复数

复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数,i是虚数单位（即-1开根） 当复数a+bi中a=0且b≠0时,z=bi,我们就将其称为纯虚数. 两个实部相等,虚部互为相反数的复数互为共轭复数

两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。举例形如：z=a+bi(a，b∈R)和zˊ=a－bi（a,b∈R)

把形如a + bi（a,b∈R）的数叫做复数,其中 a 叫做复数的实部,b 叫做复数的虚部；i 称为虚数单位,具有以下性质： （1）i^2 = -1; （2）i 与实数可以进行四则运算. 当 b≠0 时,复数 a + bi 叫做虚数； 当 a=0,b≠0 时,复数 bi 叫做纯虚数. 设复数z = a + bi ,将 a - bi 叫做复数 z 的共轭复数.

共轭复数的性质：（1）︱x+yi︱=︱x-yi︱（2）（x+yi）*（x-yi）=x2+y2=︱x+yi︱2=︱x-yi︱2复数四则运算法则若复数z1=a+bi，z2=c+di，其中a，b，c，d∈R，则z1±z2=（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i，（a+bi）·（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i，（a+bi）÷（c+di）=（ac+bd）/（c2+d2）+（bc-ad）i/（c2+d2）其实两复数相除，完全可以转化为两复数相乘：（a+bi）÷（c+di）=（a+bi）/（c+di），此时分子分母同时乘以分母c+di的共轭复数c-di即可。虚数单位i的乘方i（4n+1）=i，i（4n+2）=-1，i（4n+3）=-i，i4n=1（其中n∈Z）扩展资料1、复数模的计算方法（1）利用复数的三角形式，转化为求三角函数式的最值问题；（2）考虑复数的几何意义，转化为复平面上的几何问题；（3）化为实数范围内的最值问题，或利用基本不等式；（4）转化为函数的最值问题。2、复数的大小关系复数无法比较大小，即两个复数只有相等和不等两种等量关系。两个复数是相等的，当且仅当它们的实部是相等的并且它们的虚部是相等的，就是说，a+bi=c+di当且仅当a=c并且b=d.参考资料来源：百度百科-共轭复数

设复数z=re^(it)，那么z=rcost+irsint，它的共轭复数为z"=rcost-irsint=rcos(-t)+irsin(-t)=re^(-it)

　　复数的共轭复数很简单，只要把虚部取反即可，例如：复数5/3+4i的共轭复数是5/3-4i。 　　两个实部相等、虚部互为相反数的复数互为共轭复数。 　　当虚部不为零时，共轭复数就是实部相等，虚部相反；如果虚部为零，其共轭复数就是自身（当虚部不等于0时也叫共轭虚数）。 　　根据定义，若z=a+bi(a，b∈R)，则=a－bi（a，b∈R)。

1、复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d) ；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d) ；③乘法：z1u2022z2＝(a＋b )u2022(c＋d )＝(ac－bd)＋(ad＋bc) ；④除法：2、共轭法则z=x+iy的共轭，标注为z*就是共轭数z*=x-iy即：zz*=（x+iy)(x-iy)=x2-xyi+xyi-y2i2=x2+y2即，当一个复数乘以他的共轭数，结果是实数。z=x+iy 和 z*=x-iy 被称作共轭对。现在用复数乘法计算(a+bi)(a-bi)得到(a+bi)(a-bi)=a2+b2, 结果是非负实数. 这个结果很重要, 因为两个复数相乘后变成了实数. 这两个复数a-bi与a+bi实部相等, 虚部互为相反数, 称它们互为共轭复数扩展资料复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，只要注意i2=-1即可.计算(4-3i)(-5+4i)【解析】(4-3i)(-5+4i)=-20+16i+15i-12i2=-20+31i+12=18+31i如果两个复数相等a+bi=c+di, 移项后得到a+bi-(c+di)=0, 根据复数的减法有(a-c)+(b-d)i=0. 复数等于零, 只有实部和虚部都为零, 于是得到a=c, b=d. 因此两个复数相等意味着实部与实部相等, 虚部与虚部相等。参考资料来源：百度百科-共轭复数

1.复数表示为 a+bi，a为实部 b为虚部。 2.共轭复数为a-bi实部不变，虚部变号即为共轭复数。 3. 比如3-2i的共轭复数就是3+2i，共轭相乘 （3-2i)(3+2i)=3^2+2^2=13。 4. 虚部相反,如果虚部为零，其共轭复数就是自身。

如这种:a+bi与a-bi互为共轭复数。

厚！来晚了

当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数

a+bi与a-bi互为共轭复数，就是实数部分相等，虚数部分不为0且互为相反数的2个复数称为互为共轭复数，比如说，1+i和1-i互为共轭复数

实部相同而虚部互为相反数的复数称为【互为共轭复数】如：a＋bi的共轭复数是a－bi

设z=a+bi，a,b∈R.z为复数a=0，b≠0时，z为纯虚数b=0时，z为实数，b≠0时，z为虚数.z的共轭复数为a-bi.

共轭复数的定义是若z=a+bi(a，b∈R)，则 z的共轭=a－bi（a,b∈R)。1、两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。2、两个复数:x+yi与x-yi称为共轭复数,它们的实部相等,虚部互为相反数。在复平面上.表示两个共轭复数的点关于X轴对称。而这一点正是“共轭”一词的来源。3、两头牛平行地拉一部犁,它们的肩膀上要共架一个横梁,这横梁就叫做“轭”。如果用Z表示X+Yi,那么在Z字上面加个“一”就表示X-Yi,或相反。特别的，当b=0时，z∈Ru21d4z上面加“一”=z。求法：（一）、加法法则：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。即 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。（二）、减法法则：两个复数的差为实数之差加上虚数之差（乘以i）即：z1-z2=(a+ib)-(c+id)=(a-c)+(b-d)i。（三）、乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。即：z1z2=（a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac－bd)+(bc+ad)i。（四）、除法法则：复数除法定义：满足（c+di)(x+yi)=(a+bi）的复数x+yi(x,y∈R）叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算。

非实复数α是实系数n次方程f(x)=0的根，则其共轭复数α*也是方程f(x)=0的根，且α与α*的重数相同，则称α与α*是该方程的一对共轭复（虚）根。共轭复根经常出现于一元二次方程中，若用公式法解得根的判别式小于零，则该方程的根为一对共轭复根。共轭复根求解公式：通常出现在一元二次方程中。若根的判别式△=b2-4ac<0， ，方程有一对共轭复根。根据一元二次方程求根公式韦达定理：x1，2=-b±√b2-4ac/2a，当b2-4ac<0时， 方程无实根，但在复数范围内有2个复根。复根的求法为x1，2=-b±i√4ac-b2/2a（其中i是虚数，i2=-1）。由于共轭复数的定义是形如a±bi（b≠0）的形式，称a+bi与a-bi（b≠0）为共轭复数。另一种表达方法可用向量法表达：x1=pejΩ，x2=pe-jΩ其中p=√a2+b2，tanΩ=b/a。由于一元二次方程的两根满足上述形式，故一元二次方程在b2-4ac<0时的两根为共轭复根。根与系数关系：x1+x2=-b/a，x1+x2=c/a。

