矩阵的行列式怎么算

在线性代数，行列式是一个函数，其定义域为的矩阵A，值域为一个标量，写作det(A)。在本质上，行列式描述的是在n维空间中，一个线性变换所形成的“平行多面体”的“体积”。行列式无论是在微积分学中（比如说换元积分法中），还是在线性代数中都有重要应用。 行列式概念的最初引进是在解线性方程组的过程中。行列式被用来确定线性方程组解的个数，以及形式。随后，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用。于是有了线性自同态和向量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个n次交替线性形式，这反映了行列式作为一个描述“体积”的函数的本质。 若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。行列式的值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，既是一个实数：求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负决定于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是奇数。也可以这样解释：行列式是矩阵的所有不同行且不同列的元素之积的代数和，和式中每一项的符号由积的各元素的行指标与列指标的逆序数之和决定：若逆序数之和为偶数，则该项为正；若逆序数之和为奇数，则该项为负。 逆序数：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。如2431中，21，43，41，31是逆序，逆序数是4，为偶排列。

[编辑本段]垂直线记法

矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如：），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵： 行列式 det(A) 也写作 | A | 或明确的写作： 即矩阵的方括号以细长的垂直线取代。

[编辑本段]定义

一个矩阵A的行列式有一个乍看之下很奇怪的定义： 其中sgn(σ)是排列σ的符号差。 对于比较小的矩阵，比如说二阶和三阶的矩阵，行列式表达如下，有些像是主对角线（左上至右下）元素的乘积减去副对角线（右上至左下）元素的乘积（见图中红线和蓝线）。 2阶： 3阶：。 但对于阶数较大的矩阵，行列式有 n! 项，并不是这样的形式。 二维向量组的行列式 行列式是向量形成的平行四边形的面积 设P是一个二维的有向欧几里得空间，即一个所谓的欧几里得平面。两个向量X和X"的行列式是： 经计算可知，行列式表示的是向量X和X "形成的平行四边形的有向面积。并有如下性质： 行列式为零当且仅当两个向量共线（线性相关），这时平行四边形退化成一条直线。 如果以逆时针方向为正向的话，有向面积的意义是：平行四边形面积为正当且仅当向量X和X"逆时针排列（如图）。 行列式是一个双线性映射。也就是说， ， 并且 。

三维向量组的行列式

设E是一个三维的有向欧几里得空间。三个三维向量的行列式是： 这时的行列式表示X、X"和X""三个向量形成的平行六面体的有向体积，也叫做这三个向量的混合积。同样的，可以观察到如下性质： 行列式为零当且仅当三个向量共线或者共面（三者线性相关），这时平行六面体退化为平面图形，体积为零。 这时行列式是一个“三线性映射”，也就是说，对第一个向量有 ，对第二、第三个向量也是如此。

基的选择

在以上的行列式中，我们不加选择地将向量在所谓的正交基下分解，实际上在不同的基之下，行列式的值并不相同。这并不是说平行六面体的体积不唯一。恰恰相反，基的变换可以看作线性映射对基的作用，而不同基下的行列式代表了基变换对“体积”的影响。可以证明，对于所有同定向的标准正交基，向量组的行列式的值是一样的。也就是说，如果我们选择的基都是“单位长度”，并且两两正交，那么在这样的基之下，平行六面体的体积是唯一的。

线性变换

经线性映射后的正方体 设E是一个一般的n维的有向欧几里得空间。一个线性变换把一个向量线性地变为另一个向量。比如说，在三维空间中，向量(x,y,z)被射到向量(x",y",z")： 其中a、b、c等是系数。如右图，正方体（可以看作原来的一组基形成的）经线性变换后可以变成一个普通的平行六面体，或变成一个平行四边形（没有体积）。这两种情况表示了两种不同的线性变换，行列式可以将其很好地分辨出来（为零或不为零）。 更详细地说，行列式表示的是线性变换前后平行六面体的体积的变化系数。如果设左边的正方体体积是一，那么中间的平行六面体的（有向）体积就是线性变换的行列式的值，右边的平行四边形体积为零，因为线性变换的行列式为零。这里我们混淆了线性变换的行列式和向量组的行列式，但两者是一样的，因为我们在对一组基作变换。

