做调和平均数。不等关系：H=<G=<A=<S。其中G=<A是基本的。相关介绍均值不等式公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)。2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)。3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n。4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n。

当x和b/x都大于0时，有x+b/x>=2根号b，当且仅当x=b/x时，等号成立，这时才在最小值为2根号b

均值不等式公式是：1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√（a1^2+a2^2+...+an^2)/n均值不等式介绍：均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

均值不等式6个基本公式如下：关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式。几何平均数是对各变量值的连乘积开项数次方根。求几何平均数的方法叫做几何平均法。如果总水平、总成果等于所有阶段、所有环节水平、成果的连乘积总和时，求各阶段、各环节的一般水平、一般成果，要使用几何平均法计算几何平均数，而不能使用算术平均法计算算术平均数。根据所拿握资料的形式不同，其分为简单几何平均数和加权几何平均数两种形式。

均值不等式公式四个及证明均值不等式:a²+b²≥2ab;√(ab)≤(a+b)/2;a²+b²+c²≥(a+b+c)²/3;a+b+c≥3×三次根号abc。均值不等式证明：均值不等式是什么：均值不等式是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。

均值不等式公式四个及证明均值不等式:a²+b²≥2ab;√(ab)≤(a+b)/2;a²+b²+c²≥(a+b+c)²/3;a+b+c≥3×三次根号abc。均值不等式证明：均值不等式是什么：均值不等式是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。

若有两个正数x,y, 则(x+y)/2>=根号xy，当且仅当x=y时取等号两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

解：算术平均值≥几何平均值：即（a+b）/2≥√（ab）证明如下：a>0，b>0，且有（a-b）^2≥0即a^2-2ab+b^2≥0，两边同加上4aba^2+2ab+b^2≥4ab（a+b）^2≥4ab两边同时开平方：a+b≥2√（ab）（a+b）/2≥√（ab）特别当a=b时（a+b）/2=√（ab）

数学归纳法适用于证明可列（也称可数：即问题和1,2,3,4……相对应）类问题，平均值不等式不是这类问题，所以不适宜用数学归纳法来证明。

http://www.ltzx.org/XueKe/ShuXue/jiaoan/shuxueershang/diliuzhangbudengshi/junzhibudengshi2.doc

均值不等式链，又称为平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。证明关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式。

正规的叫法是平均值不等式，而非基本不等式。基本不等式是课标教材中的一种称谓，但不正规。很多不等式的常用结论，是不是也应纳入基本不等式的行列？例如：lnx≥x-1，x>041题http://tieba.baidu.com/p/2315496737?pn=2

当x和b/x都大于0时，有x+b/x>=2根号b，当且仅当x=b/x时，等号成立，这时才在最小值为2根号b

均值不等式的简介概念：N个正实数的算术平均数大于等于其几何平均数算术平均数，arithmeticmean，用一组数的个数作除数去除这一组数的和所得出的平均值，也作average几何平均数，geometricmean，作为n个因数乘积的数的n次方根，通常是n的正数根设a1,a2,a3,...,an是n个正实数，则(a1+a2+a3+...+an)/n≥n次√(a1*a2*a3*...*an)，当且仅当a1=a2=…=an时，均值不等式左右两边取等号均值不等式的变形(1)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b)(4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b)(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0(6)对非负数a,b，有a^2+b^2≥1/2*(a+b)^2≥ab(7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2(8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac(9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2