复数的共轭复数很简单，只要把虚部取反即可，例如：复数5/3+4i的共轭复数是5/3-4i。 两个实部相等、虚部互为相反数的复数互为共轭复数。 当虚部不为零时，共轭复数就是实部相等，虚部相反；如果虚部为零，其共轭复数就是自身（当虚部不等于0时也叫共轭虚数）。 根据定义，若z=a+bi(a，bisin;R)，则=a－bi（a，bisin;R)。

实部相同，虚部互为相反数-1-i的共轭复数为-1+i在第二象限角平分线上

如果一个复数是3+2i，那么他的共轭复数就是3-2ia+bi的共轭复数就是a-bi，实部相同，虚部互为相反数的两个复数互称共轭复数

复数是实数的更广的一个范围，比如x^2=-1，在实数范围就没有解，这时候就要到复数范围去求解。我们规定i^2=-1，所以就有了复数。

复数的解释①某些语言中由词的形态变化等表示的属于两个或两个以上的数量。例如 英语 里book（书，单数）指一本书，books（书，复数）指两本或两本以上的书。 ②形如a+bi的数叫做复数。其中a，b是实数，i＝，是虚数单位。a叫做复数的实部，bi叫做复数的虚部。如1-3i，5i都是复数。 词语分解 复的解释 复 （①复④复⑤复） ù 回去 ，返： 反复 。往复。 回答， 回报 ：复命。复信。复仇。 还原，使如前：复旧。复婚。复职。光复。 复辟 。 再，重来：复习。复诊。复审。复现。复议。 许多 的， 不是 单一 的：重（峦 ） 数的解释 数 （数） ù 表示、划分或 计算 出来的量：数目。数量。数词。数论（数学的一支，主要 研究 正整数的 性质 以及和它有关的 规律 ）。数控。 几，几个：数人。数日。 技艺 ，学术：“今夫弈之为数，小数也”。 命运 ，天

plural 英 [plrl] 美 [plrl] n.(名词或动词的)复数，复数形式 adj.复数的;复数形式的;多样的;多元的 扩展资料 The plural of ‘child" is ‘children". child一词的复数形式是children。 The verb should be in the plural . 这个动词应该用复数形式。

1、加法法则复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则它们的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。2、减法法则复数的减法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则它们的差是 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个虚部的差。3、乘法法则规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，展开得: ac+adi+bci+bdi2，因为i2=-1，所以结果是(ac－bd)+(bc+ad)i 。两个复数的积仍然是一个复数。4、除法法则复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商。运算方法：可以把除法换算成乘法做，在分子分母同时乘上分母的共轭.。所谓共轭你可以理解为加减号的变换，互为共轭的两个复数相乘是个实常数。相关内容说明：复数的加法就是自变量对应的平面整体平移，复数的乘法就是平面整体旋转和伸缩，旋转量和放大缩小量恰好是这个复数对应向量的夹角和长度。二维平移和缩放是一维左右平移伸缩的扩展，旋转是一个至少要二维才能明显的特征，限制在一维上，只剩下旋转0度或者旋转180度，对应于一维导数正负值（小线段是否反向）。

[fù shù] 复数（数的概念扩展）我们把形如a+bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，也即任何复系数多项式在复数域中总有根。 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。

复数：把形如z=a+bi（a、b均为实数）的数。其中，a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当z的虚部b＝0时，则z为实数；当z的虚部b≠0时，实部a＝0时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。复数是由意大利米兰学者卡当在16世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。复数发展历史：经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不“虚”。虚数成为了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集。随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据。

一般情况 加 -s 清辅音后 map-map； 浊辅音和元音后 bag-bags /car-cars； 以s, sh, ch, x等结尾 加 -e bus-buses/ watch-watches； 以ce, se, ze,等结尾 加 -s license-licenses； 以辅音字母+y结尾 变y 为i再加es baby---babies 扩展资料 　　1） 以y结尾的`专有名词，或元音字母+y 结尾的名词变复数时，直接加s变复数。例如： 　　two Marys the Henrys 　　monkey---monkeys holiday---holidays 　　2） 以o 结尾的名词，变复数时： 　　a. 加s，如： photo---photos piano---pianos 　　radio---radios zoo---zoos； 　　b. 加es，如：potato--potatoes tomato--tomatoes 　　c. 上述a和b两种方法均可，如zero---zeros / zeroes。 　　3） 以f或fe 结尾的名词变复数时： 　　a. 加s，如： belief---beliefs roof---roofs 　　safe---safes gulf---gulfs； 　　b. 去f,fe 加ves，如：half---halves 　　knife---knives leaf---leaves wolf---wolves 　　wife---wives life---lives thief---thieves； 　　c. 上述a和b两种方法均可，如handkerchief: handkerchiefs / handkerchieves。

“复数”读音：fù shù。释义：①某些语言中由词的形态变化等表示的属于两个或两个以上的数量。如英语中的pen指一支钢笔，单数，pens指两支或两支以上的钢笔，复数。②形如a＋bi的数。其中a和b为实数，i为虚数单位，i2＝－1。a和b分别叫做复数的实部和虚部。当b≠0时，a＋bi又叫虚数；当b≠0，a＝0时，a＋bi叫做纯虚数。反义词：单数。相关例句：1.可数名词复数前不需用限定词。2.老师今天给我们讲解了有关形容词复数的知识点3.今天重点学习了复数形式的变化。扩展：复数是由意大利米兰学者卡当在16世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不“虚”。虚数成为了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集。

scarfsuff0cscarves

1.直接加s。2.以s,sh,ch,x结尾的单词要加es。3.以辅音字母加上y结尾的单词,去掉y加上ies.4.以o结尾的名词，变复数时，大多数都是直接加s,除了hero,negro,potato,tamato这四个加es.5.以f或fe结尾的名词变复数时,可以是加s，如：belief-beliefs，roof-roofs;也有去f,fe加ves，如half-halves,knife-knives,leaf-leaves,wolf-wolves,wife-wives,thief-thieves.此外。还有一些不规则变化。对于像man结尾的词：man→men一些以man,woman结尾的合成词，构成复数时与man的变化形式相同，如：policeman→policemen警察但是human(人)，German(德国人)不是合成词，其复数不能仿man的变化规律，而是按规则变化，即用humans,Germans。另外，当man用于名词前作定语时，若其后被修饰的名词为复数，则man也要用复数：mannurse→mennurses男护士希望对你有帮助！

复数的解释①某些语言中由词的形态变化等表示的属于两个或两个以上的数量。例如 英语 里book（书，单数）指一本书，books（书，复数）指两本或两本以上的书。 ②形如a+bi的数叫做复数。其中a，b是实数，i＝，是虚数单位。a叫做复数的实部，bi叫做复数的虚部。如1-3i，5i都是复数。 词语分解 复的解释 复 （①复④复⑤复） ù 回去 ，返： 反复 。往复。 回答， 回报 ：复命。复信。复仇。 还原，使如前：复旧。复婚。复职。光复。 复辟 。 再，重来：复习。复诊。复审。复现。复议。 许多 的， 不是 单一 的：重（峦 ） 数的解释 数 （数） ù 表示、划分或 计算 出来的量：数目。数量。数词。数论（数学的一支，主要 研究 正整数的 性质 以及和它有关的 规律 ）。数控。 几，几个：数人。数日。 技艺 ，学术：“今夫弈之为数，小数也”。 命运 ，天

