均值

要计算两个百分比的平均数，可将两个百分数相加再除以二，由于百分数的分母都是一百，所以两个百分数相加等于是两个同分母的分数相加，根据分数加法的计算方法，只要将两分数的分子相加，分母一百不变，然后再将两分数的相加结果除以二即是两个百分比的平均数。

百分比的平均值通常不是这样算的。而是通过比值的原始数据加权得出。也就是你h列的计算源数据例假如你的h5%=g5/f5平均值就是h36%=sum(g5:g35)/sum(f5:f35)

EXCEL中百分比的平均值用可使用AVERAGE函数计算。方法步骤如下：1、打开需要操作的EXCEL表格，点击开始选项卡中“求和”后面的倒三角下拉按钮并选择“平均值”。2、选择百分比所在单元格区域如B2:D2，回车即可。3、返回EXCEL表格，发现求EXCEL中百分比的平均值操作完成。

H36=AVERAGE(H5:H35)

EXCEL中百分比的平均值用可使用AVERAGE函数计算。方法步骤如下：1、打开需要操作的EXCEL表格，点击开始选项卡中“求和”后面的倒三角下拉按钮并选择“平均值”。2、选择百分比所在单元格区域如B2:D2，回车即可。3、返回EXCEL表格，发现求EXCEL中百分比的平均值操作完成。

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EXCEL中百分比的平均值用可使用AVERAGE函数计算。方法步骤如下：1、打开需要操作的EXCEL表格，点击开始选项卡中“求和”后面的倒三角下拉按钮并选择“平均值”。2、选择百分比所在单元格区域如B2:D2，回车即可。3、返回EXCEL表格，发现求EXCEL中百分比的平均值操作完成。

1、打开excel文档2、以某一学期的学生的期末考试成绩为例，试计算学生化学成绩占其总分的百分比3、选中对应单元格后，在函数“fx”右侧键入化学成绩与总分之比，如“F6/I6”4、按下键盘上的回车键即“enter”键后，相应单元格中会出现小数，这个小数就是上一步中的比值5、鼠标移动到以选中单元格的右下角，直到鼠标变成黑色小十字6、向下拖动鼠标，即可得到所有同学的化学成绩于总分之比7、选中比值这一列，鼠标右键点击“设置单元格格式”8、在弹出的窗口中，选择“数据”-“百分比”9、鼠标点击“确定”10、这样，单项所占合计的百分比就计算出来啦

把后面单元格的格式转换为百分比格式。在里面打上=好，点一下你需要的到数（93）的单元格乘以0.3，回车后显的就是百分数了或者用平均值函数乘以0.3ok了=AVERAGE(A1:A14)*0.3

我记得有人这样讲解的“平均百分比”是对所有“基数”的总和而言的，所以一般都要考虑“权重”。所谓“权重”，就是各个“基数”相对“总基数”的百分比。譬如说一个学期四次平时小测验，一次期中考试，一次期末考试，共有六个成绩，要算学期总平均成绩，一般期末成绩“权重”最大，期中成绩“权重”次之，平时次数虽然多然而“权重”却最小。对于本问题，譬如我们把他理解为，某年级六个班级奥运知识测试，各班参加人数(就是基数）以及及格率（是一个百分数）分别为：36,百分之7027,百分之3539,百分之9828,百分之2633,百分之5937,百分之85平均百分比，就要应该根据各个班级人数不相同。年级总人数为 36+27+39+28+33+37=200，所以在计算平均百分比的时候要考虑各个班的“权重”：1)36/200=18%2)26/200=13%3)40/200=20%4)28/200=14%5)32/200=16%6)38/200=19%所以平均百分比应该这样来计算：0.18×0.70＋0.13×0.35＋0.20×0.98＋0.14×0.26＋0.16×0.59+0.19×0.85=0.6568=65.68%

1183.34/9914.37 *100%=11.94% 1395.99/9914.37 *100%=14.08% 7335.04/9914.37 *100%=73.98%

这个问题其实就跟单价、数量、金额的问题一样!你要想求平均单价就得总的金额除总的数量!如果只是把几个单价相加在除单价的个数就错了! 这就是误差的关系!单价相加加的只是一个,而实际并不是一个,由数量决定着!所以那种算法会很粗略有误差!

求百分比的平均值，方法和过程，与求整数，小数的平均数是一样的。直接用average平均值函数。average(区域)

应该是可以用的，如你的百分比数据在H1：H10公式=AVERAGE(H1:H10)就得到你要的平均值呀

EXCEL中百分比的平均值用可使用AVERAGE函数计算。方法步骤如下：1、打开需要操作的EXCEL表格，点击开始选项卡中“求和”后面的倒三角下拉按钮并选择“平均值”。2、选择百分比所在单元格区域如B2:D2，回车即可。3、返回EXCEL表格，发现求EXCEL中百分比的平均值操作完成。

就看你5个数是在一个单元格还是多个单元格，如果是一个单元格要麻烦点，如果是5个单元格，可以用=average公式

1、双击打开需要求平均值的excel电子表格。2、选定参与平均值计算的单元格。3、依次单击“开始”菜单，选择“求和”命令，在下拉菜单中的“求平均值”命令。4、单击后， 可以看到在刚才选定的单元格下面的一个单元格中求出了平均值。5、当然，我们也可以直接在需要得出结果的单元格中输入“=AVERAGE(D2:D9)”按下回车键（Enter健）。6、可以看到在刚才键入公式的单元格中输出了平均值结果。

Excel 按百分制计算平均成绩1．打开需要操作的 EXCEL 表格，点击开始选项卡中“求和”后面的倒三角下拉按钮并选择“平 值”。2．选择百分比所在单元格区域如B2:D2，回车即可。3．返回 EXCEL 表格，发现求 EXCEL 中百分比的平均值操作完成。同时如果要按比例计算成绩具体解决步骤如下：举例来说。某科成绩有平时、期中、期末三个成绩，现在要求按2、3、5的比例来计算总评成绩。1、在E2单元格输入“＝b2*0.2+c2*0.3+d2*0.5”，然后回车。2、计算出“stu-001”的总评成绩3、把光标移到E2单元格的右下角，会发现光标变成黑十字。点住鼠标左键不松，向下拖动直到E4松开左键。我们看到成绩都出来了。

