极限的性质

函数极限的性质：1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等；2、有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列一定有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列1，－1，1，－1，……（－1)n+1。3、和实数运算的相容性：譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列  {xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。4、与子列的关系：数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列  收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。几何意义：1、在区间（a-ε，a+ε）之外至多只有N个（有限个）点。2、所有其他的点xN+1，xN+2，（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。换句话说，如果只知道区间（a-ε，a+ε）之内有{xn}的无数项，不能保证（a-ε，a+ε）之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。

数列的极限问题是我们学习的一个比较重要的部分，同时，极限的理论也是高等数学的基础之一。数列极限的问题作为微积分的基础概念，其建立与产生对微积分的理论有着重要的意义。中文名数列极限外文名The limit of sequence领域数学性质数列的收敛性应用微积分快速导航性质存在的条件应用基本概念数列定义 若函数的定义域为全体正整数集合，则称为数列。因正整数集的元素可按由小到大的顺序排列，故数列也可写作或可简单地记为，其中称为该数列的通项。数列极限定义设为数列，a为定数。若对任给的正数，总存在正整数N，使得当时有则称数列收敛于a，定数a称为数列的极限，并记作若数列没有极限，则称不收敛，或称发散。[1]等价定义任给，若在(a-ε,a+ε)之外数列中的项至多只有有限个，则称数列收敛于极限a