拓扑

解析数论的话是不需要代数几何作基础的，但是代数拓扑还是十分必要的。另外代数表示以及李代数都是做解析数论的基础知识，一定要好好学习。另外椭圆积分内容也是基础课程，还有就是类域论内容（初等数论必备基础）。总之如果是做学问的话建议还是要博览群书的好，即便现在用不到等到以后深入研究就未必了。代数几何现在是数学的热门专业，学习一些会对你思考问题提供更多的思路，建议你多学习一些。并且代数几何跟表示理论也有很大的联系，跟数论关系也不浅（代数几乎能覆盖所有的数学分支）

　　Giovanni Giachetta University ofCamerino，ItalyLuigi Mangiarotti University of Camerino，ItalyGennadi Sardanashvily Mosscow StateUniversity，RussiaGeometriac and AlgebraicTopological MethOds inQuantum Mechanics2005，703pp．Hardcover USD 93.00TSBN 981-2s6-129-3Wor1d Scientificwww.省略 　　 　　经典力学及场论几何学主要是有限维光滑流形、纤丛及李群统分几何。几何学在经典场论中发挥突出作用的关键是基于这样一个事实，即它使人们得以处理不变定义的对象。规范理论很清楚地表明这是一个基本的物理原理。首先伪黎曼度量被用来鉴别爱因斯坦广义相对论框架中的引力场。随后人们观察到在一个主丛上的联络提供了经典规范位势的数学模型。而且因为主丛的示性类使用规范强度来表示，人们还可以在经典的规范模型中描述拓扑现象。在过去的10年中，现代量子力学遭遇了量子化不同类型的迅速增长，某些量子化技术(几何量子化、变型量子化、BRST量子化、非交换量子化、量子群等)在高级几何学与代数拓扑学中发挥了作用。这些技术具有下列几个主要的特质：(1)一般量子理论涉及了无限维流形和纤维丛；(2)量子理论中的几何学主要以环、模、层和范畴的代数语言来表达；(3)几何与代数拓扑方法可以导致一个经典系统的非等价量子化，该系统对应于拓扑不变的不同数。几何学与拓扑学并不是本书主要的视野，但是它们构成了现代量子物理学中许多概念的基础，提供了现代量子化最有效的方案，与此同时作者以简明的方式对所有用于研究量子问题的数学工具进行了必要的更新。本书的主要目的是要成为量子力学中高级微分几何与拓扑方法的指南，把读者引导到这些前沿领域。 　　本书共有1O章组成。1　交换几何学；2　经典哈密顿系统；3　代数量子化；4　代数量子化几何；5　几何量子化；6　超几何学；7　形变量子化；8　非交换几何学；9　量子群几何；10　附录。 　　本书的第一作者和第二作者在意大利Camerinu大学任教，而第三作者在俄罗斯莫斯科国立大学任教。本书针对的读者群体是广大的理论学家与数学家。那些对深入研究本书内容感兴趣的读者可以使用书后丰富的参考书。本书的最后一章附录中汇集了几个相关的数学论题。作者在书中引用的参考文献可通过以下网站查看。E-print arXiv(http：//xxx.lanl.gov)。 　　阅读本书的读者需要熟悉纤维丛微分几何基础。 　　胡光华，高级软件工程师 　　(原中国科学院物理学研究所)Hu Guanghua，Senior Software Engineer 　　(Former Institute of Physics， 　　the Chinese Academy of Sciences)

先理解闭包的概念，x∈A的闭包，就是对于任意的x的开领域G与A交集不为空，那么对于任意的x∈（A的闭包+B的闭包）那么x∈A的闭包或者x∈B的闭包，不妨设x∈A的闭包，那么对于任意的x的开领域G与A交集不为空，所以x的开领域G与A+B的交集也不为空，所以x∈A+B的闭包。由于x的任意性，则（A的闭包+B的闭包）包含于（A+B）的闭包

Buck 变换器只有两种工作模态，即开关管导通和开关管截止状态。首先为理想的Buck 变换器在一个开关周期内的两种不同工作状态建立状态方程和输出方程。这里取电感电流iL(t)和电容电压uc(t)作为状态变量，组成二维状态向量x(t)=[iL(t)，uc(t)]T;取输入电压ui(t)为输入变量，组成一维输入向量u(t)=[ui(t)];取电压源的输出电流is(t)，变换器的输出电压u0(t)作为输！

S³对应四元数体H中的单位四元数, 在乘法和取逆下封闭,因此四元数乘法给出S³上的一个群结构.又可验证该群结构与S³的微分结构是相容的, 故S³是一个Lie群.Lie群的切丛总是平凡的, 因为一点处的线性无关的切向量可以左平移得到点点线性无关的向量场.所以四元数的存在导致S³的切丛平凡.但是反过来的推理不能简单进行, 因为不清楚S²与假定存在的"三元数"会有怎样的联系.不过由S²的切丛非平凡说明S²没有Lie群结构是没问题的.注: 其实S³作为Lie群同构于SU(2).

