向量共线定理

若a向量与b向量共线，a=kbk为常数追问：两者到底有什么区别追问：平面向量基本定理有什么作用？

读：兰亩达＋miu向量共线定理：若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b ，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。充分性：对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令λ=m，有 b=λa，当向量a与b反方向时，令λ=-m，有b=λa。如果b=0，那么λ=0。唯一性：如果b=λa=μa，那么(λ-μ)a=0。但因a≠0，所以λ=μ。

向量a≠0，a,b共线，<==>存在实数m,使得b=ma,若a=(x1,y1)与b=x2,y2)共线，则x1/x2=y1/y2(允许分子分母同时为0).若A,B,C三点共线，则向量PC=xPA+(1-x)PB,其中x是实数。仅供参考。

     一、平面向量共线定理：共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。 共线向量基本定理为如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。平面向量,共线的条件：1、方向相同或相反。2、向量a=k向量b。3、a=(x1,y1),b=(x2,y2)，a//b等价于x1y2-x2y1=0

空间向量共线定理如下：共线向量基本定理，数学术语。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b ，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。共线向量基本定理如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。证明：1）充分性：对于向量 a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使 b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。2）必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令 λ=m，有 b=λa，当向量a与b反方向时，令 λ=-m，有 b=λa。如果b=0，那么λ=0。3）唯一性：如果 b=λa=μa，那么 (λ-μ)a=0。但因a≠0，所以 λ=μ。证毕。

m-n表示向量差。共线向量基本定理数学定理科普中国 | 本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目审核审阅专家 杜强共线向量基本定理，数学术语。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b ，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。中文名共线向量基本定理别名向量共线定理表达式b=λa适用领域几何应用学科数学共线向量基本定理推论共线向量定理TA说共线向量基本定理如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。证明：1）充分性：对于向量 a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使 b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。2）必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令 λ=m，有 b=λa，当向量a与b反方向时，令 λ=-m，有 b=λa。如果b=0，那么λ=0。3）唯一性：如果 b=λa=μa，那么 (λ-μ)a=0。但因a≠0，所以 λ=μ。证毕。[1]推论推论1两个向量a、b共线的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。证明：1）充分性，不妨设μ≠0，则由 λa+μb=0 得 -b=(λ/μ)a。由 共线向量基本定理 知，向量a与b共线。2）必要性，已知向量a与b共线，若a≠0，则由共线向量基本定理知，b=λa，所以 λa-b=0，取 μ=-1≠0，故有 λa+μb=0，实数λ、μ不全为零。若a=0，则取μ=0，取λ为任意一个不为零的实数，即有 λa+μb=0。证毕。推论2两个非零向量a、b共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。证明：1）充分性，∵μ≠0，∴由 λa+μb=0 可得 b=(λ/μ)a。由 共线向量基本定理 知，向量a与b共线。2）必要性，∵向量a与b共线，且a≠0，则由 共线向量基本定理 知，b=λa；又∵b≠0，∴λ≠0； 取 μ=-1≠0，就有 λa+μb=0，实数λ、μ全不为零。证毕。推论3如果a、b是两个不共线的向量，且存在一对实数λ、μ，使得 λa+μb=0，那么λ=μ=0。证明：（反证法）不妨假设μ≠0，则由 推论1 知，向量a、b共线；这与已知向量a、b不共线矛盾，故假设是错的，所以λ=μ=0。证毕。推论4如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一实数λ，使得向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB。（其中，向量AC=λ向量AB）。证明：∵三点P、A、B不共线，∴向量AB≠0，由 共线向量基本定理 得，点C在直线AB上 <=> 向量AC 与 向量AB 共线 <=> 存在唯一实数λ，使 向量AC=λ·向量AB∵三点P、A、B不共线，∴向量PA 与 向量PB 不共线，∴向量AC=λ·向量AB <=> 向量PC-向量PA=λ·(向量PB-向量PA) <=> 向量PC=(1-λ)向量PA+λ·向量PB。证毕。推论5如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一一对实数λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1）证明：在推论4 中，令 1-λ=μ ，则λ+μ=1，知：三点P、A、B不共线 <=> 点C在直线AB上的充要条件是：存在实数λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1）下面证唯一性，若 向量PC=m向量PA+n向量PB，则 m向量PA+n向量PB=λ向量PA+μ向量PB，即，（m-λ）向量PA+（n-μ）向量PB=0，∵三点P、A、B不共线，∴向量PA 与 向量PB 不共线，由 推论3 知，m=λ，n=μ。证毕。推论6如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ、ν，使得λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。

共线向量基本定理，数学术语。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b ，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。1）充分性：对于向量 a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使 b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。2）必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令 λ=m，有 b=λa，当向量a与b反方向时，令 λ=-m，有 b=λa。如果b=0，那么λ=0。3）唯一性：如果 b=λa=μa，那么 (λ-μ)a=0。但因a≠0，所以 λ=μ。

