一元二次方程

1)x^2-9x+8=0 答案：x1=8 x2=1 (2)x^2+6x-27=0 答案：x1=3 x2=-9 (3)x^2-2x-80=0 答案：x1=-8 x2=10 (4)x^2+10x-200=0 答案：x1=-20 x2=10 (5)x^2-20x+96=0 答案：x1=12 x2=8 (6)x^2+23x+76=0 答案：x1=-19 x2=-4 (7)x^2-25x+154=0 答案：x1=14 x2=11 (8)x^2-12x-108=0 答案：x1=-6 x2=18 (9)x^2+4x-252=0 答案：x1=14 x2=-18 (10)x^2-11x-102=0 答案：x1=17 x2=-6 (11)x^2+15x-54=0 答案：x1=-18 x2=3 (12)x^2+11x+18=0 答案：x1=-2 x2=-9 (13)x^2-9x+20=0 答案：x1=4 x2=5 (14)x^2+19x+90=0 答案：x1=-10 x2=-9 (15)x^2-25x+156=0 答案：x1=13 x2=12 (16)x^2-22x+57=0 答案：x1=3 x2=19 (17)x^2-5x-176=0 答案：x1=16 x2=-11 (18)x^2-26x+133=0 答案：x1=7 x2=19 (19)x^2+10x-11=0 答案：x1=-11 x2=1 (20)x^2-3x-304=0 答案：x1=-16 x2=19 (21)x^2+13x-140=0 答案：x1=7 x2=-20 (22)x^2+13x-48=0 答案：x1=3 x2=-16 (23)x^2+5x-176=0 答案：x1=-16 x2=11 (24)x^2+28x+171=0 答案：x1=-9 x2=-19 (25)x^2+14x+45=0 答案：x1=-9 x2=-5 (26)x^2-9x-136=0 答案：x1=-8 x2=17 (27)x^2-15x-76=0 答案：x1=19 x2=-4 (28)x^2+23x+126=0 答案：x1=-9 x2=-14 (29)x^2+9x-70=0 答案：x1=-14 x2=5 (30)x^2-1x-56=0 答案：x1=8 x2=-7la82203008,所在团队：学习宝典 为你解答，祝你学习进步! 如果你认可我的回答， 请及时采纳，（点击我的答案上面的【满意答案】图标） 手机用户，请在客户端右上角评价点“满意”即可你的采纳， 是我前进的动力! 你的采纳也会给你带去财富值的。如有不明白， 可以追问，直到完成弄懂此题!如还有新的问题， 请另外向我求助，（但不要在这里追问）答题不易，敬请谅解……

定义方程：将一元二次方程表示为标准形式 ax^2 + bx + c = 0。判断a的正负：如果a大于0，则抛物线开口向上，最小值存在；如果a小于0，则抛物线开口向下，最大值存在。计算顶点坐标：抛物线的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。其中，f(x)是给定的一元二次函数。-b/2a 是 x 坐标，通过将二次项系数 b 除以二次项系数 a 的两倍得到；f(-b/2a) 是 y 坐标，将 x 坐标代入一元二次函数中计算得到。判断最小值或最大值：如果 a 大于 0，则顶点是抛物线的最小值；如果 a 小于 0，则顶点是抛物线的最大值。需要注意的是，求解一元二次方程的最小值或最大值时，首先要确保方程的二次项系数 a 不等于零。如果 a 等于零，那么方程就变为一次函数，没有最小值或最大值。希望这个回答对您有所帮助！如有任何其他问题，请随时提问。

这道题目要运用根与系数的关系，答案仅供参考解：∵甲看错了a，但是b和c都是对的 ∴可以求出b和c的关系 将X=2 X=4代入， 4a+2b+c=0 16a+4b+c=0 解之得，4b=-3c（不需要在算了，下面直接带入比较简便） 又∵乙看错了一次项系数的符号 ∴两根之积=c/a=-1×4=-4 ∴a=-1/4c ∴（2b+3c）/a=（-3/2c+3c）/（-1/4c）=-6

已知实数a、b、c、R、P满足条件PR＞1，Pc+2b+Ra=0.求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实根.证明 △=（2b）2-4ac.①若一元二次方程有实根，必须证△≥0.由已知条件有2b=-（Pc+Ra），代入①，得△ =（Pc+Ra）2-4ac=（Pc）2+2PcRa+（Ra）2-4ac=（Pc-Ra）2+4ac（PR-1）.∵（Pc-Ra）2≥0，又PR＞1，a≠0，（1）当ac≥0时，有△≥0；（2）当ac＜0时，有△=（2b）2-4ac＞0.（1）、（2）证明了△≥0，故方程ax2+2bx+c=0必有实数根.

△=4-4a*(-5)＞0所以a>-1/5分类讨论:当a＞0时有，f(0)＞0，且f(1)＞0对称轴在(0，1)但f(0)=-5<0不合题意当a＜0时有，f(0)＜0，且f(1)＜0对称轴在(0，1)所以f(0)=-5，f(1)=a-3<0，0<-2/2a<1解得：a<-1

一组解，m=n=0

解：（1）∵4a+2b+c=0，∴a，b，c至少有一个为正，∵a＞b＞c，∴a＞0，①当a＞0，c＞0时候，则b＞0，所以4a+2b+c＞0，与4a+2b+c=0矛盾，不合题意；②当a＞0，c＜0时候，所以4a+2b+c可能等于0，∴a＞0，c＜0；故答案为：=，＞，＜．（2）由题意可知：x1x2=2x2=ca，解得：另一根x2=c2a；（4分）（3）答：当x=m+5时，代数式ax2+bx+c的值是正数．理由如下：设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），则由题意可知，它经过A(c2a，0)，B（2，0）点．∵a＞0，c＜0，∴抛物线y=ax2+bx+c开口向上，且c2a＜0＜2，即点A在点B左侧．（5分）设点M的坐标为M（m，am2+bm+c），点N的坐标为N（m+5，y）．∵代数式am2+bm+c的值小于0，∴点M在抛物线y=ax2+bx+c上，且点M的纵坐标为负数．∴点M在x轴下方的抛物线上．（如图）∴xA＜xM＜xB，即c2a＜m＜2．∴c2a+5＜m+5＜7，即c2a+5＜xN＜7．以下判断c2a+5与xB的大小关系：∵4a+2b+c=0，a＞b，a＞0，∴(c2a+5)?xB＝(c2a+5)?2＝6a+c2a＝6a?(4a+2b)2a＝a?ba＞0．∴c2a+5＞xB．∴xN＞c2a+5＞xB．（6分）∵B，N两点都在抛物线的对称轴的右侧，y随x的增大而增大，∴yN＞yB，即y＞0．∴当x=m+5时，代数式ax2+bx+c的值是正数．（7分）

