统计

指依据一定的心理学理论，使用一定的操作程序，对人的行为、心理特质进行定量描述。 根据样本所提供的信息，运用概率的理论，进行分析论证，在一定可靠程度上，对总体分布特征进行估计、推测。 内容包括 1） 假设检验 2） 总体参数估计 目的：根据已知的情况，在一定概率上估计推测未知的情况。 相同被试，在不同时间或场合下，使用同样的测量工具，重复测量相同的某心理特质，所得结果的一致性和稳定性程度。 效度是指测量工具测出它所希望测量的心理特质或行为特征的效果和程度。 难度是指题目的难易程度。 是题目性质与被试群体水平共同作用的结果。 6. 区分度区分度是指题目对被试特质差异的区分能力。能区分不同能力水平的题目的区分度高。 若所有被试在某个题目上均答错或均答对，则此题不能区分不同特质的被试，即此题目无区分能力。 是所欲研究的某一类对象的 全体 。 从总体中抽取的一部分个体，称为总体的一个样本。 在心理与教育研究中，样本可以是实验中所选取的一组被试的实验结果，或者一个被试的多次结果等。 反映一组数据分布集中趋势的数量。等于所有数据之和，除以数据个数。 median又称中点数，中位数，中值，符号为Md。是常用的集中量数。 中数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，即在这组数据中，有一半数据比它大，有一半数据比它小。 mode，又称为范数、密集数，通常数等，常用符号Mo表示。 是指在次数分布中出现次数最多的那个数的数值。 也是一种集中量数，可以用来代表一组数据的集中趋势。 又称两极差，用符号R表示。它是说明数据 离散程度 的最简单的统计量。 把一组数据按从小到大的顺序排列，用最大值减去最小值就是全距。 variance也称 变异数，均方 。作为样本统计量用符号s2表示，作为总体参数用符号sigma2表示。 它是每个数据 离均差平方后的平均数。 方差是度量数据分散程度的一个很重要的统计量。方差是对一组数据中各种变异的总和的测量，具有可加性和可分解性特点。 standard deviation，即方差的平方根，用s或SD表示，若用（sigma）表示，则是指总体的标准差。 方差与标准差是最常用的描述 次数分布离散程度 的差异量数。 coefficient of correlation是两列变量间相关程度的数量指标，或者说是用来表示相关关系强度的指标。作为样本间相互关系程度的统计特征数，常用r表示，作为总体参数一般用ρ表示。 r的取值范围[-1.00,+1.00] “+／-”号表示双变量数列之间相关的方向，正值表示正相关，负值表示负相关； 相关系数r=+1.00时表示完全正相关，r=-1.00时表示完全负相关，这二者都是完全相关. r=0时表示完全独立，即无任何相关性； 相关系数取值的绝对值大小表示相关的强弱程度。 指在其他研究变量都不变的情况下， 单独一个自变量 引起的因变量变化的效应。 当一个自变量因为其它自变量的水平或安排不同， 共同 对因变量的大小产生的不同影响结果。如果某一自变量对因变量影响大小不受其他自变量水平或安排的影响，那么这两个变量之间不具有交互作用。 指一个因素在另一个因素不同水平上的效应，当一个因素在另一个因素不同水平上产生不同效应的时候，就出现了交互作用。（独立组设计或被试间设计）组间设计通常把被试分为若干个组，每组分别接受 一种 实验处理。有几种实验处理，被试也就相应的被分为几组。即不同的被试接受自变量不同水平的实验处理。 由于被试是随机取样并随机分组安排到不同的实验处理中，所以它又叫做完全随机设计。 是指每个被试都要接受 所有 自变量水平的实验处理，由于接受每种实验处理后都要进行测量，它又被称为“重复测量设计”。 将被试个体的心理特质发展水平与某一特定群体的心理特质发展水平进行比较，从而确定被试个体心理特质发展水平在这一特定群里中的相对地位的测验。常用于学业成就测验、能力水平测验中。 将一个人在测验上的成绩与某一明确界定的标准进行比较、解释。指正确辨认真实差异的能力，用1-β为表示。 强调某一方向的检验。查统计表时，按分布的一侧计算显著性水平。指一组数据的方差可能大于,等于或小于另一组数据的方差的情况。 只强调差异，不强调方向性的检验。又称变异系数、相对标准差等，它是一种相对差异量，用CV表示，为标准差对平均数的百分比。 常用于：同一团体不同观测值离散程度的比较；对于水平相差较大，但进行的是同一种观测的各种团体，进行观测值离散程度的比较。 统计样本的那些特征值，又称 特征值 。是从一个样本中计算出来的一些量数，可以描述一组数据的情况。 统计量代表样本的特征，它是一个变量，随着样本的变化而变化。 统计总体的那些特征称。又称总体参数。是描述一个总体情况的统计指标。 参数代表总体的特征，是一个常数。如总体均值、标准差。 标准回归系数，是指消除了因变量y和自变量x1，x2，…xn所取单位的影响之后的回归系数，其绝对值的大小直接反映了xi对y的影响程度。1）        研究中的自变量水平是随机取样，所选各水平仅是 无限多水平中 的一部分有代表性的样本 2）        统计推论可推广到无限总体中 3）        F值的计算有区别，即在不同效应检验时，计算F值得分母项不同。 1） 研究中的自变量总体是有限的几个固定值，所选的实验处理水平，即为处理水平的总体 2） 推论只能涉及有限的总体 3） F值计算一般用误差项的均方为分母，求各主效应的F值，检验其是否差异显著。 指任意两个数据点之间都可以细分出无限多个大小不同的数值。 （不连续数据）在任何两个数据点之间所取的数值的个数是有限的，一般是取整数，两个单位之间不能再划分细小单位。 偏态分布是指频数分布不对称，集中位置偏向一侧，若 集中位置偏向数值小的一侧 ，这种分布曲线的右侧部分偏长左侧部分偏短，称为正偏态分布。 偏态分布是指频数分布不对称，集中位置偏向一侧， 集中位置偏向数值大的一侧 ，这种分布曲线的左侧偏长右侧偏短，称为负偏态分布。 是上下限之间的 中点 数值，以代表各组标志值的一般水平。 组中值并不是各组标志值的平均数，各组标志数的平均数在统计分组后很难计算出来，就常以组中值近似代替。 克龙巴赫alpha系数估计方法是 内部一致性信度 估计方法的一种。可以估计各种计分方式测验的内部一致性信度，是更一般化的测验内部一致性信度估计方法。只要求测验对一批被试测试一次。 是指某一行为是社会一般人所希望、期待、接受的。 标准分数，是以标准差为单位，表示一个原始分数在团体中所处的相对位置的量数。 公式： 没有实际单位，以平均数为参考点（中心），以标准差为单位的一个相对量。均值为0，标准差为1。 由 变量variables就是指心理与教育实验／观察／调查中想要获得的数据。数据获得前用“X”表示，即为一个可以取不同数值的物体的属性或事件，其数值具有不确定性。由于变量在测查之前不能准确地预料会获得什么样的值，在统计学上，把 取值之前不能预料取到什么值的变量称为随机变量 。 标准化样本的平均数 真分数是测量工具实际所测量到的测值，真分数中 不含随机误差分数 ，包括目标真分数（V）和非目标真分数（I），记为T（True score）。目标真分数是欲测心理特质的实际值，非目标真分数是系统误差值（计为I） T=V+I 从已知的总体中，以一定的样本容量进行随机抽样，保证每个样本是独立的，各个样本都服从同样的分布， 样本统计数的概率分布 称为抽样分布。 抽样分布是统计推断的理论基础。常用的样本分布如样本平均数、方差的分布。在统计学中不能对H1的真实性直接检验，需要建立与之对立的假设，称作虚无假设，或叫做无差假设，零假设／原假设，记为H0. 参数估计指用局部结果推论总体情况，分为点估计和区间估计。 点估计指在进行参数估计时，用一个特定点值作为总体参数的估计值。如用样本平均数估计总体平均数。 标准误差（英文：Standard Error） 样本平均数 分布的标准差。 标准误差用来衡量抽样误差。标准误越小，表明样本统计量与总体参数的值越接近，样本对总体越有代表性，用样本统计量推断总体参数的可靠度越大。因此，标准误是统计推断可靠性的指标。 （决定系数）r2 回归平方和在总平方和中所占的比例。变量间共变程度的指标，等于回归平方和与总平方和之比，即 相关系数的平方 。测定系数越大说明回归平方和对总体平方和的贡献越大，测定系数越大，说明回归效果越好。 在进行任何一项研究时，都需要根据已有的理论和经验事先对研究结果做出一种预想的希望证实的假设，叫科学假设或研究假设，记作H1，在假设检验中，虚无假设H0总是作为直接被检验的假设， 而H1与H0对立，二者择一 ，它的意思是 一旦有充分理由否定虚无假设H0，则H1这个假设被你选择 。 估计总体参数落在某一区间内， 可能犯错误的概率 ，用符号α表示。 显著性水平在假设检验中，还指拒绝虚无假设时可能出现的犯错误的概率水平。 interval estimation根据估计量 以一定可靠程度 推断总体参数所在的区间范围，它是用数轴上的一段距离表示未知参数可能落入的范围，它虽然不具体指出总体参数等于什么，但能指出 未知总体参数落入某一区间的概率有多大 。 指 在某一置信度 时，总体参数所在的区域距离或区域长度。置信区间的上下两端点值称为置信界限。 如：.95置信区间：只总体参数落入该区间之内，估计正确的概率为95%，估计错误的概率为5% 如果一个测验有两个以上复本，同一群被试接受两个复本测验得分的相关系数 也叫置信水平，是指所估计的总体参数落入置信区间的可靠程度，用1-a来表示。统计学上指多个平均数两两之间的相互比较称为多重比较。指试验仅有两种不同性质结果的概率分布。 即各个变量都可归为两个不同性质中的一个，两个观测值是对立的，因而二项分布又可说是两个对立事件的概率分布。（复本测验）是指两个在题目内容、数量、形式、难度、区分度、指导语、时限以及所用的例题、公式等方面都相同或相似的测验。 也就是用不同的题目测量同样的内容，而且其测验结果的平均值和标准差都相同的两个测验。 又称百分位点(percentile)，它是指量尺上的一个点，位于按照一定顺序排列的一组数据中，某一百分位置的数值。

