波动方程

抓住周期性，时间周期性（x一定时）y和t的关系；空间周期性，（t一定的时候）y和x的关系；即可找出；f与x和t都无关，可叫做初相。波函数在x。处波形的斜率，跟对t求导是对应的的，Yx=0时Yt最大，反之亦然。x/u表示波以 u 的速度传了 x 的距离所用的时间。φ表示初始的相位，就是余弦函数的初始的一个角度。wx/u是以 u 的速度传了 x 的距离后，产生的相位差，其中 w 是波的振动频率。扩展资料：在三角函数模型中我们会遇到三角函数图像y=Asin(ωx+φ)。物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期、和频率等都是与这个解析式中的常数有关。A就是这个简谐运动的振幅(amplitude of vibration），它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期（period）是T=2π/ω，这是做间歇运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率（frequency)由公式f=1/T=|ω|/2π（这里的频率不是指角速率）它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx+φ称为相位x=0时的相位（ωx+φ=φ）称为初相参考资料来源：百度百科-初相

对谁求导就是求谁的变化率

波动方程中的x和s都代表位置。但是x通常指的是粒子或者波在空间中的位置，而s则更多地用于描述波函数的形态在时间上的演化。具体来说，波函数可以看作是位置和时间的函数，而s就代表着时间的变量。因此，在波动方程中，x的变化描述了波函数在空间上的分布情况，而s的变化则描述了波函数的演化过程。

简单的说，波函数有两个变量，一个是t一个是x，表示在波的传播方向上x处质点在t时刻的（y方向上）位移。而波动方程就是把x带进去，变量只剩下t。

协调，电磁场方程可以写成洛伦兹协变的形式。

首先给出波动方程初边值问题的格式：（记为方程A） 其中，（1）为运动方程，（2）为初始条件，（3）为边界条件（齐次形式）。 方程B 方程C 由叠加原理，若方程B和方程C分别有解 那么方程A的解 。过程略。由齐次化原理我们可以将方程C转化为方程B的形式求解，因此在此我们只讨论方程B的解。 想法：由物理知识（还有傅里叶展开），我们想到 将（10）代入（4），得到 变量分离，得到 其中 是特征值。（ 的计算过程与下面类似，但只能得到0解，不是我们想要的。在此省略过程） 当 ，（12）的通解为 由边值条件（6） ，有 再由 ，有 若要 不为零，必须有 即 由齐次边值条件（6），通解 为 对t求导，得初值条件（5）： 由（13）（14），有 以（15）为例计算： 由 的“正交系”性质，即 因此，将（15）左右同乘 并在 上积分，可得 同理可得 。 将 代入（13）可得方程B的解

薛定谔方程（Schrdingerequation）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。

那个方程本来就是薛定谔猜的

平面简谐波动方程公式是y=Acos[w(t-x/u)+φ]，x/u表示波以u的速度传了x的距离所用的时间。φ表示初始的相位，就是余弦函数的初始的一个角度。平面简谐波是最基本的波动形式。平面传播时，若介质中体元均按余弦（或正弦）规律运动，就叫平面简谐波。如果所传播的是谐振动，且波所到之处，媒质中各质点均做同频率、同振幅的谐振动，这样的波称为简谐波，也叫余弦波或正弦波。如果简谐波的波面是平面，这样的简谐波称为平面简谐波。

‘在讨论这个问题前先明白振动方程与波动方程的关系。可以简单的这样认为，振动方程即为一种波动方程的特例，即当x=0时，振动方程与波动方程是一致的，他们的表示形都为y=Acos(wt+φ)。其中A为振幅，w为角速度，φ为初相。在x≠0时，我们将t固定（这里用了波函数的定义帮助了解），则得到在原点处的相为y0=Acos(wt+φ),我们知道在余弦函数y=Acos(x/T)中，相差a个单位的函数值，只用求y=Acos((x-a)/T),其中T为周期。所以我们可以导出波动方程y=Acos(-x/T+wt+φ),这里的周期T可以由波长λ或波速v和角速度决定，其中T=2π/λ=w/v，故波动方程可以导出为y=Acos(-2πx/λ+wt+φ)=Acos(w(x/v+t)+φ).所以要通过振动方程导出波动方程必须得知道波速或者波长。

对于一个标量quantity u的波动方程的一般形式是：{ partial^2 u over partial t^2 } = c^2 abla^2u这里c通常是一个固定常数，也就是波的传播速率(对于空气中的声波大约是330米/秒, 参看音速)。对于弦的振动，这可以有很大的变化范围：在螺旋弹簧上（slinky），它可以慢到1米/秒。但若c作为波长的函数改变，它应该用相速度代替：v_mathrm = frac{omega}.注意波可能叠加到另外的运动上（例如声波的传播在气流之类的移动媒介中）。那种情况下，标量u会包含一个马赫因子(对于沿着流运动的波为正，对于反射波为负)。u = u(x,t), 是振幅,在特定位置x和特定时间t的波强度的一个测量。对于空气中的声波就是局部气压，对于振动弦就使从静止位置的位移。 abla^2 是相对于位置变量x的拉普拉斯算子。注意u可能是一个标量或向量。如，一维波动方程： 二维波动方程： 三维波动方程：

定义：2π/λ，称波矢k，含义是每变化一个波长的空间距离，相位变化2π，波矢k与圆频率ω对称2π/T，称圆频率ω，含义是每变化一个周期的时间，相位变化2π，ωx/u=2π/T*x/u=2πx/（T*u）=2πx/λ=kx这里，T*u=λ，即，在一个周期内，波传播了一个波长，非常对称。而对称是物理中非常重要的规律。

振动方程和波动方程的转换步骤是： 1、首先确定一个参考点，一般选择坐标原点，根据初始条件写出它的振动方程； 2、然后在右侧任选一点，坐标为x，这一点的振动方程和原点的振动方程对比，振幅一样，角频率一样； 3、唯一不一样的是初相位，而相位差可以根据这两个点的距离来确定，即相位差等于距离除以波长再乘以2个圆周率，同时，沿着波的传播方向相位越来越小。 波动方程的本质是振动方程，形式上自然一样，他们的区别就在于，振动方程描述的是一个质点在任意时刻偏离平衡位置的位移，而波动方程描述的是任意一个质点在任意时刻偏离平衡位置的位移。

波动方程的本质是振动方程，形式上自然一样，他们的区别就在于，振动方程描述的是一个质点在任意时刻偏离平衡位置的位移，而波动方程描述的是任意一个质点在任意时刻偏离平衡位置的位移，这个任意时刻用变量t来表示，任意位置用变量x来表示，求解方法完全是求解振动方程的方法，首先确定一个参考点，一般选择坐标原点，根据初始条件写出它的振动方程，然后在右侧任选一点，坐标为x，这一点的振动方程和原点的振动方程对比，振幅一样，角频率一样，唯一不一样的是初相位，而相位差可以根据这两个点的距离来确定，即相位差等于距离除以波长再乘以2PI（圆周率），同时，沿着波的传播方向相位越来越小。记住，波动方程就是振动方程。

y=0.03cos(πt/4-πx+π/3)=0.03cos[(π/4)(t-4x)+π/3],∴v=0.25m/s y{x=1}=0.03cos(πt/4-π+π/3)=0.03cos(πt/4-2π/3),∴初相位φ=-2π/3

你好！如果函数的形式是y(x-vt)，就是正x方向的。如果是y(x+vt)就是负x方向的。所以原方程是正x方向的。反方向的波只要是y(x+vt)形式的就行了，把t前面的系数换成负的打字不易，采纳哦！

电磁波动方程一般形式是：这里a通常是一个固定常数，也就是波的传播速率(对于空气中的声波大约是330米/秒, 参看音速)。对于弦的振动，这可以有很大的变化范围：在螺旋弹簧上（slinky），它可以慢到1米/秒。但若a作为波长的函数改变，它应该用相速度代替。波动方程的解是在空间中一个沿特定方向传播的电磁波。对于电磁波传播问题的分析，都可归结为在给定的边界条件和初始条件下求波动方程的解。注意波可能叠加到另外的运动上（例如声波的传播在气流之类的移动媒介中）。那种情况下，标量u会包含一个马赫因子(对于沿着流运动的波为正，对于反射波为负)。u = u(x,t), 是振幅,在特定位置x和特定时间t的波强度的一个测量。对于空气中的声波就是局部气压，对于振动弦就是从静止位置的位移。是相对于位置变量x的拉普拉斯算子。注意u可能是一个标量或向量。一维情况的波动方程可以用如下方法推导：想象一个质量为m的小质点的队列，互相用长度h的弹簧连接。弹簧的硬度为k :这里u (x)测量位于x的质点偏离平衡位置的距离。 , 

麦克斯韦方程组推导波动方程:首先假设，在原点处有振动y=f(t)，振动以速度v向x轴正方向传播，则t时刻x处的振动方程是即x处的振动比原点处慢x/v。这样我们就得到了沿x轴正方向传播的波函数一般形式从波函数出发，可以推导出波动方程的一般形式。令u=t-x/v对时间的一阶偏导数二阶偏导数对坐标的一阶偏导数二阶偏导数可以很容易得到波函数时空变化关系，即波动方程移相后就得到常见的波动方程满足这方程的波，可以从特征式里面得出传播速度v。麦克斯韦计算电磁波的传播速度就用到了上面的式子。

