向量共线定理公式

当两个向量均不为0向量时,x1y2-x2y1=0,b=ka,k不等于0

向量三点共线定理是：若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线。共线向量也便是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，因此称为共线向量。证明过程是：AC=OC-OA=λOA+μOB-OA=μOB+(λ-1)OA=μ(OB-OA)，而AB=OB-OA，即AB=μAC，故A、B、C三点共线。平面向量公式是：1、向量的的数量积。定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π。定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x"+y•y"。2、向量的数量积的运算律：a•b=b•a（交换律）。(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)。（a+b)•c=a•c+b•c（分配律）。向量的数量积的性质。a•a=|a|的平方。a⊥b 〈=〉a•b=0。|a•b|≤|a|•|b|。

共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b ，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。它的七个推论：推论1两个向量a、b共线的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。推论2两个非零向量a、b共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。推论3如果a、b是两个不共线的向量，且存在一对实数λ、μ，使得 λa+μb=0，那么λ=μ=0。推论4如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一实数λ，使得向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB。（其中，向量AC=λ向量AB）。推论5如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一一对实数λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中推论6如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ、ν，使得λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。，λ+μ=1）。推论7点P是直线AB外任意一点，那么三不同点A、B、C共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ、ν，使得λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。

共线向量基本定理为如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使得b等于λa。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b ，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。向量共线的概括在数学中，向量也称为欧几里得向量、几何向量、矢量，指具有大小和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指代表向量的方向，线段长度代表向量的大小。与向量对应的只有大小，没有方向的量叫做数量。几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的向量是哪一种概念。

平面向量的共线定理如下：平面向量共线定理：P是直线外AB外一点，C是平面PAB内一点，根据平面向量基本定理，有且仅有一对实数x，y，使得向量PC=x向量PA+y向量PB，以下两个命题互为充要条件：Q1<=>Q2；Q1：A、B、C三点共线；Q2：x+y=1。一、例题一（见上图）分解一遍运用该定理的解题过程：1、找到共线的三点（A、B、D）。2、确定系数x与y的比例（利用角平分线的性质）。3、解出系数组合。但是很多时候并不一定能直接套用定理，还要通过灵活的变形。二、例题二1、分析：本题中需要克服的最大问题是如何把三个向量统一到一个三角形中，我们通过平移构造了b的相等向量。可是如果遇到明显不共线的三点怎么办呢？我们可以从定理的推导本身寻找灵感。下面是对定理的一个局部推导（只考虑A在BC之间的情况）。我们知道一个向量可以通过平行四边形法则分解到两个方向上，从而得到满足方向要求的一组基底。我们以这组基底为基础，可以通过调整模长构造出确定方向上新基底的线性组合。2、利用共线定理这种方法确定一个向量的线性组合相比平行四边形法则主要有两个好处：找一条直线相比确定一个平行四边形要容易。这种方法确定的系数具有清晰的几何意义。

向量共线的原理是在平行基础上推出的。 当两个向量平行时，这两个向量所在的直线就是平行的，然后根据这两个向量有公共点，它们所在直线就必定有公共点，平行直线有公共点就必定重合了，所以这两个向量就仅在一条直线上。也就有所谓的向量共“线”了。

共线向量基本定理：设 a、b 是共线向量（平行向量）,且 b≠0 , 则 存在唯一实数λ,使 a=λb . 三点共线：设平面内三个不同点A、B、C,O是平面内异于A、B、C的任一点, 则A、B、C三点共线的充要条件是：存在实数x,y,使 OA=xOB+yOC,且 x+y=1 .

共线向量的定理指的应该是向量共线的的充要条件： 向量a与非零向量b共线的充要条件是存在实数x,使a=xb.

三点共线指的是三点在同一条直线上，向量三点共线定理是若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线。共线向量即平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量。任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。 扩展资料 三点共线指的.是三点在同一条直线上，向量三点共线定理是若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线。共线向量即平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量。任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。

共线向量基本定理：设a、b是共线向量（平行向量），且b≠0，则存在唯一实数λ，使a=λb。三点共线：设平面内三个不同点A、B、C，O是平面内异于A、B、C的任一点，则A、B、C三点共线的充要条件是：存在实数x，y，使OA=xOB+yOC，且x+y=1。

向量共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ，使b＝λa.你看是唯一一个实数这个前提，才有一个唯一确定的值。如果这样想，a就是一个零向量会怎样？那么定理中的实数λ取任何数都可以了，也就是可以有无数的值可以取，因为零向量a乘任何向量都还是零向量，就不符合只有唯一的一个实数λ使其成立了。所以嘛，a是非零向量。在这里，进行补充另一个:b可以是零向量。希望能对你有帮助！加油

