费马数

任意两个费马数都互质。证明如下：设m>n, ，而 = = =……= ，所以 整除 。根据辗转相除的原理， ，所以任意两个费马数都互质。费马数满足以下的递回关系： 其中n ≥ 2。这些等式都可以用数学归纳法推出。从最后一个等式中，我们可以推出哥德巴赫定理：任何两个费马数都没有大于1的公因子。要推出这个，我们需要假设 0 ≤ i < j 且 Fi 和 Fj 有一个公因子 a > 1。那么 a 能把和Fj都整除；则a能整除它们相减的差。因为a > 1，这使得a = 2。造成矛盾。因为所有的费马数显然是奇数。作为一个推论，我们得到素数个数无穷的又一个证明。其他性质： Fn的位数D(n,b)可以表示成以b 为基数就是 (参见高斯函数). 除了F1 = 2 + 3以外没有费马数可以表示成两个素数的和。 当p是奇素数的时候，没有费马数可以表示成两个数的p次方相减的形式。 除了F0和F1，费马数的最后一位是7。 所有费马数（OEIS中的数列A051158）的倒数之和是无理数。

费马数是以数学家费马命名一组自然数，具有形式： 其中 n 为非负整数。若 2n + 1 是素数，可以得到 n 必须是2的幂。（若 n = ab，其中 1 &lt; a, b &lt; n 且 b 为奇数，则 2n + 1 ≡ (2a)b + 1 ≡ (−1)b + 1 ≡ 0 (mod 2a + 1)。）也就是说，所有具有形式 2n + 1 的素数必然是费马数，这些素数称为费马素数。已知的费马素数只有 F0 至 F4 五个。

伟大的科学家同样也会犯错误，科学史上这样的事件屡见不鲜。被举为“近代数论之父”、“业余数学家之王”的17世纪法国数学家费马就是其中一个，而且他所犯的错误又恰恰是在他最擅长的数论之中。1640年，费马发现：设Fn=22n+1，则当n=0，1，2，3，4时，Fn分别给出3，5，17，257，65537，都是素数。这种素数被称为“费马数”。由于F5太大（F5=4294967297）他没有再进行验证就直接猜测：对于一切自然数n，Fn都是素数。不幸的是，他猜错了。1732年欧拉发现：F5=225+1=4294967297=614×6700417，偏偏是一个合数！1880年，又有人发现F6=226+1=27477×67280421310721，也是合数。不仅如此，以后陆续发现F7，F8……直到F19以及许多n值很大的Fn全都是合数！虽然Fn的值随着n值的增加，以极快的速度变大（例如1980年求出F8=1238926361552897×一个62位数），目前能判断它是素数还是合数的也只有几十个，但人们惊奇地发现：除费马当年给出的5个外，至今尚未发现新的素数。这一结果使人们反过来猜测：是否只有有限个费马数？是否除费马给出的5个素数外，再也没有了？可惜的是，这个问题至今还悬而未决，成了数学中的一个谜。

不会,费马搞的东西,只有顶尖数学家才搞的定..小弟才疏学浅 楼上的好强