射线偏移是一种近似的几何偏移，虽然地震波的运动学特点得以恢复，但波的动力学特点(如振幅、波形、相位等)却受到畸变，因此，射线偏移已逐渐被高精度的波动方程偏移所代替。波动方程偏移是以波动理论为基础的偏移处理方法，其基本思路是，当地表产生弹性波向下传播(称为下行波)，遇到反射界面时将产生反射，这时可将反射界面看作新的波源，又有新的波以波动理论向上传播(称为上行波)，在地表接收到的地震记录就可看作反射界面产生的波场效应。偏移就是将地表接收到的波场按波动方程的传播规律反向向下传播，通常称为波场反向延拓，当波场反向延拓到反射界面时成像(成像剖面为偏移剖面)，从而找到了真实反射界面，达到了偏移处理的目的。可见波动方程偏移主要由波场延拓和成像两部分组成。波场延拓可用多种不同的方法实现，随之形成了多种不同的波动方程偏移方法。成像也有成像的原理，叠前和叠后偏移各有不同的成像条件。3.4.3.1 波动方程偏移的成像原理波动方程成像原理分叠后偏移成像原理和叠前偏移成像原理。3.4.3.1.1 爆炸反射界面成像原理该原理属叠后偏移成像原理。叠加剖面相当自激自收剖面，若将剖面中时间除2，或将传播速度减一半，就可将自激自收剖面看作在反射界面上同时激发的地震波沿界面法线传播到地表所接收的记录，即可将界面看作爆炸源，称为爆炸反射界面。若用波动方程将地表接收的波场(叠加剖面)作反时间方向传播(向下延拓)，当波场延拓到时间t为零(t=0)时，该波场的所在位置就是反射界面位置。因此，t=0成为叠后波动方程偏移的成像条件。从延拓的结果(地下各点的波场)中取出地下各点处零时刻的波场值组成的剖面就为成像剖面，该剖面为叠后波动方程偏移结果。3.4.3.1.2 波场延拓的时间一致性成像原理图3-22 时间一致性成像原理示意图时间一致性成像原理适用于叠前偏移。此成像原理可描述为：在地下某一深度存在一反射界面R(如图3-22(a))，在地面S点激发的下行波D到达界面R时产生反射上行波U，到达G点被接收，下行波D到达界R面的时间(或空间位置)与上行波U产生的时间(或空间位置)是一致的，即称为时间(或空间位置)一致性。设波从S点到R的传播时间为ts，从R至G的传播时间为tg，从S到G的总时间为tsg=ts+tg。在叠前偏移中，若模拟一震源函数D自S点正向(向下)延拓，而将G点接收到的上行波U反向延拓，当D和U延拓深度为Z1时，D的正向传播时间和U的反向传播时间分别为ts1和tg1，因Z1＜ZR(ZR为反射点深度)，tsg-tg1＞ts1，说明上行波和下行波所在的时间(或空间位置)不一致(如图3-22(b))，当D和U延拓深度为zz=ZR时，下行波正向传播时间为ts1=ts，上行波反向传播时间为tg2=tg，即有tsg-tg2=ts2，或tsg-tg=ts，这时上、下行波所在的时间(或空间位置)是一致的。再将D、U延拓到Z3，Z3＞ZR，即当延拓深度Z＞ZR以后，不会再出现时间(或深度位置)一致的现象。在上、下行波延拓过程中，若求下行波场D和上行波场U的零移位互相关，在满足时间(或空间位置)一致性条件时，相关值最大，而在其他情况下相关值很小或为零，延拓过程中的相关结果就为叠前偏移成像剖面。3.4.3.2 叠后波动方程偏移方法叠后偏移是在叠加剖面的基础上进行偏移处理。叠后波动方程偏移是用某些数学手段求解波动方程，对叠后波场延拓归位，达到偏移的目的。针对求解波动方程的方法，可将波动方程偏移分为三大类主要方法：有限差分法波动方程偏移、F－K域波动方程偏移和克希霍积分法波动方程偏移。3.4.3.2.1 15°有限差分法波动方程偏移15°有限差分法波动方程偏移是以地面上获得的水平叠加时间剖面作为边界条件，用差分代替微分，对只包含上行波的近似波动方程求解以得到地下界面的真实图像。这也是一个延拓和成像的过程。3.4.3.2.1.1 延拓方程的推导由下述二维波动方程出发。地震勘探原理、方法及解释根据爆炸反射面模型，将速度缩小一半，即用V/2代替V，可得地震勘探原理、方法及解释此方程有两个解，分别对应于上行波和下行波。但地震记录是上行波记录，故不能用此方程进行延拓，必须将它化为单纯的上行波方程才能利用。通常采用的方法是进行坐标变换后取近似值。第一步是坐标变换，令地震勘探原理、方法及解释上式中第二式是把方程中的深度坐标变为时间坐标。第三式是上行波的坐标变换。若称t为老时间，t′为新时间。因为坐标变换不改变实际波场，故原坐标系中波场u(x，z，t)与新坐标系中的波场 (x′，τ，t′)一样，即地震勘探原理、方法及解释由复合函数微分法，得地震勘探原理、方法及解释将上述二阶偏微分结果代入方程(3.4-2)，整理后得地震勘探原理、方法及解释为书写方便，以u、x、t分别代替u′、x′、t′，则(3.4-5)式可写为地震勘探原理、方法及解释式中：uxx，uττ，uτt分别表示u的二次导数。注意，此方程仍然包含了上行波和下行波，仍不能用来进行延拓，故还有第二步。经过了坐标变换，虽然波场不变，但在新坐标系下，上、下行波表现出差异，此差异主要表现为uττ的大小不同。当上行波的传播方向与垂直方向之间的夹角较小时(小于15°)，uττ可以忽略，而对下行波来说，uττ不能忽略。忽略掉uττ项，就得到只包含上行波的近似方程地震勘探原理、方法及解释此即15°近似方程(因为它只适用于夹角小于15°的上行波，或者只有倾角小于15°的界面形成的上行波才能满足它)，为常用的延拓方程。为了求解此方程还必须给出定解条件。由于震源强度有限，可给出如下定解条件1)测线两端外侧的波场为零，即u(x，τ，t)≡0 当 x＞ xmax或 x＜xmin时2)记录最大时间以外的波场为零，即u(x，τ，t)≡0 当 t＞ tmax时3)自激自收记录(水平叠加剖面)为给定的边界条件，即时间深度τ=0 处的波场值u(x，0，t)已知。有了这些定解条件就可对方程(3.4-7)求解得到地下任意深度处的波场值u(x，τ，t)，这是延拓过程。再根据前述成像原理，取(3.4-4)中，第三式的老时间t=0时刻时的波场值，即新时间t=τ时刻的波场值u(x，τ，t)就组成了偏移后的输出剖面。图3-23 12点差分格式3.4.3.2.1.2 差分方程为了求解微分方程(3.4-7)，用差分近似微分，采用如图3-23所示的12点差分格式，将uxx、uτt表示为差分表达式，可得差分方程地震勘探原理、方法及解释式中：I和T为向量I=[0，1，0] T=[-1，2，-1] (3.4-9)α和β为标量地震勘探原理、方法及解释3.4.3.2.1.3 计算步骤和偏移结果差分方程(3.4-8)形式上是一个隐式方程。即时间深度τ=(j+1)Δτ处的波场值不能单独地用时间深度τ=jΔτ处的波场值组合得到，方程右边仍有τ=(j+1)Δτ 的项。为了求得一排数据u(x，j+1，l)必须用到三排数据u(x，j+1，l+1)，u(x，j，l)和u(x，j，l+1)(图3-24)。图3-24 有限差分法偏移求解中的一步①u(x，j，l+1)；②u(x，j，l)；③u(x，j+1，l+1)；④u(x，j+1，l)利用第二个定解条件，在计算新的深度τ=(j+1)Δτ处波场值时，由最大时间开始，首先计算t=tmax的那一排值。因u(i，j+1，tmax+Δt)≡0和u(i，j，tmax+Δt)≡0，有地震勘探原理、方法及解释计算u(i，j+1，tmax)只用到已知的u(i，j，tmax)值，十分容易。然后再利用(3.4-8)式递推地求τ=(j+1)Δτ深度处任何时刻的波场值就没有任何困难了。具体计算时由地面向下延拓，计算深度Δτ处的波场值。首先计算此深度处在t=tmax时的波场，然后向t减小的方向进行。一个深度计算结束，再向下延拓一个步长Δτ继续计算。依此类推，可以得到地下所有点在不同时刻的波场值。如前所述，在新时间t=τ时刻的波场值正是所欲求的“像”。因此，每次递推计算某一深度τ处的波场值时，由t=tmax向t减小的方向计算至t=τ时就可以结束。不同深处的“像”u(x，τ，t)组成偏移后的输出剖面。图3-25 画出了偏移时的计算关系及结果取值位置。A 表示地面观测到的叠加剖面。由A计算下一个深度Δτ处的波场值 B，计算 B 时先算第1′排的数值(只用到A中第1排数值)，再算第2′排数值(要用A 中第1、2 排和B 中第1′排数值)，依此类推，直到 t=τ 为止。再由 B算下一个深度2Δτ处波场值C，……在二维空间(x，t=τ)上呈现出需要的结果剖面信息。图3-25 偏移结果取值位置图当延拓计算步长Δτ与地震记录的采样间隔Δt一样时，由图3-25 的几何关系可以看到，偏移剖面是该图中45°对角线上的值。实际工作中 Δτ 不一定要与Δt相等，可根据界面倾角大小确定Δτ，倾角较大时应取较小的Δτ，倾角较小时Δτ可取的较大些，以减少计算工作量。中间值可用插值求得。与其他波动方程偏移方法相比，有限差分法有能适应横向速度变化，偏移噪声小，在剖面信噪比低的情况下也能很好地工作等优点。但15°有限差分法对倾角太大的情况不能得到好的偏移效果。因此，相继又研究发展了45°、60°有限差分偏移方法和适应更大倾角的高阶有限差分分裂算法。3.4.3.2.2 频率波数域波动方程偏移有限差分偏移方法是在时间空间域中进行的。利用傅里叶变换也可使偏移在频率波数域中实现。与有限差分法偏移思想完全一样，认为水平叠加剖面是由界面上无数震源同时向上发出的上行波在地面处的波场值u(x，0，t)，用它反求地下任一点的波场值u(x，z，t)，这是延拓；据成像原理，取其在t=0时刻的值u(x，z，0)，组成偏移后的输出剖面。仍由速度减半后的波动方程(3.4-2)出发，对方程两边做关于x和t的二维傅里叶变换，得到一个常微分方程地震勘探原理、方法及解释式中： = (kx，z，ω)为波场函数u(x，z，t)的二维傅里叶变换，ω=2πƒ为圆频率，kx为x方向上的空间波数。式(3.4-11)是常微分方程，其解有两个，分别对应于上行波和下行波。偏移研究的是上行波的向下延拓问题，故只考虑上行波解地震勘探原理、方法及解释其中U(kx，0，ω)为解的初值，即上行波在z=0处的记录的傅里叶变换。因此，式(3.4-12)表示由z=0处波场的傅里叶变换求出任何深度处波场傅里叶变换的过程，是频率波数域中的波场延拓方程。通过傅里叶反变换可由 (kx，z，ω)求出地下任何深度处的波场值地震勘探原理、方法及解释根据成像原理，偏移结果应是这些点处t=0时刻的波场值地震勘探原理、方法及解释这就是频率波数域偏移的数学模型。由于该式不是傅里叶变换公式，为了能利用快速傅里叶变换求解，经变量置换后，上式可变为一个傅里叶反变换公式。3.4.3.2.3 克希霍夫积分偏移克希霍夫积分偏移是一种基于波动方程克希霍夫积分解的偏移方法。三维纵波波动方程的克希霍夫积分解(可见原理部分)为地震勘探原理、方法及解释式中：Q为包围点(x，y，z)的闭曲面，n为Q的外法线，r为由(x，y，z)点至Q面上各点的距离，[ ]表示延迟位，[u]=u(t-r/V)。此解的实质是由已知的闭曲面Q上各点波场值计算面内任一点处的波场值。它正是惠更斯原理的严格数学形式。选择闭曲面Q由一个无限大的平面Q0和一个无限大的半球面Q1所组成。Q1面上各点波场值的面积分对面内一点波场函数的贡献为零。因此，仅由平地面Q0上各点的波场值计算地下各点的波场值地震勘探原理、方法及解释此时，原公式中的 项消失，积分号前的负号也因z轴正向与n相反而变为正。以上是正问题的克希霍夫积分计算公式。偏移处理的是反问题，是将反射界面的各点看作为同时激发上行波的源点，将地面接收点看作为二次震源，将时间“倒退”到t=0时刻，寻找反射界面的源波场函数，从而确定反射界面。反问题也能用上式求解，差别仅在于[ ]不再是延迟位而是超前位， 。根据这种理解，克希霍夫积分延拓公式应为地震勘探原理、方法及解释按照成像原理，此时t=0时刻的波场值即为偏移结果。只考虑二维偏移，忽略掉y坐标，将空间深度z转换为时间深度t0=2z/V，得到克希霍夫积分偏移公式地震勘探原理、方法及解释式中：τ= ]1/2，xl为地面记录道横坐标，x为偏移后剖面道横坐标，r=[z2+(x-xl)2]1/2(见图3-26)。由 =-cosθ，得地震勘探原理、方法及解释由此可见，克希霍夫积分偏移与绕射扫描叠加十分相似，都是按双曲线取值叠加后放在双曲线顶点处。不同之处在于：①不仅要取各道的幅值，还要取各道的幅值对时间的导数值 参加叠加；②各道相应幅值叠加时不是简单相加，而是按(3.4-18)式的加权叠加。正因如此，所以虽然形式上克希霍夫积分法与绕射扫描叠加类似，但二者有着本质区别。前者的基础是波动方程，可保留波的动力学特性，后者属几何地震学范畴，只保留波的运动学特征。图3-26 克希霍夫偏移公式中各量示意图与其他波动方程偏移法相比，克希霍夫积分法具有容易理解，能适应大倾角地层等优点。但它在速度横向变化较大的地区难以使用，且偏移噪声较大。3.4.3.3 叠前波动方程偏移简介叠后偏移需经过水平叠加处理才能进行，水平叠加本身是以射线理论为基础的近似处理方法，随着构造的复杂程度以及波场的复杂程度增加而误差越来越大，叠后偏移效果也随构造的复杂度而降低。叠前偏移是直接对野外接收的波场偏移归位，不受动校叠加的影响，理论和实践均证明其偏移效果明显优于叠后偏移。叠前偏移是偏移成像领域的发展方向。叠前偏移有二维或三维偏移，三维偏移可实现三维空间归位成像，成像质量优于二维。实现叠前偏移的方法同样有差分法、F—K法和积分法以及混合方法。下面以相移法三维叠前深度偏移为例，讨论叠前偏移的原理及实现方法。由三维纵波方程地震勘探原理、方法及解释设 (kx，ky，z，ω)为p(x，y，z，t)的三维傅里叶变换，对(3.4-19)式作三维傅里叶变换，可求解得地震勘探原理、方法及解释式中： 式(3.4-20)称为相移延拓公式，仅适应V为常数的情况。设地下为水平层状界面，在某一深度Z处ΔZ厚度层内的层速度为常数的条件下，该层的延拓公式为地震勘探原理、方法及解释该式为适应纵向变速V=V(z)的相移延拓公式。设 (kx，ky，0，ω)为震源函数S(x，y，0，t)的三维傅里叶变换， (kx，ky，0，ω)为地面接收的地震记录R(x，y，0，t)的三维傅氏变换，则将震源函数在(k，ω)域正向延拓z的公式为地震勘探原理、方法及解释将记录R反向延拓Z的公式为地震勘探原理、方法及解释对(3.4-22)、(3.4-23)式作三维反傅里叶变换，并根据时间或深度一致性成像原理，求两波场在(x，y，z)点的互相关为地震勘探原理、方法及解释当相关延迟时间τ=0时，即得成像结果地震勘探原理、方法及解释该式也可以在(x，y，z，ω)域计算。对横向变速介质，当V=V(x，y，z)时，(3.4-20)式中的kz应为地震勘探原理、方法及解释该式可写成地震勘探原理、方法及解释式中Vα为在Z深度平面的平均速度，则三维相移因子为地震勘探原理、方法及解释为满足相移公式条件，先用水平面平均速度Vα做纵向延拓，设延拓后的波场为地震勘探原理、方法及解释则横向变速的结果为：地震勘探原理、方法及解释在式(3.4-30)中的指数部分用二项式展开并略去高次项，得地震勘探原理、方法及解释该式即是相移法延拓后适应速度横向变化的校正因子。根据不同的精度要求保留相应高次项，可分别作一阶、二阶或三阶校正。校正可在F-K域进行，也可在F-x域进行，若在F-x域用差分法进行校正，则称为混合法波动方程叠前深度偏移。以上叠前深度偏移方法的实现过程是对共炮集三维观测记录分别偏移成像，然后按空间位置叠加。

