常系数线性微分方程

分析：不知道题主说的是不是特征方程无实数解时特征根的求法。如果是的，方法如下：小结：其实这和求实数解时的情况是类似的，只不过根号下的部分用了“-△”，然后再在后面加上虚数单位i.

特征方程适用于任何阶的常系数微分方程。变系数不能用。

解：∵齐次方程y""+3y"+2y=0的特征方程是r²+3r+2=0,则r1=-1,r2=-2 ∴此齐次方程的通解是y=C1e^(-x)+C2e^(-2x) (C1,C2是积分常数） 设原方程的特解是y=x(Ax²+Bx+C)e^(-x) ∵y"=(3Ax²+2Bx+C)e^(-x)-y y""=(6Ax+2B)e^(-x)-(3Ax²+2Bx+C)e^(-x)-y" 代入原方程得（6Ax+2B)e^(-x)+(3Ax²+2Bx+C)e^(-x)=3x²e^(-x) 比较两端同次幂系数，得3A=3,6A+2B=0,2B+C=0 ==>A=1,B=-3,C=6 ∴原方程的特解是y=x(x²-3x+6)e^(-x) 故原方程的通解是y=C1e^(-x)+C2e^(-2x)+x(x²-3x+6)e^(-x) (C1,C2是积分常数）

什么是二阶常系数线性微分方程？二阶常系数线性微分方程是形如y""+py"+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y""+py"+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：r²+pr+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。什么是特征方程？特征方程是为研究相应的数学对象而引入的一些等式，它因数学对象不同而不同，包括数列特征方程、矩阵特征方程、微分方程特征方程、积分方程特征方程等等。例如y""+3y"+2y=0的特征方程就是r²+3r+2=0

特征方程为r²-4r+4=0， 得r=2为二重根即齐次方程通解x1=(C1+C2t)e^(2t)设特解为x*=ae^t+bt²e^(2t)+c则x*"=ae^t+b(2t²+2t)e^(2t)x*"=ae^t+b(4t²+8t+2)e^2t代入原方程得：ae^t+b(4t²+8t+2)e^2t-4ae^t-4b(2t²+2t)e^2t+4ae^t+4bt²e^2t+4c=e^t+e^2t+1ae^t+2be^2t+4c=e^t+e^2t+1对比得：a=1, b=1/2, c=1/4所以原方程的通解x=x1+x*=(C1+C2t)e^(2t)+e^t+(t²/2)e^(2t)+1/4

如图

首先你要明白什么叫线性，线性是两个函数成比例的2号是。 望采纳，谢谢

常系数齐次线性微分方程当然也是y""=f(y,y")型的，但解,y""=f(y,y")型的微分方程需要积两次分，比较麻烦，而常系数齐次线性微分方程由于其方程的特殊性，可以通过特殊方法，不用积分，而转化成解一元二次的代数方程，这比作变量代换y"=P（y）再。

y=5/2x^2+2x+1，看到方程右边卫常数，那么y不可能为e^x型或三角函数型，自然要想到多项式，有二阶导而没有x，那就是二次方程。这道题用书上给的思路做不出来吧。

如果方程特征根为p,则x=C1e^pt+C2te^pt+C3t^2e^pt可以这样理解当方程有两个不同的特征根p,p"时,C1e^pt+C2e^p"t也是方程的解,令C1=-C2=1/(p-p")当p"趋于p时得te^pt也是方程的解.这是二重根的处理,三重根是同样的道理

你这里的具体题目是什么？对于常系数的线性微分方程那就列出特征方程解出其特征值λ然后按照实数根写成e^ax，复数根写成sinbx+cosbx还要看看根的重数，再添加常数即可

常系数线性微分方程：y″′-2y″+y′-2y=0，①①对应的特征方程为：λ3-2λ2+λ-2=0，②将②化简得：（λ2+1）（λ-2）=0，求得方程②的特征根分别为：λ1=2，λ2=±i，于是方程①的基本解组为：e2x，cosx，sinx，从而方程①的通解为：y(x)＝C1e2x+C2cosx+C3sinx，其中C1，C2，C3为任意常量。扩展资料：二阶常系数齐次线性微分方程解法：特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。(1+y)dx-(1-x)dy=0==>dx-dy+(ydx+xdy)=0==>∫dx-∫dy+∫(ydx+xdy)=0==>x-y+xy=C  (C是常数)此方程的通解是x-y+xy=C。参考资料来源：百度百科-通解 （微分方程术语）

常系数线性微分方程：y″′-2y″+y′-2y=0，①①对应的特征方程为：λ3-2λ2+λ-2=0，②将②化简得：（λ2+1）（λ-2）=0，求得方程②的特征根分别为：λ1=2，λ2=±i，于是方程①的基本解组为：e2x，cosx，sinx，从而方程①的通解为：y(x)＝C1e2x+C2cosx+C3sinx，其中C1，C2，C3为任意常量。扩展资料：二阶常系数齐次线性微分方程解法：特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。(1+y)dx-(1-x)dy=0==>dx-dy+(ydx+xdy)=0==>∫dx-∫dy+∫(ydx+xdy)=0==>x-y+xy=C  (C是常数)此方程的通解是x-y+xy=C。参考资料来源：百度百科-通解 （微分方程术语）

简单地说吧：1）如果右边为多项式，则特解就设为次数一样的多项式；2）如果右边为多项项乘以e^（ax)的形式，那就要看这个a是不是特征根： 如果a不是特征根，那就将特解设为同次多项式乘以e^(ax); 如果a是一阶特征根，那这个特解就要在上面的基础上乘以一个x; 如果a是n重特征根，那这个特解就要在上面的基础上乘以x^n.

