一元二次方程

解：由根与系数的关系知x1+x2=-b/a=m, x1x2=c=-2,由以上两式知，x2=2, m=x1+x2=1所以，m=1，x2=2，这样计算更方便，口算就可以了，运用根与系数的关系。

解：原方程化为x2-2(1-m)x+m2=0(1)∵方程有两个实根∴△≥0即4（1-m）2≥4m2解得m≤1/2(2)由根与系数关系得y=x1+x2=2(1-m)=-2m+2∴此一次函数中y随m增大而减小又由（1）得m≤1/2∴当m=1/2时y有最小值=-2×1/2+2=1

已知关于x的一元二次方程x的平方+mx+n=0的一个解是2，另一个解是正数根据m=x1+x2,n=x1*x2 (x+4)的平方-52=3x解出来，两个解

第一问;算b平方间4ac 得m小于等于0.25第二问：算x1-x2=0 以及x1+x2=0时M的取值。 x1+x2=-b/a 得M=0.5 (舍)或者 m=0.25综上所述，m=0.25

∵方程有实数根，∴△=b 2 -4ac=（-5） 2 -4×m=25-4m≥0，解得：m≤ 25 4 ．故答案为m≤ 25 4 ．

x1,x2是方程的解，所以带入方程得 x105-4×x1+k-3=0 (1) x205-4×x2+k-3=0 (2) ∵x1=3x2 ∴代入（1）得9x205-12×x2+k-3=0 (3) 由式（3）-式（2） 得8x205-8×x2=0 x2=1,x1=3 把x1=3代入方程得305-4×3+k-3=0 k=6

由根与系数的关系，得x1+x2=-k，因为x1x2=4k2-3，又x1+x2=x1x2，所以-k=4k2-3，即4k2+k-3=0，解得k=34或-1，因为△≥0时，所以k2-4（4k2-3）≥0，解得：?255≤k≤255，故k=-1舍去，∴k=34．故选C．

很简单的，把x1和x2带入原方程，然后把得到的x1那个方程中的x1换成x2得到的方程和先前的x2列个方程组，解出x2然后x1也出来了…懂？

你的题目里一元二次方程加减号没有诶。

？？？？？？？？

（k﹣1）x^2 +4x+1=0 △>04^2 -4(k-1)(1) >016-4k+4 >04k<20k<5ans :B

（X+2）2+2K—4=0 2k-4=0 K=2 这么简单

解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两实根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=-ba，x1 x2=ca，∴方程x2-5x+2=0中x1+x2=5，x1 x2=2，∴x1+x2-x1•x2=5-2=3．故答案为3．

aX2+bx+c=0根为x,yx+y=-b xy=ac因此 x2+y2=2 (x+y)2-2xy=2 [-(m+1)]2-2*4=2 (m+1)2=10 m=（正负根号10）-1

∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两实根为x1、x2,则两根与方程系数之间有如下关系:x1+x2=-ba,x1 x2=ca,∴方程x2-5x+2=0中x1+x2=5,x1 x2=2,∴x1+x2-x1u2022x2=5-2=3.故答案为3.

用韦达定理X1+X2=-b/a=4X1X2=c/a=k-3x1=3x2联立解之x1=3x2=1k=6

若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m，即x^2-5x+6-m=0有实数根X1，X2且X1≠X2，即判别式△=（-5）^2-4X(6-m)=25-24+4m=1+4m＞0即m＞-1/4所以②是正确的利用判别式公式求根，得X1=[-（-5）+根号（1+4m）]/2=[5+根号（1+4m）]/2X2=[-（-5）-根号（1+4m）]/2=[5-根号（1+4m）]/2则①是错误的 二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m其中m=(x-2)(x-3)代入得y-m=(x-x1)(x-x2) y-(x-2)(x-3)=(x-x1)(x-x2)与x轴有交点，即y=0所以0-（x-2）(x-3)=(x-x1)(x-x2) -x^2+5x-6=x^2-(x1+x2)x+x1x2

看下面图片

不相等的实数根表示B^2-4ac>0 即2^2-4*1*（-a)>0即a>-1

看来我得好好复习一下数学了。

由条件x1^2-x2^2=0,根据平方差公式，将左边分解，得(x1+x2)(x1-x2)=0则两个因式中必有一个为0，所以，有x1+x2=0, 或x1-x2=0若x1+x2=0，由“根与系数的关系”得：x1+x2=-b/a=[-(2k-1)]/1=-(2k-1).

∵（x1-2）（x1-x2）=0，∴x1-2=0或x1-x2=0．①如果x1-2=0，那么x1=2，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2-2=0，得4+2（2k+1）+k2-2=0，整理，得k2+4k+4=0，解得k=-2；②如果x1-x2=0，那么（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=[-（2k+1）]2-4（k2-2）=4k+9=0，解得k=-94．又∵△=（2k+1）2-4（k2-2）≥0．解得：k≥-94．所以k的值为-2或-94．故答案为：-2或-94．

这样

方程根据因式分解 得:x=2,x=k 因为三角形ABC是等腰三角形 所以k=1或者k=2 因为k=1时,三边为1,1,2 不符合三角形 两边之和大于第三边 所以 舍去 所以k=2 三边为2,2,1 周长5

由根与系数的关系（就是韦达定理）得 x1+x2 = 3，x1*x2 = -2 。（1）（式子不是很明了，请检查）（2）(x1-3)(x2-3) = x1*x2 - 3(x1+x2)+9 = -2-3*3+9 = -2 。（3）|x1-x2| = √(x1-x2)^2 = √[(x1+x2)^2-4x1*x2] = √(9+8) = √17 。（4）x2/x1+x1/x2 = (x1^2+x2^2) / (x1*x2) = [(x1+x2)^2-2x1*x2] / (x1*x2) = (9+4) / (-2) = -13/2 。

