复数

（1)一般情况下加s（2）以xshch结尾加es（3）以o结尾有生命加es无生命加s（4）以ffe结尾ffe变v+es(5）以辅音加y结尾y变i+es(6)单复同行如fishsheep（7)不规则变化如manmenfootfeettoothteeth

名词单数变复数变化规则： 1、一般名词复数是在名词后面加上“s”，如map→maps， bag→bags，book-books等； 2、以s，x， sh， ch结尾的词加“es”，如bus→buses， watch→watches, box-boxes等； 3、以f或fe结尾的名词变复数时,去掉f， fe 加ves的名词有： half→halves knife→knives leaf→leaves wolf→wolves wife→wives life→lives thief→thieves 4、以o 结尾的名词变复数时： a）加s的名词有（无生命）：photo→photos ，piano→pianos， radio→radios b）加es的名词有（有生命）： potato→potatoes tomato→tomatoes 5、以辅音字母＋y结尾的词，变y为i加es，如baby→babies, family-families, study-studies等； 以元音字母＋ y结尾的名词变复数时，直接加s变复数，如monkey→monkeys， holiday→holidays， storey→storeys（楼层）； 6、 oo变ee的单词：foot-feet, goose-geese,tooth-teeth； 7、 a变e的单词： man-men, woman-women, policeman-policemen; 8、 复数与原形一致的单词：fish-fish, sheep-sheep, deer-deer, Chinese-Chinese, Japanese-Japanese; 9、最特殊的一个：German-Germans.

1、不规则复数，如：child→children，man→men，woman→women，foot→feet，tooth→teeth，mouse→mice，goose→geese。

谓语is的主语是agreatdealofpractice很多的实践及learnedalot学了很多的（知识或经验）都是不可数的，所以用is.这里的seldom是说这些东西（实践和经验）很少能在书本上学得到的，不影响谓语Is的用法。

规则一：一般情况下，名词词尾直接加-s.例如：pen－pens(钢笔); tool－tools(工具)book－books(书); table－tables(桌子)room－rooms(房间); pig－pigs(猪)car－cars(小车); train－trains(火车)规则二：以-s,-x,-ch,-sh结尾的名词，一般加-es。例如：fox－foxes(狐狸); box－boxes(箱子)bus－buses(公交车); class－classes(班级)watch－watches(手表); peach－peaches(桃子)brush－brushes(刷子); eyelash－eyelashes(睫毛)规则三：“辅音字母+y”结尾的名词，变y为i,再加-es。“元音字母+y”结尾的名词，词尾直接加-s。例如：duty－duties(责任); country－countries(国家)city－cities(城市); story－stories(故事)boy－boys(男孩); toy－toys(玩具)day－days(白天); key－keys(钥匙)规则四：“辅音字母+o”结尾的名词，有生命+es;“辅音字母+o”结尾的名词，无生命+s;“元音字母+o”结尾的名词，一般+s。例如：tomato－tomatoes(西红柿)potato－potatoes(土豆); hero－heroes(英雄)photo—photos(照片); piano－pianos(钢琴)zoo－zoos(动物园); radio－radios(收音机)规则五：以-f或-fe结尾的名词，一般变-f或-fe为v，再加-es。例如：leaf－leaves(树叶); wife－wives(妻子)wolf－wolves(狼); knife－knives(小刀)life－lives(生命); shelf－shelves(架子)规则六：不规则变化记心中。1、单复同形例如：deer－deer(鹿); Chinese－Chinese(中国人)Japanese－Japanese(日本人); Swiss－Swiss(瑞士人)2、双o变双e例如：goose－geese(鹅); tooth－teeth(牙齿)foot－feet(脚)3、a变e例如：man－men(男人); woman－women(女人)policeman－policemen(男警察)4、fish(鱼)表种类，复数形式为fishes;fish(鱼)表条数，单复同形。5、其它不规则单词例如：mouse－mice(老鼠); ox－oxen(公牛);child－children(孩子)，roof－roofs(房顶);stomach－stomachs(胃)等等。6、有两种复数形式单词例如：scarf－scarfs/scarves(围巾);zero－zeros/zeroes(零)等。

可数名词的复数变化规律[1]：　　名词复数有规律，一般词尾加s;　　辅音字母+y型，变y为i,es;　　ch,sh真有趣，s,x,es;　　f,fe真小气，字母v来把它替，es在后别忘记；　　字母o来真神奇，有生命来es,没有生命+s

名词单数变复数变化规则： 1、一般名词复数是在名词后面加上“s”，如map→maps， bag→bags，book-books等； 2、以s，x， sh， ch结尾的词加“es”，如bus→buses， watch→watches, box-boxes等； 3、以f或fe结尾的名词变复数时,去掉f， fe 加ves的名词有： half→halves knife→knives leaf→leaves wolf→wolves wife→wives life→lives thief→thieves 4、以o 结尾的名词变复数时： a）加s的名词有（无生命）：photo→photos ，piano→pianos， radio→radios b）加es的名词有（有生命）： potato→potatoes tomato→tomatoes 5、以辅音字母＋y结尾的词，变y为i加es，如baby→babies, family-families, study-studies等； 以元音字母＋ y结尾的名词变复数时，直接加s变复数，如monkey→monkeys， holiday→holidays， storey→storeys（楼层）； 6、 oo变ee的单词：foot-feet, goose-geese,tooth-teeth； 7、 a变e的单词： man-men, woman-women, policeman-policemen; 8、 复数与原形一致的单词：fish-fish, sheep-sheep, deer-deer, Chinese-Chinese, Japanese-Japanese; 9、最特殊的一个：German-Germans.

一般名词后面加"s"，以s，sh，ch，x结尾加"es”以辅音字母＋y结尾，变y为i加"es"以o结尾:加"s"：photo;加"es"：potatoes以f或fe结尾：加"s"：roof→roofs;去f，fe加"ves"：half→halves

可数名词单数变复数的规则：直接在名词末尾加s。如：desk-desks以s,x,sh,ch结尾的加es，如：box-boxes,brush-brushes,match-matches等。 规则变化 1.直接在名词末尾加s。如：desk-desks 2.以s,x,sh,ch结尾的加es，如：box-boxes,brush-brushes,match-matches 3.以y结尾，前为辅音字母，要变y为i+es。如：baby-babies。但前为元音字母时，直接加s，如：boy-boys 4.以o结尾的名词，有些加词尾-s，有些加-es，有些加-s或-es均可。如：piano / pianos 钢琴 tomato / tomatoes 西红柿 5.以f或fe结尾的名词，也有两种可能：即有些直接加词尾-s，有些则把f/fe改为ves：chief/chiefs首领 roof/roofs屋顶 不规则变化 man/men男人 woman/women女人 child/children小孩 tooth/teeth牙齿 foot/feet脚 goose/geese鹅 mouse/mice老鼠 ox/oxen公牛 常见单数与复数同形的名词 sheep 绵羊 fish 鱼 deer 鹿 Chinese 中国人 Japanese 日本人 Portuguese 葡萄牙人 Swiss 瑞士人 aircraft 飞行器 means 方法 series 系列 head (牛等的)头数 works 工厂 可数名词单数变复数规则表

直接加s，辅音字母结尾加y，变y为is

一. 名词单数变复数的规则变化1. 一般在名词词尾加"-s"map—maps地图bird—birds鸟orange—oranges 桔子bike—bikes自行车2. 以s, x, ch, sh结尾的名词加"-es"box—boxes盒子class—classes班级watch—watches手表dish-dishes盘，碟子，餐具3. 以o结尾的无生命的名词后面加"-s"photo—photos相片radio—radios收音机zoo—zoos动物园以o结尾的有生命的名词后面加"-es"tomato—tomatoes西红柿potato—potatoes土豆hero—heroes英雄negro—negroes黑人4. 以辅音字母加y结尾的名词，变y为i加"-es "baby—babies婴儿family—families家庭以元音字母加y结尾的名词直接加"-s"boy—boys男孩toy—toys 玩具5. 以fe或f结尾的名词，把fe或f变为v加"-es"knife—knives小刀wife—wives妻子leaf—leaves树叶二. 名词单数变复数的不规则变化1. child—childrenfoot—feettooth—teethmouse—miceman—menwoman—women