为什么说区间估计是统计学最重要的那种，因为这个可以搜索的特别准确。

P(黑=8)=C(10,8)*p^8*（1-p）^2X~b(1,p) X服从二项分布，即重复n次独立的伯努利试验 这里n=1因此P{X=0}=1-pP{X=1}=pP{X=x}=p^x(1-p)^1-x点估计（point estimation）是用样本统计量来估计总体参数，因为样本统计量为数轴上某一点值，估计的结果也以一个点的数值表示，所以称为点估计。矩估计法, 也称“矩法估计”，就是利用样本矩来估计总体中相应的参数. 最简单的矩估计法是用一阶样本原点矩来估计总体的期望而用二阶样本中心矩来估计总体的方差.E（X(i+1)-Xi）=EX(i+1) -EXi 因为Xi独立，因此他们期望都相同，且期望等于总体的均值所以EX(i+1) -EXi =0 D是常数可以提出来 因此ΣDXi =DΣXi

参数估计的两种形式：点估计和区间估计 点估计问题 ：设总体X的分布形式已知，但它的 一个或多个参数未知 ，借助于总体X的 一个样本 来估计总体 未知参数值 的问题称为参数的点估计问题。 构造统计量 常用的方法有两种：矩估计法和极大似然估计法。 矩估计 的思想就是 替换思想 ：用样本原点矩替换总体原点矩。 定理 ：均值、方差、标准差的矩估计结果 矩估计是一种经典的估计方法，比较直观，计算简单。不需要知道总体分布类型就可以估计，实际应用广泛。 极大似然估计是求总体未知参数的另一种常用的点估计方法。 理解极大似然估计基本思想的例子：对未知参数p的极大似然推断，在p的所有备选取值假定下，比较样本发生的概率大小，使 概率最大 的p的取值即为p的极大似然估计。 似然函数 ： 似然函数 与 极大似然 的定义： 当 是可微函数时，求导是求极大似然估计最常用的方法。而此时又因 与 在同一个 处取到极值，且对对数似然函数求导更简单。故常用以下对数似然方程（组）： 正态分布的极大似然估计 ： 直接观察法 ：不好求导，直接看出来。 求解总体未知参数 的极大似然估计的一般步骤： 评判一个估计量的好坏不能一概而论，即一个估计量的优劣不是绝对的，而是基于某一评判标准而言相对的评价结论。 下文中介绍三种常用的评判标准：无偏性、有效性和相合性。 无偏估计 和 有偏估计 以及 渐近无偏估计 的定义： 定理1 样本方差是无偏估计的。 一个位置参数的无偏估计可以有很多，如何在无偏估计中再进行选择？由于无偏估计的标准差是平均偏差为0，所以一个自然的想法就是每一次估计与真值的偏差波动越小越好。偏差波动大小可以用方差来衡量。因此用无偏估计的方差大小作为进一步衡量无偏估计优劣的标准。 有效性 的定义： 点估计是样本的函数，故点估计仍然是一个随机变量，在样本量一定的条件下，不可能要求它完全等同于未知参数的真值。但如果随着样本量不断增大，它能越来越接近真值。控制在真值附近的强度（概率）越来越大，那么这就是一个好的估计，这一性质称为相合性。 相合性 定义： 样本均值 是总体 的相合估计，样本方差 和 都是 的想和估计量。事实上，根据大数定律，矩估计一般都具有相合性。 参数的点估计是用样本观测值算出一个值取估计位置参数。但事实上，指数的真值可能偏差较大，若能给出一个估计区间，让我们有较大把握相信真值被含在这个区间内，这样估计就显得更有使用价值，也更为可信，因为我们把可能出现的偏差也考虑在内了。 对 置信水平 的直观解释： 单侧置信区间，置信上限（下限）： 在双侧置信区间求解时，常使得左右两个尾部的概率各为 的方法来选择a和b。这样得到的置信区间称为等尾置信区间。 首先， 是 的无偏估计。 (1) 当 已知时， 的置信区间 (2) 当 未知时， 的置信区间 关于单正态总体中均值 和方差 的双侧置信水平为 的置信区间可汇总如下表： (1) 当 已知时， 的置信区间 (2) 当 时， 的置信区间 (1) 当 已知时， 的置信区间 (2) 当 未知时， 的置信区间