解：由根与系数的关系得： ，又∵ ，联立①、③，解方程组得 ，∴ ，答：方程两根为 。

根据题意得k≠0且△=（-2） 2 -4k×（-1）=0，解得k=-1．故选C．

a>3

证明什么？是x怎么得的还是m的值

buhui

﹣2 试题分析：把x=1代入x 2 +3mx+n=0得：1+3m+n=0，3m+n=﹣1，∴6m+2n=2（3m+n）=2×（﹣1）=﹣2。　

第二问，确实直接得出的（x-2）(x-k-1),倒推回题目，就能理解了，从正面解题。这道题确实用因式分解跨度较大，重在理解

5． 试题分析：根据抛物线解析式得：对称轴方程为直线x=3，关于x的一元二次方程 的一个解为x 1 =1，则另一个解x 2 =5．

一元二次方程有ab两个不等跟，则 （k-3）^2-4(k+1)>0 k为任意解由一元二次方程求根公式得 |a-b|=根号下(k-3)^2-4(-k+1)=k^2-2k+5<2解不等式 得k<-1或k>3

A 由题意，得：x 1 +x 2 =-m，x 1 x 2 =n；∴m=-（x 1 +x 2 ）=-3，n=x 1 x 2 =2；故选A．

详情如图所示:事实上n＝0时，方程的解为x＝-2供参考，请笑纳。

一元二次方程的解法有如下几种: 第一种:运用因式分解的方法,而因式分解的方法有:(1)十字相乘法(又包括二次项系数为1的和二次项系数不为1,但又不是0的),(2)公式法:(包括完全平方公式,平方差公式,).（3）提取公因式 例1:X^2-4X+3=0 本题运用因式分解法中的十字相乘法,原方程分解为(X-3)(X-1)=0 ,可得出X=3或1。 例2：X^2-8X+16=0 本题运用因式分解法中的完全平方公式，原方程分解为（X-4）^2=0 可以得出X1=4 X2=4（注意：碰到此类问题，一定要写X1=X2=某个数，不能只写X=某个数，因为一元二次方程一定有两个根，两个根可以相同，也可以不同） 例3：X^2-9=0 本题运用因式分解法中的平方差公式，原方程分解为（X-3）（X+3）=0 ，可以得出X1=3，X2=-3。 例4：X^2-5X=0 本题运用因式分解法中的提取公因式法来解，原方程分解为X（X-5）=0 ，可以得出X1=0 ，X2=5 第二种方法是配方法，比较复杂，下面举一个例来说明怎样用配方法来解一元二次方程： X^2+2X-3=0 第一步：先在X^2+2X后加一项常数项，使之能成为一项完全平方式，那么根据题目，我们可以得知应该加一个1这样就变成了（X+1)^2。 第二步：原式是X^2+2X-3，而(X+1)^2=X^2+2X+1，两个葵花子对比之后发现要在常数项后面减去4，才会等于原式，所以最后用配方法后得到的式子为(X+1)^2-4=0,最后可解方程。 还有一种方法就是开平方法,例如:X^2=121,那么X1=11,X2=-11。 最后如果用了上面所有的方法都无法解方程，那就只能像楼上所说的用求根公式了。 定理就是韦达定理，还有根的判别式，韦达定理就是一元二方程ax^2+bx+c=0(a不等于0)二根之和就是-b/a,两根之积就是c/a 举例：X^2-4X+3=0 两根之和就是-(-4/1)=4，两根之积就是3/1=3,（你可以自己解一下，看看是否正确）。 因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让 两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个 根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学） (1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 (2)解：2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=0，x2=-是原方程的解。 注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。 (3)解：6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解。 (4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 612 ，∴此题可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。 小结： 一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般 形式，同时应使二次项系数化为正数。 直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式 法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程 是否有解。 配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法 解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方 法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。 例5．用适当的方法解下列方程。(选学） （1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0 （3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差 公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。 （2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。 （3）化成一般形式后利用公式法解。 （4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。 （1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0 [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0 (5x-5)(-x+13)=0 5x-5=0或-x+13=0 ∴x1=1,x2=13 （2）解： x2+(2- )x+ -3=0 [x-(-3)](x-1)=0 x-(-3)=0或x-1=0 ∴x1=-3，x2=1 （3）解：x2-2 x=- x2-2 x+ =0 (先化成一般形式) △=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0 ∴x= ∴x1=,x2= （4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0 2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0 ∴x1= ,x2= 例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学） 分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我 们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方 法） 解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0 即 (5x-5)(2x-3)=0 ∴5(x-1)(2x-3)=0 (x-1)(2x-3)=0 ∴x-1=0或2x-3=0 ∴x1=1,x2=是原方程的解。 例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0 解：x2+px+q=0可变形为 x2+px=-q (常数项移到方程右边) x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方) (x+)2= (配方) 当p2-4q≥0时，≥0（必须对p2-4q进行分类讨论） ∴x=- ±= ∴x1= ,x2= 当p2-4q<0时，<0此时原方程无实根。 说明：本题是含有字母系数的方程，题目中对p, q没有附加条件，因此在解题过程中应随时注意对字母 取值的要求，必要时进行分类讨论。 练习： （一）用适当的方法解下列方程： 1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3 3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0 5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0 （二）解下列关于x的方程 1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0 练习参考答案： （一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2 3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2= 6.解：（把2x+3看作一个整体，将方程左边分解因式） [(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0 即 (2x+9)(2x+2)=0 ∴2x+9=0或2x+2=0 ∴x1=-,x2=-1是原方程的解。 （二）1．解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a61 a=0 [x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0 ∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0 ∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是 原方程的解。 原方程的解。 测试 选择题 1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ） A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5 2．多项式a2+4a-10的值等于11，则a的值为（ ）。 A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7 3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数，一次项系数和常数项之和等于零，那么方程必有一个 根是（ ）。 A、0 B、1 C、-1 D、±1 4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为（ ）。 A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0 C、b=0且c=0 D、c=0 5． 方程x2-3x=10的两个根是（ ）。 A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5 6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。 A、 B、 C、 D、无实根 7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）。 A、x= B、x=- C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=- 8． 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）。 A、(x-)2= B、(x- )2=- C、(x- )2= D、以上答案都不对 9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解该方程配方后的方程是（ ）。 A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1 答案与解析 答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D 解析： 1．分析：移项得：(x-5)2=0，则x1=x2=5, 注意：方程两边不要轻易除以一个整式，另外一元二次方程有实数根，一定是两个。 2．分析：依题意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7. 3．分析：依题意：有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时， ax2+bx+c=a+b+c，意味着当x=1 时，方程成立，则必有根为x=1。 4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零， 则ax2+bx+c必存在因式x，则有且仅有c=0时，存在公因式x，所以 c=0. 另外，还可以将x=0代入，得c=0，更简单！ 5．分析：原方程变为 x2-3x-10=0, 则(x-5)(x+2)=0 x-5=0 或x+2=0 x1=5, x2=-2. 6．分析：Δ=9-4×3=-3<0，则原方程无实根。 7．分析：2x2=0.15 x2= x=± 注意根式的化简，并注意直接开平方时，不要丢根。 8．分析：两边乘以3得：x2-3x-12=0，然后按照一次项系数配方，x2-3x+(-)2=12+(- )2， 整理为：(x-)2= 方程可以利用等式性质变形，并且 x2-bx配方时，配方项为一次项系数-b的一半的平方。 9．分析：x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1 则(x-1)2=m+1. 中考解析 考题评析 1．（甘肃省）方程的根是（ ） （A） （B） （C） 或 （D） 或 评析：因一元二次方程有两个根，所以用排除法，排除A、B选项，再用验证法在C、D选项中选出正确 选项。也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以。选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元 二次方程是两个根，所以是错误的，而选项D中x=－1，不能使方程左右相等，所以也是错误的。正确选项为 C。 另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式，使得方程丢根，这种错误要避免。 2．（吉林省）一元二次方程的根是__________。 评析：思路，根据方程的特点运用因式分解法，或公式法求解即可。 3．（辽宁省）方程的根为（ ） （A）0 （B）–1 （C）0，–1 （D）0，1 评析：思路：因方程为一元二次方程，所以有两个实根，用排除法和验证法可选出正确选项为C，而A、 B两选项只有一个根。D选项一个数不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。 4．（河南省）已知x的二次方程的一个根是–2，那么k=__________。 评析：k=4.将x=-2代入到原方程中去，构造成关于k的一元二次方程，然后求解。 5．（西安市）用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为（ ） （A）x=3+2 （B）x=3-2 （C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2 评析：用解方程的方法直接求解即可，也可不计算，利用一元二次方程有解，则必有两解及8的平方 根，即可选出答案