名词单数变复数，直接加-s占多数；s,x,z,ch,sh来结尾，直接加上-es；词尾是f或fe，加-s之前先变ve；辅母+y在词尾，把y变i再加-es；词尾字母若是o，常用三个已足够，要加-es请记好，hero,tomato,potato。 复数规则变化的几点说明 (1)以ch结尾的名词变复数时加词尾-es，指的是ch读音为[tF]时；若ch的读音为[k]，则其复数应加词尾-s，如stomach[tstQmEk]是stomachs，而不是stomaches。 (2)以y结尾的专有名词，直接加词尾s变复数。如： TherearetwoMarysinourclass.我们班在两个玛丽。 (3)以o结尾的名词，有些加词尾-s，有些加-es，但在中学英语范围内，以o结尾的名词变复数加词尾-es的主要有以下4个：tomato(西红柿)，potato(土豆)，hero(英雄)，Negro(黑人)。 注：有些以o结尾的名词在变复数时加-s或-es均可，如zero/zero(e)s(零)等。 (4)以f或fe结尾的名词，也有两种可能：即有些直接加词尾-s，有些则把f/fe改为ves：roof/roofs(屋顶)，knife/knives(小刀)等。但在中学英语范围内，要改f/fe为ves的只有以下10个词(它们都是日常生活中的常用词)：wife(妻子)，life(生命)，knife(小刀)，leaf(树叶)，thief(贼)，half(一半)，self(自己)，shelf(架子)，loaf(面包)，wolf(狼)。 注：中学英语中的handkerchief(手帕)在变复数时有两种形式：handkerchiefs/handkerchieves，但在现代英语中，以用handkerchiefs为多见。

一、绝大多数名词单数变复数，直接在词尾加“s”。例如：“apple----apples”，“friend-----friends”等名词。二、以x、s、sh、ch结尾的，词尾加“es"。例如：“bus-----buses”、“box----- boxes”、“flash----- flashes”“match-----matches”等。三、以f或fe结尾的名词变成复数时，去掉f、fe，在词尾加ves。例如：“leaf-----leaves”、“thief-----thieves”、“wife-----wives”、“knife-----knives“。四、以o结尾的名词，分两种情况：1、直接加“s”（无生命），例如：“photo-----photos”、“radio----- radios”等。2、在词尾加“es”（有生命），例如：“英雄-----英雄们”、“potato-----potatoes”、“tomato-----tomatoes”。可以记一个口诀：英雄爱吃两道菜，土豆and西红柿。五、以辅音字母加“y”结尾的名词，变“y”为“i”加“es”。例如：“study-----studies”、“baby-----babies”等。六、以元音字母加“y”结尾的名词，直接在词尾加“s”。例如：“monkey----- monkeys”等。

名词变复数的发音规则：以元音音素结尾的加了“s”后发/z/音如：windows doors computers centers。以清辅音结尾的加了“S"后发/s/音 如： chicks maps cups 。以字母t结尾的发/ts/音 如：mats cats aunts 。以字母d结尾的发/dz/音 如： birds words hands 。其他辅音音素结尾的都发/z/音。 特殊变化的词根据变化后结尾音变化同上如：butterfly-butterflies变化后结尾音/ai/为元音，所以发/z/音。不规则变化man/men男人 woman/women女人child/children小孩 tooth/teeth牙齿foot/feet脚 goose/geese鹅mouse/mice老鼠 ox/oxen公牛

可数名词变复数规则共有五种，分为五种不同的情况。1、一般情况下，名词后面直接加s。如：desk-desks。2、以ch/sh/s/x结尾的名词，后面加es。如：box-boxes，brush-brushes，match-matches。3、以辅音字母+y结尾的名词，改y为i加s。如：baby-babies。但前为元音字母时，直接加s，如：boy-boys。4、以fe/f结尾的名词，去掉fe/f为ves。即有些直接加词尾-s，有些则把f/fe改为ves。如：chief/chiefs首领roof/roofs屋顶。5、以O结尾的名词，后面加s。如：piano/pianos钢琴tomato/tomatoes西红柿。不规则动词的定义：英语单词中由动词原形转变为过去式和过去分词时不按词尾加“-ed”之变化规则者叫做不规则动词（irregular verbs）。现代英语新生成的动词都归入“-ed”的规则变化。因此，不规则动词可以说都是古英语动词的不规则变化因其常用度很高而一直沿用到今天者，所以我们今天在学习英语时绝对无法规避，也不可能规避这些不规则动词。从英语的演变来看，不规则动词就是强势动词（strong verbs）即其词形变化全依其本身之语音（尤其是元音）变化来进行而不借助词尾的变化。

名词变复数的规则1、一般只变第二词。2.、man和woman修饰，前后两词都要变3、对于“man/woman+名词”构成的复合名词，其复数形式两个词均须变为复数。4、对于以“man/woman/child”结尾的复合名词，其复数形式为将“man/woman/child”变为复数形式即可。5、对于由短语动词演变成的复合名词，由于一般没有主体名词，所以在变复数时直接在词尾加-s。6、对于以“名词+形容词”构成的复合名词，变复数时将主体名词变为复数。可数名词在应用时有单数和复数形式，表示一个用单数，表示两个或两个以上用复数。复数名词的构成分为规则变化和不规则变化。扩展资料1、主格一般用在句中作为主语，一般用在动词前除疑问句。2、宾格多用于动词介词后面。3、形容词性物主代词后面必须要跟名词。4、名次性物主代词＝形容词性物主代词+名词。5、有些可以在词尾加s，也可以加es，比如：zero-zeros 或zeroes。参考资料来源：百度百科-名词复数