统计学知识要点汇总2017 　　六、参数估计 　　(一)点估计 　　用样本的估计量直接作为总体参数的估计值 　　2. 缺点：没有给出估计值接近总体参数程度的信息，它与真挚的误差、估计可靠性怎么样无法知道。区间估计可以弥补这种不足。 　　点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等 　　(二) 区间估计 　　在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的。 　　根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量。 　　(三)置信水平 　　将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平 　　表示为 (1 - a% ) 　　常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%;相应的 a 为0.01，0.05，0.10 　　(四)置信区间 　　ü 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间; 　　ü 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间 　　ü 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值，我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个 　　置信区间的表述： 　　总体参数的真值是固定的，而用样本构造的区间则是不固定的，因此置信区间是一个随机区间，它会因样本的不同而变化，而且不是所有的区间都包含总体参数 　　实际估计时往往只抽取一个样本，此时所构造的是与该样本相联系的一定置信水平(比如95%)下的置信区间。我们只能希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个 　　当抽取了一个具体的样本，用该样本所构造的区间是一个特定的常数区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值，因为它可能是包含总体均值的区间中的一个，也可能是未包含总体均值的那一个 　　一个特定的区间总是“包含”或“绝对不包含”参数的真值，不存在“以多大的概率包含总体参数”的问题 　　置信水平只是告诉我们在多次估计得到的区间中大概有多少个区间包含了参数的真值，而不是针对所抽取的这个样本所构建的区间而言的 　　使用一个较大的置信水平会得到一个比较宽的置信区间，而使用一个较大的样本则会得到一个较准确(较窄)的区间。直观地说，较宽的区间会有更大的可能性包含参数 　　但实际应用中，过宽的区间往往没有实际意义 　　区间估计总是要给结论留点儿余地 　　影响置信区间宽度的因素： 　　1.总体数据的离散程度，用 s 来测度;2.样本容量;3. 置信水平 (1- a)，影响 zα/2 的大小 　　(五) 参数估计标准： 　　无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数 　　有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效 　　一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数 　　七、数据特征 　　(一)集中趋势：表明同类现象在一定时间、地点条件下，所达到的一般水平与大量单位的综合数量特征，有以下3个特点： 　　1. 用一个代表数值综合反映个体某种标志值的一般水平。 　　2. 将个体标志值之间的差异抽象掉了。 　　3. 计量单位与标志值的计量单位一致。 　　集中趋势 　　1. 一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度 　　2. 测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值 　　3. 不同类型的数据用不同的集中趋势测度值 　　4. 低层次数据的测度值适用于高层次的测量数据，但高层次数据的测度值并不适用于低层次的测量数据 　　集中趋势的作用： 　　比较若干总体的某种标志数值的平均水平 　　研究总体某种标志数值的平均水平在时间上的变化 　　分析社会经济现象的依存关系 　　研究和评价事物优劣的数量指标 　　计算和估算其他重要的经济指标 　　(二)离中趋势： 　　数据分布的另一个重要特征 　　反映各变量值远离其中心值的程度(离散程度) 　　从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度 　　不同类型的数据有不同的离散程度测度值 　　离中趋势度量的目的： 　　描述总体内部差异程度;衡量和比较均值指标的代表性高低;为抽选样本单位数提供依据 　　区别与联系： 　　区别：集中趋势是对频数分布资料的集中状况和平均水平的综合测度;是一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度;测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值。离中趋势是对频数分布资料的差异程度和离散程度的测度，用来衡量集中趋势所测数据的代表性，或者反应变量值的稳定性与均匀性;是用来描述总体内部差异程度及衡量和比较均值指标的代表性高低。偏度是用来反应变量数列分布偏斜程度的指标，有对称分布和非对称分布，非对称分布也即为偏态分布，包括左偏分布和右偏分布。峰度是用来反应变量数列曲线顶端尖峭或扁平程度的指标。 　　联系：为了反面描述研究对象的情况，仅仅用集中趋势方法来测度集中性和共性是不够的，还要用离散趋势方法来测度其离散性和差异性，因此，而这需要结合使用。集中趋势和离中趋势是变量数列分布的两个重要特征，但要全面了解变量数列分布的特点，还需要知道数列的形状是否对称、偏斜程度以及分布的扁平程度等。偏度和峰度就是从分布特征作进一步的描述。 　　八、数据质量 　　1. 数据的误差：(1)抽样误差; 　　a、 在用样本数据进行统计推断时所产生的误差(样本统计量与相应总体参数之间的偏差) 　　b、由于抽样的随机性所带来的误差 　　c、 影响抽样误差的大小的因素：抽样方法;样本量的大小;总体的变异性 　　(2) 非抽样误差(抽样框误差;回答误差;无回答误差;调查员误差) 　　a、 调查过程中由于调查者和被调查者的人为因素所造成的误差(除抽样误差之外的，由于其他原因造成的样本观察结果与总体真值之间的差异) 　　b、理论上可以消除 　　c、 存在于所有的调查之中：概率抽样，非概率抽样，全面性调查 　　(3) 误差的控制 　　a、 抽样误差可计算和控制 　　b、非抽样误差的控制：调查员的挑选;调查员的培训;督导员的调查专业水平：调查过程控制(调查结果进行检验、评估;现场调查人员进行奖惩的制度) 　　(4)统计数据质量的要求; 　　1. 精 度：最低的抽样误差或随机误差 　　2. 准 确 性：最小的非抽样误差或偏差 　　3. 关 联 性：满足用户决策、管理和研究的需要 　　4. 及 时 性：在最短的时间里取得并公布数据 　　5. 一 致 性：保持时间序列的可比性 　　6. 最低成本：以最经济的方式取得数据 　　九、统计数据 　　对现象进行测量的结果;不是指单个的数字，而是由多个数据构成的数据集;不仅仅是指数字，它可以是数字的，也可以是文字的 　　分类：按计量 　　分类数据(categorical data) 　　只能归于某一类别的非数字型数据 　　对事物进行分类的结果，数据表现为类别，用文字来表述 　　顺序数据(rank data) 　　只能归于某一有序类别的非数字型数据 　　对事物类别顺序的测度，数据表现为类别，用文字来表述 　　数值型数据(metric data) 　　按数字尺度测量的观察值 　　结果表现为具体的数值，对事物的精确测度 　　按收集方法 　　观测的数据(observational data) ： 　　在没有对事物人为控制的条件下而得到的，通过调查或观测而收集到的数据 　　试验的数据(experimental data) ：在试验中控制试验对象而收集到的数据 　　按时间状况 　　1. 时间序列数据(time series data) 　　在不同时间上收集到的数据 　　描述现象随时间变化的情况 　　2截面数据(cross-sectional data) 　　在相同或近似相同的时间点上收集的数据 　　描述现象在某一时刻的变化情况 　　十、统计学性质 　　统计学： 收集、分析、表述和解释数据的科学 1.数据搜集：取得数据;2.数据分析：分析数据;3.数据表述：图表展示数据;4.数据解释：结果的说明 　　(一)现代统计学的性质可归纳为如下几个方面： 　　1.统计学是方法论科学，而不是实质性科学 　　它研究的是事物普遍存在的数量关系的计量和数量分析的方法，并通过数量分析来认识特定事物的内在规律性，但不是研究规律本身。 　　2.统计学的应用范围不局限于社会科学,也不局限于自然科学。 　　由于其方法来自于社会科学也来自于自然科学，所以它可以用于社会现象也可以用于自然现象，即统计学是一种通用的方法论科学。同时统计学也不是依服于实质性科学而存在的方法论，它是独立的方法论科学。 　　3.统计学的研究对象既包括确定性现象的总体数量关系，也包括随机现象的总体数量关系，即统计学是研究各类事物总体数据的方法论科学。 　　统计学是为探索事物数量所反映的客观规律性，而对事物总体的大量数据进行收集、整理和分析研究的方法论科学。它以大量的客观事物的量化描述、特征推算及关系分析为其主要研究对象。 　　(二)描述统计学与推断统计学： 　　描述统计学(Descriptive Statistics)研究如何取得反映客观现象的数据，并通过图表形式对所收集的数据进行加工处理和显示，进而通过综合概括与分析得出反映客观现象的规律性数量特征。内容包括统计数据的收集方法、数据的加工处理方法、数据的显示方法、数据分布特征的概括与分析方法等。 　　推断统计学(1nferential Statistics)则是研究如何根据样本数据去推断总体数量特征的方法，它是在对样本数据进行描述的基础上，对统计总体的未知数量特征做出以概率形式表述的推断。 　　描述统计学和推断统计学的划分，一方面反映了统计方法发展的前后两个阶段，同时也反映了应用统计方法探索客观事物数量规律性的不同过程。 　　统计研究过程的起点是统计数据，终点是探索出客观现象内在的数量规律性。在这一过程中，如果搜集到的是总体数据(如普查数据)，则经过描述统计之后就可以达到认识总体数量规律性的目的了;如果所获得的只是研究总体的一部分数据(样本数据)，要找到总体的数量规律性，则必须应用概率论的理论并根据样本信息对总体进行科学的推断。 　　显然，描述统计和推断统计是统计方法的两个组成部分。描述统计是整个统计学的基础，推断统计则是现代统计学的主要内容。 ;

