欧拉常数

自然数的倒数组成的数列,称为调和数列,即：1/1+1/2+1/3+...+1/n 这个数组是发散的，所以没有求和公式，只有一个近似的求解方法： 1+1/2+1/3+......+1/n ≈ lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用)当n很大时，有：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...1/n = 0.57721566490153286060651209 + ln(n)//C++里面用log(n)，pascal里面用ln(n) 0.57721566490153286060651209叫做欧拉常数 to GXQ: 假设;s(n)=1+1/2+1/3+1/4+..1/n 当 n很大时 sqrt(n+1) = sqrt(n*(1+1/n)) = sqrt(n)*sqrt(1+1/2n) ≈ sqrt(n)*(1+ 1/(2n)) = sqrt(n)+ 1/(2*sqrt(n)) 设 s(n)=sqrt(n), 因为：1/(n+1)<1/(2*sqrt(n)) 所以： s(n+1)=s(n)+1/(n+1)< s(n)+1/(2*sqrt(n)) 即求得s(n)的上限 1+1/2+1/3+…+1/n是没有好的计算公式的，所有计算公式都是计算近似值的，且精确度不高。 自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时): 1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用)

E=2.71828183PI=3.14159265

如图所示：

0.577215,66490,15328,60606,51209,00824,02431,04215,93359,39923,59880,57672,34884,86772,67776,64670,93694,70632,91746,74951,46314,47249,80708,24809,60504,01448,65428,36224,17399,76449,23536,25350,03337,42937,33773,76739,42792,59525,82470,94916,00873,52039,48165,67085,32331,51776,61152,86211,99501,50798,47937,45085,70574,00299,21354,78614,66940,29604,32542,15190,58775,53526,73313,99254,01296,74205,13754,13954,91116,85102,80798,42348,77587,20503,84310,93997,36137,25530,60889,33126,76001,72479,53783,67592,71351,57722,61027,34929,13940,79843,01034,17771,77808,81549,57066,10750,10161,91663,34015,22789,35867,96549,72520,36212,87922,65559,53669,62817,63887,92726,80132,43101,04765,05963,70394,73949,57638,90657,29679,29601,00901,51251,95950,92224,35014,09349,87122,82479,49747,19564,69763,18506,67612,90638,11051,82419,74448,67836,38086,17494,55169,89279,23018,77391,07294,57815,54316,00500,21828,44096,05377,24342,03285,47836,70151,77394,39870,03023,70339,51832,86900,01558,19398,80427,07411,54222,78197,16523,01107,35658,33967,34871,76504,91941,81230,00406,54693,14299,92977,79569,30310,05030,86303,41856,98032,31083,69164,00258,92970,89098,54868,25777,36428,82539,54925,87362,95961,33298,57473,93023,73438,84707,03702,84412,92016,64178,50248,73337,90805,62754,99843,45907,61643,16710,31467,10722,37002,18107,45044,41866,47591,34803,66902,55324,58625,44222,53451,81387,91243,45735,01361,29778,22782,88148,94590,98638,46006,29316,94718,87149,58752,54923,66493,52047,32436,41097,26827,61608,77595,08809,51262,08404,54447,79922,99157,24829,25162,51278,42765,96570,83214,61029,82146,17951,95795,90959,22704,20898,96279,71255,36321,79488,73764,21066,06070,65982,56199,01028,80756,12519,91375,11678,21764,36190,57058,44078,35735,01580,05607,74579,34213,14498,85007,86415,17161,51945,65706,17043,24507,50081,68705,23078,90937,04614,30668,48179,16496,84254,91504,96724,31218,37838,75356,48949,50868,45410,23406,01622,50851,55838,67234,94418,78804,40940,77010,68837,95111,30787,20234,26395,22692,09716,08856,90838,25113,78712,83682,04911,78925,94478,48619,91185,29391,02930,99059,25526,69172,74468,92044,38697,11147,17457,15745,73203,93520,91223,16085,08682,75588,90109,45168,11810,16874,97547,09693,66671,21020,63048,27165,89504,93273,14860,87494,02070,06742,59091,82487,59621,37384,23114,42653,13502,92303,17517,22572,21628,32488,38112,45895,74386,23987,03757,66285,51303,31439,29995,40185,31341,41586,21278,86480,76110,03015,21196,57800,68117,77376,35016,81838,97338,96639,86895,79329,91456,38864,43103,70608,07817,44899,57958,32457,94189,62026,04984,10439,22507,86046,03625,27726,02291,96829,95860,98833,90137,87171,42269,17883,81952,98445,60791,60519,72797,36047,59102,51099,57791,33515,79177,22515,02549,29324,63250,28747,67794,84215,84050,75992,90401,85576,45990,18626,92677,64372,66057,11768,13365,59088,15548,10747,00006,23363,72528,89495,54636,97143,30120,07913,08555,26395,95497,82302,31440,39149,74049,47468,25