复数

1.D2.C

1.z所代表的向量与向量（0，-1）的数量积2.i^2=-1为虚数的定义式，无几何意义

http://www.rotorbrain.com/foote/interactive/hacks/ConformalMapping.html看看这个可能会有所帮助,复变函数的图像理论上是四维的,很难表示出来.这里给的是一个正方形在复函数的映射下的图像

加法模长的几何意义是：以z1,z2为邻边作平行四边形,其对角线的长度（含z1,z2公共点的那条） 减法模长的几何意义是：以z1,z2为邻边作三角形,其第三条边的长度

【 #高二# 导语】高二年级有两大特点：一、教学进度快。一年要完成二年的课程。二、高一的新鲜过了，距离高考尚远，最容易玩的疯、走的远的时候。导致：心理上的迷茫期，学业上进的缓慢期，自我约束的松散期，易误入歧路，大浪淘沙的筛选期。因此，直面高二的挑战，认清高二，认清高二的自己，认清高二的任务，显得意义十分重大而迫切。 无 高二频道为你整理了《高二数学复数知识点总结》，希望对你的学习有所帮助！ 　　【一】 　　复数的概念： 　　形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。 　　复数的表示： 　　复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。 　　复数的几何意义： 　　(1)复平面、实轴、虚轴： 　　点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 　　(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 　　这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。 　　这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。 　　复数的模： 　　复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|= 　　虚数单位i： 　　(1)它的平方等于-1，即i2=-1; 　　(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 　　(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。 　　(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。 　　复数模的性质： 　　复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 　　对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。 　　【二】 　　两个复数相等的定义： 　　如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di 　　a=c，b=d。特殊地，a，b∈R时，a+bi=0 　　a=0，b=0. 　　复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。 　　复数相等特别提醒： 　　一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小，也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。 　　解复数相等问题的方法步骤： 　　(1)把给的复数化成复数的标准形式; 　　(2)根据复数相等的充要条件解之。

　　数学课程中学习复数代数形式的四则运算时,重点理解四则运算法则、运算律以及复数加减法的几何意义。下面是我给大家带来的高一数学必修1复数的四则运算知识点讲解，希望对你有帮助。 　　高一数学复数的四则运算知识点(一) 　　复数的概念： 　　形如a+bi(a，bu2208R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。 　　复数的表示： 　　复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，bu2208R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。 　　复数的几何意义： 　　(1)复平面、实轴、虚轴： 　　点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、bu2208R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 　　(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 　　这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。 　　这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。 　　复数的模： 　　复数z=a+bi(a、bu2208R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|= 　　虚数单位i： 　　(1)它的平方等于-1，即i2=-1; 　　(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 　　(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。 　　(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。 　　复数模的性质： 　　复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 　　对于复数a+bi(a、bu2208R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、bu2208R)是实数a;当bu22600时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且bu22600时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。 　　复数集与其它数集之间的关系： 　　高一数学复数的四则运算知识点(二) 　　复数的运算： 　　1、复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; 　　2、复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; 　　3、复数的乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、du2208R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i，其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数。 　　4、复数的除法运算规则： 　　。 　　复数加法的几何意义： 　　设 　　为邻边画平行四边形 　　就是复数 　　对应的向量。 　　复数减法的几何意义： 　　复数减法是加法的逆运算，设 　　，则这两个复数的差 　　对应，这就是复数减法的几何意义。 　　共轭复数： 　　当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。 　　虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。 　　复数z=a+bi和 　　=a-bi(a、bu2208R)互为共轭复数。 　　复数的运算律： 　　1、复数的加法运算满足交换律：z1+z2=z2+z1; 　　结合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3); 　　2、减法同加法一样满足交换律、结合律。 　　3、乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3;(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3;(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 　　共轭复数的性质：

复数乘法与除法的几何意义： 设z1=r1(cosuf0711+i sinuf0711),z2=r2(cosuf0712+i sinuf0712),其中ri=|zi|,i=1,2 根据复数乘法的原则z1uf0d7z2= r1uf0d7 r2(cos(uf0711+uf0712)+i sin(uf0711+uf0712)) 我们令P(z1)、Q(z2)、R(z1z2) (a)旋转运动：当r2=1时 因为uf0beOR=| z1z2|=r1uf0d7r2=r1,且方向角为uf0711+uf0712,故R点是由P点绕原点O逆时针 旋转uf0712得到的. (b)伸缩运动：当uf0712=0时, uf0beOR=| z1z2|=r1uf0d7r2,且方向角为uf0711+uf0712=uf0711,因此R点是由P点以原点O为伸缩中 心,伸缩|z2|倍得到的点.

如图所示

　　高中关于复数的知识点就在下面，复数是高二数学课本中的重点内容，为了帮助大家学习，下面就是为大家整理的关于复数的知识点哦！ 　　关于复数的知识点总结 　　1、知识网络图 　　2、复数中的。难点 　　（1）复数的向量表示法的运算。对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的"运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难。对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明。 　　（2）复数三角形式的乘方和开方。有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练。 　　（3）复数的辐角主值的求法。 　　（4）利用复数的几何意义灵活地解决问题。复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会。 　　3、复数中的重点 　　（1）理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点。 　　（2）熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角。复数有代数，向量和三角三种表示法。特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容。 　　（3）复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质。复数的运算是复数中的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容。 　　（4）复数集中一元二次方程和二项方程的解法。 　　定义 　　数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围。形如z=a+bi的数称为复数（complex number），其中规定i为虚数单位，且i^2=i*i=—1（a，b是任意实数）我们将复数z=a+bi中的实数a称为复数z的实部（real part）记作Rez=a　实数b称为复数z的虚部（imaginary part）记作 Imz=b。　已知：当b=0时，z=a，这时复数成为实数 当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。 　　运算法则 　　加法法则 　　复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。 　　即 （a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i。 　　乘法法则 　　复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i^2 = ？1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。 　　即（a+bi）（c+di）=（ac－bd）+（bc+ad）i。 　　除法法则 　　复数除法定义：满足（c+di）（x+yi）=（a+bi）的复数x+yi（x，y∈R）叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算， 　　即 （a+bi）/（c+di） 　　=[（a+bi）（c—di）]/[（c+di）（c—di）] 　　=[（ac+bd）+（bc—ad）i]/（c^2+d^2）。 　　开方法则 　　若z^n=r（cosθ+isinθ），则 　　z=n√r[cos（2kπ+θ）/n+isin（2kπ+θ）/n]（k=0，1，2，3……n—1）

对复数加、减法几何意义的理解 (1)对于应用向量加法法则求复数的和，可以利用平行四边形法则，也可以利用三角形法则． (2)复数的减法法则用向量的减法法则来进行运算，应用向量来进行复数的减法，三角形法则显得更加(1)复数代数形式的加法运算法则是一种规定，以后就要按照规定进行运算．(2)复数的加法法则是在复数的代数形式下进行的．(3)复数的加法运算的结果仍然是复数．(4)实数的移项法则在复数中仍然成立．(5)复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形．对复数加、减法几何意义的理解(1)对于应用向量加法法则求复数的和，可以利用平行四边形法则，也可以利用三角形法则．(2)复数的减法法则用向量的减法法则来进行运算，应用向量来进行复数的减法，三角形法则显得更加方便．(3)复数的加减法运算可以通过向量的加减法运算进行；反之，向量的加减法运算也可以通过复数的加减法运算进行．(4)利用复数的加减法运算的几何意义可以直观地解决复数问题．方便．

