自然对数

函数exp()

好问题！

(1+1/x)^x 正是这种从无限变化中获得的有限，从两个相反方向发展（当X趋向正无穷大的时，上式的极限等于e=2.71828……，当X趋向负无穷大时候，上式的结果也等于e=2.71828……）得来的共同形式，充分体现了宇宙的形成、发展及衰亡的最本质的东西。 e=2.71828……是“自然律”的一种量的表达。“自然律”的形象表达是螺线。螺线的数学表达式通常有下面五种：（1）对数螺线；（2）阿基米德螺线；（3）连锁螺线；（4）双曲螺线；（5）回旋螺线。对数螺线在自然界中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线有一定的关系，不过目前我们仍未找到螺线的通式。对数螺线是1638年经笛卡尔引进的，后来瑞士数学家雅各·伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等。伯努利对这些有趣的性质惊叹不止，竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上。

这就是数学界公认的数学中最奇妙的公式：e^(iπ)+1=00: 代表算术；加法的不变量: 任一数与其加法逆相加为0：a+(-a)=0任一数与0相加则不变： a+0=a任一数与0相乘则为0： ax0=01：代表算术；自然数的单位；乘法的不变量：任一数与1相乘则不变：ax1=a任一数（0除外）与其乘法逆相乘为1：axa-1=1 (a≠0)i: 代表代数；虚数的单位；i=√-1；i与自身相乘（平方）转换为实数－1，恰好是1的加法的逆。e: 代表分析；自然对数的底；为一个超越数，分析学中无处不在。 e=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+……=2.718281828459045……π:代表几何；圆周率；最常用的一个超越数；在无数的公式中出现。 π=4(1-1/3+1/5-1/7+1/9－……)=3.141592653589793……这个简洁的公式把数学中最重要的五个元素结合在一起，堪称经典！

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1、首先让我们打开一个样表作为例子。2、插入exp函数，函数的格式是=Exp( number )，number参数是底数e的指数。3、插入ln函数，函数的格式是=ln（number），number参数是想要计算其自然对数的正实数。4、我们可以看到结果上exp函数和ln函数互为自然对数中的指数和底，两个函数其实就是颠倒函数。5、然后记住这两个函数求的是自然对数，如果需要求幂，使用的是^求幂公式。

ln0.1=ln1-ln10=-ln10查阅自然对数表得-ln10=-2.302585于是ln0.1=-2.302585

用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a为底，b的对数*表示乘号，/表示除号定义式：若a^n=b(a>0且a≠1)则n=log(a)(b)基本性质：1.a^(log(a)(b))=b2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)推导1.这个就不用推了吧，直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b)2.MN=M*N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]*a^[log(a)(N)]由指数的性质a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)3.与2类似处理MN=M/N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(M/N)]=a^[log(a)(M)]/a^[log(a)(N)]由指数的性质a^[log(a)(M/N)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)4.与2类似处理M^n=M^n由基本性质1(换掉M)a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n由指数的性质a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

f(x) 不是单调函数，说明 f "(x) 的值有正有负，这就要求 e^x+k^2/e^x 的最小值小于 1/k ，由于 e^x+k^2/e^x>=2|k| （均值不等式），所以 2|k|<1/k ，显然 k>0 ，因此 2k<1/k ，2k^2<1 ，k^2<1/2 ，解得 0<k<√2/2 。选 C 。

问题：求复数的自然对数解答：把复数写成指数形式，也就是。（为复数的模，即。为复数的辐角主值）∵∴这就是当真数为复数时的自然对数运算公式例：求ln(-1)解：-1=-1+0i，对应复平面上的点为(-1,0)，则其幅角主值为π，模长为1。代入公式得：由此可见，即，这就是欧拉恒等式。

单项数值与平均值之间的差称为离差，它是一个不可观测的随机变量，又称为随机干扰项或随机误差项。一般计算离差平方和来表示数据分布的集中程度，反映了估计量与真实值之间的差距。可能出现结果与平均预期的偏离程度，代表风险程度的大小。在总体回归函数中引入随机干扰项，主要有以下几个方面的原因：（1）代表未知的影响因素。由于对所考察总体认识上的非完备性，许多未知的影响因素还无法引入模型，因此，只能用随机干扰项代表这些未知的影响因素。（2）代表残缺数据。即使所有的影响变量都能够被包括在模型中，也会有某些变量的数据无法取得。（3）代表众多细小影响因素。有一些影响因素已经被认识，而且其数据也可以收集到，但它们对被解释变量的影响却是细小的。考虑到模型的简洁性，以及取得诸多变量数据可能带来的较大成本，建模时往往省掉这些细小变量，而将它们的影响综合到随机干扰项中。（4）代表数据观测误差。由于某些主客观的原因，在取得观测数据时，往往存在测量误差，这些观测误差也被归入随机干扰项。（5）代表模型设定误差。由于经济现象的复杂性，模型的真实函数形式往往是未知的，因此，实际设定的模型可能与真实的模型有偏差。随机干扰项包括了这种模型的设定误差。（6）变量的内在随机性。即使模型没有设定误差，也不存在数据观测误差，由于某些变量所固有的内在随机性，也会对被解释变量产生随机性影响。总之，随机干扰项具有非常丰富的内容，在计量经济学模型的建立中起着重要的作用。