题目不完整

大哥哥，我是—年级小学生，不会做呀

D 分析：根据一元二次方程的定义，列出不等式m-1≠0，求出m的取值范围即可．∵方程（m-1）x 2 -x=1是关于x的一元二次方程，∴m-1≠0，即m≠1．故选D．

解：x1+x2=-b/a=-b1-3=-bb=2x1*x2=c/a=c1*(-3)=cc=-3x^2+2x-3=(x+3)(x-1)

题目你抄错了 3

希望能帮助你，解法如下。1 解：因为X1=-2，∴（-2）^2+(k+3)(-2)+k=0 解得：k=-2 ∴x^2+（-2+3）x+（-2）=0 得x^2+x-2=0 用十字相乘法分解因式得：(x+2)(x-1)=0 ∴x1=-2，x2=1 另一个根是 12 解：由方程有两个相等的实数根 则△=0 由此就可求出来m的值。（你掌握△=0，△＞0，△＜0的性质 这个题就很清楚了）谢谢采纳哦。

（1）∵关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有两个相等的实数根，∴△=（-3）2-4k=0，解得k=94；（2）∵关于x的一元二次方程m2x2+（2m+1）x+1=0有实数根，∴m2≠0△＝(2m+1)2?4m2≥0，解得m≥-14且m≠0．

∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，∴△=b2-4ac=（-2）2-4×1×m=4-4m=0，∴m=1．故选C．

B. 试题分析：要使 是一元二次方程，必须保证 ．即a≠1.故选B.考点: 一元二次方程的定义．

一元二次方程四中解法。一、公式法。二、配方法。三、直接开平方法。四、因式分解法。公式法1先判断△=b_-4ac，若△<0原方程无实根；2若△=0，原方程有两个相同的解为：X=-b/（2a）；3若△>0，原方程的解为：X=（（-b）±√（△））/（2a）。配方法。先把常数c移到方程右边得：aX_+bX=-c。将二次项系数化为1得：X_+（b/a）X=-c/a，方程两边分别加上（b/a）的一半的平方得X_+（b/a）X+（b/（2a））_=-c/a+（b/（2a））_方程化为:（b+（2a））_=-c/a+（b/（2a））_。5①、若-c/a+（b/（2a））_<0，原方程无实根；②、若-c/a+（b/（2a））_=0，原方程有两个相同的解为X=-b/（2a）；③、若-c/a+（b/（2a））_>0，原方程的解为X=（-b）±√（（b_-4ac））/（2a）。