947,32084,61852,46058,77669,48828,79530,10406,34917,22921,85800,87067,70690,42792,67432,84446,96851,49718,25678,09584,16544,91851,45753,31964,06331,19937,38215,73450,87498,83255,60888,87352,80190,19155,08968,85546,82592,45444,52772,81730,57301,08060,61770,11363,77318,24629,24660,08127,71621,01867,74468,49595,14281,79014,51119,48934,22883,44825,30753,11870,18609,76122,46231,76749,77556,41246,19838,56401,48412,35871,77249,55422,48201,61517,65799,40806,29683,42428,90572,59473,92696,38633,83874,38054,71319,67642,92683,72490,76087,50737,85283,70230,46865,03490,51203,42272,17436,68979,28486,29729,08892,67897,77032,62462,39122,61888,76530,05778,62743,60609,44436,03928,09770,81338,36934,23550,85839,41126,70921,87344,14512,18780,32761,50509,47805,54663,00586,84556,31524,54605,31511,32528,18891,07923,14913,11032,34430,24509,33450,00307,65586,48742,22971,77003,31784,53915,05669,40159,98849,29160,91140,02948,69020,88485,38169,70095,51566,34705,54452,21764,03586,29398,28658,13123,87013,25358,80062,56866,26926,99776,77377,30683,22690,09160,85104,51500,22610,71802,55465,92849,38949,27759,58975,40761,55993,37826,48241,97950,64186,81437,88171,85088,54080,36799,63142,39540,09196,43887,50078,90000,06279,97942,80988,63729,92591,97776,50404,09922,03794,04276,16817,83715,66865,30669,39830,91652,43227,05955,30417,66736,64011,67929,59012,93053,74497,18308,00427,58486,35083,80804,24667,35093,55983,23241,16969,21486,06498,92763,62443,29588,54873,78970,14897,13343,53844,80028,90466,65090,28453,76896,22398,30488,14062,73054,08795,91189,67057,49385,44324,78691,48085,33770,26406,77580,81275,45873,11176,36478,78743,07392,06642,01125,13527,27499,61754,50530,85582,35668,30683,22917,67667,70410,35231,53503,25101,24656,38615,67064,49847,13269,59693,30167,86613,83333,33441,65790,06058,67497,10364,68951,74569,59718,15537,64078,37765,01842,78345,99184,20159,95431,44904,77255,52306,14767,01659,93416,39066,09120,54005,32215,89020,91340,80278,22515,33852,89951,16654,52245,86918,59936,71220,13215,01448,01424,23098,62546,04488,67256,93431,48870,49159,30446,40189,16450,20224,05495,38629,18475,86293,07788,93506,43771,59660,69096,04681,24370,23054,65703,16067,99925,87166,67524,72194,09777,98018,63626,25633,58252,62794,22393,25486,01326,93530,70138,89374,36923,84287,89385,12764,74085,65486,50281,56306,77404,42203,06440,37568,26309,10291,75145,72234,44105,03693,17711,45217,08889,07446,41604,86887,01083,86231,14261,28441,42596,09563,70400,61920,05793,35034,15524,26240,26206,46569,35430,61258,52658,34521,92121,49777,18780,69586,60851,63349,22104,83673,79945,92594,34037,95600,02192,78541,83794,17760,20336,55946,73078,87983,80848,16314,67824,14923,54649,14887,66833,68407,49289,38652,81863,04858,98203,54818,62438,38481,75997,63584,90751,80791,48063,49439,16284,70548,22007,54945,34898,61338,27235,73092,21900,30740,09680,03376,66844,93250,55676,54937,53031,81125,16410,55249,23840,77645,14984,23957,62012,78155,23229,44928,85455,78538,20248,91894,24418,57095,91955,82081,00071,57838,40396,27479,98581,78808,88865,71683,06994,36060,73599,04210,68511,42791,31696,99596,79230,08289,9

欧拉常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1735年发表的文章中定义。欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家马歇罗尼引入了作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。

欧拉常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1735年发表的文章 De Progressionibus harmonicus observationes 中定义.欧拉曾经使用C作为它的符号,并计算出了它的前6位小数.1761年他又将该值计算到了16位小数. 欧拉-马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于数论的数学常数.它的定义是调和级数与自然对数的差值. 在微积分学中,欧拉常数γ有许多应用,如求某些数列的极限,某些收敛数项级数的和等.例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）,可以这样做：　　lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2.