抽样估计有点估计和区间估计两种方法. 点估计,又称定值估计,就是用实际样本指标数值作为总体参数的估计值.点估计的方法简单,一般不考虑抽样误差和可靠程度,它适用于对推断准确程度与可靠程度要求不高的情况.区间估计就是根据样本指标、抽样误差和概率保证程度去推断总体参数的可能范围.

均匀分布的方差是必须记住的，这里ξ的方差D(ξ)＝θ的平方/12，在均匀分布的方差表中可以查到，你要求的最后一步，就是运用均匀分布的方差，将方差的值替换就直接得出结果了，看下面两张图中的均匀分布，这里的b-a就是θ...

离散型随机变量X，只有当它的取值为-1、2、3时的概率不为零，在其他地方取值的概率均为零，所以，把整个数轴分成四段讨论：当x小于-1时，F(x)=0当x大于或等于-1且小于2时，F(x)=1/4当x大于或等于2且小于3时，F(x)=1/4+1/2=3/4当x大于或等于3时，F(x)=1/4+1/2+1/4=1F(x)是离散型随机变量X的概率分布函数.P{0<X<2.5}=P{X=2}=1/2

从随机现象说起，在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成截然不同的两大类：一类是确定性的现象。这类现象是在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。举例来说，在标准大气压下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。事物间的这种联系是属于必然性的。通常的自然科学各学科就是专门研究和认识这种必然性的，寻求这类必然现象的因果关系，把握它们之间的数量规律。 另一类是不确定性的现象。这类现象是在一定条件下，它的结果是不确定的。举例来说，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。又如，在同样条件下，进行小麦品种的人工催芽试验，各棵种子的发芽情况也不尽相同，有强弱和早晚的分别等等。为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素又是人们无法事先一一能够掌握的。正因为这样，我们在这一类现象中，就无法用必然性的因果关系，对个别现象的结果事先做出确定的答案。事物间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做偶然现象，或者叫做随机现象。在自然界，在生产、生活中，随机现象十分普遍，也就是说随机现象是大量存在的。比如：每期体育彩票的中奖号码、同一条生产线上生产的灯泡的寿命等，都是随机现象。因此，我们说：随机现象就是：在同样条件下，多次进行同一试验或调查同一现象，所的结果不完全一样，而且无法准确地预测下一次所得结果的现象。随机现象这种结果的不确定性，是由于一些次要的、偶然的因素影响所造成的。随机现象从表面上看，似乎是杂乱无章的、没有什么规律的现象。但实践证明，如果同类的随机现象大量重复出现，它的总体就呈现出一定的规律性。大量同类随机现象所呈现的这种规律性，随着我们观察的次数的增多而愈加明显。比如掷硬币，每一次投掷很难判断是那一面朝上，但是如果多次重复的掷这枚硬币，就会越来越清楚的发现它们朝上的次数大体相同。我们把这种由大量同类随机现象所呈现出来的集体规律性，叫做统计规律性。概率论和数理统计就是研究大量同类随机现象的统计规律性的数学学科。 概率论产生于十七世纪，本来是由保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢 m局就算赢，全部赌本就归谁。但是当其中一个人赢了 a (a<m)局，另一个人赢了 b(b<m)局的时候，赌博中止。问：赌本应该如何分法才合理？”后者曾在1642年发明了世界上第一台机械加法计算机。三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。近几十年来，随着科技的蓬勃发展，概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作为基础的。概率论和数理统计是一门随机数学分支，它们是密切联系的同类学科。但是应该指出，概率论、数理统计、统计方法又都各有它们自己所包含的不同内容。概率论——是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，对这种出现的可能性大小做出数量上的描述；比较这些可能性的大小、研究它们之间的联系，从而形成一整套数学理论和方法。数理统计——是应用概率的理论来研究大量随机现象的规律性；对通过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理论证明；并判定各种方法应用的条件以及方法、公式、结论的可靠程度和局限性。使我们能从一组样本来判定是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的，并可以控制发生错误的概率。统计方法——是一上提供的方法在各种具体问题中的应用，它不去注意这些方法的的理论根据、数学论证。应该指出，概率统计在研究方法上有它的特殊性，和其它数学学科的不同点主要有：第一，由于随机现象的统计规律是一种集体规律，必须在大量同类随机现象中才能呈现出来，所以，观察、试验、调查就是概率统计这门学科研究方法的基石。但是，作为数学学科的一个分支，它依然具有本学科的定义、公理、定理的，这些定义、公理、定理是来源于自然界的随机规律，但这些定义、公理、定理是确定的，不存在任何随机性。第二，在研究概率统计中，使用的是“由部分推断全体”的统计推断方法。这是因为它研究的对象——随机现象的范围是很大的，在进行试验、观测的时候，不可能也不必要全部进行。但是由这一部分资料所得出的一些结论，要全体范围内推断这些结论的可靠性。第三，随机现象的随机性，是指试验、调查之前来说的。而真正得出结果后，对于每一次试验，它只可能得到这些不确定结果中的某一种确定结果。我们在研究这一现象时，应当注意在试验前能不能对这一现象找出它本身的内在规律。 概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。概率是随机事件发生的可能性的数量指标。在独立随机事件中，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显的稳定在某一固定常数附近。就可以认为这个事件发生的概率为这个常数。对于任何事件的概率值一定介于 0和 1之间。有一类随机事件，它具有两个特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，各个结果发生的可能性相同。具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型”。在客观世界中，存在大量的随机现象，随机现象产生的结果构成了随机事件。如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。随机变量有有限和无限的区分，一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。在离散型随机变量的概率分布中，比较简单而应用广泛的是二项式分布。如果随机变量是连续的，都有一个分布曲线，实践和理论都证明：有一种特殊而常用的分布，它的分布曲线是有规律的，这就是正态分布。正态分布曲线取决于这个随机变量的一些表征数，其中最重要的是平均值和差异度。平均值也叫数学期望，差异度也就是标准方差。 数理统计包括抽样、适线问题、假设检验、方差分析、相关分析等内容。抽样检验是要通过对子样的调查，来推断总体的情况。究竟抽样多少，这是十分重要的问题，因此，在抽样检查中就产生了“小样理论”，这是在子样很小的情况下，进行分析判断的理论。适线问题也叫曲线拟和。有些问题需要根据积累的经验数据来求出理论分布曲线，从而使整个问题得到了解。但根据什么原则求理论曲线？如何比较同一问题中求出的几种不同曲线？选配好曲线，有如何判断它们的误差？……就属于数理统计中的适线问题的讨论范围。假设检验是只在用数理统计方法检验产品的时候，先作出假设，在根据抽样的结果在一定可靠程度上对原假设做出判断。方差分析也叫做离差分析，就是用方差的概念去分析由少数试验就可以做出的判断。由于随机现象在人类的实际活动中大量存在，概率统计随着现代工农业、近代科技的发展而不断发展，因而形成了许多重要分支。如：随机过程、信息论、极限理论、试验设计、多元分析等。