N3输入公式=text(L3/C3,"0.00%)即可公式可以下拉复制

1.选中N列，右键单击，在出现的浮动菜单中点击设置单元格格式，选中“数字”标签，在对话框中选择“百分比”选项，在“小数位数”中，填写“2”，点击确定2.在N2中输入公式：=L/C3.回车，下拉复制单元格即可用这种方式求出的百分数是数字，不是文本，可以进行计算。楼上的方式也可以得出结果，但得到的是文本，不能直接进行数字运算

公式=AVERAGE(H2:H12) 直接可以求出来

EXCEL中百分比的平均值用可使用AVERAGE函数计算。方法步骤如下：1、打开需要操作的EXCEL表格，点击开始选项卡中“求和”后面的倒三角下拉按钮并选择“平均值”。2、选择百分比所在单元格区域如B2:D2，回车即可。3、返回EXCEL表格，发现求EXCEL中百分比的平均值操作完成。

SPSS软件求总平均值和总标准差步骤如下:打开spss统计软件,依次点击“分析——比较均值——平均值”；随后出现“平均值”窗口。将“性别”放入“自变量列表”框中,将“血糖”放入“因变量列表”框中。点击“选项”,出现“平均值:选项”窗口。将需要计算的统计指标选入右侧“单元格统计”框中，本例选中“平均值、个案数、中位数、最大值、最小值、方差、标准差”统计量，点击“继续”。点击“确定”，得到统计指标。SPSS(Statistical Product and Service Solutions)，"统计产品与服务解决方案"软件。最初软件全称为"社会科学统计软件包"(SolutionsStatistical Package for the Social Sciences)。但是随着SPSS产品服务领域的扩大和服务深度的增加，SPSS公司已于2000年正式将英文全称更改为"统计产品与服务解决方案"，标志着SPSS的战略方向正在做出重大调整。为IBM公司推出的一系列用于统计学分析运算、数据挖掘、预测分析和决策支持任务的软件产品及相关服务的总称SPSS，有Windows和Mac OS X等版本。1984年SPSS总部首先推出了世界上第一个统计分析软件微机版本SPSS/PC+，开创了SPSS微机系列产品的开发方向，极大地扩充了它的应用范围。并使其能很快地应用于自然科学、技术科学、社会科学的各个领域。世界上许多有影响的报刊杂志纷纷就SPSS的自动统计绘图、数据的深入分析、使用方便、功能齐全等方面给予了高度的评价。SPSS是世界上最早采用图形菜单驱动界面的统计软件，它最突出的特点就是操作界面极为友好，输出结果美观漂亮。它将几乎所有的功能都以统一、规范的界面展现出来，使用Windows的窗口方式展示各种管理和分析数据方法的功能，对话框展示出各种功能选择项。用户只要掌握一定的Windows操作技能，精通统计分析原理，就可以使用该软件为特定的科研工作服务。SPSS采用类似EXCEL表格的方式输入与管理数据，数据接口较为通用，能方便的从其他数据库中读入数据。其统计过程包括了常用的、较为成熟的统计过程，完全可以满足非统计专业人士的工作需要。输出结果十分美观，存储时则是专用的SPO格式，可以转存为HTML格式和文本格式。对于熟悉老版本编程运行方式的用户。SPSS还特别设计了语法生成窗口，用户只需在菜单中选好各个选项，然后按"粘贴"按钮就可以自动生成标准的SPSS程序。极大的方便了中、高级用户。

chi2(n) <=> gamma(n/2,1/2)，利用gamma分布导出的。可参考复旦大学出版社的《数理统计讲义》

P(黑=8)=C(10,8)*p^8*（1-p）^2X~b(1,p) X服从二项分布，即重复n次独立的伯努利试验 这里n=1因此P{X=0}=1-pP{X=1}=pP{X=x}=p^x(1-p)^1-x点估计（point estimation）是用样本统计量来估计总体参数，因为样本统计量为数轴上某一点值，估计的结果也以一个点的数值表示，所以称为点估计。矩估计法, 也称“矩法估计”，就是利用样本矩来估计总体中相应的参数. 最简单的矩估计法是用一阶样本原点矩来估计总体的期望而用二阶样本中心矩来估计总体的方差.E（X(i+1)-Xi）=EX(i+1) -EXi 因为Xi独立，因此他们期望都相同，且期望等于总体的均值所以EX(i+1) -EXi =0 D是常数可以提出来 因此ΣDXi =DΣXi

既然是微分形式当然是指所研究的对应点那个微小空间位置的电荷密度值

如图所示

1、若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，则EX=np，DX=np(1-p)2、若随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则EX=nM/N超几何分布的方差：1、若随机变量X服从参数为n，p的二项分布,则EX=np，DX=np(1-p)2、若随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则EX=nM/N超几何分布的方差 D（X）=np（1-p）* （N-n）/（N-1）方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。

超几何分布的均值和方差公式：E(X)=(n*M)/N[其中x是样本数，n为样本容量，M为样本总数，N为总体中的个体总数]，求出均值，这就是超几何分布的数学期望值。方差公式是V(X)=X1^2*P1+X2^2*P2+...Xn^2*Pn-a^2[这里设a为期望值]。超几何分布是统计学上一种离散概率分布。它描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）。称为超几何分布，是因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关。相关定义：方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。

要计算A1:A10的算术平均值，公式是=AVERAGE(A1:A10)

