极限

有界函数不一定有极限。有界函数是设f(x)是区间E上的函数，若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f(x)≤M，则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界，M称为f(x)在区间E上的上界。有界函数并不一定是连续的。根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ（D)是一个有上（下）界的数集。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。由ƒ(x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。当x越来越接近－1或1时，函数的值就变得越来越大。函数的性质：1、单调性闭区间上的单调函数必有界。其逆命题不成立。2、连续性闭区间上的连续函数必有界。其逆命题不成立。3、可积性闭区间上的可积函数必有界。其逆命题不成立。以上内容参考 百度百科—有界函数

有界函数不一定有极限。例如函数：当x为有理数时取0，当x为无理数时取1，为有界函数。但它在实数轴上的任意一点都没有极限（有理数序列趋近于该点时取极限0，无理数序列趋近于该点时取极限1）。不是说有极限的函数，只有局部有界性，不能有定义域内全部有界。而是说，有极限的函数，能确保极限点附近的某个局部一定是有界的，但是无法确保定义域内有界。举例或者说，定义域内无界的函数，并不是在定义域内任何一点都没有极限。比方说f（x）＝x²，这个函数在定义域内就是无界的，但是在任何一点都是有极限的。那么在任何一点的局部范围内，就都是有界的。所以如果要求有极限就必须定义域内全部有界，那么其实就等于拒绝承认无界函数在定义域内的点，也可能有极限的情况。

定义分别如下：极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。在现代的数学分析教科书中，几乎所有基本概念（连续、微分、积分）都是建立在极限概念的基础之上。有界集：设在R中有一个集合A，如果存在正数M<∞：|x-y|≤M，其中任意x,y∈A；就称A为有界集，即A是有界的。

左右极限详解：网页链接一、扩展：研究成果：1、李氏恒定式：数学家李善兰在级数求和方面的研究成果，在国际上被命名为【李氏恒定式】2、华氏定理：“华氏定理”是我国著名数学家华罗庚的研究成果。　华氏定理为：体的半自同构必是自同构自同体或反同体。　数学家华罗庚关于完整三角和的研究成果被国际数学界称为“华氏定理”；另外他与数学家王元提出多重积分近似计算的方法被国际上誉为“华—王方法”。3、苏氏锥面：数学家苏步青在仿射微分几何学方面的研究成果在国际上被命名为“苏氏锥面”。苏步青院士对仿射微分几何的一个极其美妙的发现是：他对一般的曲面，构做出一个仿射不变的4次（3阶）代数锥面。在仿射的曲面理论中为人们许多协变几何对象，包括2条主切曲线，3条达布切线，3条塞格雷切线和仿射法线等等，都可以由这个锥面和它的3根尖点直线以美妙的方式体现出来，形成一个十分引人入胜的构图，这个锥面被命名为苏氏锥面。二、数学的发展史大致可以分为四个时期。第一时期是数学形成时期，第二时期是常量数学时期等。其研究成果有李氏恒定式、华氏定理、苏氏锥面。

不是的。无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。无穷小是极限为零的函数。如lim(x趋于x₀）f(x)=0是自变量x趋于x₀，因变量极限为零的函数。此时f(x)就是x趋于x₀的无穷小。

当lim A=0时：如果lim B/A =0，B是比A高阶的无穷小，记作B=o(A)。如果lim B/A=无穷大，B是比A低阶的无穷小。如果lim B/A=k，k为不等于0和1的常数，B是A的同阶非等价无穷小。无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。确切地说，当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f(x)与0无限接近。含义：无穷小量就是极限为零的量。确切地说，当自变量x无限接近x0(或x的绝对值无限增大)时，函数值f(x)与零无限接近，即limf(x)=0，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。例如，f(x)=(x－1)2是当x→1时的无穷小量，f(x)= 1/n是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sinx是当x→0时的无穷小量（注意：特别小的数和无穷小量不同）。

无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。例如，f(x)=(x－1)^2是当x→1时的无穷小量，f(n)<1/n是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sin(x)是当x→0时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。根据无穷小量的定义，正确答案应为：A:In x （当x→1时，值无限接近0）扩展资料某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。求极限基本方法有1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化；3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。4、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。

当x趋近于0的时候有以下几个常用的等价无穷小的公式：1、sinx~x、tanx~x、arcsinx~x、arctanx~x、1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-12、（a^x）-1~x*lna [a^x-1)/x~lna]3、（e^x）-1~x、ln(1+x)~x4、(1+Bx)^a-1~aBx、[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x、loga(1+x)~x/lna、（1+x)^a-1~ax(a≠0)。扩展资料：两个重要极限：1、2、（其中e=2.7182818 是一个无理数，也就是自然对数的底数）。无穷小的性质：1、无穷小量不是一个数，它是一个变量。2、零可以作为无穷小量的唯一一个常量。3、无穷小量与自变量的趋势相关。4、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。5、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。6、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。7、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。8、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。无穷小比阶：高低阶无穷小量：lim（x趋近于x0）f（x）/g（x）=0，则称当x趋近于x0时，f为g的高阶无穷小量，或称g为f的低阶无穷小量。同阶无穷小量：lim（x趋近于x0）f（x）/g（x）=c（c不等于0），ƒ和ɡ为x趋近于x0时的同阶无穷小量。等价无穷小量：lim（x趋近于x0）f（x）/g（x）=1，则称ƒ和ɡ是当x趋近于x0时的等价无穷小量，记做f（x）~g（x）[x趋近于x0]。参考资料来源：百度百科-无穷小量

具体问题具体分析！！

lim(x趋于2）arctan√(2x-3)=arctan1=π/4

所有项范围更大。如：所有奇数项是无穷项+所有偶数项也是无穷项=所有项

具体问题具体分析~

第一个用平方差，第二个用二项式第三个无穷小量分除法

等价求极限就是在趋于某数时f(x) /g(x)的极限值为1，那么在求极限f(x) /h(x)时，就可以用g(x)代替f(x)，即f(x) /h(x)=g(x) /h(x)比如这里的x趋于0时，sinax及tanax等价于ax，1-cosx等价于0.5x^2等等