微分流形是在拓扑流形的基础上添加微分结构而成的。拓扑流形是一个局部欧氏空间，还是一个 Hausdorff 空间。还有些人要求拓扑流形是仿紧的或/和第二可数的。

本文翻译自colah的博客中的文章《Neural Networks, Manifolds, and Topology》 链接：http://colah.github.io/posts/2014-03-NN-Manifolds-Topology/ 发布于2014年4月6日 关键词：拓扑，神经网络，深度学习，流形假设（manifold hypothesis） 最近，深度神经网络给人们带来很大的振奋，引起了极大的兴趣，因为其在像计算机视觉等领域中取得的突破性成果。[1] 但是，人们对其仍存在一些担忧。一个是要真正理解一个神经网络在做什么是一件十分具有挑战的事情。如果一个人将其训练得很好，它可以取得高质量的结果，但是要理解其是如何做到这一点很难。如果网络出现故障，很难了解哪里出现了问题。 虽然，总体上来说要理解深度神经网络的行为具有挑战性，但事实证明，探索低维深度神经网络要容易得多，低维深度神经网络是指每层中只有少量神经元的网络。事实上，我们可以创建可视化来完全理解这种网络的行为和训练过程。这种观点将使我们能够更深入地了解神经网络的行为，并观察到神经网络和一个称为拓扑的数学领域之间的联系。 从中可以得到许多有趣的东西，包括能够对某些特定数据集进行分类的神经网络复杂度的基本下界。让我们从一个非常简单的数据集开始，在平面上有两条曲线。网络将学习把点归类为属于一个或另一个。对于这个问题，可视化神经网络行为的明显方法 - 或者任何分类算法 - 就是简单地看一下它如何对每个可能的数据点进行分类。 我们将从最简单的神经网络类别开始，只有一个输入层和一个输出层。这样的网络只是试图通过用直线划分它们来分离这两类数据。那种网络不是很有趣。现代神经网络通常在其输入和输出之间具有多个层，称为“隐藏”层。至少有一个。和前面一样，我们可以通过查看它对域中不同点的划分来可视化该网络的行为。它使用比直线更复杂的曲线将数据分离。对于每一层，网络都会转换数据，创建一个新的表示。[2] 我们可以查看每个表示中的数据以及网络如何对它们进行分类。当我们到达最终表示时，网络将只绘制一条穿过数据的线（或者，在更高维度下，绘制一个超平面）。 在之前的可视化中，我们以“原始”表示形式查看了数据。当我们看输入层时，你可以想到这一点。现在我们将在第一层转换后查看它。你可以把它想象成我们在看隐藏层。 每个维度对应于层中神经元的发射。在上一节中概述的方法中，我们通过查看与每个层对应的表示来学习理解网络。这给了我们一个离散的表示序列。 棘手的部分是理解我们如何从一个到另一个。值得庆幸的是，神经网络层具有很好的属性，使这很容易实现。 在神经网络中使用各种不同类型的层。我们将讨论tanh（双曲正切）层作为一个具体示例。 tanh层 tanh（Wx + b） 包括： 1. 经过“权重”矩阵 W 的线性变换 2. 经过矢量 b 的平移 3. 点式地应用tanh。 我们可以将其视为一个连续的转换，如下所示：其他标准层的过程大致相同，包括仿射变换，然后逐点应用单调激活函数。 我们可以应用这种技术来理解更复杂的网络。例如，以下网络使用四个隐藏层对两个略微纠缠的螺旋进行分类。随着时间的推移，我们可以看到它从“原始”表示转变为它为了对数据进行分类而学到的更高级别的表示。虽然螺旋最初是缠绕的，但最终它们是线性可分的。另一方面，以下网络也使用多个层，无法对两个更纠缠的螺旋进行分类。 值得明确指出的是，这些任务只是有些挑战，因为我们使用的是低维神经网络。如果我们使用更广泛的网络，所有这一切都会非常容易。 （Andrej Karpathy基于ConvnetJS做了一个很好的演示，它允许您通过这种对训练的可视化来交互式地探索网络！）每一层都伸展并占据空间，但它永远不会削减，折断或折叠它。直觉上，我们可以看到它保留了拓扑属性。例如，如果一个集合之前是连通的那其之后也是连通的（反之亦然）。 像这样不会影响拓扑的变换，称为同胚。在形式上，它们是双向连续函数的双射。 定理 ：如果权重矩阵W是非奇异的，则具有 N 个输入和 N 个输出的层是同胚。 （虽然需要注意域和范围。） 证明 ：让我们一步一步考虑： 1. 假设W具有非零行列式。然后它是具有线性逆的双射线性函数。线性函数是连续的。因此，乘以 W 是同胚。 2. 平移是同胚的。 3. tanh（和sigmoid和softplus但不是ReLU）是具有连续逆的连续函数。如果我们对我们考虑的域和范围保持谨慎，它们就是双射的。逐点应用它们是同胚。 因此，如果 W 具有非零行列式，则我们的层是同胚。 ∎ 如果我们将这些层中任意多个组合在一起，这个结果就会继续存在。考虑一个二维数据集，有两个类A和B⊂R2： A={x|d(x,0)<1/3} B={x|2/3<d(x,0)<1}声明 ：如果没有具有3个或更多隐藏单位的层，神经网络就无法对此数据集进行分类，无论深度如何。 如前所述，使用S形单元或softmax层进行分类等同于尝试找到在最终表示中分离A和B的超平面（或在这种情况下为线）。由于只有两个隐藏单元，网络在拓扑上无法以这种方式分离数据，并且注定要在此数据集上失败。 在下面的可视化中，我们观察到网络训练时的隐藏表示以及分类线。正如我们所看到的那样，它正在努力学习如何做到这一点。最终，它会被拉入一个相当低效的局部最小值。 虽然，它实际上能够达到~ 80％ 的分类准确度。 这个例子只有一个隐藏层，但无论如何都会失败。 证明 ：每一层都是同胚，或者层的权重矩阵具有行列式0.如果它是一个同胚，A仍然被B包围，并且一条线不能将它们分开。 但是假设它有一个行列式为0：那么数据集会在某个轴上折叠。 由于我们处理与原始数据集同胚的某些东西，A被B包围，并且在任何轴上折叠意味着我们将有一些A和B混合的点并且变得无法区分。∎ 如果我们添加第三个隐藏单元，问题就变得微不足道了。 神经网络学习以下表示：通过这种表示，我们可以使用超平面分离数据集。 为了更好地了解正在发生的事情，让我们考虑一个更简单的1维数据集： A=[−1/3,1/3] B=[−1,−2/3]∪[2/3,1]如果不使用两个或更多隐藏单元的层，我们就无法对此数据集进行分类。 但是如果我们使用有两个单元的层，我们学会将数据表示为一条很好的曲线，允许我们用一条线来将不同的类分隔开来：发生了什么？ 一个隐藏单元在x > -1/2时学会开火，一个在x > 1/2时学会开火。当第一个开火但第二个没开火时，我们知道我们在A中。这与现实世界的数据集，比如图像数据有关吗？ 如果你真的认真对待流形假设，我认为值得考虑。 流形假设是自然数据在其嵌入空间中形成低维流形。 理论上[3]和实验上[4]都有理由认为这是真的。 如果你相信这一点，那么分类算法的任务就是从根本上分离出一堆纠结的流形。 在前面的例子中，一个类完全包围了另一个类。 然而，狗图像流形似乎不太可能被猫图像流形完全包围。 但是，正如我们将在下一节中看到的那样，还有其他更合理的拓扑情况可能仍然存在问题。另一个值得考虑的有趣数据集是两个链接的圆环， A 和 B .与我们考虑的先前数据集非常相似，如果不使用n+1维，即第4维，则无法分离此数据集。 链接是在结理论中研究的，这是一个拓扑领域。 有时当我们看到一个链接时，它是否是一个非链接（一堆东西纠结在一起，但可以通过连续变形分开）并不是很明显。如果使用仅有3个单元的层的神经网络可以对其进行分类，那么它就是非链接。 （问题：理论上，所有非链接是否都可以被只有3个单元的网络进行分类？） 从这个结的角度来看，我们对神经网络产生的连续可视化的表示不仅仅是一个很好的动画，它还是一个解开链接的过程。在拓扑中，我们将其称为原始链接和分离链接之间的环境同位素（ambient isotopy）。 形式上，流形A和B之间的环境同位素是连续函数F：[0,1]×X→Y，使得每个Ft是从X到其范围的同胚，F0是恒等函数，F1将A映射到B。也就是说，Ft连续地从A向自身映射转换到A向B映射。 定理 ：在输入和网络层表示之间存在环境同位素，如果：a） W 不是奇异的，b）我们愿意置换隐藏层中的神经元，并且c）存在多于1个隐藏单元。 证明 ：同样，我们分别考虑网络的每个阶段： 1. 最难的部分是线性变换。 为了使这成为可能，我们需要 W 有一个正的行列式。 我们的前提是它不是零，如果它是负的，我们可以通过切换两个隐藏的神经元来翻转符号，那么我们可以保证行列式是正的。 正行列式矩阵的空间是路径连通的，因此存在 p ：[ 0,1 ] →  GLn (R)5，使得  p(0) = Id  且  p(1) = W 。 我们可以用函数  x → p(t)x  连续地从恒等函数转换到 W 变换，在每个时间点 t 将 x 乘以连续转换矩阵 p(t) 。 2. 我们可以用函数 x → x + tb 不断地从恒等函数转换到b转换。 3. 通过函数： x → (1- t)x +tσ(x) ，我们可以不断地从恒等函数过渡到σ的逐点使用。∎ 我想可能有兴趣自动发现这种环境同位素并自动证明某些链接的等价性，或某些链接是可分离的。知道神经网络能否击败现有技术水平将会很有趣。 （显然确定结是否平凡是NP问题。这对神经网络来说不是好兆头。） 到目前为止我们谈到的那种链接似乎不太可能出现在现实世界的数据中，但是有更高的维度的拓展。在现实世界的数据中可能存在这样的事情似乎是合理的。 链接和结是一维流形，但我们需要4个维度才能解开所有这些。类似地，人们可能需要更高维度的空间以能够解开n维流形。所有n维流形都可以在 2n + 2 维中解开。[6] （我对结理论知之甚少，真的需要更多地了解有关维度和链接的知识。如果我们知道流形可以嵌入到n维空间中，而不是流形的维数，我们有什么限制？ ）一个神经网络要做的自然的事情，非常简单的路线，是试图将流形分开，并尽可能地拉伸缠绕的部分。 虽然这不会接近真正的解决方案，但它可以实现相对较高的分类准确度并且是诱人的局部最小值。它会在它试图拉伸的区域中表现为 非常高的衍生物 （very high derivatives）和近乎不连续性。我们知道这些事情会发生.[7] 在数据点处惩罚层的衍生物的收缩惩罚是对抗这种情况的自然方式.[8] 由于这些局部极小值从试图解决拓扑问题的角度来看是绝对无用的，拓扑问题可能提供了探索解决这些问题的良好动机。 另一方面，如果我们只关心实现良好的分类结果，似乎我们可能不在乎。如果数据流形的一小部分被另一个流形钩住，对我们来说这是一个问题吗？尽管存在这个问题，似乎我们也应该能够获得主观上来看不错的分类结果。 （我的直觉是试图欺骗这个问题是一个坏主意：很难想象它不会是一个死胡同。特别是在一个优化问题中，局部最小值是一个大问题，选择一个架构，不能真正解决问题似乎是表现不佳的秘诀。）我对标准神经网络层的思考越多 - 即是，通过仿射变换后跟一个逐点激活函数 - 我感觉更加失去理智。 很难想象这些对于操纵流形真的很有益。 或许有一种非常不同的层可以用来组成更传统的层？ 我自然想到的是学习一个矢量场，这个矢量场带有我们想要改变流形的方向：然后根据它来变形空间：人们可以在固定点学习矢量场（只需从训练集中取一些固定点作为锚点）并以某种方式进行插值。 上面的矢量场的形式如下： 其中v0和v1是向量，f0(x)和f1(x)是n维高斯。 这受到径向基函数的启发。我也开始思考线性可分性对于神经网络的需求可能是巨大的，虽然可能是不合理的。在某些方面，感觉自然要做的就是使用k近邻（k-NN）。然而，k-NN的成功在很大程度上取决于它对数据进行分类的表示，因此在k-NN能够很好地工作之前需要一个好的表示。作为第一个实验，我训练了一些MNIST网络（两层卷积网，没有丢失），达到了约1％的测试误差。然后我丢弃了最终的softmax层并使用了k-NN算法。我能够始终如一地将测试误差降低0.1-0.2％。 尽管如此，还是觉得哪里有些问题。网络仍在尝试进行线性分类，但由于我们在测试时使用k-NN，因此能够从错误中恢复一点。 由于1/距离的加权，k-NN在它所作用的表示方面是可微的。因此，我们可以直接为k-NN分类训练一个网络。这可以被认为是一种“最近邻”层，可以作为softmax的替代品。 我们不希望为每个小批量提供整个训练集，因为这在计算上非常昂贵。我认为一个很好的方法是根据小批量的其他元素的类别对小批量的每个元素进行分类，给每个元素一个权重1 /(与分类目标的距离)。[9] 遗憾的是，即使使用复杂的架构，使用k-NN也只会降低5-4％的测试错误 - 使用更简单的架构会导致更糟糕的结果。但是，我花了很少的精力去调整超参数。 尽管如此，我在美学上仍然喜欢这种方法，因为看起来我们“要求”网络做的事情要合理得多。我们希望相同流形的点比其他点更接近，而流形可以通过超平面分离。这应该对应于扩张不同类别流形之间的空间并使各个流形收缩。感觉就像简化。 数据的拓扑属性（例如链接）可能使得无法使用低维网络线性分离类，无论深度如何。即使在技术上可行的情况下，例如螺旋，这样做也是非常具有挑战性的。 为了使用神经网络准确地对数据进行分类，有时需要宽层。此外，传统的神经网络层似乎不能很好地表示对流形的重要操作；即使我们巧妙地手工设置权重，紧凑地表示我们想要的变换也是一项挑战。新的层，特别是受机器学习的流形观点驱动的，可能是有用的补充。 （这是一个正在开发的研究项目。它是作为公开进行研究的实验而发布的。我很高兴收到你对这些想法的反馈：你可以内联或最后发表评论。对于拼写错误，技术错误或你想要的澄清看到添加，我们鼓励你在github上发出pull请求。） 感谢Yoshua Bengio, Michael Nielsen, Dario Amodei, Eliana Lorch, Jacob Steinhardt, and Tamsyn Waterhouse的评论和鼓励。 1. This seems to have really kicked off with  Krizhevsky  et al. , (2012) , who put together a lot of different pieces to achieve outstanding results. Since then there"s been a lot of other exciting work. ↩ 2. These representations, hopefully, make the data “nicer” for the network to classify. There has been a lot of work exploring representations recently. Perhaps the most fascinating has been in Natural Language Processing: the representations we learn of words, called word embeddings, have interesting properties. See  Mikolov  et al.  (2013) ,  Turian  et al.  (2010) , and,  Richard Socher"s work . To give you a quick flavor, there is a  very nice visualization  associated with the Turian paper. ↩ 3. A lot of the natural transformations you might want to perform on an image, like translating or scaling an object in it, or changing the lighting, would form continuous curves in image space if you performed them continuously. ↩ 4.  Carlsson  et al.  found that local patches of images form a klein bottle. ↩ 5. GLn(R)is the set of invertible n×n matrices on the reals, formally called the  general linear group  of degree n. ↩ 6. This result is mentioned in  Wikipedia"s subsection on Isotopy versions . ↩ 7. See  Szegedy  et al. , where they are able to modify data samples and find slight modifications that cause some of the best image classification neural networks to misclasify the data. It"s quite troubling. ↩ 8. Contractive penalties were introduced in contractive autoencoders. See  Rifai  et al. (2011) . ↩ 9. I used a slightly less elegant, but roughly equivalent algorithm because it was more practical to implement in Theano: feedforward two different batches at the same time, and classify them based on each other. ↩