根据题意得a-2≠0且△=（-3）2-4（a-2）×（-2）≥0，解得a≥78且a≠2．故选D．

一元二次方程的解法有如下几种: 第一种:运用因式分解的方法,而因式分解的方法有:(1)十字相乘法(又包括二次项系数为1的和二次项系数不为1,但又不是0的),(2)公式法:(包括完全平方公式,平方差公式,).（3）提取公因式 例1:X^2-4X+3=0 本题运用因式分解法中的十字相乘法,原方程分解为(X-3)(X-1)=0 ,可得出X=3或1。 例2：X^2-8X+16=0 本题运用因式分解法中的完全平方公式，原方程分解为（X-4）^2=0 可以得出X1=4 X2=4（注意：碰到此类问题，一定要写X1=X2=某个数，不能只写X=某个数，因为一元二次方程一定有两个根，两个根可以相同，也可以不同） 例3：X^2-9=0 本题运用因式分解法中的平方差公式，原方程分解为（X-3）（X+3）=0 ，可以得出X1=3，X2=-3。 例4：X^2-5X=0 本题运用因式分解法中的提取公因式法来解，原方程分解为X（X-5）=0 ，可以得出X1=0 ，X2=5 第二种方法是配方法，比较复杂，下面举一个例来说明怎样用配方法来解一元二次方程： X^2+2X-3=0 第一步：先在X^2+2X后加一项常数项，使之能成为一项完全平方式，那么根据题目，我们可以得知应该加一个1这样就变成了（X+1)^2。 第二步：原式是X^2+2X-3，而(X+1)^2=X^2+2X+1，两个葵花子对比之后发现要在常数项后面减去4，才会等于原式，所以最后用配方法后得到的式子为(X+1)^2-4=0,最后可解方程。 还有一种方法就是开平方法,例如:X^2=121,那么X1=11,X2=-11。 最后如果用了上面所有的方法都无法解方程，那就只能像楼上所说的用求根公式了。 定理就是韦达定理，还有根的判别式，韦达定理就是一元二方程ax^2+bx+c=0(a不等于0)二根之和就是-b/a,两根之积就是c/a 举例：X^2-4X+3=0 两根之和就是-(-4/1)=4，两根之积就是3/1=3,（你可以自己解一下，看看是否正确）。 因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让 两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个 根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学） (1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 (2)解：2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=0，x2=-是原方程的解。 注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。 (3)解：6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解。 (4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 612 ，∴此题可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。 小结： 一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般 形式，同时应使二次项系数化为正数。 直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式 法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程 是否有解。 配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法 解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方 法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。 例5．用适当的方法解下列方程。(选学） （1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0 （3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差 公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。 （2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。 （3）化成一般形式后利用公式法解。 （4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。 （1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0 [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0 (5x-5)(-x+13)=0 5x-5=0或-x+13=0 ∴x1=1,x2=13 （2）解： x2+(2- )x+ -3=0 [x-(-3)](x-1)=0 x-(-3)=0或x-1=0 ∴x1=-3，x2=1 （3）解：x2-2 x=- x2-2 x+ =0 (先化成一般形式) △=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0 ∴x= ∴x1=,x2= （4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0 2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0 ∴x1= ,x2= 例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学） 分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我 们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方 法） 解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0 即 (5x-5)(2x-3)=0 ∴5(x-1)(2x-3)=0 (x-1)(2x-3)=0 ∴x-1=0或2x-3=0 ∴x1=1,x2=是原方程的解。 例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0 解：x2+px+q=0可变形为 x2+px=-q (常数项移到方程右边) x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方) (x+)2= (配方) 当p2-4q≥0时，≥0（必须对p2-4q进行分类讨论） ∴x=- ±= ∴x1= ,x2= 当p2-4q<0时，<0此时原方程无实根。 说明：本题是含有字母系数的方程，题目中对p, q没有附加条件，因此在解题过程中应随时注意对字母 取值的要求，必要时进行分类讨论。 练习： （一）用适当的方法解下列方程： 1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3 3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0 5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0 （二）解下列关于x的方程 1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0 练习参考答案： （一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2 3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2= 6.解：（把2x+3看作一个整体，将方程左边分解因式） [(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0 即 (2x+9)(2x+2)=0 ∴2x+9=0或2x+2=0 ∴x1=-,x2=-1是原方程的解。 （二）1．解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a61 a=0 [x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0 ∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0 ∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是 原方程的解。 原方程的解。 测试 选择题 1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ） A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5 2．多项式a2+4a-10的值等于11，则a的值为（ ）。 A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7 3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数，一次项系数和常数项之和等于零，那么方程必有一个 根是（ ）。 A、0 B、1 C、-1 D、±1 4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为（ ）。 A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0 C、b=0且c=0 D、c=0 5． 方程x2-3x=10的两个根是（ ）。 A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5 6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。 A、 B、 C、 D、无实根 7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）。 A、x= B、x=- C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=- 8． 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）。 A、(x-)2= B、(x- )2=- C、(x- )2= D、以上答案都不对 9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解该方程配方后的方程是（ ）。 A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1 答案与解析 答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D 解析： 1．分析：移项得：(x-5)2=0，则x1=x2=5, 注意：方程两边不要轻易除以一个整式，另外一元二次方程有实数根，一定是两个。 2．分析：依题意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7. 3．分析：依题意：有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时， ax2+bx+c=a+b+c，意味着当x=1 时，方程成立，则必有根为x=1。 4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零， 则ax2+bx+c必存在因式x，则有且仅有c=0时，存在公因式x，所以 c=0. 另外，还可以将x=0代入，得c=0，更简单！ 5．分析：原方程变为 x2-3x-10=0, 则(x-5)(x+2)=0 x-5=0 或x+2=0 x1=5, x2=-2. 6．分析：Δ=9-4×3=-3<0，则原方程无实根。 7．分析：2x2=0.15 x2= x=± 注意根式的化简，并注意直接开平方时，不要丢根。 8．分析：两边乘以3得：x2-3x-12=0，然后按照一次项系数配方，x2-3x+(-)2=12+(- )2， 整理为：(x-)2= 方程可以利用等式性质变形，并且 x2-bx配方时，配方项为一次项系数-b的一半的平方。 9．分析：x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1 则(x-1)2=m+1. 中考解析 考题评析 1．（甘肃省）方程的根是（ ） （A） （B） （C） 或 （D） 或 评析：因一元二次方程有两个根，所以用排除法，排除A、B选项，再用验证法在C、D选项中选出正确 选项。也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以。选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元 二次方程是两个根，所以是错误的，而选项D中x=－1，不能使方程左右相等，所以也是错误的。正确选项为 C。 另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式，使得方程丢根，这种错误要避免。 2．（吉林省）一元二次方程的根是__________。 评析：思路，根据方程的特点运用因式分解法，或公式法求解即可。 3．（辽宁省）方程的根为（ ） （A）0 （B）–1 （C）0，–1 （D）0，1 评析：思路：因方程为一元二次方程，所以有两个实根，用排除法和验证法可选出正确选项为C，而A、 B两选项只有一个根。D选项一个数不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。 4．（河南省）已知x的二次方程的一个根是–2，那么k=__________。 评析：k=4.将x=-2代入到原方程中去，构造成关于k的一元二次方程，然后求解。 5．（西安市）用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为（ ） （A）x=3+2 （B）x=3-2 （C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2 评析：用解方程的方法直接求解即可，也可不计算，利用一元二次方程有解，则必有两解及8的平方 根，即可选出答案。

ax2+2x-5＝0设 f(x)=ax^2+2x-5①a>0时， 0<-1/a<1 不成立② a>0, 0<-1/a<1 f(0)=-5<0 f(1)=a-3<0综上 a<-3

∵关于x的一元二次方程3的两个实数根x1=-1，x2=3，∴a(?1+m)2＝3a(3+m)2＝3，解得，m＝?1a＝34，则抛物线y=a（x+m-2）2-3=34（x-3）2-3，令y=0，则34（x-3）2-3=0，解得，x=5或x=1，∴抛物线y=a（x+m-2）2-3与x轴的交点坐标是（5，0）和（1，0）．故答案是：（5，0）和（1，0）．