1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n) 3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n 4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。 1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n) 3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n 4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n] 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn a1、a2、…、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号 均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时); (a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)） 则有：当r 注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2) 由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√［(a^2+b^2)/2］ 编辑本段均值不等式的变形 (1)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab (2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0 (3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b) (4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b) (5)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0 (6)对实数a,b，有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥2ab (7)对实数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2 (8)对实数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac (9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2 (10)对实数a,b,c，有(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3) 编辑本段均值不等式的证明 方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等 用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。 引理：设A≥0，B≥0，则(A＋B)^n≥A^n＋nA^(n－1)B。 注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A＋B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。 原题等价于：((a1＋a2＋…＋an )／n)^n≥a1a2…an。 当n＝2时易证； 假设当n＝k时命题成立，即 ((a1＋a2＋…＋ak )／k)^k≥a1a2…ak。那么当n＝k＋1时，不妨设a(k＋1)是a1，a2 ，…，a(k＋1)中最大者，则 k a(k＋1)≥a1＋a2＋…＋ak。 设s＝a1＋a2＋…＋ak， {[a1＋a2＋…＋a(k＋1)]／(k＋1)}^(k+1) ＝{s/k＋[k a(k＋1)－s]／[k(k＋1)]}^(k+1) ≥(s／k)^(k+1)＋(k＋1)(s／k)^k[k a(k＋1)－s]／k(k＋1) 用引理 ＝(s／k)^k* a(k＋1) ≥a1a2…a(k＋1)。用归纳假设 下面介绍个好理解的方法 琴生不等式法 琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点， 则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)] 设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数 所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1/n)] 即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n) 在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦） 编辑本段均值不等式的应用 例一 证明不等式：2√x≥3-1/x (x>0) 证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*[(√x)*(√x)*(1/x)]^(1/3)=3 所以，2√x≥3-1/x 例二 长方形的面积为p，求周长的最小值 解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p 因为a+b≥2√(ab)，所以2(a+b)≥4√(ab)=4√p 周长最小值为4√p 例三 长方形的周长为p，求面积的最大值 解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p 因为a+b=p/2≥2√(ab)，所以ab≤p^2/16 面积最大值是p^2/16 编辑本段其他不等式 琴生不等式 绝对值不等式 权方和不等式 赫尔德不等式 闵可夫斯基不等式 贝努利不等式 柯西不等式 切比雪夫不等式 外森比克不等式 排序不等式 编辑本段重要不等式 - 1.柯西不等式 柯西不等式的一般证法有以下几种： （1）Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2. 我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 则我们知道恒有 f(x) ≥ 0. 用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0. 于是移项得到结论。 （2）用向量来证. m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn) mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX． 因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2 这就证明了不等式． 柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法． 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。 巧拆常数： 例：设a、b、c 为正数且各不相等。 求证： (2/a+c)+(2/b+c)+(2/c+a)＞(9/a+b+c) 分析：∵a 、b 、c 均为正数 ∴为证结论正确只需证：2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＞9 而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b) 又9=(1+1+1)(1+1+1) 证明：Θ2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9 又a、b 、c 各不相等，故等号不能成立 ∴原不等式成立。 像这样的例子还有很多，词条里不再一一列举，大家可以在参考资料里找到柯西不等式的证明及应用的具体文献． 编辑本段重要不等式 - 2.排序不等式 排序不等式是高中数学竞赛大纲要求的基本不等式。 设有两组数 a 1 , a 2 ,…… a n, b 1 , b 2 ,…… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n, b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 则有 a 1 b n + a 2 b n?1 +……+ a n b1≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 +……+ a n b n 式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列， 当且仅当 a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 时成立。 以上排序不等式也可简记为： 反序和≤乱序和≤同序和. 证明时可采用逐步调整法。 例如，证明：其余不变时，将a 1 b 1 + a 2 b 2 调整为a 1 b 2 + a 2 b 1 ，值变小，只需作差证明（a 1 -a 2 ）*（b 1 -b 2 ）≥0，这由题知成立。 依次类推，根据逐步调整法，排序不等式得证。 编辑本段重要不等式 - 3.切比雪夫不等式 切比雪夫不等式有两个 （1）设存在数列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≤b2≤b3≤......≤bn 那么，∑aibi≥(1/n)(∑ai)(∑bi) （2）设存在数列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≥b2≥b3≥......≥bn 那么，∑aibi≤(1/n)(∑ai)(∑bi) 编辑本段重要不等式 - 4.琴生不等式 设f(x)为上凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n,称为琴生不等式（幂平均）。 加权形式为： f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn),其中 ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1. 编辑本段重要不等式 - 5.均值不等式 a^2 + b^2≥ 2ab （a与b的平方和不小于它们的乘积的2倍) 当a,b 分别大于0时上试可变为a+b ≥2√ab 编辑本段重要不等式 - 6.完全的均值不等式 √[(a^2+ b^2)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b) （二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均） 证明：（证明过程引自他出） 设a，b是两个正数， M2=√[(a^2+b^2)/2]，A=(a+b)/2，G=√(ab)，H=2/(1/a+1/b) 分别表示a，b两元的二次幂平均，算术平均，几何平均和调和平均。证明: M2≥A≥G≥H。 证明 在梯形ABCD中，AB∥CD，记AB=b，CD=a。 EiFi(i=1,2,3,4)是平行于梯形ABCD的底边且被梯形两腰所截的线段。 如果E1F1分梯形为等积的两部分，那么 E1F1=√[(a^2+b^2)/2]。 如果E2F2分梯形的中位线，那么 E2F2=(a+b)/2。 如果E3F3分梯形为两相似图形，那么 E3F3=√(ab)。 如果E4F4通过梯形两对角线交点的线段，那么 E4F4=2/(1/a+1/b)。 从图中直观地证明E1F1≥E2F2≥E3F3≥E4F4，当a=b时取等号。 编辑本段重要不等式 - 7.幂平均不等式 幂平均不等式：ai>0(1≤i≤n),且α>β，则有（∑ai^α/n)^1/α≥(∑ai^β/n)^1/β成立 iff a1=a2=a3=……=an 时取等号 加权的形式： 设ai>0，pi>0(1≤i≤n)，且α>β，则有 （∑pi*ai^α/∑pi)^1/α≥(∑pi*ai^β/∑pi)^1/β iff a1=a2=a3=……=an， p1=p2=p3=……=pn 时取等号。 特例： - 调和平均（-1次幂）， - 几何平均（0次幂）， - 算术平均（1次幂），， - 二次平均（2次幂 )麻烦采纳，谢谢!

