极限的存在准则

这个是反三角函数，如果x=sint，则t=arcsinx

　　用夹逼定理：　　1）由于　　　1/x > [1/x]≥ 1/x-1，可知　　　1 = x(1/x) > x[1/x]≥ x(1/x-1) = 1-x → 1 (x→0)，由夹逼定理，即得　　　lim(x→0)x[1/x] = 1。　　2）记该数列为 x(n)，则有　　x(n) < (1/n^3)*Σ(1≤k≤n)(k^2) = (1/n^3)*(1/6)n(n+1)(2n+1)　　　　= (1/6)(1+1/n)(2+1/n)，　　x(n) > [1/√(n^6+n^2)]*Σ(1≤k≤n)(k^2) = [1/√(n^6+n^2)]*(1/6)n(n+1)(2n+1)　　　　= (1/6)(1+1/n)(2+1/n)/√(1+1/n^4)，左右两端的极限都是 1/3，由夹逼定理，即得　　　lim(n→∞)x(n) = 1/3。

一、单调有界准则.二、夹逼准则,如能找到比目标数列或者函数大而有极限的数列或函数并且又能找到比目标数列或者函数小且有极限的数列或者函数,那么目标数列或者函数必定存在极限.

单调有界准则夹逼准则

当x趋近于正无穷或负无穷时,[1+(1/x)]^x的极限就等于e,实际上e就是通过这个极限而发现的。函数极限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以x→Xo 的极限为例，f(x) 在点Xo 以A为极限的定义是： 对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式： |f(x)-A|<ε ，那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。极限存在准则：有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。1.夹逼定理：（1）当x∈U(Xo,r)(这是Xo的去心邻域，有个符号打不出）时，有g（x)≤f(x)≤h(x)成立（2）g(x)—>Xo=A,h(x)—>Xo=A,那么，f(x)极限存在，且等于A。不但能证明极限存在，还可以求极限，主要用放缩法。2.单调有界准则：单调增加（减少）有上（下)界的数列必定收敛。在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。3.柯西准则。数列收敛的充分必要条件是任给ε>0,存在N(ε),使得当n>N,m>N时，都有|am-an|<ε成立。

极限存在准则即柯西极限存在准则，又叫柯西收敛原理，是用来判断某个式子是否收敛的充要条件（不限于数列），主要应用在数列、数项级数、函数、反常积分、函数列和函数项级数，每个方面都对应一个柯西准则。极限存在准则具体有两个，分别为：1、单调有界准则。如单调递增又有上界者，或者单调递减又有下界者。2、夹逼准则。如能找到比目标数列或者函数大而有极限的数列或函数并且又能找到比目标数列或者函数小且有极限的数列或者函数，那么目标数列或者函数必定存在极限。

有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。1.夹逼定理：（1）当(这是的去心邻域，有个符号打不出）时，有成立（2）,那么，f(x)极限存在，且等于A不但能证明极限存在，还可以求极限，主要用放缩法。2.单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。3.柯西准则数列收敛的充分必要条件是任给ε>0,存在N(ε),使得当n>N,m>N时，都有成立。