一元二次方程

1。有两个根则有 (2m-1)^2-4m^2>0 解出m<4分之12。x1^2-x2^2=0 则x1和x2相等或互为相反数。相等时，有，x1+x2=2x1=1-m x1乘x2=x1^2=m^2 从而解出m=3分之1或者是-1 互为相反数时，x1+x2=0=1-m x1乘x2=m^2 无解所以m=-1或者3分之1

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1.根据韦达定理，4（K-1)^2-4k^2+1>0才可以有两个不同实数根，得到k<1,但由于估计方程必须是有解的，所以K>=1,所以k=1.2.由1得0是解

解：∵x=-1是关于x的一元二次方程x2-mx-2=0的一个根，∴x=-1满足该方程，∴（-1）2-m×（-1）-2=0，即m-1=0，解得，m=1．设方程的另一根为t，则-t=-2，解得t=2．综上所述，m的值是1，方程的另一根是2．

1、证明：从已知得出：a=1 b=2-m c=m-5 所以：b^2-4*a*C=(2-m)^2-4*(m-5)=m^2+8*m+24=(m-4)^2+8 所以：b^2-4*a*c>0 , 所以方程有两个不相等的实数根2、解：因为：x1+x2=3m+2，由已知条件得：3m+2=2-m 所以求出 m=0 所以：已知方程变为：x^2+2x-5=0 所以：x^2+2x=5 ,所以2x^2+4x=10

你好，首先，（X1-2）(X1-X2)=0，可以得出 X1=X2，X1=2=X2，则带回原式 得到 2^2+（2k+1）*2+k^2-2=0。解方程得出4+4k+2+k^2-2=0，最后得出 k^2+4k+4=0 即是（k+2）^2=0,所以k=-2

（1）x1^2-x2^2=0(x1+x2)(x1-x2)=0x1+x2=0或x1-x2=0x1+x2=0x1+x2=-(2m-1)=0m=1/2此时方程是x^2+1/4=0没有实数解，则不成立x1-x2=0即方程有两个相同的解则判别式等于0(2m-1)^2-4m^2=0-4m+1=0m=1/4∴m=1/4

k=-1首先根据韦达定理，得到两根之和以及两根之积，带入后面的等式中，得到k的两个值；再有判别式得到k的取值范围，舍去k=5，保留k=-1

X^2=2(1-m)x-m^2整理得：X^2-2(1-m)x+m^2=0∵有两实数根X1,X2∴[-2(1-m)]^2-4*1*m^2≥0 4(1-m)^2-4m^2≥0 (1-m)^2-m^2≥0 -2m+1≥0 - 2m≥-1 由韦达定理得：Y=X1+X2=-2(1-m)/(-1)=2(1-m)=-2m+2当Y取得最小值时,-2m应取最小值∴Y最小=-2m+2=-1+2=1

1 ）△=[2(m+1)]^2-4*(m^2-1)=8m+8≥0 ∴m≥-12）由韦达定理，x1+x2=-2(m+1);x1x2=m^2-1 ∵(x1-x2)^2=16-x1x2 ∴(x1+x2)^2-3x1x2=16 ∴4m^2+8m+4-3m^2+3=16 ∴m^2+8m-9=0 ∴m=-9 or m=1 ∵m≥-1 ∴m=1

（1）由题意有△=[2（m+1）]2-4（m2-1）≥0，整理得8m+8≥0，解得m≥-1，∴实数m的取值范围是m≥-1；（2）由两根关系，得x1+x2=-（2m+1），x1?x2=m2-1，（x1-x2）2=16-x1x2（x1+x2）2-3x1x2-16=0，∴[-2（m+1）]2-3（m2-1）-16=0，∴m2+8m-9=0，解得m=-9或m=1∵m≥-1∴m=1．

1-b+c=04+2b+c=0u2234b=-1 c=-2

（1）∵方程x2+（m+2）x+2m-1=0（m为常数）有两个实数根为x1，x2，∴x1+x2=-m-2、x1?x2=2m-1，∴由x1+x2+x1?x2=-1，得-m-1+2m-1=-1，解得，m=1；（2）∵△=b2-4ac=（m+2）2-4（2m-1）=（m-2）2+4，则无论m取何值，总有△＞0，∴关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实数根．

第一问因为有两个的实根，所以Δ≥0，解得m≤0.5第二问，伟达定理y=x₁+x₂=2-2m，所以y最小为1

k＜3． 试题分析：根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．试题解析：∴a=1，b=-2 ，c=k，方程有两个不相等的实数根，∴△=b 2 -4ac=12-4k＞0，∴k＜3．故填：k＜3．考点: 根的判别式．

