一元二次方程怎么解

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程( quadratic equation of one variable )。 　　　一元二次方程有四个特点： 　　(1)含有一个未知数； 　　(2)且未知数次数最高次数是2； 　　(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程． 　　(4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足（a、b、c为常数，a≠0）

编辑本段补充说明

　　1、该部分的知识为初等数学知识，一般在初二就有学习。(但一般二次函数与反比例函数会涉及到一元二次方程的解法) 　　2、该部分是高考的热点。 　　3、方程的两根与方程中各数有如下关系： X1+X2= -b/a，X1·X2=c/a（也称韦达定理） 　　4、方程两根为x1，x2时，方程为：x^2-(x1+x2)X+x1x2=0 (根据韦达定理逆推而得) 　　5、b^2-4ac>0有2个不相等的实数根，b^2-4ac=0有两个相等的实数根，b^2-4ac<0无实数根。

一般式

　　ax^2+bx+c=0（a、b、c是实数，a≠0) 　　例如：x^2+2x+1=0

配方式

　　(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2

两根式

　　a(x-x1)(x-x2)=0 　　一般解法

1.因式分解法

　　（可解部分一元二次方程） 　　因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。 　　如 　　1.解方程：x^2+2x+1=0 　　解：利用完全平方公式因式解得：（x+1﹚^2=0 　　解得：xu2081= xu2082=-1 　　2.解方程x（x+1）-3（x+1）=0 　　解：利用提公因式法解得：（x-3）（x+1）=0 　　即 x-3=0 或 x+1=0 　　∴ xu2081=3，xu2082=-1 　　3.解方程x^2-4=0 　　解：（x+2）（x-2）=0 　　x+2=0或x-2=0 　　∴ xu2081=-2，xu2082= 2 　　十字相乘法公式： 　　x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 　　例： 　　1. ab+b^2+a-b- 2 　　=ab+a+b^2-b-2 　　=a(b+1)+(b-2)(b+1) 　　=(b+1)(a+b-2)

2.公式法

　　（可解全部一元二次方程） 　　首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根 　　1.当Δ=b^2-4ac<0时 x无实数根（初中） 　　2.当Δ=b^2-4ac=0时 x有两个相同的实数根 即xu2081=xu2082 　　3.当Δ=b^2-4ac>0时 x有两个不相同的实数根 　　当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a 　　来求得方程的根

3.配方法

　　（可解全部一元二次方程） 　　如：解方程：x^2+2x－3=0 　　解：把常数项移项得：x^2+2x=3 　　等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4 　　因式分解得：（x+1)^2=4 　　解得：xu2081=-3,xu2082=1 　　用配方法解一元二次方程小口诀 　　二次系数化为一 　　常数要往右边移 　　一次系数一半方 　　两边加上最相当

4.开方法

　　（可解部分一元二次方程） 　　如：x^2-24=1 　　解：x^2=25 　　x=±5 　　∴xu2081=5 xu2082=-5

5.均值代换法

　　（可解部分一元二次方程） 　　ax^2+bx+c=0 　　同时除以a，得到x^2+bx/a+c/a=0 　　设xu2081=-b/(2a)+m，xu2082=-b/(2a)-m (m≥0) 　　根据xu2081xu2082=c/a 　　求得m。 　　再求得xu2081、 xu2082。 　　如：x^2-70x+825=0 　　均值为35，设xu2081=35+m，xu2082=35-m (m≥0) 　　xu2081xu2082=825 　　所以m=20 　　所以xu2081=55， xu2082=15。 　　一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到） 　　一般式：ax^2+bx+c=0的两个根xu2081和xu2082的关系： 　　xu2081+xu2082= -b/a 　　xu2081xu2082=c/a

如何选择最简单的解法

　　1．看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考虑提公因式法，再考虑平方公式法，最后考虑十字相乘法） 　　2．看是否可以直接开方解 　　3．使用公式法求解 　　4．最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦）。 如果要参加竞赛，可按如下顺序： 　　1.因式分解 2.韦达定理 3.判别式 4.公式法 5.配方法 6.开平方 7.求根公式 8.表示法

例题精讲

　　1、开方法： 　　直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±√n 　　例1．解方程（1）(3x+1)^2=7 （2）9x^2-24x+16=11 　　分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)^2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 　　（1）解：(3x+1)^2=7 　　3x+1=±√7 　　x= ... 　　∴xu2081=...,xu2082= ... 　　（2）解： 9x^2-24x+16=11 　　(3x-4)^2=11 　　3x-4=±√11 　　x= ... 　　∴xu2081=...,xu2082= ... 　　2．配方法： 　　例1 用配方法解方程 3x^2-4x-2=0 　　解：将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2 　　将二次项系数化为1：x^2-4/3x=2/3 　　方程两边都加上一次项系数一半的平方：x^2-4/3x+( -2/3)^2= 2/3+(-2/3 )^2 　　配方：(x-2/3)^2=10/9 　　直接开平方得：x-2/3=±√(10)/3 　　∴xu2081= , xu2082= . 　　∴原方程的解为xu2081=,xu2082= . 　　3．公式法：把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式，然后把各项系数a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。 　　当Δ=b^2-4ac>0时，求根公式为x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a,x2=[-b-√(b^2-4ac)]/2a（两个不相等的实数根） 　　当Δ=b^2-4ac=0时，求根公式为x1=x2=-b/2a（两个相等的实数根） 　　当Δ=b^2-4ac<0时，求根公式为x1=[-b+√(4ac-b^2)i]/2a,x2=[-b-√(4ac-b^2)i]/2a 　　（两个虚数根）（初中理解为无实数根） 　　例3．用公式法解方程 2x^2-8x=-5 　　解：将方程化为一般形式：2x^2-8x+5=0 　　∴a=2, b=-8，c=5 　　b^2-4ac=(-8)^2-4×2×5=64-40=24>0 　　∴x= (4±√6)/2 　　∴原方程的解为xu2081=(4+√6)/2,xu2082=(4-√6)/2. 　　4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 　　例4．用因式分解法解下列方程： 　　(1) (x+3)(x-6)=-8 　　(2) 2x^2+3x=0 　　(3) 6x^2+5x-50=0 (选学） 　　(4)x^2-4x+4=0 （选学） 　　(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 　　x^2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) 　　(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) 　　∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) 　　∴xu2081=5,xu2082=-2是原方程的解。 　　(2)解：2x^2+3x=0 　　x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) 　　∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) 　　∴xu2081=0，xu2082=-3/2是原方程的解。 　　注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程通常有两个解。 　　(3)解：6x^2+5x-50=0 　　(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) 　　∴2x-5=0或3x+10=0 　　∴xu2081=5/2, xu2082=-10/3 是原方程的解。 　　(4)解：x^2-4x+4 =0 　　(x-2)(x-2 )=0 　　∴xu2081=2 ,xu2082=2是原方程的解。