数学期望在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。扩展资料：离散型随机变量与连续型随机变量都是由随机变量取值范围(取值)确定。变量取值只能取离散型的自然数，就是离散型随机变量。例如，一次掷20个硬币，k个硬币正面朝上，k是随机变量。k的取值只能是自然数0，1，2，…，20，而不能取小数3.5、无理数，因而k是离散型随机变量。如果变量可以在某个区间内取任一实数，即变量的取值可以是连续的，这随机变量就称为连续型随机变量。例如，公共汽车每15分钟一班，某人在站台等车时间x是个随机变量，x的取值范围是[0,15），它是一个区间，从理论上说在这个区间内可取任一实数3.5、无理数等，因而称这随机变量是连续型随机变量。参考资料来源：百度百科-数学期望参考资料来源：百度百科-均值

概率积分=1

第一章 事件与概率1.1 随机事件与随机变量1.1.1 随机现象及其样本空间1.1.2 随机事件与随机变量的定义1.1.3 事件间的关系与运算习题1.11.2 概率的定义及其确定方法1.2.1 概率的公理化定义1.2.2 频率方法1.2.3 古典方法1.2.4 概率分布1.2.5 主观方法习题1.21.3 概率的性质1.3.1 对立事件的概率1.3.2 概率的单调性1.3.3 概率的加法公式习题1.31.4 独立性1.4.1 事件间的独立性1.4.2 n重伯努利试验习题1.41.5 条件概率1.5.1 条件概率的定义1.5.2 条件概率的性质1.5.3 全概率公式1.5.4 贝叶斯公式习题1.5第二章 随机变量的分布及其特征数2.1 随机变量及其概率分布2.1.1 随机变量的定义2.1.2 离散分布2.1.3 连续分布习题2.12.2 分布函数2.2.1 分布函数的定义与性质2.2.2 正态分布的计算2.2.3 随机变量函数的分布习题2.22.3 数学期望2.3.1 离散分布的数学期望2.3.2 连续分布的数学期望2.3.3 随机变量函数的数学期望习题2.32.4 方差与标准差2.4.1 方差与标准差的定义2.4.2 方差的性质2.4.3 切比雪夫不等式2.4.4 伯努利大数定律习题2.42.5 分布的其他特征数2.5.1 矩2.5.2 变异系数2.5.3 偏度2.5.4 峰度2.5.5 中位数2.5.6 分位数2.5.7 众数习题2.53.1.1 多维随机变量3.1.2 联合分布3.1.3 随机变量间的独立性3.1.4 多维离散随机变量3.1.5 多维连续随机变量习题3.13.2 多维随机变量函数的分布与期望3.2.1 最大值与最小值的分布3.2.2 卷积公式3.2.3 多维随机变量函数的数学期望3.2.4 Delta方法习题3.23.3 多维随机变量间的相依性3.3.1 协方差3.3.2 相关系数3.3.3 条件分布3.3.4 条件期望习题3.33.4 中心极限定理3.4.1 一个重要现象3.4.2 独立同分布下的中心极限定理3.4.3 二项分布的正态近似3.4.4 独立不同分布下的中心极限定理习题3.4第四章 统计量与估计量4.1 总体与样本4.1.1 总体与个体4.1.2 样本4.1.3 从样本去认识总体的图表方法4.1.4 正态概率图习题4.14.2 统计量、估计量与抽样分布4.2.1 统计量与估计量4.2.2 抽样分布4.2.3 点估计的评价标准习题1.24.3 点估计方法4.3.1 样本的经验分布函数与样本矩4.3.2 矩法估计4.3.3 极大似然估计习题4.34.4 次序统计量4.4.1 次序统计量概念4.4.2 次序统计量的分布4.4.3 样本极差4.4.4 样本中位数与样本p分位数4.4.5 五数概括及其箱线图4.4.6 用随机模拟法寻找统计量的近似分布习题4.4第五章 单样本推断5.1 假设检验的概念与步骤5.1.1 假设检验问题5.1.2 假设检验的步骤5.1.3 标准差在假设检验中的作用习题5.15.2 正态均值的检验5.2.1 正态均值u的u检验（a已知）5.2.2 正态均值u的t检验（a未知）5.2.3 用p值作判断5.2.4 假设检验的一些解释习题5.25.3 正态均值的区间估计5.3.1 置信区间5.3.2 枢轴量法5.3.3 假设检验与置信区间的联系5.3.4 正态均值u的置信区间习题5.35.4 样本量的确定……第六章 双样本推断第七章 方差分析习题答案参考文献附录

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其实你这个问题的条件应该是不完整的，这个公式应该在B属于A时才成立。当B属于A时，你做图可以发现，此时B就是A与B的交集，即B=AB，因此P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)

∵ABC⊂AB∴0≤P（ABC）≤P（AB）=0，故P（ABC）=0A,B,C中至少有一个发生的概率：P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)把数字带进去即可！

加法原理、乘法原理、组合与排列 确定性现象 ：在一定条件下必然发生。 随机现象 ：事先无法预知出现哪个结果 统计规律性 ：随机现象在一次试验中呈现不确定的结果，而在大量重复试验中结果呈现某种规律性。 观察的过程叫做 随机试验 。 随机试验一切可能结果组成的集合称为 样本空间 ，记为 ，其中 表示试验的每一个可能结果，又称为 样本点 。 当我们通过随机试验来研究随机对象时，每一次试验都只能出现样本空间中的某一个样本点。各个可能结果 是否在一次试验中出现是随机的。 在随机试验中，常常关心其中的某一些结果是否会出现，如抛一枚骰子，掷出点数是否为奇数等。这些在一次试验中可能出现也可能不出现的一类结果称为 随机事件 ，简称为 事件 ，通常用大写字母A,B,C来表示。 从集合的角度说，样本空间的 部分样本点组成的集合 称为随机事件。 因为集合之间有各种关系，是可以进行运算的，因此在随机事件之间也可以讨论相互的关系，进行相应的运算。 由此可推出： 频率 ：在 次试验中事件A出现了 次，则称比值 为这 次试验中事件A出现的频率，记为 ， 称为事件A发生的频数。 概率的统计定义 为：随着试验次数 的增大，频率值逐步 “稳定” 到一个实数，这个实数称为事件A发生的概率。 概念的公理化定义： 由概率的三条公理，可以得到一些重要的基本性质： 古典概型的基本思路： (1) 只有 有限个样本点 (2) 每个 基本事件发生的可能性相等 几何概型是古典概型的推广，保留样本点的等可能性，但 去掉了包含有限个样本点的限制 。 经典问题：碰面问题，蒲丰投针问题。 根据蒲丰投针问题可以近似地计算 一般地，条件概率是指在某随机事件A发生的条件下，另一随机事件B发生的概率，记为 条件概率的定义： 可以验证条件概率也满足概率的公理化定义的三条基本性质。 概率的乘法公式 ： 事件的独立性定义： 由此引出定理： 可以将相互独立性推广到三个事件、……、n个事件 将一些较为复杂的随机事件的概率计算问题分解为一些较容易计算的情况分别进行考虑。 完备事件组 ： 定理1 全概率公式 ： 定理2 贝叶斯公式 ： 由条件概率的定义及全概率公式得到。 已知结果，寻找原因 。 先验概率 和 后验概率 ： 贝叶斯派和经典统计学学派为现代统计学的两大分支，差别在于是否使用先验信息。