AVERAGEA 请参阅 计算参数列表中数值的平均值（算数平均值）。不仅数字，而且文本和逻辑值（如 TRUE 和 FALSE）也将计算在内。 语法 AVERAGEA ( value1 ,value2,...) Value1, value2,... 为需要计算平均值的 1 到 30 个单元格、单元格区域或数值。 说明 参数必须为数值、名称、数组或引用。 包含文本的数组或引用参数将作为 0（零）计算。空文本 ("") 也作为 0（零）计算。如果在平均值的计算中不能包含文本值，请使用函数 AVERAGE。 包含TRUE 的参数作为 1 计算；包含 FALSE 的参数作为 0 计算。 =AVERAGEA(A2:A6) MAX 请参阅 返回一组值中的最大值。 语法 MAX ( number1 ,number2,...) Number1, number2, ... 是要从中找出最大值的 1 到 30 个数字参数。 说明 可以将参数指定为数字、空白单元格、逻辑值或数字的文本表达式。如果参数为错误值或不能转换成数字的文本，将产生错误。 如果参数为数组或引用，则只有数组或引用中的数字将被计算。数组或引用中的空白单元格、逻辑值或文本将被忽略。如果逻辑值和文本不能忽略，请使用函数 MAXA 来代替。 如果参数不包含数字，函数 MAX 返回 0（零）。 MIN 请参阅 返回一组值中的最小值。 语法 MIN ( number1 ,number2,...) Number1, number2,... 是要从中找出最小值的 1 到 30 个数字参数。 说明 可以将参数指定为数字、空白单元格、逻辑值或数字的文本表达式。如果参数为错误值或不能转换成数字的文本，将产生错误。 如果参数是数组或引用，则函数 MIN 仅使用其中的数字，空白单元格，逻辑值、文本或错误值将被忽略。如果逻辑值和文本字符串不能忽略，请使用 MINA 函数。 如果参数中不含数字，则函数 MIN 返回 0。

不仅数字，而且文本和逻辑值（如TRUE和FALSE）也将计算在内。语法AVERAGEA(value1,value2,...)Value1,value2,...为需要计算平均值的1到30个单元格、单元格区域或数值。说明参数必须为数值、名称、数组或引用。包含文本的数组或引用参数将作为0（零）计算。空文本()也作为0（零）计算。如果在平均值的计算中不能包含文本值，请使用函数AVERAGE。包含TRUE的参数作为1计算；包含FALSE的参数作为0计算。=AVERAGEA(A2:A6)MAX请参阅返回一组值中的最大值。语法MAX(number1,number2,...)Number1,number2,...是要从中找出最大值的1到30个数字参数。说明可以将参数指定为数字、空白单元格、逻辑值或数字的文本表达式。如果参数为错误值或不能转换成数字的文本，将产生错误。如果参数为数组或引用，则只有数组或引用中的数字将被计算。数组或引用中的空白单元格、逻辑值或文本将被忽略。如果逻辑值和文本不能忽略，请使用函数MAXA来代替。如果参数不包含数字，函数MAX返回0（零）。MIN请参阅返回一组值中的最小值。语法MIN(number1,number2,...)Number1,number2,...是要从中找出最小值的1到30个数字参数。说明可以将参数指定为数字、空白单元格、逻辑值或数字的文本表达式。如果参数为错误值或不能转换成数字的文本，将产生错误。如果参数是数组或引用，则函数MIN仅使用其中的数字，空白单元格，逻辑值、文本或错误值将被忽略。如果逻辑值和文本字符串不能忽略，请使用MINA函数。

ABS函数、AND函数、AVERAGE函数1、ABS函数函数名称：ABS 　主要功能：求出相应数字的绝对值。 　使用格式：ABS(number)参数说明：number代表需要求绝对值的数值或引用的单元格。 　应用举例：如果在B2单元格中输入公式：=ABS(A2)，则在A2单元格中无论输入正数（如100）还是负数（如-100），B2中均显示出正数（如100）。特别提醒：如果number参数不是数值，而是一些字符（如A等），则B2中返回错误值“#VALUE！”。2、AND函数函数名称：AND 　主要功能：返回逻辑值：如果所有参数值均为逻辑“真（TRUE）”，则返回逻辑“真（TRUE）”，反之返回逻辑“假（FALSE）”。使用格式：AND(logical1,logical2, ...)参数说明：Logical1,Logical2,Logical3……：表示待测试的条件值或表达式，最多这30个。应用举例：在C5单元格输入公式：=AND(A5>=60,B5>=60)，确认。如果C5中返回TRUE，说明A5和B5中的数值均大于等于60，如果返回FALSE，说明A5和B5中的数值至少有一个小于60。特别提醒：如果指定的逻辑条件参数中包含非逻辑值时，则函数返回错误值“#VALUE!”或“#NAME”。3、AVERAGE函数函数名称：AVERAGE主要功能：求出所有参数的算术平均值。 　使用格式：AVERAGE(number1,number2,……)参数说明：number1,number2,……：需要求平均值的数值或引用单元格（区域），参数不超过30个。 　应用举例：在B8单元格中输入公式：=AVERAGE(B7:D7,F7:H7,7,8)，确认后，即可求出B7至D7区域、F7至H7区域中的数值和7、8的平均值。 　特别提醒：如果引用区域中包含“0”值单元格，则计算在内；如果引用区域中包含空白或字符单元格，则不计算在内。扩展资料：计算机函数公式分为以下三类：1、RANK函数RANK函数是Excel计算序数的主要工具，它的语法为：RANK（number，ref，order），其中number为参与计算的数字或含有数字的单元格，ref是对参与计算的数字单元格区域的绝对引用，order是用来说明排序方式的数字（如果order为零排列，即2、1和3。需要注意的是：相同数值用RANK函数计算得到的序数（名次）相同，但会导致后续数字的序数空缺。假如上例中F2单元格存放的数值与F3相同，则按本法计算出的排名分别是3、3和1（降序时）。2、COUNTIF函数COUNTIF函数可以统计某一区域中符合条件的单元格数目，它的语法为COUNTIF（range，criteria）。其中range为参与统计的单元格区域，criteria是以数字、表达式或文本形式定义的条件。其中数字可以直接写入，表达式和文本必须加引号。仍以上面的为例，F2单元格内输入的公式为“=COUNTIF（$E$2:$E$4，”>“&E2）+1”。计算各车间产值排名的方法同上，结果也完全相同，2、1和3。此公式的计算过程是这样的：首先根据E2单元格内的数值，在连接符&的作用下产生一个逻辑表达式，即“>176。7”、“>167。3”等。COUNTIF函数计算出引用区域内符合条件的单元格数量，该结果加一即可得到该数值的名次。3、IF函数Excel自身带有排序功能，可使数据以降序或升序方式重新排列。如果将它与IF函数结合，可以计算出没有空缺的排名。以上例中E2、E3、E4单元格的产值排序为例，具体做法是：选中E2单元格，根据排序需要，单击Excel工具栏中的“降序排列”。参考资料来源：百度百科-计算机函数