　　高三数学复数知识点1 　　1.复数及其相关概念： 　　(1)虚数单位i，它的平方等于-1，即i2=-1。 　　(2)复数的代数形式：z=a+bi，(其中a，bR) 　　①实数当b=0时的复数a+bi，即a; 　　②虚数当b0时的复数a+ 　　③纯虚数当a=0且b0时的复数a+bi，即bi。 　　④复数a+bi的实部与虚部a叫做复数的实部，b叫做虚部(注意a，b都是实数) 　　⑤复数集C全体复数的集合，一般用字母C表示。 　　⑥特别注意：a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。 　　2.复数的四则运算 　　若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i， 　　(1)加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i; 　　(2)减法：z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i; 　　(3)乘法：z1z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2 　　(4)除法 　　(5)四则运算的交换率、结合率;分配率都适合于复数的情况。 　　注意：复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i2=-1结合到实际运算过程中去。 　　如(a+bi)(a-bi)=a2+b2 　　3.共轭复数：两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数 　　4.复数的模 　　根据两个复数相等的定义，设a，b，c，dR，两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+dia=c且b=d，特别地a+bi=0a=b=0。 　　两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。 　　高三数学复数知识点2 　　复数的概念： 　　形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。 　　复数的表示： 　　复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。 　　复数的几何意义： 　　(1)复平面、实轴、虚轴： 　　点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 　　(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 　　这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。 　　这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。 　　复数的模： 　　复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|= 　　虚数单位i： 　　(1)它的平方等于-1，即i2=-1; 　　(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 　　(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。 　　(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。 　　复数模的性质： 　　复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 　　对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。 　　两个复数相等的定义： 　　如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di 　　a=c，b=d。特殊地，a，b∈R时，a+bi=0 　　a=0，b=0。 　　复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。 　　复数相等特别提醒： 　　一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小，也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。 　　解复数相等问题的方法步骤： 　　(1)把给的复数化成复数的标准形式; 　　(2)根据复数相等的充要条件解之。 　　学好初中数学的方法 　　1、重视课本的内容 　　书本知识是初中生学习数学最根本的一部分了，初中生一定要重视书本上的知识点，不管是概念还是公式以及书本上的练习题，初中生一定要熟练掌握。初中生要想更熟练的掌握书本的知识点，可以将数学课本的每一章节，从头到尾的仔细阅读，这样可以增加自己对容易忽略的知识点的了解。有很多学生常常会忽略课本的习题，虽然课本的习题很简单，但是考察的知识点却特别有针对性，所以一定要引起学生的重视。 　　2、通过联系对比进行辨析 　　在数学知识中有不少是由同一基本概念和方法引申出来的种属及其他相关知识，或看来相同，实质不同的知识，学习这类知识的主要方法，是用找联系、抓对比进行辨析。如直线、射线、线段这些概念，它们既有联系又有区别。 　　3、多做练习题 　　要想学好初中数学，必须多做练习，我们所说的“多做练习”，不是搞“题海战术”。只做不思，不能起到巩固概念，拓宽思路的作用，而且有“副作用”：把已学过的知识搅得一塌糊涂，理不出头绪，浪费时间又收获不大，我们所说的“多做练习”，是要大家在做了一道新颖的题目之后，多想一想：它究竟用到了哪些知识，是否可以多解，其结论是否还可以加强、推广等等。 　　4、课后总结和反思 　　在进行单元小结或学期总结时，要做到以下几点：一看：看书、看笔记、看习题，通过看，回忆、熟悉所学内容;二列：列出相关的知识点，标出重点、难点，列出各知识点之间的关系，这相当于写出总结要点;三做：在此基础上有目的、有重点、有选择地解一些各种档次、类型的习题，通过解题再反馈，发现问题、解决问题。 　　数学加法心算技巧 　　1、分裂再凑整数加法; 　　比如;8+5=13，先把“5”分裂成“2”和“3”;那么就是8+2+3=10; 　　2、比如;77+8=85，先把“8”分裂成“3”和“5”;那么就是77+3+5=85; 　　3、变整数再减去 　　比如，26+18=44，把“18”变成“20-2”，那么就是26+20-2=44; 　　4、比如;387+983=1370，把“983”变成“1000-17”，那么就是387+1000-17=1370; 　　5、错位数相加 　　比如，个位加十位得数是个位的; 　　51+15=66;这样算：5+1得6;1+5得6;两6合拼 　　72+27=99;这样算：7+2得9;2+7得9;两9合拼 　　63+36=99;这样算：6+3得9;3+6得9;两9合拼 　　52+25=77;这样算：5+2得7;2+5得7;两7合拼 　　6、比如，个位加十位得数是十位的; 　　78+87=165;这样算：7+8=15，再把“15”两个数字“1”和“5”相加得6，把这个“6”放在“15”的中间，得出“165”; 　　67+76=143，这样算：6+7=13，再把“13”两个数字“1”和“3”相加得4，把这个“4”放在“13”的中间，得出“143”; 　　高三数学复数知识点3 　　定义 　　数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围。形如z=a+bi的数称为复数(complex number)，其中规定i为虚数单位，且i^2=i*i=-1(a，b是任意实数)我们将复数z=a+bi中的实数a称为复数z的实部(real part)记作Rez=a 实数b称为复数z的`虚部(imaginary part)记作 Imz=b。已知：当b=0时，z=a，这时复数成为实数 当a=0且b0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。 　　运算法则 　　加法法则 　　复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。 　　即 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。 　　乘法法则 　　复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i^2 = 1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。 　　即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。 　　除法法则 　　复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x，yR)叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算， 　　即 (a+bi)/(c+di) 　　=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)] 　　=[(ac+bd)+(bc-ad)i]/(c^2+d^2)。 　　开方法则 　　若z^n=r(cos+isin)，则 　　z=nr[cos(2k)/n+isin(2k)/n](k=0，1，2，3n-1) 　　高三数学复数知识点5 　　1、知识网络图 　　2、复数中的难点 　　（1）复数的向量表示法的运算。对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难。对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明。 　　（2）复数三角形式的乘方和开方。有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练。 　　（3）复数的辐角主值的求法。 　　（4）利用复数的几何意义灵活地解决问题。复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会。 　　3、复数中的重点 　　（1）理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点。 　　（2）熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角。复数有代数，向量和三角三种表示法。特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容。 　　（3）复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质。复数的运算是复数中的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容。 　　（4）复数集中一元二次方程和二项方程的解法。

复数相乘：模相乘（几何意义：放大或缩小），幅角相加（几何意义：旋转）

复数其实是认为定义的一种数，表达形式是x=a+bi，其中i是复数的标志（当然没有也是复数，但也会划入实数），由此就构成了一个复平面。也就是说每一个复数在复平面上有唯一的点与之对应，这就相当于一个向量，起点是原点，终点是复数点，并且有自己的模，即向量线段的长。复数的平方（或乘法）的运算是平时普通代数式的一项项乘开，是将其按照向量看待的。如果按你所说“像一个复数的平方从几何意义上来看就是一个复平面上那个点到原点的这个向量的平方。”只是将模的长度变为原来的平方，但这样的点在复平面上有无数个（以原点为心画圆），但复数是一个向量，有方向。向量相乘时，方向会发生改变。你那种“向量的平方只是实部的平方加虚部实数的平方。”是错的，你可以举一个很简单的例子验证。终归一点，复数运算和向量运算时一样的！哦，我指的是算法一样，但复数最终结果依情况而定，有可能是复数还有可能是实数。附属是一种特殊的向量，只能在复平面中应用，不是一般的空间向量。

