行列式

? 演员表4 剧目

arcsin导数公式代数余子式是行列式。arcsin导数公式代数余子式是行列式。

作为一个工科的学生,我们长期以来会使用比如像是矩阵以及行列式这些在线性代数上的知识,在这篇文章中,我想来聊一聊这些问题,即设么事面积,以及什么事面积的高纬度的推广. 1:什么是面积? 对于什么是面积,大家可能首先就会想到我们生活中常用的长*宽么?真的是这样么,其实在这里我们所谈论的面积,其实是欧几里得空间几何面积的基本的单位:平行四边形的面积.关于平行四边形的面积的定义,几何上所说的就是相邻两边边长乘以他们之间的夹角的正弦. 但是当我们面对到一些更一般的情形和更高维度的数理问题的时候,我们就有必要把这个面积的定义推广开来.首先我们应当要注意的是.面积是作为一个标量,他是来自于相邻的两个边的两个矢量相乘的结果,因此来时,我们需要把面积看作为一种映射的关系. 这里的V可以看做一个适量,V*V代表的是两个适量的有序对,那么f自然而然就是所求的面积. 现在我们将来证明这个映射是一个线性的映射,请坐稳扶好: 现在我们举一个最简单的例子,现在我们假设第一个矢量是(1.0),第二个矢量是(0,1),也就是说两个矢量分别是X轴和Y轴上的单位为正的单位向量,那么由这两个矢量构成的四边形,这个四边形其实就是一个正方形,根据面积的定义,其实就是*宽=1*1=1 因此我们可以得到: 现在假设把第一个矢量缩放a倍,这个四边形的面积也会变为相对应的a倍,这样的面积也将会变为原来的a倍,把第二个矢量缩放为b倍,这样的面积也会变为原来的b倍,如果这个时候我们同时对两个向量缩放为ab倍,这样的话面积也会变为原来的ab倍,这说明,面积的映射对于其他的两个操作数的矢量的标量积是呈现出各自线性的,如下: 其实在实际的情况下,面积的映射对于其操作数(矢量)的矢量加法也是线性的.因为矢量加法的操作本身就是一个线性的,那么他的面积的映射其实也就是一个线性的映射.现在我想通过几个例子,来解释下映射加法线性的一些后果. 两个共线矢量所张成的平行四边形是一条线,因此来说这个面积是0.现在假设面积映射是关于一个适量加法的线性映射,那么我们有以下的结果 其实这里其实用到了一个理论: 也就是说,在交换相互垂直操作数适量的顺序后,面积的映射变成一个负值.到底是正还是负取决于你认为的定义.一般情况下,我们把X轴的矢量放在前边,Y轴的矢量放在后边,从X轴到Y轴张成的一个平行四边形的面积,我们把这个符号一般看作为正号. 2:三维空间里的应用 在三维空间中,我们一般是利用的右手定则进行实验.如果以X轴的正方形为头部,Y轴的正方向为尾部.右手定则告诉我,纸面方向向外的方向是面积的正方向.如果反过来,纸面向内的方向就是该面积的正方向.与所规定的正负号的方向是相反的.现在这样来看正负号的几何的意义就比较明显了 现在我们假设用平面内的任意两个矢量所张成的平行四边形的面积,现在用公式来进行表示: 在这里,其实我们不难看到,所谓的面积其实就是一个2*2的矩阵的行列式: 就跟下边的图所示的一样: 其实我们的第一行即使我们的第一个行向量(a,b),第二行就是第二个行向量(c,d),再或者是第一列是第一个列向量(a,b)的转秩,第二个列自然就是第二个列向量(c,d)的转秩.当然这么做还是取决于我们是把矢量写成行向量还是列向量的形式表达. 3:行列式的性质的计算 在上述的推理中,我们可以很容易的发现,行列式的值是把与行列式的矢量写成列向量的横排还是行向量的竖排的方式是无关的.这也就是为什么,在计算行列式的时候,行列的地位是对等的.并且我们还应当注意到,根据上述的分析,交换向量的顺序,面积是负号的原因.这也就是为什么行列式中,交换列向量或者行向量一次,就应当要取一次负号的原因.另外行列式其他的计算的性子,其实都一一反映在面积映射的线性性当中. 所以,综上所述,行列式实际上本身就是一个关于面积的形式的推广.其实就是在给定一组基的情况下,N个向量张成的一个N维定义的广义四边形的体积,其实这就是行列式本质的一个含义. 4:行列式的一个推广 根据上边的结论,我们其实很容易的推广到三维体积的一个计算:在这里我们应该要注意到,行列式的定义,其实是每一行各取一个不同列的元素的一个乘积并且符号和所谓的逆序性有关的.什么是逆虚性?所谓逆序性，其几何意义就是在规定了一个正方向之后（比如从1,2,3,4,5...N这个顺序定义为正号），交换任意一对数都取一次负号。这样的性质我们在上述的面积函数中已经有所看到，实际上体积，更高维度的广义体积，也有正方向之说，只不过已经难以用右手法则（以及叉乘）来形象说明罢了。右手定则的局限性也是将高维面积推广成行列式表达的一个动机之一。 对于这样交换任意一堆指标的操作就可以改变符号的性质,其实我们就叫做反对称性.这个时候,如果你善于思考,你会想为什么要取不同行不同列元素的乘积.因为如果有任意两个元素是同行同列的,那么他们交换他们的列指标,乘积不变但是符号要相反.因此乘积必须要是0,这也就是在行列式值中不予体现的原因之一. 行列式的定义其实是比较的冗杂的,其实就是来自于广大的面积映射的反对称性,其实面积映射是一个2维的,把二维任意拓展到多维,我们其实就可以发现R维的形式和R*R的行列式的形式是完全一致的. 其实在这里,我们可以把各种维度所代表的东西来总结下,二维所代表的是平面内的面积,三维自然而然其实就是三维空间内的体积,四维其实就是四维空间内的超体积.依次类推.在上边的推理中我们发现,这些矢量给定的基坐标写出的矩阵必然是方阵,矩阵的行列式对应的面积或者是体积.这样的推广证明相信在任意一本的线性代数书中都会看到,我只是说了人话而已. 5:行列式和矩阵的逆 我们知道很多定理,比如行列式为0的矩阵,不可逆,行列式不为0的矩阵,可逆,这个时候我们不禁要问,代表面积的行列式,是如何和线性变化的可逆性联合在一起的. 这个时候我们就应该要理解线性变化的几何意义.现在我来陈述一下: 如果我们把空间中一组线性无关的矢量都写成列向量的形式，那么他们所张成的N维体体积不为零，根据上面的分析，其值由行列式给出。向量经过线性变换A变换之后，得到的新向量形式如下： 注意到A是一个N*N的矩阵，向量是列向量。 变换前，N维体的体积是： 变换之后，N维体的体积是（注意到，第二个等式实际上说明了几何意义是如何定义矩阵乘法的，也就是 N*N 矩阵 A 和另外一个 N 个列向量组成的 N*N 矩阵的乘法）： A的行列式如果不为零，则代表这个变换后，N维体的体积不是NULL。又结合线性无关与体积的性质，我们可以说： 如果 A 的行列式不为零，那么 A 可以把一组线性无关的矢量，映射成一组新的，线性无关的矢量； A 是可逆的（一对一的映射，保真映射， KERNEL 是 {0} ） 如果 A 的行列式为零，那么 A 就会把一组线性无关的矢量，映射成一组线性相关的矢量 如果 A 的行列式为负数，那么 A 将会改变原 N 维体体积的朝向。 从线性无关到线性相关，其中丢失了部分信息（例如坍缩成共线或者共面），因此这个变换显然就是不可逆的。线性是否无关和所张成 N 维体的体积有直接关系，这个体积值又与 A 的行列式有关。因此我们就建立了 A 的行列式与其是否可逆的几何关系。 举例说明，我们假设A是一个3维的矩阵。如果映射前，有一组三个线性无关的矢量，我们知道它们张成的体积不是0；经过映射后，他们对应的新矢量也能张成一个平行六面体，那么这个平行六面体的体积就是原体积乘以A的行列式。 显然，如果A的行列式是0，那么变换后的新“平行六面体"的体积将不可避免的也是0。根据上文的结论，我们有：变换后的这一组新矢量线性相关。 结论： 线性变换 A 的行列式是否为零，就代表了其映射的保真性，也即，能不能把一组线性无关的矢量变换成另一组保持无关性的矢量。 6:秩 但是有的时候,虽然行列式A不能把空间一组数目最大的矢量线性无关,但是它能够保证那个一组少数目的矢量让其线性无关,这个数目矢量往往小于线性空间的维度,这个数目就叫做线性变换A的秩 比如:一个秩为2为3*3的矩阵A,因为秩小于3,那么任何一个3维六面体经过他的变化后,体积变为0,退化一个面,但是仍然存在一个面积不为0的面,在变换以后还是一个非零面积的面 所以说所谓的一个线性变换的秩,无非就是变化后,还能保持一个非零体积的几何形状的最大的维度. 通过上边理解了秩,行列式,可逆性的几何意义,我们就能随意的构造一个线性变化的A,使得他要么保全所有的几何体,要么降维成为特定维度特定结构的几何体,压缩成为更低维度的几何体,所以说,可以看作为一个”降维打击” 更高维度的推理,希望有兴趣的小伙伴可以自己去证明,不明白的问题亦可以在文章下面评论.希望能够和大家多多交流,多谢指教.