复数 [fù shù] 释义 1.表示多数的变化形式或多数形式的词 2.形式为a+bi的数或表达式，其中a和b是实数，i=-1。亦称复量望采纳

基本就是所有的数了我们把形如a+bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，也即任何复系数多项式在复数域中总有根。复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。参考链接：https://baike.baidu.com/item/%E5%A4%8D%E6%95%B0/254365?fr=aladdin

复数是形如 a ＋ b i的数.式中a,b 为 实数,i是一个满足i^2 ＝－1的数,因为任何实数的平方不等于－1,所以i不是实数,而是实数以外的新的数. 在复数a＋bi中,a称为复数的实部,b称为复数的虚部,i称为虚数单位.当虚部等于零时,这个复数就是实数；当虚部不等于零时,这个复数称为虚数,虚数的实部如果等于零,则称为纯虚数.由上可知,复数集包含了实数集,因而是实数集的扩张. 复数有多种表示形式,常用形式 z ＝ a ＋ b i叫做代数式.此外有下列形式. ①几何形式.复数 z ＝ a ＋ b i 用直角坐标平面上点 Z （ a ,b ）表示.这种形式使复数的问题可以借助图形来研究.也可反过来用复数的理论解决一些几何问题. ②向量形式.复数 z ＝ a ＋ b i用一个以原点 O 为起点,点 Z （ a ,b ）为终点的向量 O Z 表示.这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释. ③三角形式.复数 z＝ a ＋ b i化为三角形式 z ＝｜ z ｜（cos θ ＋isin θ ） 式中｜ z ｜= ,叫做复数的模（或绝对值）； θ 是以 x 轴为始边；向量 O Z 为终边的角,叫做复数的辐角.这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算. ④指数形式.将复数的三角形式 z ＝｜ z ｜(cos θ ＋isin θ ）中的cos θ ＋isin θ 换为 e i q ,复数就表为指数形式 z ＝｜ z ｜ e i q ,复数的乘、除、乘方、开方可以按照幂的运算法则进行. 复数集不同于实数集的几个特点是：开方运算永远可行；一元 n 次复系数方程总有 n 个根（重根按重数计）；复数不能建立大小顺序.

照字面来答的话，双数就是复数。比如2 4 6 8 10

　复数就是实数和虚数的统称　　复数的基本形式是a+bi,其中a，b是实数，a称为实部，bi称为虚部，i是虚数单位,在复平面上，a+bi是点Z(a,b)。Z与原点的距离r称为Z的模|Z|=√a方+b方　　a+bi中：a=0为纯虚数，b=0为实数，b不等于0为虚数。　　复数的三角形式是Z＝r[cosx+isinx]　　中x，r是实数，rcosx称为实部，irsinx称为虚部，i是虚数单位。Z与原点的距离r称为Z的模，x称为辐角。

complex number

1、名词由单数变复数的基本方法如下：①在单数名词词尾加s。如：map→maps,boy→boys,horse→horses,table→tables.②s,o,x,sh,ch结尾的词加es.如：class→classes,box→boxes,hero→heroes,dish→dishes,bench→benches.[注]：少数以o结尾的

复数是比实数范围更大的一类数，它包括了实数和虚数。在实数范围内，x的平方等于负1是无解的，但在复数范围内可解得x等于正负i,其中i为虚数单位（如果现在不明白也没关系，当然能明白更好）。现实生活中，只有在三相交流电中才有复数的应用。

臀部的英语单词在造句子时是单数单数

中位数(Median)统计学名词，是指将统计总体当中的各个变量值按大小顺序排列起来，形成一个数列，处于变量数列中间位置的变量值就称为中位数，用Me表示。当变量值的项数N为奇数时，处于中间位置的变量值即为中位数;当N为偶数时，中位数则为处于中间位置的2个变量值的平均数。以你的例子说明如下:1，对于数据组2、4、4、5、3、9、4、5、1、82，按从小到大顺序排列(去除重复数):1，3，4，5，8，93，因为变量的项数N=6，为偶数，则中位数为中间位置4，5两个变量值的平均数，4，求中位数，中位数=(4+5)/2=4.5

r是位置矢量，波函数的自变量有空间位置r和时间t

All Greek to me.

在拉普拉斯变换中，如果系统函数（即拉普拉斯变换后的传递函数）具有共轭复数极点，则意味着该系统具有复振荡的固有振动模式。对于系统的拉普拉斯变换和反变换过程，共轭复数极点的存在可能会导致反变换存在幅度成倍的正弦和余弦项，这些项具有不同的相位和振幅，使得系统的最终反变换过程产生固有的振荡行为。这种行为在系统控制、信号处理等领域中是非常重要的，需要对其进行充分的分析和研究。拉普拉斯变换是一种在信号和系统分析中常用的工具，可将一个时间域函数转换为一个复变量域函数。反变换则是将复变量域函数恢复为时间域函数。共轭复数极点是在分析过程中非常常见的情况，需要充分理解其存在的意义，以提高系统和信号处理的分析能力。

1、所有复数的复合、组合、运算,都可以最后分解成：实数 + 虚数； 2、所有复变量x+iy的函数,最后也都可以分解成：实部 + 虚部； 3、所有的由复变量,也就是x+iy复合起来的函数,无论怎么复杂, 不但结果可以分成实部加虚部,而且两部分的偏导数一定符合柯西-黎曼方程, 没有例外.

1、所有复数的复合、组合、运算,都可以最后分解成：实数 + 虚数； 2、所有复变量x+iy的函数,最后也都可以分解成：实部 + 虚部； 3、所有的由复变量,也就是x+iy复合起来的函数,无论怎么复杂, 不但结果可以分成实部加虚部,而且两部分的偏导数一定符合柯西-黎曼方程, 没有例外.