如： an Englishman，two Englishmen. 但German不是合成词，故复数形式为Germans；Bowman是姓，其复数是the Bowmans。2）单复同形 如： deer，sheep，fish，Chinese，Japanese li，jin，yuan，two li，three mu，four jin 但除人民币元、角、分外，美元、英镑、法郎等都有复数形式。如:a dollar, two dollars; a meter, two meters3）集体名词，以单数形式出现，但实为复数。 如： people police cattle 等本身就是复数，不能说 a people，a police，a cattle，但可以说a person，a policeman，a head of cattle,the English，the British，the French，the Chinese，the Japanese，the Swiss 等名词，表示国民总称时，作复数用。 如： the Chinese are industries and brave. 中国人民是勤劳勇敢的。4）以s结尾，仍为单数的名词，如： a. maths，politics，physics等学科名词，为不可数名词，是单数。 b. news 是不可数名词。 c. the United States，the United Nations 应视为单数。 the United Nations was organized in 1945. 联合国是1945年组建起来的。 d. 以复数形式出现的书名，剧名，报纸，杂志名，也可视为单数。 "the Arabian Nights" is a very interesting story-book. <<一千零一夜>>是一本非常有趣的故事书。5) 表示由两部分构成的东西，如：glasses (眼镜) trousers, clothes 若表达具体数目，要借助数量词 pair(对，双); suit(套); a pair of glasses; two pairs of trousers 6） 另外还有一些名词，其复数形式有时可表示特别意思，如：goods货物，waters水域，fishes（各种）鱼 abide abode,abided abode,abided arise arose arisen awake awoke awaked, awoken be was been bear bore borne, born beat beat beaten become became become befall befell befallen beget begot begotten begin began begun behold beheld beheld bend bent bent bereave bereaved,bereft bereaved,bereft beseech besought besought beset beset beset bet bet,betted bet,betted betake betook betaken bethink bethought bethought bid bade,bid bidden,bid bind bound bound bite bit bitten,bit bleed bled bled blend blended,blent blended,blent bless blessed,blest blessed,blest blow blew blown break broke broken breed bred bred bring brought brought broadcast broadcast,broadcasted broadcast,broadcasted build built built burn burnt,burned burnt,burned burst burst burst buy bought bought cast cast cast catch caught caught chide chided,chid chided,chidden choose chose chosen cleave clove,cleft cloven,cleft cling clung clung clothe clothed,clad clothed,clad come came come cost cost cost creep crept crept crow crowed,crew crowed cut cut cut dare dared,durst dared deal dealt dealt dig dug dug dive dived;(US)dove dived do did done draw drew drawn dream dreamt,dreamed dreamt,dreamed drink drank drunk drive drove driven dwell dwelt dwelt eat ate eaten fall fell fallen feed fed fed feel felt felt fight fought fought find found found flee fled fled fling flung flung fly flew flown forbear forbore forborne forbid forbade,forbad forbidden forecast forecast,forecasted forecast,forecasted foreknow foreknew foreknown foresee foresew foreseen foretell foretold foretold forget forgot forgotten forgive forgave forgiven forsake forsook forsaken forswear forswore forsworn freeze froze frozen gainsay gainsaid gainsaid get got got;(US)gotten gild gilded,gilt gilded gird girded,girt girded,girt give gave given go went gone grave graved graven,graved grind ground ground grow girew grown hamstring hamstringed,hamstrung hamstringed,hamstrung hang hung,hanged hung,hanged have had had hear heard heard heave heaved,hove hesved,hove hew hewed hewed,hewn hide hid hidden hit hit hit hold held held hurt hurt hurt inlay inlaid intaid keep kept kept kneel knelt knelt knit knitted,knit knitted,knit know knew known lade laded laden lay laid laid lead led led lean lesnt,leaned lesnt,leaned leap leapt,leaped leapt,leaped learn learnt,learned learnt,learned leave left left lend lent lent let let let lie lay lain light lit,lighted lit,lighted lose lost lost make made made mean meant meant meet met met melt melted meited,molten miscast miscast miscast misdeal misdealt misdealt misgive misgave misgiven mislay mislaid mislaid mislead misled misled misspell misspelt misspelt misspend misspent misspent mistake mistook mistaken misunderstand misunderstood misunderstood mow mowed mown;(US) mowed outbid outbid outbid outdo outdid outdone outgo outwent outgone outgrow outgrew outgrown outride outrode outridden outrun outran outrun outshine outshone outshone overbear overbore overborne overcast overcast overcast overcome overcame overcome overdo overdid overdone overhang overhung overhung overhear overheard overheard overlay overlaid overlaid overleap overleapt,overleaped overleapt,overleaped overlie overlay overlain override overrode overridden overrun overran overun oversee oversaw overseen overshoot overshot overshot oversleep overslept overslept overtake overtook overtaken overthrow overthrew overthrown partake partook partaken pay paid paid prove proved proved,proven put put put quit quitted,quit quitted,quit read read[red] read[red] rebind rebound rebound rebuild rebuilt rebuilt recast recast recast redo redid redone relay relaid relaid remake remade remade rend rent rent repay repaid repaid rerun reran rerun reset reset reset retell retold retold rewrite rewrote rewritten rid red,redded rid,ridded ride rode ridden ring rang rung rise rose risen rive rived riven,rived run ran run saw sawed sawn,sawed say said said see saw seen seek sought sought sell sold sold send sent sent set set set sew sewed sewn,sewed shake shook shaken shave shaved shaved,shaven shear sheared sheared,shorn shed shed shed shine shone shone shoe shod shod shoot shot shot show showed shown,showed shrink shrank,shrunk shrunk,shrunken shrive shrove,shrived shriven,shrived shut shut shut sing sang,sung sung sink sank,sunk sunk;sunken sit sat sat slay slew slain sleep slept slept slide slid slid sling slung slung slink slunk slunk slit slit slit smell smelt;smelled smelt;smelled smite smote smitten sow sowed sown,sowed speak spoke spoken speed sped,speeded sped,speeded spell spelt,spelled spelt,spelled spend spent spent spill spilt,spilled spilt,spilled spin spun,span spun spit spat,spit spat,spit spoil spoilt,spoiled spoilt,spoiled spread spread spread spring sprang,sprung sprung stand stood stood stave staved,stove staved,stove steal stole stolen stick stuck stuck sting stung stung stink stank,stunk stunk strew strewed strewn,strewed stride strode stridden,strid strike struck struck,stricken string strung strung strive strove striven swear swore sworn sweep swept swept swell swelled swollen,swelled swim swam swum swing swung swung take took taken teach taught taught tear tore torn tell told told think thought thought thrive throve,ghrived thriven,thrived throw threw thrown thrust thrust thrust tread trod trodden,trod unbend unbent unbent unbind unbound unbound underbid underbid underbid,underbidden undergo underwent undergone understand understood understood undertake undertook undertaken undo undid undone upset upset upset wake woke,waked woken,waked waylay waylaid waylaid wear wore worn weave wove woven weep wept wept win won won wind wound wound withdraw withdrew withdrawn withhold withheld withheld withstand withstood withstood work worked,wrought worked,wrought wring wrung wrung write wrote written

不一样,（1．一般名词复数是在名词后面加上“s”,2．以s,sh,ch,x等结尾的词加“es”,； 3．以辅音字母＋y结尾的词,变y为i加es,以元音字母＋ y结尾的名词变复数时,直接加s变复数,4．以o 结尾的名词变复数时：a）加s的名词有：photo→photos ,piano→pianos,radio→radios,zoo→zoos b）加es的名词有：potato→potatoes tomato→tomatoes 5．以f或fe结尾的名词变复数时：a）加s的名词有：belief→beliefs roof→roofs safe→safes gulf→gulfs b）去掉f,fe 加ves的名词有：half→halves knife→knives leaf→leaves wolf→wolves wife→wives life→lives thief→thieves）名词变复数规则；（1、大多数动词在词尾加“S”2、以辅音字母加“y”结尾的,要先将“y”变为“i”,然后在加“es,3、以“s,x,ch,sh”结尾的,在词尾加“es”,4、以“o”结尾的动词,加“es”）动词变第三人称单数形式

最低0.27元/天开通百度文库会员，可在文库查看完整内容>原发布者:lyyf2102名词单数变复数变化规则：一．可数名词1．一般名词复数是在名词后面加上“s”，如map→maps，bag→bags，book-books等；2．以s，x，sh，ch结尾的词加“es”，如bus→buses，watch→watches,box-boxes等；3．以f或fe结尾的名词变复数时,去掉f，fe加ves的名词有：half→halvesknife→knivesleaf→leaveswolf→wolveswife→wiveslife→livesthief→thieves4．以o结尾的名词变复数时：a）加s的名词有（无生命）：photo→photos，piano→pianos，radio→radiosb）加es的名词有（有生命）：potato→potatoestomato→tomatoes5．以辅音字母＋y结尾的词，变y为i加es，如baby→babies,family-families,study-studies等；以元音字母＋y结尾的名词变复数时，直接加s变复数，如monkey→monkeys，holiday→holidays，storey→storeys（楼层）；6.oo变ee的单词：foot-feet,goose-geese,tooth-teeth；7.a变e的单词：man-men,woman-women,policeman-policemen;8.复数与原形一致的单词：fish-fish,sheep-sheep,deer-deer,Chinese-Chinese,Japanese-Japanese;注：1.fish指“鱼肉”时，是不可数名词；2.fish指“鱼的多少”时，是可数名词，但单数和复数同行；Therearemanyfishintheriver。3.fish强调鱼的“种类“时，复数是“fishes”。Therearemanykindsoffishesintheriver。9.有些名词以-s结尾，但表达的是单数意义，例如：news，maths，politic

