完全平方

完全平方数的一个性质：数字之和只能是0,1,4,7,92001个1和9个0组成的2010位数，数字之和=2001，再之和=3不属于0,1,4,7,9

不存在 设a的平方=3的m次方+3的n次方+1,所以（a+1)(a-1)=3的m次方+3的n次方,不妨设m大于等于n,则（a+1)(a-1)=3^n(3^(m-n)+1),a+1与a-1相差2,显然无

不存在设a的平方=3的m次方+3的n次方+1，所以（a+1)(a-1)=3的m次方+3的n次方，不妨设m大于等于n，则（a+1)(a-1)=3^n(3^(m-n)+1)，a+1与a-1相差2，显然无

要快速看出完全平方式，除了一些特别常见的（如：a^2+2ab+b^2）以外，对一般性的ax^2+bx+c来说，如果b=（ab）^0.5，那么该式是完全平方式。

4444444444不是完全平方数

它不是完全平方数

设原价为1，那么提价后的价格①（1+p%）*（1+q%）②（1+q%）*（1+p%）③[1+（p%+q%）/2]^2=[(1+p%)+(1+q%)]^2 / 4≥[2√（1+p%）*（1+q%）]^2 / 4 = （1+p%）*（1+q%）取“=”时，p=q，而p、q是不相等的正数，故取不到“=”。③>①=②提价最多的是③

U0001f625U0001f625U0001f625

三项式的完全平方公式：(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca。在数学中，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式。多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数。其中多项式中不含字母的项叫做常数项。 三项式是三个项组成的多项式，最常见的形式是二次三项式。不过不是所有三项式都是二次的，有的还有更高次数。在数学中，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式（若有减法：减一个数等于加上它的相反数）。多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数。 其中多项式中不含字母的项叫做常数项。

(a b)^2=a^2 2ab b^2 (a-b)^2=a^2-2ab b^2 配方公式 ax^2 bx c=a(x b/2a)^2 (4ac-b^2）/4a 如2x^2 3x 5=2*(x 3/4)^2

∵120×15=23×32×52，又∵n=15m，120×n是完全立方数，即120×15m是完全立方数，∴设m=23a×33b+1×53c+1[（a=0，1，2…），（b，c=1，2…）]，∵m是完全平方数，∴设a=2d，b=（2e-1），b=（2f-1），∴m=26d×36e-2×56f-2[（d=0，1，2…），（e，f=1，2…）]，∴36×n=36×15m=22×33×51m=26d+2×36e+1×56f-1[（d=0，1，2…），（e，f=1，2…）]，∵36×n是完全5次方数，∴设d=5g+3，e=5h-1，f=5k-4，∴36×n=230g+20×330h-5×530k-25[（g=0，1，2…），（h，k=1，2…）]∴取最小值：g=0，h=k=1可得：36×n=220×325×55，∴n=218×323×55．

n^2-19n+99=(n-10)(n-9)+9×1=k^2 如果n＜9,原式化为(10-n)(9-n) 10-n与9-n只差1,那么只有在10-n=9时 才能与9×1提出(10-n)的因数,并使之成为(10-n)^2 10-n=9 n=1 如果n＞9时 原式中(n-9)与(n-10)只差1,那么只有在n-9=9时 才能与9×1提出(n-9)的因数,并使之成为(n-9)^2 n-9=9 n=18 n=9时 原式=(9-10)(9-9)+9×1=9=3^2 所以n=1,9,18时成立 所求为:1+9+18=28

不能用完全平方公式 复数不是向量，复数是数，它的模的计算方法不能借用向量那一套 只能用“复数的模的平方=复数与它的共轭复数的积”来算

向量的 完全平方公式(a + b)² = (a + b)•(a + b) = a•a + a•b + b•a + b•b = a² + 2a•b + b²向量的 平方差公式(a + b)•(a - b) = a•a - a•b + b•a - b•b = a² - a•b + a•b - b² = a² - b²

向量的 完全平方公式(a + b)² = (a + b)•(a + b) = a•a + a•b + b•a + b•b= a² + 2a•b + b²向量的 平方差公式(a + b)•(a - b) = a•a - a•b + b•a - b•b= a² - a•b + a•b - b²= a² - b²

令(x-a)²=x²-6x+k x²-2ax+a²=x²-6x+k 所以-2a=-6 a²=k 所以a=3 所以k=a²=9,4,9,2,完全平方公式： （a-b）^2=a^2-2ab+b^2 不难看出，题目中，a=x,-2ab=-6x,k=b^2 所以求得b=3 所以k=b^2=9,2,9锛宬= (6梅2)镄勫钩鏂癸紝灏辨槸涓?棿闾f暟镄勪竴鍗婄殑骞虫柟锛屾湜阅囩撼,1,9,0,