以一次函数y=2x为例，1.当函数向上平移一个单位，x不变，y变大了1，此时y=2x+1。2.当函数向下平移一个单位，x不变，y变小了1，此时y=2x-1。3.当函数向左平移一个单位，y不变，x变小了1，为了保持y值不变，x要增加1，此时y=2（x+1）。4.当函数向右平移一个单位，y不变，x变大了1，为了保持y值不变，x要减小1，此时y=2（x-1）。为什么1、2的推导步骤与3、4看起来不一样呢？其实是一样的：当函数向上平移一个单位，x不变，y变大了1，为了保持x不变，y要减小1，此时y-1=2x，把常数项1移到右边，此时y=2x+1。当函数向下平移一个单位，x不变，y变小了1，为了保持x不变，y要增加1，此时y+1=2x，把常数项1移到右边，此时y=2x-1。

树枝公式：2 An=A1×q^（n－1）。细胞公式：Sn=a1+a2+a3+.......+an。①当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q) 。②当q=1时， Sn=n×a1（q=1）。病毒公式：（n-1）平方。握手公式：2分之1n（n-1)。扩展资料：成立条件：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。②只含有一个未知数；③未知数项的最高次数是2。公元前300年左右，古希腊的欧几里得（Euclid）（约前330年～前275年）提出了用一种更抽象的几何方法求解二次方程。古希腊的丢番图（Diophantus）（246～330）在解一元二次方程的过程中，却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。参考资料来源：百度百科-一元二次方程

解：设总人数是X人因为每人都要和另外的X－1个人握手一次所以X人握手X*(X－1)次但任何两个人握手中要一次就行，所以实际握手次数是X*(X－1)/2次所以X*(X－1)/2＝66解得X1＝－11.X2＝12舍去负值得X＝12答：到会的人数是12人

嗯？解方程？

标准形式：ax+bx+c=0（a≠0）；求根公式：x=/2a。只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax+bx+c=0（a≠0）。其中ax叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。成立条件一元二次方程成立必须同时满足三个条件：①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。②只含有一个未知数。③未知数项的最高次数是2。

一元二次方程握手问题公式：假设有X个人，握手总次数=X(X-1)/2。公式解释:假设有X个人,则每个人都要和除自己之外的（X-1）个人握手,则总握手的次数是X（X-1）；但是在这X（X-1）次的握手中,每一次的握手都重复计算了, 所以要把它除以2, 则X个人握手的次数是 X(X-1)/2。握手问题是属于初中数学，这个问题的意义在于通过观察、猜想、类比和归纳，探究出了握手的规律，这种探究规律的方法在中考中也是热点，经常是中考的小压轴题，也就是选择题或填空题的最后一道。而且这种探究规律的方法也体现了数学中很重要的由特殊到一般的数学思想。握手公式有非常广泛的应用，比如到初二的数三角形的个数或是求多边形对角线的条数；到初三要讲的一元二次方程；乃至到高中的排列组合都会用到握手公式。

多算了人啊

思路一：n个人握手，每个人都要和除自己外的(n-1)个人握手，共握了(n-1)n次但每两个人才能握手一次，甲和乙握手，甲计算了一次，乙也计算了一次这样每次握手都计算了两次，实际只握手1/2(n-1)n次列方程1/2(n-1)n=x思路二第一个人要和(n-1)个人握手第二个人要和剩下的(n-2)个人握手第三个人要和剩下的(n-3)个人握手……第(n-1)个人要和剩下的1人握手握手次数1+2+3+……+(n-1)利用等差数列求和法1/2(n-1+1)(n-1)=1/2(n-1)n列方程1/2(n-1)n=x解方程x1=1/2+√(1+8x)/2x2=1/2-√(1+8x)/2（为负数，舍去）

一元二次方程握手问题公式为X/(X-1)/2。分析：假设有X个人，则每个人都要和除自己之外的（X-1）个人握手，则总握手的次数是X（X-1），但是在这X（X-1）次握手中，A和B握手与B和A握手实则算作一次，因此有一半的握手都重复计算了，所以要把之前的结果除以2，则X个人握手的次数是X/(X-1)/2。除此之外，与之类似的问题有赠送贺卡问题，即如果N个人之间相互送卡片，总共要送N（N-1）张卡片。推导过程与上述相似，但是彼此之间都需要送，所以最后不需要除以2。

设单价应定为X元,则 (X-40)[500-10(X-50)]=8000 (X-40)(100-X)=800 X^2-140X+4800=0 (X-60)(X-80)=0 X1=80,X2=60若定价为60元,则需要比定价80元售出更多的水产品,而利润相同,显然不合算,所以应定价80元/千克