那是定义

首先，得知道行列式的两个计算公式其次，通过构造矩阵来证明||用分块矩阵的方法来证明：| A 0||-E B|＝[按前n行展开]＝|A||B| ①（E为单位矩阵）注意第三类分块行初等变换不改变行列式的值，第二块行左乘A加到第一块行| A 0||-E B|＝| 0 AB||-E B|＝[按前n行展开]＝（-1）^t|AB||-E|②t＝1+2+……+n+（n+1）+（n+2）+……+（n+n）＝n（2n+1）|-E|＝（-1）^n,注意n（2n+1）+n＝2（n²+n）是偶数.∴（-1）^t|AB||-E|＝|AB|③对照①②③,得到：|A||B|＝|AB|扩展资料：设A为一n×n三角形矩阵。则A的行列式等于A的对角元素的乘积。只需证明结论对下三角形矩阵成立。利用余子式展开和对n的归纳法，容易证明这个结论。定理3 令A为n×n矩阵。(i) 若A有一行或一列包含的元素全为零，则det(A)=0。(ii) 若A有两行或两列相等，则det(A)=0。这些结论容易利用余子式展开加以证明。参考资料来源：百度百科-矩阵行列式

行列式的乘法公式其实是矩阵的乘法得来的，即 |A||B| = |AB|；其中 A.B 为同阶方阵，若记 A=(aij)，B=(bij)，则|A||B| = |(cij)|，cij = ai1b1j+ai2b2j+...+ainbnj。行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。行列式可以看作是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。行列式的乘法公式其实是矩阵的乘法得来的,即 |A||B| = |AB|其中 A.B 为同阶方阵若记 A=(aij), B=(bij), 则|A||B| = |(cij)|cij = ai1b1j+ai2b2j+...+ainbnj矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数（column）和第二个矩阵的行数（row）相同时才有意义[1]。一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。由于它把许多数据紧凑地集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型，如电力系统网络模型。1、当矩阵A的列数（column）等于矩阵B的行数（row）时，A与B可以相乘。2、矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于B的列数。3、乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和。乘法结合律： (AB)C=A(BC)．[3]乘法左分配律：(A+B)C=AC+BC[3]乘法右分配律：C(A+B)=CA+CB[3]对数乘的结合性k(AB）=(kA)B=A(kB）．转置 (AB)T=BTAT．矩阵乘法在以下两种情况下满足交换律。AA*=A*A，A和伴随矩阵相乘满足交换律。AE=EA，A和单位矩阵或数量矩阵满足交换律。

wronski行列式的第一行为n个可导函数本身，第二行是各函数的一阶导数，...，第n行是各函数的n-1阶导数在解线性微分方程时，朗斯基行列式可以用阿贝尔恒等式来计算。有二阶，三阶，还有四阶，五阶等等不同阶的算法略有不同常用的为上三角法和下三角法

一般不必用行列式，而是直接写出法向量；例如3x-5t+4z-7＝0的法向量为｛3,-5,4｝＝3i-5j+4k.但是如果知道平面上两个向量（不平行），或者三个点（不共线），则可以用行列式表示一个法向量。①α＝｛a,b,c｝,β＝｛d,e,f｝是平面上两个向量（不平行），则法向量可以用α×β＝行列式|ijk||abc||def|表示②A（a1,b1c1）,B（a2,b2.c2）.C（a3,b3,c3）是平面上三个点（不共线），则法向量可以用AB×BC＝行列式|i,j,k.||a2-a1,b2-b1,c2-c1||a3-a2,b3-b2,c3-c2|表示。

矩阵的秩的定义是什么？想必是不知道的。矩阵的秩就是矩阵的最大非零子式的阶数。意思就是，例如5阶矩阵a，秩为4，说明a的5阶行列式为0，4阶行列式存在不为0.矩阵的秩小于n，说明n阶行列式为0.对于线性代数概念的理解掌握，是学习的基础。newmanhero2015年5月9日10:13:10希望对你有所帮助，望采纳。

对于一个n阶的n*n矩阵A来说，如果其行列式|A|=0，则说明矩阵的秩小于n，即非满秩矩阵而如果|A|≠0，无论是大于还是小于0，都说明矩阵的秩就等于n实际上行列式|A|=0，就说明矩阵A在经过若干次初等变换之后存在元素全部为0的行，所以其秩R(A)<n而行列式|A|≠0，即经过若干次初等变换之后不存在元素全部为0的行，其秩R(A)=n

1. 行列式|A|为0 当且仅当 r(A)<n. (但r(A)不一定等于0). 2. 因为 b能由a1...an线性表示所以 a1...an 的一个极大无关组 仍是 a1...an,b 的极大无关组而向量组的秩即极大无关组所含向量的个数所以有 r(a1,..,an)=r(a1,..,an,b).

最简单的解释应该是：两行相等的行列式=0

这是定理或矩阵的秩的定义(视教材) 矩阵A的秩等于A中最高阶非零子式的阶数. n阶矩阵的秩为n时, 其最高阶非零子式的阶数为n, 而其n阶子式就是 |A|, 故 |A|≠0. 当n阶矩阵的秩

乱说，矩阵的行或者列互换是不变号的，别误人子弟

不一定，第一类初等变换（换行换列）使行列式变号，第二类初等变换（某行或某列乘k倍）使行列式变k倍，第三类初等变换（某行（列）乘k倍加到另一行（列））使行列式不变。初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。初等矩阵的模样可以写一个3阶或者4阶的单位矩阵。首先：初等矩阵都可逆，其次，初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵（可看作逆变换）。例如，交换矩阵中某两行（列）的位置；用一个非零常数k乘以矩阵的某一行（列）；将矩阵的某一行（列）乘以常数k后加到另一行（列）上去。若某初等矩阵左乘矩阵A，则初等矩阵会将原先施加到单位矩阵E上的变换，按照同种形式施加到矩阵A之上。或者说，想对矩阵A做变换，但是不是直接对矩阵A去做处理，而是通过一种间接方式去实现。扩展资料：1、在解线性方程组中的应用 初等行变换不影响线性方程组的解，也可用于高斯消元法，用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等行变换不改变矩阵的核（故不改变解集），但改变了矩阵的像。反过来，初等列变换没有改变像却改变了核。2、用于求解一个矩阵的逆矩阵有的时候，当矩阵的阶数比较高的时候，使用其行列式的值和伴随矩阵求解其逆矩阵会产生较大的计算量。这时，通常使用将原矩阵和相同行数（也等于列数）的单位矩阵并排，再使用初等变换的方法将这个并排矩阵的左边化为单位矩阵，这时，右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。参考资料来源：百度百科-初等矩阵