在不同的介质模型中，地震波传播有不同的规律，各种不同的传播规律需用不同的传播方程描述。一般介质模型越复杂，其描述地震波传播的方程就越复杂。通常研究地震波的传播问题是由简单介质模型到复杂介质模型，均匀、各向同性、理想弹性介质是一种最简单的介质模型。8.2.1 弹性波传播方程根据固体弹性动力学理论，地震波在均匀、各向同性、理想弹性介质中传播满足以下偏微分方程勘查技术工程学该式称为矢量弹性波方程，式中矢量U表示介质质点受外力（F）作用后的位移，称为位移矢量，U=U（u，v，w），u，v，w为x，y，z三个坐标轴的位移分量。矢量F表示对介质作用的外力，称为力矢量，F=F（Fx，Fy，Fz），Fx，Fy，Fz为三个力分量。常量λ、μ是介质的弹性常数，称为拉梅（Lame）常数。常数ρ是介质的密度。标量θ称为体变系数，它与位移满足以下关系勘查技术工程学算符▽2 为拉普拉斯（Laplace）算子勘查技术工程学（8.2-1）式的分量式为勘查技术工程学8.2.2 纵、横波波动方程在弹性波方程中，外力F既包含胀缩力（正压力），也包含旋转力（剪切力），位移U也包含体变和形变两部分。若对弹性波方程（8.2-1）式两边取散度或取旋度，就可将弹性波方程分离为纵、横波方程。对（8.2-1）式两边取散度（div），可得方程勘查技术工程学若令勘查技术工程学（8.2-4）式可写成勘查技术工程学式中：divF代表胀缩力，该式描述了在只有胀缩力的作用时，弹性介质只产生与体变系数θ有关的扰动，称（8.2-6）式为用位移表示的纵波波动方程，式中vP为纵波传播速度。同样，若对（8.2-1）式两边取旋度（rot），并令ω=rotU，可得方程勘查技术工程学令勘查技术工程学（8.2-7）式可写成勘查技术工程学式中：rotF代表旋转力，该式描述了在只有旋转力作用时，弹性介质只产生与形变ω有关的扰动，称（8.2-9）式为用位移表示的横波波动方程，式中vS为横波传播速度。为使纵、横波方程简单化，可进一步用位函数表达纵、横波方程。已知U和F是矢量，根据亥姆霍兹（Helmholtz）定理：任一矢量函数U，若它的散度和旋度有意义，则该矢量场可分解为一个无旋部分和有旋部分之和，即勘查技术工程学并且总可以找到一个标量位φ和矢量位ψ使下式成立勘查技术工程学φ代表位移场的标量位，ψ代表位移场的矢量位；Φ代表标量力位，Ψ代表矢量力位。将（8.2-11）式分别代入（8.2-6）和（8.2-9）式，可得用位函数表示的纵、横波波动方程勘查技术工程学若矢量位Ψ=Ψ（ψx，ψy），则（8.2-13）也可写成标量方程勘查技术工程学式（8.2-12）、（8.2-14）是标量位函数表示的三分量标量波动方程，（8.2-12）式是纵波标量波动方程，（8.2-14）式是标量横波波动方程。在以上传播方程中，当速度vP、vS分别为常数，则表示均匀、各向同性、理想弹性介质中波的传播规律。若速度vP=vP（x，y，z）、vS=vS（x，y，z），则可表示非均匀、各向同性、理想弹性介质中波的传播规律。对各向异性、粘弹性介质以及双相介质模型的波传播方程需要重新建立。

令：y=0则有：wt+2πx-3π/4=π/2，解得：x1=（5π/4-wt）/2π同样有：wt+2πx-3π/4=2π+π/2，解得：x2=（13π/4-wt）/2π则：λ=x2-x1=1令：x=0，y=A则有：cos(wt-3π/4)=1则有：wt1-3π/4=0，wt2-3π/4=2π两式相减：w（t2-t1）=2πwT=2π，故有：2π/T=2πf=w故：圆频率为：w，波长为：1

对于一个标量quantityu的波动方程的一般形式是：波动方程{partial^2uoverpartialt^2}=c^2 abla^2u这里c通常是一个固定常数，也就是波的传播速率(对于空气中的声波大约是330米/秒,参看音速)。对于弦的振动，这可以有很大的变化范围：在螺旋弹簧上（slinky），它可以慢到1米/秒。但若c作为波长的函数改变，它应该用相速度代替：v_mathrm=frac{omega}.注意波可能叠加到另外的运动上（例如声波的传播在气流之类的移动媒介中）。那种情况下，标量u会包含一个马赫因子(对于沿着流运动的波为正，对于反射波为负)。u=u(x,t),是振幅,在特定位置x和特定时间t的波强度的一个测量。对于空气中的声波就是局部气压，对于振动弦就使从静止位置的位移。 abla^2是相对于位置变量x的拉普拉斯算子。注意u可能是一个标量或向量。向左转|向右转波动方程：

  看到这个一个非常有趣，简单明白的经典波动方程推导过程文章（见“如何从麦克斯韦方程组推出电磁波？见证奇迹的时刻（近1.5万字）” https://c.m.163.com/news/a/G5KSDVLS0511A3AG.html?spss=newsapp ），对其过程进行了一个整理。可以作上述这边非常好的科普文章的补充读物。   核心：利用牛顿第二定律（著名的 F = ma ）中进行的一个动力学系统建模过程。思想实验中，假设一根理想绳子在力的作用下波动。首先，进行受力分析回应 F。其次，一个机械波中理想的媒介其具有均匀性，故一小段的质量 m 可以通过横断面的质量 μ 乘以绳子长度来获得，回应了 m ，这个 m 在最后的波动方程中可以通过张力被消掉。再次，加速度 a 从其量纲／单位 来看是 位移 x 对时间 t 取二阶导数，因此对 a 的寻找就替换为对 x 和 t 的分析。最后，把找出的 F ,m ，x ,t 这些因素直接带入牛顿第二定律里面去就得到经典理论中的波动方程。作为动力学方程，一个是有力，还有一个是有时间，波的运动本身也是在时间中进行，因此，方程（含有未知数的等式）建立的是(偏)微分方程。形式一定为 f(x,t)。动力学方程中创建过程中，一定是在“Δt 时间内”状态变化进行建模的，微分方程建模也是这个套路。   微观上在机械波媒介上抽象出一个点进行受力分析，得到力在机械波媒介上每一个点上受的力大小相同，方向不一样；宏观上定性分析波在时间上面的周期性。    对一个波上质点进行受力分析时候只关注力分解后力的纵向部分，是物理学中的理想化和简化分析的常用方法。竖子向上合力F =（T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ）,其中 T 为张力.   建立周期性方程时候波向右移动了一个周期 ω，我们使用波动方程表达的则是 f(x - ω)，而不是 f(x + ω) 。这个过程实际上是在把坐标向右平移，因此使用减法，是变换坐标方法。想想看圆心为 (a,b)，半径为1的圆，其方程不也是 (x-a)^2 + (x-b)^2 = 1 。   为了简洁和方便，都是把绳子假设为各处密度一样，横截面积处处相同。   有了以上假设，使用求定积分中常用用的“元素法/面积法”来构造 m 。方法是 Δx 围着合成的近似面积 dA 关于 x 的函数 f(x) 作为被积函数就可以得到 m 。在最后的波动方程中，整理后会出现 m/T 这一项，T 是 m 的函数，故 m/T 可以消掉质量 m 。 可以得到 m = μ·Δx，μ 就是我们要寻找的面积元素。   在一段Δt时间内进行分析，两个相邻点位移Δy对变动时间Δt求二阶导数就可以了。 波动函数为 f(x,t)，故 a = ∂²f/ ∂t²   将 F、m、t分别带入 F = ma 中，就得到动力学方程，包括社会科学类系统动力学系统中，我们在建立动力学方程时，都是在 Δt时间内定义状态变化情况，然后形成(偏)微分方程。   波的位移 x 的函数。通过波上两个相邻点进行分析，两个相邻点位移Δx 和切线角度Δθ变化得到动态过程，然后取极限。   在拉力 T 形成的力 F 中， 带有 sinθ，而tgθ的几何意义是斜率，是波的图像点 (x,f(x)) 对应的位移变化方向角度θ 的正切值。波动函数 f 对 x 求导数就是tgθ。如果有的话就能简化方程。现在就需要将 sinθ 变成 tgθ了。这个过程中利用了等价无穷小的性质。tgx～x,sinx～x,所以sinθ～tgθ,当Δx —>0时，Δθ —>0 ，故在波动力学方程中可以使用 tgθ替代 sinθ。经过整理，简洁、优美、易记的波动力学（二阶微分）方程就出来了。   对于经典公式，一定要理解其推导（物理）或者证明（数学）过程，这样才能更深刻地了解其背后深刻的原因和影响，也很有趣。经典物理中，牛爵爷真是了不起。加入了量子效应的薛定谔方程的是怎样推导的，这个过程一定非常有趣。

为了弄清楚波动方程的物理意义，我们作进一步的分析。在波动方程中含有x和t两个自变量，如果x给定(即考察该处的质点)，那么位移y就只是t的周期函数，这时这个方程表示x处质点在各不同时刻的位移，也就是该质点的振动方程，方程的曲线就是该质点的振动曲线。下图(a)中描出的即一列简谐波在x=0处质点的振动曲线。如果波动方程中的t给定，那么位移y将只是x的周期函数，这时方程给出的是t时刻波线上各个不同质点的位移。波动中某一时刻不同质点的位移曲线称为该时刻波的波形曲线，因而t给定时，方程就是该时刻的波形方程。下图(b)中描出的即是t=0时一列沿x方向传播的简谐波的波形曲线。无论是横波还是纵波，它们的波形曲线在形式上没有区别，不过横波的位移指的是横向位移，表现的是峰谷相间的图形；纵波的位移指的是纵向位移，表现的是疏密相间的图形。在一般情况下，波动方程中的x和t都是变量。这时波动方程具有它最完整的含义，表示波动中任一质点的振动规律：波动中任一质点的相位随时间变化，每过一个周期T相位增加，任一时刻各质点的相位随空间变化，距离波源每远一个波长，相位落后一个2π。(a)x=0处质点的振动曲线(b)t=0时波的波形曲线振动曲线和波形曲线还应该注意波动方程、振动方程和波形方程在形式上的明显区别，以免引起概念上的混淆。波动方程描述波动中任一质点的振动规律，它有两个自变量，其函数形式表现为；振动方程描述某一点的运动，只有一个自变量t，函数形式表现为形式；波形方程表示的是某一时刻各质点的位移，也只有一个自变量，表现为形式。反映在曲线表示上，要注意振动曲线和波形曲线的区别。振动曲线是y-t曲线而波形曲线是y-x。振动曲线的(时间)周期是T，波形曲线的(空间)周期是波长l。在振动曲线中质点的相位随时间逐步增加，而在波形曲线中质点的相位是沿波的传播方向逐点减少。