解1）：单价定为每千克55元时，销售单价上涨了55-50=5（元），月销售量就减少5×10=50（千克），这时是销售量是500-50=450（千克），每千克的利润是55-40=15（元）月销售利润是15×450=6750（元）2）：当销售单价定为x元时，每千克利润是(x-40)元，销售单价的上涨了(x-50)元，月销售量减少了10(x-50)千克，这时的销售量是500-10(x-50)千克，月销售利润是y=(x-40)[500-10(x-50)]=(x-40)(500-10x+500)=(x-40)(-10x+1000)=-10x05+1400x-40000y=-10x05+1400x-400003）：月销售利润达到8000元，就是有方程-10x05+1400x-40000=8000,解方程：10x05-1400x+48000=0x05-140x+4800=0(x-60)(x-80)=0x-60=0,x-80=0x1=60,x2=80想销售成本不超过10000元，就是销售量不超过10000÷40=250(千克),就是减少的销售量应该超过500-250=250(千克),单价应该上涨超过250÷10=25(元)，这时的单价应该超过50+25=75(元)所以x=80(x=60不合题意，应舍去）因此，销售单价应定为每千克80元

设：销售价格为X，销售数量为Y （X-40）×Y=8000 Y=500-(X-50)÷2×20 X×Y<10000

一解：方程化为：x^4+3x^2-16x-60=x^4-3x^3+3x^3-9x^2 +12x^2-36x+20x-60=(x-3)(x^3+3x^2+12x+20)=(x-3)(x+2)(x^2+x+10)第三项大于0，所以方程的解为x1=3;x2=-2;二、因式分解（1）x^2-2x*(3a/2)+(3a/2)^2-(a/2)^2-ab-b^2=(x-3a/2)^2-(a/2-b)^2=(x-a-b)(x-2a+b)=0(2) (m-1)x^2+(3-m)x-2=(x-1)[(m-1)x+2]=0(3) (mx)^2-2mx*2+4-(x^2+m^2 -2mx)=(mx-2)^2-(x-m)^2=(mx+x-m-2)(mx-x+m-2)=0

2x （50-x）（30+2x）

解：①把xy看做整体，令原式=0，解出xy，再分解 ②③同①求根，再分解

自己算数吧，呵呵，我把式子给你列了1.解：设增长的百分数是x250+250*(1+x)+250(1+x)的平方=846.62.解：增长的百分数是x1*(1+x)的平方=44%3.解：设降价x元(40-x)[20+(x/4)*8]=12004解：设增长的百分数是x1000*(1-10%)*(1+x)的平方=12965.解：设降价x元(40-x)(20+2x)=1200

我没笔，不好说的。。。。

设应降价x元 （40-x）（20＋8×x／4）＝1200 自己解吧

一个长方形长宽之比是5:2面积40求长与宽?

设降价x每件盈利:40-x销售件数:20+2x故(40-x)(20+2x)=1200

求得方程y=-2x^2+60x+800由抛物线性质，在对称轴处取最大值，x=15.

解：设每件童装因应降价x元，依题意得（40-x）（20+2x）=1200，整理得x2-30x+200=0，解之得x1=10，x2=20，因要减少库存，故x=20．答：每件童装因应降价20元．

1.农机厂计划用两年时间把产量提高69%，如果每年比上一年提高的百分数相同，求这个百分数。2.临近毕业，某小组中每人给其他组员赠送一张照片，全组共送了90张照片，那么这小组共有多少人。3.有一个两位数，十位上的数比个位上的数的平方小4，个位上的数比十位上的数小2，求这个两位数。 1.设a是原来的总产量，x是增加的百分函数。得：（a*(1+x)^2-a）/a=0.69 x=0.32.设有n个人，则由题可知没人获得n-1个卡，所以n*（n-1）=90 得n=103.设十位上的数是x，则各位上的数是x-2。所以得x=(x-2)^2-4 得x=5所以这个两位数是53

（1）解：设每一件童装应该降价x元，则可多买(x/5)*10件衣服 1200=[(x/5)*10+20]*（40-x)解得：x1=20,x2=10(2)设定价为m元，（则盈利40时定价120）利润为PP=(m-80)[20+10*(120-m)/5] =-2m^2+420m-20800当m=105时，可以获得最大利润