因为一个根为0，代入，所以n=0变为x^2+mx=0，整理得x(x+m)=0所以另一个根为-m

设x1、x2是关于x的一元二次方程x2-mx-2=0的两个根，∴由韦达定理，得x1?x2=-2，即-x2=-2，解得，x2=2．即方程的另一个根是2．故选C．

∵关于x的一元二次方程x2-（a+2）x+2a=0的两个实数根分别是3、b，∴由韦达定理，得3+b＝a+23b＝2a，解得，a＝3b＝2．故填：2．

X2-3X+2=0

②③． 试题分析：将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为6-m，这只有在m=0时才能成立，故选项①错误；将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y=0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断．试题解析：一元二次方程（x-2）（x-3）=m化为一般形式得：x 2 -5x+6-m=0，∵方程有两个不相等的实数根x 1 、x 2 ，∴b 2 -4ac=（-5） 2 -4（6-m）=4m+1＞0，解得：m＞- ，故选项②正确；∵一元二次方程实数根分别为x 1 、x 2 ，∴x 1 +x 2 =5，x 1 x 2 =6-m，而选项①中x 1 =2，x 2 =3，只有在m=0时才能成立，故选项①错误；二次函数y=（x-x 1 ）（x-x 2 ）+m=x 2 -（x 1 +x 2 ）x+x 1 x 2 +m=x 2 -5x+（6-m）+m=x 2 -5x+6=（x-2）（x-3），令y=0，可得（x-2）（x-3）=0，解得：x=2或3，∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故选项③正确．综上所述，正确的结论有2个：②③．考点: 1.抛物线与x轴的交点；2.一元二次方程的解；3.根的判别式；4.根与系数的关系．

C ①∵一元二次方程实数根分别为x 1 、x 2 ，∴x 1 =2，x 2 =3，只有在m=0时才能成立，故结论①错误。②一元二次方程（x－2）（x－3）=m化为一般形式得：x 2 －5x＋6－m=0，∵方程有两个不相等的实数根x 1 、x 2 ，∴△=b 2 －4ac=（－5） 2 －4（6－m）=4m＋1＞0，解得： 。故结论②正确。③∵一元二次方程x 2 －5x＋6－m=0实数根分别为x 1 、x 2 ，∴x 1 ＋x 2 =5，x 1 x 2 =6－m。∴二次函数y=（x－x 1 ）（x－x 2 ）+m=x 2 －（x 1 ＋x 2 ）x＋x 1 x 2 ＋m=x 2 －5x＋（6－m）＋m=x 2 －5x＋6=（x－2）（x－3）。令y=0，即（x－2）（x－3）=0，解得：x=2或3。∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论③正确。综上所述，正确的结论有2个：②③。故选C。

1)二次项的系数大于0, 当△<=0时,x2+ax+1≥0对于一切实数x都成立a^2-4<=0-2<=a<=22)ax2+4x+a＞1-2x2,(a+2)x^2+4x+a-1>0当a+2=0时,即a=-2,4x-3>0不满足对于一切实数x都成立,所以a不等于-2要使对于一切实数x，不等式ax2+4x+a＞1-2x2恒成立,即(a+2)x^2+4x+a-1>0,必须△<0,即16-4(a+2)(a-1)<0,解得a<-3或a>2

解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个实数根，∴△=42-4×1×2k=16-8k≥0，解得k≤2．∴k的非负整数值为0，1，2．

A 试题分析：根据方程 有两个相等的实数根可得根的判别式△ ，即可得到关于a的方程，再结合一元二次方程的二次项系数不为0即可得到结果.由题意得△ ，解得 又 ，所以 故选A.点评：解题的关键是熟记一元二次方程根的情况与判别式△ 的关系：（1） 方程有两个不相等的实数根；（2） 方程有两个相等的实数根；（3） 方程没有实数根．

解：(1)当△ABC为直角三角形时，过C作CE⊥AB于E，则AB＝2CE．∵抛物线与x轴有两个交点，△＝b 2 －4ac＞0，则|b 2 -4ac|＝b 2 -4ac．∵a＞0，∴AB＝ ，又∵CE＝| |＝ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵b 2 -4ac＞0，∴b 2 -4ac＝4；(2)当△ABC为等边三角形时，由(1)可知CE＝ ，∴ ，∵b 2 -4ac＞0，∴b 2 -4ac＝12．

设方程y=x^2-4x+3-t，则知方程在（-1,3）内x=2时取最小，为y1=-1-t（1）；x=-1时取最大，为y2=8-t（2）；因为方程x^2-4x+3-t=0在-1<x<3内有解，所以有y1小于等于0，且y2大于0；解得t大于等于-1小于8

c

设中间的为a,则前面一个是a-2,后面一个是a+2,列方程得;(a-2)^2+(a+2)^2=10a化简:a^2-4a+4+a^2+4a+4=10a2a^2+8=10aa^2-5a+4=0(a-1)(a-4)=0a=1 或a=4a为奇数,所以a=1但1-2=-1此题有问题,应该无解