行列式为零说明它对应的齐次线性方程组有非零解，你将其写开就知道了

两个矩阵相加后求行列式以二阶矩阵为例写一写,每个步骤均可活用.供参考.下面的数字形式表示下标.方阵A=(a1,a2),为方便引用,这里a1,a2为列向量.a11,a12a21,a22方阵B=(b1,b2),为方便故引用,这里b1,b2为列向量.b11,b12,b21,b22则|A+B|=|a11,a12+b12a21,a22+b22|+|b11,a12+b12b21,a22+b22|=|a11,a12a21,a22|+|a11,b12a21,b22|+|b11,a12b21,a22||b11,b12b21,b22|写成列形式是=|a1,a2|+|a1,b2|+|b1,a2|+|b1,b2|这里是二阶方阵.拆开后有四个项.以上是按列拆分,各个行列式分别是由类推得知三阶行列式拆开后有8个项,写成列形式为.|a1,a2,a3|+|a1,a2,b3|+|a1,b2,a3|+|a1,b2,b3|+|b1,a2,a3|+|b1,a2,b3|+|b1,b2,a3|+|b1,b2,b3|

只能先减出来 再算行列式|A+B|不等于|A|+|B|但|AB|=|A||B|

不相等。就跟两个数相减的绝对值和两个数的绝对值相减是一样的，矩阵加减不等于行列式加减，行列式的减法是数值的加减，而矩阵的减法是矩阵的每个元素都减去

如果 A 是对称矩阵，则 A^T = A ，因此 |A - A^T| = 0 ，如果 A 不是对称矩阵，这结论不一定正确。

只有当两个行列式，只相差一行（或一列）元素不同时，才可以直接相加（相同的行（或列）不变，不相同的行（列），元素分别相加）。拓展资料两个矩阵的相加和相乘的方式：//两个矩阵相加和相乘public class TestMatrixOperation{public static void main(String[] args){int [][]matrix1=new int[5][5];int [][]matrix2=new int[5][5];//随机分配值for(int i=0;i<matrix1.length;i++)for(int j=0;j<matrix2.length;j++){matrix1[i][j]=(int)(Math.random()*10);matrix2[i][j]=(int)(Math.random()*10);}//两个矩阵相加并输出结果int[][]resultMatrix=addMatrix(matrix1,matrix2);System.out.println("两个矩阵相加：");printResult(matrix1,matrix2,resultMatrix,"+");//两个矩阵相乘并输出结果resultMatrix=multiplyMatrix(matrix1,matrix2);System.out.println("两个矩阵相乘：");printResult(matrix1,matrix2,resultMatrix,"*");}//两个矩阵相加的方法public static int[][] addMatrix(int[][] m1,int[][] m2){int[][]result=new int[m1.length][m1[0].length];for(int i=0;i<result.length;i++)//for(int j=0;j<result.length;j++)for(int j=0;j<result[0].length;j++)result[i][j]=m1[i][j]+m2[i][j];return result;}//两个矩阵相乘的方法public static int[][] multiplyMatrix(int[][] m1,int[][] m2){int[][]result=new int[m1.length][m2[0].length];for(int i=0;i<m1.length;i++)for(int j=0;j<result.length;j++)for(int k=0;k<result[1].length;k++)result[i][j]+=m1[i][k]*m2[k][j];return result;}//输出结果public static void printResult(int[][] m1,int[][] m2,int[][] m3,char op){System.out.println("第一个矩阵是：");for(int i=0;i<m1.length;i++){for(int j=0;j<m1[0].length;j++)System.out.print(" "+m1[i][j]);System.out.println(" ");}System.out.println("第二个矩阵是：");for(int i=0;i<m2.length;i++){for(int j=0;j<m2[0].length;j++)System.out.print(" "+m2[i][j] );System.out.println(" ");}System.out.println("两个矩阵做"+op+"运算");for(int i=0;i<m3.length;i++){for(int j=0;j<m3[0].length;j++)System.out.print(" "+m3[i][j]);System.out.println(" ");

1、解法：只有当两个行列式，只相差一行（或一列）元素不同时，才可以直接相加（相同的行（或列）不变，不相同的行（列），元素分别相加）；2、行列式的性质：（1）性质1：行列式与他的转置行列式相等；（2）性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号；（3）性质3：行列式中某行的公共因子k，可以将k提到行列式外面来。

没有一般的计算方法。

|An|+t*(（-1）^(i+j)Aij的总和)

一个行列式的最后结果是一个数值；一个矩阵是多个数据元素组成的一个阵列 。

没有|A+B| = |A|+|B| 这是典型错误这是矩阵的加法行列式可按某一行(或列)分拆你比较一下

矩阵的行列式没有有加法；|E|+|A|不等于|E+A|。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。扩展资料行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。性质①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

没有。。。。

矩阵的行列式没有有加法；|E|+|A|不等于|E+A|。矩阵行列式是指矩阵的全部元素构成的行列式，设A=(aij)是数域P上的一个n阶矩阵，则所有A=(aij)中的元素组成的行列式称为矩阵A的行列式，记为|A|或det(A)。若A，B是数域P上的两个n阶矩阵，k是P中的任一个数，则|AB|=|A||B|，|kA|=kⁿ|A|，|A*|=|A|n-1，其中A*是A的伴随矩阵；若A是可逆矩阵，则|A-1|=|A|-1。若A有一行或一列包含的元素全为零，则det(A)=0；若A有两行或两列相等，则det(A)=0。扩展资料：行列式的性质：1、行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。2、行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。3、若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。4、行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。 5、把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。参考资料来源：百度百科-行列式

两个矩阵相加后求行列式 以二阶矩阵为例写一写,每个步骤均可活用.供参考. 下面的数字形式表示下标. 方阵A=(a1,a2),为方便引用,这里a1,a2为列向量. a11,a12 a21,a22 方阵B=(b1,b2),为方便故引用,这里b1,b2为列向量. b11,b12, b21,b22 则|A+B|= | a11,a12+b12 a21,a22+b22 | + | b11,a12+b12 b21,a22+b22 | = | a11,a12 a21,a22 | + | a11,b12 a21,b22 | + | b11,a12 b21,a22 | | b11,b12 b21,b22 | 写成列形式是 = |a1,a2|+|a1,b2|+|b1,a2|+|b1,b2| 这里是二阶方阵.拆开后有四个项.以上是按列拆分,各个行列式分别是由 类推得知三阶行列式拆开后有8个项,写成列形式为. |a1,a2,a3|+|a1,a2,b3|+ |a1,b2,a3|+|a1,b2,b3|+ |b1,a2,a3|+|b1,a2,b3|+ |b1,b2,a3|+|b1,b2,b3| 高阶行列式可以类推.略. 多个二阶方阵,多个高阶矩阵相加,也可以类似推广.不过有无重要的应用价值和实用例子,还没有想到.