直接设单价变化的数量1.设每件涨价x元，则销量为500-10x个,每件的利润为50-40+x元(50-40+x)(500-10x)=8000(10+x)(50-x)=800x^2-40x+300=0(x-10)(x-30)=0x=10或x=30x=10时，售价为：50+10=60元，应进货：500-10*10=400件x=30时，售价为：50+30=80元，应进货：500-10*30=200件2.设每件涨价x元，则销量为800-20x件，每件利润为60-50+x元(60-50+x)(800-20x)=12000(10+x)(40-x)=600x^2-30x+200=0(x-10)(x-20)=0x=10或x=20x=10时，售价为60+10=70元，进货：800-20*10=600件x=20时，售价为60+20=80元，进货：800-20*20=400件3.设每件降价x元，则销量为20+(x/4)*8，每件利润为40-x元(20+x/4*8)(40-x)=1200(20+2x)(40-x)=1200(10+x)(40-x)=600x^2-30x+200=0(x-10)(x-20)=0x=10或x=20

1. 1/3X/1

关于x的一元二次方程ax平方+bx+c=0同时满足以下三条时，两根同号：1. a不等于02. b平方大于或等于4ac3. a、c同号

由于x=2是一个根，故它满足方程。有4p-6+p^2-p=0, 即：p^2+3p-6=0解此二次方程，得其两根：p1=[-3+root(9+24)]/2=[-3+root(33)]/2p2=[-3-root(9+24)]/2=[-3-root(33)]/2其中root二次表示根号。

3x^2+27=03x^2-4x-4=0.（2y+1)^2+3(2y+1)+2=0.（x－2）^2－3＝02x^2－5x＋1＝0x(8＋x)＝16（2x－3）^2－2（2x－3）－3＝0x^2－17x＋66＝0（x+1）^2－2（x－1）^2=6x－54（x+2）^2=9(2x－1)^2本来就是抄的，我连开根都不会……x^2-6x+72-3x=9224x+x^2-63=14(x+4)^2+7x=301-7一,选择题:1,下列方程(1)-x2+2=0(2)2x2-3x=0(3)-3x2=0(3)-3x2=0(4)x2+=0(5)=5x(6)2x2-3=(x-3)(x2+1)中是一元二次方程的有()A,2个B,3个C,4个D,5个2,下列配方正确的是()x2+3x=(x+)2-(2)x2+2x+5=(x+1)2+4(3)x2-x+=(x-)2+(4)3x2+6x+1=3(x+1)2-2A,(1)(3)B,(2)(4)C,(1)(4)D,(2)(3)3,方程(x-1)2+(2x+1)2=9x的一次项系数是()A,2B,5C,-7D,74,方程x2-3x+2-m=0有实根,则m的取值范围是()A,m>-B,m≥C,m≥-D,m>5,方程(m+1)x2-(2m+2)x+3m-1=0有一个根为0,则m的值为()A,B,C,-D,-6,方程x2-mx+=0的大根与小根的差是()A,0B,1C,mD,m+17,如果关於x的方程3ax2-2(a-1)x+a=0有实数根,则a的取值范围是()A,a<且a≠0B,a≥C,a≤且a≠0D,a≤8,若方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根,则k的最小整数值是()A,1B,2C,3D,49,一元二次方程一根比另一根大8,且两根之和为6,那麽这个方程是()A,x2-6x-7=0B,x2-6x+7=0C,x2+6x-7=0D,x2+6x+7=010,方程3=2x-6变形为有理方程应是()A,4x2-33x+54=0B,4x2-27x+42=0C,4x2+21x+42=0D,4x2-33x+38=011,通过换元,把方程3x2+15x+2=2化为整式方程,下面的换元中,正确的是设()A,=yB,3x2+15x=yC,=yD,x2+5x+1=y12,去分母解关於x的方程产生增根,则m的值是()A,2B,1C,-1D,以上答案都不对13,下面四组数①②③④中,是方程组的解的是()A,①和④B,②和④C,①和②D,③和④14,已知方程组,有两个相等的实数解,则m的值为()A,1B,-1C,D,±1二,填空题:将方程x2+=x+x化成一般形式是____________,二次项系数是____________,一次项系数是____________,常数项是____________.在实数范围内分解因式:2x2-4x-3=____________.方程8x2-(k-1)x+k-7=0的一个根是0,则k=____________.以-和为根的一元二次方程是____________.制造某种药品,计划经过两年使成本降低到81%,则平均每年降低的百分率是________.若x1,x2是方程2x2-7x+4=0的两根,则x12+x22的值为____________.已知关於x的方程x2+ax+1-a2=0的两根之和等於3a-8,则两根之积等於___________.三,解方程.6(x2+)+5(x+)-38=0四,两个质数p,q是方程x2-99x+m=0的两个根,求的值已知:X平方+X+1=0则X平方+1/X平方(也就是X平方分之一)=?1.在长为10（根号5+1）cm的线段AB上有一点C,且有AC^2=AB*BC，则AC长?2.某旅馆有客房140间,当每间客房的日租金为60元时,每天都客满.如果一间客房的日租金增加5元,则客房每天的出租数会减少5间,当每间客房的日租金为多少元时,每日获得的总租金高达10000元?.3.在等腰三角形ABC中.BC=6.AB.AC的长是关于x的方程x^2-10x+m=0的两个整数根,求m4.用22㎝长的铁丝能不能折成一个32平方厘米的矩形？说明理由5.若a为有理数,试探求当b为何值时,关于x的一元二次方程x^2+3(a-1)x+(2a^2+a+b)=0的根为有理数?6.设关于y的一元二次方程3(m-2)y^2-2(m+1)y-m=0有正整数根，试探求满足条件的整数m