如果b是零向量呢λ就等于0呗。但如果a是零向量，呢λ就不是唯一实数了啊，因为零向量跟任意一向量共线。这么说你懂了伐？

两个向量a、b共线的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。证明：1）充分性，不妨设μ≠0，则由 λa+μb=0 得 -b=(λ/μ)a。由 共线向量基本定理 知，向量a与b共线。2）必要性，已知向量a与b共线，若a≠0，则由共线向量基本定理知，b=λa，所以 λa-b=0，取 μ=-1≠0，故有 λa+μb=0，实数λ、μ不全为零。若a=0，则取μ=0，取λ为任意一个不为零的实数，即有 λa+μb=0。

答案： 解析： 如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么，有且只有一个实数λ，使b＝λa．

1 共线知识点 定比分点　　定比分点公式(向量P1P=λ 向量PP2)　　设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ 向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。　　若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有　　OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)　　x=(x1+λx2)/(1+λ),　　y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)　　我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式　　三点共线定理　　若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线　　三角形重心判断式　　在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心　　 向量共线的重要条件　设a=(x，y)，b=(x"，y")。　　若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。　　a//b的重要条件是 xy"-x"y=0。　　零向量0平行于任何向量。　 向量垂直的充要条件　　a⊥b的充要条件是 a b=0。　　a⊥b的充要条件是 xx"+yy"=0。　　零向量0垂直于任何向量.　 2、数乘向量　　实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣ ∣a∣。　　当λ>0时，λa与a同方向;　　当λ<0时，λa与a反方向;　　当λ=0时，λa=0，方向任意。　　当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。　　注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。　　实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。　　当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;　　当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。　　数与向量的乘法满足下面的运算律　　结合律：(λa) b=λ(a b)=(a λb)。　　向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.　　数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.　　数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。　　3、向量的的数量积　　定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π　　定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a b。若a、b不共线，则a b=|a| |b| cos〈a，b〉;若a、b共线，则a b=+-∣a∣∣b∣。　　向量的数量积的坐标表示：a b=x x"+y y"。　　向量的数量积的运算律　　a b=b a(交换律);　　(λa) b=λ(a b)(关于数乘法的结合律);　　(a+b) c=a c+b c(分配律);　　向量的数量积的性质　　a a=|a|的平方。　　a⊥b 〈=〉a b=0。　　|a b|≤|a| |b|。　　向量的数量积与实数运算的主要不同点　　1、向量的数量积不满足结合律，即：(a b) c≠a (b c);例如：(a b)^2≠a^2 b^2。　　2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a b=a c (a≠0)，推不出 b=c。　　3、|a b|≠|a| |b|　　4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

若A、B、C在一条直线上，O在直线外，AC=tAB，AC=OC-OA，AB=OB-OA，代入得OC-OA=t(OB-OA)，整理得OC=(1-t)OA+tOB令λ=1-t μ=t，就可得λ+μ=1

共线向量定理可用于：1、判定两个向量是否平行；2、建立方程解出未知数； 3、判定三点共线

如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。证明：1）充分性：对于向量 a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使 b=λa，那么由实数与向量的积的定义 知，向量a与b共线。2）必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令 λ=m，有 b =λa，当向量a与b反方向时，令 λ=-m，有 b=-λa。如果b=0，那么λ=0。3）唯一性：如果 b=λa=μa，那么 (λ-μ)a=0。但因a≠0，所以 λ=μ。证毕。

平面向量基本定理：　如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，存在唯一一对有序实数(x 、y) ，使 a= xe1＋ ye2。 共面向量基本定理：如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，使 p=xa+by。

向量三点共线定理是数学中的基本知识，可以用于计算和求解各种向量问题。定理的内容是：三点A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)、C(x3,y3,z3)在同一直线上的充要条件是向量AC可以表示为向量AB与向量BC的线性组合。这条定理在空间解析几何中应用非常广泛，例如可以用于计算三角形的面积、解决线性方程组等问题。同时，在物理学、统计学等学科中也有着重要的应用，例如测量物体在空间中的位置、计算物质的叠加效应等。因此，向量三点共线定理是一项非常实用的数学工具。

三点共线向量定理是：若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线。证明方法：1、取两点确立一条直线，计算该直线的解析式 。代入第三点坐标看是否满足该解析式。2、设三点为A、B、C。利用向量证明：a倍AB向量=AC向量（其中a为非零实数）。3、利用 点差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三点共线。4、证三次两点一线。（误，两点必然共线)。5、用梅涅劳斯定理。6、利用几何中的公理“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。”可知如果三点同属于两个相交的平面则三点共线。7、运用公（定）理“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（垂直）”。其实就是同一法。8、证明其夹角为180°。向量概念：是数学、物理学和工程科学等多个自然科学中的基本概念。指一个同时具有大小和方向，且满足平行四边形法则的几何对象。向量的记法：印刷体记作粗体的字母，书写时在字母顶上加一小箭头。如果给定向量的起点A和终点B，可将向量记作AB。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示。在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。

共线向量基本定理就是如果向量a≠0那么向量b与a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使得 b=λa显然如果b为0向量的话，λ=0即可所以b当然是可以为0的

向量共线定理λ不可以为0。共线向量也就是平行向量共线向量基本定理为如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。

AC＝OC－OA＝λOA +μOB －OA＝μOB+（λ-1）OA= μ(OB-OA).而AB＝OB－OA,即AB＝μAC,故 A、B、C三点共线.

