变系数线性微分方程

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用MatLab解出来的通解是y = 1/x*log(x-1)*C1+1/x*C2+1/2*(x^2+2*x+2*log(x-1))/x

若q(x)非常数，其通解一般表为贝赛尔（Bessel）函数；一个特例是，若q(x)=x，通解为AIry函数。若q(x)为常数，则表为三角函数（谐运动）。

注意(tanx)"=1/cos²x所以(y *tanx)"=y" tanx + y/cos²x那么原方程可以化为y" +(y *tanx)"=0那么积分得到y" + y *tanx =A所以cosx *y" + y *sinx =Acosx即(cosx *y" + y *sinx)/ cos²x = A/cosx而注意 (y/cosx)"= (cosx *y" +y *sinx) / cos²x所以(y/cosx)"=A/cosx故积分得到y/cosx=A*ln|secx +tanx| +B，所以微分方程的解为y=Acosx *ln|secx +tanx| + Bcosx，A和B为常数

设t=cosx则dy/dx=-sinxdy/dtd^2y/dx^2=(sinx)^2d^2y/dt^2-cosxdy/dtd^2y/dx^2-cotxdy/dx+(sinx)^2y=(sinx)^2d^2y/dt^2-cosxdy/dt+cosxdy/dt+(sinx)^2y=0d^2y/dt^2+y=0y=Asint+Bcost=Asin(cosx)+Bcos(cosx)