拓扑流形，为最容易定义的流形，它局部看起来象一些“普通”的欧氏空间Rn。形式化的讲，一个拓扑流形是一个局部同胚于一个欧氏空间（或上半欧式空间）的拓扑空间。这表示每个点有一个邻域，它有一个同胚(连续双射其逆也连续)将它映射到Rn（Rn+）。这些同胚是流形的坐标图。

译者：树石 最近，由于在诸如计算机视觉领域取得了突破性成果，深层神经网络引起了广泛的关注和兴趣。 然而，该领域仍然存在一些顾虑。比如， 要了解神经网络能够做什么相当具有挑战性 。如果一个网路被训练得很好，输出高品质的结果，但了解它是如何做到的具有挑战性。如果网络出现故障，也很难理解什么地方出了错。 虽然通常理解深层神经网络的行为比较困难， 探索低维度深层神经网络相对容易的多 ——在每一层只有几个神经元的网络。事实上，我们可以通过创建可视化效果来理解网络的行为和对网络的培训。这种方法将让我们 获取对神经网络行为的深层直觉，并观察到神经网络和拓扑学之间的联系 。 另外，还探讨了一些有趣的事情，包括对某些数据集进行分类的神经网络的最低复杂性。 让我们从一个非常简单的数据集开始：在一个平面上的两条曲线。该网络将学习如何将线上的点归类为这一个还是另外一个。 将神经网络（或任何分类算法）的行为可视化，显而易见的方法是简单地看它是如何对每一个可能的数据点进行分类。 我们将先从最简单的神经网络开始，只有一个输入层和一个输出层的网络。这样的网络只是试图通过画一条线将两个类数据的分离。 诸如此类的网络不是很有趣。现代神经网络一般在输入和输出之间，具有称为“隐藏”层的多个层次。至少包含一个隐藏层。 与以前一样，我们可以通过查看它对其领域不同点进行的处理来观察这个网络的行为。数据分割通过一条曲线来完成，而不是直线。 通过神经网络的每一层，数据被转换，创建了一个新的 表示 （represention）。我们可以看一下在这些表示中的数据以及网络是如何划分他们的。当我们到达最后一层的表示时，网络只需要绘制一条线（或者，在更高维度里绘制一个超平面）。 在前面的可视化中，我们看到其“原始”表示的数据，你可以将其视为输入层。现在我们将看看经过第一层转化后，你可以认为这是我们看到了隐藏层。 每个维度对应于该层中神经元的兴奋。 在上一节中所概述的方法，我们知道通过查看每层的表示来了解网络。这给了我们一个离散的表示列表。 最棘手的部分是了解我们是如何从一个表示到另一个的。值得庆幸的是，神经网络层具有很好的性能，使这一点变得很容易。 神经网络由多种不同类型的层构成。我们将谈论一个具体的例子：双曲正切层（tanh）。一个双曲正切层tanh⁡(Wx+b)由以下组成： 我们可以观察到这是一个连续变换，具体如下： 这个故事和其它标准层大体相同，由一个映射变换之后单调激活函数的逐点应用。 我们可以用这种技术来了解更复杂的网络。例如，下面的网络划分两个被略微缠结的螺旋，使用四个隐藏层。随着时间的推移，我们可以看到它的“原始”表示转移到更高层次为了对数据进行分类。而螺旋最初是纠结的，最终他们是线性可分的。 另一方面，以下的网络，也是使用多个层，分类两个螺旋没有成功，反而更加缠结。 这里值得明确指出，这些任务将变得有些困难，如果我们使用的是低维神经网络。如果我们使用更广泛的网络，这一切都将是相当容易的。 （ Andrei Karpathy有 很好的演示 基于ConvnetJS，让您可以交互式地浏览网络，就像上面的这种可视化培训！ ） 每一层都会拉伸和挤压空间，但它永远不会切割、断裂和褶皱它。直观地说，我们可以看到它保留了拓扑性质。例如，一组数据将在转化后保持连接，如果它之前是连接的（反之亦然）。 这样的转换，不影响拓扑结构，被称为同胚。在形式上，他们是连续函数的双向映射。 定理 ：具有N个输入和N个输出的层是同胚，如果权重矩阵W是非奇异的。（虽然需要小心它的值域和范围。） 证明 ：让我们一步步考虑： 因此，如果W所有因子都是非零的，我们的层就是同胚的。∎ 这一结果始终正确，如果我们将任意多个这些层组合在一起。 考虑包含两个类的二维数据集 ![][01] [01]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?,A,B subsetmathbb{R}^2 A = {x | d(x,0) < 1/3} B = {x | 2/3 < d(x,0) < 1} 如前面提到的，用一个S形函数或SOFTMAX层分类相当于试图找到一个超平面（或在这种情况下是一条线）在最终表示中分隔A与B。只有两个隐藏层的网络对于分离这组数据在拓扑上是无能的，并注定要失败。 在下面的可视化图中，我们观察到网络训练隐藏的表示，通过试图使用一条直线来分类。我们可以看到，它在努力学习某种方式来做到这一点是不断挣扎而且困难重重。 最后，它被拉到一个相当低效的拟合。虽然它实际上能够实现〜80%分类精度。 这个例子只有一个隐藏层，但无论如何它都会失败。 证明 ：要么每层是一个同胚，要么该层的权重矩阵具有0因子。如果该层是同胚的，A被B所环绕，一个直线不能将它们分开。但是，假设它具有一个0因子：那么数据集将在某些轴上崩塌。因为我们正在处理的东西同胚于原始数据集，A被B所包围，在任一轴崩塌于意味着我们将有一些A中的点和B中的点混合，从而无法完成A与B的区分。∎ 如果我们增加第三个隐藏层，问题就变得微不足道。神经网络学习以下表示： 用这个表示，我们可以用一个超平面分开数据集。 为了更好的理解这是怎么做到的，让我们考虑一个更简单的一维数据集： ![][02] [02]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?,A=[- frac{1}{3}，,frac{1}{3}] ![][03] [03]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?,B=[-1,- frac{2}{3}]cup[frac{2}{3},1] 如果不使用两个或多个隐藏单元层，我们不能将此数据集进行分类。但是，如果我们使用一个带有两层的网络，我们就学会将数据转化成一个很好的曲线，让我们能用一条线将数据分开： 发生了什么？一个隐藏单元学习当x>-1/2时兴奋，另一个单元学习当x>1/2时兴奋。当第一个兴奋，而不是第二个时，我们知道数据属于A。 这个假说和现实世界的数据集相关吗，比如图像数据？如果你认真对待流形假说，我觉得他值得思考。 流形假说是指自然数据在它的嵌入空间构成了较低维度的数据流形。同时具有理论和实验的理由相信这一假说是真的。如果你相信这一点，那么分类算法的任务是从根本上分离一堆纠结的流形。 在前面的例子中，一个类完全被另一个类包围。然而，这似乎并不可能，比如狗的图像流形完全被猫的图像流形包围。因为我们将在下一节中看到其他更合理的拓扑情况。 另一个有趣的数据集要考虑的是两个链接的tori，A和B。 就像之前的数据集，这个数据不能被分离，如果不使用n+1维，即4个维度。 链接在结点理论（knot theory)中被讨论，拓扑学的一个领域。有时，当我们看到一个链接，并不能一眼看出它是否真正相连（一堆被缠结在一起的事情，但可以通过连续变形分开）。 如果仅仅使用3个层次的神经网络就能够对其进行分类，那么它就是一个未链接（unlink）。（问：理论上是否能将所有未链接都通过只有3个层次的网络进行分类？） 从这个结的角度看，我们通过神经网络产生的连续可视化不仅仅是一个漂亮的动画，它是解开链接的程序。在拓扑学中，我们把它称为原始链接和分离环之间一个环境同痕（an ambient isotopy)。 形式上，流形A和B之间的一个环境同痕是一个连续函数F：[0，1]× X→Y，使得每个Ft是一个从X到它自己范围的同胚，F0是一个标识函数，并F1是从A到B的一个映射。也就是，Ft是从A到自身的映射到从A到B的映射的连续转换。 定理 ：在输入和网络层之间具有环境同痕，如果： 证明 ：同样，我们分别考虑网络的每个阶段： 我想这也许是十分有趣的，通过程序自动发现这样的环境同痕并自动证明某些链接的等价性，或者某些环节是可分离的。这将很有趣知道，如果神经网络是否可以各种情况。 （显然，确定结点是否重要是一个NP，这不太适用于神经网络。） 我们已经谈到的这类链接，到目前为止似乎不太可能是现实世界的数据，但他们是更高维的生成。这似乎是合理的。 链接和结点是1维流形，但我们需要4个维度才能够解开他们。类似地，可能需要更高维度的空间，以便能够解开n维流形。所有n维流形可在2n+2维度上解开。 （我对于结点理了解不多，确实需要更多地了解维度和链接。如果我们知道一个流形可以被嵌入到n维空间，而不是流形的维度，我们有什么限制？ ） 很自然的想法，一个神经网络试图直接将流形从纠结尽可能薄的部分拉出。虽然这不会在任何情况下都是一个好的解决方案，但是大多情况它可以实现较高的分类准确率，到达一个诱人的最低点（local miminum）。 它试图拉伸具有高延展性的空间，并锐化靠近中断处。我们知道这些事情发生。压缩的处罚，在对数据点衍生层的处罚，都是很自然的做法。 由于这些局部最小点对于解决这种拓扑问题完全无用，拓扑问题值得很好的探索。 在另一方面，如果我们只关心取得了良好的分类结果，好像我们可能并不关心。如果很小的一个数据流形的点陷入另一个流形，会是一个问题吗？看起来我们应该能够得到很好的分类结果，尽管有这个问题。 （我的直觉是，像这样欺骗自己是一个坏主意：这是很难想象它不会是死路一条。特别是，针对一个局部最小很重要的优化问题，选择这种方式不能真正解决问题，这似乎是糟糕的表现。） 我越思考标准的神经网络层 - 即用映射变换后逐点激活功能 - 我就越不抱幻想。很难想象，他们能够很好地操纵流形。 也许这可能是有意义的，我们采用一个非常不同的层，而不是传统的神经网络层？ 非常自然的感觉是，通过一个矢量场的学习，我们希望流形移动方向： 然后再对他变形空间： 人们可以学会在固定点的矢量场（只是需要从训练集合选取一些固定点作为锚），并以某种方式介入。上面的矢量场的形式是： ![][04] [04]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?,F(x)= frac{v_0f_0(x)+v_1f_1(x)}{1+f_0(x)+f_1(x)} 其中，v0和v1是矢量，F0(X)和F1(X)是n维高斯函数。这一点来自于径向基函数（radial basis functions）的灵感。 我也开始觉得线性可分可能是一个巨大的，也可能不合理的，神经网络的需求。在某些方面，非常自然的会想到使用K-近邻（K-NN）。然而，K-NN的成功在很大程度上取决于它所分类的数据表示（represention），因此，人们在K-NN之前，需要一种良好的表示。 作为第一个实验中，我训练了一些MNIST网络（两层卷积网，没有下降现象）到达〜1%测试误差。然后我放弃了最后的SOFTMAX层而使用K-NN算法，我能够始终如一地降低0.1-0.2％的测试误差。 不过，这并不完全觉得是正确的事情。该网络还在试图做线性分类，但由于我们使用K-NN测试，它能够从它所犯的错误中恢复一些。 K-NN有区别于相对于它的网络层次，因为会用到（1 /距离值）加权。因此，我们可以直接训练网络K-NN分类。这可以被认为是一种“k-NN”层替SOFTMAX。 我们不希望为每个小批量数据遍历整个训练集，因为这将非常消耗计算资源。我认为一个很好的办法是根据小批次的其它元素对每个小批次的元素进行分类，赋予每一个元素（1 /从分类目标的距离）的权重。 可悲的是，即使有完善的体系结构，采用K-NN只下到5-4％检测错误 - 使用简单的架构会得到更坏的结果。不过，我已经很少把努力放在高维参数上了。 不过，我真的很喜欢这个方法，因为它好像就是我们“要求”网络运行的更加合理。我们希望在同一流形的点比其它的点更加接近，相对于由一个超平面被分离的其他流形。这相对需要拉伸不同类别流形之间的空间，同时收缩每一个流形。这感觉就像是在简化问题。 具有拓扑性质的数据，例如链接，可能导致无法使用低维网络进行线性分类，无论深度有多大。即使在技术上是可能的情况下，例如螺旋，也是非常具有挑战性的。 为了使神经网络准确的分类数据，多个层次有时是必要的 。此外，传统的神经网络层似乎并不能很好的处理流形数据；即使我们巧妙的手工设置权重，想要紧凑的表达我们想要的转换也是非常困难的。新建层次，特别使用流形相关的机器学习，可能是有用的补充。 （这是一个发展中的研究项目。相关研究信息会在网上公布。我会很高兴听听您对这些想法的反馈：您可以发表评论。对于错别字，技术错误，或任何澄清，我们鼓励你发一个请求在GitHub上。） 致谢 谢谢Yoshua Bengio，迈克尔·尼尔森，达里奥 Amodei，埃利安娜洛奇，雅各布斯坦哈特和Tamsyn Waterhouse的意见和鼓励。