《新世纪高级应用型人才培养系列教材·概率论与数理统计》是一本由同济大学出版社出版的书籍。《概率论与数理统计(工程数学)(第2版)》分为两大部分：第一部分为概率论基础，包括前5章内容；第二部分为数理统计，包括后4章内容。第一部分包括：随机事件及其概率、一维随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律与中心极限定理．第二部分包括：数理统计的基本思想、参数估计、假设检验、线性回归、方差分析和正交设计，《概率论与数理统计(工程数学)(第2版)》基本上只用到微积分和线性代数的知识，凡是具备这两门高等数学知识的读者，都可以使用《概率论与数理统计(工程数学)(第2版)》作为学习《概率论与数理统计》课程的教材。书名概率论与数理统计出版社同济大学出版社定价24.00 元[1]开本16 开装帧平装相关图书我的订单 | 更多图书概率论与数理统计9787560841922限时满减￥17.4来自度小店去购买概率论与数理统计 孟晗 编【正版】￥9来自京东去购买概率论与数理统计孟晗科学与自然9787560841922 概率论高等学校教材￥16.3来自京东去购买概率论与数理统计 孟晗 编 同济大学出版社 9787560841922￥19.5来自京东去购买【正版现货】概率论与数理统计￥25.6来自京东去购买概率论与数理统计￥31.2来自京东去购买内容简介图书目录TA说内容简介《概率论与数理统计(工程数学)(第2版)》内容丰富，重点突出，但是由于课时和专业原因，教师在实际授课时，可以根据专业特点，在完成基本内容的基础上，有选择地讲授。[1]图书目录第2版 前言第一章 随机事件及其概率第一节 随机事件及其运算一、随机试验与样本空间二、随机事件三、事件的关系与运算习题 1-1第二节 随机事件的概率一、概率的统汁定义二、古典概型二、几何概率四、概率的公理化定义习题 1-2第三节 条件概率与全概率公式一，条件概率勺乘法公式二、全概率公式与贝叶斯公式习题 1-3第四节 随机事件的独立性习题 1-4第五节 伯劳利慨型习题 1-5第二章 随机变量及其分布第一节 随机变量第二节 离散型随机变量及其概率分布一、两点分布(0-1分布或伯努利分布)二、二项分布三、泊松分布四、超几何分布五、几何分布六、帕斯卡分布习题 2-2第三节 随机变量的分布函数习题 2-3第四节 连续型随机变量及其概率密度一、均匀分布二、指数分布三、正态分布习题 2-4第五节 随机变量函数的分布习题 2-5第三章 多维随机变量及其分布第一节 多维随机变量习题 3-1第二节 边缘分布习题 3-2第三节 条件分布习题 3-3第四节 随机变量的独立性习题 3-4第五节 多维随机变量函数的分布习题 3-5第四章 随机变量的数字特征第一节 数学期望习题 4-1第二节 方差习题 4-2第三节 协方差及相关系数习题 4-3第四节 随机变量的其他数字特征习题 4-4第五章 大数定律与中心极限定理第一节 大数定律习题 5-1第二节 中心极限定理习题 5-2第六章 数理统计的基本思想第一节 总体与样本编辑传视频TA说1目录在【百度APP-我的】

其实你这个问题的条件应该是不完整的，这个公式应该在B属于A时才成立。当B属于A时，你做图可以发现，此时B就是A与B的交集，即B=AB，因此P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)