对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B^2，则称A是完全平方式。

对于一个具有若干个简单变元的多项式A，如果存在另一个实系数多项式B，使A=B^2，则称A是完全平方式。　　【例子】　　（1）7x^2+4(√21)xy+12y^2是一个完全平方式，因为7x^2+4√(21)xy+12y^2=[(√7)x+(2√3)y]^2；　　（2）x^4-2x^3-x^2+2x+1是一个完全平方式，因为x^4-2x^3-x^2+2x+1=(x^2-x-1)^2；　　（3）因为(AB)^2+(AC)^2+(BC)^2+2BCA^2+2CAB^2+2ABC^2=(AB+BC+CA)^2，所以(AB)^2+(AC)^2+(BC)^2+2BCA^2+2CAB^2+2ABC^2是一个完全平方式。　　【几点注意】　　（1）以上多项式，指的都是实系数多项式。所以不能称A= -P^2+2PQ-Q^2为完全平方式，因为不存在以P、Q为变元的实系数多项式B，使A=B^2。　　（2）以上所说多项式，都是简单变元的多项式。我们不能随便称一个代数式或三角函数式为完全平方式。例如　　①尽管有x^2-2+1/x^2=(x-1/x)^2，但是因为这里x^2-2+1/x^2和x-1/x都不是多项式，所以代数式x^2-2+1/x^2不能被称为完全平方式的。　　②尽管有e^x+2+e^(-x)=[e^(x/2)+e^(-x/2)]^2，但是e^x+2+e^(-x)不能被称为完全平方式；　　③尽管有1+sin2x=(cosx+sinx)^2，但是1+sin2x也不能被称为完全平方式。　　【准完全平方式】　　〖导言〗　　如果把①改写为x^2-2(x)(1/x)+(1/x)^2，并将其中的1/x记为y，这里y是一个复合变元。　　类似地在②中记u=e^(x/2)，v=e^(-x/2)；在③中记P=cosx，Q=sinx。那么u、v和P、Q都是复合变元。　　〖定义〗　　若对于函数式A，存在关于复合变元u1、u2、……、un的“多项式”B，使A=B^2成立，则称A是“准完全平方式”。(这里u1、u2、……、un不全是简单变元的多项式)。　　〖例子〗　　按照定义，上述①x^2-2+1/x^2，②e^x+2+e^(-x)和③1+sin2x都被称为“准完全平方式”。　　这里所以要有“u1、u2、……、un不全是简单变元的多项式”的加注说明，主要为了区别出某些形式上貌似“准完全平方式”，但是本质上却是一个典型的“完全平方式”的情况。　　例如，当P=x^2-1，Q=x时，虽然有x^4-2x^3-x^2+2x+1=[(x^2-1)^2-2(x^2-1)x+x^2]=(P-Q)^2，在形式上他是一个“准完全平方式”，但是本质上却是前述例(2)中的那个典型的“完全平方式”。　　【类似概念 �6�1 完全平方数】　　若对于整数A，存在整数B，使A=B^2成立，则称A是完全平方数。　　例如0，1，4，9，16，25，36，……等，都是完全平方数。

全平方公式一般可以用于求解一元二次方程：ax² + bx + c = 0完全平方公式就是把上面的一元二次方程化为(x-a)²=b 的形式：x² + bx + c = 0=> x² + bx = -c=> (x + b/2)² = b²/4 - c=> (x + b/2)² = a²=> x = -b/2 ± √(a²)

完全平方公式即(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解等）。完全平方公式：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍。（a+b）²=a²﹢2ab+b²两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍。﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²

定义　　对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B^2，则称A是完全平方式。编辑本段公式　　a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 　　a^2-2ab+b^2=(a-b)^2编辑本段例子　　（1）7x^2+4(√21)xy+12y^2是一个完全平方式，因为7x^2+4√(21)xy+12y^2=[(√7)x+(2√3)y]^2； 　　（2）x^4-4x^3+2x^2+4x+1是一个完全平方式，因为x^4-4x^3+2x^2+4x+1=(x^2-2x-1)^2； 　　（3）因为(AB)^2+(AC)^2+(BC)^2+2BC(A^2)+2CA(B^2)+2AB(C^2)=(AB+BC+CA)^2，所以(AB)^2+(AC)^2+(BC)^2+2BCA^2+2CAB^2+2ABC^2是一个完全平方式。几点注意　　（1）以上多项式，指的都是实系数多项式。所以不能称A= -P^2+2PQ-Q^2为完全平方式，因为不存在以P、Q为变元的实系数多项式B，使A=B^2。 　　（2）以上所说多项式，都是简单变元的多项式。我们不能随便称一个代数式或三角函数式为完全平方式。例如 　　①尽管有x^2-2+1/x^2=(x-1/x)^2，但是因为这里x^2-2+1/x^2和x-1/x都不是多项式，所以代数式x^2-2+1/x^2不能被称为完全平方式的。 　　②尽管有e^x+2+e^(-x)=[e^(x/2)+e^(-x/2)]^2，但是e^x+2+e^(-x)不能被称为完全平方式； 　　③尽管有1+sin2x=(cosx+sinx)^2，但是1+sin2x也不能被称为完全平方式。

问题一：什么是完全平方形式 (a十b)的平方=a平方十b平方十2ab 问题二：什么是完全平方 完全平方有两个含义： 一个完全平方是可以表示成另一个整数的平方的正整数，也就是说，这个正整数可以写成n2 的形式，其中n是整数。 例如:1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... 是12 ,22 ,32 ,42 ,52 .. 可以分解成其它表达式的平方的算数表达式，例如：a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 问题三：大学毕业生就业情况怎么样？ 20分 每个学校吹的是很好~ 但实际上很严峻~ 要是男生还好~ 可要是女生~ 就更难了~ 女生学历越高越难~(个人意见) 现在的大学生能有份工作就不厂了~ 别计较工资了~ 先积累工作经验~ 为以后做准备~ 问题四：完全平方式是什么？怎么判断？不要复制。 一个式子能写成另一式子的平方的形式，就是完全平方式了呗。这样解释够清楚吧

①它是一个三项式． ②其中有两项是某两数的平方和． ③第三项是这两数积的正二倍或负二倍． ④具备以上三方面的特点以后，就等于这两数和(或者差)的平方．

整数的平方就是完全平方数

若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。即如果一个正整数a是某一个整数b的平方，那么这个正整数a叫做完全平方数。完全平方数是非负数，零也可称为完全平方数，一个完全平方数的项有两个。举例：0、1、4、9、16、25、36、49都是完全平方数。完全平方数的特征：1、完全平方数的末位数只能是0、1、4、5、6、9.2、奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。3、如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。结论：1、个位数是2、3、7、8的整数一定不是完全平方数。2、个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数。3、个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数。4、形如3n+2型的整数一定不是完全平方数。5、形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数。6、形如5n±2型的整数一定不是完全平方数。7、形如8n+2、8n+3、8n+5、8n+6、8n+7型的整数一定不是完全平方数。8、数字和是2、3、5、6、8的整数一定不是完全平方数。9、四平方和定理：每个正整数均可表示为4个整数的平方和。10、完全平方数的因数个数一定是奇数。

