极限的运算

第一幅图6) =(√x)"=1/2*x^(-1/2)=1/(2√x)7)=lim(x-1>)((x^2-x+1-3)/(x^3+1))=(1^2-1-2)/(1^3+1)=-1/2第二幅图2）lim(x->0)(sin5x/sin3x)=lim(x->0)(5x/3x)=5/3 （等价无穷小）4)lim(x->0)(sin2x-sinx/2)/x=lim(x->0)((2sinxcosx-sinx/2)/x)=lim(x->0)((4sinx/2*cosx/2*cosx-sinx/2)/x)=lim(x->0)(sinx/2(4*cosx/2*cosx-1)/(2x/2))=1*lim(x->0)((4*cosx/2*cosx-1)/2)=(4*1*1-1)/2=3/26)lim(x->∞）（1-1/x)^3x=lim(x->∞）（（1+1/(-x))^(-x)）^(-3)=e^(-3)=1/e^38)lim(x->π/2)(1+cotx)^2tanx=lim(x->π/2)((1+cotx)^(1/cotx))^2=e^2

等价无穷小代换，分母里括号里的式子等价于(1/3)x^3

＝1

过程见上

=lim √n X(n+2011-n)/(√(n+2011) +√n)=lim2011/(√(1+2011/n) +1)=2011/2

如图所示

=e^limxln(1-1/(x²+1))=e^lim-x/(x²+1)=e^0

你这个拆开以后，两部分的极限都是无穷，也就是都存在，所以不能拆。极限四则运算法则的条件就是每一部分的极限必须存在。

1.极限的四则运算、任何复合运算，只要是定式之间的运算都成立； 2.出错。 3.极限不存在。 4.运用乘除法运算，乘号前后不能出现0乘以∞的情况，除法不能出现分子分母同趋于无穷大，或同趋于0的情况。 极限的运算法则：（1）直接带入法（2）无穷大与无穷小的关系例子：lim(x趋向于1）-（4x-1)/(x2+2x-3)根据无穷大无穷小的关系则为0。（3）“0/0”型未定式用因式分解法 （4）“无穷/无穷”未定式用X的最高次幂去除以每一项例子： lim(x趋向于无穷）（3x2+x+1)/(2x2+4x-3) 分子分母同除于X2得3/2

第二种思路是对的。第一种思路的错误原因是：∞/∞是一个“不定型”。如：本题中的极限等于1；若改为 n→∞ (2n+1)/(n+2)则其极限就等于2；（一般规律：若分子、分母的最高次项的指数相等，则当 n→+∞ 时，其极限等于分子、分母最高次项系数的比）；若改为： n→∞ (n^2+1)/(n+2)则其极限不存在；若改为： n→∞ (n+1)/(n^2+2)则其极限为0。

如图

lim(x->∞ ) [ (x^2+1)/x - ax -b] = 1lim(x->∞ ) [ (1-a)x^2 - bx +1 ] /x = 1 =>1-a=0 and -b = -1a=1 and b=1

      极限的运算是大学高数的基础，如果不会极限的运算，会很影响之后的学习。下面就由我为大家介绍一下极限的运算法则。操作方法nbsp;     01      定理一比较好理解，两个无限趋于0的数相加仍趋近于0，用数学归纳法亦可推出:有限个无穷小之和也是无穷小。nbsp;     02      无穷小的极限为0，任何数乘以无穷小均为0。根据定理二可推算得常数与无穷小的乘积也是无穷小，有限个无穷小的成绩也是无穷小。      03      定理三是极限内的计算，其基本计算方法与常数的计算方法一致。由此可推断出limcf(x)=climf(x)(c为常数)      04      定理四是数列极限的运算。数列是一种特殊的函数，因此定理四也成立。      05      定理五说的是极限大小的比较。其结果可由定理三推出，由limf(x)≧0，即A-B≧0，故A≧B。      06      定理六说的是复合函数的极限。其实复合函数可以看成是两个函数的乘积，故可由定理三推出定理六的结论。特别提示      其实极限的运算并不难，只要平时多算、多练，我们很掌握这六个定理。

具体回答如下：im (1+1/x)^x =lim e^[ ln ((1+1/x)^x)] = e^ lim [ x ln (1+1/x)]x-->无穷大 1/x--> 0此时，ln (1+1/x) = 1/x （等价无穷小）lim [ x ln (1+1/x)] = x * 1/x = 1原式= e^ 1 = e极限的性质：和实数运算的相容性，譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列{xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。与子列的关系，数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。

能，因为极限与函数值没关，只与趋势有关。不管函数数在0点等于几，只要左右趋于0时的值相等，极限就存在，就是那个趋于的数

lim(A+B) = lim(A) + lim(B)，若后两项都存在。因此原式=lim（an）+lim（an）+lim（an）... = nA

过程，可能与你所学不一致，自己改改。

数列极限的运算法则如下：前提条件：各数列均有极限；相加减时必须是有限个数列才能用法则。极限的三大性质：极限的唯一性、极限的有界性、极限的保序性。极限的定义（描述性的）：如果当项数n无限增大时，无穷数列的项an无限地趋近于某个常数a（即 无限地接近于0），a叫数列的极限，可记做当n→+∞时，an→a。an无限接近于a的方式有三种：递增的数列，an无限接近于a，即an是在常数a的左边无限地趋近于a；递减数列，an无限地趋近于a，即an是在常数a的右边无限地趋近于a；摆动数列，an无限地趋近于a，即an是在无限摆动的过程中无限地趋近于a。严格定义：即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切an都满足 ，a叫数列的极限。“ xn 以 a 为极限”的几何解释：将常数a及数列各项x1,x2,...,xn,...在数轴上找出相应的点，再在数轴上作开区间(aε,a+ε)。当 n>N 时，满足 |xn−a|<ε ，亦即满足 a−ε<xn<a+ε 。也就是说从 N+1 开始，以后无穷多项都落在开区间 (a−ε,a+ε)内。