1元2次

一元二次方程的解法有如下几种: 第一种:运用因式分解的方法,而因式分解的方法有:(1)十字相乘法(又包括二次项系数为1的和二次项系数不为1,但又不是0的),(2)公式法:(包括完全平方公式,平方差公式,).（3）提取公因式 例1:X^2-4X+3=0 本题运用因式分解法中的十字相乘法,原方程分解为(X-3)(X-1)=0 ,可得出X=3或1。 例2：X^2-8X+16=0 本题运用因式分解法中的完全平方公式，原方程分解为（X-4）^2=0 可以得出X1=4 X2=4（注意：碰到此类问题，一定要写X1=X2=某个数，不能只写X=某个数，因为一元二次方程一定有两个根，两个根可以相同，也可以不同） 例3：X^2-9=0 本题运用因式分解法中的平方差公式，原方程分解为（X-3）（X+3）=0 ，可以得出X1=3，X2=-3。 例4：X^2-5X=0 本题运用因式分解法中的提取公因式法来解，原方程分解为X（X-5）=0 ，可以得出X1=0 ，X2=5 第二种方法是配方法，比较复杂，下面举一个例来说明怎样用配方法来解一元二次方程： X^2+2X-3=0 第一步：先在X^2+2X后加一项常数项，使之能成为一项完全平方式，那么根据题目，我们可以得知应该加一个1这样就变成了（X+1)^2。 第二步：原式是X^2+2X-3，而(X+1)^2=X^2+2X+1，两个葵花子对比之后发现要在常数项后面减去4，才会等于原式，所以最后用配方法后得到的式子为(X+1)^2-4=0,最后可解方程。 还有一种方法就是开平方法,例如:X^2=121,那么X1=11,X2=-11。 最后如果用了上面所有的方法都无法解方程，那就只能像楼上所说的用求根公式了。 定理就是韦达定理，还有根的判别式，韦达定理就是一元二方程ax^2+bx+c=0(a不等于0)二根之和就是-b/a,两根之积就是c/a 举例：X^2-4X+3=0 两根之和就是-(-4/1)=4，两根之积就是3/1=3,（你可以自己解一下，看看是否正确）。 因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让 两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个 根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学） (1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 (2)解：2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=0，x2=-是原方程的解。 注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。 (3)解：6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解。 (4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 u20222 ，∴此题可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。 小结： 一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般 形式，同时应使二次项系数化为正数。 直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式 法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程 是否有解。 配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法 解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方 法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。 例5．用适当的方法解下列方程。(选学） （1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0 （3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差 公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。 （2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。 （3）化成一般形式后利用公式法解。 （4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。 （1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0 [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0 (5x-5)(-x+13)=0 5x-5=0或-x+13=0 ∴x1=1,x2=13 （2）解： x2+(2- )x+ -3=0 [x-(-3)](x-1)=0 x-(-3)=0或x-1=0 ∴x1=-3，x2=1 （3）解：x2-2 x=- x2-2 x+ =0 (先化成一般形式) △=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0 ∴x= ∴x1=,x2= （4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0 2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0 ∴x1= ,x2= 例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学） 分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我 们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方 法） 解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0 即 (5x-5)(2x-3)=0 ∴5(x-1)(2x-3)=0 (x-1)(2x-3)=0 ∴x-1=0或2x-3=0 ∴x1=1,x2=是原方程的解。 例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0 解：x2+px+q=0可变形为 x2+px=-q (常数项移到方程右边) x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方) (x+)2= (配方) 当p2-4q≥0时，≥0（必须对p2-4q进行分类讨论） ∴x=- ±= ∴x1= ,x2= 当p2-4q<0时，<0此时原方程无实根。 说明：本题是含有字母系数的方程，题目中对p, q没有附加条件，因此在解题过程中应随时注意对字母 取值的要求，必要时进行分类讨论。 练习： （一）用适当的方法解下列方程： 1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3 3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0 5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0 （二）解下列关于x的方程 1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0 练习参考答案： （一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2 3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2= 6.解：（把2x+3看作一个整体，将方程左边分解因式） [(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0 即 (2x+9)(2x+2)=0 ∴2x+9=0或2x+2=0 ∴x1=-,x2=-1是原方程的解。 （二）1．解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ au2022 a=0 [x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0 ∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0 ∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是 原方程的解。 原方程的解。 测试 选择题 1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ） A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5 2．多项式a2+4a-10的值等于11，则a的值为（ ）。 A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7 3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数，一次项系数和常数项之和等于零，那么方程必有一个 根是（ ）。 A、0 B、1 C、-1 D、±1 4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为（ ）。 A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0 C、b=0且c=0 D、c=0 5． 方程x2-3x=10的两个根是（ ）。 A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5 6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。 A、 B、 C、 D、无实根 7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）。 A、x= B、x=- C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=- 8． 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）。 A、(x-)2= B、(x- )2=- C、(x- )2= D、以上答案都不对 9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解该方程配方后的方程是（ ）。 A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1 答案与解析 答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D 解析： 1．分析：移项得：(x-5)2=0，则x1=x2=5, 注意：方程两边不要轻易除以一个整式，另外一元二次方程有实数根，一定是两个。 2．分析：依题意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7. 3．分析：依题意：有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时， ax2+bx+c=a+b+c，意味着当x=1 时，方程成立，则必有根为x=1。 4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零， 则ax2+bx+c必存在因式x，则有且仅有c=0时，存在公因式x，所以 c=0. 另外，还可以将x=0代入，得c=0，更简单！ 5．分析：原方程变为 x2-3x-10=0, 则(x-5)(x+2)=0 x-5=0 或x+2=0 x1=5, x2=-2. 6．分析：Δ=9-4×3=-3<0，则原方程无实根。 7．分析：2x2=0.15 x2= x=± 注意根式的化简，并注意直接开平方时，不要丢根。 8．分析：两边乘以3得：x2-3x-12=0，然后按照一次项系数配方，x2-3x+(-)2=12+(- )2， 整理为：(x-)2= 方程可以利用等式性质变形，并且 x2-bx配方时，配方项为一次项系数-b的一半的平方。 9．分析：x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1 则(x-1)2=m+1. 中考解析 考题评析 1．（甘肃省）方程的根是（ ） （A） （B） （C） 或 （D） 或 评析：因一元二次方程有两个根，所以用排除法，排除A、B选项，再用验证法在C、D选项中选出正确 选项。也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以。选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元 二次方程是两个根，所以是错误的，而选项D中x=－1，不能使方程左右相等，所以也是错误的。正确选项为 C。 另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式，使得方程丢根，这种错误要避免。 2．（吉林省）一元二次方程的根是__________。 评析：思路，根据方程的特点运用因式分解法，或公式法求解即可。 3．（辽宁省）方程的根为（ ） （A）0 （B）–1 （C）0，–1 （D）0，1 评析：思路：因方程为一元二次方程，所以有两个实根，用排除法和验证法可选出正确选项为C，而A、 B两选项只有一个根。D选项一个数不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。 4．（河南省）已知x的二次方程的一个根是–2，那么k=__________。 评析：k=4.将x=-2代入到原方程中去，构造成关于k的一元二次方程，然后求解。 5．（西安市）用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为（ ） （A）x=3+2 （B）x=3-2 （C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2 评析：用解方程的方法直接求解即可，也可不计算，利用一元二次方程有解，则必有两解及8的平方 根，即可选出答案。

两个根为x1=1，x2=2则两根的和是3，积是2．A、两根之和等于-3，两根之积等于-2，所以此选项不正确；B、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；C、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D、两根之和等于-3，两根之积等于2，所以此选项不正确，故选：B．

(k-3)x^（|k|-1) - x - 2 = 0一元二次方程：k-3≠0，并且|k|-1=2k=-3

两根都>1,a的范围：方法一：用二次函数方法对于函数y=x^2-x+a-4,y=(x-1/2)^2+a-17/4对称轴x=1/2,x>1/2时,函数单调递增,至多与x轴有一个交点,顶点在x轴下方时,方程必有一根2>1,即不存在x1,x2满足x1+x2=1,方程没有两个均>1的实数根.a无解.两种方法的结论是一样的,都是a无解.一根>1,另一根1,另一个

1 试题分析：根据一元二次方程的一般形式： （a，b，c是常数且 ），即可得到结果，特别要注意 的条件．由题意得 ，解得 ，则 点评：解答本题的关键是要特别注意二次项系数 这一条件，本题容易出现的错误是忽视 这一条件．

D首先由关于x的一元二次方程，二次项系数不能为0得k≠1，再根据有实数根判别式△=b2-4ac≥0列出关于k的不等式解出即可．解：已知x的一元二次方程有实数根，则k-1≠0且()2-4×（k-1）×2≥0，解得：0≤k≤且k≠1，故选：D．点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，注意二次项系数不为0是关键．

C． 试题分析：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x 2 +2x﹣2=0有不相等实数根，∴△=2 2 ﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，解得k＞ ；且k﹣1≠0，k≠1．故选C．