①几何形式复数 被复平面上的点 z（a，b ）唯一确定。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。②向量形式。复数z=a+bi用一个以原点O(0,0)为起点，点Z(a,b)为终点的向量OZ表示。这种形式使复数四则运算得到恰当的几何解释。③三角形式。复数z=a+bi化为三角形式 z=r（cosθ+isinθ）式中r=，是复数的模（即绝对值）θ 是以x轴为始边，射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角，辐角的主值记作arg(z)这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。④指数形式。将复数的三角形式z=r( cosθ+isinθ）中的cosθ+isinθ换为，复数就表为指数形式用直线将复平面内任一点z与N相连， 必与球面相交于P点，则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系，而N点本身可代表无穷远点， 记作。 这样的球面称作复球面。除了复数的平面表示方法外， 还可以用球面上的点来表示复数。扩充复数域---引进一个“新”的数；扩充复平面---引进一个“理想点”； 无穷远点 ∞。约定：，，，，。注： 若无特殊说明，平面均指有限复平面。 ⑤复平面。由于一个复数z=x+iy由一对有序实数（x,y)唯一确定，所以对于平面上给定的直角坐标系，复数的全体与该平面上点的全体成一一对应关系，从而复数z=x+iy可以用该平面上坐标为（x,y)的点来表示，此时，x轴称为实轴，y轴称为虚轴，两轴所在的平面称为复平面或z平面。这样，复数与复平面上的点一一对应，并且把“点z”作为“数z”的同义词。 乘积与商定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。证明 设 则 因此，= 几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。定理1可推广到n 个复数的乘积。定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差。复数的乘幂定义 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂，记作，即=（共n个）。设z=，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明特别：当|z|=1时，即，则有一棣模佛(De Moivre)公式。复数的方根问题 给定复数，求所有的满足的复数ω。复数运算的几何意义复数a+bi、c+di分别对应复平面上以原点为起点的向量(a,b)与(c,d)。两者相乘相当于如下变换：在复平面上将向量(a,b)伸长或缩短复数c+di的模倍，然后逆时针转过复数c+di辐角的度数，得到的新向量即是两复数乘积对应的向量。如：(1+i)*(1+i)=2i。将向量(1,1)伸长为复数1+i的模倍(即根2倍)，然后逆时针转过1+i的辐角度数(即45˙)，得到向量(0,2)，即乘积2i所对应的向量。除法与乘法正好相反。加法与减法的几何意义：复数对应的向量在复平面上进行平行四边形或三角形法则运算。由此可见，复数的运算可以表示二维平面上的伸缩和旋转变换。 邻域：复平面上以z 0为中心，任意δ> 0为半径的圆| z -z 0|<δ(或0 <| z –z 0|<δ) 内部的点的集合称为点z 0 的δ（去心）邻域 。设G是一平面上点集内点：对任意z0属于G，若存在U(z 0 ,δ)， 使该邻域内的所有点都属于G，则称z 0是G的内点。开集：若G内的每一点都是内点，则称G是开集。 区域：设D是一个开集，且D是连通的，称D是一个区域。连通是指D中任意两点均可用完全属于D的折线连接。边界与边界点：已知点P不属于D，若点P的任何邻域中都包含D中的点及不属于D的点，则称P是D的边界点；闭区域 区域D与它的边界一起构成闭区域,记为Dˉ有界区域与无界区域：若存在R > 0， 对任意z ∈D, 均有z∈G={z | |z|<R}，则D是有界区域；否则无界。 重点：设连续曲线C：z=z(t)，a≤t≤b，对于t1∈(a，b)， t2 ∈[a, b]，当t1≠t2时，若z(t1)=z(t2)，称z(t1)为曲线C的重点。定义：称没有重点的连续曲线C为简单曲线或Jardan曲线;若简单曲线C 满足z(a)=z(b)时，则称此曲线C是简单闭曲线或Jordan闭曲线。简单闭曲线的性质任一条简单闭曲线 C：z=z(t)，t∈[a，b]，把复平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为C的外部；还有一个是它们的公共边界。

扩大数系，像X平方=-1的题就能解了

复数乘法与除法的几何意义：设z1=r1(cosuf0711+isinuf0711)，z2=r2(cosuf0712+isinuf0712)，其中ri=|zi|，i=1,2根据复数乘法的原则z1uf0d7z2=r1uf0d7r2(cos(uf0711+uf0712)+isin(uf0711+uf0712))我们令P(z1)、Q(z2)、R(z1z2)(a)旋转运动：当r2=1时因为uf0beOR=|z1z2|=r1uf0d7r2=r1，且方向角为uf0711+uf0712，故R点是由P点绕原点O逆时针旋转uf0712得到的。(b)伸缩运动：当uf0712=0时，uf0beOR=|z1z2|=r1uf0d7r2，且方向角为uf0711+uf0712=uf0711，因此R点是由P点以原点O为伸缩中心，伸缩|z2|倍得到的点。

实部的数对应x轴上的坐标，虚部的数对应y轴上的坐标。所以复数的几何意义为平面坐标上的一个点。z指的是什么？z=a+bi,a、b是多少？

复数在极坐标中可以用模（绝对值）和辐角（向量的角度）来表示，两个复数的乘积为：模等于两个复数模的乘积，辐角等于两个复数的辐角之和。

实部是0，虚部是-2。据复数的定义，模的公式求出复数模，由代数式化为三角形式。复数-2i=0-2i，所以它的实部是0，虚部是-2，本题考查了复数；复数的代数形式和三角形式是复数运算中常用的两种形式，注意两种形式的标准形式。复数的几何意义：复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系 这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定。又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的。由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系。

答：设复数z=|z|*e^(iθ)lnz=ln[|z|*e^(iθ)]=ln|z|+ln[e^(iθ)]=ln|z|+iθ复数取对数的几何意义为：将模长为|z|，辐角为θ的复数z，变换为实部为ln|z|，虚部为θ的新复数

复数在极坐标中可以用模（绝对值）和辐角（向量的角度）来表示，两个复数的乘积为：模等于两个复数模的乘积，辐角等于两个复数的辐角之和。复数是形如z=a+bi（a、b均为实数）的数。复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。加法法则复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则它们的和是(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。复数的加法满足交换律和结合律，即对任意复数z1，z2，z3，有：z1+z2=z2+z1；（z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)。

复数相等的充要条件是：实部与虚部均对应相等 复数的几何意义是：a+bi在复平面上对应点M(a,b)和向量OM=(a,b) 向量的加减法对应向量的加减法 复数的模：OM的长度,即数值上等于(a^2+b^2)^(1/2) 性质是一个复数与它的共轭得数模相等,且 ︱z1z2︱=︱z1︱︱z2︱ 你可以看一看书上的复数部分就会明白了

M是定义集合中的元素z,满足点z到点(-2,0),(2,0)的距离和为定值6 这是椭圆的定义,(-2,0)、(2,0)为焦点的椭圆,半长轴为3 N是定义集合中的元素z,满足点z到点(-1,0)的距离为1 这是圆的定义,指以(-1,0)为圆心,半径为1的圆

复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系 这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系。由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系。点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数。对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i。非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等。复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即： 复数复平面内的点。这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。

每一个复数对应复平面的一个点，同时一个复平面的点也对应一个起点在原点的向量。两个复数的和和差相当于这两个复数对应的向量为临边的平行四边形的对角线。

复数看作复平面上的点,实部为x坐标,虚部为y坐标则复数乘法得到新的点其到原点的距离为原来的距离之积,新的幅角（与原点连线和+x轴逆时针夹角）等于原幅角只和. 1×-1=-1 可理解为把点1逆时针旋转pi,则刚好落在-1上……i^2=-1 还可以这么理解,i^2=1*i^2=1*i*i, 把1作两个90度逆时针的旋转,刚好到-1上……

复数的几何意义主讲人郝玉红教学目标:1理解复平面，实轴，虚轴等概念。2理解并掌握复数两种几何意义，并能适当应用。3掌握复数模的几何定义及其几何意义，弄清复数的模与实数绝对值的区别与联系。能力目标:培养学生观察，分析，归纳，总结的的能力。教学重点:复数的几何意义的掌握及应用。知识难点:复数几何意义的应用。主要教法:发现式，讲练结合式教学。教具:多媒体教学系统教学步骤:复习提问1复数的代数形式?2复数,当为何值时,表示实数,虚数,纯虚数?3复数相等的充要条件点的横坐标是_____纵坐标是____这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做_____X轴叫做______,Y轴叫做_______.复数复平面内的点这是复数的一种几何意义.复数平面向量向量的模称为复数的模,记作或例1在复平面内,若复数对应点在:(1)虚轴上,(2)实轴的负半轴上;分别求复数变式练习复数对应的点为,若在复平面的轴的上方,求的取值范围..例2求满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹.分析:根据复数的向量表示,可知,它的轨迹是以原点为圆心,5为半径的圆.变式练习满足条件的轨迹是________提高题组1如果复数满足,那么的最小值是()A1BC2D2已知为复数,且,若则的最大值是_________3当时,复数在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限随堂检测1满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是()A一条直线B两条直线C圆D椭圆2若且则的虚部的取值范围是()A[0,2]B[0,3]C[1,2]D[1,3]3设且则复数在复平面上的对应点的轨迹方程是______,的最小值是_________.小结1由复平面内适合某种条件的点的集合来求其对应的复数时,通常是由其对应关系列出方程或不等式(组)或混合组,求得复数的实部,虚部的值或范围,来确定所求的复数.2利用复数的向量表示,充分运用数形结合,可简化解题步骤.教后记u2022本节课主要让学生掌握复数的几何意义，在高考中常见的题型有:与复数的模的最值有关的问题;与复数的几何意义有关的问题;掌握数形结合的思想的应用。故在本节课中侧重于此。学习本节课时要注意联系到前面学过的向量的有关知识，在解题中加以认识并逐渐领会，合理的利用复数的几何意义，常能出奇制胜，事半功倍。所以在学习中注意积累并灵活运用。u2022学生的掌握情况很好，参与的积极性很高。

复数的几何表示介绍如下：复数z=a+bi(a,b∈R)可用平面直角坐标系内点Z(a,b)来表示.这时称此平面为复平面,x轴称为实轴,轴除去原点称为虚轴.这样,全体复数集C与复平面上全体点集是—对应的。复数的几何意义，是指复数z=a+bi(a、b∈R)，一一对应复平面内的点Z（a,b）。其中，在复平面内，复数的实部（a）是其对应点的横坐标，复数的虚部（b）是其对应点的纵坐标。因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的。由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系。点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数。对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i。非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等。复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系。

复数z=a+bi 与复平面内的点（a，b）一一对应复数z=a+bi 与直角坐标系中的点Z（a，b）一一对应 在做题的时候你就想复数的实部是横坐标，虚部是纵坐标，就可以转化成之前学过的点的坐标了，你看看下面的题找找感觉吧 例：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。 解：m2+m-6<0 m2+m-2>o 得-3<m<2 m<-2或m>1 所以m∈（-3,2）∪（1,2） 变形一：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值。 解：∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2）， ∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0， ∴m=1或m=-2。 变形二：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i ，证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。 证明：若复数对应的点位于第四象限，则m2+m-6>0 m2+m-2<0 即m<-3或m>2 -2<m<1 不等式解集为空集,所以复数所对应的点不可能位于第四象限.