在高中数学中有四个常用的均值不等式：（1）对于两个实数a和b，a²+b²≥2ab；（2）对于两个非负数，两数之和大于等于两数积的算术平方根的2倍；（3）若a、b、c是非负数，则a³+b³+c³≥3abc；（4）若a、b、c是非负数，三数之和大于等于三数积的立方根的3倍。

算术-几何平均值不等式，简称算几不等式，是一个常见而基本的不等式，表现了算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。算术-几何平均值不等式，简称算几不等式，是一个常见而基本的不等式，表现了算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设为n个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：等号成立当且仅当。算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。算术-几何平均值不等式有时被称为平均值不等式（或均值不等式），其实后者是一组更广泛的不等式。一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可以为 中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“其中，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域。整式不等式：整式不等式两边都是整式（即未知数不在分母上）。一元一次不等式：含有一个未知数(即一元),并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式。如3-X>0同理：二元一次不等式：含有两个未知数(即二元),并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式。

范德蒙恒等式：C(m+n,k)=∑C(m,i)C(n,k-i)(i=0~k)证明的方法有多种，给你个简单的：用两种方法考虑以下多项式：[(1+x)^m][(1+x)^n]的x^k项的系数1、将两式分别展开，相乘，就得到x^k项的系数为：∑C(m,i)C(n,k-i)(i=0~k)2、将两式先相乘，即(1+x)^(m+n)，再展开，就得到x^k项的系数为：C(m+n,k)如此，命题便得证，具体过程可以自己算算看

有。我给一个组合解释：问在m+n个各不相同的小球中取k个有多少种情况？计算方法1：将m+n个小球分为m,n两份，则总数S=∑C(上标为k1,下标为m)C(上标为k-k1,下标为n)计算方法2：直接用组合公式S=C(上标为k,下标为m+n) 故∑C(上标为k1,下标为m)C(上标为k-k1,下标为n)=C(上标为k,下标为m+n)