B． 试题分析：由一元二次方程 有一个根为0，将x=0代入方程得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值，将m的值代入方程进行检验，即可得到满足题意m的值：∵方程 有一个根为0，∴将x=0代入方程得： ，解得：m=1或m=2，当m=1时，原方程化为 ，不是一元二次方程，不合题意，舍去.∴则m的值为2.故选B．

且 由于关于x的一元二次方程(m-1)x 2 + x+1=0有两个相等的实数根，由此可以得到m-1≠0，并且方程的判别式≥0，由此即可求出m的取值范围．解：∵关于x一元二次方程(m-1)x 2 + x+1=0有两个实数根，∴m-1≠0且△=m+1-4（m-1）≥0，解得，-1≤m≤ 且m≠1．故答案是：-1≤m≤ 且m≠1．考查了一元二次方程根的判别式的应用．在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根下必须满足△=b 2 -4ac＞0．

∵x的方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根,∴k≠0且△=4-4k×(-1)>0,解得k>-1,∴k的取值范围为k>-1且k≠0.故选D.

∵关于x的一元二次方程的两个根分别为x1=1，x2=2，∴x1+x2=-ba=3，x1x2=ca=2，∴这个方程是x2-3x+2=0．故答案为：x2-3x+2=0．

设每个长X个 X+X^2+1=91,解得 x1=-10 舍去 x2=9 所以每个枝干长出9个小分支

设 长出支干数目为x则 1+x+x^2=91x^2+x-90=0(x-9)(x+10)=0x=9x=-10(舍去）【答：每个支干长出9个小分支。

1、植物的主干就是1，设生出的枝干为X，则生出的小分枝为X的平方，列方程为1+X+X的平方=73，计算得，X1=8,X2=-9,-9不符合要求因此X=8，则每个枝干长出8*8=64个 2、设和墙相对的长度为X，则和墙相邻的长度为(35-X)/2,列式为X*(35-X)/2=150,计算得，X1=15,X2=20，因墙长尾18，所以X2=20不符合要求，得X=15,则另一边长为150/15=10，所以长宽分别为15、10

9

（1）(20+2X)*(40-X)=1200800+60X-2X^2=1200X^2-30X+200=0(X-20)*(X-10)=0X1=20X2=10应降价10元或20圆（2）台布面积:6*4*2=48设各边垂下的长度是XM，那么（6+2X）（4+2X）＝48解得X＝1所以这块台布的长和宽分别是8M、6M

设每个枝干长出x个小分支1+x+x的平方=91解得x=9

？？？

1.9支2.10

解：设上涨x元。（50-40+x）（210-x/1*10）=220 自己算吧！我也不确定啊！应该是这样的！算出来怪怪的！我补课上也有这种题目！相信我吧！不能十字相乘的！谢谢采纳！

1.甲种糖果的单价是每千克20元，乙种糖果的单价是每千克15元，若要配制200千克单价为每千克18元的混合糖果，并使之和分别销售两种糖果的总收入保持不变，问需甲、乙两种糖果各多少千克？ 2.甲、乙两地路程为180千米，一人骑自行车从甲地出发每时走15千米，另一人骑摩托车从乙地出发，已知摩托车速度是自行车速度的3倍，若两人同时出发，相向而行，问经过多少时间两人相遇？ 3. 甲、乙两地路程为180千米，一人骑自行车从甲地出发每时走15千米，另一人骑摩托车从乙地出发，已知摩托车速度是自行车速度的3倍，若两人同向而行，骑自行车在先且先出发2小时， 问摩托车经过多少时间追上自行车？ 4．一架直升机在A，B两个城市之间飞行，顺风飞行需要4小时，逆风飞行需要5小时 .如果已知风速为30km/h，求A，B两个城市之间的距离.

1.解:设每张贺卡应降价X元 /除号 *乘号 根据题意得 （0.3-X)＜500+X/0.1*100＞=120 （0.3≥x≥0) 结果自解2.解：设每件降价X元（10≥x≥0）其实X大于0 根据题意得 (44-X)(20+5X)=16003.解：设应多种X棵(100≥x≥0) 根据题意得 （100+X)(1000-2X)=100*1000*(1+15.2%0

（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x．根据题意，得180（1 x）2=216，解得x1=0.095=9.5%，x2=-1.095（不合题意，舍去）．答：该市汽车