[编辑本段]严格的定义

由二维及三维的例子，我们可以看到一般的行列式应该具有怎样的性质。为了描述一个n维空间中的“平行多面体”的“体积”，行列式首先需要是线性的，这可以由面积的性质得到。这里的线性是对于每一个向量来说的，因为当一个向量变为原来的a倍时，“平行多面体”的“体积”也变为原来的a倍。其次，当一个向量在其它向量组成的“超平面”上时，“平行多面体”的“体积”是零（可以想象三维空间的例子）。也就是说，当向量线性相关时，行列式为零。于是可以得出行列式的定义：

向量组的行列式

行列式是E到K上的交替多线性形式。 具体来说，设 E 是一个内积空间，一个从E到K上的交替多线性形式是指函数： （多线性） 或者说，当ai = aj 的时候 （交替性） 所有E到K上的交替多线性形式的集合记作 An(E) 。 定理： An(E) 的维度是1，也就是说，设是 E 的一组基，那么，所有的交替多线性形式都可以写成 其中是在基B下的展开。 定理的证明是对任一个多线性形式，考虑将D依照多线性性质展开， 这时，由交替性，当且仅当 是的一个排列，所以有 这里， 。 向量组的行列式设是 E 的一组基，基B 的行列式就是唯一的（由定理可知）交替多线性形式 使得： detB(e1,...,en) = 1 于是向量组 的行列式就是 其中是在基B下的展开。 这个公式有时被称作莱布尼兹公式。 基变更公式设B与B"是向量空间中的两组基，则将上式中的detB改为detB"就得到向量组在两组基下的行列式之间的关系：

矩阵的行列式

设Mn(K)为所有定义在K上的矩阵的集合。将矩阵 A 的元素为A=(aij)。将矩阵 M 的 n 行写成，aj 可以看作是上的向量。于是可以定义矩阵A的行列式为向量组的行列式，这里的向量都在的正交基上展开，因此矩阵的行列式不依赖于基的选择。 这样定义的矩阵 A 的行列式与向量组的行列式有同样的性质。单位矩阵的行列式为1，若矩阵的两行线性相关，则行列式为零。 由莱布尼兹公式，可以证明矩阵行列式的一个重要性质：一个矩阵的行列式等于它的转置矩阵的行列式。 也就是说矩阵的行列式既可以看作 n 个行向量的行列式，也可以看作 n 个列向量的行列式。 证明：矩阵 A 的转置矩阵的行列式是： 令j = σ(i)，由于每个排列都是双射，所以上式变成： 令τ = σ ，当 σ 取遍所有排列时，τ 也取遍所有排列，而且 σ 的符号差等于 τ 的符号差。所以 线性映射的行列式设 f 是 n 维线性空间 E 到自身的线性变换（线性自同态），f 在 E 的任意一组基下的变换矩阵的行列式都是相等的。设 B 是 E 的一组基。那么 f 的行列式就是 f 在 B 下的变换矩阵的行列式： 之前对正方体做变换时， x1, ..., xn 是原来的基，，因此可以混淆向量组的行列式和线性变换的行列式。 考虑映射df,B使得 x1, ..., xn 被映射到 df,B 是一个交替n线性形式，因此由前面证的定理， df,B 和 detB 只相差一个系数。 令 x1, ..., xn 等于 B ，则得到 λ = df,B(B) 所以有 也就是说 对于另外一组基B" ，运用基变更公式，可以得到 du, B(B) 等于 du, B " (B " ) 。于是 df,B(B) 是一个不依赖于基，只依赖于 f 的数。这正是 detf 的定义。 特别地，行列式为 1 的线性变换保持向量组的行列式，它们构成一般线性群 GL(E) 的一个子群 SL(E) ，称作特殊线性群。可以证明， SL(E) 是由所有的错切生成的，即所有具有如下形式的矩阵代表的线性变换： 也就是说，错切变换保持向量组形成的“平行多面体”的体积。同样，可以证明两个相似矩阵有相等的行列式。