1.1.1 随机现象: 概率论与数理统计的研究的对象就是随机现象，随机现象就是在一定的条件下不总是出现相同的结果的现象，也就是不能肯定的确定结果的现象就统称为随机现象。现实生活中有很多的随机现象比如同一学校统一专业的学生考上研究生的现象就是随机现象，你不能说哪一个学生肯定能够考上某所学校但是你能根据这所学校往年的数据估算出这所学校的考研率，在一定程度上也就能够大致估算出这所学校某某同学考上研究生的可能性有多大，当然一个学生能不能考上研究生与这所学校的考研率并没有必然的联系因为是随机的具有不确定性，但有一定的相关程度在里面。整个概率论研究的就是随机现象的模型(概率分布)，而概率分布则是能够用来描叙某随机现象特征的工具。有阴就有阳，有了随机事件自然与之对应的就是确定性现象(如太阳每天东升西落) 1.1.2 样本空间： 随机现象一切可能 基本结果 所构成的集合则称为样本空间，其集合内的元素又称为样本点，当样本点的个数为可列个或者有限个的时候就叫做离散型样本空间，当样本点的个数为无限个或者不可列个的时候就叫做连续型样本空间。( 可列个的意思是可以按照一定的次序一一列举出来，比如某一天内到达某一个商场内的人数都是整数1，2，3。。。。，这叫可列个，不可列个的意思比如电视机的寿命，有100.1小时的有100.01小时的有100.0001小时的，你永远不能按照次序列举出比一百小的下一个元素到底是哪一个，这就叫不可列)。 1.1.3 随机事件： 随机现象某些样本点组成的集合叫做用一个 随机事件 ，也就是说随机事件是样本空间的一个子集，而样本空间中单个元素所组成的集合就叫做 基本事件 ，样本空间自身也是一个事件叫做 必然事件 ，样本空间的最小子集也即空集就叫做 不可能事件 1.1.4 随机变量： 用来表示随机现象结果的变量称为 随机变量 ，随机变量的取值就表示随机事件的结果，实际上随机事件的结果往往与一个随机变量的取值可以一一对应 1.1.5 随机事件之间的运算与关系： 由于我们将随机事件定义成一个集合事件间的运算也可看作是集合间的运算，集合间的诸运算如交集、并集、补集、差集等运算随机事件之间也有，而且运算规则一致。集合间的包含、相等、互不相容、对立，事件之间也有，随机事件间的运算性质满足交换律、结合律、分配率、德摩根定律。 1.1.6 事件域： 事件域为样本空间的某些子集所组成的集合类而且满足三个条件，事件域中元素的个数就是样本空间子集的个数，比如一个有N个样本点的样本空间那么他的事件域就有 个元素，定义事件域主要是为了定义事件概率做准备。 概率论中最基本的一个问题就是如何去确定一个随机事件的概率，随机事件的结果虽然具有不确定性，但是他发生的结果具有一定的规律性(也即随机事件发生可能性的大小)，而用来描叙这种规律性的工具就是概率，但是我们怎么样来给概率下一个定义嘞？如何度量描叙事件发生可能性的大小嘞？这是一个问题。 在概率论的发展史上针对不同的随机事件有过各种各样的概率定义，但是那些定只适用于某一类的随机事件，那么如何给出适合一切随机现象概率的最一般的定义嘞？1900年数学家希尔伯特提出要建立概率的公理化定义，也就是建立一个放之四海而皆准的满足一切随机事件的概率的定义，用概率本质性的东西去刻画概率.1933年前苏联数学家柯尔莫哥洛夫首次提出了概率的公理化定义，这个定义既概括了历史上几种概率的定义中的共同特性，又避免了各自的含混不清之处，不管什么随机现象只有满足该定义中的三条公理，才能说明他是概率，该定义发表之后得到了几乎所有数学家的一致认可。(说点题外话，如果某位数学工作者提出了某个重大的发现，首先需要写论文获得学术圈内的人士一致认同他的这个发现才能够有可能被作为公理写进教科书，之所以被称作公理就因为它既是放之四海而皆准的准则也是公认的真理)。 1.2.1 概率的三条公理化定义： 每一个随机事件其背后必定伴随着有她的样本空间(就像有些成功的男人背后都有一位贤内助)，每一个随机事件都属于样本空间的事件域，样本空间的选取不同对同一个随机事件而言其概率通常也会不同。 如果概率满足以上三条公理则称有样本空间、事件域、概率所组成的空间为概率空间，满足以上三条公理的概率才能称之为概率。 概率的公理化定义并没有给出计算概率的方法因此知道了什么是概率之后如何去确定概率就又成了一个问题。 1.2.2 确定概率的频率方法： 确定概率的频率方法应用场景是在能够大量重复的随机实验中进行，用频率的稳定值去获得概率的估算值的方法思想如下： 为什么会想到用频率去估算概率嘞？因为人们的长期实践表明随着试验次数的增加，频率会稳定在某一个常数附近，我们称这个常数为频率的稳定值，后来的伯努力的大数定律证明了其稳定值就是随机事件发生的概率，可以证明频率一样满足概率的三条公理化定义由此可见频率就是“伪概率”。 1.2.4 确定概率的古典方法： 古典问题是历史上最早的研究概率论的问题，包括帕斯卡研究的骰子问题就是古典问题，他简单直观不需要做大量的试验我们就可以在经验事实的基础上感性且理性的分析清楚。 古典方法确定概率的思想如下： 很显然上叙古典概率满足概率的三条公理化定义，古典概型是最古老的确定概率的常用方法，求古典概率归结为求样本空间样本点的总数和事件样本点的个数，所以在计算中常用到排列组合的工具。 1.2.5 确定概率的几何方法： 基本思想： 1.2.6 确定概率的主观方法： 在现实世界中一些随机现象是无法进行随机试验的或者进行随机试验的成本大到得不偿失的地步，这时候的概率如何确定嘞？ 统计学界的贝叶斯学派认为：一个事件的概率是人们根据经验对该事件发生可能性的个人信念，这样给出的概率就叫做主观概率，比如我说我考上研究生的概率是百分之百(这当然有吹牛的成分在里面，但是里面有也包含了自信和自己对自己学习情况的了解以及自己对所报考院校的了解)，比如说某企业家说根据它多年的经验和当时的一些市场信息认为某项新产品在市场上畅销的可能性是百分之80(这种话如果是熟人在私下里跟你说你还可以相信但是也要小心，如果是陌生人当着很多人的面说的你会相信吗？傻X才相信对不对？这么畅销你自己为什么不去做还把蛋糕分给老子？)。主观概率就是人们根据实际情况对某件事情发生的可能性作出的估计，但是这种估计的好坏是有待验证的。 这个理解了都不用特意去记要用的时候信手捏来，我是个很勤快的人其他公式都懒得记懒得写了。。。。下面只分析条件概率、全概率公式、贝叶斯公式： 1.3.1 条件概率： 所谓条件概率就是在事件A发生的情况下B发生的概率，即A B为样本空间 中两两事件若P(B)>0则称： 为在B发生的前提下A发生的条件概率，简称条件概率。 这个公式不难理解，实际上上面公式 也就是说“ 在B发生的条件下A发生的概率等于事件A与事件B共有的样本点的个数比上B的样本点的个数”，而且可以验证此条件概率满足概率的三条公理化定义。 1.3.2 乘法公式： 1.3.3 全概率公式： 设 为样本空间 的一个分割，即 互不相容，且 ,如果 则对任一事件A有： 这个公式也是很好理解的因为诸 互不相容而且其和事件为样本空间，故A事件中的样本点的个数等于A与诸 中共有样本点的和。 1.3.4 贝叶斯公式： 贝叶斯公式是在全概率公式和乘法公式的基础上推得的。 设若 为样本空间的一个分割，即 互不相容，且 如果 则： 公式的证明是根据条件概率来的，然后在把分子分母分别用乘法公式和全概率公式代替即可，公式中的 一般为已知概率称之为 先验概率 公式中 则称之为 后验概率 ，全概率公式和乘法公式为由原因推结果，而贝叶斯公式则为由结果推原因。 1.3.5 事件独立性： 上面我们介绍了条件概率这个概念，在条件A下条件B发生的概率为 ,如果B的发生不受A的影响嘞？直觉上来讲这就将意味着 故引入如下定义对任意两个事件A,B若 则称事件A与事件B相互独立 除了两个随机事件相互独立满足的定义当然也会有多个随机事件独立满足的定义，对N随机事件相互独立则要求对事件中的任意 个随机事件都相互独立. 1.3.6 伯努利概型： 定义：如果实验E只有两种可能的结果： ,然后把这个试验重复n次就构成了n重伯努利试验或称之为伯努利概型.显然每次伯努利试验事件结果之间是相互独立互不影响的，则伯努利试验显然是服从二项分布的，之后再介绍二项分布。 1.4.1 离散型随机变量： 之前说过用来表示随机现象结果的变量称之为随机变量，如抛掷一枚骰子随机变量的取值可以为1,2,3….显然此时随便试验的结果与随机变量的取值是一一对应的，于是我们将研究随机试验结果的统计规律转化为研究随机变量取值的统计规律，这种对应关系是人为的建立起来的同时也是合理的，只取有限个或者可列个值时候的随机变量则称之为离散型随机变量。 1.4.2 随机变量的分布列： 将随机变量的取值与其对应取值的可能性大小即概率列成一张表就称之为分布列，分布列使得随机变量的统计规律一目了然也方便计算其特征数方差和均值。分布列满足如下两个性质： 满足以上两个性质的列表则称之为分布列 1.4.3 分布函数： 设若X为一个随机变量，对任意的实数x，称 为随机变量X的分布函数记为 . 分布函数满足以下三个性质： 以上上个性质是一个函数能否成为分布函数的充要条件。 1.4.4 数学期望和方差： 先来看一个例子，某手表厂在出产的产品中抽查了N=100只手表的日走时误差其数据如下： 这时候这100只手表的平均日走时误差为： 其中 是日走时误差的频率记做 则 平均值 即平均值为频数乘以频率的和，由于在 时频率稳定于概率，于是在理论上来讲频率应该用概率来代替，这时我们把频率用概率来代替之后求出的平均值称之为数学期望(实际上由后面的大数定律可得平均值也稳定于数学期望),数学期望在一定程度上反映了随机变量X结果的平均程度即整体的大小，我们记为 。 定义：设X是一个随机变量X的均值 存在 如果 也存在则称之为随机变量X的方差记为 . 显然方差也是一个均值那么他是什么的均值嘞？ 表示随机变量的均值离差， 由随机变量平均值的离差和等于零我们可以推的随机变量均值的离差和也等于零故均值离差和的均值 也等于零，但是我们希望用离差来刻画不同分布间的差别如果用均值离差和的均值那么任何分布都为零，于是我们将离差加上一个平方变成 这样避免了离差和为零。那么方差这个表示分布特征的数又有什么重要意义嘞？很多人看似学完了概率统计，但是居然连方差的意义都没有搞清楚，实际上方差是用来刻画数据间的差异的，而刻画数据间的差异无论是在空间上的向量还是在平面上的点，用距离来刻画他们之间的差异是再好不过的。在物理学上要想正确合理的比较两动体的速度加速度我们就需要选取合适的参考系来进行对比，同样在比较数据间的差异的时候我们也往往用均值来做他们的参考(实际上其他的值也可以用来进行比较，但是那可能造成方差过大的现象)，与均值的距离越大说明他们的差异也越大，而距离又有正负之分因此为了区别正负我们也需要把与均值的距离加上一个平方，这也就是方差概念的来源。我们通常用方差来描叙一组数据间的差异，方差越小数据越集中，越大数据越分散，同时在金融上面也用来评估风险比如股价的波动性，我们当然希望股价的波动越是平稳即方差越小、收益越稳定越好。 因为均值和方差描叙了随机变量及其分布的某些特征因此就将其称之为特征数. 1.4.5 连续型随机变量的密度函数： 连续型随机变量的取值可能充满某一个区间为不可列个取值，因此描叙连续型随机变量的概率分布不能再用分布列的行时呈现出来，而要借助其他的工具即概率密度函数。 概率密度函数的由来：比如某工厂测量一加工元件的长度，我们把测量的元件按照长度堆放起来，横轴为元件的单位长度，纵轴为元件单位长度上的频数，当原件数量很多的时候就会形成一定的图形，为了使得这个图形稳定下来我们将纵坐标修改为单位长度上的频率，当元件数量不断增多的时候由于频率会逐步稳定于概率，当单位长度越小，原件数量越多的时候，这个图形就越稳定，当单位长度趋向于零的时候，图形就呈现出一条光滑的曲线这时候纵坐标就由“单位长度上的概率”变为“一点上的概率密度”，此时形成的光滑曲线的函数 就叫做概率密度函数，他表现出x在一些地方取值的可能性较大，一些地方取值的可能性较小的一种统计规律，概率密度函数的形状多种多样，这正是反映了不同的连续随机变量取值统计规律上的差别。 概率密度函数 虽然不是密度但是将其乘上一个小的微元 就可得小区间 上概率的近似值，即 微分元的累计就能够得到区间 上的概率,这个累计不是别的就是 在区间 上的积分 = . 由此可得x的分布函数 ,对于连续型随机变量其密度函数的积分为分布函数，分布函数求导即为密度函数 密度函数的基本性质： 1.4.6 连续型随机变量的期望和方差： 设若随机变量X的密度函数为 . 数学期望： 方差： 1.4.7 切比雪夫不等式(Chebyshev,1821-1894): 设随机变量X的数学期望和方差都存在，则对任意常数 有： . 之所以有这个公式是因为人们觉得事件{ }发生的概率应该与方差存在一定的联系，这个是可以理解的，方差越大在某种程度上说明 X的取值偏离 越厉害即说明偏离值大于某个常数a的取值越多因此取值大于某个值的概率也越大，上面公式说明大偏差发生概率的上界与方差有关，方差越大上界也越大。 1.4.8 常用离散型分布： 1.4.9 常用的连续型分布：