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程( quadratic equation of one variable )。 　　　一元二次方程有四个特点： 　　(1)含有一个未知数； 　　(2)且未知数次数最高次数是2； 　　(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程． 　　(4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足（a、b、c为常数，a≠0）编辑本段补充说明　　1、该部分的知识为初等数学知识，一般在初二就有学习。(但一般二次函数与反比例函数会涉及到一元二次方程的解法) 　　2、该部分是高考的热点。 　　3、方程的两根与方程中各数有如下关系： X1+X2= -b/a，X1·X2=c/a（也称韦达定理） 　　4、方程两根为x1，x2时，方程为：x^2-(x1+x2)X+x1x2=0 (根据韦达定理逆推而得) 　　5、b^2-4ac>0有2个不相等的实数根，b^2-4ac=0有两个相等的实数根，b^2-4ac<0无实数根。一般式　　ax^2+bx+c=0（a、b、c是实数，a≠0) 　　例如：x^2+2x+1=0配方式　　(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2 两根式　　a(x-x1)(x-x2)=0 　　一般解法1.因式分解法　　（可解部分一元二次方程） 　　因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。 　　如 　　1.解方程：x^2+2x+1=0 　　解：利用完全平方公式因式解得：（x+1﹚^2=0 　　解得：xu2081= xu2082=-1 　　2.解方程x（x+1）-3（x+1）=0 　　解：利用提公因式法解得：（x-3）（x+1）=0 　　即 x-3=0 或 x+1=0 　　∴ xu2081=3，xu2082=-1 　　3.解方程x^2-4=0 　　解：（x+2）（x-2）=0 　　x+2=0或x-2=0 　　∴ xu2081=-2，xu2082= 2 　　十字相乘法公式： 　　x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 　　例： 　　1. ab+b^2+a-b- 2 　　=ab+a+b^2-b-2 　　=a(b+1)+(b-2)(b+1) 　　=(b+1)(a+b-2)2.公式法　　（可解全部一元二次方程） 　　首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根 　　1.当Δ=b^2-4ac<0时 x无实数根（初中） 　　2.当Δ=b^2-4ac=0时 x有两个相同的实数根 即xu2081=xu2082 　　3.当Δ=b^2-4ac>0时 x有两个不相同的实数根 　　当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a 　　来求得方程的根3.配方法　　（可解全部一元二次方程） 　　如：解方程：x^2+2x－3=0 　　解：把常数项移项得：x^2+2x=3 　　等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4 　　因式分解得：（x+1)^2=4 　　解得：xu2081=-3,xu2082=1 　　用配方法解一元二次方程小口诀 　　二次系数化为一 　　常数要往右边移 　　一次系数一半方 　　两边加上最相当4.开方法　　（可解部分一元二次方程） 　　如：x^2-24=1 　　解：x^2=25 　　x=±5 　　∴xu2081=5 xu2082=-55.均值代换法　　（可解部分一元二次方程） 　　ax^2+bx+c=0 　　同时除以a，得到x^2+bx/a+c/a=0 　　设xu2081=-b/(2a)+m，xu2082=-b/(2a)-m (m≥0) 　　根据xu2081xu2082=c/a 　　求得m。 　　再求得xu2081、 xu2082。 　　如：x^2-70x+825=0 　　均值为35，设xu2081=35+m，xu2082=35-m (m≥0) 　　xu2081xu2082=825 　　所以m=20 　　所以xu2081=55， xu2082=15。 　　一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到） 　　一般式：ax^2+bx+c=0的两个根xu2081和xu2082的关系： 　　xu2081+xu2082= -b/a 　　xu2081xu2082=c/a如何选择最简单的解法　　1．看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考虑提公因式法，再考虑平方公式法，最后考虑十字相乘法） 　　2．看是否可以直接开方解 　　3．使用公式法求解 　　4．最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦）。 如果要参加竞赛，可按如下顺序： 　　1.因式分解 2.韦达定理 3.判别式 4.公式法 5.配方法 6.开平方 7.求根公式 8.表示法例题精讲　　1、开方法： 　　直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±√n 　　例1．解方程（1）(3x+1)^2=7 （2）9x^2-24x+16=11 　　分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)^2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 　　（1）解：(3x+1)^2=7 　　3x+1=±√7 　　x= ... 　　∴xu2081=...,xu2082= ... 　　（2）解： 9x^2-24x+16=11 　　(3x-4)^2=11 　　3x-4=±√11 　　x= ... 　　∴xu2081=...,xu2082= ... 　　2．配方法： 　　例1 用配方法解方程 3x^2-4x-2=0 　　解：将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2 　　将二次项系数化为1：x^2-4/3x=2/3 　　方程两边都加上一次项系数一半的平方：x^2-4/3x+( -2/3)^2= 2/3+(-2/3 )^2 　　配方：(x-2/3)^2=10/9 　　直接开平方得：x-2/3=±√(10)/3 　　∴xu2081= , xu2082= . 　　∴原方程的解为xu2081=,xu2082= . 　　3．公式法：把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式，然后把各项系数a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。 　　当Δ=b^2-4ac>0时，求根公式为x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a,x2=[-b-√(b^2-4ac)]/2a（两个不相等的实数根） 　　当Δ=b^2-4ac=0时，求根公式为x1=x2=-b/2a（两个相等的实数根） 　　当Δ=b^2-4ac<0时，求根公式为x1=[-b+√(4ac-b^2)i]/2a,x2=[-b-√(4ac-b^2)i]/2a 　　（两个虚数根）（初中理解为无实数根） 　　例3．用公式法解方程 2x^2-8x=-5 　　解：将方程化为一般形式：2x^2-8x+5=0 　　∴a=2, b=-8，c=5 　　b^2-4ac=(-8)^2-4×2×5=64-40=24>0 　　∴x= (4±√6)/2 　　∴原方程的解为xu2081=(4+√6)/2,xu2082=(4-√6)/2. 　　4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 　　例4．用因式分解法解下列方程： 　　(1) (x+3)(x-6)=-8 　　(2) 2x^2+3x=0 　　(3) 6x^2+5x-50=0 (选学） 　　(4)x^2-4x+4=0 （选学） 　　(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 　　x^2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) 　　(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) 　　∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) 　　∴xu2081=5,xu2082=-2是原方程的解。 　　(2)解：2x^2+3x=0 　　x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) 　　∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) 　　∴xu2081=0，xu2082=-3/2是原方程的解。 　　注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程通常有两个解。 　　(3)解：6x^2+5x-50=0 　　(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) 　　∴2x-5=0或3x+10=0 　　∴xu2081=5/2, xu2082=-10/3 是原方程的解。 　　(4)解：x^2-4x+4 =0 　　(x-2)(x-2 )=0 　　∴xu2081=2 ,xu2082=2是原方程的解。小结　　一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。 　　直接开平方法是最基本的方法。 　　公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解。 　　配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。课外拓展　　一元二次方程 　　一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二次的整式方程。 