我们可以依次进行以下三个步骤的证明：（1）该流形是拓扑等价于三维球面；（2）该流形是闭的；（3）该流形是单连通的。证明第一步，即证明该流形是拓扑等价于三维球面。根据普适性定理，任何没有边界的紧致三维流形都可以拓扑等价于三维球面。因此，只需要证明该流形没有边界并且是紧致的即可。证明第二步，即证明该流形是闭的。我们可以考虑推论，假设该流形不是闭的，则可以找到一个点在流形的外部，因为该流形是单连通的，所以我们可以通过任意一条球面上的路径将该点与流形内部的某个点连接起来（可以想象一下在球面上任意点之间总能找到一条大圆路径），从而将该流形“拉”到球面内部，这与它是单连通的矛盾。因此，该流形必须是闭的。证明第三步，即证明该流形是单连通的。由于该流形是闭的，因此根据Poincare定理，它的一级同调群H1为零。由于该流形是单连通的，因此它的基本群π1也为零。进一步根据Hurewicz定理，当流形是连通的时候，一级同调群与基本群同构，因此H1 = π1 = 0。因此，该流形是单连通的。综上所述，该流形既是闭的又是单连通的，而且拓扑等价于三维球面，因此它一定拓扑同胚于一个三维球面。

有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现的一些孤立的问题，在后来的拓扑学的形成中占着重要的地位。在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体欧拉定.

Topology原意为地貌，起源于希腊语Τοπολογ。形式上讲，拓扑学主要研究“拓扑空间”在“连续变换”下保持不变的性质。简单的说，拓扑学是研究连续性和连通性的一个数学分支。拓扑学起初叫形势分析学，是德国数学家莱布尼茨1679年提出的名词。十九世纪中期，德国数学家黎曼在复变函数的研究中强调研究函数和积分就必须研究形势分析学。从此开始了现代拓扑学的系统研究。在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，圆和方形、三角形的形状、大小不同，但在拓扑变换下，它们都是等价图形；足球和橄榄球，也是等价的----从拓扑学的角度看，它们的拓扑结构是完全一样的。而游泳圈的表面和足球的表面则有不同的拓扑性质，比如游泳圈中间有个“洞”。在拓扑学中，足球所代表的空间叫做球面，游泳圈所代表的空间叫环面，球面和环面是“不同”的空间。“连通性”最简单的拓扑性质。上面所举的空间的例子都是连通的。而“可定向性”是一个不那么平凡的性质。我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。这样的空间是可定向的。

可度量化的意思是存在一个度量使得这个度量诱导的拓扑跟原有的拓扑一致.在离散度量下每个点都是开集(度量空间的开集是epsilon邻域的并)从而每个子集都是开集.有限集合上的所有度量都诱导离散拓扑,所以如果有限集合上的拓扑不是幂集,就不能被度量化.我对此的理解是：一个拓扑空间中的两个点并不是能用尺子量就叫可度量化，一个拓扑空间可度量化是说一个拓扑空间与由这个度量所诱导的空间同胚，也就是等价的意思。因为在离散度量下每个点都是开集，从而每个子集都是开集.所以在有限集合中，要求每个元素以致任意个元素的并也是开集，只有这样，才能与离散拓扑建立一一对应，也就是等价了。故在有限集合中如果不是离散拓扑，那么是不能与离散度量诱导的拓扑建立一一对应的，也就是不能度量化。因此，对于一个有限集合，只有离散拓扑才能被度量化。

引言(拓扑学的直观认识)第一章 拓扑空间与连续性1 拓扑空间2 连续映射与同胚映射3 乘积空间与拓扑基第二章 几个重要的拓扑性质1 分离公理与可数公理2 YPBIXOH引理及其应用3 紧致性4 连通性5 道路连通性6 拓扑性质与同胚第三章 商空间与闭曲面1 几个常见曲面2 商空间与商映射3 拓扑流形与闭曲面4 闭曲面分类定理第四章 同伦与基本群1 映射的同伦2 基本群的定义3 Sn的基本群4 基本群的同伦不变性5 基本群的计算与应用6 Jordn曲线定理第五章 复叠空间1 复叠空间及其基本性质2 两个提升定理3 复叠变换与正则复叠空间4 复叠空间存在定理第六章 单纯同调群(上)1 单纯复合形2 单纯复合形的同调群3 同调群的性质和意义4 计算同调群的实例第七章 单纯同调群(下)1 单纯映射和单纯逼近2 重心重分和单纯逼近存在定理3 连续映射诱导的同调群同态4 同伦不变性第八章 映射度与不动点1 球面自映射的映射度2 保径映射的映射度及其应用3 Lefshetz不动点定理附录A 关于群的补充知识附录B VnKmpen定理附录C 链同伦及其应用习题解答与提示名词索引符号说明参考书目

子空间的拓扑并不唯一。子空间的拓扑可以由父空间的拓扑生成，但是生成的方式并不是唯一的。换句话说，父空间可以有多种不同的方式来生成相同的子空间拓扑结构。这是因为子空间所包含的点集可以从不同的角度来进行分割和组合。此外，即使我们只考虑欧几里得空间的子空间，也存在不同的拓扑结构。例如，一个二维平面可以是一个紧致流形，也可以是一个非紧致的拓扑空间。因此，可以得出结论：子空间的拓扑不是唯一的。

道路 (拓扑学) Weg (Mathematik)在数学中，拓扑空间 X 中一条道路（path）是从单位区间 I = [0,1] 到 X 的一个连续函数 ff : I → X.道路的起点是 f(0)，终点是 f(1)。通常说从 x 到 y 的一条道路，这里 x 与 y 是道路的起点与终点。注意，一条道路不仅是 X 中看起来像一条曲线的子集，它也包含了参数化。例如，映射 f(x) = x 与 g(x) = x 表示两个实数轴上从 0 到 1 两条不同的道路。空间 X 中以 x∈ X 为基点的一条环路（loop）是从 x 到 x 的一条道路。一条环路可以视为连续映射 f : I → X，满足 f(0) = f(1) 或从单位圆 S 到 X 的连续映射f : S → X.这是因为 S 可以视为 I 把 0 ∼ 1 等价起来的商空间。所有 X 中的道路集合组成一个空间，称为 X 的环路空间。如果拓扑空间中任何两点之间有一条道路连接，则称之为道路连通。任何空间可以分成一些道路连通分支。空间 X 的道路连通分支集合通常记作 π0(X)（与高维同伦群使用相同的记号，但第 0 个事实上不是群。）我们也可以定义带基点的空间中的道路与环路，这在同伦论中非常重要。如果 X 是以 x0 为基点的拓扑空间，则 X 中的道路以 x0 为起点；类似地，X 中环路以 x0 为基点。

就是{b}包含它的闭集只有X和{b}

一般空间中元素不一定是开集，全集与空集是开集这是开集公理的定义，仅仅是定义而已

3个：平庸空间、离散空间、介于前两者之间的一个空间

注意Y的无处稠密子集也是X的无处稠密子集A在X中的闭包与内部，在Y中的闭包，内部之间的关系即可。

利用如下两条性质： A的闭包并上B的闭包=（A并B）的闭包 A的内点=A的补集的闭包的补集

英国脱欧失败了

若一拓扑空间仅有有限个连通分支,证明每一连通分支都是既开又闭的集合。证明对于拓扑空间X的任一子集A,经过取补集,闭包,内部三种运算最多只能产生14个集合.并在实数空间R中选取一适当的集合.使它经过上述三种运算恰能产生14个不同的集合.设X和Y是两个拓扑空间,A是X的一个子集证明:(1) 如果映射f;X→Y是一个同胚,则映射f| A:A→f(A)也是-一个同胚;(2) 如果X可嵌入Y,则X的任何一 一个子空间也可嵌入Y。