[编辑本段]应用

求特征值：若多项式p(x) = det(xI − A)，矩阵A的特征值就是多项式的解。 多变元微积分的代换积分法（参见雅可比矩阵） 在n个n维实向量所组成的平行多面体的体积，是这些实向量的所组成的矩阵的行列式的绝对值。以此推广，若线性变换可用矩阵A表示，S是R的可测集，则f(S)的体积是S的体积的倍。 朗斯基行列式

[编辑本段]行列式的基本性质

概述

在行列式中，一行（列）元素全为0，则此行列式的值为0。 在行列式中，某一行（列）有公因子k，则可以提出k。 在行列式中，某一行（列）的每个元素是两数之和，则此行列式可拆分为两个相加的行列式。 行列式中的两行（列）互换，改变行列式正负符号。 在行列式中，有两行（列）对应成比例或相同，则此行列式的值为0。 将一行（列）的k倍加进另一行（列）里，行列式的值不变。 注意：一行（列）的k倍加上另一行（列），行列式的值改变。 将行列式的行列互换，行列式的值不变。其中，行列互换相当于转置，记作D = D。 例如

其它性质

若A是可逆矩阵， 设A‘ 为A的转置矩阵， （参见共轭） 若矩阵相似，其行列式相同。 行列式是所有特征值之积。这可由矩阵必和其Jordan标准形相似推导出。

[编辑本段]行列式的展开

余因式(英译：cofactor) 又称“余子式”、“余因子”。参见主条目 余因式 对一个 n 阶的行列式M，去掉M的第i行第j列后形成的 n-1 阶的行列式叫做M关于元素mij的子试。记作Mij。 余因式为 Cij=（-1）^(ij)*Mij

代数余子式

M关于元素mij的代数余子式记作Cij。。

行列式关于行和列的展开

一个 n 阶的行列式M可以写成一行(或一列)的元素与对应的代数余子式的乘积之和，叫作行列式按一行(或一列)的展开。 这个公式又称作拉普拉斯公式，把 n 阶的行列式计算变为了 n 个 n-1 阶行列式的计算。

行列式函数

由拉普拉斯公式可以看出，矩阵A的行列式是关于其系数的多项式。因此行列式函数具有良好的光滑性质。 单变量的行列式函数设为的函数，则也是的。其对t的导数为 矩阵的行列式函数函数是连续的。由此，n阶一般线性群是一个开集，而特殊线性群则是一个闭集。 函数也是可微的，甚至是光滑的（）。其在A处的展开为 也就是说，在装备正则范数的矩阵空间Mn()中，伴随矩阵是行列式函数的梯度 特别当A为单位矩阵时， 可逆矩阵的可微性说明一般线性群GLn()是一个李群。

[编辑本段]应用

行列式与线性方程组

行列式的一个主要应用是解线性方程组。当线性方程组的方程个数与未知数个数相等时，方程组不一定总是有唯一解。对一个有 n 个方程和 n 个未知数的线性方程组，我们研究未知数系数所对应的行列式。这个线性方程组有唯一解当且仅当它对应的行列式不为零。这也是行列式概念出现的根源。 当线性方程组对应的行列式不为零时，由克莱姆法则，可以直接以行列式的形式写出方程组的解。但用克莱姆法则求解计算量巨大，因此并没有实际应用价值，一般用于理论上的推导。

n阶行列式实质上是一个n^2元的函数，当把n^2个元素都代上常数时，自然得到一个数。当我们写的时候，写成一个表是为了方便的反映函数的物性。当然，决不是指任何n^2元函数都是行列式，具体的行列式函数定义你找书一看看。为了让你自己觉得好理解一些，你可以试着照行列式的定义把行列式写成多项式和的常见形式，当然那个形式比较复杂，但本质上与行列式是一样的，只是写成行列式易于直观的做各种运算处理。

矩阵就是一个数表，它不能从整体上被看成一个数（只有一个数的1阶矩阵除外），当矩阵的行数与列数相等为n时，我们把相应的数代入上面我提到的n^2元函数中就得到一个行列式。代入的方法则是简单的把两个表对应起来。

在作为一个数表的矩阵上，我们本可以任意的定义运算规则（真的是指你爱怎么定义就怎么定义），但是实际上我们多是把矩陈用于解决某些特殊类型的问题，所以你想要知道某种运算，比如乘法运算是怎么来的就得看年它们是做什么用的（比如用于线性变换）。

方阵才有行列式的值

且|A|= ∑ (-1)^τ(j1j2…j3)a1j1*a2j2*…*anjn

（j1j2…j3)

上面的是定义啦 具体什么意思也不懂 不过知道行列式的值有用就是了

矩阵是一个数表, 当它的行数与列数相等的时候, 把它的n*n个数拿来可以构成一个行列式, 行列式是一个数值. .