第2讲 范德蒙德行列式的几点应用我们知道，n阶范德蒙德行列式，当这些 两两互异时， ．这个事实有助于我们理解不少结果．例1 证明一个n次多项式之多有n个互异根．证 设 有 个互异的零点 ，则有， ．即这个关于 的齐次线性方程组的系数行列式，因此 ．这个矛盾表明 至多有n个互异根．例2 设 是n个两两互异的数．证明对任意n个数 ，存在惟一的次数小于n的多项式 ：，使得 ， ．证 从定义容易看出 的次数小于n，且 ，故只需证明唯一性即可．设 满足， ，即这个关于 的线性方程组的系数行列式，故 是唯一的，必须 ． 这个例子就是有名的拉格朗日插值公式．例3 设 是 个复系数多项式，满足，证明 ．证 设 ，取 ，分别以 代入，可得这个关于 的齐次线性方程组的系数行列式，因此 ．例4 设n是奇数， 是 个复系数多项式，满足，证明 ．证 注意到当n是奇数时，，可按照例3的思路完成证明．例5 设A是个n阶矩阵，证明A的属于不同特征值的特征向量线性无关．证 设 是A的两两不同的r个特征值，非零向量 适合， ，假设，那么有， ．即，注意到，必须 ，于是 ，这证明了 线性无关．例6 计算行列式，其中 ．解 注意到下面的等式：即得．例7 计算行列式，其中 ．解 直接利用例6可得．例8 设 是正整数，证明n阶行列式能被 整除．证 直接运用例6、例7可得能被 整除．例9 计算n阶范德蒙德行列式，其中 ．解 注意到 当且仅当 ，可得，由此 ， 的模 ．现在来确定 的幅角：令 ， ，故对于上面考虑的j和k，总有 ，这意味着 ，因此，由此可设 ，其中这样就求得了 ．例10 证明缺项的n阶范德蒙德行列式证 按 的第一行展开行列式，可得例11 设有n个常数 ，n个两两不同的常数 以及由x的恒等式定义的一个多项式 ．对于一个已知多项式 ，定义另一个多项式 ，它为上面的恒等式中将 分别代之以 所得的x的恒等式所确定．证明用多项式 除以 所得的余式为 ．证 由于n阶范德蒙德行列式，按题设这里的行列式的最后一列展开，可知 是个次数小于n的多项式．从条件知对每个 ，，必须 ， ．由拉格朗日插值公式知．同理可求出由恒等式所定义的多项式． 设 ，其中 的次数小于n．为证 ，只需证明 时， 即可．事实上，对每个 ， 是易见的，因此结论成立．例12 设 在 上连续，在 内存在2阶导数，证明在 上有，这里 ．特别地，存在 ，使．证 在 上构造函数，则 在 上连续，在 内存在2阶导数．因 ，由中值定理存在 ，使 ，故再运用一次中值定理，存在 ，使 ，即，展开行列式即得．特别地，取 ，则有相应的 ，使上式成立，即，化简即得．例13 设 在 内存在 阶导数， ．证明存在 ，使．证 在 上构造函数，在 内存在 阶导数．因 ，反复利用微分中值定理，存在 ，使 ，即．按第一行展开行列式得，左边按最后一列展开行列式，化简可得．例14 设 在 内存在n阶导数，这里 ．证明存在 ，使．证 置 ， ，则 ．于是例14在本质上是例13的特殊情形．

k=10*MIN(i,j) 宏展开即k=10*(i)<(j)?(i):(j) 根据运算符优先级即 k=(10*(i))<(j)?(i):(j) 显然10*10<15为假