解；∵x 1 ，x 2 是关于x的一元二次方程x 2 +ax+2b=0的两个实数根，∴设函数f（x）=x 2 +ax+2b， ∵x 1 ∈（0，1），x 2 ∈（1，2）．∴ f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0 ，即 2b＞0 a+2b+1＜0 2a+2b+4＞0 ，作出不等式组对应的平面区域如图：设z= b-2 a-1 ，则z的几何意义是区域内的点P（a，b）到定点A（1，2）两点之间斜率的取值范围，由图象可知当P位于点B（-3，1）时，直线AB的斜率最小，此时k AB = 1-2 -3-1 = 1 4 ，可知当P位于点D（-1，0）时，直线AD的斜率最大，此时 k AD = 0-2 -1-1 =1 ，∴ 1 4 ＜z＜1 ，则 b-2 a-1 的取值范围是 ( 1 4 ，1) ．故答案为： ( 1 4 ，1) ．

由根与系数的关系可知，X1+X2=2K+3,X1*X2=K^2。X1/1+X2/2=1得到2X1+X2=2,进一步得到X2=2-2X1,把X2=2-2X1代入到X1+X2=2K+3中得到X1=-2K-2,再把X1=-2K-2代入到X2=2-2X1中得到X2=-4K.由X1*X2=K^2得到：X1*X2=(-2K-2)*(-4K)=K^2.整理之后解得 K=0或 K=-4/7.祝你学习进步！

原式为x~2+x+n-2=mx可以写为x~2+(1-m)x+(n-2)=0 x~2为x的平方因为x1＜0，X2-3X1＜0得出X1、X2都为负 由两实根都为负知道(n-2)大于0得n>2 也由此得(1-m)小于0得m>1 所以选A详细点要学会因式分解里的十字相乖法如果你是考试时不会做的话，你可以用假设法做这一题随便将(1-m)和(n-2)设成一个数，如1-m为-5 (n-2)为4 得x~2-5x+4=0 得X1为-1 X2为-4成立，那么选A

要求它的根有多少，就要求出Δ,Δ=m2+8 因为m2≥0 故：Δ=m2+8≥8>o所以：方程x2 -mx-2=0有两个不相等的实数根

根据韦达定理，x1*x2=n=1即x^2+mx+1=0方程有两根，则m^2-4>=0m>=2或<=-2请对比答案，这才是正确解法

关于这些内容，你去咨询一下数学老师，他会好好的教你的。

这是初三的知识吗

一元二次方程的复数求根公式是x=(-b±√(b^2-4ac))/2a一元二次方程必须同时满足三个条件：1、这是一个整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果是有分母；且未知数是在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程，是一个无理方程。2、有且只含有一个未知数；3、未知数项的最高次数为2。扩展资料一元二次方程解法：一、直接开平方法形如（x+a)^2=b，当b大于或等于0时，x+a=正负根号b，x=-a加减根号b；当b小于0时。方程无实数根。二、配方法1、二次项系数化为12、移项，左边为二次项和一次项，右边为常数项。3、配方，两边都加上一次项系数一半的平方，化成（x=a)^2=b的形式。4、利用直接开平方法求出方程的解。三、公式法现将方程整理成：ax^2+bx+c=0的一般形式。再将abc代入公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a，(b^2-4ac大于或等于0）即可。四、因式分解法如果一元二次方程ax^2+bx+c=0中等号左边的代数式容易分解，那么优先选用因式分解法。

一元二次方程的复数求根公式是x=(-b±√(b^2-4ac))/2a一元二次方程必须同时满足三个条件：1、这是一个整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果是有分母；且未知数是在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程，是一个无理方程。2、有且只含有一个未知数；3、未知数项的最高次数为2。扩展资料一元二次方程解法：一、直接开平方法形如（x+a)^2=b，当b大于或等于0时，x+a=正负根号b，x=-a加减根号b；当b小于0时。方程无实数根。二、配方法1、二次项系数化为12、移项，左边为二次项和一次项，右边为常数项。3、配方，两边都加上一次项系数一半的平方，化成（x=a)^2=b的形式。4、利用直接开平方法求出方程的解。三、公式法现将方程整理成：ax^2+bx+c=0的一般形式。再将abc代入公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a，(b^2-4ac大于或等于0）即可。四、因式分解法如果一元二次方程ax^2+bx+c=0中等号左边的代数式容易分解，那么优先选用因式分解法。

一元二次方程的复数求根公式是x=(-b±√(b^2-4ac))/2a一元二次方程必须同时满足三个条件：1、这是一个整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果是有分母；且未知数是在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程，是一个无理方程。2、有且只含有一个未知数；3、未知数项的最高次数为2。扩展资料一元二次方程解法：一、直接开平方法形如（x+a)^2=b，当b大于或等于0时，x+a=正负根号b，x=-a加减根号b；当b小于0时。方程无实数根。二、配方法1、二次项系数化为12、移项，左边为二次项和一次项，右边为常数项。3、配方，两边都加上一次项系数一半的平方，化成（x=a)^2=b的形式。4、利用直接开平方法求出方程的解。三、公式法现将方程整理成：ax^2+bx+c=0的一般形式。再将abc代入公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a，(b^2-4ac大于或等于0）即可。四、因式分解法如果一元二次方程ax^2+bx+c=0中等号左边的代数式容易分解，那么优先选用因式分解法。