看你在哪些程序用，比如EXCEL：AVERAGE()函数表示平均值

计算算术平均值所用函数是AVERAGE，计算标准差所用函数是STDEVP，

不仅数字，而且文本和逻辑值（如TRUE和FALSE）也将计算在内。语法AVERAGEA(value1,value2,...)Value1,value2,...为需要计算平均值的1到30个单元格、单元格区域或数值。说明参数必须为数值、名称、数组或引用。包含文本的数组或引用参数将作为0（零）计算。空文本()也作为0（零）计算。如果在平均值的计算中不能包含文本值，请使用函数AVERAGE。包含TRUE的参数作为1计算；包含FALSE的参数作为0计算。=AVERAGEA(A2:A6)MAX请参阅返回一组值中的最大值。语法MAX(number1,number2,...)Number1,number2,...是要从中找出最大值的1到30个数字参数。说明可以将参数指定为数字、空白单元格、逻辑值或数字的文本表达式。如果参数为错误值或不能转换成数字的文本，将产生错误。如果参数为数组或引用，则只有数组或引用中的数字将被计算。数组或引用中的空白单元格、逻辑值或文本将被忽略。如果逻辑值和文本不能忽略，请使用函数MAXA来代替。如果参数不包含数字，函数MAX返回0（零）。MIN请参阅返回一组值中的最小值。语法MIN(number1,number2,...)Number1,number2,...是要从中找出最小值的1到30个数字参数。说明可以将参数指定为数字、空白单元格、逻辑值或数字的文本表达式。如果参数为错误值或不能转换成数字的文本，将产生错误。如果参数是数组或引用，则函数MIN仅使用其中的数字，空白单元格，逻辑值、文本或错误值将被忽略。如果逻辑值和文本字符串不能忽略，请使用MINA函数。

均值不等式：a+b≥2√(ab)积定和最小：当a和b的乘积一定时候，且a，b都是大于0的，此时a+b有最小值。和定积最大：当a+b的和一定时候，且a，b都是大于0的，此时ab有最大值。和定积最大：当a+b=S时，ab≤S^2/4（a=b取等） 　　积定和最小：当ab=P时，a+b≥2√P（a=b取等） 均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。扩展资料：常用不等式：①√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)②√(ab)≤(a+b)/2③a²+b²≥2ab④ab≤(a+b)²/4⑤||a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|同向不等式：不等号相同的两个或几个不等式叫同向不等式，例：2x+5>3与3x-2>5是同向不等式。异向不等式：不等号相反的两个不等式叫异向不等式。 　　

均值不等式是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。均值不等式部分的公式：a^2+b^2≥2ab√(ab)≤(a+b)/2≤（a^2+b^2）/2a^2+b^2+c^2≥（a+b+c）^2/3≥ab+bc+ac扩展资料被称为均值不等式。·即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。其中：，被称为调和平均数。，被称为几何平均数。，被称为算术平均数。，被称为平方平均数。参考资料来源：搜狗百科-均值不等式

【均值不等式的简介】 概念： 1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an) 3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n 4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n] 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号 均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时); (a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)） 则有：当r<s时，D(r)≤D(s) 注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)●【均值不等式的变形】 (1)对正实数a,b，有a??+b??≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a??+b??>0>-2ab (2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a×b)≥0，即(a+b)/2≥√(a×b)≥0 (3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a×b) (4)对实数a,b(a≥b)，有a(a-b)≥b(a-b) (5)对非负数a,b，有a??+b??≥2ab≥0 (6)对非负数a,b，有a??+b?? ≥??×(a+b)??≥ab (7)对非负数a,b,c，有a??+b??+c??≥1/3*(a+b+c)?? (8)对非负数a,b,c，有a??+b??+c??≥ab+bc+ac (9)对非负数a,b，有a??+ab+b??≥??×a+b)?? 2/（1/a+1/b）≤√ab≤a+b/2≤√（(a??+b??)/2）●【均值不等式的证明】 方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等 下面介绍个好理解的方法 琴生不等式法 琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点， 则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)] 设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数 所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=lnn次√(x1*x2*...*xn) 即(x1+x2+...+xn)/n≥n次√(x1*x2*...*xn)●【均值不等式的应用】 例一 证明不等式：2√x≥3-1/x (x>0) 证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*3次√(√x)*(√x)*(1/x)=3 所以，2√x≥3-1/x 例二 长方形的面积为p，求周长的最小值 解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p 因为a+b≥2√ab，所以2(a+b)≥4√ab=4√p 周长最小值为4√p 例三 长方形的周长为p，求面积的最大值 解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p 因为a+b=p/2≥2√ab，所以ab≤p^2/16 面积最大值是p^2/16望采纳。谢谢

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均值不等式6个基本公式如下：关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式。几何平均数是对各变量值的连乘积开项数次方根。求几何平均数的方法叫做几何平均法。如果总水平、总成果等于所有阶段、所有环节水平、成果的连乘积总和时，求各阶段、各环节的一般水平、一般成果，要使用几何平均法计算几何平均数，而不能使用算术平均法计算算术平均数。根据所拿握资料的形式不同，其分为简单几何平均数和加权几何平均数两种形式。