设复数z=a+bi(a,b∈R)，它的几何意义是复平面上一点(a,b)到原点的距离。运算法则：| z1·z2| = |z1|·|z2|┃| z1|－| z2|┃≤| z1+z2|≤| z1|+| z2|| z1－z2| = | z1z2|，是复平面的两点间距离公式，由此几何意义可以推出复平面上的直线、圆、双曲线、椭圆的方程以及抛物线。扩展资料：运算法则1、加法法则复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。2、乘法法则复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2= -1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

复数的几何意义，是指复数z=a+bi(a、b∈R)，一一对应复平面内的点Z（a,b）。其中，在复平面内，复数的实部（a）是其对应点的横坐标，复数的虚部（b）是其对应点的纵坐标。因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的。由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系。点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数。对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i。非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等。复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系。

复数的几何意义是：1、复数z=a+bi与复平面内的点（a）一一对应；2、复数z=a+bi与向量OZ一一对应，其中的Z点的坐标为（a，b）。复数x被定义为二元有序实数对（a，b），记为z=a+bi，这里a和b是实数，i是虚数单位。在复数a+bi中，a=Re（z）称为实部，b=Im（z）称为虚部。

1、复数的几何意义是：复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系。 2、我们把形如z=a+bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。 3、当z的虚部等于零时，常称z为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。 4、复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。

复数的几何意义：复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系。这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定。如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定。又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的。由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系。点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数。复数，是数的概念扩展。我们把形如z=a+bi（a、b均为实数）的数称为复数。其中，a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当z的虚部b＝0时，则z为实数；当z的虚部b≠0时，实部a＝0时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。

|z1|,|z2|,|z1+z2|构成一个三角形的三条边(可以是退化的三角形),根据两边和大于等于第三边,两边之差小于等于第三边得证.

特征向量确实有很明确的几何意义，矩阵乘以一个向量的结果仍 是同维数的一个向量。因此矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量，变换的效果与矩阵的构造有密切关系，比如可 以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度。

①几何形式。复数z＝a＋bi 用直角坐标平面上点 Z（a，b ）表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。 ②向量形式。复数z＝a＋bi用一个以原点O为起点，点Z（a，b）为终点的向量OZ表示。这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释。 ③三角形式。复数z＝a＋bi化为三角形式z＝r（cosθ＋isinθ）式中r= sqrt(a^2+b^2)，叫做复数的模（或绝对值）；θ 是以x轴为始边；向量OZ为终边的角，叫做复数的辐角。这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。 ④指 数形式。将复数的三角形式 z＝r( cosθ＋isinθ）中的cosθ＋isinθ换为 exp(iθ)，复数就表为指数形式z＝rexp(iθ) 复数三角形式的运算： 设复数z1、z2的三角形式分别为r1(cosθ1+isinθ1)和r2(cosθ2+isinθ2)，那么z1z2＝r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]z1÷z2＝r1÷r2[cos(θ1－θ2)+isin(θ1－θ2)]，若复数z的三角形式为r(cosθ+isinθ)，那么z^n＝r^n(cosnθ+isinnθ)，n√z＝n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n]（k＝1，2，3……）必须记住：z的n次方根是n个复数。 复数的乘、除、乘方、开方可以按照幂的运算法则进行。复数集不同于实数集的几个特点是：开方运算永远可行；一元n次复系数方程总有n个根（重根按重数计）；复数不能建立大小顺序。望采纳。谢谢

复数的几何意义表示圆是z=(-1+2i)+z0=(-1+2cosθ)+(2+2sinθ)i，这是表示圆心在原点，半径等于2的圆的复数形式。每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。

复数形如a+bi(a、b均为实数，i为虚数），其向量坐标表示为（a,b）,在平面直角坐标系中描出点P（a，b）,l连接原点O与点P，则有向线段OP（方向O指向P）即是向量。

1、三角形式。复数z＝a＋bi化为三角形式z＝r（cosθ＋isinθ）式中r= sqrt(a^2+b^2)，叫做复数的模（或绝对值）；θ 是以x轴为始边；向量OZ为终边的角，叫做复数的辐角。这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。2、指数形式。将复数的三角形式 z＝r( cosθ＋isinθ）中的cosθ＋isinθ换为 exp(iθ)，复数就表为指数形式z＝rexp(iθ)复数三角形式的运算：设复数z1、z2的三角形式分别为r1(cosθ1+isinθ1)和r2(cosθ2+isinθ2)，那么z1z2＝r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]z1÷z2＝r1÷r2[cos(θ1－θ2)+isin(θ1－θ2)]，若复数z的三角形式为r(cosθ+isinθ)，那么z^n＝r^n(cosnθ+isinnθ)，n√z＝n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n]（k＝1，2，3……）必须记住：z的n次方根是n个复数。扩展资料复数加法法则复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则它们的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。复数的加法满足交换律和结合律，即对任意复数z1，z2，z3，有： z1+z2=z2+z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)。复数减法法则复数的减法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则它们的差是 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个虚部的差。

复数看作复平面上的点,实部为x坐标,虚部为y坐标则复数乘法得到新的点其到原点的距离为原来的距离之积,新的幅角（与原点连线和+x轴逆时针夹角）等于原幅角只和. 1×-1=-1 可理解为把点1逆时针旋转pi,则刚好落在-1上……i^2=-1 还可以这么理解,i^2=1*i^2=1*i*i, 把1作两个90度逆时针的旋转,刚好到-1上……

∏/3-跟3/4

对复数加、减法几何意义的理解 (1)对于应用向量加法法则求复数的和，可以利用平行四边形法则，也可以利用三角形法则． (2)复数的减法法则用向量的减法法则来进行运算，应用向量来进行复数的减法，三角形法则显得更加(1)复数代数形式的加法运算法则是一种规定，以后就要按照规定进行运算．(2)复数的加法法则是在复数的代数形式下进行的．(3)复数的加法运算的结果仍然是复数．(4)实数的移项法则在复数中仍然成立．(5)复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形．对复数加、减法几何意义的理解(1)对于应用向量加法法则求复数的和，可以利用平行四边形法则，也可以利用三角形法则．(2)复数的减法法则用向量的减法法则来进行运算，应用向量来进行复数的减法，三角形法则显得更加方便．(3)复数的加减法运算可以通过向量的加减法运算进行；反之，向量的加减法运算也可以通过复数的加减法运算进行．(4)利用复数的加减法运算的几何意义可以直观地解决复数问题．方便．

纯虚的复数指数的几何意义是旋转 e^(yi)可以改写成e^(yi)根据欧拉公式,这等于cos(t)+isin(-t). 任何复数乘以这个东西后,模不变而辐角减少t.所以是旋转. 这用的是e,你的例子的话,可以改写成e^(i*ln2) 实数部分的指数的几何意义是伸缩. 以上是我记忆中的答案.因为对欧拉公式不熟,很可能有错. 不过思路是这样的.