波动方程的公式分为正弦和余弦，其中正弦表达式为Y=Asin(ωt-kz+φ)，余弦表达式为为Y=ACOS[ω(t-kz)+φ]，其中z代表位移，φ是初相位。波动方程也称波方程，是一种描述波动现象的偏微分方程，它通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波等，在不同领域都有涉及，例如声学，电磁学，和流体力学等。波动方程就是描述波动现象的偏微分方程，它的物理意义就太宽泛了。不过波动方程一个很重要的性质是传播速度有限（不像热传导方程）。电磁场的运动方程是波动方程这说明电磁相互作用只能以有限的速度传播（光速c），而没有瞬时的作用（即超距作用）。这是导致狭义相对论建立的一个重要思想。

振动方程与波动方程的区别如下：一、描述内容不同振动方程描述的是一个质点在任意时刻偏离平衡位置的位移。波动方程描述的是任意一个质点在任意时刻偏离平衡位置的位移。二、y的含义不同振动方程 y 是时间 t 的函数，y=f（t）。波动方程 y 是时间 t 和位置 x 的函数y=f（t, x)。三、变量不同振动方程的变量是 t，波动方程的变量是 x，t 。扩展资料波动方程的求解方式：波动方程的求解方法完全是求解振动方程的方法，首先确定一个参考点，一般选择坐标原点，根据初始条件写出它的振动方程，然后在右侧任选一点，坐标为x。这一点的振动方程和原点的振动方程对比，振幅一样，角频率一样，唯一不一样的是初相位，而相位差可以根据这两个点之间的距离来确定，即相位差等于距离除以波长再乘以2PI（圆周率），同时，沿着波的传播方向相位越来越小。

简谐运动的位移x= rCOS(ωt+φ)波动方程余弦表达式为为Y=ACOS[ω(t-kz)+φ]，其中z代表位移，φ是初相位。

首先考虑x=0处的波动。这时候可以设函数是A*cos(ωt+φ)然后分析x不为零时的y值。那么x处的波高可以认为x=0处的波高向右运动过来的，运动距离是x。所以运动时间是x/u。t1时刻x=0处的y值是y1=A*cos(ωt1+φ)，也是t1+x0/u 时x0处的y值。所以t0时，x0处的y值是y1。将t0= t1+x0/u代入，得 A*cos(ω(t0-x0/u)+φ)。这是波动方程直观的物理解释。A是振幅ω是角频率φ是初相A=0.04m周期T=2π/ω频率f=1/T波长λλf=u用这几个公式就知道了波长周期频率。关于初相φ，函数是余弦函数向右平移了π/2个相位。由于cos函数下x的系数-ω/u为负，所以x-c，展开后c大于0，所以初相φ大于0。是π/2我是个民科，没上过大学，可能不标准，呵呵。

为了弄清楚波动方程的物理意义，我们作进一步的分析。在波动方程中含有x和t两个自变量，如果x给定(即考察该处的质点)，那么位移y就只是t的周期函数，这时这个方程表示x处质点在各不同时刻的位移，也就是该质点的振动方程，方程的曲线就是该质点的振动曲线。下图(a)中描出的即一列简谐波在x=0处质点的振动曲线。如果波动方程中的t给定，那么位移y将只是x的周期函数，这时方程给出的是t时刻波线上各个不同质点的位移。波动中某一时刻不同质点的位移曲线称为该时刻波的波形曲线，因而t给定时，方程就是该时刻的波形方程。下图(b)中描出的即是t=0时一列沿x方向传播的简谐波的波形曲线。无论是横波还是纵波，它们的波形曲线在形式上没有区别，不过横波的位移指的是横向位移，表现的是峰谷相间的图形；纵波的位移指的是纵向位移，表现的是疏密相间的图形。在一般情况下，波动方程中的x和t都是变量。这时波动方程具有它最完整的含义，表示波动中任一质点的振动规律：波动中任一质点的相位随时间变化，每过一个周期T相位增加，任一时刻各质点的相位随空间变化，距离波源每远一个波长，相位落后一个2π。(a)x=0处质点的振动曲线 (b)t=0时波的波形曲线振动曲线和波形曲线还应该注意波动方程、振动方程和波形方程在形式上的明显区别，以免引起概念上的混淆。波动方程描述波动中任一质点的振动规律，它有两个自变量，其函数形式表现为；振动方程描述某一点的运动，只有一个自变量t，函数形式表现为形式；波形方程表示的是某一时刻各质点的位移，也只有一个自变量，表现为形式。反映在曲线表示上，要注意振动曲线和波形曲线的区别。振动曲线是y-t曲线而波形曲线是y-x。振动曲线的(时间)周期是T，波形曲线的(空间)周期是波长l。在振动曲线中质点的相位随时间逐步增加，而在波形曲线中质点的相位是沿波的传播方向逐点减少。

光的波动方程 本节揭示如何从显性的物理图景得出抽象的方程.假设有一个光的平面波,沿 +z 方向传播,正如我们研究平面电磁波中假设的那样.本质上光波也属于电磁波.在此,光波的极化概念由偏振替代,我们假设光波的偏振方向为 y 方向,振幅为 A ,角频率为 ω ,速度为 c ,初始相位为 φ ,那么可以如下描述光波的振动： y(z,t) = A cos [ω(t - z/c) + φ] (*) 这个描述是显性的,它直接来自上面假设的诸物理图景.t - z/c 表示一个时间差,比较的基准是选取初始相位的那个位置和时刻.由于 c = λf = λ/2π •2πf = ω/k ,所以上式可以继续变形： ω(t - z/c) = ωt - kz = kωt/k - kz = kct - kz 考虑到一般情况,在任意方向 r ,上式中的 kz 就变为 k•r ,其中 k 为传波矢量,k = kz .于是： ω(t - z/c) = kct - k•r 把上式改写为两个四维矢量k4和r4的点积,并可采用张量的记法： ω(t - z/c) = [k k][ct -r]T = k4•r4 = kiri 于是,(*) 可改写为： y(z,t) = A cos [kiri + φ] 现在引入“复振幅”的概念,也正如电磁场理论中的概念一样.于是： y(z,t) = ℜ(A ejφ exp (jkiri)) 令： Ψ = A exp (jkiri) 可以 证明 Ψ 满足波动方程： ∂2Ψ/∂ri∂ri= □Ψ = 0 其中,□为达朗贝尔算子,也记做 ∇42 .

本来我也不会，突然开窍了。波动方程里含有一个x与t，那个x就是坐标轴上的任意一点，如果那一个点确定了，得出的就是含有t的一个振动方程，说波动方程是振动方程是错误的，还有波动方程的w与振动方程是一样的，还有改变坐标轴，同一点的振动方程不变。

为了弄清楚波动方程的物理意义，我们作进一步的分析。在波动方程中含有x和t两个自变量，如果x给定(即考察该处的质点)，那么位移y就只是t的周期函数，这时这个方程表示x处质点在各不同时刻的位移，也就是该质点的振动方程，方程的曲线就是该质点的振动曲线。下图(a)中描出的即一列简谐波在x=0处质点的振动曲线。如果波动方程中的t给定，那么位移y将只是x的周期函数，这时方程给出的是t时刻波线上各个不同质点的位移。波动中某一时刻不同质点的位移曲线称为该时刻波的波形曲线，因而t给定时，方程就是该时刻的波形方程。下图(b)中描出的即是t=0时一列沿x方向传播的简谐波的波形曲线。无论是横波还是纵波，它们的波形曲线在形式上没有区别，不过横波的位移指的是横向位移，表现的是峰谷相间的图形；纵波的位移指的是纵向位移，表现的是疏密相间的图形。在一般情况下，波动方程中的x和t都是变量。这时波动方程具有它最完整的含义，表示波动中任一质点的振动规律：波动中任一质点的相位随时间变化，每过一个周期T相位增加，任一时刻各质点的相位随空间变化，距离波源每远一个波长，相位落后一个2π。(a)x=0处质点的振动曲线(b)t=0时波的波形曲线振动曲线和波形曲线还应该注意波动方程、振动方程和波形方程在形式上的明显区别，以免引起概念上的混淆。波动方程描述波动中任一质点的振动规律，它有两个自变量，其函数形式表现为；振动方程描述某一点的运动，只有一个自变量t，函数形式表现为形式；波形方程表示的是某一时刻各质点的位移，也只有一个自变量，表现为形式。反映在曲线表示上，要注意振动曲线和波形曲线的区别。振动曲线是y-t曲线而波形曲线是y-x。振动曲线的(时间)周期是T，波形曲线的(空间)周期是波长l。在振动曲线中质点的相位随时间逐步增加，而在波形曲线中质点的相位是沿波的传播方向逐点减少。

大学物理波动方程公式是：1、简谐振动方程：ξ=Acos(ωt+φ)。2、波形方程：ξ=Acos(2πx/λ+φ′)。3、振动能量：E k =mV2/2=Ek E= Ek +Ep =kA2/2 E p =kx2/2= (t) 。4、波动能量：=1222∝A ρωA V ρω2A 2 I==2。5、机械波ν" =V +V R （V R ——观察者速度；V s ——波源速度）。 6、对光波ν" =C -V r，其中V r 指光源与观察者相对速度。波动方程物理意义波动方程就是描述波动现象的偏微分方程，它的物理意义就太宽泛了。不过波动方程一个很重要的性质是传播速度有限（不像热传导方程）。电磁场的运动方程是波动方程这说明电磁相互作用只能以有限的速度传播（光速c），而没有瞬时的作用（即超距作用）。这是导致狭义相对论建立的一个重要思想。

波源振动是同一质点振动随时间t的变化关系，波动方程不同质点振动随距离X变化关系。波源振动方程与波动方程的角速度相同，振幅相同。

波动方程的本质是振动方程,形式上自然一样,他们的区别就在于,振动方程描述的是一个质点在任意时刻偏离平衡位置的位移,而波动方程描述的是任意一个质点在任意时刻偏离平衡位置的位移,这个任意时刻用变量t来表示,任意位置用变量x来表示,求解方法完全是求解振动方程的方法,首先确定一个参考点,一般选择坐标原点,根据初始条件写出它的振动方程,然后在右侧任选一点,坐标为x,这一点的振动方程和原点的振动方程对比,振幅一样,角频率一样,唯一不一样的是初相位,而相位差可以根据这两个点的距离来确定,即相位差等于距离除以波长再乘以2PI（圆周率）,同时,沿着波的传播方向相位越来越小.记住,波动方程就是振动方程.

波动方程或称波方程（英语：Wave equation） 由麦克斯韦方程组导出的、描述电磁场波动特征的一组微分方程，是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。波动方程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。中文名波动方程外文名Wave equation所属学科物理应用学科声学、电磁学、流体力学、电信快速导航方程形式 方程的解 要点分析 物理意义波动方程介绍历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。弦振动方程是在18世纪由达朗贝尔（d"Alembert）等人首先系统研究的，它是一大类偏微分方程的典型代表。[1]方程形式对于一个标量(quantity) 的波动方程的一般形式是：波动方程这里a通常是一个固定常数，也就是波的传播速率(对于空气中的声波大约是330米/秒, 参看音速)。对于弦的振动，这可以有很大的变化范围：在螺旋弹簧上（slinky），它可以慢到1米/秒。但若a作为波长的函数改变，它应该用相速度代替：注意波可能叠加到另外的运动上（例如声波的传播在气流之类的移动媒介中）。那种情况下，标量u会包含一个马赫因子(对于沿着流运动的波为正，对于反射波为负)。u = u(x,t), 是振幅,在特定位置x和特定时间t的波强度的一个测量。对于空气中的声波就是局部气压，对于振动弦就使从静止位置的位移。 是相对于位置变量x的拉普拉斯算子。注意u可能是一个标量或向量。如，一维波动方程：二维波动方程：三维波动方程：方程的解对于一维标量波动方程的一般解是由达朗贝尔给出的： , 其中 和为任意两个可微分的单变量函数，分别对应于右传播波，和左传播波。的取法与 无必然关系。要决定 和 必须考虑两个初始条件：这样达朗贝尔公式变成了：在经典的意义下，如果 并且 ，则 .一维情况的波动方程可以用如下方法推导：想象一个质量为m的小质点的队列，互相用长度h的弹簧连接。弹簧的硬度为k :这里u (x)测量位于x的质点偏离平衡位置的距离。对于位于x+h的质点的运动方程是：其中u(x)的时间依赖性变成显式的了。要点分析如果在所考虑的区域内自由电荷的体密度为零（ρ=0），且媒质是均匀、线性、各向同性的，则由这些条件下的麦克斯韦方程组及本构关系可以导得上述式子称为广义波动方程或基尔霍夫方程。式中的“▽”称为哈密顿算符。在直角坐标系中在自由空间或绝缘良好的介质中，电导率可以忽略不计，即σ=0，于是E和H的微分方程成为称为波动方程或达朗贝尔方程。波动方程的解是在空间中一个沿特定方向传播的电磁波。对于电磁波传播问题的分析，都可归结为在给定的边界条件和初始条件下求波动方程的解。