【均值不等式的简介】概念：1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√[(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qna1、a2、…、an∈R+，当且仅当a1=a2=…=an时取“=”号均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时);(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)）则有：当r<s时，D(r)≤D(s)注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)●【均值不等式的变形】(1)对正实数a,b，有a²+b²≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a²+b²>0>-2ab(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a×b)≥0，即(a+b)/2≥√(a×b)≥0(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a×b)(4)对实数a,b(a≥b)，有a(a-b)≥b(a-b)(5)对非负数a,b，有a²+b²≥2ab≥0(6)对非负数a,b，有a²+b²≥½×(a+b)²≥ab(7)对非负数a,b,c，有a²+b²+c²≥1/3*(a+b+c)²(8)对非负数a,b,c，有a²+b²+c²≥ab+bc+ac(9)对非负数a,b，有a²+ab+b²≥¾×a+b)²2/（1/a+1/b）≤√ab≤a+b/2≤√（(a²+b²)/2）●【均值不等式的证明】方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等下面介绍个好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=lnn次√(x1*x2*...*xn)即(x1+x2+...+xn)/n≥n次√(x1*x2*...*xn)●【均值不等式的应用】例一证明不等式：2√x≥3-1/x(x>0)证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*3次√(√x)*(√x)*(1/x)=3所以，2√x≥3-1/x例二长方形的面积为p，求周长的最小值解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p因为a+b≥2√ab，所以2(a+b)≥4√ab=4√p周长最小值为4√p例三长方形的周长为p，求面积的最大值解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p因为a+b=p/2≥2√ab，所以ab≤p^2/16面积最大值是p^2/16

a^2+b^2 ≥ 2ab√(ab)≤(a+b)/2 ≤（a^2+b^2）/2a^2+b^2+c^2≥（a+b+c）^2/3≥ab+bc+aca+b+c≥3×三次根号abc扩展资料：均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时);(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)）则有：当r<s时，D(r)≤D(s)注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)

a^2+b^2≥2ab√(ab)≤(a+b)/2≤（a^2+b^2）/2a^2+b^2+c^2≥（a+b+c）^2/3≥ab+bc+aca+b+c≥3×三次根号abc均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。扩展资料：特例⑴对实数a,b，有 （当且仅当a=b时取“=”号）， （当且仅当a=-b时取“=”号）⑵对非负实数a,b，有 ，即 ⑶对非负实数a,b，有 ⑷对非负实数a,b，a≥b,有 ⑸对非负实数a,b，有 ⑹对实数a,b，有 ⑺对实数a,b,c，有 ⑻对非负数a,b，有 ⑼对非负数a,b,c，有 ；在几个特例中，最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）：当n=2时，上式即：；当且仅当 时，等号成立。根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即 。

均值不等式:a²+b²≥2ab;√(ab)≤(a+b)/2;a²+b²+c²≥(a+b+c)²/3;a+b+c≥3×三次根号abc。均值不等式是什么均值不等式是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。

均值不等式:a²+b²≥2ab;√(ab)≤(a+b)/2;a²+b²+c²≥(a+b+c)²/3;a+b+c≥3×三次根号abc。均值不等式是什么均值不等式是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。

就是说算术平均数不小于几何平均数

四个常用均值不等式：a²+b²≥2ab；√(ab)≤(a+b)/2；a²+b²+c²≥(a+b+c)²/3；a+b+c≥3×三次根号abc。应用：例一 证明不等式：2√x≥3-1/x (x>0)。证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*[（√x)*（√x)*(1/x)]^(1/3)=3。所以，2√x≥3-1/x。例二 长方形的面积为p，求周长的最小值。解：设长，宽分别为a,b，则a*b=p。因为a+b≥2√（ab），所以2(a+b）≥4√（ab)=4√p。周长最小值为4√p。例三 长方形的周长为p，求面积的最大值。解：设长，宽分别为a,b，则2(a+b)=p。因为a+b=p/2≥2√（ab），所以ab≤p^2/16。面积最大值是p^2/16。

均值不等式 百科名片 1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n) 3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n 4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式. 均值不等式的简介 概念：1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n) 3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n 4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n] 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn a1、a2、… 、an∈R +,当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号 均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时); (a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)） 则有：当r 注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形,即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2) 由以上简化,有一个简单结论,中学常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√〔(a^2+b^2)/2〕 均值不等式的变形 (1)对实数a,b,有a^2+b^2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号),a^2+b^2>0>-2ab (2)对非负实数a,b,有a+b≥2√(a*b)≥0,即(a+b)/2≥√(a*b)≥0 (3)对负实数a,b,有a+b0) 证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*[(√x)*(√x)*(1/x)]^(1/3)=3 所以,2√x≥3-1/x 例二 长方形的面积为p,求周长的最小值 设长,宽分别为a,b,则a*b=p 因为a+b≥2√(ab),所以2(a+b)≥4√(ab)=4√p 周长最小值为4√p 例三 长方形的周长为p,求面积的最大值 设长,宽分别为a,b,则2(a+b)=p 因为a+b=p/2≥2√(ab),所以ab≤p^2/16 面积最大值是p^2/16

均值不等式的变形 均值不等式 2ab≤a²+b² 两边加上a²+b² 2ab+a²...

1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn的式子即为均值不等式。

均值不等式公式是：Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√（a1^2+a2^2+...+an^2)/n均值不等式的使用：前提条件：正、定、等同时成立。均值不等式中还有一个需要注意的地方：a，b∈Ra，b∈R。其次应该掌握的使用技巧：a+b≥2ab−−√a+b≥2ab（要注意理解a、ba、b的内涵）如 a、ba、b可以是数字，可以代数式，如单项式、多项式；整式、分式、指数式、对数式、三角式等等。

均值不等式公式如下：扩展资料不等式在初中、高中甚至竞赛中都是比较相对综合、有难度的一块内容，经常会与方程、函数等其它知识点一起考察，一般的题型有：解不等式、证明不等式、求最大最小值。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