纯虚的复数指数的几何意义是旋转e^(yi)可以改写成e^(yi)根据欧拉公式，这等于cos(t)+isin(-t)。任何复数乘以这个东西后，模不变而辐角减少t。所以是旋转。这用的是e，你的例子的话，可以改写成e^(i*ln2)实数部分的指数的几何意义是伸缩。以上是我记忆中的答案。因为对欧拉公式不熟，很可能有错。不过思路是这样的。

复数相等的充要条件是：实部与虚部均对应相等 复数的几何意义是：a+bi在复平面上对应点M(a,b)和向量OM=(a,b) 向量的加减法对应向量的加减法 复数的模：OM的长度,即数值上等于(a^2+b^2)^(1/2) 性质是一个复数与它的共轭得数模相等,且 ︱z1z2︱=︱z1︱︱z2︱ 你可以看一看书上的复数部分就会明白了

　　高一的数学学习是很多学生比较头疼的一件事，下面是我给大家带来的有关于高一数学的部分的知识点的总结介绍，希望能够帮助到大家。 　　高一数学复数的四则运算知识点 　　复数的概念： 　　形如a+bi(a，bu2208R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。 　　复数的表示： 　　复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，bu2208R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。 　　复数的几何意义： 　　(1)复平面、实轴、虚轴： 　　点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、bu2208R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 　　(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 　　这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。 　　这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。 　　复数的模： 　　复数z=a+bi(a、bu2208R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|= 　　虚数单位i： 　　(1)它的平方等于-1，即i2=-1; 　　(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 　　(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。 　　(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。 　　复数模的性质： 　　复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 　　对于复数a+bi(a、bu2208R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、bu2208R)是实数a;当bu22600时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且bu22600时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。 　　复数集与其它数集之间的关系： 　　 复数的运算： 　　1、复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; 　　2、复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; 　　3、复数的乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、du2208R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i，其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数。 　　4、复数的除法运算规则： 　　。 　　复数加法的几何意义： 　　设 　　为邻边画平行四边形 　　就是复数 　　对应的向量。 　　复数减法的几何意义： 　　复数减法是加法的逆运算，设 　　，则这两个复数的差 　　对应，这就是复数减法的几何意义。 　　共轭复数： 　　当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。 　　虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。 　　复数z=a+bi和 　　=a-bi(a、bu2208R)互为共轭复数。 　　复数的运算律： 　　1、复数的加法运算满足交换律：z1+z2=z2+z1; 　　结合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3); 　　2、减法同加法一样满足交换律、结合律。 　　3、乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3;(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3;(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

加法模长的几何意义是：以z1,z2为邻边作平行四边形,其对角线的长度（含z1,z2公共点的那条） 减法模长的几何意义是：以z1,z2为邻边作三角形,其第三条边的长度

长度是原来的平方，角度是原来的两倍，几何意义就是这个

实部的数对应x轴上的坐标，虚部的数对应y轴上的坐标。所以复数的几何意义为平面坐标上的一个点。z指的是什么？z=a+bi,a、b是多少？

复数里是有除法的，两复数相除的结果是一个复数，这个复数的模是前面两复数模的商，幅角是前面两复数幅角的差。复数的幅角是从原点向这复数对应的点引射线，这射线与x轴所成的角。复数与平面向量具有一一对应的关系，把复数看作平面向量也未尝不可，但我们不能认为向量就可以相除了，因为向量并不只是平面向量，还有空间向量（3维向量）、4维向量、…、直到n维向量，在三维向量及三维以上的向量里是没有办法定义除法的，所以在向量代数里是不定义向量的除法的。

复数除法的几何意义是在复平面内,商的模等于被除数和除数的模的商,商的辐角等于被除数和除数的辐角的差。希望能帮到你，请采纳正确答案，点击【采纳答案】，谢谢^_^

复数的几何意义是平面向量。复数由实部和虚部组成，复平面的定义域为R^2，与平面向量一致，故后者可用于表示复数

其实就跟平时直角坐标一样。实部为x轴，虚部为y轴。这是一种。另一种。其实2^i=根号下2^-1=2分之根号2。有些是可以化成熟悉的东西。

复数乘除法的几何意义 复数除法的几何意义是在复平面内,商的模等于被除数和除数的模的商,商的辐角等于被除数和除数的辐角的差。 希望能帮到你，请采纳正确答案，点击【采纳答案】，谢谢 ^_^ 复数乘除法的几何意义是怎么样的 可以将复数看作复平面上的一个向量 复数的乘除会使得这个向量伸缩且旋转伸缩的倍数与乘或除的那个复数的模长有关 旋转的角度以及是顺时针还是逆时针旋转与乘或除的那个复数的辐角有关 复变函数 试用复数乘法的几何意义证明三角形内角之和等于pai 。 数学复数的乘法怎么用辅角解释几何意义 ①几何形式。复数z＝a＋bi 用直角座标平面上点 Z（a，b ）表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。 ②向量形式。复数z＝a＋bi用一个以原点O为起点，点Z（a，b）为终点的向量OZ表示。这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释。 ③三角形式。复数z＝a＋bi化为三角形式z＝r（cosθ＋isinθ）式中r= sqrt(a^2+b^2)，叫做复数的模（或绝对值）；θ 是以x轴为始边；向量OZ为终边的角，叫做复数的辐角。这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。 ④指 数形式。将复数的三角形式 z＝r( cosθ＋isinθ）中的cosθ＋isinθ换为 exp(iθ)，复数就表为指数形式z＝rexp(iθ) 复数三角形式的运算： 设复数z1、z2的三角形式分别为r1(cosθ1+isinθ1)和r2(cosθ2+isinθ2)，那么z1z2＝r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]z1÷z2＝r1÷r2[cos(θ1－θ2)+isin(θ1－θ2)]，若复数z的三角形式为r(cosθ+isinθ)，那么z^n＝r^n(cosnθ+isinnθ)，n√z＝n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n]（k＝1，2，3……）必须记住：z的n次方根是n个复数。 复数的乘、除、乘方、开方可以按照幂的运算法则进行。复数集不同于实数集的几个特点是：开方运算永远可行；一元n次复系数方程总有n个根（重根按重数计）；复数不能建立大小顺序。

复数的几何意义在直角坐标系中，以x为实轴，y为虚轴的复平面上的点集1、复数z=abi与复平面内的点（a,b）一一对应2、复数z=abi与向量oz一一对应,其中z点坐标为（a,b）

复数a+bi相当于平面直角坐标系内坐标为（a,b)的点，两个复数的差的模就是两个点的距离。|z-根号3|+|z+根号3|=4就是复数z代表的点到（√3,0）（-√3,0）的距离之和为4，而4>2√3,复数z代表的点在椭圆上。|z-1-i|就是复数z代表的点到（1,1）的距离。这样就好算了。

复数的几何意义是向量的伸缩与选择，两个虚根相乘可以得到一个负实数。复数的几何意义是向量的伸缩和旋转.a*b的几何意义是使复平面上a所对应的向量a的模长变为原来的|b|倍，并逆时针旋转角度r所得到的向量。虚根，顾名思义就是解方程后得到的是虚数，这样的根叫虚根。两个虚根相乘会得到一个负数。虚数是为了满足负数的平方根而产生的，规定根号-1为i。虚根一般只在二次或更高次的方程中出现。

“复数”、“虚数”这两个名词，都是人们在解方程时引入的。为了用公式求一元二次、三次方程的根，就会遇到求负数的平方根的问题。1545年，意大利数学家卡丹诺（GirolamoCardano,1501年~1576年）在《大术》一书中，首先研究了虚数，并进行了一些计算。1572年，意大利数学家邦别利（RafaclBombclli,1525年~1650年）正式使用“实数”“虚数”这两个名词。此后，德国数学家莱布尼兹（GottfriedWilbclmLcibniz,1646年~1716年）、瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler,1707年~1783年）和法国数学家棣莫佛（AbrabamdeMoivre,1667年~1754年）等又研究了虚数与对数函数、三角函数等之间的关系，除解方程以外，还把它用于微积分等方面，得出很多有价值的结果，使某些比较复杂的数学问题变得简单而易于处理。大约在1777年，欧拉第一次用i来表示-1的平方根，1832年，德国数学家高斯（CarlFricdrichGauss,1777年~1855年）第一次引入复数概念，一个复数可以用a＋bi来表示，其中a，b是实数，i代表虚数单位，这样就把虚数与实数统一起来了。高斯还把复数与复平面内的点一一对应起来，给出了复数的一种几何解释。不久，人们又将复数与平面向量联系起来，并使其在电工学、流体力学、振动理论、机翼理论中得到广泛的实际应用，然后，又建立了以复数为变数的“复变函数”的理论，这是一个崭新而强有力的数学分支，所以我们应该深刻认识到了“虚数不虚”的道理。 16世纪意大利米兰学者卡当（Jerome Cardan1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成=40，尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的，但他还是把10分成了两部分，并使它们的乘积等于40。给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔（1596—1650），他在《几何学》（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来。 数系中发现一颗新星——虚数，于是引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数。德国数学家莱布尼茨（1646—1716）在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。瑞士数学大师欧拉（1707—1783）说；“一切形如，习的数学武子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”然而，真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验，最终占有自己的一席之地。法国数学家达朗贝尔（1717—1783）在1747年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是的形式（a、b都是实数）（说明：现行教科书中没有使用记号＝－i，而使用=一1）。法国数学家棣莫佛（1667—1754）在1730年发现公式了，这就是著名的棣莫佛定理。欧拉在1748年发现了有名的关系式，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i来表示一1的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位。“虚数”实际上不是想象出来的，而它是确实存在的。挪威的测量学家成塞尔（1745—1818）在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视。 德国数学家高斯（1777—1855）在1806年公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示。在直角坐标系中，横轴上取对应实数a的点A，纵轴上取对应实数b的点B，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数a＋bi。象这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“高斯平面”。高斯在1831年，用实数组（a，b）代表复数a＋bi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数—一对应，扩展为平面上的点与复数—一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间—一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了。 经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不虚呵。虚数成为了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集。