贝祖恒等式 欧拉恒等式 范德蒙恒等式 格林恒等式 婆罗摩笈多-斐波那契恒等式 李善兰恒等式 欧拉四平方和恒等式 雅可比恒等式

第一题比较简单，归纳就行，裂项也行，本质一样；第二题为范德蒙恒等式，参考百度百科http://baike.baidu.com/view/3537983.htm?fr=ala0_1，也可以从计数的角度考虑组合意义直接证明，余红兵的《奥数教程》上有之类的思路。

恒等式数学概念，恒等式是无论其变量如何取值，等式永远成立的算式。恒等式成立的范围是左右函数定义域的公共部分，两个独立的函数却各自有定义域。与x，在非负实数集内是恒等的，而在实数集内是不恒等的。恒等式有多个变量的，也有一个变量的，若恒等式两边就一个变量，恒等式就是两个解析式之间的一种关系。它来源于e^ix=cosx+isinx(复数的三角表示)，令x=π就得。例子：sin²α+cos²α=1，a²-b²=(a+b)(a-b)。两个解析式之间的一种关系。给定两个解析式，如果对于它们的定义域（见函数）的公共部分（或公共部分的子集）的任一数或数组，都有相等的值，就称这两个解析式是恒等的。例如x^2－y^2与（x+y）（x－y），对于任一组实数（a，b）。以人命名的恒等式贝祖恒等式、欧拉恒等式、范德蒙恒等式、格林恒等式、婆罗摩笈多-斐波那契恒等式、李善兰恒等式、欧拉四平方和恒等式、雅可比恒等式。

第二个式子里的 m+n 相当于第一个式子里的 N第二个式子里的 m 相当于第一个式子里的 M第二个式子里的 k 相当于第一个式子里的 n第二个式子里的 i 相当于第一个式子里的 k第二个式子里的 k 相当于第一个式子里的 r所以第一个式子中r = min{M, n},翻译到第二个式子就是k = min{m, k}所以不需要再加范围

利用加边的方法，少范德蒙行列式哪一行就加哪一行，然后旁边多加出一列，明天我给你写出详细过程，今天有事，来不及！ 今天给你写一下详细的过程: 例如行列式如下: (缺行的类似范德蒙行列式) 1 1 1 1 a b c d a^2 b^2 c^2 d^2 a^4 b^4 c^4 d^4 我们利用加行的方法来解决这个问题. 加完行行列式变成5行5列,如下: 1 1 1 1 1 a b c d x a^2 b^2 c^2 d^2 x^2 a^3 b^3 c^3 d^3 x^3 a^4 b^4 c^4 d^4 x^4 这就成了标准的范德蒙行列式 利用行列式展开法则,按第5列展开,得到的展开式如下: A15 + (-A25) * x + A35 * x^2 + (-D) * x^3 + A55 * x^4 [其中A为代数余子式,D为前面的四阶行列式的值] 由范德蒙行列式计算公式,得出该五阶行列式的值为: (b-a)(c-a)(c-b)(d-a)(d-b)(d-c)(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) 它和上面的展开式相等，我们所需要的是行列式D的值，所以我们需要算的就是展开式中x^3的系数，所以得出D＝ (a+b+c+d)(b-a)(c-a)(c-b)(d-a)(d-b)(d-c) 一开始看错了题目，后来发现我也不会就上网查有人问过这就是别人给的答案不过实在是不知道最后怎么就得到这个值得 ，找了半天都没解得

是二项式定理中的范德蒙德卷积公式吗？如果是的话，其表示为C(r+s,n)=sigma(C(r,n-k)C(s,k)) , k=0~n意义是在r+s个数中选取n个数，可以分别在r与s中选择。枚举r和s中分别选择的个数方案k,对于每个确定的k将r和s的方案数相乘，最后相加得到总方案数。此恒等式可证明一系列恒等式：例一例一证明例二此三图来自网络

后者是前者的推广，没有本质的区别。另外需要指出的是组合学中的组合数是可以推广到负数的（可以参考一下组合学课本中组合数的定义）。因此在下面的范德蒙德恒等式中k是可以取任意整数的。另外在组合学中忘记是否可以推广到任意实数了，你可以查看一下。貌似应该也是可以的。