矩阵的行列式没有有加法；|E|+|A|不等于|E+A|。矩阵行列式是指矩阵的全部元素构成的行列式，设A=(aij)是数域P上的一个n阶矩阵，则所有A=(aij)中的元素组成的行列式称为矩阵A的行列式，记为|A|或det(A)。若A，B是数域P上的两个n阶矩阵，k是P中的任一个数，则|AB|=|A||B|，|kA|=kⁿ|A|，|A*|=|A|n-1，其中A*是A的伴随矩阵；若A是可逆矩阵，则|A-1|=|A|-1。若A有一行或一列包含的元素全为零，则det(A)=0；若A有两行或两列相等，则det(A)=0。扩展资料：行列式的性质：1、行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。2、行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。3、若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。4、行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。 5、把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。参考资料来源：百度百科-行列式

矩阵的行列式没有有加法；|E|+|A|不等于|E+A|。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。扩展资料行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。性质①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,?,bn；另一个是с1，с2,?,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

两个行列式相乘方法如下：两个行列式相乘，先将前面矩阵的每一行分别与后面矩阵的列相乘作为结果矩阵的行列。 当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，A与B可以相乘。 矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于B的列数。乘法结合律： (AB)C=A(BC)；乘法左分配律：(A+B)C=AC+BC；乘法右分配律：C(A+B)=CA+CB；对数乘的结合性k(AB）=(kA)B=A(kB）；转置 (AB)T=BTAT矩阵乘法在以下两种情况下满足交换律；AA*=A*A，A和伴随矩阵相乘满足交换律；AE=EA，A和单位矩阵或数量矩阵满足交换律。行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

行列式相乘计算有两种方法，一是将两个矩阵相乘，得到一个新矩阵，求其行列式，即可。另一种方法是，将各个行列式分别求出结果，然后两数相乘，即可。

a的转置乘以a等于a行列式的平方。设A为m×n阶矩阵（即m行n列），第i行j列的元素是aij，即A=(aij)m×n定义A的转置为这样一个n×m阶矩阵B，满足B=(aji)，即bij=aji（B的第i行第j列元素是A的第j行第i列元素）。记AT=B，直观来看将A的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转，即得到A的转置。一个矩阵M,把它的第一行变成第一列，第二行变成第二列，最末一行变为最末一列，从而得到一个新的矩阵N，这一过程称为矩阵的转置。历史：矩阵的研究历史悠久，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究，阿瑟·凯利，矩阵论奠基人在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出，作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。成书最迟在东汉前期的《九章算术》中，用分离系数法表示线性方程组，得到了其增广矩阵。在消元过程中，使用的把某行乘以某一非零实数、从某行中减去另一行等运算技巧，相当于矩阵的初等变数，但那时并没有现今理解的矩阵概念，虽然它与现有的矩阵形式上相同，但在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式。

行列式和它的转置相等，行列式的行列对称了，行的性质对列也成立。 你自己先写个行列式，然后转置一下;再写出和它的转置相等的行列式; 马上就清楚了。 告诉你思路自己练习，比直接告诉你结果好一些。

|a^t|=|a|这是行列式的性质|ab|=|a||b|这是个方阵行列式的性质,称为行列式乘法公式

矩阵的行列式和其转置矩阵的行列式一定相等。证明要用到：1、交换排列中两个元素的位置，改变排列的奇偶性；2、行列式的定义可改为按列标的自然序，正负号由行标排列的奇偶性决定。扩展资料初等行变换1、以P中一个非零的数乘矩阵的某一行。2、把矩阵的某一行的c倍加到另一行，这里c是P中的任意一个数。3、互换矩阵中两行的位置。一般来说，一个矩阵经过初等行变换后就变成了另一个矩阵，当矩阵A经过初等行变换变成矩阵B时，一般写作A-B。可以证明：任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯型矩阵。初等列变换同样地，定义初等列变换，即：1、以P中一个非零的数乘矩阵的某一列。2、把矩阵的某一列的c倍加到另一列，这里c是P中的任意一个数。3、互换矩阵中两列的位置。

转置矩阵就是把原矩阵第m行n列位置的数换到第n行m列。比如1 2 3 4 56 7 8 9 0的转置矩阵就是1 62 73 84 95 0就是这样的求行列式的值 行列式的计算一 化成三角形行列式法 先把行列式的某一行（列）全部化为 1 ，再利用该行（列）把行列式化为三角形行列式，从而求出它的值，这是因为所求行列式有如下特点： 1 各行元素之和相等； 2 各列元素除一个以外也相等。 充分利用行列式的特点化简行列式是很重要的。 二 降阶法 根据行列式的特点，利用行列式性质把某行（列）化成只含一个非零元素，然后按该行（列）展开。展开一次，行列式降低一阶，对于阶数不高的数字行列式本法有效。 三 拆成行列式之和（积） 把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的。 四 利用范德蒙行列式 根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质——如：提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去； ...) 把所求行列式化成已知的或简单的形式。其中范德蒙行列式就是一种。这种变形法是计算行列式最常用的方法。 五 加边法 要求：1 保持原行列式的值不变； 2 新行列式的值容易计算。根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其第 列（行）的元素分别为 n-1 个元素的倍数的情况。 六 综合法 计算行列式的方法很多，也比较灵活，总的原则是：充分利用所求行列式的特点，运用行列式性质及上述常用的方法，有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值；有时也可用多种方法求出行列式的值。 七 行列式的定义 一般情况下不用。

1.迹(trace) 矩阵的迹(trace)表示矩阵 A AA 主对角线所有元素的和 迹的来源 最根本的应该就是迹和特征值的和相等。因为特征值如此重要,所以才定义了...2.行列式(determinant) 矩阵A AA 的行列式值记为d e t ( A ) ...3.迹与行列式的关系 迹可以理解为行列式的导数,所以也就表示了在每个边沿自己的方向变化时,...4.如何理解矩阵的迹 确实,“迹”就是线性变换藏在矩阵中痕迹。

没有这样的结论,当然也就没法证明.这个结论是不对的.举例如A=（1,0；0,-1）,迹=1+(-1)=0,但|A|=-1.（注：矩阵的迹是主对角线元素之和,没有迹的和这一说）

矩阵A是方阵时，A可取行列式 |A|A为n阶居中，α为n维非零列向量，满足Aα = λα，则称λ为A的特征值，α为对应于λ的特征向量。Aα = λα   等价于  (λE - A)α = 01、矩阵A的特征值之和等于向量A主对角线元素之和。2、矩阵A的特征值之积等价于向量A取行列式的值。3、一般情况下矩阵阶数等于特征值个数

对称的行列式 必能对角化

行列式（determinant）在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 |A|。数学定义阶行列式，设是由排成阶方阵形式的个数确定的一个数，其值为项之和式中是将序列的元素次序交换次所得到的一个序列，号表示对取遍的一切排列求和，那末数称为阶方阵相应的行列式。例如，四阶行列式是个形为的项的和，而其中相应于，即该项前端的符号应为。若阶方阵，则相应的行列式记作若矩阵相应的行列式，称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵.标号集：序列中任取个元素满足构成的一个具有个元素的子列，的具有个元素的满足上述子列的全体，记作，显然共有个子列.因此是一个具有个元素的标号集。的元素记作表示是的满足上述的一个子列。若则表示。性质① 行列式中某行(或列)用同一数乘,其结果等于。② 行列式等于其转置行列式(的第行为的第列)。③ 若阶行列式中某行(或列);行列式则是两个行列式的和，这两个行列式的第行(或列),一个是；另一个是；其余各行（或列）上的元与的完全一样。④ 行列式中两行（或列）互换,其结果等于。⑤ 把行列式的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是。

这个性质的证明依赖于另一个分拆性质.不妨设把j行的k倍加到第i行. 记此行列式为D1由行列式的性质, 把行列式D1以第i行分拆为两个行列式之和: 其中一个就是原行列式, 而另一个行列式的第i行的元素是第j行元素的k倍, 即两行成比例, 故为0.所以D1 = D, 即行列式的值不变.