欧拉常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1735年发表的文章 De Progressionibus harmonicus observationes 中定义.欧拉曾经使用C作为它的符号,并计算出了它的前6位小数.1761年他又将该值计算到了16位小数. 欧拉-马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于数论的数学常数.它的定义是调和级数与自然对数的差值. 在微积分学中,欧拉常数γ有许多应用,如求某些数列的极限,某些收敛数项级数的和等.例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）,可以这样做：　　lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2.

欧拉常数（Euler-Mascheroni constant)欧拉-马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于数论的数学常数。它的定义是调和级数与自然对数的差值的极限。由无穷级数理论可知，调和级数 是发散的。但可以证明， 存在极限。由不等式 可得 故 有下界。而 再一次根据不等式 ，取 ，即可得 所以 单调递减。由单调有界数列极限定理，可知 必有极限，即 存在。该极限被称作欧拉常数，现在通常将该常数记为γ。

欧拉常数＝lim(n→∞）（1+1/2+1/3+1/4+....+1/n-lnn）

欧拉常数(Euler-Mascheroni constant)学过高等数学的人都知道,调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的,证明如下：由于ln(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)由于lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞所以Sn的极限不存在,调和级数发散.但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在,因为Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)由于lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0因此Sn有下界而Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0所以Sn单调递减.由单调有界数列极限定理,可知Sn必有极限,因此S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在.于是设这个数为γ,这个数就叫作欧拉常数,他的近似值约为0.57721566490153286060651209,目前还不知道它是有理数还是无理数.在微积分学中,欧拉常数γ有许多应用,如求某些数列的极限,某些收敛数项级数的和等.例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）,可以这样做：lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2

ln（2n+1）-ln√n+r/2-1计算过程：Sn=1+1/2+1/3+...+1/（2n+1）-1-（1/2+1/4+...+1/2n）=ln（2n+1）+r-1-（lnn+r）/2=ln（2n+1）-ln√n+r/2-1欧拉常数简介欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。欧拉数以世界著名数学家欧拉名字命名；还有一个鲜为人知的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔 (John Napier) 引进对数。

欧拉常数（euler-mascheroniconstant)欧拉-马歇罗尼常数(euler-mascheroniconstant)是一个主要应用于数论的数学常数。它的定义是调和级数与自然对数的差值的极限。由无穷级数理论可知，调和级数是发散的。但可以证明，存在极限。由不等式可得故有下界。而再一次根据不等式，取，即可得所以单调递减。由单调有界数列极限定理，可知必有极限，即存在。该极限被称作欧拉常数，现在通常将该常数记为γ。

目前尚不知道欧拉常数是否为有理数，但是分析表明如果它是一个有理数，那么它的分母位数将超过10242080

ln（2n+1）-ln√n+r/2-1Sn=1+1/2+1/3+...+1/（2n+1）-1-（1/2+1/4+...+1/2n）=ln（2n+1）+r-1-（lnn+r）/2=ln（2n+1）-ln√n+r/2-1欧拉常数欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。欧拉数以世界著名数学家欧拉名字命名；还有一个鲜为人知的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔 (John Napier) 引进对数。

欧拉常数（Euler-Mascheroni constant)欧拉-马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于数论的数学常数。它的定义是调和级数与自然对数的差值的极限。由无穷级数理论可知，调和级数 是发散的。但可以证明， 存在极限。由不等式 可得 故 有下界。而 再一次根据不等式 ，取 ，即可得 所以 单调递减。由单调有界数列极限定理，可知 必有极限，即 存在。该极限被称作欧拉常数，现在通常将该常数记为γ。