向量

复数的几何意义，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系。复数包括实数和虚数，这些无尽的数字，它们看上去空洞无物，十分抽象；听起来又虚无缥缈，神出鬼没，让人难以留下印象，可是它们又都十分重要，与我们的生活密切相关。因此我们必须想方设法，让它们真实地呈现在我们的面前或脑海中。于是我们利用数轴上的点，抛物线上的点，双曲线上的点，直角坐标系中的点，平面向量图，空间向量图，各种函数"图像，等"等来表示它们，使它们各有空间定位。各有图像表示，就像我们看到北斗星座，狮子座，双鱼座、猎手座让这些数字(复数)各居各位，听令调遣！也象中药铺里的中药，抽屉一拉，立即取出这位草药，这就是复数的几何意义。

　　高中数学会学到复数，有关复数的几何意义大家知道吗?下面是由我为大家整理的“复数的几何意义是什么”，仅供参考，欢迎大家阅读。 　　 复数的几何意义是什么 　　1、复数z=a+bi 与复平面内的点(a,b)一一对应 　　2、复数z=a+bi 与向量OZ一一对应,其中Z点坐标为(a,b) 　　 拓展阅读：复数的运算,什么是复数 　　1、复数的运算：复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。复数除法定义：满足的复数叫复数a+bi除以复数c+di的商。运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算。 　　2、我们把形如z=a+bi(a,b均为实数)的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当z的虚部等于零时，常称z为实数;当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。 　 　复数的概念及四则运算 　　1、数学上的复数 　　(1)复数的定义 　　数集拓展到实数范围内,仍有些运算无法进行.比如判别式小于0的一元二次方程仍无解,因此将数集再次扩充,达到复数范围. 　　定义：形如z=a+bi的数称为复数(complex number),其中规定i为虚数单位,且i^2=i*i=-1(a,b是任意实数) 　　我们将复数z=a+bi中的实数a称为虚数z的实部(real part)记作Rez=a 　　实数b称为虚数z的虚部(imaginary part)记作 Imz=b. 　　易知：当b=0时,z=a,这时复数成为实数; 　　当a=0且b≠0时 ,z=bi,我们就将其称为纯虚数. 　　复数的集合用C表示,显然,R是C的真子集 　　复数集是无序集,不能建立大小顺序. 　　(2)复数的四则运算法则： 　　若复数z1=a+bi,z2=c+di,其中a,b,c,d∈R,则 　　z1±z2=(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i, 　　(a+bi)u2022(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i, 　　(a+bi)÷(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2) +((bc-ad)/(c^2+d^2))i

设复数z=a+bi(a,b∈R)，它的几何意义是复平面上一点(a,b)到原点的距离。运算法则：| z1·z2| = |z1|·|z2|┃| z1|－| z2|┃≤| z1+z2|≤| z1|+| z2|| z1－z2| = | z1z2|，是复平面的两点间距离公式，由此几何意义可以推出复平面上的直线、圆、双曲线、椭圆的方程以及抛物线。扩展资料：运算法则1、加法法则复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。2、乘法法则复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2= -1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

复数的几何意义：复数z=a+bi与复平面内的点（a，b）一一对应；复数z=a+bi与向量OZ一一对应,其中Z点坐标为（a，b）。复数x被定义为二元有序实数对（a，b) ，记为z=a+bi，这里a和b是实数，i是虚数单位。在复数a+bi中，a=Re(z)称为实部，b=Im(z)称为虚部。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，也即任何复系数多项式在复数域中总有根。复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。

大多用复数、 例如：Policewomen are all very good people.

crowd作名词作主语的时候谓语是用单数还是复数 Crowd 用法参照下列内容。： 某些集体名词，如family, team等作主语时，如果作为一个整体看待，谓语动词用单数形式，如果就其中一个个成员而言，谓语动词用复数形式。如： His family is a happy one. The whole family are watching TV. 这类名词有：audience，class，，pany，crew，enemy，crowd，government，group，party，public，team等。 名词population一词的使用情况类似。“a group(crowd) of +复数名词”等短语之后的谓语动词也同样可用单数或复数，前者强调整体，后者强调各个部分。 某些集体名词，如people, police, cattle等，只当复数看待，谓语动词必须用复数。如： The police are searching for the thief. 应该是接单数。 1.N-COUNT-COLL 可数集合名词人群;观众 A crowd is a large group of people who have gathered together, for example to watch or listen to something interesting, or to protest about something. 【搭配模式】：oft N of nA huge crowd gathered in a square outside the Kremlin walls... 一大群人聚集在克里姆林宫墙外的广场上。It took some o hours before the crowd was fully dispersed... 大概花了两个小时才把人群全部疏散开。The crowd were enormously enthusiastic... 观众热情高涨。The explosions took place in shopping centres as crowds of people were shopping for Mothers" Day. 爆炸发生在购物中心，当时大批人群正在为母亲节购物。 2.N-COUNT 可数名词(志趣相投或工作相同的)一伙人，一帮人 A particular crowd is a group of friends, or a set of people who share the same interests or job. 【搭配模式】：usu supp N【STYLE标签】：INFORMAL 非正式All the old crowd have e out for this oasion. 那些老伙计们都来参加这一庆典。 A great deal 作名词作主语时谓语用单数还是复数？ a great deal 修饰的是不可数名词，表示的是量，不是数，当然是接单数动词 。 e.g. A great deal of truble lies before us. more than 加名词作主语，谓语用单数还是复数？ A, has has gone 构成【现在完成时】 语言点： more than one + 名词单数 虽表复数概念，但习惯上接【单数谓语】 拓展： Many a + 名词单数 “许多。。。” 做主语时，和more than one... 一样， 后接单数谓语 如： Many a student has seen the film. = Many students have seen the film. (注意比较） 不懂的欢迎追问，如有帮助请采纳，谢谢! One and a half ＋复数名词作主语时，谓语动词用单数还是复数 由one and a half+复数名词，谓语动词用单数形式。这是因为尽管它的含义是复数，但它作为一个整体来看待。例如： One and a half hours is quite a long time. One and a half bananas is left on the table. 清楚了吧，同学？ 祝您学习进步！^_^ 集体名词作主语，谓语动词用单数还是复数？ 某些集体名词，如family, team等作主语时，如果作为一个整体看待，谓语动词用单数形式，如果就其中一个个成员而言，谓语动词用复数形式。如： His family is a happy one. The whole family are watching TV. 这类名词有：audience，class，，pany，crew，enemy，crowd，government，group，party，public，team等。 名词population一词的使用情况类似。“a group(crowd) of +复数名词”等短语之后的谓语动词也同样可用单数或复数，前者强调整体，后者强调各个部分。 2）某些集体名词，如people, police, cattle等，只当复数看待，谓语动词必须用复数。如： The police are searching for the thief. mang a修饰名词作主语谓语动词用单数还是复数 用单数。与every student 作主语同，因为形式上是单数名词作主语。类似的还有more than one student 作主语，也是单数谓语动词。 eg. Many a student has seen the film. 许多学生看过这部电影。 Many a fine man has died in that battle. 许多优秀的士兵死于那次战役。 但：a good many students作主语，则用复数了,eg. A good many students e from Shanghai. 其实很好记，这叫形式一致。 动名词作主语，谓语用单数还是用复数？举例说明 Answer: 动名词作主语谓语要用单数 但如果是两个以上的动名词做主语,谓语单复数形式,取决于动名词短语所表达的意思是同一件事还是两件事. 例: (1)Li people"s singing and dancing "is" one of the most important characteristics. 黎族人的歌舞是他们的一大特色。 (2)Dancing and singing "are" my favorite. 跳舞、唱歌都是我的最爱 If you still feel confused,leave a message please 祝 学习进步!