一般形式为ax^2+bx+c=0, (a≠0)。在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：已知一个数与它的倒数之和等于一个已给数，求出这个数，使 x1+ x2 =b,x1·x2=1,x^2-bx+1=0, 　　他们再做出解答 。可见巴比伦人已知道一元二次方程的求根公式。但他们当时并不接受 负数，所以负根是略而不提的。 　　埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax^2=b。 　　在公元前4、5世纪时，我国已掌握了一元二次方程的求根公式。 　　希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。 　　公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程x^2+px+q=0的一个求根公式。 　　在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a、b、c为正数，如ax^2=bx、ax^2=c、 ax^2+c=bx、ax^2+bx=c、ax^2=bx+c 等。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。 　　十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。 　　韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。 　　我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于 x^2+34x-71000=0的正根而解决的。我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。编辑本段判别方法　　一、教学内容分析 　　“一元二次方程的根的判别式”一节，在《华师大版》的新教材中是作为阅读材料的。从定理的推导到应用都比较简单。但是它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次三项式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，渗透数学的简洁美。 　　教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用 　　教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。 　　教学关键：对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。 　　二、学情分析 　　学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对 的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究 作用，它是前面知识的深化与总结。从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。所以可以通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。 　　三、教学目标 　　依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，教学目标是： 　　知根的情况，因此，我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号"△"编辑本段列一元二次方程解题的步骤　　(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； 一元二次方程(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； 　　(3)找出相等关系，并用它列出方程； 　　(4)解方程求出题中未知数的值； 　　(5)检验所求的答案是否符合题意，并做答．编辑本段经典例题精讲　　1．对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 　　2．解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法． 　　3．一元二次方程 (a≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题． 　　4．一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．编辑本段韦达定理　　韦达（Vieta"s ，Francois，seigneurdeLa Bigotiere）1540年出生于法国普瓦捷，1603年12月13日卒于巴黎。早年在普法捷学习法律，后任律师，1567年成为议会的议员。在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码，赢得很高声誉。法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。 　　他1540年生于法国的普瓦图。1603年12月13日卒于巴黎。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。 　　韦达定理实质上就是一元二次方程中的根与系数关系 　　韦达定理(Viete"s Theorem）的内容 　　一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中 　　设两个根为X1和X2 　　则X1+X2= -b/a 　　X1*X2=c/a 　　韦达定理的推广 　　韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0 　　它的根记作X1,X2…，Xn 　　我们有 　　∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n) 　　∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n) 　　… 　　ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n) 　　其中∑是求和，Π是求积。 　　如果一元二次方程在复数集中的根是，那么法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。 　　由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程 　　在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积： 　　其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。 　　韦达定理在方程论中有着广泛的应用。 　　韦达定理的证明 　　设x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解。 　　有：a(x-x1)(x-x2)=0 　　所以　ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2=0 　　通过对比系数可得： 　　-a(x1+x2)=b ax1x2=c 　　所以　x1+x2=-b/a x1x2=c/a 　　韦达定理推广的证明 　　设x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。 　　则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0 　　所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i　（在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理） 　　通过系数对比可得： 　　A（n-1）=-An(∑xi) 　　A（n-2）=An(∑xixj) 　　… 　　A0==(-1)^n*An*ΠXi 　　所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n) 　　∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n) 　　… 　　ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n) 　　其中∑是求和，Π是求积。编辑本段计算机解一元二次方程　　VB实现方法 　　"该代码仅可实现一般形式的求值，并以对话框形式显示。 　　dim a,b,c,x1,x2 　　"在这里添加a、b、c的赋值过程 　　"例如：a=text1.text 　　"b=text2.text 　　"c=text3.text 　　"以上代码为赋值 　　if a <> 0 and b <> 0 and c<> 0 then 　　if a*2 <> 0 and b^2-4*a*c<>0 then 　　x1=((0-b)+Sqr(b^2-4*a*c))/(2*a) 　　msgbox x1 　　x2=((0-b)-Sqr(b^2-4*a*c))/(2*a) 　　msgbox x2 　　else 　　msgbox("b^2-4*a*c和a不能为零") 　　end if 　　end if开放分类： 数学，方程，韦达定理 我来完善 “一元二次方程”相关词条： 二元二次方程二元一次方程一元三次方程三元一次方程一元一次方程一元四次方程统计初步绝对值二次根式相似图形分式二次函数二元一次方程组正比例函数换元法一元二次方程解法三次方程托勒密定理相交弦定理切线方程二元一次不等式直角三角形二元二次方程 二元一次方程 一元三次方程 三元一次方程 一元一次方程 一元四次方程 统计初步 二元二次方程组 绝对值 二次根式 相似图形 分式 二次函数 二元一次方程组 正比例函数 换元法 一元二次方程解法 三次方程 韦达定理 托勒密定理 相交弦定理 切线方程 二元一次不等式 直角三角形 一元二次方程定义补充说明一般式配方式两根式1.因式分解法2.公式法3.配方法4.开方法5.均值代换法如何选择最简单的解法例题精讲小结课外拓展判别方法列一元二次方程解题的步骤经典例题精讲韦达定理计算机解一元二次方程