均值不等式 几个重要不等式(一) 一、平均值不等式 设a1,a2,…, an是n个正实数，则，当且仅当a1=a2=…=an时取等号 1.二维平均值不等式的变形 (1)对实数a,b有a2+b2³2ab (2)对正实数a,b有 (3)对b>0，有， (4)对ab2>0有， (5)对实数a,b有a(a-b)³b(a-b) (6)对a>0,有 (7) 对a>0,有 (8)对实数a，b有a2³2ab-b2 (9) 对实数a，b及l¹0，有 二、例题选讲 例1.证明柯西不等式 证明：法一、若或命题显然成立，对¹0且¹0，取 代入(9)得有 两边平方得 法二、，即二次式不等式恒成立 则判别式 例2.已知a>0,b>0,c>0,abc=1,试证明： (1) (2) 证明：(1)左=[] = ³ (2)由知 同理： 相加得：左³ 例3.求证： 证明：法一、取，有 a1(a1-b)³b(a1-b), a2(a2-b)³b(a2-b),…, an(an-b)³b(an-b) 相加得(a12+ a22+…+ an2)-( a1+ a2+…+ an)b³b[(a1+ a2+…+ an)-nb]³0 所以 法二、由柯西不等式得： (a1+ a2+…+ an)2=((a1×1+ a2×1+…+ an×1)2£(a12+ a22+…+ an2)(12+12+…+12) =(a12+ a22+…+ an2)n, 所以原不等式成立 例4.已知a1, a2,…,an是正实数，且a1+ a2+…+ an<1，证明： 证明：设1-(a1+ a2+…+ an)=an+1>0, 则原不等式即nn+1a1a2…an+1£(1-a1)(1-a2)…(1-an) 1-a1=a2+a3+…+an+1³n 1-a2=a1+a3+…+an+1³n ………………………………………… 1-an+1=a1+a1+…+an³n 相乘得(1-a1)(1-a2)…(1-an)³nn+1 例5.对于正整数n，求证： 证明：法一、 > 法二、左= = 例6.已知a1,a2,a3,…,an为正数，且，求证： (1) (2) 证明：(1) 相乘左边³=(n2+1)n 证明(2) 左边= -n+2( = -n+2×[(2-a1)+(2-a2)+…+(2-an)]( ³ -n+2×n参考资料：http://baike.baidu.com/view/441784.html

均值不等式6个基本公式是、Hn≤Gn≤An≤Qn。1、均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。2、关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式。3、均值基本公式：已知x,y∈R+,x+y=S,x·y=P,如果P是定值，那么当且仅当x=y时，S有最小值；如果S是定值，那么当且仅当x=y时，P有最大值。或当a、b∈R+,a+b=k（定值）时，a+b≥2√ab (定值）当且仅当a=b时取等号。4、设X1,X2,X3,……，Xn为大于0的数，则X1+X2+X3+……＋Xn≥n乘n次根号下X1乘X2乘X3乘……乘Xn。均值定理，又称基本不等式。主要内容为在正实数范围内，若干数的几何平均数不超过他们的算术平均数，且当这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等。5、均值定理是高中数学学习中的一个非常重要的知识点，在函数求最值问题中有十分频繁的应用。均值定理特点：一正：各部分为正数。二定：不等号左或右是定值。三相等：等号能够取得。

均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

均值不等式的变形 均值不等式 2ab≤a²+b² 两边加上a²+b² 2ab+a²...

1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn的式子即为均值不等式。

【均值不等式的简介】概念：1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√[(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qna1、a2、…、an∈R+，当且仅当a1=a2=…=an时取“=”号均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时);(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)）则有：当r<s时，D(r)≤D(s)注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)●【均值不等式的变形】(1)对正实数a,b，有a²+b²≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a²+b²>0>-2ab(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a×b)≥0，即(a+b)/2≥√(a×b)≥0(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a×b)(4)对实数a,b(a≥b)，有a(a-b)≥b(a-b)(5)对非负数a,b，有a²+b²≥2ab≥0(6)对非负数a,b，有a²+b²≥½×(a+b)²≥ab(7)对非负数a,b,c，有a²+b²+c²≥1/3*(a+b+c)²(8)对非负数a,b,c，有a²+b²+c²≥ab+bc+ac(9)对非负数a,b，有a²+ab+b²≥¾×a+b)²2/（1/a+1/b）≤√ab≤a+b/2≤√（(a²+b²)/2）●【均值不等式的证明】方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等下面介绍个好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=lnn次√(x1*x2*...*xn)即(x1+x2+...+xn)/n≥n次√(x1*x2*...*xn)●【均值不等式的应用】例一证明不等式：2√x≥3-1/x(x>0)证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*3次√(√x)*(√x)*(1/x)=3所以，2√x≥3-1/x例二长方形的面积为p，求周长的最小值解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p因为a+b≥2√ab，所以2(a+b)≥4√ab=4√p周长最小值为4√p例三长方形的周长为p，求面积的最大值解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p因为a+b=p/2≥2√ab，所以ab≤p^2/16面积最大值是p^2/16

均值不等式是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。均值不等式部分的公式：a^2+b^2 ≥ 2ab√(ab)≤(a+b)/2 ≤（a^2+b^2）/2a^2+b^2+c^2≥（a+b+c）^2/3≥ab+bc+ac扩展资料 被称为均值不等式。·即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。其中： ，被称为调和平均数。 ，被称为几何平均数。 ，被称为算术平均数。 ，被称为平方平均数。参考资料来源：百度百科-均值不等式

均值不等式公式如下：不等式在初中、高中甚至竞赛中都是比较相对综合、有难度的一块内容，经常会与方程、函数等其它知识点一起考察，一般的题型有：解不等式、证明不等式、求最大最小值。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。基本性质①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）②如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；（乘法原则）⑤如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件)

四个常用均值不等式：a²+b²≥2ab；√（ab)≤（a+b)/2；a²+b²+c²≥（a+b+c）²/3；a+b+c≥3×三次根号abc。均值不等式，又称为平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。证明：关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式。以上内容参考 百度百科－均值不等式

（a1＋a2＋a3＋…＋an）／n ≥（a1a2a3···an）^1／n

均值不等式，又称为平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。均值不等式的公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn。拓展资料：均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。简记为“调几算方”。调和平均数：几何平均数：算术平均数：平方平均数：

均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式：公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。、调和平均数：Hn=n/(1/a_1+1/a_2+⋯+1/a_n )2、几何平均数：Gn=n√(a_1 a_2…a_n )3、算术平均数：An=(a_1+a_2+⋯+a_n)/n4、平方平均数：Qn=√((a_1^2+a_2^2+⋯+a_n^2)/n)5、均值定理： 如果属于正实数那么且仅当时 等号成立。这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qna1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r）（当r不等于0时）；（a1a2...an)^(1/n）（当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n））则 [1]当注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1）≤D(0）≤D⑴≤D⑵由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b）≤√ab≤（a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]均值定理的证明：因为 a 〉0 ， b 〉0 所以 a+b/2 - √ab = a+b-2√ab/2 = (√a-√b)^2/2 ≥ 0即 a+b/2≥√ab. 当且仅当√a= √b ,等号成立。