一元二次方程，标准形式是ax^2+bx+c=0a不可以等于0，b为0时，当-4ac大于0，方程两个根为相反数。

A5：=IF(B3^2-4*B4*B2>0,"Δ>0,有两解",IF(B3^2-4*B4*B2=0,"Δ=0,有一解","Δ<0,无实数解"))B6：=IFERROR((-B3-SQRT(B3^2-4*B2*B4))/2,"")B7：=IFERROR((-B3+SQRT(B3^2-4*B2*B4))/2,"")

如图

1、在B2单元格输入表达式=0.00000046*B1^2+0.0024*B1+0.0388，X相当于B1单元格。2、在“数据”选项下的“模拟运算”中选择“单变量求解”。3、选择目标单元格为B2，输入已知的Y值（例如20），选择B1为可变单元格，按“确定”。4、即可弹出求解状态窗口，可以看到显示的目标值和当前解，点击确定。5、然后在表格中可以看到X值（即B1单元格）显示出求解的数值。

1、在B2单元格输入表达式=0.00000046*B1^2+0.0024*B1+0.03882、在“数据”选项下的“模拟运算”中，选择“单变量求解”；3、选择目标单元格为B2，输入Y值，选择B1为可变单元格，按“确定”；4、单元格求解状态返回一个解，按确定，保存符合要求的X值。5、单变量求解被广泛用于一元多次方程，可快速得到计算结果。

1、在B2单元格输入表达式=0.00000046*B1^2+0.0024*B1+0.03882、在“数据”选项下的“模拟运算”中，选择“单变量求解”；3、选择目标单元格为B2，输入Y值，选择B1为可变单元格，按“确定”；4、单元格求解状态返回一个解，按确定，保存符合要求的X值。5、单变量求解被广泛用于一元多次方程，可快速得到计算结果。

一阶导数的几何意义是斜率二阶导数没有特别的几何意义,通常可以根据二阶导数的符号变化,判断函数曲线的凹凸性及拐点,或用来判断所求驻点是否是极值点并且取得极大还是极小.例中,y""(0)=-1<=0表示在x=0附近一阶导函数递减,因此一阶导数从0左到0右由正变负,说明f(x)在0左单增,0右单减,因此f（0）极大.同样y""(1)=1>=0说明f(0)极小,理由同上类似.

设2004年的营业额为a2005年的营业额比2004年上升10%,为a(1+10%)2006年比2005年又上升10%,为a(1+10%)²而2007年和2008年连续两年平均每年比上一年降低10%,2008年营业额为a(1+10%)²(1-10%)²2008年与比2004年的营业额的比为(1+10%)²(1-10%)²=(1+0.1)²(1-0.1)²=(1-0.01)²=0.99²=0.98012008年与比2004年的营业额的比1-0.9801= 0.01992008年比2004年的营业额下降的百分率1.99%

赵爽（3世纪初），我国三国时期著名的数学家。他的主要贡献是深入研究了《周脾算经》，为该书写了序言，并作了详细注释。赵爽的数学思想和方法对中国古代数学体系的形成和发展有一定的影响。赵爽在对《周脾算经》做注释时，曾写了一篇很有价值的“勾股圆方图”的注文，他在讨论方程ax_+bx+c=0时，用到了求根公式，与现在的求根公式基本上是一致的。赵爽的成果比印度数学家婆罗门芨多在公元7世纪提出的二次方程求根公式早许多年。在欧洲，一千多年之后才由法国数学家获得类似的结果。

　　想要了解一元二次方程用因式分解法怎么解的小伙伴，赶紧来瞧瞧吧！下面由我为你精心准备了“因式分解法解一元二次方程口诀是什么”，本文仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的资讯！ 　　因式分解法解一元二次方程口诀是什么 　　一移，二分，三转化，四再求根容易得。步骤：将方程右边化为0；将方程左边分解为两个一次式的积；令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 　　拓展阅读：因式分解法的四种方法是什么 　　因式分解法的四种方法有提公因式法、分组分解法、待定系数法、十字分解法。 　　1、如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 　　2、分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式。 　　3、待定系数法是初中数学的一个重要方法。用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。 　　4、十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式（x+a）（x+b）=x²+（a+b）x+ab的逆运算来进行因式分解。 　　分解因式要注意哪几点 　　因式分解是中学代数课程的一种重要的恒等变形，不仅在后面的分式通分、约分时有着直接的应用，而且在解方程以及将三角函数式变形时，也经常用到它，一开始学习因式分解，往往遇到一些困难，一是拿到题目不知道用什么方法去分解；二是不知道分解到哪一步才算是结束.要想学好因式分解，必须掌握和注意以下几点：一、了解选择因式分解方法的思路。首先，对任何一个多项式，都应当考虑提取公因式；然后，以多项式的项数为线索、考虑分解方法.如果多项式是二项、三项的采用公式法，或化为x2+（a+b）x+ab的形式，四项以上的采用分组分解法。二、熟悉常用的基本变形方法。因式分解，题型多样，方法多种，技巧性强.对于一些不能直接运用四种基本方法进行分解的多项式，就需要经过适当变形，创造条件进行分解。