一、1二、（1）三分之一（2)-1三、-1

m=5 或-5或 -1或 1-6=-2*3-6=2*-3-6=-1*6-6=1*-6两个根之和 =m

7、8、9、12

(1)x^2-(2k+1)x+k^2+k=0[x-(k+1)].(x-k) =0x= k+1 or k=>方程有两个不相等的实数根(2)AB=cAC =bBC=a=8△ABC是等腰三角形时k=8 or k+1=8k= 7 or 8

k＜ 且k≠0。 根据一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，知△=b 2 －4ac＞0，然后据此列出关于k的方程，解方程，结合一元二次方程的定义即可求 ∵ 有两个不相等的实数根， ∴△=1－4k＞0，且k≠0，解得，k＜ 且k≠0。

b平方-4ac小于0 无解啊

用定义法和性质法。一元二次方程指只含有一个未知数（一元）并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程。一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax_+bx+c=0（a≠0），其中ax_叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。公元前2000年左右，古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了，他们是这样描述的：已知一个数与它的倒数之和等于一个已知数，求出这个数。他们使用等式子，再做出解答。可见，古巴比伦人已知道一元二次方程的解法，但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。

1. m=0 时 方程为17x2+1=0 成立 m不为0时设m2-8m+17=0 则△=8*8-4*17= -4〈0 所以m2-8m+17 不为0 得证2.