拓扑学=研究不同的“拓扑空间”在什么时候“同胚”，什么时候“同伦”，什么时候“拓扑等价”。一般是大学数学系高年级的课程。根据上面的定义，其中最基本的概念有：1."拓扑空间"，即在一般的集合中定义几何－－什么叫点，什么叫距离，什么叫维数等等。它的定义高中生基本上可以读懂，但过于抽象而很难真正理解；2.“同胚”。这个定义高中生基本上可以读懂。但拓扑中无法直接判断两个拓扑空间是不是同胚，所以对每个拓扑空间引入了一系列“不变量”－－欧拉示性数，同调群，上同调群等等，如果两个拓扑空间的欧拉示性数/同调群/上同调群之一不同就不可能同胚（你说的麦比乌斯圈和普通的圈在拓扑中就是这样区分的，因为它们的同调群不同）。这些不变量中欧拉示性数是个整数，定义也不算复杂，高中生理解起来应该没什么问题；但同调群/上同调群不是数而是一个“群”，群的概念本身就要到大学才能学到，所以同调群/上同调群的定义高中生是不可能读懂的；3.“同伦”。同上，只是不变量从同调群换成“同伦群”，它的定义高中生同样不可能读懂；4.“向量丛”，“纤维丛”及他们的“陈省身类”。这些即使是数学系低年级学生都不可能读懂；等等结论就是：可以读，读完理想的情况是一知半解－－不理想情况则是一头雾水，所以除非真的已经入迷到心神不宁茶饭不思辗转反侧夜不能寐，否则还是把时间用在更适合高中生的事情上好了

泛函分析的兴起，希尔伯特空间和巴拿赫空间的建立，更促进了把点集当作空间来研究。数学分析研究的中心问题是极限，而收敛与连续又是极限的基本问题。为把收敛与连续的研究推广到一般集合上，需要在一般集合上描述与点或与集合“邻近”的概念。如何描述“邻近”，可以用“距离”，但“距离”与“邻近”并无必然的联系。1914年F.豪斯道夫开始考虑用“开集”来定义拓扑。对一个非空集合X，规定X的每点有一个包含此点的子集作成的子集族，满足一组开集公理（即仿照欧几里得空间邻域所具特性给出的一组性质）。该子集族中的每个集合称为这点的一个邻域 。这就给出了X的一个拓扑结构。X连同此拓扑结构称为一个拓扑空间。X的每点有邻域，故可研究一点的邻近，由此可仿照微积分的方法定义两个拓扑空间之间的连续映射的概念。若一个映射连续，且存在逆映射，逆映射也连续，则称此映射为同胚映射。具有同胚映射的两个拓扑空间称为同胚的（直观地说即两个空间相应的图形从一个可连续地形变为另一个）。要证明两个空间同胚，只要找到它们之间的同胚映射即可。在欧几里得直线上，作为子空间，两个任意的闭区间同胚；任意两开区间同胚；半开半闭的区间[c,d)与[a,b)同胚；二维球面挖去一个点S2－p与欧几里得平面K2同胚。要证明两个拓扑空间不同胚，需证明它们之间不存在同胚映射。方法是找同胚不变量或拓扑不变性（即在同胚映射下保持不变的性质）；第一个空间具有某同胚不变量，另一个空间不具有，则此二空间不同胚。一般拓扑学中常见的拓扑不变性有连通性、道路连通性、紧性、列紧性、分离性等（见拓扑空间）。在历史上F.豪斯多夫提出了分离空间；弗雷歇看出了紧性与列紧性有密切关系；帕维尔·萨穆伊洛维奇·乌雷松对紧空间进行了系统研究 ，且在拓扑空间可否变量化的问题上作出了贡献 ；1937年H.嘉当引进了“滤子”的概念，能进一步刻画一致收敛，使收敛的更本质的属性揭示了出来；维数的问题是E.嘉当在研究皮亚诺曲线（一种可填满整个正方形的“曲线”）时提出的，1912年H.庞加莱给出定义，由乌雷松等人加以改进。

拓扑空间（topological space），赋予拓扑结构的集合。如果对一个非空集合X给予适当的结构，使之能引入微积分中的极限和连续的概念，这样的结构就称为拓扑，具有拓扑结构的空间称为拓扑空间。引入拓扑结构的方法有多种，如邻域系、开集系、闭集系、闭包系、内部系等不同方法。在微积分学中，实一维欧几里得空间R′上的开集具有性质： 　　①任意个开集的并是开集 。 拓扑空间　　②有限个开集的交是开集。 　　③R′及空集是开集。对任一非空集合X，若X的一个子集族J 　　满足： 　　①J中元的任意并在J中。 　　②J中元的有限交在J中。 　　③X、空集在J中，则称J是X的一个拓扑，J中的元称为开集，X连同拓扑J称为一个拓扑空间，记为（X，J）。 　　注意到如能在X中给出度量则自然在X中给出拓扑（由度量决定的开集）。 　　于是度量空间都是拓扑空间。但不是所有拓扑空间都可定义度量，使得该度量下的开集族与原拓扑空间的开集族一致；详见度量化定理。对任意x∈X，如果Z的子集U包含含有x的一个开集则U称为x的一个邻域。如果X的子集A满足X－A是开集，则称X是闭集。 拓扑空间　　设X是非空集合，令J0＝｛X，｝，称（X，J0）为平庸拓扑空间，J0为平庸拓扑。令J1＝｛A｜AÌX｝，称（X，J1）为离散拓扑空间。在离散拓扑空间中任意子集均是开集。对实数集R1，令J＝｛BÌR1｜"x∈G，∈ε＞0，使（x－ε，x＋ε）ÌG｝，则（R1，J）就是一维欧几里得空间。类似地可定义n维欧几里得空间Rn。 　　设X是拓扑空间，如果X可写为非空开集的分离并，则X称为连通空间；如果对X中任意两点 ，存在X中的道路相连接，则称X为道路连通空间 ；如果X的任意开集作成的覆盖存在有限子覆盖 ，则称X为紧空间；如果X中的任意序列有收敛子列，则称X是列紧空间 ；如果X中任意两点都存在不相交的邻域 ，则称X是豪斯多夫空间（或T2空间）。上面所提连通性，道路连通性、紧性、列紧性、T2性均是拓扑不变性。连通空间上的实值连续函数具有介值性，即若f∶X→R1连续，X是连通空间，r∈（f（x1），f（x2），则存在c∈（x1，x2）（或c∈（x2，x1）），使f（c）＝r。紧空间上的实值连续函数具有最大值、最小值。紧空间上的连续函数一致连续。若AÌRn，则A为紧，当且仅当A是有界闭集。 拓扑空间　　称拓扑空间为Hausdorff空间，如果空间中任意两点有不交的邻域。注意有些拓扑空间不是Hausdorff空间，如定义了平凡拓扑的空间，连续函数芽集等。欧几里得空间的一种推广。给定任意一个集，在它的每一点赋予一种确定的邻近结构便成为一个拓扑空间。构造邻近结构有多种方法，常用的是指定开集的方法。给定集x,它的一个子集族J称为x上的一个拓扑结构,简称拓扑,是指J满足下列三个条件： 相关书籍　　①空集和x本身是J的元; 　　②J内任意有限多个元的交仍是J的元； 　　③J内任意多个元的并仍是J的元。 　　集x连同它上面的一个拓扑J,构成一个拓扑空间,简称空间。J的元叫x的开集,开集的补集叫闭集。任何集x上总可以赋予拓扑。例如，x的一切子集组成的族就是x上的一个拓扑, 叫离散拓扑，对应的空间叫离散空间;另一个拓扑仅由空集与x自己所组成,叫平凡拓扑。如果集x上定义了一个度量或距离函数，那么x内可以用一些开球的并表示的一切子集组成x上的一个拓扑，叫度量拓扑。一切开球组成的集族称为这个拓扑的一个基。一般地，拓扑J的一个子族B称为J的一个基，是指 J的每个元可表为B的一些元的并。这时,也说拓扑J是由B生成的。拓扑J的一个子族φ称为J的一个子基是指φ中元的所有有限交构成的集族是J的一个基。设A是拓扑空间x的任一子集。规定A的开集是x的开集与A的交，于是A自己构成一个拓扑空间,称为x的子空间。积空间　　任意两个集 A1和 A2的笛卡儿积定义为集。两个拓扑空间x1与x2的笛卡儿积x1×x2上可以引入乘积拓扑如下:其基中的元是形如 A1×A2的集, 这里 Ai是 xi的任意开集,i=1,2。这样得到的拓扑空间称为空间x1与x2的积空间。x1与x2叫因子空间。积空间可以推广到任意多个因子的情况。 任意集族{Aα}α∈I的笛卡儿积可类似地定义为集这里Aα是xα的任意开集，并且这些Aα(α∈I)中除有限多个外都等于xα。这样得到的拓扑空间称为空间族{xα}α∈I的积空间。 拓扑空间商空间　　设x 是拓扑空间，将x 划分为两两不相交的子集, 把每个子集看作一个点, 就得到一个新的集H。H的每个点可以看作是由x 的某个相应子集中的点重叠而成。规定H的子集U是开集当且仅当U的一切元的并是x的开集。这样，H便构成一个拓扑空间，叫x的商空间。例如,让x表平面上的长方形带ABCDEF,并作为数平面R2的子空间。先把带扭转180°,再把FD边与CA边粘合起来，这样得到的图形叫麦比乌斯带。这时点A与D重合，C与F、B与E也重合,等等。如果将x划分为下列两两不相交的子集：｛A,D｝,｛C,F｝,｛B,E｝,…以及所有单点集｛p｝，这里p是x的不在两条竖直边上的点。所得的商空间就是麦比乌斯带。连续映射与同胚　　设ƒ是空间x 到空间Y的映射，即对于x内每一点x,Y内有惟一一点y与它对应。这个y叫x在ƒ下的像,记为ƒ(x)；称ƒ是连续映射是指对Y的每个开集G,其逆像ƒ-1【G】={x∈x｜ƒ(x)∈G}是x的开集。如果x内任意两个不同的点有不同的像，就称ƒ是单射。如果Y内每一点必是x 内某一点的像，就称ƒ是满射。从空间x到Y的每个既单又满映射ƒ必有逆映射g,它是Y到x上的既单又满映射，这里g(y)=x当且仅当ƒ(x)=y。这时如果ƒ和g都连续，便称ƒ为同胚映射。两个拓扑空间称为同胚的,是指它们之间存在一个同胚映射。n维欧几里得空间Rn的任一开球作为子空间与Rn同胚。另一方面，1913年荷兰数学家L.E.J.布劳威尔证明了：当m不等于n时,Rm与Rn不同胚。第一与第二可数空间　　拓扑空间称为第二可数的是指它的拓扑有一个可数基。Rn是第二可数空间，因为半径与球心坐标皆为有理数的一切开球组成Rn上拓扑的可数基。设A是空间x的任一子集。x的子集W 称为子集A的邻域是指存在开集U包含A且包含在W内。点x的邻域即子集{x}的邻域。由点x的一切邻域组成的集族Ux叫点的邻域系。Ux的子族Bx称为x的邻域基或局部基是指对于Ux的每个元U，Bx中相应地有元B,使B吇U。如果空间x 的每一点都有一个可数局部基，便称为第一可数空间。第二可数空间与度量空间都是第一可数空间。 相关书籍紧空间　　拓扑空间x的子集族 U称为x 的覆盖是指x 可表为U的一切元的并。由开集组成的覆盖叫开覆盖。如果T2空间x的每个开覆盖有一个有限子族仍是x的覆盖，则x称为紧空间。n维欧几里得空间Rn中的有界闭集，即可以包含于某个球内的闭集，作为Rn的子空间是紧空间。但Rn本身不是紧空间。任意一族紧空间的积空间仍是紧空间。连续映射把紧空间映成紧空间，只要映成的空间是T2的。与一个度量空间同胚的拓扑空间叫可度量空间。1924年，苏联拓扑学家∏.C.乌雷松证明了：紧空间是可度量的当且仅当它是第二可数的。在第二可数或度量空间范围内，一个空间是紧的当且仅当它是列紧的，即是T2空间且它的每个点列有一个收敛子序列。仿紧空间　　1944年由法国数学家J.迪厄多内提出的仿紧空间是紧空间的一种重要推广。空间内的一个子集族U称为局部有限的是指空间内每一点有一个邻域与U内至多有限多个元相交。设U、V是空间x的任二开覆盖,如果U的每个元是V的某个元的子集，则称U加细V或U是V的一个加细。一个T2空间称为仿紧空间是指对于它的每个开覆盖V，存在一个局部有限的开覆盖U加细V。紧空间和度量空间都是仿紧空间。连通空间　　有一类简单的几何图形只由“一片”所组成，这就是连通空间的直观含义。拓扑空间称为连通空间是指它不能表示为两个不相交的不空开集的并。等价地，从它到由两个点组成的离散空间的每个连续函数是常值的，即每一点的像皆相同。Rn是连通空间。R1内的连通子空间恰好是区间，包括带一个或两个端点的或不带端点的，有限或无限的。每个紧连通空间称为连续统。编辑本段分离公理　　主要有下面几条。T1分离公理　　空间内任何两个不同的点都各有一个领域不含另一点。豪斯多夫分离公理　　（T2分离公理) 空间内任何两个不同的点都各有邻域互不相交。正则分离公理　　空间内每一点以及不含该点的任一闭集都各有邻域互不相交。全正则分离公理　　对于空间x 内每一点x及不含x的任一闭集B，存在连续映射ƒ∶x→【0,1】，使得ƒ(x)=0且对B内每一点y，ƒ(y)=1。正规分离公理　　空间内任何两个不相交的闭集都各有邻域互不相交。 　　满足T1分离公理的空间叫T1空间。满足T2分离公理的空间叫T2空间或豪斯多夫空间。一个T1空间如果还满足正则分离公理或全正则分离公理或正规分离公理，则分别称为正则空间，全正则空间和正规空间。各空间之间的蕴含关系可用“崊”表示如下：正规空间崊全正则空间崊正则空间崊T2空间崊T1空间。度量空间以及下述的紧空间和仿紧空间都是正规空间。