（a+b）2=a2+b2+2ab

问题一：用c语言表示怎样判断一个数是不是完全平方数 #include #include void main(){ int n ; printf(请输入一个数：) ; scanf(%d", &n) ; if(n == (int)sqrt(n)*(int)sqrt(n)) printf(是完全平方数! ) ; else printf(不是完全平方数! ) ; } 问题二：在c语言中，怎么判断一个数是否为完全平方数？ 计算这个数的平方根sqrt（），判断平方根是否为整数即可。 问题三：C语言中如何判断一个数是完全平方数 这样写。 int b; b=int(sqrt(a)) 叮if(b*b==a) 问题四：如何判断一个数是否是完全平方数 用有平方根按钮的计算器，计算这个数的平方根，如果得数是整数，那么原数字就是平方数。 问题五：如何判断一个数是不是完全平方数 完全平方数？ 首先，背下1-20的平方数，因为常用。 然后牢记以下规律： 完全平方数，凡是个位为0的，其平方根个位必为0 完全平方数，凡是个位为1的，其平方根个位必为1或9 完全平方数，凡是个位为4的，其平方根个位必为2或8 完全平方数，凡是个位为5的，其平方根个位必为5 完全平方数，凡是个位为6的，其平方根个位必为4或6 完全平方数，凡是个位为9的，其平方根个位必为3或7 然后，对于一个比较大的整数，比如：23916 一共有5位数字，假设它是完全平方数，那么它的平方根应该是一个3位数，因为100的平方是最小的5位数。 同时，这个平方根应该小于200，因为200的平方是40000比原数大。 我们不妨取个中间数150，因为已知15的平方是225（你背了），所以很容易算出150的平方是22500，比原数小。 同理，算出160的平方是25600，比原数大。 所以，如果24346时一个完全平方数，它的平方根应该大于150且小于160。 完全平方数，凡是个位为6的，其平方根个位必为4或6。 计算154的完全平方，等于 23716 比 23916 小200， 计算156的完全平方，等于 24336 比 23916 大420， 所以23916不是完全平方数。 对于一个位数较多的小数，比如：2.4336，2.43360和24.336. 小数点后位数为单数且“最后一位不为0”的数，一定不是完全平方数；小数点后位数为偶数的数，可能是完全平方数，比如：24.336小数点后位数为3，一定不是完全平方数； 但2.43360小数点后位数为5，却可能是完全平方数； 2.4336小数点后位数为4，可能是完全平方数。 判断一个小数是不是完全平方数比较常用的方法是“百倍扩大”也叫“移位法”，即把原数小数点向右移动“双数”位，直至小数变为整数，计算新整数的平方根，再把小数点按“百倍扩大”的次数移回，如：2.4336 小数点向右移动4位（两次“百倍扩大”）变为24336，计算24336的平方根（156），小数点左移两位（1.56）即为2.4336的平方根。 分数，只要 分子 分母都是完全平方数，这个分数就是完全平方数，反之，只要有一个不是，这个分数就不是完全平方数。 问题六：怎样判断一个数是完全平方数 计算这个数的平方根sqrt（），判断平方根是否为整数即可。 问题七：怎么判断一个数是否为完全平方数 有一个比较简单的办法就是运用短除法 （具体运算方法可百度查询） 这样你可以知道这个数是由哪些因数相乘得来的。如果这个数经短除法运算之后，所得的因数正好可以分为两个一模一样的部分 例如：4=2×2 16=2×2×2×2=4×4 那么这个数就是完全平方数

完全平方差公式：（a-b）^=a^-2ab+b^平方差公式：a^-b^ =(a+b)*(a-b) 扩展资料完全平方公式： 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍即完全平方公式。(a+b)^=a^+2ab+b^与（a-b）^=a^-2ab+b^ 都叫做完全平方公式.我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍；公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式.平方差公式：当乘式是两个数之和以及这两个数之差相乘时，积是二项式.这是因为具备这样特点的两个二项式相乘，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了.而它们的积等于乘式中这两个数的平方差，即a^-b^ =(a+b)*(a-b) 参考资料：百度百科-完全平方公式

完全平方公式：1、两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍，即（a+b）2=a2﹢2ab+b2。2、两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍，即﹙a－b﹚2=a2﹣2ab+b2。注意点：1、以上多项式，指的都是实系数多项式。所以不能称A= -P^2+2PQ-Q^2为完全平方式，因为不存在以P、Q为变元的实系数多项式B，使A=B^2。2、以上所说多项式，都是简单变元的多项式。不能随便称一个代数式或三角函数式为完全平方式。①尽管有x^2-2+1/x^2=(x-1/x)^2，但是因为这里x^2-2+1/x^2和x-1/x都不是多项式，所以代数式x^2-2+1/x^2不能被称为完全平方式的。②尽管有e^x+2+e^(-x)=[e^(x/2)+e^(-x/2)]^2，但是e^x+2+e^(-x)不能被称为完全平方式。③尽管有1+sin2x=(cosx+sinx)^2，但是1+sin2x也不能被称为完全平方式。重要结论：1、个位数是2、3、7、8的整数一定不是完全平方数。2、个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数。3、个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数。4、形如3n＋2型的整数一定不是完全平方数。5、形如4n＋2和4n＋3型的整数一定不是完全平方数。6、形如5n±2型的整数一定不是完全平方数。7、形如8n＋2，8n＋3，8n＋5，8n＋6，8n＋7型的整数一定不是完全平方数。8、数字和是2、3、5、6、8的整数一定不是完全平方数。9、四平方和定理：每个正整数均可表示为4个整数的平方和。10、完全平方数的因数个数一定是奇数。

完全平方指用一个整数乘以自己例如1*1，2*2，3*3等，依此类推。若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。

(a+b)^2=a^2+b^2+2ab(a-b)^2=a^2+b^2-2ab^为平方

画出边长为a的正方形，再以其一个端点的两条边延长至b，得到边长为b的正方形，那么两个正方形不相交的部分就是b^2-a^2而显然其面积为两个长方形之和即(b-a)*a+(b-a)*b所以b^2-a^2=(b-a)*a+(b-a)*b合并即证明了b^2-a^2=(b-a)*(a+b)证明完全平方公式也是同样的道理