这个问题是世界100个难题中，始终没有解决的最后的几个难题之一。在这一点上它和著名的“1＋1”相当。但是它没有大的价值，这又和“1＋1”不同。它已经有了近似公式：1+1/2+1/3+1/4++1/n~=lnn+C(其中lnn是n的自然对数；C=0.577216……是一个专门用来计算调和数列的前n项和的无理数，叫做欧拉常数）迄今为止，没有人算出过它的通项公式。连它是发散的级数这个性质，也是很晚才得出的。后来发现，再给它加个项，-ln(n)的情况下，发现它是收敛的级数，在n趋向于无穷大的时候，定义它的极限为r(咖玛)，称为欧拉常数。1+1÷2+1÷3+.......+1÷n近似的等于ln(n)+r,在n趋向于无穷大时取等号. 当n很大时，有：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...1/n = 0.57721566490153286060651209 + ln(n)//C++里面用log(n)，pascal里面用ln(n) 0.57721566490153286060651209叫做欧拉常数 1+1/2+1/3+…+1/n是没有好的计算公式的，所有计算公式都是计算近似值的，且精确度不高。 自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时): 1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用) 得到公式, 用C++实现就容易了 long double Sn( const unsigned int& n ) { const long double euler = 0.57721566490153286060651209; return ( log( static_cast<long double>(n) ) + euler );}一个可以计算欧拉常数的递推公式的euler= 1 + 1/2 + ... + 1/m -ln(m) - 1/(2m) + 1/(12m^2) - 1/(120m^4) + 1/(252m^6)- o(m)其中|o(m)| <= 22.5*(m * PI)^(-7)因此只要选择一个合适的m使o(m)不影响精度即可例如，当m=5的时候，精度高于1E-7.

这个问题是世界100个难题中，始终没有解决的最后的几个难题之一。在这一点上它和著名的“1＋1”相当。但是它没有大的价值，这又和“1＋1”不同。它已经有了近似公式：1+1/2+1/3+1/4++1/n~=lnn+C(其中lnn是n的自然对数；C=0.577216……是一个专门用来计算调和数列的前n项和的无理数，叫做欧拉常数）迄今为止，没有人算出过它的通项公式。连它是发散的级数这个性质，也是很晚才得出的。后来发现，再给它加个项，-ln(n)的情况下，发现它是收敛的级数，在n趋向于无穷大的时候，定义它的极限为r(咖玛)，称为欧拉常数。1+1÷2+1÷3+.......+1÷n近似的等于ln(n)+r,在n趋向于无穷大时取等号. 当n很大时，有：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...1/n = 0.57721566490153286060651209 + ln(n)//C++里面用log(n)，pascal里面用ln(n) 0.57721566490153286060651209叫做欧拉常数 1+1/2+1/3+…+1/n是没有好的计算公式的，所有计算公式都是计算近似值的，且精确度不高。 自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时): 1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用) 得到公式, 用C++实现就容易了 long double Sn( const unsigned int& n ) { const long double euler = 0.57721566490153286060651209; return ( log( static_cast<long double>(n) ) + euler );}一个可以计算欧拉常数的递推公式的euler= 1 + 1/2 + ... + 1/m -ln(m) - 1/(2m) + 1/(12m^2) - 1/(120m^4) + 1/(252m^6)- o(m)其中|o(m)| <= 22.5*(m * PI)^(-7)因此只要选择一个合适的m使o(m)不影响精度即可例如，当m=5的时候，精度高于1E-7.

Sn=1+1/2+1/3+...+1/（2n+1）-1-（1/2+1/4+...+1/2n）=ln（2n+1）+r-1-（lnn+r）/2=ln（2n+1）-ln√n+r/2-1欧拉常数简介欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。欧拉数以世界著名数学家欧拉名字命名；还有一个鲜为人知的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔 (John Napier) 引进对数。

Sn=1+1/2+1/3+...+1/（2n+1）-1-（1/2+1/4+...+1/2n）=ln（2n+1）+r-1-（lnn+r）/2=ln（2n+1）-ln√n+r/2-1欧拉常数简介欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。欧拉数以世界著名数学家欧拉名字命名；还有一个鲜为人知的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔 (John Napier) 引进对数。

当n无穷大时级数{∑1/k-lnn}是收敛数列（单调有界）,收敛值就定义为欧拉常数r r是一个非常神秘的常数,现在还不知它是否是无理数

利用“欧拉公式”1+1/2+1/3+……+1/n=ln(n)+C，(C为欧拉常数)Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)扩展资料：欧拉常数（Euler-Mascheroni constant)欧拉-马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于数论的数学常数。它的定义是调和级数与自然对数的差值的极限。欧拉常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1735年发表的文章 De Progressionibus harmonicus observationes 中定义。欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。欧拉数以世界著名数学家欧拉名字命名；还有一个鲜为人知的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔 (John Napier) 引进对数。参考资料：百度百科-欧拉常数

ln（2n+1）-ln√n+r/2-1计算过程：Sn=1+1/2+1/3+...+1/（2n+1）-1-（1/2+1/4+...+1/2n）=ln（2n+1）+r-1-（lnn+r）/2=ln（2n+1）-ln√n+r/2-1欧拉常数简介欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。欧拉数以世界著名数学家欧拉名字命名；还有一个鲜为人知的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔 (John Napier) 引进对数。