欧几里得空间的一种推广。给定任意一个集，在它的每一点赋予一种确定的邻近结构便成为一个拓扑空间。构造邻近结构有多种方法，常用的是指定开集的方法。给定集x,它的一个子集族J称为x上的一个拓扑结构,简称拓扑,是指J满足下列三个条件：①空集和x本身是J的元;②J内任意有限多个元的交仍是J的元；③J内任意多个元的并仍是J的元。集x连同它上面的一个拓扑J,构成一个拓扑空间,简称空间。J的元叫x的开集,开集的补集叫闭集。任何集x上总可以赋予拓扑。例如，x的一切子集组成的族就是x上的一个拓扑, 叫离散拓扑，对应的空间叫离散空间;另一个拓扑仅由空集与x自己所组成,叫平凡拓扑。如果集x上定义了一个度量或距离函数，那么x内可以用一些开球的并表示的一切子集组成x上的一个拓扑，叫度量拓扑。一切开球组成的集族称为这个拓扑的一个基。一般地，拓扑J的一个子族B称为J的一个基，是指 J的每个元可表为B的一些元的并。这时,也说拓扑J是由B生成的。拓扑J的一个子族φ称为J的一个子基是指φ中元的所有有限交构成的集族是J的一个基。设A是拓扑空间x的任一子集。规定A的开集是x的开集与A的交，于是A自己构成一个拓扑空间,称为x的子空间。 空间内任何两个不相交的闭集都各有邻域互不相交。满足T1分离公理的空间叫T1空间。满足T2分离公理的空间叫T2空间或豪斯多夫空间。一个T1空间如果还满足正则分离公理或全正则分离公理或正规分离公理，则分别称为正则空间，全正则空间和正规空间。各空间之间的蕴含关系可用“崊”表示如下：正规空间崊全正则空间崊正则空间崊T2空间崊T1空间。度量空间以及下述的紧空间和仿紧空间都是正规空间。

聚点是拓扑空间的基本概念之一。设A为拓扑空间X的子集，a∈X，若a的任意邻域都含有异于a的A中的点，则称a是A的聚点。集合A的所有聚点的集合称为A的导集，聚点和导集等概念是康托尔(Cantor,G.(F.P.))研究欧几里得空间的子集时首先提出的。聚点存在定理a是X的聚点的充要条件是：存在X中的各项不同的数列，使得事实上，只要证明在且的数列中，可以选出各项不同的子数列就可。因为且，这说明该数列不可能只有有限多个不同项组成(否则必有一项的值在中无穷次出现，这样就收敛到该值，而它又不等于a，从而得出矛盾)，取这些不同项，按原来的顺序排列后所得数列就是定理所要求的数列。例 给出以[0，1]上所有实数为聚点的数列。 解利用(0，1)上的有理数集的聚点就是[0，1]这个事实，来构造数列如下：当然上述数列的项有相同的，如果舍去和前面相同的项的话，就得到一个各项不同的数列，它以[0，1]上实数为聚点，而各项又都是有理数。

对任意x∈X，如果Z的子集U包含含有x的一个开集则U称为x的一个邻域。如果X的子集A满足X－A是开集，则称X是闭集。设X是非空集合，令J0={X，}，称（X，J0）为平庸拓扑空间，J0为平庸拓扑。令J1={A|A&Igrave;X}，称（X，J1）为离散拓扑空间。在离散拓扑空间中任意子集均是开集。对实数集R1，令J={B&Igrave;R1|"x∈G，∈ε>0，使（x－ε，x+ε）&Igrave;G}，则（R1，J）就是一维欧几里得空间。类似地可定义n维欧几里得空间Rn。设X是拓扑空间，如果X可写为非空开集的分离并，则X称为连通空间；如果对X中任意两点 ，存在X中的道路相连接，则称X为道路连通空间 ；如果X的任意开集作成的覆盖存在有限子覆盖 ，则称X为紧空间；如果X中的任意序列有收敛子列，则称X是列紧空间 ；如果X中任意两点都存在不相交的邻域 ，则称X是豪斯多夫空间（或T2空间）。上面所提连通性，道路连通性、紧性、列紧性、T2性均是拓扑不变性。连通空间上的实值连续函数具有介值性，即若f∶X→R1连续，X是连通空间，r∈（f（x1），f（x2），则存在c∈（x1，x2）（或c∈（x2，x1）），使f（c）=r。紧空间上的实值连续函数具有最大值、最小值。紧空间上的连续函数一致连续。若A&Igrave;Rn，则A为紧，当且仅当A是有界闭集。称拓扑空间为Hausdorff空间，如果空间中任意两点有不交的邻域。注意有些拓扑空间不是Hausdorff空间，如定义了平凡拓扑的空间，连续函数芽集等。

无限维赋范线性空间上的弱拓扑不可度量。Haim的泛函分析上的原话In infinite-dimensional spaces the weak topology is never metrizable

拓扑空间（topological space），赋予拓扑结构的集合。如果对一个非空集合X欧几里得空间的一种推广。给定任意一个集，在它的每一点赋予一种确定的邻近。设X是一个非空集合，是X的一个子集族，如果满足:(1)空集与X属于zhuan，即:Φ∈τ，X∈τ;(2)τ中任shu意两个子集的交属于τ，即:?U∈τ，V∈τ，U∩V∈τ;(3)X的任意多个开集之并仍是X的开集，则是X的拓扑，{X，τ}为拓扑空间。设{X，τ}为给定拓扑空间，如果x∈X，N(x)是τ中的一个开子集，且x∈N(x)，则N(x)是x∈X的邻域。扩展资料：组成集合的各个对象，叫做集合的元素。(1) 列举法：把集合中的元素一一列举出来．写在{ }里面。例1 6的正约数的集合A．可表示为：A={1，2，3，6}(2) 描述法：把集合中的元素的共同特征描述出来，写在{ }里面。例2 全体奇数的集合C，可表示为：C={x|x=2n+1，n是整数}。参考资料来源：百度百科-非空集合

平庸拓扑空间一定是连通空间。庸空间是拓扑空间中的一个特例，其中有且仅有两个元素，空集和其本身。设X是一个非空集合，令τ={X，Φ}，可以验证，τ是X的一个拓扑，称之为X的平庸拓扑；并且成拓扑空间（X，τ）为一个平庸空间。

空间拓扑关系描述的是基本的空间目标点、线、面之间的邻接、关联和包含关系。GIS传统的基于矢量数据结构的结点-弧段-多边形，用于描述地理实体之间的连通性、邻接性和区域性。这种拓扑关系难以直接描述空间上虽相邻但并不相连的离散地物之间的空间关系。

空间拓扑关系描述的是基本的空间目标点、线、面之间的邻接、关联和包含关系。GIS传统的基于矢量数据结构的结点-弧段-多边形，用于描述地理实体之间的连通性、邻接性和区域性。这种拓扑关系难以直接描述空间上虽相邻但并不相连的离散地物之间的空间关系。