英语名词变复数有几种情况：直接加s；以s、x、ch、sh结尾的加es；以辅音字母+ y结尾的，改y为i再加es；以f或者fe结尾的词，改f为v，再加es；以O结尾的单词，有生命的加es，无生命加s；也有部分不规则变化，如child-children、foot-feet等。

英语名词单数变复数 1)规则变化： 名词单数变复数，一般加-s没有错。 词尾s,x,sh,ch,直接加上-es。 f,fe为结尾，加-s之前要变ve。 "辅音字母＋y"来结尾，y变i再加-es没问题。 词尾字母若是o，加-es有tomato和potato。 2)不规则变化: 不规则变化要特别记，oo常常变ee,foot→feet是一例;男人、女人a改e,wo-man→women是一例;child 复数children要记准，中、日、鹿、绵羊无变化，单数、复数是一家。 【例】Chinese→Chinese, Japanese→ Japanese, deer→deer, sheep→sheep参考资料：http://sblog.zlxx.net/user1/711/archives/2006/6334.html

名词变复数规则1、主格一般用在句中作为主语，一般用在动词前除疑问句。2、宾格多用于动词介词后面。3、形容词性物主代词后面必须要跟名词。4、名次性物主代词等于形容词性物主代词加名词。5、一般名词复数是在名词后面加上s。6、以s，sh，ch，x等结尾的词加es。7、以O结尾的单词，有生命的正负es，无生命加s。8、以辅音字母加y结尾的，改y为i再加es。9、以f或者fe结尾的词，改f为v，再加es。10、一般情况下，直接加s，如book，books，bag，bags，cat，cats，bed，beds。11、以sxshch结尾，加es，如bus，buses，box，boxes，brush，brushes，watch，watches。12、以辅音字母加y结尾，变y为i，再加es，如family，families，strawberry，strawberries。13、以f或fe结尾，变f或fe为v，再加es，如knife，knives。

fish families

这是名词中的集体名词考点.Two family.两个家庭Two families.两位家人.你是被这个弄混了吧,其实集体名词作为考试时的考点的对付方法就是集体名词指整体是看作单数、指成员是看作单数.你的这几个说法都可以说得过去....,4,family做为一个整体将，又是单数形式，就用原型，如果是复数形式就用families； 当做家庭成员时用复数,2,familie是有复数形式的families 。 当它翻译成家庭意思的时候，才有families 复数形式。 当它翻译成家人，亲人的意思的时候，只有familie单数形式,0,表示整体的抽象概念时用单数，表示具体的人使用复数。如：表示“家庭”用单数，表示“家人”用复数。又如：class等,0,求教育 关于一些英语单词的问题 family 什么时候用复数什么时候用单数 family做家人讲时是这样么 My families.我的家人 My famliy,我的家庭 Two family.两个家庭Two families.两位家人.以上那些错了 应该怎样改?类似family 这样的单词还有那些 何时复数何时单数 高中生求教育

当侧重指整个家庭时用单数形式当指家庭成员时用复数形式你得根据具体语境来判断

family name的复数形式是family names. 百家姓。

families"复数:以“辅音字母+y”结尾的名词，先将y变为i，再加-es(如:family?families)所有格:以s结尾的复数名词只加“"”

fullsfamilies

表示整体的抽象概念时用单数，表示具体的人使用复数。如：表示“家庭”用单数，表示“家人”用复数。又如：class等

families

family 的复数是 把 y 改为I 再加es 即families

STL中有，可以直接用#include <complex>using namespace std;可以直接用，如果要查看的话可以查看源码进行自己设计。

子子孙孙

复数运算法则有：加减法、乘除法。两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。复数的加法满足交换律和结合律。此外，复数作为幂和对数的底数、指数、真数时，其运算规则可由欧拉公式e^iθ=cos θ+i sin θ（弧度制）推导而得

我们设计一个可进行复数运算的演示程序。要求实现下列六种基本运算:1)由输入的实部和虚部生成一个复数;2)两个复数求和;3)两个复数求差;4)两个复数求积，5)从已知复数中分离出实部;6)从已知复数中分离出虚部。运算结果以相应的复数或实数的表示形式显示(最好用结构体的方法)要是能用c++和stl，可以这样写#include#includevoidmain(){usingnamespacestd;complexa(3,2);complexb(5,6);complexresult(0,0);result=a*b/(a+b);cout#include#include#defineERR-1#defineMAX100/*定义堆栈的大小*/intstack[MAX];/*用一维数组定义堆栈*/inttop=0;/*定义堆栈指示*/intpush(inti)/*存储运算数,入栈操作*/{if(top

虚部是3，实部是-4

这里的复数是一个数学概念和平常的奇数、偶数没有关系

z2为z1逆时针旋转90°。z1=1+3^(1/2)i,对应点(1,3^(1/2))旋转后点坐标为：(-3^(1/2),1)z2=-3^(1/2)+i

两节课。高中复数两节课能学完，复数的定义与复数的四则运算方法，复数是由意大利米兰学者卡当在16世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。

这个不简单吗？Z1与Z2是并联的，故：1/Z=1/Z1+1/Z2=(Z1+Z2)/(Z1*Z2)，即：Z=Z1*Z2/(Z1+Z2)用复数做：1/Z1+1/Z2=1/(3+4j)+1/(8-6j)=(3-4j)/25+(8+6j)/100=(6/50+4/50)+(3/50-8/50)j=1/5-j/10，故：Z=1/(1/5-j/10)=20(1/5+j/10)=4+2jZ1=3+4j=5∠53.1°，只是复数的另一种表示方法，模值接复角Z2=8-6j=10∠-36.9°和Z=4+2j=4.47∠26.5°也是一样的。

什么意思啊 ？没明白

应该是复数的三角形式吧！对应内容在高考时，不作要求。（即:不在考纲中。）设复数z＝x+yi，x、y是实数。供参考以及复数的四则运算均可用三角形式进行。在高数学习中，将会用到。

很难啊，真的是很难啊~~~

实数和复数好想是两个概念，若非要将实数推广到复数，利用平面直角坐标系、 复数就用实数构成的点来表示。复数z=1+i 就是点（1，1）。求采纳

#include <iostream.h> class Complex { public: Complex() { real=imag=0; } Complex(double r) { real=r;imag=0; } Complex(double r,double i) { real=r;imag=i; } Complex operator +(const Complex &c); Complex operator -(const Complex &c); Complex operator *(const Complex &c); Complex operator /(const Complex &c); friend void Print(const Complex &c); private: double real,imag; }； Complex Complex::operator +(const Complex &c) { return Complex(real+c.real,imag+c.imag); } Complex Complex::operator -(const Complex &c) { return Complex(real-c.real,imag-c.imag); } Complex Complex::operator *(const Complex &c) { return Complex(real*c.real-imag*c.imag,real*c.imag+imag*c.real); } Complex Complex::operator /(const Complex &c) { return Complex((real*c.real+imag*c.imag)/(c.real*c.real+c.imag*c.imag), (imag*c.real-real*c.imag)/(c.real*c.real+c.imag*c.imag)); } void Print(const Complex &c) { if(c.imag<0) cout<<c.real<<c.imag<<"i"<<endl; else cout<<c.real<<"+"<<c.imag<<"i"<<endl; } void main() { Complex c1(2.5),c2(5.5,-1.0),c3; c3=c1+c2; cout<<"c1+c2="; Print(c3); c3=c1-c2; cout<<"c1-c2="; Print(c3); c3=c1*c2; cout<<"c1*c2="; Print(c3); c3=c1/c2; cout<<"c1/c2="; Print(c3); }