这个问题是世界100个难题中，始终没有解决的最后的几个难题之一。在这一点上它和著名的“1＋1”相当。但是它没有大的价值，这又和“1＋1”不同。它已经有了近似公式：1+1/2+1/3+1/4++1/n~=lnn+C(其中lnn是n的自然对数；C=0.577216……是一个专门用来计算调和数列的前n项和的无理数，叫做欧拉常数）迄今为止，没有人算出过它的通项公式。连它是发散的级数这个性质，也是很晚才得出的。后来发现，再给它加个项，-ln(n)的情况下，发现它是收敛的级数，在n趋向于无穷大的时候，定义它的极限为r(咖玛)，称为欧拉常数。1+1÷2+1÷3+.......+1÷n近似的等于ln(n)+r,在n趋向于无穷大时取等号. 当n很大时，有：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...1/n = 0.57721566490153286060651209 + ln(n)//C++里面用log(n)，pascal里面用ln(n) 0.57721566490153286060651209叫做欧拉常数 1+1/2+1/3+…+1/n是没有好的计算公式的，所有计算公式都是计算近似值的，且精确度不高。 自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时): 1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用) 得到公式, 用C++实现就容易了 long double Sn( const unsigned int& n ) { const long double euler = 0.57721566490153286060651209; return ( log( static_cast<long double>(n) ) + euler );}一个可以计算欧拉常数的递推公式的euler= 1 + 1/2 + ... + 1/m -ln(m) - 1/(2m) + 1/(12m^2) - 1/(120m^4) + 1/(252m^6)- o(m)其中|o(m)| <= 22.5*(m * PI)^(-7)因此只要选择一个合适的m使o(m)不影响精度即可例如，当m=5的时候，精度高于1E-7.

ln（2n+1）-ln√n+r/2-1计算过程：Sn=1+1/2+1/3+...+1/（2n+1）-1-（1/2+1/4+...+1/2n）=ln（2n+1）+r-1-（lnn+r）/2=ln（2n+1）-ln√n+r/2-1欧拉常数简介欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。欧拉数以世界著名数学家欧拉名字命名；还有一个鲜为人知的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔 (John Napier) 引进对数。

pi是怎么得到的？

因为lim(n→∞)∑1/n-lnn=欧拉常数

欧拉常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1735年发表的文章 De Progressionibus harmonicus observationes 中定义。欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数

呵呵楼上的说的用洛比打法则到底能不能做，我不知道，我觉得可能有点麻烦的，毕竟洛必达法则的条件要求导函数之比极限存在的。我没去想那个。楼主我不知道你怎么证明的这个数列单调增加！我记得我证明的时候是先证明单调递减，再证明有下界0！这个也可以用积分中值定理证，或者构造一个级数来证明，我个人觉得构造级数最简单。大概是这样v(n)=a(n)-a(n-1)=1/n+ln(1-1/n)=1/n+[-1/n-1/2n^2+o(1/n^2)]=-1/2n^2+o(1/n^2)级数v收敛所以它的部分和a收敛。

对式子【1+1/2+1/3+…+1/n=lnn+0.57721…+无穷小量】应该这样理解：首先有了【lim(n→∞)[(1+1/2+1/3+…+1/n)-lnn]=0.57721…】，才有【1+1/2+1/3+…+1/n=lnn+0.57721…+无穷小量】的。那么，计算欧拉常数的方法也就清楚了吧。【注】数列An=(1+1/2+1/3+…+1/n)-lnn的收敛性，可以根据【{An}单调增加，且有上界】来证明，其极限就是【欧拉常数】。

e是欧拉常数不对吧。

不确定，没被证明，虽然现在算出好多好多位

　　欧拉常数是无理数。

您好，海涅定理证明不了欧拉常数。什么是欧拉常数？调和级数的部分和1+1/2+1/3+…+1/n＝ln n＋an＋C，其中｛an｝是无穷小量，C≈0.57721566…称为“欧拉常数。即∑₁ⁿ1／k-ln n≈c（k＝1→n），当n充分大时，1+1/2+1/3＋…＋1／n和ln n的比值接近于1。现在人们猜想欧拉常数是超越数，但至今还不知道它是不是无理数。海涅定理是关于三角级数的定理，如果两个三角级数在【-π，π】内收敛于同一个函数f，那么这两个级数恒等。祝学习愉快！