对于一个标量quantity u的波动方程的一般形式是：波动方程{ partial^2 u over partial t^2 } = c^2 abla^2u这里c通常是一个固定常数，也就是波的传播速率(对于空气中的声波大约是330米/秒, 参看音速)。对于弦的振动，这可以有很大的变化范围：在螺旋弹簧上（slinky），它可以慢到1米/秒。但若c作为波长的函数改变，它应该用相速度代替：v_mathrm = frac{omega}.注意波可能叠加到另外的运动上（例如声波的传播在气流之类的移动媒介中）。那种情况下，标量u会包含一个马赫因子(对于沿着流运动的波为正，对于反射波为负)。u = u(x,t), 是振幅,在特定位置x和特定时间t的波强度的一个测量。对于空气中的声波就是局部气压，对于振动弦就使从静止位置的位移。 abla^2 是相对于位置变量x的拉普拉斯算子。注意u可能是一个标量或向量。波动方程：

振动方程与波动方程的区别如下：一、描述内容不同振动方程描述的是一个质点在任意时刻偏离平衡位置的位移。波动方程描述的是任意一个质点在任意时刻偏离平衡位置的位移。二、y的含义不同振动方程 y 是时间 t 的函数，y=f（t）。波动方程 y 是时间 t 和位置 x 的函数y=f（t, x)。三、变量不同振动方程的变量是 t，波动方程的变量是 x，t 。扩展资料波动方程的求解方式：波动方程的求解方法完全是求解振动方程的方法，首先确定一个参考点，一般选择坐标原点，根据初始条件写出它的振动方程，然后在右侧任选一点，坐标为x。这一点的振动方程和原点的振动方程对比，振幅一样，角频率一样，唯一不一样的是初相位，而相位差可以根据这两个点之间的距离来确定，即相位差等于距离除以波长再乘以2PI（圆周率），同时，沿着波的传播方向相位越来越小。

大学物理波动方程公式是：1、简谐振动方程：ξ=Acos(ωt+φ)。2、波形方程：ξ=Acos(2πx/λ+φ′)。3、振动能量：E k =mV2/2=Ek E= Ek +Ep =kA2/2 E p =kx2/2= (t) 。4、波动能量：=1222∝A ρωA V ρω2A 2 I==2。5、机械波ν" =V +V R （V R ——观察者速度；V s ——波源速度）。 6、对光波ν" =C -V r，其中V r 指光源与观察者相对速度。波动方程物理意义波动方程就是描述波动现象的偏微分方程，它的物理意义就太宽泛了。不过波动方程一个很重要的性质是传播速度有限（不像热传导方程）。电磁场的运动方程是波动方程这说明电磁相互作用只能以有限的速度传播（光速c），而没有瞬时的作用（即超距作用）。这是导致狭义相对论建立的一个重要思想。

　波动方程或称波方程（英语：wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波、无线电波和水波。波动方程抽象自声学、物理光学、电磁学、电动力学、流体力学等领域。 历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。 1746年，达朗贝尔发现了一维波动方程，欧拉在其后10年之内发现了三维波动方程。亥姆霍兹方程（Helmholtz equation）是一条描述电磁波的椭圆偏微分方程，以德国物理学家亥姆霍亥姆霍兹兹的名字命名。亥姆霍兹方程通常出现在涉及同时存在空间和时间依赖的偏微分方程的物理问题的研究中。因为它和波动方程的关系，亥姆霍兹方程出现在物理学中电磁辐射、地震学和声学研究这样的领域里的问题中。 　　如：电磁场中的 　　▽^2 E+k^2 E=0， 　　▽^2 H+k^2 H=0， 　　称为亥姆霍兹齐次方程，是在谐变场的情况下，E波和H波的波动方程。其中 ：k^2=μω^2(ε-jσ/ω) 为波数，当忽略位移电流时，k^2=μεω^2；以上^2为平方。 　　相关书籍数学上具有(墷2+k2)ψ =f形式的双曲型偏微分方程。式中墷2为拉普拉斯算子，在直角坐标系中为；ψ为待求函数;k2为常数；f为源函数。当f等于零时称为齐次亥姆霍兹方程;f不等于零时称为非齐次亥姆霍兹方程。在电磁学中，当函数随时间作简谐变动时,波动方程化为亥姆霍兹方程。

他基于波动的基础认识波粒二象性。着手研究宏观世界的力学与微观世界的力学。他认为德布罗意尚未指出普遍规律。后来，德国物理学家德拜指出，要是电子是波的话，应该满足一个关系式，即波动方程。薛定谔开始深入思考方程问题。1925年的时候，薛定谔推出了一个相对论的波动方程，但是与实验结果相比有一定出入。

首先你得知道波传播的速度，因为振动速度和波传播的速度是不一样的，二者之间没有任何关系。知道了波的传播速度之后，确定原点，确定初相位记为w0。波速*振动周期=波长记为x，振动方程的最大位移是波的H振幅记为A则波的方程可以写成Asin(nx+w0)波动方程的本质是振动方程，形式上自然一样，他们的区别就在于，振动方程描述的是一个质点在任意时刻偏离平衡位置的位移，而波动方程描述的是任意一个质点在任意时刻偏离平衡位置的位移，这个任意时刻用变量t来表示，任意位置用变量x来表示，求解方法完全是求解振动方程的方法，首先确定一个参考点，一般选择坐标原点，根据初始条件写出它的振动方程，然后在右侧任选一点，坐标为x，这一点的振动方程和原点的振动方程对比，振幅一样，角频率一样，唯一不一样的是初相位，而相位差可以根据这两个点的距离来确定，即相位差等于距离除以波长再乘以2PI（圆周率），同时，沿着波的传播方向相位越来越小。记住，波动方程就是振动方程。函数图如下：

　　1、对于一个标量quantity u的波动方程的一般形式是:{ partial^2 u over partial t^2 } = c^2 abla^2u。 　　2、波动方程或称波方程（英语：Wave equation） 由麦克斯韦方程组导出的、描述电磁场波动特征的一组微分方程，是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。波动方程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。

为了弄清楚波动方程的物理意义，我们作进一步的分析。在波动方程中含有x和t两个自变量，如果x给定(即考察该处的质点)，那么位移y就只是t的周期函数，这时这个方程表示x处质点在各不同时刻的位移，也就是该质点的振动方程，方程的曲线就是该质点的振动曲线。下图(a)中描出的即一列简谐波在x=0处质点的振动曲线。如果波动方程中的t给定，那么位移y将只是x的周期函数，这时方程给出的是t时刻波线上各个不同质点的位移。波动中某一时刻不同质点的位移曲线称为该时刻波的波形曲线，因而t给定时，方程就是该时刻的波形方程。下图(b)中描出的即是t=0时一列沿x方向传播的简谐波的波形曲线。无论是横波还是纵波，它们的波形曲线在形式上没有区别，不过横波的位移指的是横向位移，表现的是峰谷相间的图形；纵波的位移指的是纵向位移，表现的是疏密相间的图形。在一般情况下，波动方程中的x和t都是变量。这时波动方程具有它最完整的含义，表示波动中任一质点的振动规律：波动中任一质点的相位随时间变化，每过一个周期T相位增加，任一时刻各质点的相位随空间变化，距离波源每远一个波长，相位落后一个2π。(a)x=0处质点的振动曲线 (b)t=0时波的波形曲线振动曲线和波形曲线还应该注意波动方程、振动方程和波形方程在形式上的明显区别，以免引起概念上的混淆。波动方程描述波动中任一质点的振动规律，它有两个自变量，其函数形式表现为；振动方程描述某一点的运动，只有一个自变量t，函数形式表现为形式；波形方程表示的是某一时刻各质点的位移，也只有一个自变量，表现为形式。反映在曲线表示上，要注意振动曲线和波形曲线的区别。振动曲线是y-t曲线而波形曲线是y-x。振动曲线的(时间)周期是T，波形曲线的(空间)周期是波长l。在振动曲线中质点的相位随时间逐步增加，而在波形曲线中质点的相位是沿波的传播方向逐点减少。

振动方程与波动方程的区别如下：一、描述内容不同振动方程描述的是一个质点在任意时刻偏离平衡位置的位移。波动方程描述的是任意一个质点在任意时刻偏离平衡位置的位移。二、y的含义不同振动方程 y 是时间 t 的函数，y=f（t）。波动方程 y 是时间 t 和位置 x 的函数y=f（t, x)。三、变量不同振动方程的变量是 t，波动方程的变量是 x，t 。扩展资料波动方程的求解方式：波动方程的求解方法完全是求解振动方程的方法，首先确定一个参考点，一般选择坐标原点，根据初始条件写出它的振动方程，然后在右侧任选一点，坐标为x。这一点的振动方程和原点的振动方程对比，振幅一样，角频率一样，唯一不一样的是初相位，而相位差可以根据这两个点之间的距离来确定，即相位差等于距离除以波长再乘以2PI（圆周率），同时，沿着波的传播方向相位越来越小。

波动方程就是描述波动现象的偏微分方程，它的物理意义就太宽泛了。不过波动方程一个很重要的性质是传播速度有限（不像热传导方程）。电磁场的运动方程是波动方程这说明电磁相互作用只能以有限的速度传播（光速c），而没有瞬时的作用（即超距作用）。这是导致狭义相对论建立的一个重要思想。

对于一个标量quantity u的波动方程的一般形式是：{ partial^2 u over partial t^2 } = c^2 abla^2u这里c通常是一个固定常数，也就是波的传播速率（对于空气中的声波大约是330米/秒，参看音速）。对于弦的振动，这可以有很大的变化范围：在螺旋弹簧上（slinky），它可以慢到1米/秒。但若c作为波长的函数改变，它应该用相速度代替：v_mathrm = frac{omega}.注意波可能叠加到另外的运动上（例如声波的传播在气流之类的移动媒介中）。那种情况下，标量u会包含一个马赫因子（对于沿着流运动的波为正，对于反射波为负）。u = u(x,t），是振幅,在特定位置x和特定时间t的波强度的一个测量。对于空气中的声波就是局部气压，对于振动弦就使从静止位置的位移。 abla^2 是相对于位置变量x的拉普拉斯算子。注意u可能是一个标量或向量。对于一维标量波动方程的一般解是由达朗贝尔给出的：u(x,t) = F(x-ct) + G(x+ct) 其中F和G为任意函数，分别对应于前进行波，和后退行波。要决定F和G必须考虑两个初始条件：u(x,0)=f(x)u_{,t}(x,0)=g(x)这样达朗贝尔公式变成了：u(x,t) = frac{f(x-ct) + f(x+ct)} + frac int_^{x+ct} g(s) ds在经典的意义下，如果f(x) in C^k并且g(x) in C^则u(t,x) in C^k.一维情况的波动方程可以用如下方法推导：想象一个质量为m的小质点的队列，互相用长度h的弹簧连接。弹簧的硬度为k :这里u (x）测量位于x的质点偏离平衡位置的距离。对于位于x+h的质点的运动方程是：m{partial^2u(x+h,t) over partial t^2}= kLINK其中u(x）的时间依赖性变成显式的了。

不一定要假定波源在坐标原点，假定波源在坐标原点，是为了更方便的求出波动方程。解这个问题，还需要知道波的传播速度v。求解波动方程，实际上就是求解距离波源x处的质点的振动方程。波沿着x轴正方向传播，则正方向任何一点的振动的相位都比波源要落后。假设x是正方向上一点的坐标，它距离原点就是x。波从原点传播到x的时间t=x/v，波源振动的角速度是ω，则波源的震动周期T=2π/ω。则波从波源传播到x点，一共传播了t/T=xω/2πv个周期。则x点的质点的振动比波源落后的相位φ=2πt/T=xω/v所以波动方程为y=Acos(ωt-φ)=Acos(ωt-xω/v)。