画出边长为a的正方形，再以其一个端点的两条边延长至b，得到边长为b的正方形，那么两个正方形不相交的部分就是b^2-a^2而显然其面积为两个长方形之和即(b-a)*a +(b-a)*b所以b^2-a^2=(b-a)*a +(b-a)*b合并即证明了b^2-a^2=(b-a)*(a+b)证明完全平方公式也是同样的道理

如果a，b是向量数量乘(a+b)(a+b)=|a|^2+2abcosab+|b|^2cosab是a，b向量的夹角的余弦。可看出不是完全平方公式。如果是向量乘(a+b)X(a+b),就更不能用完全平方公式了。

完全平方差公式：（a-b)²=a²-2ab+b²平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)扩展资料两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍即完全平方公式。都叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍；公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式．平方差公式：当乘式是两个数之和以及这两个数之差相乘时，积是二项式．这是因为具备这样特点的两个二项式相乘，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了。参考资料来源：百度百科-平方差

　　完全平方和公式是(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。例如（a+b）的平方可以拆成a方+b方+2ab，这个叫做开方，但是（a+b）的平方不叫完全平方式。 　　那么如果内一个多项式形如：a方+b方+2ab，确切点说就是这个多项式可以因式分解成两个整式和的平方或差的平方，这样的多项式就叫完全平方式。

1、完全平方指用一个整数乘以自己例如1*1，2*2，3*3等，依此类推。若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。2、完全平方数是非负数，而一个完全平方数的项有两个。注意不要与完全平方式所混淆。

您好！很高兴回答您的问题！ 答：完全平方是用一个整数乘以自己例如1*1，2*2，3*3等，照此类推。若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。完全平方数是非负数，而一个完全平方数的项有两个。注意不要与完全平方式所混淆。您的采纳是对我最大的支持！祝您好运！谢谢！

1、完全平方指用一个整数乘以自己例如1*1，2*2，3*3等，依此类推。若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。 2、完全平方数是非负数，而一个完全平方数的项有两个。注意不要与完全平方式所混淆。

完全平方公式数学表达式为:完全平方和公式（a+b）²=a²+2ab+b²和完全平方差公式（a-b）²=a²－2ab+b²。即两个数和或差的平方等于它们的平方和加上或减去它们积的两倍。注意事项:要注意括号里的符号，如果是正号，则后面要减去两个数积的两倍，否则加上两个数积的两倍；这个两个公式通常用于数学计算中的因式分解。通过对这两个公式的熟练运用，可以巧妙地解决许多数学中遇到的难题。这也是中学学习必须要掌握的一个数学知识点了。

一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,… 观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质： 性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。 性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。 证明 奇数必为下列五种形式之一： 10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9 分别平方后，得 (10a+1)^2=100a^2+20a+1=20a(5a+1)+1 (10a+3)^2=100a^2+60a+9=20a(5a+3)+9 (10a+5)^2=100a^2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5 (10a+7)^2=100a^2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9 (10a+9)^2=100a^2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1 综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。 性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。 证明 已知m^2=10k+6，证明k为奇数。因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则 10k+6=(10n+4)^2=100+(8n+1)x10+6 或 10k+6=(10n+6)^2=100+(12n+3)x10+6 即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1 或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3 ∴ k为奇数。 推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。 推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。 性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。 这是因为 (2k+1)=4k(k+1)+1 (2k)=4 性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。 在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。 性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。 因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1, 3m+2。平方后，分别得 (3m)=9=3k (3m+1)=9+6m+1=3k+1 (3m+2)=9+12m+4=3k+1 同理可以得到： 性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。 性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。 除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题： 一个数的数字和等于这个数被9除的余数。 下面以四位数为例来说明这个命题。 设四位数为，则 = 1000a+100b+10c+d = 999a+99b+9c+(a+b+c+d) = 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d) 显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。 对於n位数，也可以仿此法予以证明。 关於完全平方数的数字和有下面的性质： 性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。 证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式，而 (9k)=9(9)+0 (9k±1)=9(9±2k)+1 (9k±2)=9(9±4k)+4 (9k±3)=9(9±6k)+9 (9k±4)=9(9±8k+1)+7 除了以上几条性质以外，还有下列重要性质： 性质10：为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。 证明 充分性：设b为平方数，则 ==(ac) 必要性：若为完全平方数，=，则 性质11：如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。 证明 由题设可知，a有质因数p，但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。 性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若 n^2 < k^2 < (n+1)^2 则k一定不是整数。 性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。 (二)重要结论 1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数； 2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数； 3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数； 4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数； 5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数； 6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数； 7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数； 8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。 (三)范例 [例1]：一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。 解：设此自然数为x，依题意可得 x-45=m^2; (1) x+44=n^2 (2) (m,n为自然数) (2)-(1)可得 : n^2-m^2=89或： (n-m)(n+m)=89 因为n+m>n-m 又因为89为质数， 所以：n+m=89; n-m=1 解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。 [例2]：求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题)。 分析 设四个连续的整数为，其中n为整数。欲证 是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。 证明 设这四个整数之积加上1为m，则 m为平方数 而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。 [例3]：求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞赛题)。 分析 形如的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即 或 在两端同时减去1之后即可推出矛盾。 证明 若，则 因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。 若，则 因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。 综上所述，不可能是完全平方数。 另证 由为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数的平方。但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而十位上的数字为1，所以不是完全平方数。 [例4]：试证数列49,4489,444889, 的每一项都是完全平方数。 证明 = =++1 =4+8+1 =4()(9+1)+8+1 =36 ()+12+1 =(6+1) 即为完全平方数。 [例5]：用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？ 解：设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和为600 3｜600 ∴3｜A 此数有3的因数，故9｜A。但9｜600，∴矛盾。故不可能有完全平方数。 [例6]：试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同(1999小学数学世界邀请赛试题)。 解：设此数为 此数为完全平方，则必须是11的倍数。因此11｜a + b，而a,b为0,1,2,9，故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8组可能。 直接验算，可知此数为7744=88。 [例7]：求满足下列条件的所有自然数： (1)它是四位数。 (2)被22除余数为5。 (3)它是完全平方数。 解：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。 11｜N - 4或11｜N + 4 或 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。 [例8]：甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元（n为整数），全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)？ 解：n头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6。所以，的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元。 [例9]：矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分)，这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题)。 解：设矩形的边长为x,y，则四位数 ∵N是完全平方数，11为质数 ∴x+y能被11整除。 又 ,得x+y=11。 ∴∴9x+1是一个完全平方数，而，验算知x=7满足条件。又由x+y=11得。 [例10]：求一个四位数，使它等于它的四个数字和的四次方，并证明此数是唯一的。 解：设符合题意的四位数为，则，∴为五位数，为三位数，∴。经计算得，其中符合题意的只有2401一个。 [例11]：求自然数n，使的值是由数字0,2,3,4,4,7,8,8,9组成。 解：显然，。为了便于估计，我们把的变化范围放大到，於是，即。∵，∴。 另一方面，因已知九个数码之和是3的倍数，故及n都是3的倍数。这样，n只有24,27,30三种可能。但30结尾有六个0，故30不合要求。经计算得 故所求的自然数n = 27。 (四)讨论题 1.(1986年第27届IMO试题) 设正整数d不等于2,5,13，求证在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a , b，使得ab -1不是完全平方数。 2.求k的最大值，使得可以表示为k个连续正整数之和。 总的来说，就是一个整数的平方的数