复数拼音: fu shu 复数解释: （1）某些语言中由词的形态变化等表示的属于两个以上的数量。（2）含有实数和虚数两部分的数。 复数造句: 1、大多数复数名词以字母“S”结尾。 2、它总是使用动词第三人称单数的形式，尽管在英语中“我们”的动词总是复数。 3、用第三人称写（"含水层涵盖1000平方公里"），或第一人称复数（"从这个等式我们看到，加速度与力成正比"）。 4、它为双精度数和复数提供了近400个函数。 5、用的也是复数，上帝在和谁说话？ 6、表的名称应该使用复数格式。 7、利用先进的搜索功能，比如当你搜索当地的图书馆目录或数据库时，使用复数、关键词、通配符和布尔操作符。 8、模型总是单数，而其对应的表总是复数。 9、高级搜索的另一个好处就是可以在搜索结果中匹配不同单词形式，比如复数、不同的动词结尾和各种语法时态。 10、支持复数是机械和电子工程师，以及大部分科学工作者所使用的任何编程语言的基础。 11、复数并非仅供科学家和工程师使用。 12、根据上下文，各种条目会被重命名为单数或复数形式。 13、这个复数定义了轨道上那个点的“相”。 14、事实上，它通常是一个复数的形式，包括普通数字的实数部分和需要乘以负一的平方根的虚部。 15、数学家对此很熟悉；如果将代数中的常见问题考虑成复数而不是实数时，那么这些问题就更容易处理，尽管复数算法较难。 16、这里用的是复数，天国和神圣之地是同一个希腊词。 17、再说，它是用第三人称复数叙述的！又有谁能不爱上它呢？ 18、请注意单词模型——为复数形式。 19、而对于工程师和科学家来说，复数却是个司空见惯的概念。 21、另一个稍微古怪的方面是，Rails为不同的内容使用单数和复数的名称。 22、许多研究员现在都同意，10000小时这样的熟练练习的是在任何复数域获得专门技能的最低的要求。 23、在Ash这样写的时候，撇号还被用于名词末尾组成复数。 24、那是Jarvis强调单数的“母亲节”，而不是复数的“母亲节”的缘由所在，Antolini解释说。 25、但是，正如Mahoney所明确表达的，我们需要的不是（单数的）一种新理论，而是（复数的）多种新理论。 26、如果您想看到着力实现这一结果的工作，请查看RubyonRails中用于处理复数模型类名的多元化代码。

复数里边的i求导：f(x)=i是常量，导数是0，f(x)=ix导数是i。i的平方=-1 ，且i可以和实数进行加减乘除四则运算。这就是我们现行的高中数学教材的定义。有的教材上定义i=√-1。注意，这里的√-1是一个整体符号，但现行的高中数学教材上不使用这种定义。复函数是否可导的充要条件：其实部和虚部u（x，y）v(x,y)在（x，y）处全微分存在并且Ux=Vy，Uy=-Vx，这样其导数就可以导出：f"（z）=Ux（x,y）+iVx(x,y)，也是一个复变函数。可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等，则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。函数可导的条件：如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

给你个类的吧，c++中一般不用结构体#include <iostream.h>//using namespace std;class complex{private: float real; float image;public: complex(float r=0,float i=0) { real=r; image=i; }/* void display() { cout<<real<<"+"<<image<<"i"<<endl; }*/ complex operator +(complex &obj) { complex c; c.real=real+obj.real; c.image=image+obj.image; return c; } complex operator -(complex &obj) { complex c; c.real=real-+obj.real; c.image=image-obj.image; return c; } complex operator *(complex &obj) { complex c; c.real=real*obj.real-image*obj.image; c.image=image*obj.real+obj.image*real; return c; } complex operator /(complex &obj) { complex c; c.real=real*obj.real+image*obj.image; c.image=image*obj.real-obj.image*real; float A=obj.real*obj.real+obj.image*obj.image; c.real=c.real/A; c.image=c.image/A; return c; } friend ostream & operator<<(ostream & ,complex &);};ostream & operator<<(ostream &out ,complex &obj){ out<<obj.real<<"+"<<obj.image<<"i"<<endl; return out;}//3 ^ 2 ===>9int main(){ complex c1(3,4); complex c2(c1); //complex c3(-12,30); cout<<c1<<endl; //.display(); cout<<c2<<endl; //.display(); complex c; c=c1+c2; cout<<c<<endl; //.display(); c=c1-c2; cout<<c<<endl; //.display();c.display(); c=c1*c2; cout<<c<<endl; //.display();c.display(); c=c1/c2; cout<<c<<endl; //.display();c.display (); return 0;}

你在VC中得不到正确的结果是因为printf函数的描述符用错了，把%d改为%f在TC中编译错误是因为TC比VC检查要严格，是一个标准的C编译器，而VC其实是一个VC++编译器在TC中声明了结构之后定义结构变量不能省略struct关键字，如要省略，则必须给该结构类型起个别名。对于你的程序来说，只要把复数类型声明改为如下方式即可，你试试吧:typedef struct { double real; double imag;} complex;

class Complex{ double real; double imaginary;public: Complex(double & r=0,double & i=0):real(r),imaginary(i) {} void OutPut(void) { cout << real; if (imaginary>=0) cout << "+"; cout << imaginary; }};

参考：TC下#include<stdio.h>structmul{intreal;intimage;}f1,f2;voidmain(){inta,b;printf("inputrealandimage: ");scanf("%d%d",&f1.real,&f1.image: ");printf("inputrealandimage);scanf("%d%d",&f2.real,&f2.image);a=f1.real*f2.real-f1.image*f2.image;b=f1.real*f2.image+f2.real*f1.image;if(b>0)printf("%d+%di",a,b);elseprintf("%d%di",a,b);getchar();}DEVC++下：#include<iostream>usingnamespacestd;structmul{intreal;intimage;}f1,f2;intmain(){inta,b;cout<<"inputrealandimage:"<<endl;cin>>f1.real>>f1.image;cout<<"inputrealandimage:"<<endl;cin>>f2.real>>f2.image;a=f1.real*f2.real-f1.image*f2.image;b=f1.real*f2.image+f2.real*f1.image;if(b>0)cout<<a<<"+"<<b<<"i";elsecout<<a<<b<<"i";system("pause");}建议：学编程的话要多看多动手，这样才能得到较快的提高！！！

你好！首先你要清楚，变复数是针对可数名词的，单三，现在分词是针对动词的，他们都是词形的变化，而现在进行时是英语中的时态，表示现在正在发生的动作或者某一阶段正在从事的事情的动作，两个是不一样的，而现在进行时的构成要求有be动词加上动词的现在分词。我讲清楚了吗？下面分条来说你问的几个词形变化规则。1.名词变复数http://zhidao.baidu.com/question/331310993.html?oldq=1这是我回答另一个人相同问题的地址你可以看一下。2.动词单三变化a一般情况下直接加s.如take-takesbuy-buysb以s,x,sh,ch,o结尾的，加es.例如wash-washesrelax-relaxeswatch-watchesgo-goes.c以辅音字母加y结尾的，变y为i，加es.如fly-flies.这一条需要你好好辨别，一定是辅音字母加y,其他的不行加y就算做一般情况，直接加s.3.动词的现在分词a一般情况下直接加ing.如buy-buyingb以不发音的e结尾的，去e加ing.如take-taking.c以重读闭音节结尾的，末尾只有一个辅音字母的，双写末尾辅音字母，再加ing.（重读闭音节就是倒着看一个单词的后三个字母，符合辅元辅结构的，并且这个元音所在的音节是重读音节的话就叫重读闭音节。如open看似以辅元辅结尾，但是e在的音节不重读，不符合重读闭音节，故直接加ing.）如put-putting4.现在进行时我已经说了是一个时态，其中需要你用be动词加动词的现在分词。希望能帮到你！

纸条app内删除掉的头像、昵称，或其他的数据内容等等，都是可以进行恢复的。如果大家有需要但是找不到了，就可以进行恢复数据的操作哦！那么具体该怎么弄呢？下面我就来为大家介绍一下。 作文纸条怎么恢复删除？ 1、想要恢复“作文纸条”的账号数据，大家就得选择右上角按钮进入个人中心，然后点击底端列表里的“关于纸条”功能进行设置。 2、进入到“关于纸条”页面之后，再点击下方的“数据恢复”功能，这样就可以尝试申请恢复历史数据。 3、倘若系统没有匹配到历史账号，大家就需要提供纸条头像、纸条昵称、收藏夹信息等内容，方便找回自己的数据。

百分数作主语时谓语动词的形式 “分数或百分数 + of + 名词”构成短语作主语时,谓语形式是用单数还是复数取决于它们表示的意义. More than 70 percent of the earth"s surface is covered by water. More than 70 percent of the students in our class are league members.

