共线向量定理

因为在向量中，“两个向量共线”有两个含义：1.两个向量在一条直线上，2.两个向量平行(不在同一条直线上),故证明三点共线，必须要证1.三点构成的两个向量共线，2.两个共线向量有公共点。

如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。 证明： 1）充分性，对于向量 a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使 b=λa，那么由 实数与向量的积的定义 知，向量a与b共线。 2）必要性，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令 λ=m，有 b =λa，当向量a与b反方向时，令 λ=-m，有 b=-λa。如果b=0，那么λ=0。 3）唯一性，如果 b=λa=μa，那么 (λ-μ)a=0。但因a≠0，所以 λ=μ。 证毕。[编辑本段]推论推论1 两个向量a、b共线的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。 证明： 1）充分性，不妨设μ≠0，则由 λa+μb=0 得 b=(λ/μ)a。由 共线向量基本定理 知，向量a与b共线。 2）必要性，已知向量a与b共线，若a≠0，则由共线向量基本定理知，b=λa，所以 λa-b=0，取 μ=-1≠0，故有 λa+μb=0，实数λ、μ不全为零。若a=0，则取μ=0，取λ为任意一个不为零的实数，即有 λa+μb=0。 证毕。推论2 两个非零向量a、b共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。 证明： 1）充分性，∵μ≠0，∴由 λa+μb=0 可得 b=(λ/μ)a。由 共线向量基本定理 知，向量a与b共线。 2）必要性，∵向量a与b共线，且a≠0，则由 共线向量基本定理 知，b=λa；又∵b≠0，∴λ≠0； 取 μ=-1≠0，就有 λa+μb=0，实数λ、μ全不为零。 证毕。推论3 如果a、b是两个不共线的向量，且存在一对实数λ、μ，使得 λa+μb=0，那么λ=μ=0。 证明：（反证法） 不妨假设μ≠0，则由 推论1 知，向量a、b共线；这与已知向量a、b不共线矛盾，故假设是错的，所以λ=μ=0。 证毕。推论4 如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB。（其中，向量AC=λ向量AB）。 证明： ∵三点P、A、B不共线，∴向量AB≠0， 由 共线向量基本定理 得， 点C在直线AB上 <=> 向量AC 与 向量AB 共线 <=> 存在唯一实数λ，使 向量AC=λ·向量AB ∵三点P、A、B不共线，∴向量PA 与 向量PB 不共线， ∴向量AC=λ·向量AB <=> 向量PC-向量PA=λ·(向量PB-向量PA) <=> 向量PC=(1-λ)向量PA+λ·向量PB。 证毕。推论5 如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一一对实数λ、μ，使得 向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1） 证明： 在推论4 中，令 1-λ=μ ，则λ+μ=1，知： 三点P、A、B不共线 <=> 点C在直线AB上的充要条件是：存在实数λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1） 下面证唯一性，若 向量PC=m向量PA+n向量PB，则 m向量PA+n向量PB=λ向量PA+μ向量PB， 即，（m-λ）向量PA+（n-μ）向量PB=0， ∵三点P、A、B不共线，∴向量PA 与 向量PB 不共线， 由 推论3 知，m=λ，n=μ。 证毕。推论6 如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ、ν，使得 λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。 证明： 1）充分性，由推论5 知，若三点P、A、B不共线，则 点C在直线AB上 <=> 存在实数λ、μ，使得 向量PC=λ向量PA+μ向量PB（其中，λ+μ=1）。 取ν=-1，则有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，且实数λ、μ、ν不全为零。 2）必要性，不妨设ν≠0，且有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，则 向量PC=（λ/ν)·向量PA+(μ/ν)·向量PB，（-λ/ν）+（-μ/ν）=1。由推论5 即知，点C在直线AB上。 证毕。推论7 点P是直线AB外任意一点，那么三不同点A、B、C共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ、ν，使得 λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。 证明：（反证法） ∵点P是直线AB外任意一点，∴向量PA≠0，向量PB≠0，向量PC≠0，且 向量PA、向量PB、向量PC两两不共线。 由推论6 知，实数λ、μ、ν不全为零， 1）假设实数λ、μ、ν中有两个为零，不妨设λ≠0，μ=0，ν=0。则 λ向量PA=0，∴向量PA=0。这与向量PA≠0。 2）假设实数λ、μ、ν中有一个为零，不妨设λ≠0，μ≠0，ν=0。则 λ向量PA+μ向量PB=0，∴向量PA=（μ/λ）·向量PB，∴向量PA 与 向量PB共线，这与向量PA 与 向量PB不共线矛盾。 证毕。[编辑本段]共线向量定理定理1 ⊿ABC中，点D在直线BC上的充要条件是 其中 都是其对应向量的数量。 证明：有推论5 即可证得。定理2 ⊿ABC中，点D在直线BC上的充要条件是 其中 都是有向面积。通常约定，顶点按逆时针方向排列的三角形面积为正，顶点按顺时针方向排列的三角形面积为负。 证明：由定理1 即可得证。