1、主子式：（1）n 阶行列式的 i 阶主子式为：（2）在n 阶行列式中，选取行号（如 1、3、7行），再选取相同行号的列号（1、3、7 列），则有行和列都为i个的行列式即为n阶行列式的i阶主子式，也可以说由上述选取的行列交汇处的元素所组成的新的行列式 就称为“n 阶行列式的一个 i 阶主子式”。（3）特殊的：n 阶行列式的 i 阶顺序主子式上述 i 阶主子式中定义中，由1—i 行和1—i 列所确定的子式即为“n 阶行列式的i 阶顺序主子式”。2、顺序主子式（1）n 阶行列式的i 阶顺序主子式是i 阶主子式的特殊情况。（2）n 阶行列式的i 阶顺序主子式是在i 阶主子式的定义中，由1—i 行和1—i 列所确定的子式。（3）顺序主子式一般形式值得注意的是，根据定义，i 阶主子式是不唯一的，而i 阶顺序主子式是唯一的。拓展资料：按照一定的规则，由排成正方形的一组(n个)数(称为元素)之乘积形成的代数和，称为n阶行列式。例如，四个数a、b、c、d所排成二阶行式记为  ，它的展开式为ad-bc。九个数a1，a2，a3;b1，b2，b3;c1，c2，c3排成的三阶行列式记为  ，它的展开式为a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-a3b2c1. 行列式起源于线性方程组的求解，在数学各分支有广泛的应用。在代数上，行列式可用来简化某些表达式，例如表示含较少未知数的线性方程组的解等。在1683年，日本的关孝和最早提出了行列式的概念及它的展开法。莱布尼兹在1693年(生前未发表)的一封信中，也宣布了他关于行列式的发现。n阶行列式的性质性质1 行列互换，行列式不变。性质2 把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一个数K，等于用数K乘以行列式。性质3 如果行列式的某行(列）的各元素是两个元素之和，那么这个行列式等于两个行列式的和。性质4 如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零。（所谓两行（列）相同就是说两行（列）的对应元素都相等）性质5 如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零。性质6 把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。性质7 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。参考资料：主子式—百度百科   顺序主子式—百度百科

这是方阵行列式的基本性质kA是A中所有元素都乘以k取行列式|kA|:每一行都有一个k公因子,根据行列式的性质,每行提出一个k所以：|kA|=k^n|A|

有7个性质1．行列式和它的转置行列式相等． A B A CDET｛C D｝ ＝DET｛B D｝＝AD－BC

1、行列互换，行列式不变。 2、把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一个数K，等于用数K乘以行列式。 3、如果行列式的某行(列）的各元素是两个元素之和，那么这个行列式等于两个行列式的和。 4、如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零。（所谓两行（列）相同就是说两行（列）的对应元素都相等） 5、如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零。 6、把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。 7、对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。

则转置行列式为证明：转置行列式是第一行变第一列，第二行变第二列，前者按行展开，后者按列展开，两者自然相等。 推论：在行列式中，行和列的位置是对称的，对行成立的性质，对列也成立。证明：对角线展开，由于交换律存在，即可证明两者相差一个负号。 推论1：若行列式中有两行元素完全相同，则行列式为零。 复习一下：为去掉第i行，第j列的代数式。 推论2：非常常用的两个公式：证明：以带K的那一行展开，每一项都带K，再提出来即可。 推论：某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。证明：乘K的那行展开：零的这部分其实也是一个行列式。 证明：见性质四 推论：若行列式某一行的元素都是m个元素的和，则行列式可以写成m个行列式的和。

3 1 -1 2 -5 1 3 -4 2 0 1 -1 1 -5 3 -3第2列的1倍加到第3列 3 1 0 2 -5 1 4 -4 2 0 1 -1 1 -5 -2 -3第3列的1倍加到第4列 3 1 0 2 -5 1 4 0 2 0 1 0 1 -5 -2 -5第3行的-4倍加到第2行 3 1 0 2 -13 1 0 0 2 0 1 0 1 -5 -2 -5第2行的-1倍加到第1行 16 0 0 2 -13 1 0 0 2 0 1 0 1 -5 -2 -5第2行的5倍、第3行的2倍加到第4行 16 0 0 2 -13 1 0 0 2 0 1 0 -60 0 0 -5第4行的2/5倍加到第1行 -8 0 0 0 -13 1 0 0 2 0 1 0 -60 0 0 -5对角线相乘得结果40

行列式相似性质: 1、两者的秩相等。 2、两者的行列式值相等。 3、两者的迹数相等。 4、两者拥有同样的特征值,尽管相应的特征向量一般不同。 5、两者拥有同样的特征多项式。 6、两者拥有同样的初等因子。 以上信息来自网络查询 ，仅供提问者参考，请自行判断是否准确有用。

太简单了解：如果第m行(列)为{am1,am2,...,amn}第n行(列)为{kam1,kam2,...,kamn}那么根据行列式的性质，第m行(列)乘以k再乘以-1加到第n行(列),则第n行就变为{0,0,...,0},原行列式的值不变。这样原行列式就显然是0了。这就得到了|A|=0的必要条件

行列式的性质有以下你写的这个是性质2.性质1　　行列式与它的转置行列式相等。性质2　　对换行列式的两行（列），行列式变号性质3　　如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零性质4　　行列式的某一行（列）中所有的元素都相乘同一数k，等于用数k乘此行列式性质5　　行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提取到行列式记号的外面性质6　　行列式中如果有两行（列）的元素成比例，则此行列式等于零性质7　　若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之和：则D等于下列两个行列式之和：性质8　　把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。　　　　例如：以数k乘第i行加到第j行上（记作rj+kri）有性质7表明：当某一行（或列）的元素为两数之和时，行列式关于该行（或列）可分解为两个行列式。若n阶行列式每个元素都表示成两数之和，则它可分解成2n个行列式。例如二阶行列式

证明太多了,不大可能.给你纠正一下吧,你只有一个叙述完整. 交换行列式两行,行列式仅改变符号,应改为：交换行列式的两行或两列,行列式的值仅改变符号； 行列式某行加无穷多个其它的某行,行列式不变应改为：行列式某行加若干个其它的某行,行列式的值不变； 若行列式中有两行完全相同,则这个行列式的值为零,应该为：若行列式中有两行完全相同,则这个行列式的值为零； 若行列式有两行的对应元素成比例,则这个行列式等于零,应该为：若行列式有两行的对应元素成比例,则这个行列式等于零； 6.若A可逆,行列式为0,应改为：6.若A可逆,则A的行列式的值不为0； 7.若行列式为0,A不可逆,应改为：7.若行列式Ad的值为0,则A不可逆.

要看A是几阶的，那么2提出来就要变成2的几次方也就是二楼 X_Q_T 所说的~~

                                   用性质计算行列式,就是把行列式化成上(下)三角形式上(下)三角行列式就等于主对角线上的数的乘积.用性质计算行列式,一般是从左到右 一列一列处理先把一个比较简单(或小)的非零数交换到左上角(其实到最后换也行),用这个数把第1列其余的数消成零.处理完第一列后,第一行与第一列就不要管它了,再用同样方法处理第二列(不含第一行的数)                                    给你个例子看看哈2 -5 3 11 3 -1 30 1 1 -5-1 -4 2 -3r1 + 2r4,r2 + r4 (用第4行的 a41=-1,把第1列其余数消成0.此处也可选a21)0 -13 7 -50 -1 1 00 1 1 -5-1 -4 2 -3 (完成后,a41=-1 所在的行和列基本不动)r1 + 13r3,r2 + r3 (处理第2列,用 a32=1 消 a12,a22,不用管a42.此处也可选a22)0 0 20 -700 0 2 -50 1 1 -5 ( 完成.a32=1所在的第3行第4列 基本不动)-1 -4 2 -3r1 - 10r2 (处理第3列,用 a23=1 消 a13,不用管a33,a43)0 0 0 -200 0 2 -50 1 1 -5-1 -4 2 -3 (完成,此时是个类似三角形 ^-^ )r1r4,r2r3 (交换一下行就完成了,注意交换的次数会影响正负)-1 -4 2 -30 1 1 -50 0 2 -50 0 0 -20 (OK!)行列式 = 40唯一性 若数列 收敛，则它只有一个极限。有界性 若数列 收敛，则 为有界数列，即存在正数 ，使得对一切正整数n有保号性 若 (或 )，则对 (或 ),存在正数N，使得当 时，有 (或 )。保不等式性 设 与 均为收敛数列。若存在正数 ，使得当 时有 ，则迫敛性 设收敛数列 ， 都以a为极限，数列 满足：存在正数 ，当 时有 则数列 收敛，且

