算术基本定理

You can use indirect proof.Assume there exists a cube such thatx^3 - n = 0, while n is not a perfect cube.By rational root theorem, if there is a rational root for x, thenx = factors of n But x^3 = (factors of n)^3 = nTherefore, n must be perfect cube. Since the assumption leads to contradiction, we can have the conclusion that if n is not a perfect cube, then the cubic root of n is irrational.QED

算术基本定理是初等数论中一条非常基本和重要的定理，它把对自然数的研究转化为对其最基本的元素——素数的研究。它所体现的唯一因子分解的思想，在现代交换环理论中起着非常重要的作用。唯一因子分解的思想从本质上讲是指以下两种性质： “存在性和唯一性”。所谓“存在性”就是指一个元素可以分解为有限多个不可约因子的乘积。“唯一性”是指这种分解表示在某种意义上来说是唯一的。唯一因子分解的思想最初作为一个自然数的性质而出现，这个性质就是通常所说的算术基本定理。算术基本定理：任何一个大于 1 的自然数可以分解成一些素数的乘积；并且在不计次序的情况下，这种分解方式是唯一的。算术基本定理起源很早，但将其提炼、明确表述成一条定理，使其在初等数论中获得基础性的地位，却经历了一段较长的时间。设 为任一整数,则 与 是他的因数,称为平凡因数若 只有平凡因数,则称p为素数,否则称为合数定理：设p为素数,则 ,有 或证明：推论：设 , 为素数,且 ,则p整除某个证明：定理：任一大于1的整数一定能表成素数的乘积,且该表示法除了次序外是唯一的,即若 ,则有 ,其中 为素数,且若又有 ,其中 为素数,则 ,且适当调整次序后,对任意的 都有证明：推论：(1)任一大于1的正整数a都可唯一写成a的标准分解式其中 为素数(2) 且则其中定义：设 ,记集合 中与a互素的整数个数为 , 是一个定义在全体正整数集合上的一个函数,称为欧拉函数例：设p为素数,则集合 中,与p互素的元为 ,因此注： ,有集合 中有 个元,对于该集合中任一元a, ,故与 不互素的元有 个,从而与 互素的元有 个

术基本定理，又称为正整数的唯一分解定理，即：每个大于1的自然数，若不是本身就是质数，就是可写为2个以上的质数的积，而且这些质因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。例如:{displaystyle 6936=2^{3} imes 3 imes 17^{2}}6936=2^{3} imes 3 imes 17^{2}，{displaystyle 1200=2^{4} imes 3 imes 5^{2}}1200=2^{4} imes 3 imes 5^{2}

成立，1不是素数，但2是最小的素数因为2只有本身和1才能相乘

2本来就是一个素数

对给定的任意正整数n>1，下述n个连续的自然数都是合数(n+1)!+2,(n+1)!+3,......,(n+1)!+n+1证明：任取第k个数(n+1)!+(k+1),1≤k≤n因为(n+1)!=1*2*3*...(k+1)...*(n+1)所以(n+1)!+(k+1)至少有一个因子k+1。因此对任意给定的正整数n>1,存在n个连续的合数。

若√5是有理数则√5=a/b（ab互质，且ab为正整数）那么5=a^2/b^25b^2=a^2所以a^2能被5整除所以a是5的倍数设a=5x则5b^2=(5x)^25b^2=25x^2b^2=5x^2显然b也是五的倍数与ab互质矛盾所以根号5是无理数

　任何一个大于1的自然数N，都可以唯一分解成有限个质数的乘积 N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an) , 这里P_1<P_2<...<P_n是质数，其诸方幂 ai 是正整数。 　　这样的分解称为N 的标准分解式。对于素数特殊情况这里n=1,所以素数表示成n=n形式，不用找两个数乘积，不然也个分解式后面都可加个1相乘，没有意思。

任何整数n≥2都可以分解成若干质数的乘积，即n=p1p2···pr且这些质数的组成是唯一的。在我们开始证明计算基本定理之前，先要做一些必要的解释。首先，如果n本身就是个质数，那么我们只能写成n=n，并且把它认定成一个独立数字的乘积。第二，当我们写出n=p1p2···pr时，并不意味着p1，p2，...，pr这些数都是不同的质数。比如，300=2×2×3×5×5。第三，所说的那个“唯一”指的是那些质数的组成是唯一的，而不是指排列顺序。如，12=2×2×3，12=2×3×2，12=3×2×2，但这些都视为同一种组成方式。