平方差公式：a²-b²= (a+b)(a-b)完全平方公式：（a+b）²=a²+2ab+b²（a-b）²=a²-2ab+b

完全平方公式：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B^2，则称A是完全平方式。定义：公式一 (A+2+B)²公式：a²+2ab+b²=(a+b)²a²-2ab+b²=(a-b)²

区别：从字面和完全平方的区别是‘完全"，其实区别已经在这体现了，完全平方和平方的区别主要在多项式里体现，如：a^2+b^2和（a+b）^2就能说明你的问题前者是单项式的平方和，也就是你说的平方后者是单项式和的平方，即完全平方，注意单项式的和与平方的先后关系，想平方后和的是平方和，先和后平方的是完全平方联系：多项式的完全平方====多项式的平方和+多项式乘积的2倍(a+b)^2=a^2+b^2+2ab注^2代表平方

a³-3a²b+3ab²-b³。这个式子可以直接化简来算，将（a-b)³分解是一个平方差和一个减数相乘(a-b)³=(a-b)²(a-b)最后＝a³-3a²b+3ab²-b³完全平方公式两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍。（a+b）²=a²﹢2ab+b²两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍。﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解（如对公式中积的一次项系数的理解等）（a-b）³＝a³－3a²b＋3ab²＋b³（a-b）³＝a³－3a²b＋3ab²＋b³的推导过程如下：(a-b)³=(a-b)(a-b)²（分解成两个因式相乘）=(a-b)(a²-2ab+b²)（把(a-b)²用乘法表达出来）=a³-3a²b+3ab²-b³（依次相乘得到最后结果）扩展资料：其他相关公式：（1）（a+b）³＝a³＋3a²b＋3ab²＋b³（2）a³+b³=a³+a²b-a²b+b³=a²（a+b）-b（a²-b²）=a²（a+b）-b（a+b）（a-b）=（a+b）[a²-b（a-b）]=（a+b）（a²-ab+b²）（3）a³-b³=a³-a²b+a²b-b³=a²（a-b）+b（a²-b²）=a²（a-b）+b（a+b）（a-b）=（a-b）[a²+b（a+b）]=（a-b）（a²+ab+b²）

(a+b)的平方=a的平方+2ab+b的平方 (a-b)的平方=a的平方-2ab+b的平方 完全平方式分两种,一种是完全平方和公式,就是两个整式的和括号外的平方.另一种是完全平方差公式,就是两个整式的差括号外的平方.算时有一个口诀“首末两项算平方,首末项乘积的2倍中间放,符号随中央.（就是把两项的乘方分别算出来,再算出两项的乘积,再乘以2,然后把这个数放在两数的乘方的中间,这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号,完全平方和公式就用+,完全平方差公式就用-,后边的符号都用+）”

-2

完全平方数 （一）完全平方数的性质 一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数,也叫做平方数.例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,… 观察这些完全平方数,可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识.下面我们来研究完全平方数的一些常用性质： 性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9. 性质2：奇数的平方的个位数字为奇数,十位数字为偶数. 证明 奇数必为下列五种形式之一： 10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9 分别平方后,得 (10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1 (10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9 (10a+5)=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5 (10a+7)=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9 (10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1 综上各种情形可知：奇数的平方,个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数. 性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6；反之,如果完全平方数的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数. 证明 已知=10k+6,证明k为奇数.因为的个位数为6,所以m的个位数为4或6,于是可设m=10n+4或10n+6.则 10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6 或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6 即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1 或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3 ∴ k为奇数. 推论1：如果一个数的十位数字是奇数,而个位数字不是6,那么这个数一定不是完全平方数. 推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6,则它的十位数字是偶数. 性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1. 这是因为 (2k+1)=4k(k+1)+1 (2k)=4 性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型. 在性质4的证明中,由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数. 性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1. 因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1,3m+2.平方后,分别得 (3m)=9=3k (3m+1)=9+6m+1=3k+1 (3m+2)=9+12m+4=3k+1 同理可以得到： 性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型,能被5整除的数的平方为5k型. 性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9. 除了上面关於个位数,十位数和余数的性质之外,还可研究完全平方数各位数字之和.例如,256它的各位数字相加为2+5+6=13,13叫做 256的各位数字和.如果再把13的各位数字相加：1+3=4,4也可以叫做256的各位数字的和.下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加,如果得到的数字之和不是一位数,就把所得的数字再相加,直到成为一位数为止.我们可以得到下面的命题： 一个数的数字和等於这个数被9除的余数. 下面以四位数为例来说明这个命题. 设四位数为,则 = 1000a+100b+10c+d = 999a+99b+9c+(a+b+c+d) = 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d) 显然,a+b+c+d是四位数被9除的余数. 对於n位数,也可以仿此法予以证明. 关於完全平方数的数字和有下面的性质： 性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9. 证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1,9k±2,9k±3,9k±4这几种形式,而 (9k)=9(9)+0 (9k±1)=9(9±2k)+1 (9k±2)=9(9±4k)+4 (9k±3)=9(9±6k)+9 (9k±4)=9(9±8k+1)+7 除了以上几条性质以外,还有下列重要性质： 性质10：为完全平方数的充要条件是b为完全平方数. 证明 充分性：设b为平方数,则 ==(ac) 必要性：若为完全平方数,=,则 性质11：如果质数p能整除a,但不能整除a,则a不是完全平方数. 证明 由题设可知,a有质因数p,但无因数,可知a分解成标准式时,p的次方为1,而完全平方数分解成标准式时,各质因数的次方均为偶数,可见a不是完全平方数. 性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数,即若