范德蒙恒等式：C(m+n,k)=∑C(m,i)C(n,k-i)(i=0~k)证明的方法有多种，给你个简单的：用两种方法考虑以下多项式：[(1+x)^m][(1+x)^n]的x^k项的系数1、将两式分别展开，相乘，就得到x^k项的系数为：∑C(m,i)C(n,k-i)(i=0~k)2、将两式先相乘，即(1+x)^(m+n)，再展开，就得到x^k项的系数为：C(m+n,k)如此，命题便得证，具体过程可以自己算算看

看例子比如Public Function test(Nos As Integer) As BooleanFor i = 2 To NosIf Nos Mod i = 0 Thentest= FalseExit ForEnd IfNext itest= TrueEnd Function

bool类型返回的方式如下bool表示布尔型变量，也就是逻辑型变量的定义符，以英国数学家、布尔代数的奠基人乔治·布尔（GeorgeBoole）命名。bool类似于float，double等，只不过float定义浮点型，double定义双精度浮点型。在objective-c中提供了相似的类型BOOL，它具有YES值和NO值；在java中则对应于boolean类型。C99标准定义了一个新的关键字_Bool，提供了布尔类型。以前，C程序员总是使用自己的方法定义布尔类型。0表示false，非0表示true。可能使用char类型表示一个布尔类型，也可能使用int类型表示一个布尔类型。很多函数库都定义了自己的布尔类型和相应的宏，枚举，typedef。C99把C语言原生的布尔类型带来了。C99中同时增添的关键字还有_Complex，_Imaginary等。

Turbo Pascal语言提供如下自变量为字符型的标准函数，其中Chr为字符型。后继函数Succ (ch)：例如，Succ ("8")="9" Succ ("E")="F"对字符集的最后一个字符，Succ函数无意义。前趋函数Pred (ch)：例如，Pred ("7")="6" Pred ("B")=" A"序数函数Ord (ch)：:给出字符ch在ASCII字符集中的序号，结果为整型。注意：Ord ("7")<>7，正确的是：Ord ("7")=Ord("0")+7=48+7=55若ch是数字字符，则Ord (ch)-Ord ("0")是该数字字符的数值，例如：Ord ("7")-Ord("0")=7前面介绍的字符函数Chr (i)是Ord (ch)的逆函数，例如：Chr (55)= "7" Chr (Ord("A"))="A"四、布尔类型函数Turbo Pascal语言提供布尔型函数主要是几个字符型函数。Ord (B) 例如：Ord (false)=0 Ord (true)=1。

#include <stdio.h>#include <string.h>#define  bool int#define  FALSE 0#define  TRUE  1bool isOk(char *s){ int len = 0; if ( !(*s>="a" && *s<="z")  && !(*s>="A" && *s<="Z") && *s!="_") { return FALSE; } len = strlen(s); if (len<6 || len>16) { return FALSE; } while (*s) { if ( !(*s>="0" && *s<="9")  &&  !(*s>="a" && *s<="z")  && !(*s>="A" && *s<="Z") && *s!="_")  { return FALSE; } s++; } return TRUE;}int main(){ char str[100] = {0}; gets(str); printf(isOk(str)?"name ok!":"wrong name!");}SDFWE3324_name ok!Press any key to continue