复数是中学数学中重要内容之一，也是高考考查重点之一。它具有熔代数、三角、几何于一炉特点，应用广泛。复数问题可化归为实数问题,可与三角、几何问题相互转化，在教学(复习)中可纵横联系，不仅有助于学生灵活应用知识,提高解决问题的能力，而且有益于培养学生的数学思想方法、思维能力与创新意识。 在高考中通常是以易题出现，主要以选择题、填空题的形式考查，其试题难度属低中档题. 使用情景：求复数问题 解题步骤： 第一步 首先观察复数的形式； 第二步 然后根据分母实数化并由复数的概念对其进行求解； 第三步 得出结论. 例1. 复数 （ 为虚数单位）所对应的点位于复平面内（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 【解析】 相应的点 位于第二象限，故选B。 【总结】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项；复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化；用类比的思想学习复数中的运算问题. 例2、已知复数 ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】 ，故原式 ，对应点在第二象限. 例3、设 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ,所以 ,选C 【总结】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路 . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为

数论概述 人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们合起来叫做整数。（注：现在，自然数的概念有了改变，包括正整数和0） 对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。 人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比如，整数可分为两大类—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等。利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。 数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。数论的发展简况 自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世纪，这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形成完整统一的学科。 自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究，关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到完善。 在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料”，要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题，一直受到数学家的关注。 到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术探讨》，1800年寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。 在《算术探讨》中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和意志的方法进行了分类，还引进了新的方法。数论的基本内容 数论形成了一门独立的学科后，随着数学其他分支的发展，研究数论的方法也在不断发展。如果按照研究方法来说，可以分成初等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分。 初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。比如中国古代有名的“中国剩余定理”，就是初等数论中很重要的内容。 解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支。数学分析是以函数作为研究对象的、在极限概念的基础上建立起来的数学学科。用数学分析来解决数论问题是由欧拉奠基的，俄国数学家车比雪夫等也对它的发展做出过贡献。解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具。比如，对于“质数有无限多个”这个命题，欧拉给出了解析方法的证明，其中利用了数学分析中有关无穷级数的若干知识。二十世纪三十年代，苏联数学家维诺格拉多夫创造性的提出了“三角和方法”，这个方法对于解决某些数论难题有着重要的作用。我国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中使用的是解析数论中的筛法。 代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支。数学家把整数概念推广到一般代数数域上去，相应地也建立了素整数、可除性等概念。 几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的。几何数论研究的基本对象是“空间格网”。什么是空间格网呢？在给定的直角坐标系上，坐标全是整数的点，叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网。空间格网对几何学和结晶学有着重大的意义。由于几何数论涉及的问题比较复杂，必须具有相当的数学基础才能深入研究。 数论是一门高度抽象的数学学科，长期以来，它的发展处于纯理论的研究状态，它对数学理论的发展

【 #高二# 导语】高二本身的知识体系而言，它主要是对高一知识的深入和新知识模块的补充。以数学为例，除去不同学校教学进度的不同，我们会在高二接触到更为深入的函数，也将开始学习从未接触过的复数、圆锥曲线等题型。 无 高二频道为你整理了《高二年级复数知识点总结》希望对你有所帮助！ 【篇一】高二年级复数知识点总结 　　复数定义 　　我们把形如a+bi(a,b均为实数)的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数;当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，也即任何复系数多项式在复数域中总有根。 　　复数表达式 　　虚数是与任何事物没有联系的，是绝对的，所以符合的表达式为： 　　a=a+ia为实部，i为虚部 　　复数运算法则 　　加法法则：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; 　　减法法则：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; 　　乘法法则：(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i; 　　除法法则：(a+bi)/(c+di)=[(ac+bd)/(c2+d2)]+[(bc-ad)/(c2+d2)]i. 　　例如：[(a+bi)+(c+di)]-[(a+c)+(b+d)i]=0，最终结果还是0，也就在数字中没有复数的存在。[(a+bi)+(c+di)]-[(a+c)+(b+d)i]=z是一个函数。 　　复数与几何 　　①几何形式 　　复数z=a+bi被复平面上的点z(a，b)确定。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。 　　②向量形式 　　复数z=a+bi用一个以原点O(0,0)为起点，点Z(a,b)为终点的向量OZ表示。这种形式使复数四则运算得到恰当的几何解释。 　　③三角形式 　　复数z=a+bi化为三角形式 【篇二】高二年级复数知识点总结 　　复数的概念： 　　形如a+bi(a，b∈r)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母c表示。 　　复数的表示： 　　复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈r)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。 　　复数的几何意义： 　　复平面、实轴、虚轴： 　　点z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈r)可用点z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 　　复数的几何意义：复数集c和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 　　这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。 　　这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。 　　复数的模： 　　复数z=a+bi(a、b∈r)在复平面上对应的点z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|z|，即|z|= 　　虚数单位i： 　　它的平方等于-1，即i2=-1; 　　实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 　　i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。 　　i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。 　　复数模的性质： 　　复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 　　对于复数a+bi(a、b∈r)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈r)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。 【篇三】高二年级复数知识点总结 　　复数中的难点 　　(1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难，对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明. 　　(2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练. 　　(3)复数的辐角主值的求法. 　　(4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会. 　　复数中的重点 　　(1)理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点. 　　(2)熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数，向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容. 　　(3)复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容. 　　(4)复数集中一元二次方程和二项方程的解法.

？2004年=I2+3+2酷睿I3I4+.....2004年i2005减法，S=（1-I）+^2.你可以看到的算术几何级数标题的S=I+I2+3酷睿i3+

#include<iostream.h>class complex{private:double real;double imag;public:complex(){real=imag=0;}complex(double rpart,double ipart){real=rpart;imag=ipart;}complex operator+(const complex &com){complex temp;temp.real=real+com.real;temp.imag=imag+com.imag;return temp;}complex operator-(const complex &com){complex temp;temp.real=real-com.real;temp.imag=imag-com.imag;return temp;}complex operator*(const complex &com){complex temp;temp.real=real*com.real-imag*com.imag;temp.imag=real*com.imag+imag*com.real;return temp;}complex operator/(const complex &com){complex temp;temp.real=(real*com.real+imag*com.imag)/(com.real*com.real+com.imag*com.imag);temp.imag=(imag*com.real-real*com.imag)/(com.real*com.real+com.imag*com.imag);return temp;}void display(){if(imag>=0)cout<<"("<<real<<"+"<<imag<<"i)";elsecout<<"("<<real<<imag<<"i)";}};int main(void){double a,b,c,d;cout<<"输入两个复数，即a,b,c,d的值：";cin>>a>>b>>c>>d;complex n1(a,b),n2(c,d);cout<<"两个复数值为：";cout<<"A=";n1.display();cout<<" B=";n2.display();cout<<endl;cout<<endl<<endl<<"两个复数的加法："<<endl;complex result1;result1=n1+n2;n1.display();cout<<"+";n2.display();cout<<"=";result1.display();cout<<endl<<endl<<"两个复数的减法："<<endl;complex result2;result2=n1-n2;n1.display();cout<<"-";n2.display();cout<<"=";result2.display();cout<<endl<<endl<<"两个复数的乘法："<<endl;complex result3;result3=n1*n2;n1.display();cout<<"×";n2.display();cout<<"=";result3.display();cout<<endl<<endl<<"两个复数的除法："<<endl;if(c==0&&d==0)cout<<"不能进行运算，除数不能为0"<<endl;else{complex result4;result4=n1/n2;n1.display();cout<<"÷";n2.display();cout<<"=";result4.display();}cout<<endl;return 0;}