ax^2+bx+c=0=>x^2+a/bx+c/a= 0=>(x+a/2b)^2-a^2/4b^2+c/a=0

换一个角度来处理一元二次方程整数解问题问题：一元二次方程（其中a、b、c至少有一个含有参数），求当参数为何整数时，关于x的方程有整数解。此类问题，常规思路是：求出满足△=b2－4ac是一个完全平方数时参数的值，再代入求根公式，使x满足整数；或者利用韦达定理来解。这种解法有时带来很麻烦的计算，甚至有时陷入困境。本文试图从另一个角度来谈这一类问题的解法。其思想方法是转化为不定方程的整数解，这样能体现出抓住问题的本质，使其更快、更简便、更准确地解决问题。下面将介绍几种常用的处理这一类问题的具体方法。一、变量分离法——将其中的一个变量与其它的变量分离开来，再确定整数解。例1 已知方程x2＋px－p＋30=0，当p为何整数时方程两根均为正整数，且求出两根。分析：由x2＋px－p＋30=0得，p(x－1)=－x2－30，显然x≠1，则，因p为整数，x为正整数，所以x=2，32。此时，p= －34，故当p=－34时，方程有两个正整数解，且x1=2，x2=32。例2 当m是什么整数时，关于x的方程的两根都是整数。分析：由得，m(x+1)=－x2+x－1，显然x≠－1，则，因m，x均为整数，所以x=－4，－2，0，2；代入求得相应的m=7，－1。故当m=7或m=－1时，方程的两根均为整数。例3 求出所有这样的正整数a，使得关于x的二次方程至少有一个整数根。（第三届“祖冲之杯”初中数学竞赛题）分析：由得a(x+2)2=2x+12，显然x≠－2，则a=，因为a为正整数，所以≥1，于是解得－4≤x≤2且x≠－2。这样x的可能值为－4，―3，―1，0，1，2；代入检验得a=1,3,6,10。故当a=1,3,6,10时，方程至少有一个整数根。二、分解因式法——通过分解因式，将方程转化两个不定方程或几个不定方程组来解。例4 已知关于x的方程a2x2－(3a2－8a)x+2a2－13a+15=0（其中a是非负整数）至少有一个整数根，那末a= （1998年全国初中数学竞赛题）分析：由原方程化为(ax－2a+3)(ax－a+5)=0，于是原方程转化为两个不定方程ax－2a+3=0或者ax－a+5=0，显然a≠0，则 ① 或 ②因a是非负整数，所以由①得a=1,3；由②得a=1,5。故a=1,3,5时，关于x的方程至少有一个整数解。例5 当k为何整数时，关于x的二次方程x2－3kx+2k2－6=0两根都为整数。分析：由x2－3kx+2k2－6=0得(x-2k)(x-k)=6，因x、k为整数，所以原方程化为 x－2k=±2 或 x－2k=±3 或 x－2k=±6 或 x－2k=±1 x－k=±3 x－k=±2 x－k=±1 x－k=±6且x－2k与x－k同号，故得八个不定方程组，解得k=－1，1，－5，5。三、配方估值法——将原方程通过配方，使一边成为一个平方式或几个平方式的和，另一边是一个简单的代数式或数，然后通过估测等方法，缩小某些变量的取值范围，再确定其整数解。 例6 设m为整数，且4<m<40，方程x2－2(2m－3)x+4m2－14m+8=0有两个整数根，求m的值及方程的根。分析：由原方程得x2－2(2m－3)x＋(2m－3)2＝2m＋1，即(x－2m+3)2=2m＋1，因4<m<40，且m、x为整数，所以9<2m+1<81且2m+1是一个完全平方数，同时又是一个奇数，从而得2m+1=25，49，故m=12，24，将m的值代入即可得方程的根。例7 已知m为正整数，求当m取什么值时，关于x的方程3x2－4mx＋3m2－35=0至少有一个整数解。分析：由原方程得9x2－12mx＋9m2=105，则(3x－2m)2+5m2=105，因(3x－2m)2≥0 ，所以5m2≤105，即m2≤21，由m为正整数得m可能取值为1，2，3，4；分别代入检验知，当m=2，3时，无整数解，当m=1，4时方程至少有一个整数解。例8 a、b、c取怎样的整数满足不等式a2+b2+c2+3<ab+3b+2c(1972年匈牙利奥林匹克数学竞赛题)分析：若存在整数a、b、c，使得a2+b2+c2+3<ab+3b+2c成立，则必存在一个正整数m，使得a2+b2+c2+3+m=ab+3b+2c成立，于是将它转化成求一组整数解，且m≥1，将上式配方得=1－m≥0，又由m≥1知m=1，于是得＝0，从而得a=1，b=2，c=1。四、综合分析法——有时我们将上面几种方法同时运用，才能求得其整数解。例9 已知方程，求当a取什么整数时，关于x的方程至少有一个整数解。分析：由原方程配方得，令x+a=p，ax=t，则上式化为3p2-7p-9t=0 ① 且p2≥4t ②由原方程易知，若a=0，则方程有一个整数解0，若a≠0，则，由①得，因a、x为整数，所以p为正整数，t为整数，且3p+2与9互质，从而得p必能被9整除，即p=9，18，27……，又由①、②得4t－p2=，解得，故p=9，代入①得t=20，解得a=4时，x=5或a=5时，x=4。因此当a=0，4，5时，方程有整数解。 以上我们看到关于一元二次方程的整数解问题，实质就是求不定方程的整数解问题中的一类情况。当然有些特殊情形，利用常规思路也是容易求解的，但一般情形转化为不定方程整数解来处理显得自然、简洁，这是本人的一些看法。