先把方配出来，然后将多余的部分，就是除二次方外的部分移动到等号另外一边，然后开方，就可以得到两个数值，然后再根据题意.

2X+X^2+1=0是一个关于X的一元二次方程.

一般求根，或者求参数范围，不难的，这样的题目不难的，多做一点就好了呀，加油吧，希望你能考个好成绩。

1010

由于(X1-2)(X1-x2)=0所以x1=x2=2,带入x^2+(2k+1)x+k^2-2=0得：4+2（2k+1）+k^2-2=0k^2+4k+4=0(k+2)(k+2)=0k=-2

b平方减4ac等于m平方减4m加8恒大于零，所以方程有两个不相等实数根

就20分谁管你找啊

a^2+β^2=(a+β)^2-2aβ=(m-2)^2-2(m^2 + 3m+5)=-(m^2+10m+6)=-(m+5)^2+19<=19所以，最大值19，此时m=-5

(x-1)(x+2)

可以，只要能解出来但一般没有那么简单

A、是分式方程，故A错误；B、a=0时，不是一元二次方程，故B错误；C、不含二次项，故C错误；D、5x2=4是一元一二次方程，故D正确；故选：D．

这位两点应该是Y=0吧，不然不能求的，再仔细看下题

A、a不能为0，故此选项错误；B、是分式方程，选项错误；C、符合一元二次方程定义，正确；D、方程含有两个未知数，选项错误．故选：C．

1. b*b-4ac>0 X1不等于X2 所以 (M-1)的平方-4*(2*M的平方-M)>0 所以-7M的平方+2M+1>0 求出M即可2. X1的平方+X2的平方=(X1+X2)的平方-2*X1*X2 (X1+X2)的平方=(b/a)的平方=(M-1)的平方 X1*X2 =-c/a=2*M的平方-M X1的平方+X2的平方=2, 所以=(M-1)的平方-2*（2*M的平方-M）=2 求出M即可

A、是关于x的一元二次方程，故此选项正确；B、是分式方程，故此选项错误；C、当a≠0，b、c为常数时，是一元二次方程，故此选项错误；D、是一元一次方程，故此选项错误；故选：A．

A、符合一元二次方程的定义，正确；B、方程含有两个未知数，故错误；C、不是整式方程，故错误；D、化简后3x-2=0，未知数的最高次数是1，故错误，故选：A．

解：Δ=1+4K≥0，得：K≥-1/4。由题意得：X1^2+X1=K，X2^2+X2=K，［2+X1+X1^2］(3-2(X2+X2^2)=3∴(2+K)(3-2K)=3，2K^2+K-3=0，(2K+3)(K-1)=0，K=1或K=-3/2(舍去)，∴K=1。

由题意的 X+X2=-1 X1-X2=+-1 所以可求出X1X2=0 所以-b/A+C=-1 2C-A=0 即B=3C A=2C所以代入方程 X1=0 X2=-1 a：b：c=2：3：1 因为看错了二次项系数 所以-B/A=5 C/A=4 所以可求出B=-5/4C 由乙可知X1X2=+-12 所以可知C/A=+-12所以B=+-15A 所以方程应该是X^2+-15X+-12=0

ABBACBA

1、因式分解x^2-6x+8=0(x-2)(x-4)=0x=2 or x=42、先化简平方再求值x^2-4x-1=0(x-2)^2=5x=正负根号5+2等·····

一元二次方程普通式：ax^2+bx+ca是二次项系数，且要不等于0 b为一次项系数 c为常数项一元二次求根公式：x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a△=b^2-4ac 当△＞0时，方程有两个不相等实根当△=0时，方程有两个相等实根当△＜0方程无实根注意:无实根不等于无解

∵x1+x2=m,x1x2=2m-1,∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=m2-2(2m-1)=7;解可得m=-1或5;当m=5时,原方程即为x2-5x+9=0的△=-110,有两根,则有(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=13.答:(x1-x2)2的值为13.

解：-3xx-4x+4=0 bb-4ac=64x1=-2 x2=2/3

两式相减-x^2-x=0x=0 x=-1相同的根x=0代入t=0

x1+x2=-b/a拓展资料：数学，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。而在人类历史发展和社会生活中，数学也发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。资料参考：百度百科 一元二次方程