矩阵的表示是用圆括号或方括号, 行列式是用垂直线表示.

a21 的代数余子式

A21 = (-1)^(2+1) (行标加列标)

乘以 划掉 第2行, 划掉第1列 余下的元素 构成的行列式 (称为a21的余子式)

5 9

16 3

= (-1) (5*3 - 9*16) = - 129.

同理可知

A12 = (-1)^(1+2) *

6 5

21 3

= (-1)*(18 - 105)

满意请采纳

行列式的计算其实就只基于一条：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变 至于那个提取每一行（列）的公共因子，应该都知道，那个调换两行变号应该也知道。

矩阵的初等变换：

对调两行

把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去

以数 k e 0 乘以某一行中的的所有元素

所以我们通过对比可以知道的是矩阵初等变换的第一种和第二种会使系数矩阵（如果是方阵）的行列式发生变化，但是要注意的是行列式如果非零，初等变换后的行列式一定非零，所以如果经过初等变换后行列式为零，也就是说系数矩阵的行列式为零，该矩阵不可逆。

另外要注意，矩阵的初等变换只在计算方程组的解和计算秩的时候使用，而且计算方程组的解时，只能进行行变换，而计算矩阵的秩时，则可以行变换和列变换同时用，因为这样不会改变矩阵的秩。

行列式也是可以同时行变换和列变换，这样也不会改变行列式的值。

矩阵行列式须是方阵，利用行列式的行列性质化简即可。

或者用MATLAB也可以做，使用det函数。

矩阵的行列式怎么算？矩阵行列式

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矩阵行列式是指矩阵的全部元素构成的行列式，设A=(aij)是数域P上的一个n阶矩阵，则所有A=(aij)中的元素组成的行列式称为矩阵A的行列式，记为|A|或det(A)。若A，B是数域P上的两个n阶矩阵，k是P中的任一个数，则|AB|=|A||B|，|kA|=kn|A|，|A*|=|A|n-1，其中A*是A的伴随矩阵；若A是可逆矩阵，则|A-1|=|A|-1。

中文名

矩阵行列式

所属学科

数学

所属问题

高等代数(矩阵)

简介

矩阵的全部元素构成的行列式

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相关定理

基本介绍

一个n×n的方阵A的行列式记为det(A)或者|A|，一个2×2矩阵的行列式可表示如下：

把一个n阶行列式中的元素aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素aij的余子式,记作Mij。记Aij=(-1)i+jMij，叫做元素aij的代数余子式。例如：

一个n×n矩阵的行列式等于其任意行(或列)的元素与对应的代数余子式乘积之和，即[1]:

相关定理

定理1 设A为一n×n矩阵，则det(AT)=det(A)[2]。

证 对n采用数学归纳法证明。显然，因为1×1矩阵是对称的，该结论对n=1是成立的。假设这个结论对所有k×k矩阵也是成立的，对(k+1)×(k+1)矩阵A，将det(A)按照A的第一行展开，我们有：

det(A)=a11det(M11)-a12det(M12)+-…±a1,k+1det(M1,k+1)，

由于Mij均为k×k矩阵，由归纳假设有

此式右端恰是det(AT)按照AT的第一列的余子式展开。因此

定理2 设A为一n×n三角形矩阵。则A的行列式等于A的对角元素的乘积。

根据定理1，只需证明结论对下三角形矩阵成立。利用余子式展开和对n的归纳法，容易证明这个结论。

定理3 令A为n×n矩阵。

(i) 若A有一行或一列包含的元素全为零，则det(A)=0。

(ii) 若A有两行或两列相等，则det(A)=0。

这些结论容易利用余子式展开加以证明

行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。行列式被用来确定线性方程组解的个数以及形式。随后，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，于是有了线性自同态和向量组的行列式的定义。

行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。