行列式

内容如下：行列式依行展开是计算行列式的一种方法，设ai1，ai2，…，ain (1≤i≤n)为n阶行列式D=|aij|的任意一行中的元素，而Ai1，Ai2，…，Ain分别为它们在D中的代数余子式，则D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin称为行列式D的依行展开。如果行列式D的第i行各元素与第j行各元素的代数余子式对应相乘后再相加，则当i≠j时，其和为零，行列式依行或依列展开不仅对行列式计算有重要作用，且在行列式理论中也有重要的应用。相关内容解释定理1（行列式依行展开定理） n（n>1）阶行列式D=|aij|等于它任意一行的所有元素与它们对应的代数余子式的乘积的和，即定理2如果行列式D的第i行各元素与第j行各元素的代数余子式对应相乘后再相加，则当i≠j时，其和为零。

行列式的列和列之间进行交换当然是可以的，但是互换行列式的两行（列），行列式变号，所以在交换两列之后，需要更改行列式的符号即奇数次行列更换需要变号，偶数次不需要

行列式按行列展开法则如下：行列式依行展开是计算行列式的一种方法，设ai1，ai2，…，ain (1≤i≤n)为n阶行列式D=|aij|的任意一行中的元素，而Ai1，Ai2，…，Ain分别为它们在D中的代数余子式，则D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin称为行列式D的依行展开。 如果行列式D的第i行各元素与第j行各元素的代数余子式对应相乘后再相加，则当i≠j时，其和为零，行列式依行或依列展开不仅对行列式计算有重要作用，且在行列式理论中也有重要的应用。行列式的性质：1.行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。2.行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。3.若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。4.行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。5.把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。

行列式依行展开是计算行列式的一种方法，设ai1，ai2，…，ain (1≤i≤n)为n阶行列式D=|aij|的任意一行中的元素，而Ai1，Ai2，…，Ain分别为它们在D中的代数余子式，则D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin称为行列式D的依行展开。如果行列式D的第i行各元素与第j行各元素的代数余子式对应相乘后再相加，则当i≠j时，其和为零，行列式依行或依列展开不仅对行列式计算有重要作用，且在行列式理论中也有重要的应用。性质①行列式A中某行（或列）用同一数k乘，其结果等于kA。②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列）。③若n阶行列式｜αij|中某行（或列）；行列式则｜αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行（或列），一个是b1,b2,…，bn；另一个是с1，с2,…，сn；其余各行（或列）上的元与｜αij|的完全一样。④行列式A中两行（或列）互换，其结果等于－A。⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。

计算行列式的值可以行、列初等变换。矩阵用行初等变换多，列初等变换少：求矩阵的秩可以行、列初等变换。一般用行初等变换。求逆矩阵、化行阶梯形矩阵、解线性方程组，求矩阵特征向量等，都有行初等变换。

三角形行列式的值，等于对角线元素的乘积。计算时，一般需要多次运算来把行列式转换为上三角型或下三角型；交换行列式中的两行，行列式变号；行列式中某行的公因子。可以提出放到行列式之外；行列式的某行乘以a，加到另外一行，行列式不变，常用于消去某些元素；若行列式中，两行完全一样，则行列式为0。行列式在数学中是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

可以互换。但是互换行列式的两行（列），行列式变号，所以在交换两列之后，需要更改行列式的符号，即奇数次行列更换需要变号，偶数次不需要。性质：①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。④行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。在数学中，行列式是定义域为det矩阵A的函数，取值为标量，写成det(A)或| A|。不管是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学(比如换元积分法)中，行列式作为基本的数学工具，都有重要的应用。在欧几里德空间中，行列式可视为有向面积或体积概念的推广。或在 n维欧几里德空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”产生的影响。

就是这个公式：D=ai1Ai1+ai2Ai2+...+aijAij+...+ainAin 【行列式按第 i 行展开】

行列式的行数一定与列数相等的,所以才叫做n阶行列式. 行列式之后学习的矩阵才可能有行列不等的情况,学习行列式是学习矩阵的基础.

并不一定。

行列式按行列展开法则如下：行列式依行展开是计算行列式的一种方法，设ai1，ai2，…，ain (1≤i≤n)为n阶行列式D=|aij|的任意一行中的元素，而Ai1，Ai2，…，Ain分别为它们在D中的代数余子式，则D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin称为行列式D的依行展开。如果行列式D的第i行各元素与第j行各元素的代数余子式对应相乘后再相加，则当i≠j时，其和为零，行列式依行或依列展开不仅对行列式计算有重要作用，且在行列式理论中也有重要的应用。相关内容解释1、定理1：（行列式依行展开定理） n（n>1）阶行列式D=|aij|等于它任意一行的所有元素与它们对应的代数余子式的乘积的和。2、定理2：如果行列式D的第i行各元素与第j行各元素的代数余子式对应相乘后再相加，则当i≠j时，其和为零。