实数包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数和开根开不尽的数，有理数就包括整数,分数,0.数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零三类。实数集合通常用字母 R 或 R^n 表示。而 R^n 表示 n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n 为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。①相反数（只有符号不同的两个数，我们就说其中一个是另一个的相反数） 实数a的相反数是-a②绝对值（在数轴上一个数所对应的点与原点0的距离） 实数a的绝对值是：│a│=①a为正数时，|a|=a②a为0时， |a|=0③a为负数时，|a|=-a③倒数 （两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数） 实数a的倒数是：1/a （a≠0）

分

设集合{(x,y)|x∈R，y∈R}在集合上定义加法:(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)减法:(x1,y1)-(x2,y2)=(x1-x2,y1-y2)乘法:(x1,y1)*(x2,y2)=(x1*x2-y1*y2,x1*y2+x2*y1)除法:(x1,y1)÷(x2,y2)=((x1*x2+y1*y2)/(x2^2+y2^2),(-x1*y2+x2*y1)/(x2^2+y2^2)) 其中x2和y2满足x2^2+y2^2<>0

#include<stdio.h> void main() { float r1,v1,r2,v2; printf("复数1 "); printf("实部： ");scanf("%f",&r1); printf("虚部： ");scanf("%f",&v1); printf("复数2 "); printf("实部： ");scanf("%f",&r2); printf("虚部： ");scanf("%f",&v2); printf("和 "); printf("%f + %f i ",r1+r2,v1+v2); printf("差 "); printf("%f + %f i ",r1-r2,v1-v2); printf("积 "); printf("%f + %f i ",r1*r2-v1*v2,v1*r2+r1*v2); printf("商 "); printf("%f + %f i ",(r1*r2+v1*v2)/(r2*r2+v2*v2),(v1*r2-r1*v2)/(r2*r2+v2*v2));}

可以。在很多领域都复矩阵。例如力学，控制等等

研究复数的四则运算的目的是掌握复数的加、减、乘、除四则运算及其运算律。掌握复数的加、减、乘、除四则运算及其运算律；培养类比思想和逆向思维。

1、设计一个可进行复数运算的演示程序。要求实现下列六种基本运算1)由输入的实部和虚部生成一个复数2)两个复数求和;3)两个复数求差;4)两个复数求积，5)从已知复数中分离出实部;6)从已知复数中分离出虚部。运算结果以相应的复数或实数的表示形式显示(最好用结构体的方法)要是能用c++和stl，可以这样写#include#includevoidmain(){usingnamespacestd;complexa(3,2);complexb(5,6);complexresult(0,0);result=a*b/(a+b);cout<<result;}2、例程：stdio.h>#include#include#define err -1#define max 100 /*定义堆栈的大小*/int stack[max]; /*用一维数组定义堆栈*/int top=0; /*定义堆栈指示*/int push(int i) /*存储运算数,入栈操作*/{if(top评论000加载更多

望采纳复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位。在复数a+bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，复数的实部如果等于零，则称为纯虚数。[1] 由上可知，复数集包含了实数集，并且是实数集的扩张。 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。复数的四则运算规定为：（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i，（a+bi）－（c+di）=（a－c）+（b－d）i，（a+bi）·（c+di）=（ac－bd）+（bc+ad）i，（c与d不同时为零）。例如：[（a+bi）+（c+di）]-[(a+c）+（b+d）i]=0，最终结果还是0，也就在数字中没有复数的存在。[（a+bi）+（c+di）]-[(a+c）+（b+d）i]=Z是一个函数。主要内容u25aa 形式u25aa 复数的模3共轭复数u25aa 释义u25aa 性质4复数的辐角u25aa 概述u25aa 释义5运算法则u25aa 加法法则u25aa 乘法法则u25aa 除法法则u25aa 开方法则u25aa 运算律u25aa i的乘方法则u25aa 棣莫佛定理u25aa 复数三角形式6复数与几何u25aa 复平面u25aa 几何表示法u25aa 区域的概念u25aa 简单曲线7复数与函数u25aa 单连/多连通域u25aa 导数定义u25aa 可导与连续u25aa 可导与可微u25aa 复变函数积分u25aa 柯西积分定理u25aa 解析函数的概念u25aa 充要条件

哦，原来是这样；

设 z=a+bi（z-2i）^2+9i=0（a+（b-2）i）^2+9i=0a^2-（b-2）^2+【2a（b-2）+9】i=0a^2-（b-2）^2=0 a=b-2（舍） 或 a=2-b2a（b-2）+9=0 （b-2）^2=9/2 b=2+3√2/2 或2-3√2/2所以z=-3√2/2+（2+3√2/2）i 或3√2/2+（2-3√2/2）i

复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位（即-1开根）。 由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。 复数有多种表示法，诸如向量表示、三角表示，指数表示等。它满足四则运算等性质。它是复变函数论、解析数论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具。数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围。 　　定义：形如z=a+bi的数称为复数，其中规定i为虚数单位，且i^2=i*i=-1（a，b是任意实数） 　　我们将复数z=a+bi中的实数a称为虚数z的实部（real part)记作Rez=a 　　实数b称为虚数z的虚部（imaginary part)记作 Imz=b. 　　易知：当b=0时，z=a，这时复数成为实数； 　　当a=0且b≠0时 ，z=bi，我们就将其称为纯虚数。 　　定义： 对于复数z=a+bi，称复数z‘=a-bi为z的共轭复数。 　　定义：将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作∣z∣ 　　即对于复数z=a+bi，它的模 　　∣z∣=√(a^2+b^2) 　　复数的集合用C表示，显然，R是C的真子集 　　复数集是无序集，不能建立大小顺序。[编辑本段]复数的四则运算 　　设z1=a＋bi，z2=c＋di，则有以下法则 线性运算 　　加减：（a＋bi）±（c＋di）＝（a±c）＋（b±d）i 　　数乘： c *（a＋bi)= (a*c）＋（b*c）i 非线性运算 　　乘除： 　　（a＋bi）61（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i， 　　（a＋bi）÷（c＋di）＝[(ac+bd) / (c^2+d^2)]＋[(bc－ad) / (c^2+d^2)] i，其中（c+di）≠0。

实数可理解为一维数，虚数可理解为正交数 ( ⅰ丄1 )，则复数就是二维数(平面上的数)，很多情况下类似于二个正交的单位向量组成的平面上的数，不少平面向量问题经常借用复数运算。有时甚至将复数记为(2×2)实矩阵，把复数运算映射为(2×2)矩阵的运算。复数完全可以用二维实数替代吗，事情没这么简单，因为单位虚数 i^i^i···是可运算的，而单位向量不可如此运算，复数对应的(2×2)实矩阵也不可以这样运算。

　　复数集指的是所有的复数组成的集合，一般用符号C来表示。复数指的是能以z=a+bi这种形式来表示的数，其中a和b是实数，i是虚数单位。当b等于0时，z为实数，当b不等于0，而a等于0时，z为纯虚数。 　　复数是什么 　　复数是对实数的扩充，是数的扩展。这个概念最早由意大利学者卡当引入，经过达朗贝尔、高斯等数学家人的工作，复数的概念逐渐为数学家所接受。 　　复数的四则运算 　　复数的四则运算规定为：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i，(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i，(c与d不同时为零)。 　　设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2= -1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

加减法需要把极坐标形式化成代数形式计算，以后把结果再化成极坐标形式。乘除需要模模相乘除，复角相加减

设计一个类就好了，里面两个int型就OK，不过注意重载运算符的时候，分为int + complex,complex+int和complex+complex三种，所以不能为成员函数，为friend就好了