均值不等式，又称为平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。定义被称为均值不等式。即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。均值不等式也可以看成是“对于若干个非负实数，它们的算术平均不小于几何平均”的推论。来自百度百科均值不等式

均值不等式是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。均值不等式部分的公式：a^2+b^2 ≥ 2ab。√(ab)≤(a+b)/2 ≤（a^2+b^2）/2。a^2+b^2+c^2≥（a+b+c）^2/3≥ab+bc+ac。变形：⑴对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab （当且仅当a=b时取“=”号），a^2+b^2>0>-2ab。⑵对非负实数a,b，有a+b≥2√（a×b）≥0，即（a+b)/2≥√（a×b）≥0。⑶对负实数a,b，有a+b<-2√（a*b)<0。⑷对实数a,b，有a(a-b）≥b(a-b)。⑸对非负实数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0。⑹对实数a,b，有a^2+b^2≥1/2*(a+b）^2≥2ab。⑺对实数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2。⑻对实数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac。⑼对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2。⑽对非负数a,b,c，有（a+b+c)/3≥（abc)^(1/3)。

均值不等式又称为平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变。当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。扩展资料：不等式两边相加或相减同一个数或式子，不等号的方向不变。（移项要变号）不等式两边相乘或相除同一个正数，不等号的方向不变。（相当系数化1，这是得正数才能使用）不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。（÷或×1个负数的时候要变号）把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。有几个就要几个。

均值不等式，又称为平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。均值不等式的公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn。拓展资料：均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。简记为“调几算方”。调和平均数：几何平均数：算术平均数：平方平均数：

均值不等式，又称为平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。定义被称为均值不等式。即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。均值不等式也可以看成是“对于若干个非负实数，它们的算术平均不小于几何平均”的推论。来自百度百科均值不等式

均值不等式，又称为平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法的证明方法：（注：在此证明的，是对n维形式的均值不等式的证明方法。）用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

均值不等式公式四个及证明均值不等式:a²+b²≥2ab;√(ab)≤(a+b)/2;a²+b²+c²≥(a+b+c)²/3;a+b+c≥3×三次根号abc。均值不等式证明：均值不等式是什么：均值不等式是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。

均值不等式又称为平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变。当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。扩展资料：不等式两边相加或相减同一个数或式子，不等号的方向不变。（移项要变号）不等式两边相乘或相除同一个正数，不等号的方向不变。（相当系数化1，这是得正数才能使用）不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。（÷或×1个负数的时候要变号）把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。有几个就要几个。

概念：　　1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)　　2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)　　3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n　　4、平方平均数：Qn=√[(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]　　这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn　　a1、a2、…、an∈R+，当且仅当a1=a2=…=an时取“=”号　　均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时);　　(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)）　　则有：当r评论00加载更多

均值不等式又称为平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变。当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。扩展资料：不等式两边相加或相减同一个数或式子，不等号的方向不变。（移项要变号）不等式两边相乘或相除同一个正数，不等号的方向不变。（相当系数化1，这是得正数才能使用）不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。（÷或×1个负数的时候要变号）把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。有几个就要几个。

【均值不等式的简介】概念：1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√[(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qna1、a2、…、an∈R+，当且仅当a1=a2=…=an时取“=”号均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时);(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)）则有：当r<s时，D(r)≤D(s)注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)●【均值不等式的变形】(1)对正实数a,b，有a²+b²≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a²+b²>0>-2ab(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a×b)≥0，即(a+b)/2≥√(a×b)≥0(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a×b)(4)对实数a,b(a≥b)，有a(a-b)≥b(a-b)(5)对非负数a,b，有a²+b²≥2ab≥0(6)对非负数a,b，有a²+b²≥½×(a+b)²≥ab(7)对非负数a,b,c，有a²+b²+c²≥1/3*(a+b+c)²(8)对非负数a,b,c，有a²+b²+c²≥ab+bc+ac(9)对非负数a,b，有a²+ab+b²≥¾×a+b)²2/（1/a+1/b）≤√ab≤a+b/2≤√（(a²+b²)/2）●【均值不等式的证明】方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等下面介绍个好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=lnn次√(x1*x2*...*xn)即(x1+x2+...+xn)/n≥n次√(x1*x2*...*xn)●【均值不等式的应用】例一证明不等式：2√x≥3-1/x(x>0)证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*3次√(√x)*(√x)*(1/x)=3所以，2√x≥3-1/x例二长方形的面积为p，求周长的最小值解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p因为a+b≥2√ab，所以2(a+b)≥4√ab=4√p周长最小值为4√p例三长方形的周长为p，求面积的最大值解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p因为a+b=p/2≥2√ab，所以ab≤p^2/16面积最大值是p^2/16

均值不等式的简介概念：N个正实数的算术平均数大于等于其几何平均数算术平均数，arithmeticmean，用一组数的个数作除数去除这一组数的和所得出的平均值，也作average几何平均数，geometricmean，作为n个因数乘积的数的n次方根，通常是n的正数根设a1,a2,a3,...,an是n个正实数，则(a1+a2+a3+...+an)/n≥n次√(a1*a2*a3*...*an)，当且仅当a1=a2=…=an时，均值不等式左右两边取等号均值不等式的变形(1)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b)(4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b)(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0(6)对非负数a,b，有a^2+b^2≥1/2*(a+b)^2≥ab(7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2(8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac(9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2