行列式的几个基本性质就是|A|某行(或列)用同一数k乘，其结果等于k|A|而两行（或列）互换，其结果等于-A转置行列式的值不变把某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）上结果仍然是A

用性质计算行列式,就是把行列式化成上(下)三角形式 上(下)三角行列式就等于主对角线上的数的乘积. 用性质计算行列式,一般是从左到右 一列一列处理 先把一个比较简单(或小)的非零数交换到左上角(其实到最后换也行), 用这个数把第1列其余的数消成零. 处理完第一列后,第一行与第一列就不要管它了,再用同样方法处理第二列(不含第一行的数) 给你个例子看看哈 2 -5 3 1 1 3 -1 3 0 1 1 -5 -1 -4 2 -3 r1 + 2r4,r2 + r4 (用第4行的 a41=-1,把第1列其余数消成0.此处也可选a21) 0 -13 7 -5 0 -1 1 0 0 1 1 -5 -1 -4 2 -3 (完成后,a41=-1 所在的行和列基本不动) r1 + 13r3,r2 + r3 (处理第2列,用 a32=1 消 a12,a22,不用管a42.此处也可选a22) 0 0 20 -70 0 0 2 -5 0 1 1 -5 ( 完成.a32=1所在的第3行第4列 基本不动) -1 -4 2 -3 r1 - 10r2 (处理第3列,用 a23=1 消 a13,不用管a33,a43) 0 0 0 -20 0 0 2 -5 0 1 1 -5 -1 -4 2 -3 (完成,此时是个类似三角形 ^-^ ) r1r4,r2r3 (交换一下行就完成了,注意交换的次数会影响正负) -1 -4 2 -3 0 1 1 -5 0 0 2 -5 0 0 0 -20 (OK!) 行列式 = 40

凑上或下三角形是一种，把一行或一列化为只剩一个非零数，再展开为三阶也行。下面说前者高斯消元法解线性方程组学了吗？和那差不多，但不完全一样{第二行减两倍第一行第三行减四倍第一行第四行加三倍第一行}这样第一列成型然后第一行不动，分别用三、四行减若干倍第二行然后第二行不动，用四行减若干倍第三行over

性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。性质2：交换一个行列式的两行（或两列）行列式值改变符号；性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k乘这个行列式。推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行列式值等于零。推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列式值等于零。性质5：如果行列式D的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么行列式D等于两个行列式D1和D2的和。 性质6：把行列式的某一行（或某一列）的元素乘同一个数后，加到另一行（或另一列）的对应元素上，行列式值不变。

这个可由行列式的展开定理得到 对任一个 r+2 阶子式,按其第1行展开,行列式就等于r+2个 r+1阶行列式(即r+1阶子式) 的代数和 因为A的所有r+1阶子式都等于0,所以,这个r+2阶子式也等于0 所以,A的所有r+2阶子式都等于0 依此类推,A的所有高于r+1阶子式全都等于0

据行列式的性质..，很容易成上三角形式的值为1*（-1）（-1）*1*=定义=σ（-1）^α（j1j2....jn）*a1j1*a2j2*..anjn所以原来的公式=（-1）^α（2143）1*1*1=1[2143，21....

性质是如果某行两个数相同，则行列式为0。

A. |A|=0或|B|=0正确. AB=0 两边取行列式得 |A||B|=0,故有结论B. 若A≠0则B=0错误. 两个非零矩阵之积可能等于0C. A=0或B=0错误. 同上D. (AB)^2=0正确. 显然E. 若A可逆则B=0正确. 等式AB=0两边左乘A^-1即得 B=0F. 若|A|≠0则(AB)^2=0正确.没有|A|≠0的条件也正确G. 若A≠0则AB=BA错误.A=0时A,B反而可交换H. (A+B)^2=A^2+B^2错误. (A+B)^2=A^2+B^2+AB+BA=A^2+B^2+BA.

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量。 行列式：行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。 行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。 若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。 ⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。

　　行列式　　行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述"体积"的函数。　　其定义域为nxn的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对"体积"所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中(比如说换元积分法中)，行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。　　特性　　若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是， 矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。行列式的值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，即是一个实数:求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负决定于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是奇数。也可以这样解释:行列式是矩阵的所有不同行且不同列的元素之积的代数和，和式中每一项的符号由积的各元素的行指标与列指标的逆序数之和决定:若逆序数之和为偶数，则该项为正;若逆序数之和为奇数，则该项为负。　　性质　　逆序数　　在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。逆序数为偶数的排列称为偶排列;逆序数为奇数的排列称为奇排列。如2431中，21，43，41，31是逆序，逆序数是4，为偶排列。　　基本性质　　n阶行列式的性质:　　性质1:行列式与他的转置行列式相等。　　性质2:互换行列式的两行(列)，行列式变号。　　推论:若一个行列式中有两行的对应元素(指列标相同的元素)相同，则这个行列式为零。　　性质3:行列式中某行的公共因子k,可以将k提到行列式外面来。　　推论:行列式中有两行(列)元素对应成比例时，该行列式等于零。　　性质4:行列式具有分行(列)相加性。　　推论:如果将行列式某一行(列)的每个元素都写成m个数(m为大于2的整数)的和，则此行列式可以写成m个行列式的和。　　性质5:行列式某一行(列)各元素乘以同一个数加到另一行(列)对应元素上，行列式不变。　　二维向量组　　行列式是向量形成的平行四边形的面积　　设P是一个二维的有向欧几里得空间，即一个所谓的欧几里得平面。两个向量X和X"的行列式是:　　经计算可知，行列式表示的是向量X和X "形成的平行四边形的有向面积。并有如下性质:　　行列式为零当且仅当两个向量共线(线性相关)，这时平行四边形退化成一条直线。 如果以逆时针方向为正向的话，有向面积的意义是:平行四边形面积为正当且仅当向量X和X"逆时针排列。 行列式是一个双线性映射。　　三维向量组　　设E是一个三维的有向欧几里得空间。三个三维向量的行列式是:　　这时的行列式表示X、X"和X""三个向量形成的平行六面体的有向体积，也叫做这三个向量的混合积。同样的，可以观察到如下性质:　　行列式为零当且仅当三个向量共线或者共面(三者线性相关)，这时平行六面体退化为平面图形，体积为零。 这时行列式是一个"三线性映射"，也就是说，对第一个向量有 ，对第二、第三个向量也是如此。

先拿第2，3，4列分别减去第一列，消去a^2~d^2然后第3列减去第二列×2消去a~d，得第二列每行均为2第4列减去第二列×3消去a~d，得第三列每行均为6最后第4列减去第三列×3，得第四列全部为0，因此行列式的值为0.

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。性质：1、行列式转置后值不变。2、行列式，某两行（列）交换，符号改变。3、行列式，某一行（列）加上其他一行（列）的倍数，值不变。4、行列式，某一行（列）倍乘k，行列式变成原来的k倍。5、行列式，某两行（列）成比例或相等，行列式为0。6、行列式，某一行（列）为0，行列式为0。7、对角阵行列式，值等于主对角线元素相乘的乘积。注意。①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

性质 1：单位矩阵的行列式为 1 ，与之对应的是单位立方体的体积是 1 性质 2：当两行进行交换的时候行列式改变符号。 性质 3：行列式是单独每一行的线性函数（其它行不变）。在线性代数，行列式是一个函数，其定义域为的矩阵a，值域为一个标量，写作det(a)。在本质上，行列式描述的是在n维空间中，一个线性变换所形成的“平行多面体”的“体积”。行列式无论是在微积分学中（比如说换元积分法中），还是在线性代数中都有重要应用。 行列式概念的最初引进是在解线性方程组的过程中。行列式被用来确定线性方程组解的个数，以及形式。随后，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用。于是有了线性自同态和向量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个n次交替线性形式，这反映了行列式作为一个描述“体积”的函数的本质。 若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。