集合名词属于可数名词 在句子中是作单数还是复数要视具体情况和意义而定 例如 cattle clergy militia people police poultry这些词通常作复数用 There are a herd of cattle on the hillside.山坡上有一群牛 又如audience class couple crew family group 这些词表示整体的时候用单数 表示组成该集体的各个成员时用复数. My family is a big one.我家是个大家庭. My family are all fond of football.我全家人都喜欢足球.

应注意，有部分词原意是表示集合，但现在词意有所变化。例如“图书”，原指图画和书，现在泛指书籍，如“北大图书馆珍藏了几百万册图书”，也可以说“我今天借了一本图书”。 本、册是个体量词，“图书”是能受个体量词修饰的名词，所以是个体名词，而不是集合名词。“书本”不能受个体量词的修饰，是集合名词。分类　集合名词分为以下几类，并分别简述其有关用法特点：第一类形式为单数，但意义可以用为单数或复数这类集合名词包括family(家庭），team(队)，class(班)，audience(听众)等，其用法特点为：若视为整体，表示单数意义；若考虑其个体成员，表示复数意义。比较并体会：His family is large. 他的家是个大家庭。His family are all waiting for him. 他的一家人都在等他。This class consists of 45 pupils. 这个班由45个学生组成。This class are reading English now. 这个班的学生在读英语。第二类形式为单数，但意义永远为复数这类集合名词包括cattle(牛，牲畜)，people(人)，police(警察)等，其用法特点为：只有单数形式, 但却表示复数意义，用作主语时谓语用复数；不与 a(n) 连用，但可与the连用(连用)。如：People will laugh at you. 人们会笑你的。The police are looking for him. 警察在找他。Many cattle were killed for this. 就因为这个原因宰了不少牲畜。注：表示牲畜的头数，用单位词 head(单复数同形)。如：five head of cattle 5头牛，fifty (head of ) cattle 50头牛第三类形式为复数，意义也为复数这类集合名词包括goods(货物), clothes(衣服)等，其用法特点是：只有复数形式(当然也表示复数意义，用作主语时谓语也用复数)，但通常不与数词连用。如：Clothes dry slowly in the rainy season. 衣服在雨季不易干。Such clothes are very expensive. 那样的衣服很贵。If goods are not well made you should complain to the manufacturer. 如果货物质量不好，则理应向制造商提出控诉。第四类形式为单数，意义也为单数这类集合名词包括baggage / luggage(行李), clothing(衣服), furniture(家具), machinery(机器), poetry(诗), scenery(风景),jewelry(珠宝), equipment(设备)等, 其用法特点为：是不可数名词，只用单数形式，不用不定冠词(当然更不能用数词)，没有复数形式。如：Our clothing protects us from [against] the cold. 我们的衣服可以御寒。<>Have you checked all your baggage? 你所有的行李都托运了吗?The thief stole all her jewelry. 小偷把她所有的首饰都偷走了。The hospital has no decent equipment. 这家医院没有像样的设备。The Tang Dynasty is thought of as the high summer of Chinese poetry. 人们认为唐朝是中国诗歌的全盛时期。注：machinery, poetry, jewelry, scenery等相应的个体可数名词是 machine, poem, jewel, scene等。如：a poem / a piece of poetry 一首诗many machines / much machinery / many pieces of machinery 许多机器第五类补充几个常考的集合名词除上面提到的四类集合名词外，以下几个集合名词也应重点注意： 1. hair(头发，毛发)指全部头发或毛发时，为集合名词(不可数)；指几根头发或毛发时，为个体名词(可数)。如：My hair has grown very long. 我的头发已长得很长了。The police found two hairs there. 警察在那儿找到了两根头发。 2. mankind(人类)人是一个不可数的集合名词，不用复数形式，也不连用冠词。如：This is an invention that benefits mankind. 这是一项造福人类的发明。Mankind has its own problems. 人类有自己的问题。注：mankind 表示“mankind 人(类)”时，虽不可数，但有时却可以表示复数意义，尤其是当其表语是复数时。如：Mankind are intelligent animals. 人是理智的动物。 3. fruit(水果)作为集合名词，它通常是不可数的。如：He doesn"t eat much fruit. 他不大吃水果。He is growing fruit in the country. 他在乡下种水果。但是，当要表示种类时，它可视为可数名词，即a fruit 指一种水果，fruits 指多种水果。比较：fruits Some fruits have thick skins. 有些水果皮很厚。The potato is a vegetable, not a fruit. 土豆是一种蔬菜，而不是一种水果。

集体名词做主语,要根据具体情况.若被看做一个整体,用单数.若看成集体的成员时候用复数 例如 His family is not large 他的家庭不大（意思是家里就三口人,而别的家庭可能5个人） his family are all football players 他家的人都是足球运动员 类似的词还有 group ,class,committee,team,audience,public等等 有生命的集体名词做主语,用复数 比如 people,police,cattle,militia(民兵）,poultry（家禽）等等 The police are trying to catch the thief.

复数 这词是个集体名词

Crowd 用法参照下列内容。：x0dx0ax0dx0a某些集体名词，如family, team等作主语时，如果作为一个整体看待，谓语动词用单数形式，如果就其中一个个成员而言，谓语动词用复数形式。如： x0dx0aHis family is a happy one. x0dx0aThe whole family are watching TV. x0dx0ax0dx0a这类名词有：audience，class，club，company，crew，enemy，crowd，government，group，party，public，team等。 x0dx0ax0dx0a名词population一词的使用情况类似。“a group(crowd) of +复数名词”等短语之后的谓语动词也同样可用单数或复数，前者强调整体，后者强调各个部分。 x0dx0ax0dx0a某些集体名词，如people, police, cattle等，只当复数看待，谓语动词必须用复数。如： x0dx0aThe police are searching for the thief.