家居物品摆放合理、方便取用这里主要说跟小孩相关的：玩具、衣物、书的摆放。我自己不喜欢乱，而且听说分类是个很重要的能力，所以小刘的玩具一直是分类收纳的。经过很多次收纳方式迭代，我从中收获了一些实实在在的好处。1、小刘的乐高很多，全部集中放在一个大抽屉里，每次小刘玩乐高，就是胡乱拿几个出来，随便拼一拼，也搭不出个样子。直到有一天，我受不了乱糟糟一堆，在抽屉里放上定制的亚克力隔板，将乐高按照形状进行了分类。分好类的第二天，小刘就用方块砖搭出了一个小飞机。我猜想：孩子还小时，大脑处理不了那么多信息，所以当一大堆形状各异的乐高放在一起时，他就懵了，无从下手。分好类，一格里只有一种（比如都是方块砖），小脑袋就更好构思了。再长大一些，分类也是很有好处的。且不谈分类能带来秩序感，也不讲分类本身就是数学启蒙，只说：分好类，小孩自己找东西方便，就不会总是：“妈妈，我的零件找不到了，你来帮我一下。”，就这一点，我认为花在规划收纳上的精力就值了。2、小孩总是很容易被光电类的玩具吸引，但这类玩具本身没什么营养，我还是希望他能多玩玩积木、拼拼图、读读书。但硬跟孩子犟也不好，这时收纳就能帮忙：把最希望他玩的玩具放在他最容易拿到的地方，不喜欢的玩具放远一点。很多时候，小孩选择玩具是无意识的，看到哪个就是哪个，玩一会又去拖另一个。所以，别放太多玩具在外面，不然：太乱影响注意力；增加收玩具难度，导致收玩具规则执行受阻。一段时间换一拨玩具，保持新鲜感，还能通过更换玩具类型促进不同能力发展。现在小刘的玩耍区设在书架帮边，书架下两层放着我希望他看的书，当他坐在地毯上没事干时，一转头，刚好就看到书，一伸手，刚好拿到我选的书。离玩耍区最近的，除了书架，就是乐高收纳盒，其他玩具要特意从地毯上站起来穿上鞋走过去才能拿到。当然，这是因为小刘本来就爱搭乐高，对于孩子很不喜欢的玩具，估计很近也不会拿吧。3、良好的收纳助力自理能力的发展。说说穿衣服的例子。小刘学会穿衣服后，我就希望他能“起床-选衣服-穿衣服”，一条龙自理，别老喊我。一开始他的衣服在衣柜里，柜子把手高他够不着，所以我买了抽屉给他用。 一个抽屉放所有的上衣，一个抽屉放所有的裤子。但有时他会搭配出短袖?棉裤的组合，不让他穿还不干。后来就进行了整理：只放当季的衣服；任意上衣和裤子都能基本搭上，以免穿的太难看（偶尔也会出现黄衣配黄裤的组合，随他去。）；衣物只放一层，以免拿乱。这之后，所有跟衣服相关的事就交给他自己了，不再为这些劳神。 再到后来，我又简化了他的操作步骤：出门的上衣和裤子放在一个抽屉里，睡衣和内衣放在另一个抽屉。每个抽屉里，前排是上衣，后排是裤子。无论是早上出门，还是晚上洗澡后，都只需打开一次抽屉，前后排各拿一件，就完成了。 尽量不给他生活自理带来麻烦，也不给家长添麻烦。除了穿衣服，还有很多例子：设置一个矮矮的淋浴头支架，这样调好水温孩子就能自己洗澡；马桶旁边挂上小坐便垫，用马桶脚凳，方便孩子自助大小便，大人也不用另外收拾了；电饭煲放在孩子够的着的地方，方便自己盛饭。等等。

　　公元前2000年左右，古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。他们是这样描述的：已知一个数与它的倒数之和等于一个已给数，求出这个数。他们使x1+x2=b，x1x2=1，x2-bx+1=0，再做出解答。可见，古巴比伦人已知道一元二次方程的解法，但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。　　古埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax2=b。　　大约公元前480年，中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。《九章算术》勾股章中的第二十题，是通过求相当于x2+34x-71000=0的正根而解决的。中国数学家还在方程的研究中应用了内插法。　　公元前300年左右，古希腊的欧几里得（Euclid）（约前330年～前275年）提出了用一种更抽象的几何方法求解二次方程。　　古希腊的丢番图（Diophantus）（246～330）在解一元二次方程的过程中，却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。　　公元628年，印度的婆罗摩笈多（Brahmagupta）（约598～约660）出版了《婆罗摩修正体系》，得到了一元二次方程x2+px+q=0的一个求根公式。　　公元820年，阿拉伯的阿尔·花剌子模（al-Khwārizmi） （780～810）出版了《代数学》。书中讨论到方程的解法，除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出了一元二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。他把方程的未知数叫做“根”，后被译成拉丁文radix。其中涉及到六种不同的形式，令a、b、c为正数，如ax2=bx、ax2=cx、ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c等。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。　　法国的韦达（1540～1603）除推出一元方程在复数范围内恒有解外，还给出了根与系数的关系。

不是

(x/25)2 (x/35)

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基 础，应引起同学们的重视。 一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程。 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解 法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。 二、方法、例题精讲： 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程，其解为x=m± . 例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以 此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= （2）解： 9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2 方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2= 当b2-4ac≥0时，x+ =± ∴x=(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0 解：将常数项移到方程右边 3x2-4x=2 将二次项系数化为1：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2 配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= . 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项 系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。 例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5 b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x= = = ∴原方程的解为x1=,x2= . 4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让 两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个 根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学） (1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 (2)解：2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=0，x2=-是原方程的解。 注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。 (3)解：6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解。 (4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。 小结： 一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般 形式，同时应使二次项系数化为正数。 直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式 法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程 是否有解。 配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法 解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方 法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。 添加评论