方阵的行列式是一个数字，这个数字包含了矩阵的大量信息。首先，它立即告诉了我们这个矩阵是否可逆。矩阵的行列式为零的话，矩阵就没有逆矩阵。当 可逆的时候，其逆矩阵 的行列式为 。 行列式可以用来求逆矩阵、计算主元和求解方程组，但是我们很少这样做，因为消元会更快。 对于上述矩阵，如果行列式 为零的话，我们不能除以零，也就是没有逆矩阵。其主元为 和 ， 主元的乘积就是行列式的值 。 行列式有三个基本的性质，由这三个性质我们可以计算任意方阵的行列式， 的行列式记作 或者 。 由这个性质，我们可以很容易得到所有置换矩阵的行列式，置换矩阵都是由单位矩阵演化而来，当有奇数次行交换时， ；当有偶数次行交换时， 。 若某一行乘以 ，行列式就也乘以 。如果某一行加上另一行，行列式就也相加。 这不意味着 ， 是对其中的每一行都乘以 2，因此要乘以 。 这就像面积或者体积一样，长方形的长和宽都变为原来的 2 倍的话，面积就会变为 4 倍。 利用性质 2，我们对这两行进行行交换，矩阵仍然保持不变，但其行列式需要变号，那么行列式只能为零。 在消元的过程中，行列式不会改变，如果有行交换的话，符号不同，因此有 。 利用性质 5，将全零行加上另外一行。 利用性质 5，我们可以将对角线上面或者下面的元素通过消元法全部变成 0，这不会改变行列式的值。然后，矩阵就只有对角线上有非零值，我们再利用性质 3 将每行的系数提取出来，矩阵就变成了单位矩阵。 消元过程会让 变为 ，如果 是不可逆的，那么 中一定有全零行，其行列式为零。如果 是可逆的，那么 中的对角线为主元，其行列式为对角线的乘积，也即主元的乘积。 如果 ，那么有 ， 为对角线上为 1 的下三角矩阵，因此有 ，而 ，所以 。 一个简单的证明过程如下所示： 对比以上两项，置换矩阵的逆等于转置，所以有 ，因此它们同时为 1 或者 -1。对三角矩阵的转置不影响其对角线元素，因此行列式不变，所以有 ，所以有 。 因此， 任意应用于矩阵的行的性质都可以同时应用到矩阵的列上去 。比如，两列交换会改变行列式的符号；两列相同则行列式为零。 获取更多精彩，请关注「seniusen」!

这个题目是这样的 将最后一行按行展开得到两个n-1阶的行列式 如下 (-1)^(n+1)*y--------第一项系数y在n行1列,所以为n+1 y,0,0...0 x,y,0...0 0,x,y...0 . .x,y ----------第一项下三角行列式,结果y^(n-1) ---------------------------------------------------------------------------------------------------- (-1)^(n+n)x--------第二项系数y在n行n列,所以为n+n x,y.0 0,x,y.0 . .x----------第二项上三角行列式,结果x^(n-1) 所以,最终结果为 (-1)^(n+1)*y*y^(n-1)+(-1)^(n+n)x*x^(n-1) =[(-1)^(n+1)]y^n+x^n 可能写的不太好,不清楚再问我好了

(A*)A=|A|E同取行列式|(A*)A|=||A|E||(A*)|*|A|=||A|E|=|A|^3|A*|=|A|^2=（-1*1*2）^2=4|A^2-2A+E|=|(A-E)^2|=|A-E|^2A-E的特征值是：-2,0,1所以|A-E|=0|A^2-2A+E|=0

性质 1：单位矩阵的行列式为 1 ，与之对应的是单位立方体的体积是 1 性质 2：当两行进行交换的时候行列式改变符号。 性质 3：行列式是单独每一行的线性函数（其它行不变）。 扩展资料 　　在线性代数，行列式是一个函数，其定义域为的矩阵a，值域为一个标量，写作det(a)。在本质上，行列式描述的是在n维空间中，一个线性变换所形成的“平行多面体”的“体积”。行列式无论是在微积分学中（比如说换元积分法中），还是在线性代数中都有重要应用。 　　行列式概念的最初引进是在解线性方程组的过程中。行列式被用来确定线性方程组解的个数，以及形式。随后，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用。于是有了线性自同态和向量组的行列式的定义。 　　行列式的特性可以被概括为一个n次交替线性形式，这反映了行列式作为一个描述“体积”的函数的本质。 　　若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。行列式的值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，既是一个实数：求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的"列，作为乘数，积的符号是正是负决定于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是奇数。也可以这样解释：行列式是矩阵的所有不同行且不同列的元素之积的代数和，和式中每一项的符号由积的各元素的行指标与列指标的逆序数之和决定：若逆序数之和为偶数，则该项为正；若逆序数之和为奇数，则该项为负。