(a±b)^2=a^2±2ab+b^2首平方，末平方，首末两倍中间放。

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 公式的结构特征是： 1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍； 2、左边两项符号相同时，右边各项全用“＋”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“＋”号连接后再“－”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）； 3、公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式．

数学上,平方数,或称完全平方数,是指可以写成某个整数的平方的数,即其平方根为整数的数.例如,9 = 3×3,它是一个平方数.平方数也称正方形数,若 n 为平方数,将 n 个点排成矩形,可以排成一个正方形.若将平方数概念扩展到...

1、完全平方数释义：能表示成某个整数的平方的形式。 2、完全平方指用一个整数乘以自己例如1*1，2*2，3*3等，依此类推。若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。完全平方数是非负数，而一个完全平方数的项有两个。注意不要与完全平方式所混淆。

完全平方差公式：（a-b）^=a^-2ab+b^平方差公式：a^-b^ =(a+b)*(a-b) 扩展资料完全平方公式： 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍即完全平方公式。(a+b)^=a^+2ab+b^与（a-b）^=a^-2ab+b^ 都叫做完全平方公式.我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍；公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式.平方差公式：当乘式是两个数之和以及这两个数之差相乘时，积是二项式.这是因为具备这样特点的两个二项式相乘，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了.而它们的积等于乘式中这两个数的平方差，即a^-b^ =(a+b)*(a-b) 参考资料：百度百科-完全平方公式

如果数a是某个整数b的平方，则称a是完全平方数，简称平方数。如0、1、4、9、16、25……平方数的主要性质有：（1）平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9。一个平方数的个位数字是0时，十位数字必为0；个位数字是1、4、5、9时，十位数字必为偶数；个位数字是6时，十位数字必为奇数。（2）偶平方数被4整除，奇平方数被8除余1，任一平方数被3除余0或1。（3）两个相邻平方数之间不存在平方数。

完全平方数的判断：若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。 完全平方数的判定及性质 如果一个正整数a是某一个整数b的平方，那么这个正整数a叫做完全平方数。零也可称为完全平方数。其性质如下： (1)平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9。 (2)任何偶数的平方一定能被4整除;任何奇数的平方被4(或8)除余1，即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。 (3)完全平方数的个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数。完全平方数的个位数字是6时，其十位数字必为奇数。 (4)凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数;末尾只有奇数个0的自然数不是完全平方数;个位数字是1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 (5)除1外，一个完全平方数分解质因数后，各个质因数的指数都是偶数，如果一个数质分解后，各个指数都为偶数，那么它肯定是个平方数。完全平方数的所有因数的总个数是奇数个。因数个数为奇数的自然数一定是完全平方数。 (6)如果a、b是平方数，a=bc，那么c也是完全平方数。 (7)两个连续自然数的乘积一定不是平方数，两个连续自然数的平方数之间不再有平方数。 (8)偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1。 (9)奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型。 (10)形式必为下列两种之一：3k,3k+1。 (11)不是5的因数或倍数的数的平方为5k+-1型，是5的因数或倍数的数为5k型。 (12)在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数。 (13)一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。

开方后是整数的数．如16，25，36，49，6481

1、立方差：a^3-b^3=（a-b）*（a^2+ab+b^2）2、立方和：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)3、和的立方：(a+b）^3=a^3+3(a^2)b+3(b^2)a+b^34、差的立方：(a-b）^3=a^3-3(a^2)b+3(b^2)a-b^3扩展资料：完全平方差公式为(a-b)^du2=a^2-2an+b^2。解：因为(a-b)^2=(a-b)*(a-b)=a*(a-b)-b*(a-b)=a*a-a*b-b*a+b*b=a^2-2ab+b^2所以完全平方差公式用文字表述为两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍即完全平方公式。完全平方差公式用字母表示为(a-b)^2=a^2-2an+b^2。

若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。完全平方数是非负数，而一个完全平方数的项有两个。如果一个正整数a是某一个整数b的平方，那么这个正整数a叫做完全平方数。零也可称为完全平方数。 （1）个位数是2、3、7、8的整数一定不是完全平方数； （2）个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数； （3）个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数； （4）形如3n＋2型的整数一定不是完全平方数； （5）形如4n＋2和4n＋3型的整数一定不是完全平方数； （6）形如5n±2型的整数一定不是完全平方数； （7）形如8n＋2，8n＋3，8n＋5，8n＋6，8n＋7型的整数一定不是完全平方数； （8）数字和是2、3、5、6、8的整数一定不是完全平方数； （9）四平方和定理：每个正整数均可表示为4个整数的平方和； （10）完全平方数的因数个数一定是奇数。

如4,9,16,25等就是完全平方数.