算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。而以下是用现代的陈述方式去证明。 待证命题：大于1的自然数必可写成质数的乘积。用反证法：假设存在大于1的自然数不能写成质数的乘积，把最小的那个称为n。非零自然数可以根据其可除性（是否能表示成两个不是自身的自然数的乘积）分成3类：质数、合数和1。首先，按照定义，n大于1。其次，n不是质数，因为质数p可以写成质数乘积：p=p，这与假设不相符合。因此n只能是合数，但每个合数都可以分解成两个小于自身而大于1的自然数的积。设其中a和b都是介于1和n之间的自然数，因此，按照n的定义，a和b都可以写成质数的乘积。从而n也可以写成质数的乘积。由此产生矛盾。因此大于1的自然数必可写成质数的乘积。 欧几里得引理：若质数p|ab，则p|a或p|b。证明：若p|a则证明完毕。若否，p和a的最大公约数为1。根据裴蜀定理，存在整数对(m,n)使得ma+np=1。于是b=b(ma+np) =abm+bnp。由于p|ab，上式右边两项都可以被p整除。所以p|b。再用反证法：假设有些大于1的自然数可以以多于一种的方式写成多个质数的乘积，那么假设n是最小的一个。首先不是质数。将n用两种方法写出：根据引理，质数所以中有一个能被整除，即中有一个能被整除。不妨设为。但也是质数，因此。假设，则。那麽，按照之前类似的论证，有一个能被整除，但。所以不能有，同理，也不能有，因此。两边相除得，於是一个存在比小的正整数，可以用多于一种的方式写成多个质数的乘积。这与的最小性矛盾。因此唯一性得证。

具体的证明过程我记不太清楚了大概是这样的（1）素数（质数），显然成立（2）然后证存在性，这一点很好证的，根据合数的定义即可比如说x是合数，那么x的最小非1的因子一定是一个质数，否则可以再分然后继续分下去，便可以证明存在（3）然后证唯一性用反证，例如x是合数，那么假设存在x=ab=cd（ac都是质数），然后用余数法证明ab一定等于cd然后再往下除，有点类似无穷递降的方法即可证明

由算术基本定理知，a=r1*r2*……*rnb=s1*s2*……*snm=t1*t2*……*tn其中r,s,t都是素数，若a和b均与m互素则r,t与s,t都是互质的r与s的任意乘积组合也与t互质，所以ab与m互素

任何一个大于1的自然数，都可以唯一分解成有限个质数的乘积，这里均为质数，其诸指数是正整数。这样的分解称为的标准分解式。

我同意这种证明方法：设√10为有理数，不妨设√10=n/m(n,m之间互质)则n^2=10m^2可见n^2是10的倍数按原理n是10的倍数设n=10k代入得m^2=10k^2可见m^2是10的倍数按原理m是10的倍数但这与m,n互质矛盾所以√10不是有理数

由算术基本定理，可设a=p1^a1*p2^a2*......*pn^an......b=p1^b1*p2^b2*......*pn^bn......c=p1^c1*p2^c2*......*pn^cn......(p1,p2,.....,pn,.......为素数)则[b,c]=p1^max{b1,c1}*p2^max{b2,c2}*......(a,[b,c])=p1^min{a1,max{b1,c1}}*p2^min{a2,max{b2,c2}}*......同理：[(a,b),(a,c)]=p1^max{min{a1,b1},min{a1,c1}}*p2^max{min{a2,b2},min{a2,c2}}*......所以只需证明：min{a,max{b,c}}=max{min{a,b},min{a,c}}然后可用两种方法证明：1.对a,b,c分类讨论，有2^3=8种情况2.min{x,y}=(x+y-|x-y|)/2 max{x,y}=(x+y+|x-y|)/2我比较懒，都没仔细计算，不过应该差不多了吧

设 为任一整数,则 与 是他的因数,称为平凡因数 若 只有平凡因数,则称p为素数,否则称为合数 定理：设p为素数,则 ,有 或 证明：推论：设 , 为素数,且 ,则p整除某个 证明：定理：任一大于1的整数一定能表成素数的乘积,且该表示法除了次序外是唯一的,即若 ,则有 ,其中 为素数,且若又有 ,其中 为素数,则 ,且适当调整次序后,对任意的 都有 证明：推论： (1)任一大于1的正整数a都可唯一写成a的标准分解式其中 为素数 (2) 且 则 其中 定义：设 ,记集合 中与a互素的整数个数为 , 是一个定义在全体正整数集合上的一个函数,称为欧拉函数 例：设p为素数,则集合 中,与p互素的元为 ,因此 注： ,有 集合 中有 个元,对于该集合中任一元a, ,故与 不互素的元有 个,从而与 互素的元有 个