第一：1%+【sl】n + is 1%+【pl】n + are 1%+【u】n + is第二：如果把第一中的1%全改成20%那么后面谓语还是不变第三：20%=1/5 不变 谓语是看主语的可数与不可数，与具体比例没有关系

Of后面加可数名词肯定是可数名词的复数形式啊 谓语动词就近原则也用复数

数值大于1都用复数小于1都用单数比如一个半小时就是oneandahalfhours

当主语是分数或百分数时，谓语动词的单复数由of后面的名词决定。About three-fourths of the surface of the earth_____covered by the sea. 这里的Surface是不可数名词，只能接单数动词is。例如of后接buildings，为可数名词，后面应接复数动词。surface英 [ˈsɜːfɪs]   美 [ˈsɜːrfɪs]  n.表面；表层；面；水面；地面。升到水面。In contrast with its surface fleet, Britain"s submarine force was relatively small. 同其水面舰队相比，英国的潜艇部队规模相对较小。扩展资料：表示分数时，分子须用基数词，分母须用序数词。当分子是1以上的任何数时，分母须用复数形式。1/2: one half 或a half (不读为 one second)1/3: one third 或 a third2/3: two thirds1/4: a quarter 或 one quarter3/4: three quarters 或 three fourths2/5: two fifths

一、小数(decimal)</WBR> 小数点读作point,小数点左边按整数的基数词(one, two, three ...)读,小数点右边依次用个位数的基数词读出。整数部分为零时,小数点可以省略不读。当小数大于1时,小数后面</WBR>的名词用复数,小数小于1时,小数后面的名词用单数。</WBR> 1. 小于"1"的小数小数点左边的零读做naught(英)或zero(美),也可不在小数点后遇到零时,可读做naught O zero,也可以读做字母"o"的音,例如:</WBR>数字表示法0.4naught O zero point four; point four0.128naught O zero point one two eight; point one two eight0.305naught O zero point three o five; point three zero five 2. 大于"1"的小数小数点左边的整数部分按整数读法读出。小数点右边的小数部分按个位基数词依次读出。在小数点后遇到零时</WBR>可读做naught O zero,也可以读做字母"o"的音,例如:数字表示法5.02five point naught O zero two; five point o two8.004eight point naught naught O zero zero four; eight point o o four33.33thirty-three point three three 3. 万位和亿位以上整数带小数汉语里有万位和亿位以上整数带小数的写法和读法。英语里没有相应的表示"万"或"亿"的单词。译成英语时,先将万</WBR>理解为十个千,将亿理解为一百个百万。</WBR>然后将小数点左边的整数部分和小数点右边的小数部分做相应的变化</WBR>例如:数字表示法8.3万(83,000) eighty-three thousand723.64万(7,236,400) seven mil-lion, two hundred and thirty-six thousand, four hundred17.03亿(1,703,000,000) one point seven o three billion; one billion, seven hundred and three million 二、分数(fraction)英语中的分数和汉语中的分数表示法及读法没有很强的对应性,需要认真记忆。一般情况下,表示分数时,分子要用基数词,分母用序数</WBR>词(first, second, third ...)。如果分子大于1,分母必须用复数形式。</WBR>1. "1/2"或"一半"的表示方法,用one half或a half表示。例如:半英里one (a) half mile或half one (a) mile一个半小时an hour and a half或one and a half hours (hour要用复数形式) 2. "1/4"的表示方法,用one (a) quarter表示。如果分子大于1, quarter用复数形式。例如:1/4 one (a) quarter 3/4three quarters3. 如果分子大于1,分母要用序数词的复数形式。如果分数大于1,要用整数部分+ and + 分数表示,例如:</WBR>1/3 one third或a third5/6 five sixths 8 3/5 eight and three fifths4. 比较复杂的分数用over表示。分子(基数词)+ over + 分母(基数词)。注意这里分子、分母全用基数词表示。例如:51/80 fifty-one over eighty77/232 seventy-seven over two hundred and thirty-two5. 用"分子(基数词)+ (out) of + every + 分母(基数词)"表示。这里分子、分母也全用基数词表示。例如:1/7one of every seven5/9five out of every nine eg: An investigation showes that about two of every three students in this university are from China.一项调查表明这所大学大约有三分之二的学生来自中国。</WBR>6. 用"分子(基数词)+ in + 分母(基数词)"表示。这里分子、分母也全用基数词表示。例如:1/3 one in three5/6 five in sixeg: Only about one in five books was written for children ranged from seven to ten years old.只有大约五分之一的书是为七到十岁的儿童写的。7. 用"表示减少意义的动词或词组+ 倍数"表示减少了n-1/n。例如:eg: The time for the whole journey is shortened 3 times. 整个行程的时间缩短了三分之二(或缩短到原来的三分之一)。8. 当分数后面接名词时,如果分数表示的值大于1,名词用复数；如果小于1,名词用单数。</WBR>3 3/5 kilograms 三又五分之三千克(读作three and three fifths kilograms)4/5 meter 五分之四米(读作four fifths meter)5/6 inch 六分之五英寸(读作five sixths inch) 三、百分数(per cent)百分号％读作percent (per cent),无复数形式,数词要用基数词,应用时常与by连用。例如:</WBR>数字表示法6%six percent0.58%(naught) point five eight percent200%two hundred percent The output of petroleum went up by twenty percent.石油产量增长了20％。The price of food was reduced by ten percent. 食品的价格下降了10％。The loss of electricity has been reduced to less than thirty percent.电的损耗减少到30％以下。 注意:由"分数(或百分数)+ of + 名词"构成的名词词组作主语时,其后的动词形式依of词组中的名词类别而定。例如:</WBR>Two thirds of the swampland has been reclaimed for farming. 三分之二的沼泽地已经开垦为农田了。Over sixty percent of the doctors were women. 超过百分之六十的医生是女性。 当它作主语时，谓语动词用单数还是复数？看小数、分数或百分数后面的名词是单数还是复数，单数用单，复数用复

百分数作主语谓语动词用单数还是复数，要根据百分数后所跟的名词是可数名词还是不可数名词来确定，1.如果所跟名词是可数名词复数则谓语动词用复数，例如：Seventypercentoftheapplesarebad.这些苹果的百分之七十是坏的Fiftypercentofstudentsarehere.主语是students可数所以是are2.如果所跟名词是可数名词单数或不可数名词则谓语动词用三单形式。例如：Seventypercentoftheappleiswater.这个苹果的百分之七十是水分Fiftypercentofwaterishere.主语是water不可数所以是is

of后面的名词的单复数。“分数/百分数+of+名词”作主语时，谓语动词的单复数取决于of后面的名词的单复数，如果名词是不可数名词，则谓语动词用单数；如果名词是可数名词复数，则谓语动词用复数。