你问的这个问题，那就要通过导数的定义来看了，所谓导数，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。用表达式可表示如下：f"(x)=lim(h→0）[f(x+h)-f(x)]/h.对于本题：(lnx)"=lim(h→0）[ln(x+h)-lnx]/h.=lim(h→0）ln[(x+h)/x]/h.=lim(h→0）ln[1+(h/x)]/h.=lim(h→0）ln[1+(h/x)]/[x*(h/x)].=(1/x)lim(h→0）ln[1+(h/x)]/[(h/x)].......(1)此处变形的目的是为了使用等价无穷小代换，因为：lim(h→0）ln[1+(h/x)]=lim(h→0）(h/x)所以：lim(h→0）ln[1+(h/x)]/[(h/x)]=1,代入到（1）式子，即可得到：(lnx)"=1/x.

自然对数转换成常用对数的方法：lnx=loga(x)/loga(e)，这样就把以e为底的自然对数转化成了以a为底的对数。自然对数是指以常数e为底数的对数叫做自然对数，记作lnN(N>0)。自然对数在物理学，生物学等自然科学中有重要的意义。自然对数的一般表示方法为lnx。数学中也常见以logx表示自然对数。若为了避免与基为10的常用对数lgx混淆，可用“全写”㏒ex。

以10为底的对数叫做常用对数为底的对数叫做自然对数

e，作为数学常数，是自然对数函数的底数。有时称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰•纳皮尔引进对数。它就像圆周率π和虚数单位i，e是数学中最重要的常数之一。 它的数值约是（小数点后100位）：e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 第一次提到常数e，是约翰•纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉•奥特雷德(William Oughtred)制作。第一次把e看为常数的是雅各•伯努利(Jacob Bernoulli). 已知的第一次用到常数e，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以b表示。1727年欧拉开始用e来表示这常数；而e第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》(Mechanica)。虽然以后也有研究者用字母c表示，但e较常用，终于成为标准。 用e表示的确实原因不明，但可能因为e是“指数”(exponential)一字的首字母。另一看法则称a，b，c和d有其他经常用途，而e是第一个可用字母。不过，欧拉选这个字母的原因，不太可能是因为这是他自己名字Euler的首字母，因为他是个很谦虚的人，总是恰当地肯定他人的工作。 很多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟。指数函数的重要方面在于它是唯一的函数与其导数相等（乘以常数）。e是无理数和超越数（见林德曼—魏尔施特拉斯定理(Lindemann-Weierstrass)）。这是第一个获证为超越数，而非故意构造的（比较刘维尔数）；由夏尔•埃尔米特(Charles Hermite)于1873年证明。 当x趋于正无穷大或负无穷大时，“1加x分之一的x次方”这个函数表达式（1+1/x）^x的极限就等于e，用公式表示，即：lim（1+1/x）^x＝e（x趋于±∞） 实际上e就是欧拉通过这个极限而发现的，它是个无限不循环小数，其值等于2.71828……。以e为底的对数叫做自然对数，用符号“ln”表示。 以e为底的对数（自然对数）和指数，从数学角度揭示了自然界的许多客观规律，比如指数函数“e的x次方”对x的微分和积分都仍然是函数本身。后人把这个规律叫做“自然律”，其中e是自然律的精髓。因此，上述求极限e的公式被英国科学期刊《物理世界》2004年10月号公布为读者选出的科学界历来“最伟大的公式”之一，并且名列第二。 欧拉（Leonhard Euler 公元1707－1783年） 1707年出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，13岁就进巴塞尔大学读书，得到当时最有名的数学家约翰•伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748年）的精心指导。 欧拉渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都是令人惊叹不已的！他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文。到如今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等，数也数不清。他对数学分析的贡献更独具匠心，《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作，当时数学家们称他为“分析学的化身”。 欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，称为数学界的莎士比亚。据统计他那不倦的一生，共写下了886部书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%。彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了47年！数学史上称18世纪为“欧拉时代”。 欧拉还创设了许多数学符号，例如函数f（x）（1734年），π（1736年），log和 e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），△x（1755年），∑（1755年），虚数i（1777年）等等。 欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环境中工作，他常常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾13个孩子在旁边喧哗。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，使他在59岁双目失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文。 19世纪伟大数学家高斯（Gauss，1777-1855年）曾说：“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法。”欧拉的父亲保罗•欧拉（Paul Euler）也是一个数学家，原希望小欧拉学神学，同时教他一点教学。由于小欧拉的才华和异常勤奋的精神，又受到约翰•伯努利的赏识和特殊指导，当他在19岁时写了一篇关于船桅的论文，获得巴黎科学院的奖的奖金后，他的父亲就不再反对他攻读数学了。 1725年约翰•伯努利的儿子丹尼尔•伯努利赴俄国，并向沙皇喀德林一世推荐了欧拉，这样，在1727年5月17日欧拉来到了彼得堡。1733年，年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授。 1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算慧星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了。然而过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时他才28岁。 1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏林担任科学院物理数学所所长，直到1766年，后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回彼得堡，不料没有多久，左眼视力急剧衰退，最后也完全失明。不幸的事情接踵而来。1771年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病且双目失明的64岁的欧拉，被围困在大火中。虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了。沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来。欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久。欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代笔记的内容，心算并不限于简单的运算，高等数学一样可以用心算去完成。欧拉在失明的17年中，还解决了使牛顿头痛的月离问题和很多复杂的分析问题。 欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家，从19岁起和欧拉通信，讨论等周问题的一般解法，这引起变分法的诞生．等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题，拉格朗日的解法，博得欧拉的热烈赞扬，1759年10月2日欧拉在回信中盛称拉格朗日的成就，并谦虚地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表，使年青的拉格朗日的工作得以发表和流传，并赢得巨大的声誉。他晚年的时候，欧洲所有的数学家都把他当作老师，著名数学家拉普拉斯（Laplace）曾说过：“欧拉是我们的导师。” 欧拉充沛的精力保持到最后一刻，1783年9月18日下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭，那时天王星刚发现不久，欧拉写出了计算天王星轨道的要领，还和他的孙子逗笑，喝完茶后，突然疾病发作，烟斗从手中落下，口里喃喃地说：“我死了”，欧拉终于“停止了生命和计算”。 欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的。 欧拉一生谦逊，从没有用自己的名字给他发现的东西命名。只有那个大约等于2.71828的自然对数的底，被他命名为e。但因他对数学广泛的贡献，因此在许多数学分支中，反而经常见到后人以他的名字命名的重要常数、公式和定理。 相对于π是希腊文字中圆周第一个字母，e的由来较不为人熟知。有人甚至认为：欧拉取自己名字的第一个字母e作为自然对数的底。 其实欧拉选择e的理由，较为多数人所接受的说法有二：一为在a，b，c，d等四个常被使用的字母后面，第一个尚未被经常使用的字母就是e，所以，他很自然地选了这个符号，代表自然对数的底数；另一说法为e是“指数”一词英文的第一个字母，虽然你或许会怀疑瑞士人欧拉的母语不是英文，可事实上法文、德文的“指数”都是它。究竟e的来历是什么？至今仍然是个谜。