复数的加减运算，只要实部和虚部分别计算代数和就可以了；实数的乘法运算，按多项式的运算规则，记住i*i=-1就行，乘完以后再作实数的加减运算；实数的除法，先将除式看作一个分母，再对分子分母同乘以分母的共轭复数，以实现分母的实数化，再对分子作复数的乘法运算就可以了。

复数运算法则有：加减法、乘除法。两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。复数的加法满足交换律和结合律。此外，复数作为幂和对数的底数、指数、真数时，其运算规则可由欧拉公式e^iθ=cosθ+isinθ（弧度制）推导而得

都是一样，相乘相减，先乘再后减。

这个是初学者的程序，哪里来的重难点......，只要你会基础语法，基本就可以搞定了

形如a＋bi的数 .式中 a,b 为实数 ,i是 一个满足i^2＝－1的数 ,因为任何实数的平方不等于－1,所以 i不是实数,而是实数以外的新的数. 在复数a＋bi中,a 称为复数的实部,b称为复数的虚部 ,复数的实部和虚部分别用Rez和Imz表示,即Rez =a,Imz=b.i称为虚数单位.当虚部等于零时,这个复数就是实数；当虚部不等于零时,这个复数称为虚数,虚数的实部如果等于零,则称为纯虚数. 由上可知,复数集包含了实数集,因而是实数集的扩张.复数的产生来自解代数方程的需要.16世纪,意大利数学家G.卡尔达诺首先用公式表示出了一元三次方程的根,但公式中引用了负数开方的形式,并把 i＝sqrt(-1) 当作数,与其他数一起参与运算.由于人们无法理解 i的实质,所以在很长时间内不承认负数的平方根也是数,而称之为虚数.直到19世纪,数学家们对这些虚数参与实数的代数运算作出了科学的解释,并在解方程和其他领域中使虚数得到了广泛的应用,人们才认识了这种新的数. 复数的四则运算规定为： （a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i, （a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i, （a＋bi）?（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i, （c与d不同时为零） （a＋bi）÷（c＋di）＝（ac+bd/c^2+d^2）＋（bc－ad/c^2+d^2） （c+di）不等于0 复数有多种表示形式,常用形式 z＝a＋bi 叫做代数式. 此外有下列形式. ①几何形式.复数z＝a＋bi 用直角坐标平面上点 Z（a,b ）表示.这种形式使复数的问题可以借助图形来研究.也可反过来用复数的理论解决一些几何问题. ②向量形式.复数z＝a＋bi用一个以原点O为起点,点Z（a,b）为终点的向量OZ表示.这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释. ③三角形式.复数z＝a＋bi化为三角形式 z＝r（cosθ＋isinθ） 式中r= sqrt(a^2+b^2),叫做复数的模（或绝对值）；θ 是以x轴为始边；向量OZ为终边的角,叫做复数的辐角.这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算. ④指 数形式.将复数的三角形式 z＝r( cosθ＋isinθ）中的cosθ＋isinθ换为 exp(iθ),复数就表为指数形式z＝rexp(iθ) 复数三角形式的运算： 设复数z1、z2的三角形式分别为r1(cosθ1+isinθ1)和r2(cosθ2+isinθ2),那么z1z2＝r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] z1÷z2＝r1÷r2[cos(θ1－θ2)+isin(θ1－θ2)],若复数z的三角形式为r(cosθ+isinθ),那么z^n＝r^n(cosnθ+isinnθ),n√z＝n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n]（k＝1,2,3……）必须记住：z的n次方根是n个复数.

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复数 开放分类： 数学、数学家、实数、虚数 定义 [编辑本段] 复数就是实数和虚数的统称 复数的基本形式是a+bi,其中a,b是实数,a称为实部,bi称为虚部,i是虚数单位,在复平面上,a+bi是点Z(a,b).Z与原点的距离r称为Z的模|Z|=√a方+b方 a+bi中：a=0为纯虚数,b=0为实数,b不等于0为虚数. 复数的三角形式是 Z＝r[cosx+isinx] 中x,r是实数,rcosx称为实部,irsinx称为虚部,i是虚数单位.Z与原点的距离r称为Z的模,x称为辐角. 起源 [编辑本段] 16世纪意大利米兰学者卡当（Jerome Cardan1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中,公布了三次方程的一般解法,被后人称之为“卡当公式”.他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家,并且在讨论是否可能把10分成两部分,使它们的乘积等于40时,他把答案写成=40,尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的,但他还是把10分成了两部分,并使它们的乘积等于40.给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔（1596—1650）,他在《几何学》（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应,从此,虚数才流传开来. 数系中发现一颗新星——虚数,于是引起了数学界的一片困惑,很多大数学家都不承认虚数.德国数学家莱布尼茨（1646—1716）在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所,它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”.瑞士数学大师欧拉（1707—1783）说；“一切形如,习的数学武子都是不可能有的,想象的数,因为它们所表示的是负数的平方根.对于这类数,我们只能断言,它们既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么,它们纯属虚幻.”然而,真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验,最终占有自己的一席之地.法国数学家达朗贝尔（1717—1783）在1747年指出,如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算,那么它的结果总是的形式（a、b都是实数）（说明：现行教科书中没有使用记号＝－i,而使用=一1）.法国数学家棣莫佛（1667—1754）在1730年发现公式了,这就是著名的棣莫佛定理.欧拉在1748年发现了有名的关系式,并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i来表示一1的平方根,首创了用符号i作为虚数的单位.“虚数”实际上不是想象出来的,而它是确实存在的.挪威的测量学家成塞尔（1745—1818）在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释,并首先发表其作法,然而没有得到学术界的重视. 德国数学家高斯（1777—1855）在1806年公布了虚数的图象表示法,即所有实数能用一条数轴表示,同样,虚数也能用一个平面上的点来表示.在直角坐标系中,横轴上取对应实数a的点A,纵轴上取对应实数b的点B,并过这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点C就表示复数a＋bi.象这样,由各点都对应复数的平面叫做“复平面”,后来又称“高斯平面”.高斯在1831年,用实数组（a,b）代表复数a＋bi,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”.他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词,还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合.统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中,并把数轴上的点与实数—一对应,扩展为平面上的点与复数—一对应.高斯不仅把复数看作平面上的点,而且还看作是一种向量,并利用复数与向量之间—一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法.至此,复数理论才比较完整和系统地建立起来了. 经过许多数学家长期不懈的努力,深刻探讨并发展了复数理论,才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱,显现出它的本来面目,原来虚数不虚呵.虚数成为了数系大家庭中一员,从而实数集才扩充到了复数集. 随着科学和技术的进步,复数理论已越来越显出它的重要性,它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力,也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据. 具体内容和应用 [编辑本段] 形如a＋bi的数 .式中 a,b 为实数 ,i是 一个满足i^2＝－1的数 ,因为任何实数的平方不等于－1,所以 i不是实数,而是实数以外的新的数. 在复数a＋bi中,a 称为复数的实部,b称为复数的虚部 ,复数的实部和虚部分别用Rez和Imz表示,即Rez =a,Imz=b.i称为虚数单位.当虚部等于零时,这个复数就是实数；当虚部不等于零时,这个复数称为虚数,虚数的实部如果等于零,则称为纯虚数. 由上可知,复数集包含了实数集,因而是实数集的扩张.复数的产生来自解代数方程的需要.16世纪,意大利数学家G.卡尔达诺首先用公式表示出了一元三次方程的根,但公式中引用了负数开方的形式,并把 i＝sqrt(-1) 当作数,与其他数一起参与运算.由于人们无法理解 i的实质,所以在很长时间内不承认负数的平方根也是数,而称之为虚数.直到19世纪,数学家们对这些虚数参与实数的代数运算作出了科学的解释,并在解方程和其他领域中使虚数得到了广泛的应用,人们才认识了这种新的数. 复数的四则运算规定为： （a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i, （a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i, （a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i, （c与d不同时为零） （a＋bi）÷（c＋di）＝（ac+bd/c^2+d^2）＋（bc－ad/c^2+d^2）i, （c+di）不等于0 复数有多种表示形式,常用形式 z＝a＋bi 叫做代数式. 此外有下列形式. ①几何形式.复数z＝a＋bi 用直角坐标平面上点 Z（a,b ）表示.这种形式使复数的问题可以借助图形来研究.也可反过来用复数的理论解决一些几何问题. ②向量形式.复数z＝a＋bi用一个以原点O为起点,点Z（a,b）为终点的向量OZ表示.这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释. ③三角形式.复数z＝a＋bi化为三角形式 z＝r（cosθ＋isinθ） 式中r= sqrt(a^2+b^2),叫做复数的模（或绝对值）；θ 是以x轴为始边；向量OZ为终边的角,叫做复数的辐角.这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算. ④指 数形式.将复数的三角形式 z＝r( cosθ＋isinθ）中的cosθ＋isinθ换为 exp(iθ),复数就表为指数形式z＝rexp(iθ) 复数三角形式的运算： 设复数z1、z2的三角形式分别为r1(cosθ1+isinθ1)和r2(cosθ2+isinθ2),那么z1z2＝r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] z1÷z2＝r1÷r2[cos(θ1－θ2)+isin(θ1－θ2)],若复数z的三角形式为r(cosθ+isinθ),那么z^n＝r^n(cosnθ+isinnθ),n√z＝n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n]（k＝1,2,3……）必须记住：z的n次方根是n个复数. 复数的乘、除、乘方、开方可以按照幂的运算法则进行.复数集不同于实数集的几个特点是：开方运算永远可行；一元n次复系数方程总有n个根（重根按重数计）；复数不能建立大小顺序.