可数名词用复数

可数名词用复数

复数

是单数还是复数，要根据实际情况来定，具体如下：百分数作主语谓语动词用单数还是复数，要根据百分数后所跟的名词是可数名词还是不可数名词来确定，如果所跟名词是可数名词复数则谓语动词用复数。百分数作主语时谓语动词的形式。分数或百分数 + of + 名词”构成短语作主语时，谓语形式是用单数还是复数取决于它们表示的意义。主语是students可数所以是are。主语是water不可数所以是is。百分数常见谬误1、百分比往往表示一种比例关系，但百分比有时也可以超过100%。如：2013年，微信使用的增长率达203%。2、食品包装盒上营养成分表中的营养素参考值并不表示该物质在此食品中所占的百分比，而是表示此食品中该物质的量对于人均正常日摄入量的比例，这也解释了为什么营养成分表中百分数的总和往往不等于100%。如：假设正常人应日均摄入60克脂肪，则某每100克中含6克脂肪的食品，在营养成分表中对应位置应标注10%，而不是6%。

百分数作主语时谓语动词的形式“分数或百分数 + of + 名词”构成短语作主语时，谓语形式是用单数还是复数取决于它们表示的意义。More than 70 percent of the earth"s surface is covered by water.More than 70 percent of the students in our class are league members.

of后面的名词的单复数。“分数/百分数+of+名词”作主语时，谓语动词的单复数取决于of后面的名词的单复数，如果名词是不可数名词，则谓语动词用单数；如果名词是可数名词复数，则谓语动词用复数。

percent因为是百分之。。。的意思，所以是可数的，二以上要变复数

百分之九十的学生是女生，学生是可数名词

百分数的谓语动词要看其后面的名词形式. 如果是可数名词复数,那就用复数形式； 如果是不可数名词或可数名词单数,那谓语就用单数形式. 但有一个例外,就是分数或百分数后的名词如果是population, 则其谓语动词一般只用复数,尽管它是不可数名词. 如:2/3 of the population of China are farmers.

百分数的谓语动词要看其后面的名词形式。如果是可数名词复数，那就用复数形式；如果是不可数名词或可数名词单数，那谓语就用单数形式。但有一个例外,就是分数或百分数后的名词如果是population, 则其谓语动词一般只用复数,尽管它是不可数名词.如:2/3 of the population of China are farmers.

一、小数(decimal)小数点读作point,小数点左边按整数的基数词(one,two,three ...)读,小数点右边依次用个位数的基数词读出.整数部分为零时,小数点可以省略不读.当小数大于1时,小数后面的名词用复数,小数小于1时,小数后面的名词用单数.1.小于"1"的小数小数点左边的零读做naught(英)或zero(美),也可不在小数点后遇到零时,可读做naught O zero,也可以读做字母"o"的音,例如:数字表示法0.4naught O zero point four; point four0.128naught O zero point one two eight; point one two eight0.305naught O zero point three o five; point three zero five 2.大于"1"的小数小数点左边的整数部分按整数读法读出.小数点右边的小数部分按个位基数词依次读出.在小数点后遇到零时可读做naught O zero,也可以读做字母"o"的音,例如:数字表示法5.02five point naught O zero two; five point o two8.004eight point naught naught O zero zero four; eight point o o four33.33thirty-three point three three 3.万位和亿位以上整数带小数汉语里有万位和亿位以上整数带小数的写法和读法.英语里没有相应的表示"万"或"亿"的单词.译成英语时,先将万理解为十个千,将亿理解为一百个百万.然后将小数点左边的整数部分和小数点右边的小数部分做相应的变化例如:数字表示法8.3万(83,000) eighty-three thousand723.64万(7,236,400) seven mil-lion,two hundred and thirty-six thousand,four hundred17.03亿(1,703,000,000) one point seven o three billion; one billion,seven hundred and three million 二、分数(fraction)英语中的分数和汉语中的分数表示法及读法没有很强的对应性,需要认真记忆.一般情况下,表示分数时,分子要用基数词,分母用序数词(first,second,third ...).如果分子大于1,分母必须用复数形式.1."1/2"或"一半"的表示方法,用one half或a half表示.例如:半英里one (a) half mile或half one (a) mile一个半小时an hour and a half或one and a half hours (hour要用复数形式) 2."1/4"的表示方法,用one (a) quarter表示.如果分子大于1,quarter用复数形式.例如:1/4 one (a) quarter 3/4three quarters3.如果分子大于1,分母要用序数词的复数形式.如果分数大于1,要用整数部分+ and + 分数表示,例如:1/3 one third或a third5/6 five sixths 8 3/5 eight and three fifths4.比较复杂的分数用over表示.分子(基数词)+ over + 分母(基数词).注意这里分子、分母全用基数词表示.例如:51/80 fifty-one over eighty77/232 seventy-seven over two hundred and thirty-two5.用"分子(基数词)+ (out) of + every + 分母(基数词)"表示.这里分子、分母也全用基数词表示.例如:1/7one of every seven5/9five out of every nine eg:An investigation showes that about two of every three students in this university are from China.一项调查表明这所大学大约有三分之二的学生来自中国.6.用"分子(基数词)+ in + 分母(基数词)"表示.这里分子、分母也全用基数词表示.例如:1/3 one in three5/6 five in sixeg:Only about one in five books was written for children ranged from seven to ten years old.只有大约五分之一的书是为七到十岁的儿童写的.7.用"表示减少意义的动词或词组+ 倍数"表示减少了n-1/n.例如:eg:The time for the whole journey is shortened 3 times.整个行程的时间缩短了三分之二(或缩短到原来的三分之一).8.当分数后面接名词时,如果分数表示的值大于1,名词用复数；如果小于1,名词用单数.3 3/5 kilograms 三又五分之三千克(读作three and three fifths kilograms)4/5 meter 五分之四米(读作four fifths meter)5/6 inch 六分之五英寸(读作five sixths inch) 三、百分数(per cent)百分号％读作percent (per cent),无复数形式,数词要用基数词,应用时常与by连用.例如:数字表示法6%six percent0.58%(naught) point five eight percent200%two hundred percent The output of petroleum went up by twenty percent.石油产量增长了20％.The price of food was reduced by ten percent.食品的价格下降了10％.The loss of electricity has been reduced to less than thirty percent.电的损耗减少到30％以下.注意:由"分数(或百分数)+ of + 名词"构成的名词词组作主语时,其后的动词形式依of词组中的名词类别而定.例如:Two thirds of the swampland has been reclaimed for farming.三分之二的沼泽地已经开垦为农田了.Over sixty percent of the doctors were women.超过百分之六十的医生是女性.当它作主语时,谓语动词用单数还是复数?看小数、分数或百分数后面的名词是单数还是复数,单数用单,复数用复