一元是只有一个未知数二次是未知数的最高次项方程是含有未知数的等式

一元二次方程的解法 一、知识要点： 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基 础，应引起同学们的重视。 一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程。 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解 法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。 二、方法、例题精讲： 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程，其解为x=m± . 例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以 此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= （2）解： 9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2 方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2= 当b2-4ac≥0时，x+ =± ∴x=(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0 解：将常数项移到方程右边 3x2-4x=2 将二次项系数化为1：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2 配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= . 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项 系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。 例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5 b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x= = = ∴原方程的解为x1=,x2= . 4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让 两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个 根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学） (1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 (2)解：2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=0，x2=-是原方程的解。 注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。 (3)解：6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解。 (4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。 小结： 一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般 形式，同时应使二次项系数化为正数。 直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式 法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程 是否有解。 配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法 解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方 法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。 例5．用适当的方法解下列方程。(选学） （1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0 （3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差 公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。 （2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。 （3）化成一般形式后利用公式法解。 （4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。 （1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0 [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0 (5x-5)(-x+13)=0 5x-5=0或-x+13=0 ∴x1=1,x2=13 （2）解： x2+(2- )x+ -3=0 [x-(-3)](x-1)=0 x-(-3)=0或x-1=0 ∴x1=-3，x2=1 （3）解：x2-2 x=- x2-2 x+ =0 (先化成一般形式) △=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0 ∴x= ∴x1=,x2= （4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0 2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0 ∴x1= ,x2= 例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学） 分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我 们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方 法） 解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0 即 (5x-5)(2x-3)=0 ∴5(x-1)(2x-3)=0 (x-1)(2x-3)=0 ∴x-1=0或2x-3=0 ∴x1=1,x2=是原方程的解。 例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0 解：x2+px+q=0可变形为 x2+px=-q (常数项移到方程右边) x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方) (x+)2= (配方) 当p2-4q≥0时，≥0（必须对p2-4q进行分类讨论） ∴x=- ±= ∴x1= ,x2= 当p2-4q<0时，<0此时原方程无实根。 说明：本题是含有字母系数的方程，题目中对p, q没有附加条件，因此在解题过程中应随时注意对字母 取值的要求，必要时进行分类讨论。 练习： （一）用适当的方法解下列方程： 1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3 3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0 5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0 （二）解下列关于x的方程 1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0 练习参考答案： （一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2 3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2= 6.解：（把2x+3看作一个整体，将方程左边分解因式） [(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0 即 (2x+9)(2x+2)=0 ∴2x+9=0或2x+2=0 ∴x1=-,x2=-1是原方程的解。 （二）1．解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a· a=0 [x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0 ∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0 ∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是 原方程的解。 原方程的解。 测试 选择题 1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ） A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5 2．多项式a2+4a-10的值等于11，则a的值为（ ）。 A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7 3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数，一次项系数和常数项之和等于零，那么方程必有一个 根是（ ）。 A、0 B、1 C、-1 D、±1 4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为（ ）。 A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0 C、b=0且c=0 D、c=0 5． 方程x2-3x=10的两个根是（ ）。 A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5 6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。 A、 B、 C、 D、无实根 7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）。 A、x= B、x=- C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=- 8． 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）。 A、(x-)2= B、(x- )2=- C、(x- )2= D、以上答案都不对 9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解该方程配方后的方程是（ ）。 A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1 答案与解析 答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D 解析： 1．分析：移项得：(x-5)2=0，则x1=x2=5, 注意：方程两边不要轻易除以一个整式，另外一元二次方程有实数根，一定是两个。 2．分析：依题意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7. 3．分析：依题意：有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时， ax2+bx+c=a+b+c，意味着当x=1 时，方程成立，则必有根为x=1。 4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零， 则ax2+bx+c必存在因式x，则有且仅有c=0时，存在公因式x，所以 c=0. 另外，还可以将x=0代入，得c=0，更简单！ 5．分析：原方程变为 x2-3x-10=0, 则(x-5)(x+2)=0 x-5=0 或x+2=0 x1=5, x2=-2. 6．分析：Δ=9-4×3=-3<0，则原方程无实根。 7．分析：2x2=0.15 x2= x=± 注意根式的化简，并注意直接开平方时，不要丢根。 8．分析：两边乘以3得：x2-3x-12=0，然后按照一次项系数配方，x2-3x+(-)2=12+(- )2， 整理为：(x-)2= 方程可以利用等式性质变形，并且 x2-bx配方时，配方项为一次项系数-b的一半的平方。 9．分析：x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1 则(x-1)2=m+1. 中考解析 考题评析 1．（甘肃省）方程的根是（ ） （A） （B） （C） 或 （D） 或 评析：因一元二次方程有两个根，所以用排除法，排除A、B选项，再用验证法在C、D选项中选出正确 选项。也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以。选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元 二次方程是两个根，所以是错误的，而选项D中x=－1，不能使方程左右相等，所以也是错误的。正确选项为 C。 另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式，使得方程丢根，这种错误要避免。 2．（吉林省）一元二次方程的根是__________。 评析：思路，根据方程的特点运用因式分解法，或公式法求解即可。 3．（辽宁省）方程的根为（ ） （A）0 （B）–1 （C）0，–1 （D）0，1 评析：思路：因方程为一元二次方程，所以有两个实根，用排除法和验证法可选出正确选项为C，而A、 B两选项只有一个根。D选项一个数不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。 4．（河南省）已知x的二次方程的一个根是–2，那么k=__________。 评析：k=4.将x=-2代入到原方程中去，构造成关于k的一元二次方程，然后求解。 5．（西安市）用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为（ ） （A）x=3+2 （B）x=3-2 （C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2 评析：用解方程的方法直接求解即可，也可不计算，利用一元二次方程有解，则必有两解及8的平方 根，即可选出答案。 课外拓展 一元二次方程 一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二 次的整式方程。 一般形式为 ax2+bx+c=0, (a≠0) 在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它 的倒数之和等于 一个已给数，即求出这样的x与，使 x=1, x+ =b, x2-bx+1=0, 他们做出( )2；再做出 ，然后得出解答：+ 及 - 。可见巴比伦人已知道一元二次 方程的求根公式。但他们当时并不接受 负数，所以负根是略而不提的。 埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax2=b。 在公元前4、5世纪时，我国已掌握了一元二次方程的求根公式。 希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中 之一。 公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一个求根公 式。 在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种 不同的形式，令 a、b、c为正数，如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。把二次方程分成 不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一 次 给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的 数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。 韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。 我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于 x2+34x-71000=0的正根而解决的。我国数学 家还在方程的研究中应用了内插法。