(1+100/n)^n 好不好？！

答：圆周率∏,自然对数的底数e,欧拉常数y,都是无理数,但其中最有名的两个就是圆周率π和自然对数的底数e.自然对数的底数是指无理数e=2.718281828459045.e是一个奇妙有趣的无理数,它取自数学家欧拉Euler的英文字头.欧拉首先发现此数并称之为自然数 .但这里所说的自然数与常见的自然数：1,2,3,4……是不同的.确切地讲,e应称为“自然对数lnN的底数”.e与圆周率π被认为是数学中最重要的两个超越数（不满足任何整系数代数方程的数,称超越数）.而且e、π与虚数i三者之间有一个相当有名的关系式：e^(iπ)=-1.e的近似值可以用以下的计算公式求得： e=1+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/(n-1)!+1/n!,n是正整数. n!是阶乘的意思,n!=n*(n-1)*(n-2)*.*3*2*1. 另外,还有一个不常见的无理数：欧拉常数γ=0.5772156649015328.它同时也是一个超越数. e、圆周率π、欧拉常数γ,这是最有名的无限不循环小数,即无理数. 圆周率π的前几千或前几万位比较常见,但自然对数的底数e的前几百位或千位就比较少见了,所以也一起发给你,以便日后有用. 无理数e的前1000位如下： e=2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274274663919320030599218174135966290435729003342952605956307381323286279434907632338298807531952510190115738341879307021540891499348841675092447614606680822648001684774118537423454424371075390777449920695517027618386062613313845830007520449338265602976067371132007093287091274437470472306969772093101416928368190255151086574637721112523897844250569536967707854499699679468644549059879316368892300987931277361782154249992295763514822082698951936680331825288693984964651058209392398294887933203625094431173012381970684161403970198376793206832823764648042953118023287825098194558153017567173613320698112509961818815930416903515988885193458072738667385894228792284998920868058257492796104841984443634632449684875602336248270419786232090021609902353043699418491463140934317381436405462531520961836908887070167683964243781405927145635490613031072085103837505101157477041718986106873969655212671546889570350354. 您不妨试下能否背下来?就像有许多的人在背数万位的圆周率一样.