共线向量基本定理：设 a、b 是共线向量（平行向量），且 b≠0 ，则 存在唯一实数λ，使 a=λb 。三点共线：设平面内三个不同点A、B、C，O是平面内异于A、B、C的任一点，则A、B、C三点共线的充要条件是：存在实数x，y，使 OA=xOB+yOC，且 x+y=1 。

共线向量基本定理为如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使得b等于λa。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b ，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。向量共线的概括在数学中，向量也称为欧几里得向量、几何向量、矢量，指具有大小和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指代表向量的方向，线段长度代表向量的大小。与向量对应的只有大小，没有方向的量叫做数量。几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的向量是哪一种概念。

向量共线定理：若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b ，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。两向量平行（共线）有且只有两种情况：两向量所在直线平行，换句话说就是，只要是两条平行直线上的两个向量，都可互称为平行向量（共线向量），与二者的位置、方向相同还是相反无关。两向量所在直线重合。换句话说就是，只要两个向量所在直线重合（或是同一条直线上的两个向量），则这两个向量互称为平行向量（共线向量）。与二者的位置、方向相同还是相反无关。

向量共线定理：若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b ，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。两向量平行（共线）有且只有两种情况：两向量所在直线平行，换句话说就是，只要是两条平行直线上的两个向量，都可互称为平行向量（共线向量），与二者的位置、方向相同还是相反无关。两向量所在直线重合。换句话说就是，只要两个向量所在直线重合（或是同一条直线上的两个向量），则这两个向量互称为平行向量（共线向量）。与二者的位置、方向相同还是相反无关。

共线向量基本定理：设a、b是共线向量（平行向量），且b≠0，则存在唯一实数λ，使a=λb。三点共线：设平面内三个不同点A、B、C，O是平面内异于A、B、C的任一点，则A、B、C三点共线的充要条件是：存在实数x，y，使OA=xOB+yOC，且x+y=1。

用反证法证明：假设存在另一对实数m,n满足me1+ye2=a又xe1+ye2=ame1+ye2=xe1+ye2(m-x)e1=(y-n)e2因为e1,e2不共线所以m-x=0,y-n=0所以m=x,y=n与假设矛盾所以得证楼主，题目的意思你再琢磨一下。。。存在是前提，要证的是唯一。同时这个命题本来就是人为发现而定义出来的，是定义它存在的。

连接BM，则四边形MBCA是平行四边形，向量AM+向量AC＝向量AB，又因为D为AB中点，所以向量AB＝2向量AD即2向量AD=向量AM+向量AC（这是利用平行四边形法则，平移）

在向量共线定理中，实数是唯一的，即两个向量的比例必须是唯一的实数，才能使两个向量共线。

平面向量基本定理：如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在一个唯一的有序实数对(x,y)，使得p=xa+yb；此处唯一性指的就是有序实数对的唯一性。

共线向量基本定理：设 a、b 是共线向量（平行向量）,且 b≠0 , 则 存在唯一实数λ,使 a=λb . 三点共线：设平面内三个不同点A、B、C,O是平面内异于A、B、C的任一点, 则A、B、C三点共线的充要条件是：存在实数x,y,使 OA=xOB+yOC,且 x+y=1 .

共线向量基本定理：设a、b是共线向量（平行向量），且b≠0，则存在唯一实数λ，使a=λb。三点共线：设平面内三个不同点A、B、C，O是平面内异于A、B、C的任一点，则A、B、C三点共线的充要条件是：存在实数x，y，使OA=xOB+yOC，且x+y=1。

答案： 解析： 如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么，有且只有一个实数λ，使b＝λa．

共线向量基本定理就是如果向量a≠0那么向量b与a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使得 b=λa显然如果b为0向量的话，λ=0即可所以b当然是可以为0的

向量共线定理λ不可以为0。共线向量也就是平行向量共线向量基本定理为如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。

AC＝OC－OA＝λOA +μOB －OA＝μOB+（λ-1）OA= μ(OB-OA).而AB＝OB－OA,即AB＝μAC,故 A、B、C三点共线.

向量共线定理公式是b=λa，共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。充分性：对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令λ=m，有b=λa，当向量a与b反方向时，令λ=-m，有b=λa。如果b=0，那么λ=0。唯一性：如果b=λa=μa，那么(λ-μ)a=0。但因a≠0，所以λ=μ。

共线向量基本定理为如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使得b等于λa。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b ，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。向量共线的概括在数学中，向量也称为欧几里得向量、几何向量、矢量，指具有大小和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指代表向量的方向，线段长度代表向量的大小。与向量对应的只有大小，没有方向的量叫做数量。几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的向量是哪一种概念。