三点共线定理：若OC=λOA+uOB，且入+μ=1，则A、B、C三点共线。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为alb，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。证明方法方法一：取两点确立一条直线，计算该直线的解析式，代入第三点坐标看是否满足该解析式（直线与方程）。方法二：设三点为A、B、C ，利用向量证明：λAB=AC（其中λ为非零实数）。方法三：利用点差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三点共线。方法四：用梅涅劳斯定理。方法五：利用几何中的公理“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”，可知：如果三点同属于两个相交的平面则三点共线。方法六：运用公（定）理“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（垂直）”，其实就是同一法。方法七：证明其夹角为180°。方法八：设A、B、C，证明△ABC面积为0。方法九：帕普斯定理。方法十：利用坐标证明，即证明x1y2=x2y1。方法十一：位似图形性质。方法十二：向量法，即向量PB=λ向量PA+μ向量PC，且λ+μ=1，则ABC三点共线。方法十三：张角定理。

A(a,b),B(x,y),C(m,n) AB(x-a,y-b) AC(m-a,n-a) 证向量AB、AC平行即可

若a≠0向量,那么向量a与向量共线的条件是存在唯一的实数λ.使得b=λa若没有a≠0向量前提,倘若a=0向量（1）对于平面内的任意一个非零向量b不会存在实数λ使得b=λa因为λa是零向量,b不是零向量,因此b=λa不成立（2）若b=0向量,0=λ*0此时λ为任意实数,λ无穷多.

基本定理2.3.2平面。给定平面内的两个不共线的非零向量。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。

可设X(2m,m),则XA=(1-2m,7-m),XB=(5-2m,1-m),所以，XA*XB=5m^2-20m+12,所以当m=2时有最小值-8;此时X(4,2),A(1,7),B(5,1),XA=(-3,5),XB=（1，-1），cosa=-4/根号17

浥：（yì）：湿润，沾湿。

因为空间中向量平行但是属于不同方向的向量很多。比如说空间中某一个向量平行于xoy平面，那么在xoy平面中，会有一排向量都是与它平行的，你只要找到1个λ就可以说明平行，但实际上平行的向量非常多。平面上就不一样，平面上的向量可以平移，平移后的向量是同一个向量，所以λ是唯一的。空间向量的平移必须在某一个平面内

两个向量a、b共线的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。证明：1）充分性，不妨设μ≠0，则由 λa+μb=0 得 -b=(λ/μ)a。由 共线向量基本定理 知，向量a与b共线。2）必要性，已知向量a与b共线，若a≠0，则由共线向量基本定理知，b=λa，所以 λa-b=0，取 μ=-1≠0，故有 λa+μb=0，实数λ、μ不全为零。若a=0，则取μ=0，取λ为任意一个不为零的实数，即有 λa+μb=0。

共线向量定理可用于：1、判定两个向量是否平行；2、建立方程解出未知数； 3、判定三点共线

三点共线向量定理是：若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线。证明方法：1、取两点确立一条直线，计算该直线的解析式 。代入第三点坐标看是否满足该解析式。2、设三点为A、B、C。利用向量证明：a倍AB向量=AC向量（其中a为非零实数）。3、利用 点差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三点共线。4、证三次两点一线。（误，两点必然共线)。5、用梅涅劳斯定理。6、利用几何中的公理“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。”可知如果三点同属于两个相交的平面则三点共线。7、运用公（定）理“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（垂直）”。其实就是同一法。8、证明其夹角为180°。向量概念：是数学、物理学和工程科学等多个自然科学中的基本概念。指一个同时具有大小和方向，且满足平行四边形法则的几何对象。向量的记法：印刷体记作粗体的字母，书写时在字母顶上加一小箭头。如果给定向量的起点A和终点B，可将向量记作AB。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示。在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。

如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。 证明： 1）充分性，对于向量 a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使 b=λa，那么由 实数与向量的积的定义 知，向量a与b共线。 2）必要性，已...

共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b ，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。它的七个推论：推论1两个向量a、b共线的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。推论2两个非零向量a、b共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。推论3如果a、b是两个不共线的向量，且存在一对实数λ、μ，使得 λa+μb=0，那么λ=μ=0。推论4如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一实数λ，使得向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB。（其中，向量AC=λ向量AB）。推论5如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一一对实数λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中推论6如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ、ν，使得λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。，λ+μ=1）。推论7点P是直线AB外任意一点，那么三不同点A、B、C共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ、ν，使得λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。

向量共线的原理是在平行基础上推出的。 当两个向量平行时，这两个向量所在的直线就是平行的，然后根据这两个向量有公共点，它们所在直线就必定有公共点，平行直线有公共点就必定重合了，所以这两个向量就仅在一条直线上。也就有所谓的向量共“线”了。