单数

分数：分子用基数词,分母用序数词,分子大于1时,分母用复数,分子分母之间可以用使用连字符,也可以不用 1/8：one-eighth或者 one eighth 分子大于一：2/8：two-eighths 或者 two eighths 假分数 5/3 :one and two-thirds 或者 one and two thirds 百分数直接在数字后面用percent 15%：fifteen percent 分数百分数作主语时,关键看后面名词是否可数来决定单复数： Two fifths of the land in that district is covered with tress.这里land不可数,因此谓语用单数 Two fifths of the boys in the class have finished the work.这里boy可数,谓语使用复数,3,

分数：分子用基数词,分母用序数词,分子大于1时,分母用复数,分子分母之间可以用使用连字符,也可以不用 1/8：one-eighth或者 one eighth 分子大于一：2/8：two-eighths 或者 two eighths 假分数 5/3 :one and two-thirds 或者 one and two thirds 百分数直接在数字后面用percent 15%：fifteen percent 分数百分数作主语时,关键看后面名词是否可数来决定单复数： Two fifths of the land in that district is covered with tress.这里land不可数,因此谓语用单数 Two fifths of the boys in the class have finished the work.这里boy可数,谓语使用复数

百分数数字在前percent在后，分数分母在前分子在后，分母用基数词表示，分子用序数词表示，例如5％:five percent四分之三:Four Third需要注意的是分数表示的时候两个首字母都要大写

分数：分子用基数词,分母用序数词,分子大于1时,分母用复数,分子分母之间可以用使用连字符,也可以不用 1/8：one-eighth或者 one eighth 分子大于一：2/8：two-eighths 或者 two eighths 假分数 5/3 :one and two-thirds 或者 one and two thirds 百分数直接在数字后面用percent 15%：fifteen percent 分数百分数作主语时,关键看后面名词是否可数来决定单复数： Two fifths of the land in that district is covered with tress.这里land不可数,因此谓语用单数 Two fifths of the boys in the class have finished the work.这里boy可数,谓语使用复数

一、小数(decimal)小数点读作point,小数点左边按整数的基数词(one, two, three ...)读,小数点右边依次用个位数的基数词读出。整数部分为零时,小数点可以省略不读。当小数大于1时,小数后面的名词用复数,小数小于1时,小数后面的名词用单数。 1. 小于"1"的小数小数点左边的零读做naught(英)或zero(美),也可不在小数点后遇到零时,可读做naught O zero,也可以读做字母"o"的音,例如:数字表示法0.4naught O zero point four; point four0.128naught O zero point one two eight; point one two eight0.305naught O zero point three o five; point three zero five 2. 大于"1"的小数小数点左边的整数部分按整数读法读出。小数点右边的小数部分按个位基数词依次读出。在小数点后遇到零时可读做naught O zero,也可以读做字母"o"的音,例如:数字表示法5.02five point naught O zero two; five point o two8.004eight point naught naught O zero zero four; eight point o o four33.33thirty-three point three three 3. 万位和亿位以上整数带小数汉语里有万位和亿位以上整数带小数的写法和读法。英语里没有相应的表示"万"或"亿"的单词。译成英语时,先将万理解为十个千,将亿理解为一百个百万。然后将小数点左边的整数部分和小数点右边的小数部分做相应的变化例如:数字表示法8.3万(83,000) eighty-three thousand723.64万(7,236,400) seven mil-lion, two hundred and thirty-six thousand, four hundred17.03亿(1,703,000,000) one point seven o three billion; one billion, seven hundred and three million 二、分数(fraction)英语中的分数和汉语中的分数表示法及读法没有很强的对应性,需要认真记忆。一般情况下,表示分数时,分子要用基数词,分母用序数词(first, second, third ...)。如果分子大于1,分母必须用复数形式。1. "1/2"或"一半"的表示方法,用one half或a half表示。例如:半英里one (a) half mile或half one (a) mile一个半小时an hour and a half或one and a half hours (hour要用复数形式) 2. "1/4"的表示方法,用one (a) quarter表示。如果分子大于1, quarter用复数形式。例如:1/4 one (a) quarter 3/4three quarters3. 如果分子大于1,分母要用序数词的复数形式。如果分数大于1,要用整数部分+ and + 分数表示,例如:1/3 one third或a third5/6 five sixths 8 3/5 eight and three fifths4. 比较复杂的分数用over表示。分子(基数词)+ over + 分母(基数词)。注意这里分子、分母全用基数词表示。例如:51/80 fifty-one over eighty77/232 seventy-seven over two hundred and thirty-two5. 用"分子(基数词)+ (out) of + every + 分母(基数词)"表示。这里分子、分母也全用基数词表示。例如:1/7one of every seven5/9five out of every nine eg: An investigation showes that about two of every three students in this university are from China.一项调查表明这所大学大约有三分之二的学生来自中国。6. 用"分子(基数词)+ in + 分母(基数词)"表示。这里分子、分母也全用基数词表示。例如:1/3 one in three5/6 five in sixeg: Only about one in five books was written for children ranged from seven to ten years old.只有大约五分之一的书是为七到十岁的儿童写的。7. 用"表示减少意义的动词或词组+ 倍数"表示减少了n-1/n。例如:eg: The time for the whole journey is shortened 3 times. 整个行程的时间缩短了三分之二(或缩短到原来的三分之一)。8. 当分数后面接名词时,如果分数表示的值大于1,名词用复数；如果小于1,名词用单数。3 3/5 kilograms 三又五分之三千克(读作three and three fifths kilograms)4/5 meter 五分之四米(读作four fifths meter)5/6 inch 六分之五英寸(读作five sixths inch) 三、百分数(per cent)百分号％读作percent (per cent),无复数形式,数词要用基数词,应用时常与by连用。例如:数字表示法6%six percent0.58%(naught) point five eight percent200%two hundred percent The output of petroleum went up by twenty percent.石油产量增长了20％。The price of food was reduced by ten percent. 食品的价格下降了10％。The loss of electricity has been reduced to less than thirty percent.电的损耗减少到30％以下。 注意:由"分数(或百分数)+ of + 名词"构成的名词词组作主语时,其后的动词形式依of词组中的名词类别而定。例如:Two thirds of the swampland has been reclaimed for farming. 三分之二的沼泽地已经开垦为农田了。Over sixty percent of the doctors were women. 超过百分之六十的医生是女性。 当它作主语时，谓语动词用单数还是复数？看小数、分数或百分数后面的名词是单数还是复数，单数用单，复数用复