伽马分布与欧拉常数关系欧拉常数与伽马函数的关系欧拉常数和伽马函数是数学之间具有重要关联的两个重要概念，这篇文章将简要介绍它们之间的关系。欧拉常数是一种自然数的标准，它的定义为：“用归纳法考虑一切无穷小的正整数的和的属性的极限。”在数学上，欧拉常数可以被表示为：e=limn→∞(1+(1/n))^n，其中，n是某自然数。它也被认为是“自然指数”，它是无限级数构成的自然数的极限。伽马函数，也被称为指数函数，是由伽玛函数定义的，表达为y=ex，其中x是某个变量，e是欧拉常数。因此，欧拉常数e与伽马函数之间的关联作为一个重要的参数，也是伽马函数的关键参数。伽马函数既可以作为实数自变量的函数使用，也可以作为实数值对函数应用。它的定义如下：当自变量x增加时，它的值也增加，而改变的值是固定的，这个增加量是与自变量的增量均匀的。例如：当x值从x1增加到x2时，伽马函数的值也从f(x1)增加到f(x2)。因此，e与x的关系，是作为伽马函数增加量的常量，以实现伽马函数从一点增加到另一点的量级。伽马函数还可以作为复数自变量的函数使用，用来表示复数变量。它定义为：以复数x为自变量时，伽马函数可以用来表示复数y中的指数量。用简单的说，也就是说，当复数x的模增加某个值时，指数y也会随之增加该值的欧拉常数的量级。换句话说，有e为模增量的量级，使得复数x从一点增加到另一点。总之，欧拉常数e与伽马函数之间具有重要的联系，它们都在许多数学领域有其重要的作用，特别是在描述自然数和复数变量的增加量时，它们的关系尤为重要。￥5百度文库VIP限时优惠现在开通,立享6亿+VIP内容立即获取欧拉常数与伽马函数的关系欧拉常数与伽马函数的关系欧拉常数和伽马函数是数学之间具有重要关联的两个重要概念，这篇文章将简要介绍它们之间的关系。欧拉常数是一种自然数的标准，它的定义为：“用归纳法考虑一切无穷小的正整数的和的属性的极限。”在数学上，欧拉常数可以被表示为：e=limn→∞(1+(1/n))^n，其中，n是某自然数。它也被认为是“自然指数”，它是无限级数构成的自然数的极限。伽马函数，也被称为指数函数，是由伽玛函数定义的，表达为y=ex，其中x是某个变量，e是欧拉常数。因此，欧拉常数e与伽马函数之间的关联作为一个重要的参数，也是伽马函数的关键参数。第 1 页伽马函数既可以作为实数自变量的函数使用，也可以作为实数值对函数应用。它的定义如下：当自变量x增加时，它的值也增加，而改变的值是固定的，这个增加量是与自变量的增量均匀的。例如：当x值从x1增加到x2时，伽马函数的值也从f(x1)增加到f(x2)。因此，e与x的关系，是作为伽马函数增加量的常量，以实现伽马函数从一点增加到另一点的量级。伽马函数还可以作为复数自变量的函数使用，用来表示复数变量。它定义为：以复数x为自变量时，伽马函数可以用来表示复数y中的指数量。用简单的说，也就是说，当复数x的模增加某个值时，指数y也会随之增加该值的欧拉常数的量级。换句话说，有e为模增量的量级，使得复数x从一点增加到另一点。

Xavier Gourdon在1999年使用以下算法计算欧拉常数到了108,000,000位：对给定的 ，计算：则有其中， = 4.970625759544232... 满足方程 。对给定的，此方法可以得到接近 位的十进制小数精度。

如何用matlab求欧拉常数？1、首先我们根据欧拉常数的定义，写出其表达式，如下图所示。2、从表达式我们看到，求和部分可以用symsum函数来求解3、然后再用limit函数，求其n一﹥∞的极限4、完整的代码如下>>syms k n>>S = symsum(1/k,k,1,n) - log(n)>>vpa(limit(S,n,Inf),20)5、也可以直接用下列命令来求解>>-psi(1)6、执行结果