都可以吧

详尽分类，供参考。熟记，则这一考点纯粹送分给你。 英语集合名词用法说明 一、family类 family(家庭)，team(队)，class(班)，audience(听众)等，其用法特点为：若视为整体，表示单数意义；若考虑其个体成员，表示复数意义。比较： This class consists of 45 pupils. 这个班由45个学生组成。 This class are reading English now. 这个班的学生在读英语。 二、police类 cattle(牛，牲畜)，people(人)，police(警察)等，其用法特点为：只有单数形式, 但却表示复数意义，用作主语时谓语用复数；不与 a(n) 连用，但可与the连用(表示总括意义和特指)： People will laugh at you. 人们会笑你的。 The police are looking for him. 警察在找他。 Many cattle were killed for this. 就因为这个原因宰了不少牲畜。 【注】表示牲畜的头数，用单位词 head(单复数同形)：three head of cattle (3头牛)，twenty (head of ) cattle (20头牛)。 三、goods类 goods(货物), clothes(衣服)等，其用法特点是：只有复数形式(当然也表示复数意义，用作主语时谓语也用复数)，但通常不与数词连用： Such clothes are very expensive. 那样的衣服很贵。 To whom do these goods belong? 这些货是谁的？ 四、baggage类 baggage / luggage(行李), clothing(衣服), furniture(家具), machinery(机器), poetry(诗), scenery(风景), jewelry(珠宝), equipment(设备)等, 其用法特点为：是不可数名词，只用单数形式，不用不定冠词(当然更不能用数词)，没有复数形式： Our clothing protects us from [against] the cold. 我们的衣服可以御寒。 Have you checked all your baggage? 你所有行李都托运了吗? 【注】machinery, poetry, jewelry, scenery等相应的个体可数名词是 machine, poem, jewel, scene等。如：a poem / a piece of poetry(一首诗)，many machines / much machinery / many pieces of machinery(许多机器)。 五、hair的用法 hair(头发，毛发)指全部头发或毛发时，为集合名词(不可数)；指几根头发或毛发时，为个体名词(可数)： My hair has grown very long. 我的头发已长得很长了。 The police found two hairs there. 警察在那儿找到了两根头发。 六、mankind的用法 mankind(人类)是一个不可数的集合名词，不用复数形式，也不连用冠词： This is an invention that benefits mankind. 这是一项造福人类的发明。 Mankind has its own problems. 人类有自己的问题。 【注】mankind 表示“人(类)”时，虽不可数，但有时却可以表示复数意义，尤其是当其表语是复数时： Mankind are intelligent animals. 人是理智的动物。 七、fruit的用法 fruit(水果)作为集合名词，它通常是不可数的： He doesn"t eat much fruit. 他不大吃水果。 He is growing fruit in the country. 他在乡下种水果。 但是，当要表示种类时，它可视为可数名词，即a fruit 指一种水果，fruits 指多种水果。比较： Some fruits have thick skins. 有些水果皮很厚。 The potato is a vegetable, not a fruit. 土豆是一种蔬菜，而不是一种水果。 英语集合名词用法说明，嘉兴英语网收集整理 集合名词的主谓一致详解 集合名词，也叫集体名词，是英语中表示某一群人或某一类物的集合体。集合名词的难点，主要在于其作主语时的主谓一致问题。 汉语谓语动词因为没有单复数之分，所以我国学生在学习英语的集合名词时，常常为谓语动词的单复数问题大伤脑筋。笔者结合自己的教学经验，查阅了大量资料，总结出几条规律，以飨读者。 一、某些有生命的集合名词（表示人或者动物），本身有单／复数之分。其为单数时，若作主语，则谓语可用单数／复数。主要依据说话者强调的重点而定，若强调许多个体，谓语用复数；若强调一个整体，则用单数。其为复数时，不言而喻，谓语必须用复数。注意：此类名词单复数的意义并不完全相同，汉译时一定要当心。如army（一国之军队），armies（多国部队）；couple（一对夫妇），couples（多对夫妇）；等。常见的此类集合名词有：army，association，audience，band，board，cast，clan，class，clique，club，college，committee，company，community，congregation（教民，会众），council（市议会，理事会），couple，crew，crowd，enemy，family，firm，fleet，flock，folk，gang，government，group，jury，kingdom ，mob（暴民，暴徒），navy，opposition，orchestra，pack，pair，party，personnel，profession，population，staff，school，team，tribe（部落，部民）， union，university等。 1．The staff is／are hardworking． 2．The audience were moved to tears． 3．The lecturer draws large audiences． 4．The whole school was punished． 5．The class consists of 40 students． 6．This class are diligent． 7．The whole profession fight tooth andnail against it． 8．One tenth of the population of Egypt is／are Christian． 二、某些有生命的集合名词，本身无复数形式，作主语时，谓语通常用复数。常见的此类集合名词有：cattle，clergy，faculty（教职工）， herd，mankind，military，militia（民团、民兵）， people，police，poultry（家禽），swine（猪），vermin，womankind等。 9．There are three people waving at us． 10．The police haven"t arrived yet． 11．There are verm in here． 12．Some people are never satisfied． 13．The police／military have surrounded the building． 【注】people作民族讲时有复数形式。如： There are 56 peoples in China． 三、某些有生命的集合名词，本身无复数形式，其后可跟单／复数谓语动词。常见的此类集合名词有：aristocracy，bourgeoisie（资产阶级），church，elite（精英），gentry，intelligentsia（知识分子），laity（外行），livestock，majority，minority，proletariat（无产阶级），offspring，public，swarm，youth等。 14．The youth today is ／are better off than we used to be． 15．Her offspring is ／are like her in every respect． 16．The intelligentsia are hailing Ranson as their spokesman． 【注】youth除了作集合名词以外，还可以作可数和不可数名词。如： Youth is the tim e for action；age is the tim e for repose． Som e youths don"t like jazz． 四、某些表示国家、公司、机构、运动队等名称的专有名词也可当作集合名词使用，其后通常跟单／复数谓语动词。常见的此类集合名词有：Arsenal，BBC，Congress，Krem lin， Liverpool，Macm illan，Netherlands，Parliament，Pentagon，Vatican（梵蒂冈），White House等。 17．Arsenal is ／are playing well in this season． 18．Macmillan have ／has made a good profit this year． 19．The Seventy-First Congress was predominantly Republican． 20．The Netherlands has ／have a monarchy． 21．The BBC is showing the program on Saturday． 22．Liverpool is leading 1—0． 23．Liverpool are attacking again． 五、某些无生命的集合名词（表示物）作主语时，通常被看成不可数名词，谓语用单数。常见的此类集合名词有：aircraft，baggage， clothing，crockery，cutlery（刀剪，餐具），equipment，foliage（树叶），footwear，furniture，glassware，hardware，hosiery，jewellery，luggage，machinery，merchandize，poetry，pottery，silverware，stationery，underclothing，underwear，vegetation，weaponry等。 24．All the furniture in my room is new． 25．The merchandize has arrived undamaged． 26．There is not much vegetation in deserts． 27．The equipment for the factory hasbeen shipped． 28．Warm clothing is necessary in cold climates． 29．The machinery is driven by electrici-ty． 【过关演练】用括号内动词的适当形式填空。 1．The staff __________（have）gone for their lunch． 2．The crews of several ships __________（be）in port． 3．The present government，which hasn"t been in power long，__________（be）trying to control inflation．It isn"t having much success． 4．The government，who __________（be） looking for a quick victory，are calling for a general election soon． 5．The jury __________（be）divided in opinion． 6．The committee __________（have）held its first m eeting． 7．Almost every family in this village __________（have）a man in the army． 8．The whole family __________（be）in tears． 9．The poultry __________（be）being fed． 10．The Kremlin __________（have）refused to accept the plan proposed by America． 答案： 1．have 2．were 3．is 4．are 5．were 6．has 7．has 8．are 9．are ／were 10．has ／have参考资料：http://hi.baidu.com/melanie07a/blog/item/3cfae62e83b323341e30892a.html/cmtid/0a5ad1ed36f8862a63d09fe4

第一类 形式为单数，但意义可以用为单数或复数 这类集合名词包括family (家庭)，team (队)，class (班)，audience (听众)等，其用法特点为：若视为整体，表示单数意义；若考虑其个体成员，表示复数意义。比较并体会： His family is large. 他的家是个大家庭。 His family are all waiting for him. 他的一家人都在等他。 This class consists of 45 pupils. 这个班由45个学生组成。 This class are reading English now. 这个班的学生在读英语。 第二类 形式为单数，但意义永远为复数 这类集合名词包括cattle(牛，牲畜)，people(人)，police(警察)等，其用法特点为：只有单数形式, 但却表示复数意义，用作主语时谓语用复数；不与 a(n) 连用，但可与the连用(表示总括意义和特指)。如： People will laugh at you. 人们会笑你的。 The police are looking for him. 警察在找他。 Many cattle were killed for this. 就因为这个原因宰了不少牲畜。 注：表示牲畜的头数，用单位词 head(单复数同形)。如： five head of cattle 5头牛，fifty (head of ) cattle 50头牛 第三类 形式为复数，意义也为复数 这类集合名词包括goods(货物), clothes(衣服)等，其用法特点是：只有复数形式(当然也表示复数意义，用作主语时谓语也用复数)，但通常不与数词连用。如： Clothes dry slowly in the rainy season. 衣服在雨季不易干。 Such clothes are very expensive. 那样的衣服很贵。 If goods are not well made you should complain to the manufacturer. 如果货物质量不好，则理应向制造商提出控诉。

看做单数。

你好。1 在不强调人数时，我们通常用单数来表示，如：The audience WAS enthusiastic on the opening night of the play,当然这里也可以用WERE. 又如，There WAS only a small audience listening to his speech.2 在以下句子中，我们用谓语动词的复数形式：The audience were each give a booklet to read after the concert. (这里强调individuals,所以用WERE).又如，The audience were standing outside the gate, expressing their dissatisfaction.(这里等于all of them.)

这个要看of后面接的名词时可数还是不可数。

有.audiences audiences本是集合名词,单复数一致,但如果指指多批次的观众,则可以加s. …to make their audiences laugh.

audience单复数同形， audience是一个集合名词后面跟单复数皆可。 当表示整体的时候，就用单数。多数用be动词，后面有词来修饰。比如：The audience was quiet. 当表示动作的时候，由于人是个体，所以动词用复数。The audience are watching the game. 希望能帮到你，祝更上一层楼O(∩_∩)O有不明白的请继续追问，可以详谈嘛(*^__^*)