如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。 证明： 1）充分性，对于向量 a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使 b=λa，那么由 实数与向量的积的定义 知，向量a与b共线。 2）必要性，已...

可设X(2m,m),则XA=(1-2m,7-m),XB=(5-2m,1-m),所以，XA*XB=5m^2-20m+12,所以当m=2时有最小值-8;此时X(4,2),A(1,7),B(5,1),XA=(-3,5),XB=（1，-1），cosa=-4/根号17

向量共线的充要条件是由实数与向量的积推出的,它是平面向量的基本定理的一种特殊情况,具体内容为:向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa,由于零向量与任一向量共线,故上述定理又可叙述为向量b与向量a共线的充要条件是：存在不全为0的实数λ1,λ2,使得λ1a+λ2b=0,它的逆否命题为：若向量a,b不共线,(a≠0,b≠0),且λ1a+λ2b=0,则λ1=λ2=0,这些结论可用来证明几何中三点共线与两直线平行等问题.

用反证法证明：假设存在另一对实数m,n满足me1+ye2=a又xe1+ye2=ame1+ye2=xe1+ye2(m-x)e1=(y-n)e2因为e1,e2不共线所以m-x=0,y-n=0所以m=x,y=n与假设矛盾所以得证楼主，题目的意思你再琢磨一下。。。存在是前提，要证的是唯一。同时这个命题本来就是人为发现而定义出来的，是定义它存在的。

1.平面向量基本定理和向量共线定理2.向量共线定理 向量$oldsymbol a(oldsymbol a≠0)$与$oldsymbol b$共线,当且仅当有唯一一个实数$λ$,使$oldsymbol b=λoldsymbol a$。

连接BM，则四边形MBCA是平行四边形，向量AM+向量AC＝向量AB，又因为D为AB中点，所以向量AB＝2向量AD即2向量AD=向量AM+向量AC（这是利用平行四边形法则，平移）

如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，存在唯一一对有序实数(x 、y) ，使 a= xe1＋ ye2。

浥：（yì）：湿润，沾湿。

因为空间中向量平行但是属于不同方向的向量很多。比如说空间中某一个向量平行于xoy平面，那么在xoy平面中，会有一排向量都是与它平行的，你只要找到1个λ就可以说明平行，但实际上平行的向量非常多。平面上就不一样，平面上的向量可以平移，平移后的向量是同一个向量，所以λ是唯一的。空间向量的平移必须在某一个平面内

在向量共线定理中，实数是唯一的，即两个向量的比例必须是唯一的实数，才能使两个向量共线。

平面向量基本定理：如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在一个唯一的有序实数对(x,y)，使得p=xa+yb；此处唯一性指的就是有序实数对的唯一性。

平行向量就是共线向量所以a=λb或者设向量a（x,y）向量b（x1,y1）若向量a平行向量b则xy1=yx1（内向等于外向）

成立的向量三点共线定理三点共线定理：若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线。共线向量也便是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a‖b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，因此称为共线向量。证明过程：AC=OC-OA=λOA+μOB-OA=μOB+(λ-1)OA=μ(OB-OA).而AB=OB-OA，即AB=μAC，故A、B、C三点共线。

共线

基本定理2.3.2平面。给定平面内的两个不共线的非零向量。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。

共线向量基本定理为：如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。注意是a≠0时.若a=0,b≠0不存在λ使b=λa；若a=0,b=0则有无数个λ使b=λa.

共线向量基本定理是空间四点共面。定理是比如ABCD四点，以为三点ABC式一定共面的，只要可以证明AD=mAB+nAC其中m,n不全为零，v表示向量。1、共面定理的定义为能平移到一个平面上的三个向量称为共面向量，共面向量定理是数学学科的基本定理之一，属于高中数学立体几何的教学范畴主要用于证明两个向量共面，进而证明面面垂直等一系列复杂定理。2、平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，物理学中也称作矢量与之相对的是只有大小、没有方向的数量(标量)，平面向量用a、b、c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。3、把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆，或把被证共圆的四点两两联结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积即可肯定这四点也共圆。