用消元法，包括加减法和代入法！加减法是指两个方程相减或相加，去掉一个未知数，再由求出的数算出另一个未知数。代入法使用的较普遍但比较麻烦，是用一个方程求出其中一个未知数的解析式，再代入另一个里面，求出两个未知数！

一元二次方程顶点坐标：[-b/2a，(4ac-b²)/4a]。顶点坐标是用来表示二次函数抛物线顶点的位置的参考指标，顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0，k为常数）。一元二次方程的应用增长率问题；行程问题；经济问题；工程问题。一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的多项式方程，一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)。列方程解应用题的基本步骤：1、审：审题。2、找：找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系。3、设：设元，包括设直接未知数或间接未知数。4、表：用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量。5、列：列方程。6、解：解方程。7、检验：注意根的准确性及是否符合实际意义。

Ax²+Bx+C=0x1+x2=-B/Ax1*x2=C/A

先将原方程等号右端的自由项看成 f(x)=x^k · Pm(x) · e^λx 方程①1、对应题主的情况一，Qm(x)=b0原方程 y"+y"-2y=2e^x原方程对应的齐次特征方程 r^2+r-2=0，齐次特征根 r1=1 r2=-2然后看到原方程等号右端为 2e^x，将 2e^x 与 x^k·Pm(x)·e^λx 比较，很明显可以看出λ=1λ=1=r1，而λ≠r2，可以看到λ为单特征根因为只与其中的一个r1相等所以k=1，因为单特征根所以k取1。还记得回答顶部的方程①吗？方程①变成了 f(x)=x^1 · Pm(x) · e^1x =x · e^x · Pm(x)发现m还不知道，再将 x·e^x·Pm(x) 与 2e^x 比较，很明显可以看出Pm(x)=2，所以设Qm(x)=b0，常数对应常数嘛因为 f(x)=x·e^x·Pm(x) 中的x是根据k取得，跟Pm(x)无关e^x是根据λ取得，跟Pm(x)也无关。所以 Pm(x) 只可能与 2e^x 的常数2有关。既然Pm(x)只与常数有关，那就设Qm(x)为一个常数b0所以 y*=x^k · Pm(x) · e^λx最后设为 y*=b0 · x · e^x2、对应题主的情况二，Qm(x)=b0x+b1同理原方程 y"-3y"+2y=x·e^2xr1=1，r2=2比较e^2x与e^λx，所以λ=2λ=2=r2，所以λ为单特征根，所以k=1此时原方程等号右端还有一个 x ，就是留下来对比Pm(x)的所以 Qm(x) 设为 b0x+b1 形式所以最后y*=x^k · Qm(x) · e^λx = x · (b0x+b1) · e^2x即y*= x · (b0x+b1) · e^2x3、对应题主的情况三，Qm(x)=b0x^2+b1x+b2原方程 2y"+5y"=5x^2-2x-1r1=0r2=-5/2对比λ=0=r1，所以k取1，而Pm(x)要去对应5x^2-2x-1，所以Qm(x)设为b0x^2+b1x+b2所以最后y*=x^k · Qm(x) · e^0 = x · (b0x^2+b1x+b2) = b0x^3+b1x^2+b2x即y* = b0x^3+b1x^2+b2x

△小于0，求根公式没有变化，只是根号里面是个负数，开方出来就是虚数。一元二次方程的求根公式在方程的系数为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax+bx+c=0（a≠0）。其中ax叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式。②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边。③方程两边同时加上一次项系数一半的平方。④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数。⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。

一元二次方程的求根公式为：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a一元二次方程的标准形式为：ax²+bx+c=0（a≠0）只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）。其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。扩展资料：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：1、是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。2、只含有一个未知数。3、未知数项的最高次数是2。

x=(-b±√(b²-4ac))/2a。 设一个一元二次方程为：ax^2+bx+c=0,其中a不为0，因为要满足此方程为一元二次方程所以a不能等于0。求根公式为：x=(-b±√(b²-4ac))/2a 。扩展资料：一元二次方程有四种解法： 1、直接开平方法。2、配方法。3、公式法。4、因式分解法。在一元二次方程ax^2+bx+c=0中，△=b²-4ac。1、当△＝0时,x=-b/2a ,有两个相同的根。2、当△＞0时,x=(-b±√(b²-4ac))/2a ,有两个不相同的根。3、当△＜0时,x=(-b±i√(b²-4ac))/2a ,有两个虚根。参考资料：百度百科-一元二次方程

>>>ax2 + bx + c = 0(2是指2次方)呵呵,难为一楼了,不过好像错了啊?是b的平方减4ac吧?那好像是求得虚根.楼主这么懒啊?求x不就行了.三四年没用了不过道还记得,拿笔我背了:x=2a分之-b加减根号下b的平方减4ac

一元二次方程ax²+bx+c=0两个根=(-b±√b²-4ac)/2a

ax²+bx+c=0的两根x=[-b±√(b²-4ac)]/2a望采纳

一元二次方程求根公式：1、当Δ=b^2-4ac≥0时,x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a2、当Δ=b^2-4ac＜0时,x={-b±[(4ac-b^2)^(1/2)]i}/2a只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。它的标准形式为:ax+bx+c=0（a≠0）其中ax叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。一元二次方程求解注意：一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，特征：等式左边加一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数;c叫做常数项。

有三种：因式分解法配方法公式法：x=[-b±根号下(b²-4ac)]/(2a)