你这个问题要回答的话是很复杂的. 首先我们需要回顾一下拓扑学序列的定义 （因为度量空间的序列定义还不够一般） 设X是一个拓扑空间,每一个s: Z+(正整数集) 到 x的映射 叫做 X的序列 记做{x1,x2,x3 ...} 设{x1,x2,x3...}是X空间的一个序列 , 而a 属于 X集合 ,如果对于a的每一个邻域U, 存在M 属于 Z+ 使得当所有 i > M 有 xi 属于 U ,就叫a是序列的极限点, 如果序列至少有一个一个极限点,我们称这个序列收敛. 子序列你应该能够自己定义出来 ,（我就不打了） 这样我们来解答问题吧 还记得R（实直线）上的余有限拓扑 这是一个很好 又很简单 的例子 余有限拓扑定义的闭集只有 空集 R 和 有限个点的集合 这样我们看到在 这个拓扑下 所有R的子集都是 紧集 这一点很明显 希望你自己证明 这样{1 / n} (n 属于 Z+) 这个集合自然是紧集 仔细看上面的定义 在这个拓扑下 R上所有的点都是这个序列的极限点 但是它们很多都不属于这个序列本身 自然这个序列构成集是紧集而不是自列紧集. 至于自列紧集不是紧集 较直接的方法是构造一个满足第一可数的 T1 空间 而且不是lindelof的拓扑空间 （不过一般举例是会出现 不可数序数 的 汗 我想了下没找到简单的例子） 这种空间自身是子列紧的 但他连lindelof空间都不是 自然也不是紧空间 综上所述 这两个概念在一般的空间中是互不包含,一般都会加上好的 分离性公理 或者 可数性公理逼其就范.比如 加上A2公理 T1公理 总之 点集拓扑学有很多反例的 如果还有什么 我们一起讨论交流一下

设X到Y的嵌入映射是f,意思就是f是连续的单射,而且对X的任何开子集U,都存在Y的开子集V,使得f(U)等于f(X)交V.这里V可以随U而变. 只要证明f（限制到A上）也是从A到Y的嵌入映射就行了.它自然也是连续的单射.对于A的任何开子集W,它都可以写成U交A,其中U是X的某个开子集.那么因为f在X上是单射,所以f(W)就是f(U)交f(A)（假如f不是单射,那f(W)可能比f(U)交f(A)要小）,而f(U)是f(X)交上Y的某个开子集V,所以f(W)就是f(A)交f(X)再交上Y,也就是f(A)交Y.这里U随W而变,V又随U而变.

不一定是闭集。反例：X={a,b}T={空集， X}A={a}则 A"={b} 不是闭集。

指的是这样一类拓扑空间，空间中任意两点都可以用两个开集来分离，即存在不交的且分别包含这两点的开集，，，比如度量空间就是T2空间

度量空间是一种特殊的拓扑空间，其上拓扑基定义为开球。不是任何拓扑空间都是可以赋予度量的，要加一定的条件。

同时，你要清楚X是基集这个前提，集合、集合中元素这些概念应该清楚

答：我没学过拓扑学，但是我觉得可以这样理解：例如2 3 5 7 11 对于自然数来说，它们只是星星点点的离散型数字，而2*3*5*7*11=4410也只是星星点点的离散型数字；

所有点。有限补拓扑为令X-U或者为有限集或者为X的X的子集的族。依据所要证明的问题，我们考虑将开集分为两类。一类其补集包含序列Xn的点，另一类不包含。对于二类，显然满足序列收敛的定义。对于一类，由于其补集为有限集，故至多包含序列的有限个点。不妨设在这有限个点中下标最大为N（由于整数集是良序集），则n>=N+1时，Xn属于该开集。hens，对于任意x属于R，序列Xn=1/n收敛到x

平凡拓扑空间的基本群是空集合，即所有成员都为空的集合。可以这样证明：由于平凡拓扑空间中任何两个点都可以通过一条逆时针或顺时针的曲线连接起来，所以平凡拓扑空间中任何子集都是开的，即可以找到一个属于子集的点周围的点不属于子集。因此，平凡拓扑空间的基本群就是空集合。

1.设∪{γ∈Γ}Aγ的导集B,C=X-B.任意x∈C,有开集x∈V使,[∪{γ∈Γ}Aγ]∩V=Φ或{x}.2.若[∪{γ∈Γ}Aγ]∩V=Φ,则V∩B=Φ3.若[∪{γ∈Γ}Aγ]∩V={x},设Γ(x)={γ∈Γ,x∈Aγ}则设Aγ的导集Dγ,Eγ=X-Dγ.ⅰ.显然任意γ∈Γ,x不在Dγ中ⅱ.显然任意γ不在Γ(x)的元素,Dγ∩V=Φ,ⅲ.显然任意γ1,γ2∈Γ(x),Dγ1∩V=Dγ2∩V,即或同时Dγ∩V=Φ,或同时Dγ∩V≠Φ,==>B∩V=Dγ∩V,γ为任意1个Γ(x)的元素==>Eγ∩V为包含x的开集,且[Eγ∩V]∩B=Φ由2.3得:任意x∈C,有包含x的开集为C的子集,所以C为开集,则B闭集.

空间拓扑关系描述的是基本的空间目标点、线、面之间的邻接、关联和包含关系。GIS传统的基于矢量数据结构的结点-弧段-多边形，用于描述地理实体之间的连通性、邻接性和区域性。这种拓扑关系难以直接描述空间上虽相邻但并不相连的离散地物之间的空间关系。

拓扑空间的开集是不定义的概念,犹如平面几何的点、直线是不定义的概念.因此有所谓“平庸的拓扑”,“离散的拓扑”. 初学者感到抽象,不妨借助于数学分析的开集——为模型,犹如把光线当作直线的模型. 数学分析的开集：集合中的每一个点都是内点,即它的充分小的邻域仍包含于这个集合. 仅供参考.

对。有限点集的导集是空集，因为没有极限点。就是说导集是空集，包含于有限点集。

你这个问题要回答的话是很复杂的。首先我们需要回顾一下拓扑学序列的定义 （因为度量空间的序列定义还不够一般）设X是一个拓扑空间，每一个s: Z+(正整数集) 到 x的映射 叫做 X的序列 记做{x1,x2,x3 ...}设{x1,x2,x3...}是X空间的一个序列 ， 而a 属于 X集合 ，如果对于a的每一个邻域U， 存在M 属于 Z+ 使得当所有 i > M 有 xi 属于 U ，就叫a是序列的极限点， 如果序列至少有一个一个极限点，我们称这个序列收敛。子序列你应该能够自己定义出来 ，（我就不打了）这样我们来解答问题吧 还记得R（实直线）上的余有限拓扑 这是一个很好 又很简单 的例子余有限拓扑定义的闭集只有 空集 R 和 有限个点的集合 这样我们看到在 这个拓扑下 所有R的子集都是 紧集 这一点很明显 希望你自己证明 这样{1 / n} (n 属于 Z+) 这个集合自然是紧集 仔细看上面的定义 在这个拓扑下 R上所有的点都是这个序列的极限点 但是它们很多都不属于这个序列本身 自然这个序列构成集是紧集而不是自列紧集。 至于自列紧集不是紧集 较直接的方法是构造一个满足第一可数的 T1 空间 而且不是lindelof的拓扑空间 （不过一般举例是会出现 不可数序数 的 汗 我想了下没找到简单的例子） 这种空间自身是子列紧的 但他连lindelof空间都不是 自然也不是紧空间 综上所述 这两个概念在一般的空间中是互不包含，一般都会加上好的 分离性公理 或者 可数性公理逼其就范。比如 加上A2公理 T1公理 总之 点集拓扑学有很多反例的 如果还有什么 我们一起讨论交流一下

根据拓扑的开集公理 1,空集 2,空集,X 3,空集,{a} 4,空集,{b} 5,空集,{c} 6,空集,{a},{b},{a,b} 7,空集,{a},{c},{a,c} 8,空集,{c},{b},{c,b} 9,空集,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}

设X到Y的嵌入映射是f，意思就是f是连续的单射，而且对X的任何开子集U，都存在Y的开子集V，使得f(U)等于f(X)交V。这里V可以随U而变。只要证明f（限制到A上）也是从A到Y的嵌入映射就行了。它自然也是连续的单射。对于A的任何开子集W，它都可以写成U交A，其中U是X的某个开子集。那么因为f在X上是单射，所以f(W)就是f(U)交f(A)（假如f不是单射，那f(W)可能比f(U)交f(A)要小），而f(U)是f(X)交上Y的某个开子集V，所以f(W)就是f(A)交f(X)再交上Y，也就是f(A)交Y。这里U随W而变，V又随U而变。

离散空间(平庸空间)的任何一个商空间都是离散空间(平庸空间)紧性是拓扑学中的重要内容之一,一个紧的拓扑空间具有很好的性质.对于不具有紧性的拓扑空间,可对其实行紧化,使其作为紧空间的一个稠密子空间.而在众多的紧化方式中,单点紧化是最容易操作,最容易理解的紧化方式之一,而且在拓扑同胚意义下是极小紧化。

所有单点集是闭集的拓扑空间不一定是Hausdorff空间所有单点集是闭集的拓扑空间只能证明最多是T1空间比如考虑自然数集N上的余有限拓扑，则N中所有单点集都是闭集但N却不是Hausdorff空间，因为N中任意两个开集必相交

拓扑空间的开集是不定义的概念，犹如平面几何的点、直线是不定义的概念。因此有所谓“平庸的拓扑”，“离散的拓扑”.初学者感到抽象，不妨借助于数学分析的开集——为模型，犹如把光线当作直线的模型。数学分析的开集：集合中的每一个点都是内点，即它的充分小的邻域仍包含于这个集合.仅供参考。

嗯，当且仅当一个例子的这样子。

只需证明 Y的可列个稠密开集就交集仍是稠密的. 设 U1,U2,.,Un ,...是子空间Y的一列稠密开集. 因为Y是X的开子集.所以 Un,n=1,2,...是X中的开子集.设 A=X - （Y的闭包）,则A为开集. 设 Vn=Un 并A,n=1,2,.Vn 显然是X 的开集. 任给n>0,Vn为X 的稠密开集. 证明：任给X 的开集U, 1.如果U交Y=空集.则U属于A ==》 U交Vn非空. 2.如果U交Y非空,因为Vn 在Y中稠密,而U交Y为Y中非空开集,所以 (U交Y)交Vn非空,即U交Vn非空. 所以 Vn为X 的稠密开集. 于是 根据拓扑空间X是Baire空间,Vn对所有 n=1,2,...的交是X中的稠密集.任给Y中开子集U0, U0 是X的开集,于是 （Vn对所有 n=1,2,...的交）交U0 非空,因 A交U0=空集,所以 （Un对所有 n=1,2,...的交）交U0 非空 所以结论成立.