为了求解(1-30)，需要应力和应变之间的关系以便能利用位移u表示。根据各向同性的均匀线性应力—应变关系(1-21):地震勘探式中δij称为单位张量(对于i=j时，δij=1，对于i≠j时，δij=0)，并把(1-5)的eij代入(1-31)得地震勘探再把(1-32)代入(1-30)，当λ和μ为常数时，得地震勘探分别写出三个分量，即地震勘探地震勘探如果用位移向量u(u，v，w)表示，则(1-34)的三个方程合并为地震勘探其中▽是矢量梯度算符，▽·是散度算符。这就是均匀各向同性弹性固体中地震波传播的方程，标准的地震波动方程。能够把这个方程分离为对P波和S波的解。对(1-35)取散度，得地震勘探或者地震勘探其中P波的速度vP是地震勘探对(1-35)取旋度，得地震勘探其中▽×是旋度算符。或者，在频率域，上式变为:地震勘探其中ω=rotu=▽×u，横波的速度vS是地震勘探

波函数与位置和时间有关。二者是个独立变量。x代表位置，t代表时间，A代表振幅。k=2*π/λ，代表波数w=2πf，角频率，振动频率

薛定谔方程实际上是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。薛定谔方程是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。它对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。就像牛顿第一定律，不能用实验来直接验证或由演绎推导得出。 这与麦克斯韦方程也有类似之处--都是假定，但都能与实验结果很好的相符

如果在所考虑的区域内自由电荷的体密度为零（ρ=0），且媒质是均匀、线性、各向同性的，则由这些条件下的麦克斯韦方程组及本构关系可以导得 称为广义波动方程或基尔霍夫方程。式中的称为拉普拉斯算符。在直角坐标系中 在自由空间或绝缘良好的介质中，电导率可以忽略不计，即σ=0，于是E和H的微分方程成为 称为波动方程或达朗贝尔方程。波动方程的解是在空间中一个沿特定方向传播的电磁波。对于电磁波传播问题的分析，都可归结为在给定的边界条件和初始条件下求波动方程的解。标量波动方程 应用直角坐标系 可以把③写成即把矢量波动方程分解成三个标量波动方程，每个方程中只含一个知函数。但只有在应用直角坐标系时才能得到这样的结果，在其它坐标系中，通过分解而得的三个标量方程都具有复杂的形式。亥姆霍兹方程 在场源按正弦规律随时间变化的条件下，场量也是同频率的正弦函数，可以用相量表示。由相量形式的麦克斯韦方程组出发，可以推导出相量形式的波动方程： 式中： 式⑧与⑨又称亥霍兹方程。

1 压强对体积的积分 2系统内部的无序程度 3这个不太清楚

平面简谐波动方程y=Acos[w(t-x/u)+φ],设u为波速,λ为波长,T为周期,A为振幅,为振动的圆频率,为初相。平面简谐波是平面简谐波的波函数，描述波传播到的各质点的振动状态的函数关系称为波函数，也叫波动方程。平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频率的简谐振动，但在任一时刻，各点的振动相位一般不同，它们的位移也不相同，但根据波阵面的定义知道，在任一时刻处在同一波阵面上的各点有相同的相位，它们离开各自的平衡位置有相同的位移。

在外力 作用下，弹性介质发生微小形变，根据牛顿第二定律，介质所承受应力满足的运动方程为三维三分量地震勘探将式(2.2.5)和式(2.2.9)带入式(2.2.10)，得到均匀各向同性完全弹性介质中波的运动方程:三维三分量地震勘探式中:▽2为拉普拉斯算子， 将式(2.2.11)重写成矢量形式三维三分量地震勘探式(2.2.12)被称为奈维尔(Navier)方程，它包含(x，y，z)三个方向的位移分量(u，v，w)，是多波地震波动理论的基本公式。

对于一个标量quantity u的波动方程的一般形式是：波动方程{ partial^2 u over partial t^2 } = c^2 abla^2u这里c通常是一个固定常数，也就是波的传播速率(对于空气中的声波大约是330米/秒, 参看音速)。对于弦的振动，这可以有很大的变化范围：在螺旋弹簧上（slinky），它可以慢到1米/秒。但若c作为波长的函数改变，它应该用相速度代替：v_mathrm = frac{omega}.注意波可能叠加到另外的运动上（例如声波的传播在气流之类的移动媒介中）。那种情况下，标量u会包含一个马赫因子(对于沿着流运动的波为正，对于反射波为负)。u = u(x,t), 是振幅,在特定位置x和特定时间t的波强度的一个测量。对于空气中的声波就是局部气压，对于振动弦就使从静止位置的位移。 abla^2 是相对于位置变量x的拉普拉斯算子。注意u可能是一个标量或向量。波动方程：

波动方程的公式分为正弦和余弦，其中正弦表达式为Y=Asin(ωt-kz+φ)，余弦表达式为为Y=ACOS[ω(t-kz)+φ]，其中z代表位移，φ是初相位。波动方程也称波方程，是一种描述波动现象的偏微分方程，它通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波等，在不同领域都有涉及，例如声学，电磁学，和流体力学等。波动方程就是描述波动现象的偏微分方程，它的物理意义就太宽泛了。不过波动方程一个很重要的性质是传播速度有限（不像热传导方程）。电磁场的运动方程是波动方程这说明电磁相互作用只能以有限的速度传播（光速c），而没有瞬时的作用（即超距作用）。这是导致狭义相对论建立的一个重要思想。

波动方程的公式分为正弦和余弦，其中正弦表达式为Y=Asin(ωt-kz+φ)，余弦表达式为为Y=ACOS[ω(t-kz)+φ]，其中z代表位移，φ是初相位。波动方程也称波方程，是一种描述波动现象的偏微分方程，它通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波等，在不同领域都有涉及，例如声学，电磁学，和流体力学等。波动方程就是描述波动现象的偏微分方程，它的物理意义就太宽泛了。不过波动方程一个很重要的性质是传播速度有限（不像热传导方程）。电磁场的运动方程是波动方程这说明电磁相互作用只能以有限的速度传播（光速c），而没有瞬时的作用（即超距作用）。这是导致狭义相对论建立的一个重要思想。

波动方程的公式分为正弦和余弦，其中正弦表达式为Y=Asin(ωt-kz+φ)，余弦表达式为为Y=ACOS[ω(t-kz)+φ]，其中z代表位移，φ是初相位。波动方程也称波方程，是一种描述波动现象的偏微分方程，它通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波等，在不同领域都有涉及，例如声学，电磁学，和流体力学等。波动方程就是描述波动现象的偏微分方程，它的物理意义就太宽泛了。不过波动方程一个很重要的性质是传播速度有限（不像热传导方程）。电磁场的运动方程是波动方程这说明电磁相互作用只能以有限的速度传播（光速c），而没有瞬时的作用（即超距作用）。这是导致狭义相对论建立的一个重要思想。

波动方程的公式分为正弦和余弦，其中正弦表达式为Y=Asin(ωt-kz+φ)，余弦表达式为为Y=ACOS[ω(t-kz)+φ]，其中z代表位移，φ是初相位。波动方程也称波方程，是一种描述波动现象的偏微分方程，它通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波等，在不同领域都有涉及，例如声学，电磁学，和流体力学等。波动方程就是描述波动现象的偏微分方程，它的物理意义就太宽泛了。不过波动方程一个很重要的性质是传播速度有限（不像热传导方程）。电磁场的运动方程是波动方程这说明电磁相互作用只能以有限的速度传播（光速c），而没有瞬时的作用（即超距作用）。这是导致狭义相对论建立的一个重要思想。

波动方程里含有一个x与t，那个x就是坐标轴上的任意一点，如果那一个点确定了，得出的就是含有t的一个振动方程，说波动方程是振动方程是错误的，还有波动方程的w与振动方程是一样的，还有改变坐标轴，同一点的振动方程不变。

波动方程就是一个波函数。只要满足这个方程的物质，就是波。

1、对于一个标量quantity u的波动方程的一般形式是:{ partial^2 u over partial t^2 } = c^2 abla^2u。 2、波动方程或称波方程（英语：Wave equation） 由麦克斯韦方程组导出的、描述电磁场波动特征的一组微分方程，是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。波动方程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。

振动方程与波动方程的区别如下：一、描述内容不同振动方程描述的是一个质点在任意时刻偏离平衡位置的位移。波动方程描述的是任意一个质点在任意时刻偏离平衡位置的位移。二、y的含义不同振动方程 y 是时间 t 的函数，y=f（t）。波动方程 y 是时间 t 和位置 x 的函数y=f（t, x)。三、变量不同振动方程的变量是 t，波动方程的变量是 x，t 。扩展资料波动方程的求解方式：波动方程的求解方法完全是求解振动方程的方法，首先确定一个参考点，一般选择坐标原点，根据初始条件写出它的振动方程，然后在右侧任选一点，坐标为x。这一点的振动方程和原点的振动方程对比，振幅一样，角频率一样，唯一不一样的是初相位，而相位差可以根据这两个点之间的距离来确定，即相位差等于距离除以波长再乘以2PI（圆周率），同时，沿着波的传播方向相位越来越小。

波动方程 或称波方程是一种重要的偏微分方程，它通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波。它出现在不同领域，例如声学，电磁学，和流体力学。波动方程的变种可以在量子力学和广义相对论中见到。 历史上，象乐器那样的振动弦问题曾被很多科学家研究，包括达朗贝尔， 欧拉 ， 丹尼尔·伯努利 ，和 拉格朗日 。 对于一个标量quantity u的波动方程的一般形式是： { partial^2 u over partial t^2 } = c^2 abla^2u 这里c通常是一个固定 常数 ，也就是波的传播速率(对于空气中的声波大约是330米/秒, 参看音速)。对于弦的振动，这可以有很大的变化范围：在螺旋弹簧上（slinky），它可以慢到1米/秒。但若c作为波长的 函数 改变，它应该用 相速度 代替： v_mathrm = frac{omega}. 注意波可能叠加到另外的运动上（例如声波的传播在 气流 之类的移动媒介中）。那种情况下，标量u会包含一个马赫因子 [1] (对于沿着流运动的波为正，对于 反射波 为负)。 u = u(x,t), 是振幅,在特定位置x和特定时间t的波强度的一个测量。对于 空气 中的声波就是局部气压，对于振动弦就使从静止位置的位移。 abla^2 是相对于位置 变量 x的 拉普拉斯算子 。注意u可能是一个标量或向量。 对于一维标量波动方程的一般解是由 达朗贝尔 给出的： u(x,t) = F(x-ct) + G(x+ct) 其中F和G为任意函数，分别对应于前进行波，和后退行波。要决定F和G必须考虑两个初始条件： u(x,0)=f(x) u_{,t}(x,0)=g(x) 这样达朗贝尔公式变成了: u(x,t) = frac{f(x-ct) + f(x+ct)} + frac int_^{x+ct} g(s) ds 在经典的意义下，如果f(x) in C^k并且g(x) in C^则u(t,x) in C^k. 一维情况的波动方程可以用如下方法推导：想象一个 质量 为m的小 质点 的队列，互相用长度h的 弹簧 连接。弹簧的硬度为k : 这里u (x)测量位于x的质点偏离平衡位置的距离。对于位于x+h的质点的运动方程是： m{partial^2u(x+h,t) over partial t^2}= kLINK 其中u(x)的时间依赖性变成显式的了。