小结

　　一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。 　　直接开平方法是最基本的方法。 　　公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解。 　　配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。

课外拓展

　　一元二次方程 　　一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二次的整式方程。 一般形式为ax^2+bx+c=0, (a≠0)。在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：已知一个数与它的倒数之和等于一个已给数，求出这个数，使 x1+ x2 =b,x1·x2=1,x^2-bx+1=0, 　　他们再做出解答 。可见巴比伦人已知道一元二次方程的求根公式。但他们当时并不接受 负数，所以负根是略而不提的。 　　埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax^2=b。 　　在公元前4、5世纪时，我国已掌握了一元二次方程的求根公式。 　　希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。 　　公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程x^2+px+q=0的一个求根公式。 　　在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a、b、c为正数，如ax^2=bx、ax^2=c、 ax^2+c=bx、ax^2+bx=c、ax^2=bx+c 等。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。 　　十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。 　　韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。 　　我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于 x^2+34x-71000=0的正根而解决的。我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。

编辑本段判别方法

　　一、教学内容分析 　　“一元二次方程的根的判别式”一节，在《华师大版》的新教材中是作为阅读材料的。从定理的推导到应用都比较简单。但是它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次三项式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，渗透数学的简洁美。 　　教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用 　　教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。 　　教学关键：对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。 　　二、学情分析 　　学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对 的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究 作用，它是前面知识的深化与总结。从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。所以可以通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。 　　三、教学目标 　　依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，教学目标是： 　　知根的情况，因此，我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号"△"

编辑本段列一元二次方程解题的步骤

　　(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； 一元二次方程

(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； 　　(3)找出相等关系，并用它列出方程； 　　(4)解方程求出题中未知数的值； 　　(5)检验所求的答案是否符合题意，并做答．

编辑本段经典例题精讲

　　1．对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 　　2．解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法． 　　3．一元二次方程 (a≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题． 　　4．一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．

编辑本段韦达定理

　　韦达（Vieta"s ，Francois，seigneurdeLa Bigotiere）1540年出生于法国普瓦捷，1603年12月13日卒于巴黎。早年在普法捷学习法律，后任律师，1567年成为议会的议员。在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码，赢得很高声誉。法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。 　　他1540年生于法国的普瓦图。1603年12月13日卒于巴黎。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。 　　韦达定理实质上就是一元二次方程中的根与系数关系 　　韦达定理(Viete"s Theorem）的内容 　　一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中 　　设两个根为X1和X2 　　则X1+X2= -b/a 　　X1*X2=c/a 　　韦达定理的推广 　　韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0 　　它的根记作X1,X2…，Xn 　　我们有 　　∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n) 　　∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n) 　　… 　　ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n) 　　其中∑是求和，Π是求积。 　　如果一元二次方程在复数集中的根是，那么法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。 　　由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程 　　在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积： 　　其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。 　　韦达定理在方程论中有着广泛的应用。 　　韦达定理的证明 　　设x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解。 　　有：a(x-x1)(x-x2)=0 　　所以　ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2=0 　　通过对比系数可得： 　　-a(x1+x2)=b ax1x2=c 　　所以　x1+x2=-b/a x1x2=c/a 　　韦达定理推广的证明 　　设x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。 　　则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0 　　所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i　（在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理） 　　通过系数对比可得： 　　A（n-1）=-An(∑xi) 　　A（n-2）=An(∑xixj) 　　… 　　A0==(-1)^n*An*ΠXi 　　所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n) 　　∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n) 　　… 　　ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n) 　　其中∑是求和，Π是求积。

编辑本段计算机解一元二次方程

　　VB实现方法 　　"该代码仅可实现一般形式的求值，并以对话框形式显示。 　　dim a,b,c,x1,x2 　　"在这里添加a、b、c的赋值过程 　　"例如：a=text1.text 　　"b=text2.text 　　"c=text3.text 　　"以上代码为赋值 　　if a <> 0 and b <> 0 and c<> 0 then 　　if a*2 <> 0 and b^2-4*a*c<>0 then 　　x1=((0-b)+Sqr(b^2-4*a*c))/(2*a) 　　msgbox x1 　　x2=((0-b)-Sqr(b^2-4*a*c))/(2*a) 　　msgbox x2 　　else 　　msgbox("b^2-4*a*c和a不能为零") 　　end if 　　end if

开放分类：

数学，方程，韦达定理

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一元二次方程定义补充说明一般式配方式两根式1.因式分解法2.公式法3.配方法4.开方法5.均值代换法如何选择最简单的解法例题精讲小结课外拓展判别方法列一元二次方程解题的步骤经典例题精讲韦达定理计算机解一元二次方程