一元二次方程求根公式： 当Δ=b^2-4ac≥0时，x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a 当Δ=b^2-4ac＜0时，x={-b±[(4ac-b^2)^(1/2)]i}/2a(i是虚数单位)。非实复数α是实系数n次方程f(x)=0的根，则其共轭复数α*也是方程f(x)=0的根，且α与α*的重数相同，则称α与α*是该方程的一对共轭复（虚）根。共轭复根经常出现于一元二次方程中，若用公式法解得根的判别式小于零，则该方程的根为一对共轭复根。性质一n次单位根的模为1，即|εk|=1性质二两个n次单位根εj与εk 的乘积还是一个n次单位根，且εjεk =εj+k推论1：εj-1=ε-j推论2：εkm=εmk推论3：若k除以n的余数为r，则εk=εr注：它说明εk等价于r=0

例题：x²+4x+8=0计算过程如下：x²+4x+8=0(x+2)²=-4x+2=±2ix=±2i-2那么这里可以通过上面的整个解方程的过程运算，得到一元二次方程的复数根。

设一个二元一次方程为：ax^2+bx+c=0,其中a不为0，因为要满足此方程为二元一次方程所以a不能等于0.求根公式为：x1=（-b+（b^2-4ac)^1/2）/2a ,x2=（-b-（b^2-4ac)^1/2）/2a 扩展资料韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。 由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。 参考资料百度百科-韦达定理

对 进行计算，求出方程的根。求解步骤：①把方程化成一般形式  ，确定a，b，c的值（注意符号）；②求出判别式  的值，判断根的情况；③在  （注：此处△读“德尔塔”）的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算，求出方程的根。一元二次方程的求根公式在方程的系数为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。一元二次方程中的判别式: 应该理解为“如果存在的话，两个自乘后为的数当中任何一个”。在某些数域中，有些数值没有平方根。

x=(-b±✔b^2-4ac)/2a

ax^2十bX+c=0(a≠0)的根是，当b^2一4ac≥0时x=(一b±√(b^2一4ac))/2a

一元二次方程求根公式： 当Δ=b^2-4ac≥0时,x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a 当Δ=b^2-4ac＜0时,x={-b±[(4ac-b^2)^(1/2)]i}/2a 只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 它的标准形式为:ax²+bx+c=0（a≠0） 一元二次方程有4种解法，即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。 公式法可以解任何一元二次方程。 因式分解法，也就是十字相乘法，必须要把所有的项移到等号左边，并且等号左边能够分解因式，使等号右边化为0。 配方法比较简单：首先将二次项系数a化为1，然后把常数项移到等号的右边，最后在等号两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方，左边配成完全平方式，再开方就得解了。 除此之外，还有图像解法和计算机法。 图像解法利用二次函数和根域问题粗略求解。

一元二次方程求根公式：1、当Δ=b^2-4ac≥0时,x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a2、当Δ=b^2-4ac＜0时,x={-b±[(4ac-b^2)^(1/2)]i}/2a只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。它的标准形式为:ax+bx+c=0（a≠0）其中ax叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。一元二次方程求解注意：一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，特征：等式左边加一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数;c叫做常数项。

Δ=b^2-4ac≥0时，x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a

一元二次方程的解法有如下几种: 第一种:运用因式分解的方法,而因式分解的方法有:(1)十字相乘法(又包括二次项系数为1的和二次项系数不为1,但又不是0的),(2)公式法:(包括完全平方公式,平方差公式,).（3）提取公因式 例1:X^2-4X+3=0 本题运用因式分解法中的十字相乘法,原方程分解为(X-3)(X-1)=0 ,可得出X=3或1。 例2：X^2-8X+16=0 本题运用因式分解法中的完全平方公式，原方程分解为（X-4）^2=0 可以得出X1=4 X2=4（注意：碰到此类问题，一定要写X1=X2=某个数，不能只写X=某个数，因为一元二次方程一定有两个根，两个根可以相同，也可以不同） 例3：X^2-9=0 本题运用因式分解法中的平方差公式，原方程分解为（X-3）（X+3）=0 ，可以得出X1=3，X2=-3。 例4：X^2-5X=0 本题运用因式分解法中的提取公因式法来解，原方程分解为X（X-5）=0 ，可以得出X1=0 ，X2=5 第二种方法是配方法，比较复杂，下面举一个例来说明怎样用配方法来解一元二次方程： X^2+2X-3=0 第一步：先在X^2+2X后加一项常数项，使之能成为一项完全平方式，那么根据题目，我们可以得知应该加一个1这样就变成了（X+1)^2。 第二步：原式是X^2+2X-3，而(X+1)^2=X^2+2X+1，两个葵花子对比之后发现要在常数项后面减去4，才会等于原式，所以最后用配方法后得到的式子为(X+1)^2-4=0,最后可解方程。 还有一种方法就是开平方法,例如:X^2=121,那么X1=11,X2=-11。 最后如果用了上面所有的方法都无法解方程，那就只能像楼上所说的用求根公式了。 定理就是韦达定理，还有根的判别式，韦达定理就是一元二方程ax^2+bx+c=0(a不等于0)二根之和就是-b/a,两根之积就是c/a 举例：X^2-4X+3=0 两根之和就是-(-4/1)=4，两根之积就是3/1=3,（你可以自己解一下，看看是否正确）。 因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让 两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个 根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学） (1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 (2)解：2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=0，x2=-是原方程的解。 注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。 (3)解：6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解。 (4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 �6�12 ，∴此题可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。 小结： 一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般 形式，同时应使二次项系数化为正数。 直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式 法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程 是否有解。 配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法 解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。

x=[-b±✔(b²-4ac)]/(2a)

aX^2十bx+c=0(a≠0)的求根公式为当b^2一4ac≥0时X=(一b士√(b^2一4ac))/2a

vfdgxnbcf