波动方程偏移与绕射扫描叠加偏移相比在质的方面有重大改进，是目前使用的主要偏移方法。其中又以15°有限差分偏移最为典型。(一)15°有限差分法波动方程偏移15°有限差分法波动方程偏移是以地面上获得的水平叠加时间剖面作为边界条件;用差分代替微分，对只包含上行波的近似波动方程求解以得到地下界面的真实图像。这也是一个延拓和成像的过程。1.延拓方程的推导由下述二维波动方程出发:地震勘探根据爆炸反射面模型，将速度缩小一半，即用v/2代替v，可得地震勘探此方程有两个解，分别对应于上行波和下行波。但地震记录是上行波记录，，故不能用此方程进行延拓，必须将它化为单纯的上行波方程才能利用。通常采用的方法是进行坐标变换后取近似值。第一步是坐标变换，令地震勘探上式中第一个变换无任何改变;第二个变换只是将空间深度z换成时间深度，也无实质性变化。关键是第三个变换，它表示不再用传统的旧时钟计时，而用一个运行速度与旧钟一样，但起始时刻各深度不同的新时钟计时。采用新时钟计时，上、下行波表现出差异。因为坐标变换不改变实际波场，故原坐标系中波场u(x，z，t)与新坐标系中的波场u^(x"，，t")一样，即地震勘探由复合函数微分法，得地震勘探将上述二阶偏微分结果代入方程(4-67)，整理后得地震勘探为书写方便，以u、x、t分别代替u^、x"、t"，则(4-69)式可写为地震勘探式中uxx，u，ut分别表示u的二次导数。注意，此方程仍然包含了上行波和下行波，仍不能用来进行延拓，故还有第二步。经过了坐标变换，虽然波场不变，但在新坐标系中上、下行波表现出差异，此差异主要表现为u的大小不同。当上行波的传播方向与垂直方向之间的夹角较小时(小于15°)，u可以忽略，而对下行波来说，u不能忽略。忽略掉u项，就得到只包含上行波的近似方程地震勘探此即15°近似方程(因为它只适用于夹角小于15°的上行波，或曰只有倾角小于15°的界面形成的上行波才能满足它)，为常用的延拓方程。为了求解此方程还必须给出定解条件。由于震源强度有限，可给出如下定解条件:(1)测线两端外侧的波场为零，即地震勘探(2)记录最大时间以外的波场为零，即地震勘探(3)自激自收记录(水平叠加剖面)为给定的边界条件，即时间深度=0处的波场值u(x，0，t)已知。有了这些定解条件就可对方程(4-71)求解得到地下任意深度处的波场值u(x，，t)，这是延拓过程。再根据前述成像原理，取传统旧时钟零时刻时的波场值，即新时钟时间t=时刻的波场值u(x，，)就组成了偏移后的输出剖面。2.差分方程的建立为了求解微分方程(4-71)，用差分近似微分，采用如图4-34所示的12点差分格式，可得图4-34 12点差分格式地震勘探地震勘探将(4-72)和(4-73)式代入(4-71)式中得地震勘探定义向量I、T地震勘探令向量u(x，j，l)为地震勘探则(4-74)式可简写为地震勘探则(4-75)式可写成如下形式地震勘探因此有地震勘探此即适合计算机计算的差分方程。3.计算步骤和偏移结果差分方程(4-76)形式上是一个隐式方程。即时间深度=(j+1)Δ处的波场值不能单独地用时间深度=jΔ处的波场值组合得到，方程右边仍有=(j+1)Δ的项。为了求得一排数据u(x，j+1，l)必须用到三排数据u(x，j+1，l+1)，u(x，j，l)和u(x，j，l+1)(图4-35)。一般来说，隐式方程的求解必须用解联立方程的方法进行，比较麻烦。但这儿无须这样做。利用定解条件②，在计算新的深度=(j+1)Δ处波场值时，由最大时间开始，首先计算t=tmax的那一排值。因u(x，j+1，tmax+Δt)≡0和u(x，j，tmax+Δt)≡0，有地震勘探计算u(x，j+1，tmax)只用到已知的u(x，j，tmax)值，十分容易。然后再利用(4-76)式递推地求=(j+1)Δ深度处任何时刻的波场值就没有任何困难了。具体计算时由地面向下延拓，计算深度Δ处的波场值。首先计算此深度处在t=tmax时的波场，然后向t减小的方向进行。一个深度计算结束，再向下延拓一个步长Δ继续计算。依此类推，可以得到地下所有点在不同时刻的波场值。如前所述，在新时钟t=时刻的波场值正是所欲求的“像”。因此，每次递推计算某一深度处的波场值时，由t=tmax向t减小的方向计算至t=时就可以结束。不同深度处的“像”u(x，，)组成偏移后的输出剖面。图4-36画出了偏移时的计算关系及结果取值位置。A表示地面观测到的叠加剖面。由A计算下一个深度Δ处的波场值B，计算B时先算第1"排的数值(只用到A中第1排数值)，再算第2"排数值(要用A中第1、2排和B中第1"排数值)，依此类推，直到t=Δ为止。再由B算下一个深度2Δ处波场值C，……在二维空间(x，t=)上呈现出需要的结果剖面信息。图4-35 有限差分法偏移求解中的一步图4-36 偏移结果取值位置图当延拓计算步长Δ与地震记录的采样间隔Δt一样时，由图4-36的几何关系可以看到，偏移剖面是该图中45°对角线上的值。实际工作中Δ不一定要与Δt相等，可根据界面倾角大小确定Δ，倾角较大时应取较小的Δ，倾角较小时Δ可取的较大些，以减少计算工作量，中间值可用插值求得。与其他波动方程偏移方法相比，有限差分法有能适应横向速度变化，偏移噪声小，在剖面信噪比低的情况下也能很好地工作等优点。但15°有限差分法对倾角太大的情况不能得到好的偏移效果。因此，又发展了45°、60°甚至90°有限差分偏移方法，有兴趣的读者可参阅有关文献。(二)频率波数域波动方程偏移有限差分偏移方法是在时间空间域中进行的。利用傅里叶变换也可使偏移在频率波数域中实现。与有限差分法偏移思想完全一样，认为水平叠加剖面是由界面上无数震源同时向上发出的上行波在地面处的波场值u(x，0，t)，用它反求地下任一点的波场值u(x，z，t)，这是延拓;据成像原理，取其在t=0时刻的值u(x，z，0)，组成偏移后的输出剖面。仍由速度减半后的波动方程(4-67)出发，对方程两边做关于x和t的二维傅里叶变换，得到一个常微分方程地震勘探式中:Ū=Ū(kx，z，ω)为波场函数u(x，z，t)的二维傅里叶变换，ω=2πf为圆频率，kx为x方向上的空间波数。(4-77)是常微分方程，其解有两个，分别对应于上行波和下行波。偏移研究的是上行波的向下延拓问题，故只考虑上行波解。地震勘探其中U(kx，0，ω)为解的初值，即上行波在z=0处的记录的傅里叶变换。因此，式(4-78)表示由z=0处波场的傅里叶变换求出任何深度处波场傅里叶变换的过程，是频率波数域中的波场延拓。通过傅里叶反变换可由U(kx，z，ω)求出地下任何深度处的波场值地震勘探根据成像原理，偏移结果应是这些点处t=0时刻的波场值地震勘探这就是频率波数域偏移的数学模型。至于其具体实现步骤就不赘述了。如果求解常微分方程(4-77)时初值不取z=0处的波场傅里叶变换值，而取任一较浅处的波场傅里叶变换值，则可得到地震勘探从而得到可适应速度纵向变化的相移法偏移的数学模型地震勘探利用此式可逐步向下延拓成像，每延拓一次用的速度均可改变。由于快速傅里叶变换的应用，频率波数域偏移效率十分高，运行时间少，是波动方程偏移算法中最经济的方法，且适用于大倾角地区。但因计算在频率波数域中进行，需要注意假频问题，且此法对横向速度变化的地区不太适应。(三)克希霍夫积分偏移克希霍夫积分偏移是一种基于波动方程克希霍夫积分解的偏移方法。三维纵波波动方程的克希霍夫积分解［见第一章(1-63)式］式中S为包围点(x，y，z)的闭曲面，n为S的外法线，r为由观测点(x，y，z)至S曲面的距离，［］表示延迟位， 此解的实质是由已知的闭曲面S上各点波场值计算面内任一点处的波场值。它正是惠更斯原理的严格数学形式。选择闭曲面S由一个无限大的平地面S0和一个无限大的半球面S1所组成。S1面上各点波场值的面积分对面内一点波场函数的贡献为零。因此，仅由平地面S0上各点的波场值计算地下各点的波场值地震勘探此时，原公式中的 项消失，积分号前的负号也因z轴正向与n相反而变为正。以上是正问题的克希霍夫积分计算公式。偏移处理的是反问题，它将反射界面的各点看作为同时激发上行波的源点，将地面接收点看作为二次震源，将时间“倒退”到t=0时刻，寻找反射界面的源波场函数，从而确定反射界面。反问题也能用上式求解，差别仅在于［］不再是延迟位而是超前位 根据这种理解，克希霍夫积分延拓公式应为地震勘探按照成像原理，此时t=0时刻的波场值即为偏移结果。只考虑二维偏移，忽略y坐标，将空间深度z转换为时间深度t0=2z/v，得到克希霍夫积分偏移公式地震勘探式中: 为地面记录道G的横坐标，x为偏移后剖面道的横坐标，地震勘探图4-37 克希霍夫偏移公式中各量示意图地震勘探由此可见，克希霍夫积分偏移与绕射扫描叠加十分相似，都是按双曲线取值叠加后放在双曲线顶点处。不同之处在于:①不仅要取各道的幅值，还要取各道的幅值对时间的导数值 参加叠加;②各道相应幅值叠加时不是简单相加，而是按(4-86)式的加权叠加。正因如此，所以虽然形式上克希霍夫积分法与绕射扫描叠加类似，但二者有着本质区别。前者的基础是波动方程，可保留波的动力学特性，后者属几何地震学范畴，只保留波的运动学特征。与其他波动方程偏移法相比，克希霍夫积分法具有容易理解，能适应大倾角地层等优点。但它在速度横向变化较大的地区难以使用，且偏移噪声较大。

首先考虑x=0处的波动。这时候可以设函数是A*cos(ωt+φ)然后分析x不为零时的y值。那么x处的波高可以认为x=0处的波高向右运动过来的，运动距离是x。所以运动时间是x/u。t1时刻x=0处的y值是y1=A*cos(ωt1+φ)，也是t1+x0/u时x0处的y值。所以t0时，x0处的y值是y1。将t0=t1+x0/u代入，得A*cos(ω(t0-x0/u)+φ)。这是波动方程直观的物理解释。A是振幅ω是角频率φ是初相A=0.04m周期T=2π/ω频率f=1/T波长λλf=u用这几个公式就知道了波长周期频率。关于初相φ，函数是余弦函数向右平移了π/2个相位。由于cos函数下x的系数-ω/u为负，所以x-c，展开后c大于0，所以初相φ大于0。是π/2我是个民科，没上过大学，可能不标准，呵呵。

Y=ASIN(WX+D)只要算出参数就可以了

平面简谐波动方程y=Acos[w(t-x/u)+φ]，设u为波速，λ为波长，T为周期，A为振幅，为振动的圆频率，为初相。平面简谐波是最基本的波动形式。平面传播时，若介质中体元均按余弦（或正弦）规律运动，就叫平面简谐波。如果所传播的是谐振动，且波所到之处，媒质中各质点均做同频率、同振幅的谐振动，这样的波称为简谐波，也叫余弦波或正弦波。如果简谐波的波面是平面，这样的简谐波称为平面简谐波。

坐标轴的正方向通常规定为波速方向，如果方向规定的与此相反，则波动方程相差一个符号。（1）A点振动，传播到B，需要时间x/u，x=-9m，u=-20m/s(负号仅仅表示，B的位置坐标为负，波速沿着-x方向），所以B的振动比A延后x/u=0.45s，波中任何一点的振动方程——波动方程为：y"=A*cos(4Pi*(t-x/u)-Pi)=0.03*cos(4Pi*(t-0.05x)-Pi)B的振动方程为y=A*cos(4Pi*(t-x/u)-Pi)=0.03*cos(4Pi*(t-0.45)-Pi)（2）此时，A、B的位置坐标分别为x1=5m，x2=14m；原点的振动时刻比A提前x1/u=0.25s，所以原点的振动方程为y=A*cos(4Pi*(t+x1/u)-Pi)=0.03*cos(4Pi*(t-0.25)-Pi)=0.03*cos(4Pi*t-2Pi）=0.03*cos(4Pi*t)B点的振动方程为y"=A*cos(4Pi*(t-0.7))

为了弄清楚波动方程的物理意义，我们作进一步的分析。在波动方程中含有x和t两个自变量，如果x给定(即考察该处的质点)，那么位移y就只是t的周期函数，这时这个方程表示x处质点在各不同时刻的位移，也就是该质点的振动方程，方程的曲线就是该质点的振动曲线。下图(a)中描出的即一列简谐波在x=0处质点的振动曲线。如果波动方程中的t给定，那么位移y将只是x的周期函数，这时方程给出的是t时刻波线上各个不同质点的位移。波动中某一时刻不同质点的位移曲线称为该时刻波的波形曲线，因而t给定时，方程就是该时刻的波形方程。下图(b)中描出的即是t=0时一列沿x方向传播的简谐波的波形曲线。无论是横波还是纵波，它们的波形曲线在形式上没有区别，不过横波的位移指的是横向位移，表现的是峰谷相间的图形；纵波的位移指的是纵向位移，表现的是疏密相间的图形。在一般情况下，波动方程中的x和t都是变量。这时波动方程具有它最完整的含义，表示波动中任一质点的振动规律：波动中任一质点的相位随时间变化，每过一个周期T相位增加，任一时刻各质点的相位随空间变化，距离波源每远一个波长，相位落后一个2π。(a)x=0处质点的振动曲线 (b)t=0时波的波形曲线振动曲线和波形曲线还应该注意波动方程、振动方程和波形方程在形式上的明显区别，以免引起概念上的混淆。波动方程描述波动中任一质点的振动规律，它有两个自变量，其函数形式表现为；振动方程描述某一点的运动，只有一个自变量t，函数形式表现为形式；波形方程表示的是某一时刻各质点的位移，也只有一个自变量，表现为形式。反映在曲线表示上，要注意振动曲线和波形曲线的区别。振动曲线是y-t曲线而波形曲线是y-x。振动曲线的(时间)周期是T，波形曲线的(空间)周期是波长l。在振动曲线中质点的相位随时间逐步增加，而在波形曲线中质点的相位是沿波的传播方向逐点减少。