2.2.2.1 拓扑空间设X是一个非空集合，是X的一个子集族，如果满足:(1)空集与X属于，即:Φ∈τ，X∈τ;(2)τ中任意两个子集的交属于τ，即:U∈τ，V∈τ，U∩V∈τ;(3)X的任意多个开集之并仍是X的开集，则是X的拓扑，{X，τ}为拓扑空间。2.2.2.2 邻域设{X，τ}为给定拓扑空间，如果x∈X，N(x)是τ中的一个开子集，且x∈N(x)，则N(x)是x∈X的邻域。

支持一下楼上的，比如Q在R中的导集就是整个R

有很多性质，比如拓扑空间的连通性，紧致性，仿紧性，分离性等。

楼上的是正确的，存在开邻域的那里是管状引理(tube lemma) 是紧致性的运用

空间拓扑结构是指两个空间目标在拓扑变换下保持不变的空间关系，比如相邻、相交、相接等关系。

拓扑结构，是在计算机网络中引用拓扑学中研究与大小、形状无关的点、线关系的方法，把网络中的计算机和通信设备抽象为一个点，把传输介质抽象为一条线，由点和线组成的几何图形就是计算机网络的拓扑结构。

　　拓扑空间和线性空间的区别：拓扑空间是一个点的集合；线性空间是向量的集合。　　拓扑空间的定义仅依赖于集合论，是带有连续，连通，收敛等概念的最基本的数学空间。其定义为：　　设X是一个集合，O是一些X的子集构成的族，则(X，O)被称为一个拓扑空间，如果下面的性质成立：　　1. 空集和X属于O，　　2.O中任意多个元素的并仍属于O，　　3.O中有限个元素的交仍属于O。　　这时，X中的元素成为点（point），O中的元素成为开集（open set），则称O是X上的一个拓扑。　　线性空间又称向量空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间。

设 是一个集合， 是一些 的子集构成的族，则( ， )被称为一个拓扑空间，如果下面的性质成立：1. 空集和属于 ，2. 中任意多个元素的并仍属于 ，3. 中有限个元素的交仍属于 。这时， 中的元素成为点（point）， 中的元素成为开集（open set）。我们也称 是 上的一个拓扑。

聚点是拓扑空间的基本概念之一。设A为拓扑空间X的子集，a∈X，若a的任意邻域都含有异于a的A中的点，则称a是A的聚点。集合A的所有聚点的集合称为A的导集，聚点和导集等概念是康托尔(Cantor,G.(F.P.))研究欧几里得空间的子集时首先提出的。聚点存在定理a是X的聚点的充要条件是：存在X中的各项不同的数列，使得事实上，只要证明在且的数列中，可以选出各项不同的子数列就可。因为且，这说明该数列不可能只有有限多个不同项组成(否则必有一项的值在中无穷次出现，这样就收敛到该值，而它又不等于a，从而得出矛盾)，取这些不同项，按原来的顺序排列后所得数列就是定理所要求的数列。例 给出以[0，1]上所有实数为聚点的数列。 解利用(0，1)上的有理数集的聚点就是[0，1]这个事实，来构造数列如下：当然上述数列的项有相同的，如果舍去和前面相同的项的话，就得到一个各项不同的数列，它以[0，1]上实数为聚点，而各项又都是有理数。

有。维数为零的拓扑空间：按覆盖维数的概念，一个拓扑空间是零维空间，若空间的任何开覆盖，都有一个加细，使得空间内每一点，都在这个加细的恰好一个，因此是有的。拓扑空间是一种数学结构，可以在上头形式化地定义出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。

设X是一个非空集合。X的一个子集族τ称为X的一个拓扑，如果它满足：（1）X和空集{}都属于τ；（2）τ中任意多个成员的并集仍在τ中；（3）τ中有限多个成员的交集仍在τ中。则称集合X连同它的拓扑τ为一个拓扑空间，记作（X,τ）

度量空间是拓扑空间的一种特例。

1、拓扑学是一门重要的数学基础学科，它和代数学一起构成数学的两大支柱。如果说代数学研究的是离散运算的一般理论，那么拓扑学则是研究连续映射的一般理论。 和其他数学分支相比，拓扑学是一门年轻的学科，它在20世纪初才从十九世纪的若干发展结晶成几何的一个分支。拓扑学所研究的是几何图形的那些经过任意变形后，保持不变的性质。这些变形可以是压缩、拉伸或任意的弯曲等等，但是，在变形过程中不允许产生新点，也不允许两点粘合在一起。这就是说，图形相邻近的点，变形后仍然是相邻近的，这种性质称为连续性；此外，图形和变形的点之间存在一个一一对应。因此，要求这个变形是连续的，并且逆变换也是连续的，这种变换称为拓扑等价或同胚。拓扑学有一个形象的外号--橡皮几何学，因为如果图形是用橡皮做成的，就能把许多图形变成同胚的图形。 拓扑学有很多不同的起源，这就使它分立成几个分支，主要是点集拓扑和代数拓扑 点集拓扑，又称一般拓扑，是在Cantor 集合论的强烈影响下形成的，它肇使于Frechet 1906年关于一般度量空间理论的论文和Hausdorff 1912年“集论基础”一书的出现。Hilbert 空间，Banach空间的引进，泛函分析的兴起，展现了把抽象点集引进适当结构而作为空间来研究的重要性。拓扑空间是这样的集合，它上面赋于某种结构，利用这种结构，我们可以谈点或子集之间的邻近性，从而可以谈映射的连续性。 在古典分析以泛函分析中，序列的极限居重要地位，因而使得分析中起作用的那些性质都是拓扑性质。泛函分析中的算子就是从一个空间到另一个空间的映射。因此，拓扑学自然地成为研究泛函分析的工具。 代数拓扑的起源和点集拓扑的起源是不同的，它的历史可以追溯到更为久远，在关于多面体的Euler 定理中已见代数拓扑的端倪。Euler 对于这个定理感兴趣是因为要用它来作多面体的分类。但他没有注意到连续变换下的不变性。 曲面的分类和Riemann的复变函数论方面的工作是推动拓扑学。他引进了基本群和同调群。促使他研究拓扑学是一些经典的几何问题和积分理论。 拓扑学的方法和许多概念已经渗透到数学的几乎所有领域，并在诸如物理学、化学和生物学等学科中得到了应用，今后这些应用定会更加广泛。 《拓扑学》（原书第2版)/华章数学译丛作者:(美)芒克里斯 译者:熊金城 吕杰 谭枫2、欧氏空间，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。 这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。 欧氏空间是一个的特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。内积空间是对欧氏空间的一般化。内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。 欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。微分几何把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的性质。拓朴学是现代数学的一个重要分支，主要是研究奇异形变的规律。通俗点说，拓朴是橡皮上的数学：在一个弹性较好地橡皮上画上较为规矩的图形（比如长方条格）后，用手任意扭曲它，画在它上面的图形将会发生各种奇异的变化，你会发现你从来没有看到过的美妙图形；或者你用手随意捏弄一个气不太足的气球，使之此鼓彼突，你会看到印在它上面的图案会发生不可思议的各种变化。而拓朴学正是用来研究这种图形变化妙处之所在的规律的

拓扑空间（topological space），赋予拓扑结构的集合。如果对一个非空集合X欧几里得空间的一种推广。给定任意一个集，在它的每一点赋予一种确定的邻近

拓扑空间（topological space），赋予拓扑结构的集合。如果对一个非空集合X给予适当的结构，使之能引入微积分中的极限和连续的概念，这样的结构就称为拓扑，具有拓扑结构的空间称为拓扑空间。引入拓扑结构的方法有多种，如邻域系、开集系、闭集系、闭包系、内部系等不同方法。

拓扑空间的开集要满足定义条件，你看看书

度量空间具有许多良好性质，例如，它满足第一可数公理，它是豪斯多夫空间，正规空间，还是仿紧空间。此外对度量空间而言，紧致性等价于下列三条中的任一条：①任何可数开覆盖都有有限子覆盖；②每一无限子集都在空间中有聚点：③每一点列都有收敛子列。一个拓扑空间的拓扑结构在什么条件下能作为一个度量空间的拓扑？这是点集拓扑理论中的一个重要问题，称作度量化问题。对于度量化问题的两个最主要的结果一个是Urysohn度量化定理，即每一个第二可数的正规Hausdorff空间可度量化（通常会在点集拓扑的课程中介绍），另一个则是Bing-Nagata-Smirnov度量化定理，即一个拓扑空间可度量化当且仅当它是正则Hausdorff空间并且具有一个可数的局部有限基。

简单点，拓扑学中的内点就是与中心点和重心点差不多的点。

按照导电性质的不同，材料可分为“导体”和“绝缘体”两大类；而更进一步，根据电子态的拓扑性质的不同，“绝缘体”和“导体”还可以进行更细致的划分。拓扑超导体就是根据这样的新标准而划分的区别于其他超导体的一超导体。拓扑超导态是物质的一种新状态，有别于传统的超导体，拓扑超导体的表面存在厚度约1纳米的受拓扑保护的无能隙的金属态，内部则是超导体。如果把一个拓扑超导体一分为二，新的表面又自然出现一层厚度约1纳米的受拓扑保护的金属态。这种奇特的拓扑性质使得拓扑超导体被认为是永远不会出错的量子计算机的理想材料。拓扑超导态是物质的一种新状态，有别于传统的 超导体，拓扑超导体的表面存在厚度约1纳米的受拓扑保护的无能隙的金属态，内部则是超导体。如果把一个拓扑超导体一分为二，新的表面又自然出现一层厚度约1纳米的受拓扑保护的金属态。这种奇特的拓扑性质使得拓扑超导体被认为是永远不会出错的量子计算机的理想材料。

1,4,2,3！！！！

就此题来说，答案应该是一般。另外给出另一方面的分析，希望能对此题有所帮助。题目：若一个有向图具有有序的拓扑排序序列，那么它的邻接矩阵必定为？（比原题加了个有序的）答案是三角。（这个三角不是特殊矩阵压缩存储时的三角矩阵，而是线性代数中的三角矩阵）可以证明，对于有向图中顶点适当地编号，使其邻接矩阵为三角矩阵且主对角元全为零的充分必要条件是该有向图可以进行拓扑排序。

根据集合E,顶点1发出两个弧指向2、4,顶点2发出弧指向3,顶点4发出两个弧指向2、3. 拓扑序列选择无前驱顶点输出,输出后删除该顶点及其发出的弧,直到无顶点可输出时停止. 故其一种拓扑序列为：1,4,2,3