费马点

费马点的证明如图，在△ABC中，P为其中任意一点。连接AP，BP，得到△ABP。合并图册合并图册(2张)以 点B为旋转中心，将 △ABP逆时针旋转 60°，得到△EBD∵旋转60°，且BD=BP，∴△DBP 为一个等边三角形∴PB=PD因此， PA+PB+PC=DE+PD+PC由此可知当E、D、P、C 四点共线时， 为PA+PB+PC最小若E、D、P共线时，∵等边△DBP∴∠EDB=120°同理，若D、P、C共线时，则 ∠CPB=120°∴P点为满足∠APB=∠BPC=∠APC=120° 的点。历史背景皮耶·德·费马（Pierre de Fermat）是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家。之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作。他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为“费尔玛”（注意“玛”字）。费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。著名的数学史学家贝尔（E. T. Bell）在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王“。贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就，然而皮耶·德·费马并未在其他方面另有成就，本人也渐渐退出人们的视野，考虑到17世纪是杰出数学家活跃的世纪，因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星。费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义。

分三步证明费马点，正好费马点的三个性质。

费马点，就是平面上到三角形三顶点距离之和最小的点。由数学家费马提出，据说由托里拆利很快找到。在三角形随意找一点D,连接DA、DB、DC,费马点D到三个顶点距离之和最小呢？我们通过旋转来等价转化距离之和，以C点为旋转中心，将三角形CDB逆时针旋转60度到三角形CEF位置。易知DB=EF,DC=CE=DE,DA+DB+DC=DA+DE+EF,显然当A、D、E、F四点共线时，距离之和最短。当A、D、E共线时，∠CDA=120°，当D、E、F共线时，∠FEC=∠BDC=120°，所以D点应该对三个顶点的张角都为120°，这就是费马点的位置。请点击输入图片描述

[编辑本段]费马点定义　　在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。　　(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。　　(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。[编辑本段]费马点的判定　　（1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点P,若PA+PB+PC有最小值,则P为费马点。费马点的计算　　（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。[编辑本段]证明　　我们要如何证明费马点呢：费马点证明图形　　(1)费马点对边的张角为120度。　　△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,　　△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B　　同理可得∠CBP=∠CA1P　　由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度　　同理,∠APB=120度，∠APC=120度　　(2)PA+PB+PC=AA1　　将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度　　又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，　　又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。　　(3)PA+PB+PC最短　　在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1<A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。　　平面四边形费马点　　平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。　　（1）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。费马点　　（2）在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D（P）。　　经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点的找法：　　当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。[编辑本段]费马点性质：　　费马点　（1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。　　特殊三角形中：　　(2).三内角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.　　(3).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.　　(4)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合

费马点的证明如图，在△ABC中，P为其中任意一点。连接AP，BP，得到△ABP。合并图册合并图册(2张)以 点B为旋转中心，将 △ABP逆时针旋转 60°，得到△EBD∵旋转60°，且BD=BP，∴△DBP 为一个等边三角形∴PB=PD因此， PA+PB+PC=DE+PD+PC由此可知当E、D、P、C 四点共线时， 为PA+PB+PC最小若E、D、P共线时，∵等边△DBP∴∠EDB=120°同理，若D、P、C共线时，则 ∠CPB=120°∴P点为满足∠APB=∠BPC=∠APC=120° 的点。历史背景皮耶·德·费马（Pierre de Fermat）是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家。之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作。他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为“费尔玛”（注意“玛”字）。费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。著名的数学史学家贝尔（E. T. Bell）在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王“。贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就，然而皮耶·德·费马并未在其他方面另有成就，本人也渐渐退出人们的视野，考虑到17世纪是杰出数学家活跃的世纪，因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星。费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义。

 费马点：到三点距离之和最小的点。费马点的含义： 有一个内角不超过120°的三角形。求作一个点，要求它到三角形三个顶点的距离之和最小。下面我们通过作图可以找到这个点。还可以证明，它到三个顶点的连线之间的夹角都是120°。这个点被称作费马点。下图中的点P就是三角形ABC的费马点。                                    

费马点的证明如图，在△ABC中，P为其中任意一点。连接AP，BP，得到△ABP。合并图册合并图册(2张)以 点B为旋转中心，将 △ABP逆时针旋转 60°，得到△EBD∵旋转60°，且BD=BP，∴△DBP 为一个等边三角形∴PB=PD因此， PA+PB+PC=DE+PD+PC由此可知当E、D、P、C 四点共线时， 为PA+PB+PC最小若E、D、P共线时，∵等边△DBP∴∠EDB=120°同理，若D、P、C共线时，则 ∠CPB=120°∴P点为满足∠APB=∠BPC=∠APC=120° 的点。历史背景皮耶·德·费马（Pierre de Fermat）是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家。之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作。他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为“费尔玛”（注意“玛”字）。费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。著名的数学史学家贝尔（E. T. Bell）在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王“。贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就，然而皮耶·德·费马并未在其他方面另有成就，本人也渐渐退出人们的视野，考虑到17世纪是杰出数学家活跃的世纪，因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星。费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义。

皮耶·德·费马（Pierre de Fermat）是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家。之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作。他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为“费尔玛”（注意“玛”字）。费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。著名的数学史学家贝尔（E. T. Bell）在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王“。贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就，然而皮耶·德·费马并未在其他方面另有成就，本人也渐渐退出人们的视野，考虑到17世纪是杰出数学家活跃的世纪，因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星。费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义。