答：圆周率∏,自然对数的底数e,欧拉常数y,都是无理数,但其中最有名的两个就是圆周率π和自然对数的底数e.自然对数的底数是指无理数e=2.718281828459045.e是一个奇妙有趣的无理数,它取自数学家欧拉Euler的英文字头.欧拉首先发现此数并称之为自然数 .但这里所说的自然数与常见的自然数：1,2,3,4……是不同的.确切地讲,e应称为“自然对数lnN的底数”.e与圆周率π被认为是数学中最重要的两个超越数（不满足任何整系数代数方程的数,称超越数）.而且e、π与虚数i三者之间有一个相当有名的关系式：e^(iπ)=-1.e的近似值可以用以下的计算公式求得： e=1+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/(n-1)!+1/n!,n是正整数. n!是阶乘的意思,n!=n*(n-1)*(n-2)*.*3*2*1. 另外,还有一个不常见的无理数：欧拉常数γ=0.5772156649015328.它同时也是一个超越数. e、圆周率π、欧拉常数γ,这是最有名的无限不循环小数,即无理数. 圆周率π的前几千或前几万位比较常见,但自然对数的底数e的前几百位或千位就比较少见了,所以也一起发给你,以便日后有用. 无理数e的前1000位如下： e=2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274274663919320030599218174135966290435729003342952605956307381323286279434907632338298807531952510190115738341879307021540891499348841675092447614606680822648001684774118537423454424371075390777449920695517027618386062613313845830007520449338265602976067371132007093287091274437470472306969772093101416928368190255151086574637721112523897844250569536967707854499699679468644549059879316368892300987931277361782154249992295763514822082698951936680331825288693984964651058209392398294887933203625094431173012381970684161403970198376793206832823764648042953118023287825098194558153017567173613320698112509961818815930416903515988885193458072738667385894228792284998920868058257492796104841984443634632449684875602336248270419786232090021609902353043699418491463140934317381436405462531520961836908887070167683964243781405927145635490613031072085103837505101157477041718986106873969655212671546889570350354. 您不妨试下能否背下来?就像有许多的人在背数万位的圆周率一样.

由于欧拉是一个很多产的数学家兼天文学家兼物理学家兼天才，所以以欧拉命名的数什么的到处都是，从物理学到数学都有：http://baike.baidu.com/view/405180.htm?fr=ala0_1_1http://zhidao.baidu.com/question/661767.html?fr=ala0这是我搜的两个例子，大概你还可以搜到其他五花八门各种不一样的答案。但是，欧拉常数只有一个。设Xn=1+（1/2）+（1/3）+…+（1/n）-ln(n)，则当n趋于无穷的时候，Xn的极限就是欧拉常数。

利用“欧拉公式”1+1/2+1/3+……+1/n=ln(n)+C，(C为欧拉常数)Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)扩展资料：欧拉常数（Euler-Mascheroni constant)欧拉-马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于数论的数学常数。它的定义是调和级数与自然对数的差值的极限。欧拉常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1735年发表的文章 De Progressionibus harmonicus observationes 中定义。欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。欧拉数以世界著名数学家欧拉名字命名；还有一个鲜为人知的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔 (John Napier) 引进对数。参考资料：百度百科-欧拉常数

这个问题是世界100个难题中，始终没有解决的最后的几个难题之一。在这一点上它和著名的“1＋1”相当。但是它没有大的价值，这又和“1＋1”不同。它已经有了近似公式：1+1/2+1/3+1/4++1/n~=lnn+C(其中lnn是n的自然对数；C=0.577216……是一个专门用来计算调和数列的前n项和的无理数，叫做欧拉常数）迄今为止，没有人算出过它的通项公式。连它是发散的级数这个性质，也是很晚才得出的。后来发现，再给它加个项，-ln(n)的情况下，发现它是收敛的级数，在n趋向于无穷大的时候，定义它的极限为r(咖玛)，称为欧拉常数。1+1÷2+1÷3+.......+1÷n近似的等于ln(n)+r,在n趋向于无穷大时取等号. 当n很大时，有：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...1/n = 0.57721566490153286060651209 + ln(n)//C++里面用log(n)，pascal里面用ln(n) 0.57721566490153286060651209叫做欧拉常数 1+1/2+1/3+…+1/n是没有好的计算公式的，所有计算公式都是计算近似值的，且精确度不高。 自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时): 1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用) 得到公式, 用C++实现就容易了 long double Sn( const unsigned int& n ) { const long double euler = 0.57721566490153286060651209; return ( log( static_cast<long double>(n) ) + euler );}一个可以计算欧拉常数的递推公式的euler= 1 + 1/2 + ... + 1/m -ln(m) - 1/(2m) + 1/(12m^2) - 1/(120m^4) + 1/(252m^6)- o(m)其中|o(m)| <= 22.5*(m * PI)^(-7)因此只要选择一个合适的m使o(m)不影响精度即可例如，当m=5的时候，精度高于1E-7.