三点共线定理：若OC=λOA+μOB，且λ＋μ＝1，则A、B、C三点共线。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。证明过程：AC=OC-OA=λOA+μOB-OA=μOB+(λ－1)OA=μ（OB-OA)。而AB=OB-OA，即AB=μAC，故A、B、C三点共线。三点共线的证明方法：1、取两点确立一条直线，计算该直线的解析式。代入第三点坐标看是否满足该解析式（直线与方程）。2、设三点为A、B、C ，利用向量证明：λAB=AC（其中λ为非零实数）。3、利用点差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三点共线。4、用梅涅劳斯定理。5、利用几何中的公理“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”，可知：如果三点同属于两个相交的平面则三点共线。6、运用公（定）理“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（垂直）”，其实就是同一法。

A(a,b),B(x,y),C(m,n) AB(x-a,y-b) AC(m-a,n-a) 证向量AB、AC平行即可

一、两个向量垂直，有垂直定理：若设a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，a⊥b的充要条件是a·b=0，即(x1x2+y1y2)=0 。二、向量其他定理1、向量共线定理若b≠0，则a//b的充要条件是存在唯一实数λ，，使，若设a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，则有 ，与平行概念相同。平行于任何向量。2、分解定理平面向量分解定理：如果、是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使，我们把不平行向量、叫做这一平面内所有向量的基底。3、三点共线定理已知O是AB所在直线外一点，若,且则A、B、C三点共线。扩展资料：向量的运算：设，。1、加法向量加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则，。设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a+b=(x1+x2,y1+y2)向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。2、减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0，OA-OB=BA.即“共同起点，指向被向量的减法减”a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，则a-b=(x1-x2,y1-y2).c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。加减变换律：a+(-b)=a-b3、数乘实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量，记作λa，且|λa|=|λ|*|a|。当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。4、数量积若a、b不共线，则；若a、b共线，则。向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x"+y·y"。参考资料来源：百度百科：向量

如果 a≠0,那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ,使得 b=λa. 　证明： 1）充分性,对于向量 a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使 b=λa,那么由 实数与向量的积的定义 知,向量a与b共线. 2）必要性,已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的m倍,即 ∣b∣=m∣a∣.那么当向量a与b同方向时,令 λ=m,有 b =λa,当向量a与b反方向时,令 λ=-m,有 b=-λa.如果b=0,那么λ=0. 3）唯一性,如果 b=λa=μa,那么 (λ-μ)a=0.但因a≠0,所以 λ=μ. 　证毕.

1.根据定义,平行于同一个平面的向量叫做共面向量. 2.空间中任意一个向量都可以平移. 因此 根据平面向量基本定理,平面中的任意一个向量的都可以用两个不共线的向量来表示. 如果这两个向量共线的话,只能表示与之平行的那些向量,而无法表示其它所有的向量.

两个向量共线说明两个向量是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。 共线向量基本定理为如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。

只有两个定理：平面向量基本定理。共面向量基本定理。如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，存在唯一一对有序实数(x 、y) ，使 a= xe1＋ ye2。 向量组I（含有s个向量）可以由向量组II（含有t个向量）线性表示，则 秩(I)≤秩(II)。这时候得不出关于s与t的任何关系式，只能是 秩(I)≤秩(II)≤t。相关比较：共线向量与平行向量关系：由于任何一组平行向量都可移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量。平行向量与相等向量的关系：相等的向量一定平行，但是平行的向量并不一定相等。两个向量相等并不一定这两个向量一定要重合。只用这两个向量长度相等且方向相同即可。其中“方向相同”就包含着向量平行的含义。

解析如下：只考虑A，B，C不重合的情形因为 X+Y=1向量OC=X向量OA+Y向量OBX向量OC+Y向量OC=X向量OA+Y向量OBX向量OC-X向量OA=Y向量OB-Y向量OCx 向量AC=Y向量CB 向量AC=(Y/X)向量CB 所以 向量AC，向量CB 共线，又向量AC，向量CB 有共同点C所以　三点A,B,C共线，

空间向量基本定理是用数学方式表达的一种空间概念，表达式为p=xa+yb+zc d=AB*AB*n。若存在三个不共面向量a，b，c，那么对空间任一向量p，存在唯一有序实数组{x，y，z}使得成立。证明如下：∵x+y+z=1∴ z=1-x-y又∵OP=xOA+yOB+zOC∴ OP =xOA+yOB+（1-x-y）OCOP=x（OA-OC）+y（OB-OC）+OCOP-OC=x（OA-OC）+y（OB-OC）∴ CP=xCA+yCB又由已知条件A、B、C三点不共线可得CA、CB是不共线向量∴ 根据平面向量的基本定理可知，点P位于平面ABC内∴ 充分性成立空间向量基本定理推论1、空间中任意不共面的三个向量都可以构成空间的一个基底。2、由于零向量可以认为与任意一个向量共线，与任意两个向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量。3、一个基底是一组向量，一个基向量是基底中的某一个向量。