太多了吧。。。

推荐答案很正确。

1、某一时期，日元与人民币的比价为25.2：1，那么日元50万，可以兑换人民币多少元？2、图纸上某零件的长度为32cm，它的实际长度是4cm，那么量得该图纸上另一个零件长度为12cm，求这个零件的实际长度。3、某人将2600元工资作了打算，购书费用、休闲娱乐费用、家庭开支、存款比为1：3：5：4，请问此人打算休闲娱乐花去多少元？4、长方形的周长为4米，长与宽的比为3：2，求长方形的面积。5、某洗衣机厂今年计划生产洗衣机2550台，其中甲型、乙型、丙型三种洗衣机的数量的比为1：2：14，这三种洗衣机计划各生产多少台？6、2550台，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量的比为：2：14，这三种洗衣机各生产多少台？2∶4∶5。甲三角形的最长边是乙三角形最长边的2倍，甲三角形的周长的比乙三角形的周长多11厘米。问甲、乙两个三角形的最短边的长分别为多少厘米？（7分）4．甲、乙两个三角形的最短边分别是12㎝和6㎝8、甲、乙两个三角形，它们各自三条边的比都是2∶4∶5。甲三角形的最长边是乙三角形最长边的2倍，甲三角形的周长的比乙三角形的周长多11厘米。问甲、乙两个三角形的最短边的长分别为多少厘米？（7分）8．甲、乙两个三角形的最短边分别是12㎝和6㎝9、某商品的进价是75元，售出价格是90元，则此商品的利润率是（）（C）（A）10%（B）15%（C）20%（D）25%4、配套问题：1、包装厂有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片，或长方形铁片80片，将两张圆形铁片与和一张可配套成一个密封圆桶，问如何安排工人生产圆形或长方形铁片能合理地将铁片配套？2、某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？生产螺栓12人，生产螺母16人3、某厂有140名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓60个或螺母90个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？4、某车间有23名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母10个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配三个螺母）？5、某车间有50名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配一个螺母）？6、某车间有29名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓15个或螺母21个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（两个螺栓配三个螺母）？5、调配问题：1、一车间与二车间总人数为150人，将一车间的15名工人调动到二车间，两车间人数相等，求二车间人数。2、某厂甲车间有工人32人，乙车间有62人，现在从厂外有招聘新工人98名分配到两个车间，问应该如何分配才能使二车间的人数是一车间人数的3倍。3、在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人。现在另调20人去支援，使在甲处的人数为在乙处的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？1、一筐梨，分散后小箱装，用去8个箱子，还剩8kg未能装下；用9个箱子，则最后一个箱子还可以装4kg，求这筐梨的质量。2、某校春游，若包租相同的大巴13辆，那么就有14人没有座位；如果多包租1辆，那么就多了26个空位，问，春游的总人数是多少？7、几何问题：1、将棱长为20cm的正方体铁块锻造成一个长为100cm，宽为5cm的长方体铁块，求长方体铁块的高度。2、将棱长为20cm的正方体铁块没入盛水量筒中，已知量筒底面积为12cm2，问量筒中面升高了多少cm？3、一个角的余角是这个角的补角的一半少420，求这个角。4、已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大100，求这个角的度数。5、一只小虫从点A出发向北偏西30°方向爬了3cm到点B，再从点B出发向北偏东60°爬了3cm到点C。试画图确定A、B、C的位置；（2）从图上量出点C到点A的距离（精确到0.1cm）;(3)指出点C在点A的什么方位?6、如图中6个正方形，编号分别为1~6，（1）动手做一做是不是一个正方体的图？如果将编号为⑤的正方形分别移动到②~④的上面，是否可以围成一个正方体？（3）你能否从中找出规律？1、求在5点和6点之间时钟的时针和分针重合的时刻。2、求在8点和9点之间时钟的时针和分针重合的时刻。3、求在10点半和11点之间时钟的时针和分针重合的时刻。4、求在5点和7点之间时钟的时针和分针重合的时刻。5、求在8点和12点之间时钟的时针和分针重合的时刻。6、求在8点时时钟的时针和分针所成的最小正角是多少度？7、求在10点半时时钟的时针和分针所成的最小正角是多少度？8、求在2点20分时时钟的时针和分针所成的最小正角是多少度？9、求在8点10分时时钟的时针和分针所成的最小正角是多少度？10、求在8点时时钟的时针和分针所成的最小正角是多少度？11、求在5点和6点之间时钟的时针和分针成一条直线的时刻。1、下面两个数表示互为相反数的是（）A、—与+0.8B、与—0.33C、—6与—（—6）D、—3.14与∏2、下列等式中，等号成立的是（）A、—∣—6u200c∣=6B、∣—（—6）∣=—6C、—∣+1∣=—1D、∣+3.14∣=—3.143、下列说法正确的是（）A、有最小的自然数，也有最小的整数B、没有最大的正整数但有最小的正整数C、没有最小的负数但有最小的正数D、O是有理数中最小的数4、下列说法错误的是（）A、数轴上的原点表示OB、在数轴上表示—3和2的两点的距离是5C、所有有理数都可以用数轴上的点表示D、数轴上点A表示3,从A点出发数轴上移动2个单位长度达到点，则点B表示15、在有理数中，绝对值等于它本身的数有（）A、1个B、2个C、3个D、无数多个6、什么数的相反数小于它本身A、正数B、负数C、非负数D、非正数7、4的倒数的相反数是（）A、B、—C、—D、8、对于任意有理数a,下列式子中取值不可能为0的是（）A、∣a+1∣B、∣—1∣+aC、∣a∣+1D、1—∣a∣二、填空题（每空2分）1、寻找规律，填写所缺的数，—6，—4，____，_____，2，42、数轴上的点A对应的数是+5，点B对应的数是—2则A、B两点的距离是____________3、—的相反数是____________,____________的相反数是0+（—3.5）=____________，+[—（+3.5）]=____________4、绝对值等于2的数有___________个，它们是____________3的相反数的绝对值是____________，—3的绝对值的相反数是____________5、用“〈”，“〉”“=”填空—（—5）__________—∣—5∣，∣—∣_______—（+3）—___________—∣—∣，—（+）_________—∣0.5∣6、绝对值小于2的正整数是____________7、相反数大于—4的正整数是____________8、若∣x—2∣=0，则x=____________三、解答题（8+4×4+6+10）画一条数轴，在数轴上描写下列各数的点。并用“﹤”把它们连接起来1，—4，0，—2，5，—0.5，计算①∣—8∣+∣—7∣—∣—3∣②∣—12∣×∣+2∣÷∣—8∣③∣—1.25∣÷∣∣④∣—4∣×∣—∣3、写出大于—3且绝对值不大于3的所有整数，并计算它们绝对值的和4、列各数填入相应的大括号内—7，3.10,5%,1万，2003，0.33,0.142,+0.1,o,,——（—3）,∣2∣,整数集（）分数集（）正整数集（）负分数集（）自然数集（）

顶点公式-b/2a

公式的一般形式:ax_+bx+c=0(a≠0)，其中ax_是二次项，a是二次项系数；bx是一次项；b是一次项系数；c是常数项。使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。因式分解法：因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。用因式分解法解一元二次方程的步骤：一元二次方程：（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

一元二次方程必背的公式是求根公式。对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数，求根公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。这个公式给出了方程的两个根x1和x2的计算方法。根据方程的判别式Δ=b^2-4ac的值，可以判断方程有几个实根或复根，并将其代入求根公式中得到具体的解。

一元二次方程的求根公式只有一个，哪还有几个？

公式法是解一元二次方程的方法，根据因式分解与整式乘法的关系，把各项系数直接带入求根公式，可避免配方过程而直接得出根的方法公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的结果。解一个具体的一元二次方程时，把各项系数直接带入求根公式，可避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。步骤：1.化方程为一般式：ax?+bx+c=0 （a≠0）2.确定判别式，计算Δ。Δ=b?-4ac；3.若Δ>0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x=[-b±√Δ]]/2a。若Δ=0，该方程在实数域内有两个相等的实数根：x1=x2=-b/2a；若Δ<0，该方程在实数域内无实数根，但在虚数域内解为x=-b±√（b平方-4ac）/2a。

元二次方程通常是指一般形式的二次方程，形如：ax^2 + bx + c = 0。其中a、b、c为实数，且a不等于零。对于一般的二次函数，它的图像是一个开口向上或向下的抛物线。这条抛物线上存在一个极值点，称为顶点。通过求解可以得到这个极值点的坐标。顶点的横坐标可以通过以下公式给出：x = -b / (2a)。顶点的纵坐标可以通过将横坐标代入原方程得到：y = f(x) = ax^2 + bx + c。这些公式可以帮助我们确定二次函数的极值点的位置。如果a为正数，抛物线开口向上，顶点为最小值点。如果a为负数，抛物线开口向下，顶点为最大值点。需要注意的是，如果a为零，那么这个方程就不再是一个二次方程，而是一次方程（线性方程）。在这种情况下，不存在顶点和极值点。