　　行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。行列式的定义是什么?以下是我为大家整理的关于行列式的定义，欢迎大家前来阅读! 　　行列式的定义 　　一个矩阵A的行列式有一个乍看之下很奇怪的定义： 　　其中 s g n(σ)是排列σ的符号差。 　　对于比较小的矩阵，比如说二阶和三阶的矩阵，行列式表达如下，有些像是主对角线(左上至右下)元素的乘积减去副对角线(右上至左下)元素的乘积(见图中红线和蓝线)。 　　2阶： 3阶：。 但对于阶数较大的矩阵，行列式有 n!项，并不是这样的形式。 　　二维向量组的行列式 　　行列式是向量形成的平行四边形的面积 　　设 P是一个二维的有向欧几里得空间，即一个所谓的欧几里得平面。两个向量 X和 X"的行列式是： 　　经计算可知，行列式表示的是向量 X和 X "形成的平行四边形的 有向面积。并有如下性质： 　　行列式为零当且仅当两个向量共线(线性相关)，这时平行四边形退化成一条直线。 如果以逆时针方向为正向的话，有向面积的意义是：平行四边形面积为正当且仅当向量 X和 X"逆时针排列(如图)。 行列式是一个双线性映射。 　　三维向量组的行列式 　　设 E是一个三维的有向欧几里得空间。三个三维向量的行列式是： 　　这时的行列式表示 X、 X"和 X""三个向量形成的平行六面体的 有向体积，也叫做这三个向量的混合积。同样的，可以观察到如下性质： 　　行列式为零当且仅当三个向量共线或者共面(三者线性相关)，这时平行六面体退化为平面图形，体积为零。 这时行列式是一个 “三线性映射”，也就是说，对第一个向量有 ，对第二、第三个向量也是如此。 　　基底选择 　　在以上的行列式中，我们不加选择地将向量在所谓的正交基下分解，实际上在不同的基底之下，行列式的值并不相同。这并不是说平行六面体的体积不唯一。恰恰相反，基底变换可以看作线性映射对基的作用，而不同基底下的行列式代表了基底变换对“体积”的影响。可以证明，对于所有同定向的标准正交基底，向量组的行列式的值是一样的。也就是说，如果我们选择的基底都是“单位长度”，并且两两正交，那么在这样的基底之下，平行六面体的体积是唯一的。 　　线性变换 　　经线性映射后的正方体 　　设 E是一个一般的 n维的有向欧几里得空间。一个线性变换把一个向量线性地变为另一个向量。比如说，在三维空间中，向量 (x,y,z)被射到向量 (x",y",z")： 　　其中 a、 b、 c等是系数。如右图，正方体(可以看作原来的一组基形成的)经线性变换后可以变成一个普通的平行六面体，或变成一个平行四边形(没有体积)。这两种情况表示了两种不同的线性变换，行列式可以将其很好地分辨出来(为零或不为零)。 　　更详细地说，行列式表示的是线性变换前后平行六面体的体积的变化系数。如果设左边的正方体体积是一，那么中间的平行六面体的(有向)体积就是线性变换的行列式的值，右边的平行四边形体积为零，因为线性变换的行列式为零。这里我们混淆了线性变换的行列式和向量组的行列式，但两者是一样的，因为我们在对一组基作变换。 　　严格的定义 　　由二维及三维的例子，我们可以看到一般的行列式应该具有怎样的性质。为了描述一个 n 维空间中的“平行多面体”的“体积”，行列式首先需要是 线性的，这可以由面积的性质得到。这里的线性是对于每一个向量来说的，因为当一个向量变为原来的 a倍时，“平行多面体”的“体积”也变为原来的 a倍。其次，当一个向量在 其它 向量组成的“超平面”上时，“平行多面体”的“体积”是零(可以想象三维空间的例子)。也就是说，当向量 线性相关时，行列式为零。于是可以得出行列式的定义： 　　向量组的行列式 　　行列式是 E到 K上的交替多线性形式。 　　具体来说，设 E是一个内积空间，一个从 E到 K上的交替多线性形式是指函数： 　　(多线性) 或者说，当 a i= a j的时候 (交替性) 所有 E到 K上的交替多线性形式的集合记作 An(E)。 　　定理： An(E)的维度是1，也就是说，设是 E的一组基，那么，所有的交替多线性形式都可以写成 　　其中是在基 B下的展开。 定理的证明是对任一个多线性形式，考虑将 D依照多线性性质展开， 　　这时，由交替性，当且仅当 是的一个排列，所以有 　　这里， 。 　　向量组的行列式设是 E的一组基， 基B的行列式就是唯一的(由定理可知)交替多线性形式使得： 　　det B( e1,..., e n) = 1 于是向量组 的行列式就是 　　其中是在基 B下的展开。 这个公式有时被称作莱布尼兹公式。 　　基变更公式设 B与 B"是向量空间中的两组基，则将上式中的 detB改为 detB"就得到向量组在两组基下的行列式之间的关系： 　　矩阵的行列式 　　设 M n( K)为所有定义在 K上的矩阵的集合。将矩阵 A的元素为 A=(aij)。将矩阵 M的 n 行写成， aj可以看作是上的向量。于是可以定义 矩阵A的行列式为向量组的行列式，这里的向量都在的正交基上展开，因此矩阵的行列式不依赖于基的选择。 　　这样定义的矩阵 A的行列式与向量组的行列式有同样的性质。单位矩阵的行列式为1，若矩阵的两行线性相关，则行列式为零。 　　由莱布尼兹公式，可以证明矩阵行列式的一个重要性质：一个矩阵的行列式等于它的转置矩阵的行列式。 　　也就是说矩阵的行列式既可以看作 n 个行向量的行列式，也可以看作 n 个列向量的行列式。 　　证明：矩阵 A的转置矩阵的行列式是： 　　令 j= σ( i)，由于每个排列都是双射，所以上式变成： 　　令τ = σ ，当 σ 取遍所有排列时，τ 也取遍所有排列，而且 σ 的符号差等于 τ 的符号差。所以 　　线性映射的行列式设 f是 n维线性空间 E到自身的线性变换(线性自同态)， f在 E的任意一组基下的变换矩阵的行列式都是相等的。设 B是 E的一组基。那么 f的行列式就是 f在 B下的变换矩阵的行列式： 　　之前对正方体做变换时， x1, ..., xn是原来的基，，因此可以混淆向量组的行列式和线性变换的行列式。 　　考虑映射 d f, B使得 x1, ..., xn被映射到 　　d f, B是一个交替n线性形式，因此由前面证的定理， d f, B和 d e t B只相差一个系数。 　　令 x1, ..., xn等于 B，则得到 　　λ = d f, B( B) 所以有 　　也就是说 　　对于另外一组基 B"，运用基变更公式，可以得到 du, B(B)等于 du, B " (B " )。于是 d f, B( B) 是一个不依赖于基，只依赖于 f的数。这正是 det f的定义。 　　特别地，行列式为 1 的线性变换保持向量组的行列式，它们构成一般线性群 GL(E)的一个子群 SL(E)，称作特殊线性群。可以证明， SL(E)是由所有的错切生成的，即所有具有如下形式的矩阵代表的线性变换： 　　也就是说，错切变换保持向量组形成的“平行多面体”的体积。同样，可以证明两个相似矩阵有相等的行列式。 　　行列式基本介绍 　　行列式简介 　　行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。 [1]其定义域为nxn的矩阵 A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中(比如说换元积分法中)，行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。 　　特性 　　行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。 　　若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。行列式的值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，既是一个实数：求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负决定于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是奇数。也可以这样解释：行列式是矩阵的所有不同行且不同列的元素之积的代数和，和式中每一项的符号由积的各元素的行指标与列指标的逆序数之和决定：若逆序数之和为偶数，则该项为正;若逆序数之和为奇数，则该项为负。 　　逆序数 　　在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。逆序数为偶数的排列称为偶排列;逆序数为奇数的排列称为奇排列。如2431中，21，43，41，31是逆序，逆序数是4，为偶排列。 下一页更多相关精彩内容！

字面意思理解即可(1) 行列式行列互换,其值不变;(2) 互换两行(列),行列式的值变号;(3) 某行(列)有公因子,可将公因子提出;(4) 某行(列)的每个元素为两数之和,可以将行列式拆为两个行列式之和;(5) 某行(列)的k倍加另一行(列),其值不变.(6) 两行(列)成比例,其值为零;

行列式有哪些运算性质 (1) 行列式行列互换,其值不变; (2) 互换两行(列),行列式的值变号; (3) 某行(列)有公因子,可将公因子提出; (4) 某行(列)的每个元素为两数之和,可以将行列式拆为两个行列式之和; (5) 某行(列)的k倍加另一行(列),其值不变. (6) 两行(列)成比例,其值为零; 在性质(4)中要注意每次只能拆一行(列),同时拆两行(列)或以上一般是错误的.

四阶行列式变成两个行列式相加。展开如下：前者按照最后一行展开为行列式d(n-1)，后者先从最后一行提取公因子an，再把最后一行分别乘以－a1，－a2，－a3，……，－a(n-1)加到第一行，第二行，第三行，……，第n-1行，化成一个n阶下三角行列式，对角线元素是1，1，1，……，1，an，所以结果是an^2。所以，dn＝d(n-1)＋an^2，又d1＝a+a1^2，d2＝a＋a1^2＋a2^2，所以dn＝d(n-1)＋an^2＝d(n-1)＋a(n-1)^2＋an^2＝……＝d1＋a2^2＋a3^3＋……＋an^2＝1＋a1^2＋a2^2＋a3^3＋……＋an^2。n阶行列式的性质：性质1 行列互换，行列式不变。性质2 把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一个数K，等于用数K乘以行列式。性质3 如果行列式的某行(列）的各元素是两个元素之和，那么这个行列式等于两个行列式的和。性质4 如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零。性质5 如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零。性质6 把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。性质7 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。

好在我的编辑软件强大, 否则写这东东可麻烦了行列式 |A+B| =a11+b11 a12+b12a21+b21 a22+b22=a11 a12a21 a22+a11 b12a21 b22+b11 a12b21 a22+b11 b12b21 b22行列式 |A+B| =a11+b11 a12+b12 a13+b13a21+b21 a22+b22 a23+b23a31+b31 a32+b32 a33+b33=a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33+a11 a12 b13a21 a22 b23a31 a32 b33+a11 b12 a13a21 b22 a23a31 b32 a33+a11 b12 b13a21 b22 b23a31 b32 b33+b11 a12 a13b21 a22 a23b31 a32 a33+b11 a12 b13b21 a22 b23b31 a32 b33+b11 b12 a13b21 b22 a23b31 b32 a33+b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33

性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。 性质2：交换一个行列式的两行（或两列）行列式值改变符号； 性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。 性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k乘这个行列式。 推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。 推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行列式值等于零。 推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列式值等于零。 性质5：如果行列式D的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么行列式D等于两个行列式D1和D2的和。 性质6：把行列式的某一行（或某一列）的元素乘同一个数后，加到另一行（或另一列）的对应元素上，行列式值不变。