按名称解除捆绑

F = (AB+C)"+ B"C = (AB)"C"+ B"C = (A"+B")C"+ B"C = A"C"+ B"C"+B"C = A"C"+ B"= (A"C")"B = (A+C)B

我下面的代码一次只处理一条表达式，你可以自己修改成处理多个表达式。简单的代码说明：get_value 用来获取一个 *原子* 表达式的值，所谓原子表达式是指 V, F, 或者用 () 括起来的组合表达式。它同时可处理前缀有 ! 的原子表达式。eval_expr 用来处理一个组合表达式，所谓组合表达式是指一组由 &, | 连接起来的多个原子表达式的值。具体处理方式很简单，get_value 如果碰到 V, F 那么直接返回 1 或 0, 如果 碰到 ! 则递归调用 get_value 获得下一个原子表达式的值，并取反返回。 如果碰到 ( 说明遇到组合表达式，它会调用 eval_expr 来获得组合表达式的值同样的， eval_expr 会首先调用 get_value 来获得第一个原子表达式的值，然后如果碰到 | 则将当前值与下一个原子表达式的值做 OR 操作，如果碰到 & 则做 AND 操作。 如果遇到 ) 或者行尾则说明当前组合表达式处理完成，那么就返回当前组合表达式的值。用户的输入总是被按照组合表达式的方式开始处理。bool表达式的值只可能是 0 或者 1, 所以我用 -1 来做错误判断。#include <unistd.h>#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <ctype.h>#include <string.h>#include <assert.h>#define LINE_SIZE 1000static int inline AND(int x, int y){    if (x < 0 || y < 0) return -1;    return x && y;}static int inline OR(int x, int y){    if (x < 0 || y < 0) return -1;    return x || y;}static int inline NOT(int x){    if (x < 0) return -1;    return !x;}int get_value(const char *line, int len, int *idx){    char ch = line[*idx];    *idx += 1;        switch (ch) {    case "V":        return 1;            case "F":        return 0;            case "!":        return (NOT(get_value(line, len, idx)));            case "(":        return eval_expr(line, len, idx);    default:        printf("Unexpected symbol "%c" at index %d ", ch, *idx - 1);        return -1;    }}int eval_expr(const char *line, int len, int *idx){    int value = -1, done = 0;    char ch;        for (; *idx < len && !done; ) {        if (value < 0) {            value = get_value(line, len, idx);            if (value < 0)                return -1;            continue;        }        ch = line[*idx];        *idx += 1;                switch (ch) {        case ")":            done = 1;            break;        case "&":            value = AND(value, get_value(line, len, idx));            break;                    case "|":            value = OR(value, get_value(line, len, idx));            break;        default:            printf("Unexpected symbol "%c" at index %d ", ch, *idx - 1);            return -1;        }    }    if (*idx >= len)        done = 1;    if (!done || value < 0) {        printf(""%s" is not a valid expression ", line);        return -1;    }    return value;}int main(){    char ch, line[LINE_SIZE+1]; // +1 for trailing ""    int i, j, v;    while (i < LINE_SIZE) {        ch = getchar();        if (isblank(ch)) continue;        if (ch == " " || ch == EOF) break;        line[i++] = ch;    }    line[i] = "";    j = 0;    v = eval_expr(line, i, &j);    if (i == j && v >= 0)        printf("%s ", v ? "V" : "F");    return 0;}

C语言没有BOOL类型变量boolean类型是C++所独有的，其别名有bool和BOOL，都可以定义布尔变量。由于使用BOOL类型可以使代码更具有可读性，很多编程者都在C中自己定义了类似的应用，一般方法有两种：一、采用宏定义方式（windef.h中就是用的这种方式）typedefintBOOL;#definetrue0#definefalse1二、采用枚举型变量方式（这种方式使用起来，更象C++的boolean类型）typedefenum{true=0,false}BOOL;接下来就可以象C++一样，方便的使用BOOL类型了。

bool为布尔型bool是布尔型变量，也就是逻辑型变量的定义符，类似于float,double等，只不过float定义浮点型，double定义双精度浮点型。 在objective-c中提供了相似的类型BOOL，它具有YES值和NO值。布尔型变量的值只有 真 （true) 和假 （false）。布尔型变量可用于逻辑表达式，也就是“或”“与”“非”之类的逻辑运算和大于小于之类的关系运算，逻辑表达式运算结果为真或为假。bool可用于定义函数类型为布尔型，函数里可以有 return TRUE; return FALSE 之类的语句。

不然你这程序 TRY到一半 出错了 CATCH又没返回值...... 然后..就没有然后了.