1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n) 3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n 4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。 1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n) 3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n 4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n] 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn a1、a2、…、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号 均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时); (a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)） 则有：当r 注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2) 由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√［(a^2+b^2)/2］ 编辑本段均值不等式的变形 (1)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab (2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0 (3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b) (4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b) (5)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0 (6)对实数a,b，有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥2ab (7)对实数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2 (8)对实数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac (9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2 (10)对实数a,b,c，有(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3) 编辑本段均值不等式的证明 方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等 用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。 引理：设A≥0，B≥0，则(A＋B)^n≥A^n＋nA^(n－1)B。 注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A＋B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。 原题等价于：((a1＋a2＋…＋an )／n)^n≥a1a2…an。 当n＝2时易证； 假设当n＝k时命题成立，即 ((a1＋a2＋…＋ak )／k)^k≥a1a2…ak。那么当n＝k＋1时，不妨设a(k＋1)是a1，a2 ，…，a(k＋1)中最大者，则 k a(k＋1)≥a1＋a2＋…＋ak。 设s＝a1＋a2＋…＋ak， {[a1＋a2＋…＋a(k＋1)]／(k＋1)}^(k+1) ＝{s/k＋[k a(k＋1)－s]／[k(k＋1)]}^(k+1) ≥(s／k)^(k+1)＋(k＋1)(s／k)^k[k a(k＋1)－s]／k(k＋1) 用引理 ＝(s／k)^k* a(k＋1) ≥a1a2…a(k＋1)。用归纳假设 下面介绍个好理解的方法 琴生不等式法 琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点， 则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)] 设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数 所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1/n)] 即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n) 在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦） 编辑本段均值不等式的应用 例一 证明不等式：2√x≥3-1/x (x>0) 证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*[(√x)*(√x)*(1/x)]^(1/3)=3 所以，2√x≥3-1/x 例二 长方形的面积为p，求周长的最小值 解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p 因为a+b≥2√(ab)，所以2(a+b)≥4√(ab)=4√p 周长最小值为4√p 例三 长方形的周长为p，求面积的最大值 解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p 因为a+b=p/2≥2√(ab)，所以ab≤p^2/16 面积最大值是p^2/16 编辑本段其他不等式 琴生不等式 绝对值不等式 权方和不等式 赫尔德不等式 闵可夫斯基不等式 贝努利不等式 柯西不等式 切比雪夫不等式 外森比克不等式 排序不等式 编辑本段重要不等式 - 1.柯西不等式 柯西不等式的一般证法有以下几种： （1）Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2. 我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 则我们知道恒有 f(x) ≥ 0. 用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0. 于是移项得到结论。 （2）用向量来证. m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn) mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX． 因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2 这就证明了不等式． 柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法． 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。 巧拆常数： 例：设a、b、c 为正数且各不相等。 求证： (2/a+c)+(2/b+c)+(2/c+a)＞(9/a+b+c) 分析：∵a 、b 、c 均为正数 ∴为证结论正确只需证：2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＞9 而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b) 又9=(1+1+1)(1+1+1) 证明：Θ2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9 又a、b 、c 各不相等，故等号不能成立 ∴原不等式成立。 像这样的例子还有很多，词条里不再一一列举，大家可以在参考资料里找到柯西不等式的证明及应用的具体文献． 编辑本段重要不等式 - 2.排序不等式 排序不等式是高中数学竞赛大纲要求的基本不等式。 设有两组数 a 1 , a 2 ,…… a n, b 1 , b 2 ,…… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n, b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 则有 a 1 b n + a 2 b n?1 +……+ a n b1≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 +……+ a n b n 式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列， 当且仅当 a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 时成立。 以上排序不等式也可简记为： 反序和≤乱序和≤同序和. 证明时可采用逐步调整法。 例如，证明：其余不变时，将a 1 b 1 + a 2 b 2 调整为a 1 b 2 + a 2 b 1 ，值变小，只需作差证明（a 1 -a 2 ）*（b 1 -b 2 ）≥0，这由题知成立。 依次类推，根据逐步调整法，排序不等式得证。 编辑本段重要不等式 - 3.切比雪夫不等式 切比雪夫不等式有两个 （1）设存在数列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≤b2≤b3≤......≤bn 那么，∑aibi≥(1/n)(∑ai)(∑bi) （2）设存在数列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≥b2≥b3≥......≥bn 那么，∑aibi≤(1/n)(∑ai)(∑bi) 编辑本段重要不等式 - 4.琴生不等式 设f(x)为上凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n,称为琴生不等式（幂平均）。 加权形式为： f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn),其中 ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1. 编辑本段重要不等式 - 5.均值不等式 a^2 + b^2≥ 2ab （a与b的平方和不小于它们的乘积的2倍) 当a,b 分别大于0时上试可变为a+b ≥2√ab 编辑本段重要不等式 - 6.完全的均值不等式 √[(a^2+ b^2)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b) （二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均） 证明：（证明过程引自他出） 设a，b是两个正数， M2=√[(a^2+b^2)/2]，A=(a+b)/2，G=√(ab)，H=2/(1/a+1/b) 分别表示a，b两元的二次幂平均，算术平均，几何平均和调和平均。证明: M2≥A≥G≥H。 证明 在梯形ABCD中，AB∥CD，记AB=b，CD=a。 EiFi(i=1,2,3,4)是平行于梯形ABCD的底边且被梯形两腰所截的线段。 如果E1F1分梯形为等积的两部分，那么 E1F1=√[(a^2+b^2)/2]。 如果E2F2分梯形的中位线，那么 E2F2=(a+b)/2。 如果E3F3分梯形为两相似图形，那么 E3F3=√(ab)。 如果E4F4通过梯形两对角线交点的线段，那么 E4F4=2/(1/a+1/b)。 从图中直观地证明E1F1≥E2F2≥E3F3≥E4F4，当a=b时取等号。 编辑本段重要不等式 - 7.幂平均不等式 幂平均不等式：ai>0(1≤i≤n),且α>β，则有（∑ai^α/n)^1/α≥(∑ai^β/n)^1/β成立 iff a1=a2=a3=……=an 时取等号 加权的形式： 设ai>0，pi>0(1≤i≤n)，且α>β，则有 （∑pi*ai^α/∑pi)^1/α≥(∑pi*ai^β/∑pi)^1/β iff a1=a2=a3=……=an， p1=p2=p3=……=pn 时取等号。 特例： - 调和平均（-1次幂）， - 几何平均（0次幂）， - 算术平均（1次幂），， - 二次平均（2次幂 )麻烦采纳，谢谢!