数乘向量

数乘向量（scalar multiplication of vectors)是与一个实数和一个向量有关的一种向量运算，即数量与向量的乘法运算。n个相等的非零向量a相加所得的和向量，叫作正整数n与向量a的积，记为na。从这个狭义的定义中抽象出来，我们得到数乘向量的定义：一个数m乘一个向量a，结果是一个向量ma，称为数乘向量的积，其模是｜m||a|，当m>0时，ma与a同向，当m<0时，ma与a反向，当m=0时，0a=0。这个定义可以形象地理解为，把向量a伸缩｜m|倍，再由m的符号确定是否调向。

向量的数乘，也被称为叉积（即交叉乘积）、外积，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量，并且两个向量的叉积与这两个向量都垂直。拉格朗日公式：a × (b × c) = b（a·c）− c（a·b）。向量的乘法有两种，分别成为内积和外积：内积也称数量积。因为其结果为一个数(标量)。向量a,b的内积为|a|*|b|cos<a，b>,其中<a，b>表示a与b的夹角。向量外积也叫叉乘，其结果为一个向量，方向是按右手系垂直与a，b所在平面|a|*|b|sin<a，b>。向量积≠向量的积（向量的积一般指点乘）。一定要清晰地区分开向量积（矢积）与数量积（标积）。

1 共线知识点 定比分点　　定比分点公式(向量P1P=λ 向量PP2)　　设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ 向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。　　若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有　　OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)　　x=(x1+λx2)/(1+λ),　　y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)　　我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式　　三点共线定理　　若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线　　三角形重心判断式　　在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心　　 向量共线的重要条件　设a=(x，y)，b=(x"，y")。　　若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。　　a//b的重要条件是 xy"-x"y=0。　　零向量0平行于任何向量。　 向量垂直的充要条件　　a⊥b的充要条件是 a b=0。　　a⊥b的充要条件是 xx"+yy"=0。　　零向量0垂直于任何向量.　 2、数乘向量　　实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣ ∣a∣。　　当λ>0时，λa与a同方向;　　当λ<0时，λa与a反方向;　　当λ=0时，λa=0，方向任意。　　当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。　　注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。　　实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。　　当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;　　当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。　　数与向量的乘法满足下面的运算律　　结合律：(λa) b=λ(a b)=(a λb)。　　向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.　　数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.　　数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。　　3、向量的的数量积　　定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π　　定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a b。若a、b不共线，则a b=|a| |b| cos〈a，b〉;若a、b共线，则a b=+-∣a∣∣b∣。　　向量的数量积的坐标表示：a b=x x"+y y"。　　向量的数量积的运算律　　a b=b a(交换律);　　(λa) b=λ(a b)(关于数乘法的结合律);　　(a+b) c=a c+b c(分配律);　　向量的数量积的性质　　a a=|a|的平方。　　a⊥b 〈=〉a b=0。　　|a b|≤|a| |b|。　　向量的数量积与实数运算的主要不同点　　1、向量的数量积不满足结合律，即：(a b) c≠a (b c);例如：(a b)^2≠a^2 b^2。　　2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a b=a c (a≠0)，推不出 b=c。　　3、|a b|≠|a| |b|　　4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。