行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。行列式被用来确定线性方程组解的个数以及形式。随后，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，于是有了线性自同态和向量组的行列式的定义。行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式的秩如下：对于行列式来说，非零子式的最高阶数就是它的秩。矩阵的秩用来表示一种矩阵结构，表示矩阵的某些行能否被其他行代替。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。行列式的特点：行列式A中某行用同一数k乘，其结果等于kA。行列式A等于其转置行列式AT（AT的第i行为A的第i列）。若n阶行列式|αij|中某行（或列），行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行（或列）,一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

行列式是若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。 矩阵由数组成，或更一般的，由某元素组成。 行列式的值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，即是一个实数 求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负决定于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是奇数。 也可以这样解释：行列式是矩阵的所有不同行且不同列的元素之积的代数和，和式中每一项的符号由积的各元素的行指标与列指标的逆序数之和决定：若逆序数之和为偶数，则该项为正；若逆序数之和为奇数，则该项为负。

s*n的矩阵就是s*n个数排成s行n列的一个数表，矩阵可以不是方的（即s=n）；当矩阵是方阵时，可以有相对应的行列式，就是将外边的中括号或者小括号换成两条竖线；这样得到的行列式称为矩阵的行列式。而行列式就是一个数，它必须是方的，而且n阶行列式虽然写成n*n个数排成方阵外再加上两条竖线，但是行列式最终计算下来是一个数。它的计算过程之一就是求出n！项展开式的代数和。对行列式做初等变换时候，因为它最终是一个数，所以互换行列就相当于最后的这个数改变了，而改变的结果就是换了正负号，这个是行列式的性质，可以证明的。所以，虽然由方的矩阵可以定义其对应的行列式，但是千万不要认为行列式是矩阵的一种，是特殊的矩阵，这是完全错误的。事实上，在《线性代数》课本上，行列式是在矩阵之前讲的。最早的克莱姆法则也是直接针对行列式的，这个时候用不到矩阵的。

其余项没有变化，只是将中间加法的那个行，按照算式中每一列的第一项全提取做成第一个子式，然后是每一列的第二项全提取做成第二个子式，类推就做出了

行列式的列和列之间进行交换当然是可以的。但是互换行列式的两行（列），行列式变号，所以在交换两列之后，需要更改行列式的符号，即奇数次行列更换需要变号，偶数次不需要。性质：①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,?,bn；另一个是с1，с2,?,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。④行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。扩展资料：若n阶方阵A=（aij）,则A相应的行列式D记作D=|A|=detA=det(aij)若矩阵A相应的行列式D=0，称A为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。标号集：序列1,2,...,n中任取k个元素i1,i2,...,ik满足1≤i1<i2<...<ik≤n(1)i1,i2,...,ik构成{1,2,...,n}的一个具有k个元素的子列，{1,2,...,n}的具有k个元素的满足(1)的子列的全体记作C(n,k),显然C(n,k)共有  个子列。参考资料：百度百科——行列式

按照行列式的定义，必须是行列相等的，也就是针对方阵才能计算行列式。

行列式依列展开(expansion of a determinant by a column)是计算行列式的一种方法，设a1j，a2j，…，anj (1≤j≤n)为n阶行列式D=|aij|的任意一列中的元素，而A1j，A2j，…，Anj分别为它们在D中的代数余子式，则D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj称为行列式D的依列展开。行列式可按行或列展开，于是每个行列式可以表成它的某一行(或某一列)的每个元素与它对应元素的代数余子式乘积的和，即D= ai1Ai1+ ai2Ai2+ ai3Ai3 (i= 1, 2，3) ， (1)D= a1jA1j+ a2jA2j+ a3jA3j (j=1，2, 3)， (1")把类似(1)式的展开称为行列式的依行展开式，把(1")式称为行列式的依列展开式。扩展资料在行列式计算中，我们经常利用行列式的展开把n阶行列式转化为n-1阶行列式，通过降阶逐步变为低阶行列式后进行计算，但行列式按某一行或列展开时，只有在该行或列的元素有较多的零时，才能起到减少计算量的作用，因此往往先运用“化零”后进行“降阶”，利用行列式性质降低行列式阶数，然后计算行列式之值的方法称为降阶法，例1就是降阶法的一例。