设x（N）为N点有限长离散序列，代入式（8－3）、式（8－4），并令 其傅里叶变换（DFT）为地球物理数据处理基础反变换（IDFT）为地球物理数据处理基础两者的差异只在于W的指数符号不同，以及差一个常数1/N，因此下面我们只讨论DFT正变换式（8－5）的运算量，其反变换式（8－6）的运算是完全相同的。一般来说，W是复数，因此，X（j）也是复数，对于式（8－5）的傅里叶变换（DFT），计算一个X（j）值需要N次复数乘法和N－1次复数加法。而X（j）一共有N个值（j＝0，1，…，N－1），所以完成整个DFT运算总共需要N2次复数乘法和N（N－1）次复数加法。直接计算DFT，乘法次数和加法次数都是与N2成正比的，当N很大时，运算量会很大，例如，当N＝8时，DFT需64次复数乘法；而当N＝1024时，DFT所需乘法为1048576次，即一百多万次的复数乘法运算，对运算速度要求高。所以需要改进DFT的计算方法，以减少运算次数。分析Wjk，表面上有N2个数值，由于其周期性，实际上仅有N个不同的值W0，W1，…，WN－1。对于N＝2m时，由于其对称性，只有N/2个不同的值W0，W1，…，地球物理数据处理基础因此可以把长序列的DFT分解为短序列DFT，而前面已经分析DFT与N2成正比，所以N越小越有利。同时，利用ab＋ac＝a（b＋c）结合律法则，可以将同一个Wr对应的系数x（k）相加后再乘以Wr，就能大大减少运算次数。这就是快速傅里叶变换（FFT）的算法思路。下面，我们来分析N＝2m情况下的FFT算法。1.N＝4的FFT算法对于m＝2，N＝4，式（8－5）傅里叶变换为地球物理数据处理基础将式（8－7）写成矩阵形式地球物理数据处理基础为了便于分析，将上式中的j，k写成二进制形式，即地球物理数据处理基础代入式（8－7），得地球物理数据处理基础分析Wjk的周期性来减少乘法次数地球物理数据处理基础则 代回式（8－9），整理得地球物理数据处理基础上式可分层计算，先计算内层，再计算外层时就利用内层计算的结果，可避免重复计算。写成分层形式地球物理数据处理基础则X（j1 j0）＝X2（j1 j0）。上式表明对于N＝4的FFT，利用Wr的周期关系可分为m＝2步计算。实际上，利用Wr的对称性，仍可以对式（8－11）进行简化计算。考虑到地球物理数据处理基础式（8－11）可以简化为地球物理数据处理基础令j＝j0；k＝k0，并把上式表示为十进制，得地球物理数据处理基础可以看到，完成上式N＝4的FFT计算（表8－1）需要N·（m－1）/2＝2次复数乘法和N·m＝8次复数加法，比N＝4的DFT算法的N2＝16次复数乘法和N·（N－1）＝12次复数加法要少得多。表8－1 N＝4的FFT算法计算过程注：W0＝1；W1＝－i。［例1］求N＝4样本序列1，3，3，1的频谱（表8－2）。表8－2 N＝4样本序列2.N＝8的FFT算法类似N＝4的情况，用二进制形式表示，有地球物理数据处理基础写成分层计算的形式：地球物理数据处理基础则X（j2 j1 j0）＝X3（j2 j1 j0）。对式（8－14）的X1（k1 k0 j0）进行展开，有地球物理数据处理基础还原成十进制，并令k＝2k1＋k0，即k＝0，1，2，3，有地球物理数据处理基础用类似的方法对式（8－14）的X2（k0 j1 j0），X3（j2 j1 j0）进行展开，整理得地球物理数据处理基础用式（8－16）、式（8－17）逐次计算到X3（j）＝X（j）（j＝0，1，…，7），即完成N＝23＝8的FFT计算，其详细过程见表8－3。表8－3 N＝8的FFT算法计算过程注：对于正变换 对于反变换 所 ［例2］求N＝8样本序列（表8－4）x（k）＝1，2，1，1，3，2，1，2的频谱。表8－4 N＝8样本序列3.任意N＝2m的FFT算法列出N＝4，N＝8的FFT计算公式，进行对比地球物理数据处理基础观察式（8－18）、式（8－19），不难看出，遵循如下规律：（1）等式左边的下标由1递增到m，可用q＝1，2，…，m代替，则等式右边为q－1；（2）k的上限为奇数且随q的增大而减小，至q＝m时为0，所以其取值范围为k＝0，1，2，…，（2m－q－1）；（3）j的上限为奇数且随q的增大而增大，且q＝1时为0，其取值范围为j＝0，1，2，…，（2q－1－1）；（4）k的系数，在等式左边为2q，等式右边为2q－1（包括W的幂指数）；（5）等式左边序号中的常数是2的乘方形式，且幂指数比下标q小1，即2q－1；等式右边m对式子序号中的常数都是定值2m－1。归纳上述规则，写出对于任意正整数m，N＝2m的FFT算法如下：由X0（p）＝x（p）（p＝0，1，…，N－1）开始：（1）对q＝1，2，…，m，执行（2）～（3）步；（2）对k＝0，1，2，…，（2m－q－1）及j＝0，1，2，…，（2q－1－1），执行地球物理数据处理基础（3）j，k循环结束；（4）q循环结束；由Xm（p）（p＝0，1，…，N－1）输出原始序列x（p）的频谱X（p）。在计算机上很容易实现上述FFT算法程序，仅需要三个复数数组，编程步骤如下：（1）设置复数数组X1（N－1），X2（N－1）和 （数组下界都从0开始）；（2）把样本序列x赋给X1，即X1（k）＝x（k）（k＝0，1，…，N－1）；（3）计算W，即正变换 反变换 （4）q＝1，2，…，m，若q为偶数，执行（6），否则执行第（5）步；（5）k＝0，1，2，…，（2m－q－1）和j＝0，1，2，…，（2q－1－1）循环，作X2（2qk＋j）＝X1（2q－1k＋j）＋X1（2q－1k＋j＋2m－1）X2（2qk＋j＋2q－1）＝［X1（2q－1k＋j）－X1（2q－1k＋j＋2m－1）］W（2q－1k）至k，j循环结束；（6）k＝0，1，2，…，（2m－q－1）和j＝0，1，2，…，（2q－1－1）循环，作X1（2qk＋j）＝X2（2q－1k＋j）＋X2（2q－1k＋j＋2m－1）X1（2qk＋j＋2q－1）＝［X2（2q－1k＋j）－X2（2q－1k＋j＋2m－1）］W（2q－1k）至k，j循环结束；（7）q循环结束，若m为偶数，输出X1（j），否则输出X2（j）（j＝0，1，…，N－1），即为所求。

其实X（w）只是一个叠加系数，你只要理解傅里叶变换的本质就明白了这样给你解释傅里叶可能会容易懂一点：首先我们知道线性代数里，一个N维的向量（F）可以由N个完备的正交归一基底叠加而成，叠加系数怎么求呢？就是直接用这个向量（f）点乘各基底（就是用点乘来求它在各基底的分量）。好现在你把一个函数看成一个无限维的向量，每个函数值对应的就是一维，而在这个无限维的空间里，点乘被定义为这两个函数相乘后再积分（就跟高中里a·b=axbx+ayby一个道理）。而sin nx 和 cos nx就是这个空间里的一组正交基底！！按这种点乘的定义他们相互正交！！（现在你明白为什么他们要积分出来个0了吧）所以这就是傅里叶变换的精髓了，任何一个函数都能由这些相互正交的基底叠加出来，而叠加系数怎么求呢？就是前面说的点乘各基底（所以这就是为什么求叠加系数是用被展开函数去和这些sin cos积分）最后注意一个问题就是基底要归一，归一就是基底的模长要等于1，模长就是自己点乘自己