（1） 求解欧拉常数（也称为自然对数的底或Euler"s number）有多种方法。以下是两种常见的方法：数值法：使用数值方法计算调和级数的前n项和，并观察其趋势。调和级数的前n项和定义为H（n） = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n。通过计算H(n)并观察其随着n的增大而趋近于一个特定的值，我们可以逼近欧拉常数。符号法：通过数学推导和证明，可以使用数学公式和关系得到欧拉常数的表达式。欧拉常数可以表示为e = lim（n->∞） （1 + 1/1！ + 1/2！ + 1/3！ + ... + 1/n！），其中n！表示n的阶乘。通过数值法计算调和级数的前n项和，可以得到欧拉数列的近似值，进而通过调和级数实验来研究欧拉常数的性质。(2) 欧拉常数在数学和科学中有广泛的应用。以下是一些应用的例子：概率和统计：欧拉常数出现在统计学和概率论中的各种公式和分布中，例如正态分布、指数分布和泊松分布的概率密度函数。复利计算：欧拉常数与复利计算密切相关。复利是指利息在每个计息周期内都会增加并与本金一起计算利息的过程。欧拉常数出现在复利计算的公式中，用于计算复利的增长率。微积分：欧拉常数在微积分中扮演重要角色。它与指数函数和对数函数之间有特殊的关系，以及与三角函数之间的关系，这在微积分的各个分支中都有应用。下面是一个使用垫子function eulerConstant = computeEulerConstant(n)eulerSum = 0;for k = 1:neulerSum = eulerSum + 1/k;endeulerConstant = eulerSum;end% 示例调用n = 1000; % 计算调和级数的前n项和eulerApproximation = computeEulerConstant(n);disp(eulerApproximation);这个程序使用数值法计算调和级数的前n项和，并返回近似的欧拉常数。你可以根据需要调整n的值来控制近似的精度。

欧拉常数（Euler-Mascheroni constant)欧拉-马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于数论的数学常数。它的定义是调和级数与自然对数的差值的极限。由无穷级数理论可知，调和级数 是发散的。但可以证明，存在极限。由不等式 可得故 有下界。而再一次根据不等式 ，取 ，即可得所以 单调递减。由单调有界数列极限定理，可知 必有极限，即存在。该极限被称作欧拉常数，现在通常将该常数记为γ。向左转|向右转

调和级数∞∑(1/n)n=1是发散的,而极限nlim[∑(1/k)-lnn]n→∞k=1却是收敛的,将该极限值称为欧拉（EULER）常数γ，近似计算γ=0.5772156.......（人家问的是欧拉常数，不是欧拉数啊）

调和级数∞∑(1/n)n=1是发散的,而极限 nlim [∑ (1/k)-ln n]n→∞ k=1却是收敛的,将该极限值称为欧拉（EULER）常数γ，近似计算γ=0.5772156.......（人家问的是欧拉常数，不是欧拉数啊）

欧拉常数约为 0.57721566490153286060651209。目前尚不知道欧拉常数是否为有理数，但是分析表明如果它是一个有理数，那么它的分母位数将超过10242080。 日期 位数 计算者 1734年 6 莱昂哈德·欧拉 1736年 15 莱昂哈德·欧拉 1790年 19 Lorenzo Mascheroni 1809年 24 Johann G. von Soldner 1812年 40 F.B.G. Nicolai 1861年 41 Oettinger 1869年 59 William Shanks 1871年 110 William Shanks 1878年 263 约翰·柯西·亚当斯 1962年 1,271 高德纳 1962年 3,566 D.W. Sweeney 1977年 20,700 Richard P. Brent 1980年 30,100 Richard P. Brent和埃德温·麦克米伦 1993年 172,000 Jonathan Borwein 1997年 1,000,000 Thomas Papanikolaou 1998年12月 7,286,255 Xavier Gourdon 1999年10月 108,000,000 Xavier Gourdon和Patrick Demichel 2006年7月16日 2,000,000,000 Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo 2006年12月8日 116,580,041 Alexander J. Yee 2007年7月15日 5,000,000,000 Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo 2008年1月1日 1,001,262,777 Richard B. Kreckel 2008年1月3日 131,151,000 Nicholas D. Farrer 2008年6月30日 10,000,000,000 Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo 2009年1月18日 14,922,244,771 Alexander J. Yee和Raymond Chan 2009年3月13日 29,844,489,545 Alexander J. Yee和Raymond Chan