(a±b)^2=a^2±2ab+b^2首平方，末平方，首末两倍中间放。

完全平方和：(a+b)^2=a^2+b^2+2ab完全平方差：(a-b)^2=a^2+b^2-2ab

完全平方公式推导过程是：先用代数方法证明a+2ab+b=axa+axb+axb+bxb=ax(a+b)+bx(a+b)（乘法分配律）=(a+b)x(a+b)=(a+b)。两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍。（a+b）²=a²﹢2ab+b²。两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍。﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²。该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解等）。

完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解的重要公式方法。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。可以用一下公式来表达(a+b)(a+b)=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2或者(a-b)(a-b)=(a-b)^2=a^2-2ab+b^2归纳这两个公式叫做完全平方公式，两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和，加上（或减去）这两数积的2倍。我们通常表示为：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2注：通常a,b是表示一个整体的代数式，不一定是数，例如：[(3x-y)-(2x+2y)][(3x-y)+(2x+2y)]=5x^2+6xy+y^2

一个数如果是另一个整数的完全平方，那麼我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。如：0、1、4、9、16、25、36.......不是这类数的叫不完全平方数。

完全平方式是指如果满足对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B^2的条件话，则称A是完全平方式。 完全平方公式及口诀 （1）两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍，即（a+b） 2 =a 2 +b 2 +2ab。 （2）两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍，即（a-b） 2 =a 2 +b 2 －2ab。 口诀：首平方，尾平方，前后两倍放中央，符号看前方。 完全平方式的结构特征 （1）左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍； （2）左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）； （3）公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式。 完全平方式 完全平方式是指如果满足对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B^2的条件话，则称A是完全平方式。完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。

（a+b）∧2=a∧2+2ab+b∧2（a-b）∧2=a∧2-2ab+b∧2

完全平方式更多图片(1张)对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B^2，则称A是完全平方式。中文名：完全平方式外文名：A=B^2公式1：a²+2ab+b²=(a+b)²公式2：a²-2ab+b²=(a-b)²类似概念：完全平方数注意：简单变元的多项式分享定义公式一 (A+2+B)²公式a²+2ab+b²=(a+b)²a²-2ab+b²=(a-b)²例子举例（1）7x^2+4(√21)xy+12y^2是一个完全平方式，因为7x^2+4√(21)xy+12y^2=[(√7)x+(2√3)y]^2；（2）x^4-4x^3+2x^2+4x+1是一个完全平方式，因为x^4-4x^3+2x^2+4x+1=(x^2-2x-1)^2；（3）因为(AB)^2+(AC)^2+(BC)^2+2BC(A^2)+2CA(B^2)+2AB(C^2)=(AB+BC+CA)^2，所以(AB)^2+(AC)^2+(BC)^2+2BCA^2+2CAB^2+2ABC^2是一个完全平方式。几点注意（1）以上多项式，指的都是*实系数多项式*。所以不能称A= -P^2+2PQ-Q^2为完全平方式，因为不存在以P、Q为变元的实系数多项式B，使A=B^2。（2）以上所说多项式，都是*简单变元*的多项式。我们不能随便称一个代数式或三角函数式为完全平方式。例如①尽管有x^2-2+1/x^2=(x-1/x)^2，但是因为这里x^2-2+1/x^2和x-1/x都不是多项式，所以代数式x^2-2+1/x^2不能被称为完全平方式的。②尽管有e^x+2+e^(-x)=[e^(x/2)+e^(-x/2)]^2，但是e^x+2+e^(-x)不能被称为完全平方式；③尽管有1+sin2x=(cosx+sinx)^2，但是1+sin2x也不能被称为完全平方式。准完全平方式导言如果把①改写为x^2-2(x)(1/x)+(1/x)^2，并将其中的1/x记为y，这里y是一个*复合变元*。类似地在②中记u=e^(x/2)，v=e^(-x/2)；在③中记P=cosx，Q=sinx。那么u、v和P、Q都是复合变元。定义若对于函数式A，存在关于复合变元u1、u2、……、un的“多项式”B，使A=B^2成立，则称A是“*准*完全平方式”。(这里u1、u2、……、un不全是简单变元的多项式)。例子按照定义，上述①x^2-2+1/x^2，②e^x+2+e^(-x)和③1+sin2x都被称为“准完全平方式”。这里所以要有“u1、u2、……、un不全是简单变元的多项式”的*加注说明*，主要为了区别出某些形式上貌似“准完全平方式”，但是本质上却是一个典型的“完全平方式”的情况。例如，当P=x^2-1，Q=x时，虽然有x^4-2x^3-x^2+2x+1=[(x^2-1)^2-2(x^2-1)x+x^2]=(P-Q)^2，在形式上他是一个“准完全平方式”，但是本质上却是前述例(2)中的那个典型的“完全平方式”。类似概念 · 完全平方数若对于整数A，存在整数B，使A=B^2成立，则称A是完全平方数。例如0，1，4，9，16，25，36，……等，都是完全平方数。* 词条由网民创作并享有版权，请保护版权归属了解更多 完全平方式 的讨论  用百度知道 * Hot影视指南，每日为你贴心推荐-最火爆游戏免费玩

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 或者 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2这两个公式叫做完全平方公式，两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和，加上（或减去）这两数积的2倍。 通常表示为： (a±b)^2=a^2±2ab+b^2

不一样。平方差公式:a^2-b^2=(a+b)(a-b)。完全平方公式:(a+b)^2=a^2+2ab+b^2；(a-b)^2=a^2-2ab+b^2。

完全平方数的公式是sqrt（n）=int（sqrt（n））

1.a²+2ab+b²=(a+b)²2.a²2.ab+b²=(a-b)²3.x²+1/x²-2=(x-1/x)²4.a²-2a+1=(a-1)²5.a+2√(ab)+b=(√a+√b)²    应该就是这些了。完全平方公式即(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解等)。完全平方公式:两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍。(a+b)²=a²﹢2ab+b²两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍。