抓住周期性，时间周期性（x一定时）y和t的关系；空间周期性，（t一定的时候）y和x的关系；即可找出；f与x和t都无关，可叫做初相。波函数在x。处波形的斜率，跟对t求导是对应的的，Yx=0时Yt最大，反之亦然。x/u表示波以 u 的速度传了 x 的距离所用的时间。φ表示初始的相位，就是余弦函数的初始的一个角度。wx/u是以 u 的速度传了 x 的距离后，产生的相位差，其中 w 是波的振动频率。扩展资料：在三角函数模型中我们会遇到三角函数图像y=Asin(ωx+φ)。物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期、和频率等都是与这个解析式中的常数有关。A就是这个简谐运动的振幅(amplitude of vibration），它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期（period）是T=2π/ω，这是做间歇运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率（frequency)由公式f=1/T=|ω|/2π（这里的频率不是指角速率）它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx+φ称为相位x=0时的相位（ωx+φ=φ）称为初相参考资料来源：百度百科-初相

波方程是F(x)＝，t是定值，自变量只有x，反映的是波形图波动方程是F(x，t)＝，t和x都是变量，反映的是空间中波的运动状态

波动方程是之中偏微分方程：一个量为U(z,t),那么U(z,t)对z的二阶导数 等于 一个常数 乘以 U(z,t)对t的二阶导数.这就是波动方程了.

波动方程 cos（kx-wt）P点对应一个x值，代进去。p点的t的零点从波传到P开始，有一个延时，比如波传到P点用时t0，那么P在t=t0起振，如果以P点起振为时间零点，那么波源就在-t0时候起振。于是用（t+t0）把波函数的t也给换了，然后你就得到了答案。

如果阁下是高中生理解起来就有点困难。这需要一定的微积分知识。下面以一维的弦横向振动（带阻尼,阻尼与速度平方成正比）为例进行推导。详细见我空间图片（点击查看原图）http://hi.baidu.com/522597089/album/item/5d71ff2db9389b50174a27e78535e5dde6116e76.html#http://hi.baidu.com/522597089/album/item/52a1f13cb80e7bec076fc4542f2eb9389a506b76.html#其中△S为单位长度弦长,x一拔代表微段弦长质心,微振动这里α很小运用牛顿第二定律,微分中值定理,取极限即可推导。

《非线性波动方程的现代方法》基本信息出版时间： 2008-8-1字 数： 410000版 次： 1页 数： 267印刷时间： 2008-08-01开 本： 16开印 次： 1纸 张： 胶版纸I S B N ： 9787308061315包 装： 平装 目录第一章概论1.1引言1.2几何与物理中的一些方程的导出1.3方程中的一些不变特征1.3.1几个重要李群1.3.2模型方程的守恒律与一些不变性质1.4问题及方法1.4.1Cauchy问题的适定性1.4.2两个常用的研究方法第二章分析基础2.1Lp空间及其插值空间2.1.1Lp空间2.1.2Fourier变换2.1.3插值理论2.2最大函数及其应用2.2.1最大平均函数2.2.2分数次积分2.3局部化方法与不确定性原理2.3.1局部化方法2.3.2不确定性原理2.3.3Littlewiid-Paley分解2.4稳定位相法2.5Sobolev空间的L-P分解刻画2.6Poincare不等式2.7非线性估计2.7.1Gagliardo-Nurenbeng不等式2.7.2Leibniz法则2.7.8Miser型估计2.8Fourier限制理论2.8.1Stein-Thomas定理2.8.2解析插值证明2.8.3演化算子方法证明2.8.4双线性形式证明（n=2和n=3）第三章线性波动方程3.1线性波动方程的经典解3.2线性波动方程的弱解3.3能量不等式3.4线性波动方程解的存在与唯一性3.5L∞衰减估计3.6波动方程的Strichartz估计3.6.1单频Strichartz估计3.6.2波动方程Strichartz估计3.6.3球面对称情形的Strichartz估计3.6.4其他的LpLq混合范数估计3.7齐次波动方程的双线性时空估计3.7.1一些记号与说明3.7.2椭球面与双曲球面上的积分3.7.3定理条件的必要性分析3.8波Sobolev空间及其估计第四章非线性波动方程局部解4.1半线性波动方程的局部解4.2拟线性方程的局部解4.3三维半线性方程的局部解4.4具零形式的方程的局部解第五章经典解的破裂与奇性的形成5.1半线性方程解的破裂5.2形如utt＝C2(ux)uxx方程的破裂5.3n=3时utt=c2(ut)△u的径向解的破裂5.4n=3时□v=2ututt的解的破裂第六章具小振幅初值的非线性波动方程6.1非线性波动方程的小振幅解6.1.1高维拟线性波动方程的整体解6.1.2零条件和三维波动方程的整体解6.1.3零条件和二维波动方程的整体解6.2具小初值的非线性Klein-Gordon方程6.2.1经典的能量方法6.2.2Klainerman的不变向量场方法6.2.3Shatah的法形式方法……第七章大振幅初值的半线性波动方程的整体解参考文献 内容简介本书的主要内容是介绍非线性波动方程的局部或整体适定性理论、研究方法，以及解的破裂性质等。第一章，介绍了一些可用变分方法导出的方程与方法，讨论了方程中的一些重要的不变特征及其作用，以及定解问题的提法与研究解的存在性问题的常用方法等。第二章回顾和介绍了了研究偏微分方程理论所需的现代分析或调和分析基础，其中包括可积空间、可微空间、Sobolev空间以及它们之间的一些重要的定性性质和定量关系。最大函数及其应用，局部化方法与不确定性原理，稳定位相法，Gagliardo-Nirenberg不等式，Moser型估计等一些常用的非线性估计，Fourier限制定理及其各种证明方法等。第三章主要介绍线性波动方程解的表示，解在Sobolev框架下的存在唯一性，能量不等式，衰减估计，Strichartz估计，双线性估计以及波-Sobolev空间及其估计等。第四章主要介绍非线性波动方程的局部适定性理论，其中包括Sobolev框架、可微函数空间框架下的局部解以及满足零条件方程的局部解理论等。第五章介绍了一些典型波动方程经典解的破裂与奇性的形成以及生命区间的刻画等例子。第六章主要讨论了小振幅初值解的整体存在性问题。首先用连续性方法证明了高维拟线性波动方程的整体解的存在性，零条件以及低维情形的整体解。然后给出非线性Klein-Gordon方程的整体解常用研究方法。最后，讨论了半线性波动方程的整体适定性问题以及研究方法，其中包括具有整体Lipschitz非线性项的波动方程的整体解；半线性波动方程的有限能量弱解、经典解以及三个空间变量情形的低正则解等。

在弹性波方程中，外力F既包含胀缩力(正压力)，也包含旋转力(剪切力)，位移U也包含体变和形变两部分。若对弹性波方程式(1.2-1)两边取散度或取旋度，就可将弹性波方程分离为纵、横波方程。对式(1.2-1)两边取散度(div)，可得方程地震勘探原理、方法及解释若令地震勘探原理、方法及解释(1.2-4)式可写成地震勘探原理、方法及解释式中：divF代表胀缩力，该式描述了在只有胀缩力的作用时，弹性介质只产生与体变系数θ有关的扰动，称式(1.2-6)为用位移表示的纵波波动方程，式中VP为纵波传播速度。同样，若对式(1.2-1)两边取旋度(rot)，并令ω=rotU，可得方程地震勘探原理、方法及解释令地震勘探原理、方法及解释式(1.2-7)可写成地震勘探原理、方法及解释式中：rotF代表旋转力，该式描述了在只有旋转力作用时，弹性介质只产生与形变ω有关的扰动，称式(1.2-9)为用位移表示的横波波动方程，式中VS为横波传播速度。为使纵、横波方程简单化，可进一步用位函数表达纵、横波方程。已知U和F是矢量，根据亥姆霍兹(Helmholtz)定理：任一矢量函数U，若它的散度和旋度有意义，则该矢量场可分解为一个无旋部分和有旋部分之和，即地震勘探原理、方法及解释并且总可以找到一个标量位φ和矢量位ψ使下式成立地震勘探原理、方法及解释φ代表位移场的标量位，ψ代表位移场的矢量位；Φ代表标量力位，Ψ代表矢量力位。将式(1.2-11)分别代入式(1.2-6)和式(1.2-9)，可得用位函数表示的纵、横波波动方程地震勘探原理、方法及解释地震勘探原理、方法及解释若矢量位ψ=ψ(ψx，ψy)，则式(1.2-13)也可写成标量方程地震勘探原理、方法及解释式(1.2-12)、式(1.2-14)是标量位函数表示的三分量标量波动方程，式(1.2-12)是纵波标量波动方程，式(1.2-14)是标量横波波动方程。在以上传播方程中，当速度VP、VS分别为常数，则表示均匀、各向同性、理想弹性介质中波的传播规律，若速度VP=VP(x，y，z)、VS=VS(x，y，z)，则可表示非均匀、各向同性、理想弹性介质中波的传播规律。但对各向异性、黏弹性介质以及双相介质模型的波传播方程需要重新建立。

根据电动力学中的基础知识，麦克斯韦方程的普遍形式为 ……(5.4.1) 在介质中，没有传导电流，也没有自由电荷，即 所以上面方程组简化为 ……(5.4.2) 此外，在电动力学中还讲到物质方程为 ……(5.4.3) 上面三个等式是指在均匀介质中无极化存在时的情况，当有极化存在时， ……(5.4.4) 下面用麦克斯韦方程组推导非极化状态下的波动方程。由式 (5.4.2)中 两边取旋度 于是有 ……(5.4.5) 令 则 同理可得 ……(5.4.6) 　式 (5.4.5)和 (5.4.6)称为电磁场的波动方程，正是这两个方程成为现代无线电技术的启明星。下面，我们再推导在极化状态下的波动方程。当考虑有传导电流存在时，极化状态下的波动方程由下面三个公式联立可推出。 ① ② ③ ……(5.4.7) 　由 (5.4.7)②式两边取旋度 即 ……(5.4.8)式中 实际包括线性极化和非线性极化两部分即 为线性极化率， 为非线性极化强度代入上面公式中，则有 ……(5.4.9) 令 为介质的介电常数最后有： ……(5.4.10) 　如果非线性晶体材料是良好的绝缘材料，即 则在解方程时， 项可以忽略，此项在解波动方程时可看成是损耗项。当忽略此项则有 ……(5.4.11)

波动方程一、选择题1.把一根十分长的绳子拉成水平，用手握其一端。维持拉力恒定，使绳端在垂直于绳子的方向上作简谐振动，则[[[[BBBB]]]](A)振动频率越高，波长越长。(B)振动频率越低，波长越长。(C)振动频率越高，波速越大。(D)振动频率越低，波速越大。解：拉力恒定，则波速µνTu=恒定，λ=。ν越大，λ越小;反之ν越小，λ越大。u2.在下面几种说法中，正确的说法是：[[[[CCCC]]]](A)波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的。(B)波源振动的速度与波速相同。(C)在波传播方向上的任一质点振动相位总是比波源的相位滞后。(D)在波传播方向上的任一点的振动相位总是比波源的相位超前。解：波动的周期在数值上等于波源振动的周期；波源振动的速度与波速完全不同；在波传播的方向上，质点振动的位相依次落后，所以任一点的振动相位都落后于波源的相位。3.一简谐横波沿Ox 轴传播。若Ox 轴上和两点相距λ/8(其中λ为该波的波长)，ωP12P则在波的传播过程中，这两点振动速度的