【定义】由n^2个数组成的n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的<代数和>.D =a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 = a11a22a33a44 - a11a22a34a43 - a11a23a32a44 + a11a23a34a42+ a11a24a32a43 - a11a24a33a42 - a12a21a33a44 + a12a21a34a43 + a12a23a31a44 - a12a23a34a41 - a12a24a31a43 + a12a24a33a41 + a13a21a32a44 - a13a21a34a42 - a13a22a31a44 + a13a22a34a41 + a13a24a31a42 - a13a24a32a41 - a14a21a32a43 + a14a21a33a42 + a14a22a31a43 - a14a22a33a41 - a14a23a31a42 + a14a23a32a41上图D=0-0-0+0+0-0-0+0+0-0-0+0+0-0-0+0+0-0-1+0+0-0-0+0=-1PS:这定义法真是作死啊，根本用不着~~码字不容易，望采纳~~

根据行列式的性质，很容易成上三角形式的值为1*（-1）（-1）*1*=定义=Σ（-1）^α（J1J2......JN）*a1j1*a2j2*......anjn所以原来的公式=（-1）^α（2143）1*1*1=1[2143，21，43以相反的顺序，所以α^（2143）=2]我不知道任何满意吗？

解：由题意，A31、A32、A33、A34是行列式D第三行元素的代数余子式。其中D=31-12-513-4201-11-53-3现构造一个新的行列式G，使G=31-12-513-413-221-53-3∴G与D除了第三行元素不同，其余元素均对应相等。扩展资料：基本介绍定义在n阶行列式D中划去任意选定的k行、k列后，余下的元素按原来顺序组成的n-k阶行列式M，称为行列式D的k阶子式A的余子式。如果k阶子式A在行列式D中的行和列的标号分别为i1，i2，…，ik和j1，j2，…，jk。则在A的余子式M前面添加符号：后,所得到的n-k阶行列式，称为行列式D的k阶子式A的代数余子式。参考资料来源：搜狗百科-代数余子式

1.某行的余子式和求解方法是：第n行的代数余子式之和等于把原行列式的第n行元素都换为1所得的行列式，所有代数余子式之和的结果就是上面n个新行列式之和。2.在n阶行列式中，把所在的第i行和第j列划去后，所留下来的n-1阶行列式叫元的余子式。3.设A为一个m×n的矩阵，k为一个介于1和m之间的整数，并且m≤n。4.如果m=n，那么A关于一个k阶子式的余子式，是A去掉了这个k阶子式所在的行和列之后得到的(n-k)×(n-k)矩阵的行列式，简称为A的k阶余子式。

根据性质可知A11+A12+A13=0，A21+A22+A23=0，而A31+A32+A33=原行列式，所以全部代数余子式之和=原行列式=-9，答案是b。

第1行的代数余子式之和等于把原行列式的第1行元素换为1所得的行列式，第2行的代数余子式之和等于把原行列式的第2行元素都换为1所得的行列式。①行列式A中某行或列用同一数k乘,其结果等于kA。②行列式A等于其转置行列式AT（AT的第i行为A的第i列）。扩展资料带有代数符号的余子式，计算元素的代数余子式时，首先要注意不要漏掉代数余子式所带的代数符号。在n阶行列式中，把元素ai所在的第o行和第e列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ai的余子式，记作M，将余子式M再乘以-1的o+e次幂记为A，A叫做元素a的代数余子式。

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或| A|。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用，那么行列式的等价定义是什么？ 1、 行列式有很多等价定义。等价定义就是你可以拿其中一个作为定义，而另外的就是他的充分必要条件。我可以举出三个。 2、 第一个应该是大部分国内教材用的。用a{i，j}表示行列式第i行j列元素，p=（p1，p2，。。。，pn）表示1到n的排列，tp代表排列p的逆序数。n阶行列式的值等于对全部的排列p，（-1）^tp*a{1，p1}*a{2，p2}*。。。*a{n，pn}的和。 3、 第二个是递归定义，一阶行列式｜a｜=a，高阶行列式按第一行展开，即行列式等于a｛1，k｝*A｛1，k｝对全部k=1，2，。。。，n求和。其中A｛1，k｝为a｛1，k｝的代数余子式。可以证明这种定义可以推广成按任意行或列展开且展开的值相等。 4、 第三种是从性质入手定义。从上面两个定义来看，行列式可以看成一个n^2个域F元素到域F上的函数。我们将每一列元素视为一个列向量，即向量空间F^n中的元素，那么行列式是n个F^n中元素到F上的函数。我们可以这么定义行列式：若F^n到F上的n元函数f是n重线性标准反对称的，则f是域F上的行列式。这种定义其实就是从行列式性质（列按加拆，整列的系数可提出，单位矩阵行列式为1，交换列行列式乘-1）出发倒过来定义行列式，这个定义想要合法必须证明这样的函数具有确定性、唯一性，具体证明就不写了。利用这个定义是可以推出值等同于定义1，2的结果的，所以是等价定义。 关于行列式的等价定义是什么内容的介绍就到这了。

行列式等价是什么意思：A和B行等价，就是说A经过若干次初等行变换可以变成B。