简单计算一下即可，答案如图所示

常系数线性微分方程：y″′-2y″+y′-2y=0，①①对应的特征方程为：λ3-2λ2+λ-2=0，②将②化简得：（λ2+1）（λ-2）=0，求得方程②的特征根分别为：λ1=2，λ2=±i，于是方程①的基本解组为：e2x，cosx，sinx，从而方程①的通解为：y(x)＝C1e2x+C2cosx+C3sinx，其中C1，C2，C3为任意常量．

对于n阶齐次线性微分方程，注意，不一定是常系数，也不一定是二阶，但一定是齐次。因为右边是0，所以如果y1，y2，……yn是方程的解，c1y1+c2y2+……cnyn也是方程的解。自己去证明。对于你说的二阶常系数齐次线性微分方程，delta<0时，有y1=(e^alphax)*(cosbetax+i*sinbetax)y2=(e^alphax)*(cosbetax-i*sinbetax),当然有y1=1/2*y1+1/2*y2是方程的解，y2=1/2i*y1+(-1/2i)y2也是方程解。y1和y2非线性相关，可得通解。打字不易，记得给分啊。

如果方程特征根为p,则 x=C1e^pt+C2te^pt+C3t^2e^pt 可以这样理解 当方程有两个不同的特征根p,p"时,C1e^pt+C2e^p"t也是方程的解, 令C1=-C2=1/(p-p") 当p"趋于p时得te^pt也是方程的解.这是二重根的处理,三重根是同样的道理

由(2),得：x = y " - 3y - e^(2t) (3) x " = y "" - 3 y " - 2 e^(2t) 代入(1)中，得：y "" + 2y " - 14y = e^t + 7e^(2t)解得： y = ...... 代入(3)中，得：x=……

方法这样子。。。。

求导后为0

y""-3y"+2y=5，这是二阶常系数微分方程其齐次方程为y""-3y"+2y=0齐次方程的特征方程为r^2-3y+2=0，有不同的两根r1=1,r2=2∴齐次方程通解为Y=C1e^x+C2e^(2x)易知，方程有特解y*=5/2∴原方程通解为y=Y+y*=C1e^x+C2e^(2x)+5/2y"=C1e^x+2C2e^(2x)代入初始值x=0,y=1,y"=2可得1=C1+C2+5/2,2=C1+2C2联立解得C1=-5，C2=7/2∴原方程的特解为y=-5e^x+7/2*e^(2x)+5/2

常系数线性微分方程：y″′-2y″+y′-2y=0，①①对应的特征方程为：λ3-2λ2+λ-2=0，②将②化简得：（λ2+1）（λ-2）=0，求得方程②的特征根分别为：λ1=2，λ2=±i，于是方程①的基本解组为：e2x，cosx，sinx，从而方程①的通解为：y(x)＝C1e2x+C2cosx+C3sinx，其中C1，C2，C3为任意常量。扩展资料：二阶常系数齐次线性微分方程解法：特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。(1+y)dx-(1-x)dy=0==>dx-dy+(ydx+xdy)=0==>∫dx-∫dy+∫(ydx+xdy)=0==>x-y+xy=C  (C是常数)此方程的通解是x-y+xy=C。参考资料来源：百度百科-通解 （微分方程术语）

较常用的几个：1、Ay""+By"+Cy=e^mx 特解    y=C(x)e^mx2、Ay""+By"+Cy=a sinx + bcosx    特解    y=msinx+nsinx3、Ay""+By"+Cy= mx+n                 特解    y=ax二阶常系数线性微分方程是形如y""+py"+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y""+py"+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。扩展资料：通解=非齐次方程特解+齐次方程通解对二阶常系数线性非齐次微分方程形式ay""+by"+cy=p(x) 的特解y*具有形式y*= 其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特征根、是单特征根或二重特征根（上文有提），依次取0,1或2.将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而得特解y*。多项式法：设常系数线性微分方程y""+py"+qy =pm (x)e^(λx)，其中p，q，λ是常数，pm(x)是x的m次多项式，令y=ze^(λz) ，则方程可化为：F″(λ)/2!z″+F′(λ)/1!z′+F(λ)z=pm(x) ，这里F(λ)=λ^2+pλ+q为方程对应齐次方程的特征多项式。升阶法：设y""+p(x)y"+q(x)y=f(x)，当f(x)为多项式时，设f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an，此时，方程两边同时对x求导n次，得y"""+p(x)y""+q(x)y"=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an……y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)!y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n!令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由y^(n+1)与y^n通过倒数第二个方程可得y^(n-1)，依次升阶，一直推到方程y""+p(x)y"+q(x)y=f(x)，可得到方程的一个特解y(x)。

二阶常系数线性微分方程：二阶常系数线性微分方程是形如y""+py"+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y""+py"+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。常微分方程在高等数学中已有悠久的历史，由于它扎根于各种各样的实际问题中，所以继续保持着前进的动力。二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术及力学和物理学中都有十分广泛的应用 。比较常用的求解方法是待定系数法 、多项式法、常数变易法和微分算子法等。1、二阶常系数线性微分方程 标准形式： y″+py′+qy=f(x)当 f(x)=0，即 y″+py′+qy=0为二阶常系数齐次线性微分方程当 f(x)≠0，即 y″+py′+qy=f(x)为二阶常系数非齐次线性微分方程2、特征方程：一元二次方程 r2+pr+q=0微分方程： y″+py′+qy=0特征方程： r2+pr+q=0 特征根： r1,2=−b±b2−4ac2a3、二阶常系数齐次线性微分方程求解方法 y″+py′+qy=0