扩展资料： 完全平方公式： 两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍。 （a+b）²=a²﹢2ab+b² 两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍。 ﹙全文

解：x^2-4x+4=5x²-4x+4=1+4(x-2)²=5x-2=±√5 x=2±√5 x1=2+√5 ，x2=2-√5 完全平方式是指如果满足对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B^2的条件话，则称A是完全平方式，亦可表示为(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。扩展资料：完全平方公式  ：（1）两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍，即（2）两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍，即（a－b）²=a²+b²－2ab熟记口诀：首平方，尾平方，前后两倍放中央，符号看前方。这两个公式的结构特征：1）左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2）左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）；3）公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式。

完全平方数是指用一个整数乘以自己例如1*1，2*2，3*3等，依此类推。若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。完全平方数是非负数，而一个完全平方数的项有两个。注意不要与完全平方式所混淆。

完全平方差公式:完全平方差等于第一个数的平方减两个数积的两倍再加第二个数的平方，它与完全平方和公式统称为完全平方公式。

完全平方有两个含义：一个完全平方是可以表示成另一个整数的平方的正整数，也就是说，这个正整数可以写成n² 的形式，其中n是整数。例如:1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... 是1² ,2² ,3² ,4² ,5² ..二是可以分解成其它表达式的平方的算数表达式，例如：a² ± 2ab + b² = (a ± b)²完全平方公式口诀前平方，后平方，二倍乘积在中央。同号加、异号减，符号添在异号前。（可以背下来）即 (a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2（注意：后面一定是加号）

分类: 教育/学业/考试 >> 学习帮助 解析: 完全平方数 九章出版社提供 (一)完全平方数的性质 一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,… 观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质： 性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。 性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。 证明 奇数必为下列五种形式之一： 10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9 分别平方后，得 (10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1 (10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9 (10a+5)=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5 (10a+7)=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9 (10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1 综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。 性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。 证明 已知=10k+6，证明k为奇数。因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则 10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6 或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6 即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1 或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3 ∴ k为奇数。 推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。 推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。 性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。 这是因为 (2k+1)=4k(k+1)+1 (2k)=4 性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。 在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。 性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。 因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1, 3m+2。平方后，分别得 (3m)=9=3k (3m+1)=9+6m+1=3k+1 (3m+2)=9+12m+4=3k+1 同理可以得到： 性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。 性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。 除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题： 一个数的数字和等于这个数被9除的余数。 下面以四位数为例来说明这个命题。 设四位数为，则 = 1000a+100b+10c+d = 999a+99b+9c+(a+b+c+d) = 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d) 显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。 对于n位数，也可以仿此法予以证明。 关于完全平方数的数字和有下面的性质： 性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。 证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式，而 (9k)=9(9)+0 (9k±1)=9(9±2k)+1 (9k±2)=9(9±4k)+4 (9k±3)=9(9±6k)+9 (9k±4)=9(9±8k+1)+7 除了以上几条性质以外，还有下列重要性质： 性质10：为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。 证明 充分性：设b为平方数，则 ==(ac) 必要性：若为完全平方数，=，则 性质11：如果质数p能整除a，但不能整除a，则a不是完全平方数。 证明 由题设可知，a有质因数p，但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。 性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若 <k<(n+1) 则k一定不是完全平方数。 性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。 (二)重要结论 1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数； 2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数； 3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数； 4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数； 5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数； 6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数； 7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数； 8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。 (三)范例 [例1]：一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。 解：设此自然数为x，依题意可得 (m,n为自然数) (2)-(1)可得 ∴n>m ( 但89为质数，它的正因数只能是1与89，于是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。 [例2]：求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题)。 分析 设四个连续的整数为，其中n为整数。欲证 是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。 证明 设这四个整数之积加上1为m，则 而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。 [例3]：求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞赛题)。 分析 形如的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即 或 在两端同时减去1之后即可推出矛盾。 证明 若，则 因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。 若，则 因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。 综上所述，不可能是完全平方数。 另证 由为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数的平方。但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而十位上的数字为1，所以不是完全平方数。 [例4]：试证数列49,4489,444889, 的每一项都是完全平方数。 证明 = =++1 =4+8+1 =4()(9+1)+8+1 =36 ()+12+1 =(6+1) 即为完全平方数。 [例5]：用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？ 解：设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和为600 3｜600 ∴3｜A 此数有3的因数，故9｜A。但9｜600，∴矛盾。故不可能有完全平方数。 [例6]：试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同(1999小学数学世界邀请赛试题)。 解：设此数为 此数为完全平方，则必须是11的倍数。因此11｜a + b，而a,b为0,1,2,9，故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8组可能。 直接验算，可知此数为7744=88。 [例7]：求满足下列条件的所有自然数： (1)它是四位数。 (2)被22除余数为5。 (3)它是完全平方数。 解：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。 11｜N - 4或11｜N + 4 或 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。 [例8]：甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)？ 解：n头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6。所以，的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元。 [例9]：矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分)，这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题)。 解：设矩形的边长为x,y，则四位数 ∵N是完全平方数，11为质数 ∴x+y能被11整除。 又 ,得x+y=11。 ∴∴9x+1是一个完全平方数，而，验算知x=7满足条件。又由x+y=11得。 [例10]：求一个四位数，使它等于它的四个数字和的四次方，并证明此数是唯一的。 解：设符合题意的四位数为，则，∴为五位数，为三位数，∴。经计算得，其中符合题意的只有2401一个。 [例11]：求自然数n，使的值是由数字0,2,3,4,4,7,8,8,9组成。 解：显然，。为了便于估计，我们把的变化范围放大到，于是，即。∵，∴。 另一方面，因已知九个数码之和是3的倍数，故及n都是3的倍数。这样，n只有24,27,30三种可能。但30结尾有六个0，故30不合要求。经计算得 故所求的自然数n = 27。 (四)讨论题 1.(1986年第27届IMO试题) 设正整数d不等于2,5,13，求证在 *** {2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a , b，使得ab -1不是完全平方数。 2.求k的最大值