复数集是实数集的扩展,在扩展中引入新数“i”既虚数单位因此实数a成为复数a+bi在b=0时的特殊情况.复数运算和实数运算都是数的运算。数是数学的基础，数的本质在于运算。复数集是实数集的扩展，在扩展中引入新数“i”,既虚数单位,因此实数a成为复数a+bi在b=0时的特殊情况.复数运算和实数运算都是数的运算，因此它们有许多类似的性质，如果在复数运算的教学中借助于类比思想方法，通过对实数运算的回忆类比，可以使学生猜想出复数运算的规律与特点复数的整数次幂的运算法则跟实数运算一样 ，复数的分数次幂的运算不能如这些实数的法则。复数的加法按照以下规定的法则进行:设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，则它们的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。复数的加法满足交换律和结合律，即对任意复数z1,z2,z3,有: z1+z2=z2+z1; (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).复数x被定义为二元有序实数对(a,b) ，记为z=a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位。在复数a+bi中，a=Re(z)称为实部，b=Im(z)称为虚部。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数;当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，也即任何复系数多项式在复数域中总有根。 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。复数的四则运算规定为:加法法则:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;减法法则:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;乘法法则:(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;除法法则:(a+bi)÷(c+di)=[(ac

形如a＋bi的数 。式中 a，b 为实数 ，i是 一个满足i^2＝－1的数 ，因为任何实数的平方不等于－1，所以 i不是实数，而是实数以外的新的数。在复数a＋bi中，a 称为复数的实部，b称为复数的虚部 ，复数的实部和虚部分别用Rez和Imz表示，即Rez =a,Imz=b。i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。复数的产生来自解代数方程的需要。16世纪，意大利数学家G.卡尔达诺首先用公式表示出了一元三次方程的根，但公式中引用了负数开方的形式，并把 i＝sqrt(-1) 当作数，与其他数一起参与运算。由于人们无法理解 i的实质，所以在很长时间内不承认负数的平方根也是数，而称之为虚数。直到19世纪，数学家们对这些虚数参与实数的代数运算作出了科学的解释，并在解方程和其他领域中使虚数得到了广泛的应用，人们才认识了这种新的数。 复数的四则运算规定为：（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i，（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i，（a＋bi）u2022（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i，（c与d不同时为零）（a＋bi）÷（c＋di）＝（ac+bd/c^2+d^2）＋（bc－ad/c^2+d^2）（c+di）不等于0 复数有多种表示形式，常用形式 z＝a＋bi 叫做代数式。 此外有下列形式。 ①几何形式。复数z＝a＋bi 用直角坐标平面上点 Z（a，b ）表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。 ②向量形式。复数z＝a＋bi用一个以原点O为起点，点Z（a，b）为终点的向量OZ表示。这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释。 ③三角形式。复数z＝a＋bi化为三角形式z＝r（cosθ＋isinθ）式中r= sqrt(a^2+b^2)，叫做复数的模（或绝对值）；θ 是以x轴为始边；向量OZ为终边的角，叫做复数的辐角。这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。 ④指 数形式。将复数的三角形式 z＝r( cosθ＋isinθ）中的cosθ＋isinθ换为 exp(iθ)，复数就表为指数形式z＝rexp(iθ) 复数三角形式的运算： 设复数z1、z2的三角形式分别为r1(cosθ1+isinθ1)和r2(cosθ2+isinθ2)，那么z1z2＝r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]z1÷z2＝r1÷r2[cos(θ1－θ2)+isin(θ1－θ2)]，若复数z的三角形式为r(cosθ+isinθ)，那么z^n＝r^n(cosnθ+isinnθ)，n√z＝n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n]（k＝1，2，3……）必须记住：z的n次方根是n个复数。 复数的乘、除、乘方、开方可以按照幂的运算法则进行。复数集不同于实数集的几个特点是：开方运算永远可行；一元n次复系数方程总有n个根（重根按重数计）；复数不能建立大小顺序。

struct complex{ float rmz; //实部 float lmz;//虚部}; //产生一个复数. complex getAComplex(float a,float b){ complex Node=new complex(); Node.rmz=a;Node.lmz=b; return Node;} //两个复数求和 complex addComplex(complex complex1,complex complex2) { complex Node=new complex(); Node.rmz=complex1.rmz+complex2.rmz; Node.lmz=complex1.lmz+complex2.lmz; return Node; } //求两个复数的差 complex subComplex(complex complex1,complex complex2) { complex Node=new complex(); Node.rmz=complex1.rmz-complex2.rmz; Node.lmz=complex1.lmz-complex2.lmz; return Node; } //求两个复数的积 complex productComplex(complex complex1,complex complex2) { complex Node=new complex(); Node.rmz=complex1.rmz*complex2.rmz-complex1.lmz*complex2.lmz; Node.lmz=complex1.lmz*complex2.rmz+complex2.lmz*complex2.rmz; return Node; } //求实部 float getComplexRmz(complex complex1) { return complex1.rmz; } //求虚部 float getComplexLmz(complex complex1) { return complex1.lmz; }

复数的模：将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值，记作∣z∣.即对于复数z=a+bi，它的模：∣z∣=√（a^2+b^2)复数的集合用C表示，实数的集合用R表示，显然，R是C的真子集。复数x被定义为二元有序实数对(a,b)，记为z=a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位。在复数a+bi中，a=Re(z)称为实部，b=Im(z)称为虚部。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，也即任何复系数多项式在复数域中总有根。 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。复数的四则运算规定为：加法法则：（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i；减法法则：（a+bi）－（c+di）=（a－c）+（b－d）i；乘法法则：（a+bi）·（c+di）=（ac－bd）+（bc+ad）i；除法法则：（a+bi）÷（c+di）=[（ac+bd）/（c2+d2）]+[（bc-ad）/（c2+d2）]i.

你好heargrasshorserubbish

猴子的英语是monkey 复数是monkeys，结尾直接加s