统计分析方法从根本上说有两大类，一是逻辑思维方法，二是数量关系分析方法逻辑思维方法是指辩证唯物主义认识论的方法。统计分析必须以马克思主义哲学作为世界观和方法论的指导。唯物辩证法对于事物的认识要从简单到复杂，从特殊到一般，从偶然到必然，从现象到本质。坚持辨证的观点、发展的观点，从事物的发展变化中观察问题，从事物的相互依存、相互制约中来分析问题，对统计分析具有重要的指导意义。数量关系分析方法是运用统计学中论述的方法对社会经济现象的数量表现，包括社会经济现象的规模、水平、速度、结构比例、事物之间的联系进行分析的方法。如对比分析法、平均和变异分析法、综合评价分析法、结构分析法、平衡分析法、动态分析法、因素分析法、相关分析法等。

a. 目的 ：识别一个个体所属类别 b. 适用 ：被解释对象是非度量变量（nonmetric），解释变量是度量变量；分组类型2组以上，每组样品>1。 c. 应用 ：归类、预测 d. 判别分析与聚类分析 ： i. 聚类分析前，我们并不知道应该分几类，分类工作； ii. 判别分析时，样品的分类已事先确定，需要利用训练样 本建立判别准则，对新样品所属类别进行判定，归类工作。 a. 假设1：每一个判别变量（解释变量）不能是其他判别变量的线性组合。避免多重共线性问题。 b. 假设2：如果采用线性判别函数，还要求各组变量协方差矩阵相等----线性判别函数使用起来最方便、在实际 中使用最广。 c. 假设3：各判别变量遵从多元正态分布，可精确的计算 显著性检验值和归属概率，不然计算概率不准。 协方差相等/协方差不等 协方差相等/协方差不等 优点 ： i. 距离判别只要求知道总体的特征量(即参数)---均值和协差阵,不涉及总体的分布类型. ii. 当参数未知时,就用样本均值和 样本协差阵来估计. iii. 距离判别方法简单,结论明确,是很实用的方法. ii. 缺点 i. 该判别法与各总体出现的机会大小(先验概率)完全无关 ii. 判别方法没有考虑错判造成的损失,这是不合理的. v. 贝叶斯判别 的基本思想 i. 假定对研究对象已经有了一定的认识，这种认识可以用 先验概率 来描述，当取得样本后，就可以利用 样本来修正 已有的 先验概率分布，得到 后验概率 分布，再通过后验概率分布进 行各种统计推断。 ii. 贝叶斯判别属于 概率判别法。 iii. 判别准则： i. 个体归属某类的概率（后验概率）最大 ii. 错判总平均损失最小为标准。 vi. 贝叶斯判别的后验概率最大 i. 贝叶斯（Bayes）判别要变量服从 正态分布 类型。 ii. 、贝叶斯（Bayes）判别的判别准则是以个体归属某类的概率最大或 错判总平均损失 最小为标准。弥补了 距离判别和费歇（Fisher）判别的缺点。 5.1费歇（Fisher）判别核心思想 ： i. 通过多维数据投影到一维度直线上，将k组m维数据投影到 某一个方向,使得投影后组与组之间尽可能地分开。而衡量组 与组之间是否分开的方法借助于一元方差分析的思想 ii. 费歇（Fisher）判别是一种确定性判别。 5.2费歇（Fisher）判别小结 ： i. 费歇（Fisher）判别对判别变量的分布类型并无要求， 而贝叶斯（Bayes）判别要变量服从正态分布类型。因此， Fisher类判别较Bayes类判别简单一些。 ii. 当两个总体时，若它们的协方差矩阵相同，则距离判 别和Fisher判别等价。 当变量服从正态分布时，它们还 和Bayes判别等价。 iii. 与距离判别一样，费歇判别与各总体出现的机会大小 (先验概率)完全无关；也没有考虑错判造成的损失。 如何从m个变量中挑选出对区分k个总体有显 著判别能力的变量,来建立判别函数,用以判别归类。 1.忽略主要的指标； 凡是具有筛选变量能力的判别方法统称为逐步判别法。 i. 保留判别能力显著的变量 ii. 剔除判别能力不显著的变量 i. 逐步筛选变量 i. 根据各变量对区分k个总体的判别能力的大小，利用向 前选入、向后剔除或逐步筛选的方法来选择区分k个总体的 最佳变量子集。 ii. 判别归类 i. 对已选出变量子集，使用三大判别方法（距离判别、 Bayes判别、Fisher判别）对样品进行判别归类。

1. 系统聚类法 :由N类--1类 2. 分解法 ：由1类---N类 3. K-均值法 ：事先在聚类过程中确定在K类，适用于数据量大的数据 4. 有序样品的聚类 ：N个样品排序，次序相邻的样品聚成一类 5. 模糊聚类法 ：模糊数学的方法，多用于定性变量 6. 加入法 ：样品依次加入，全部加入完得到聚类图。 a.明氏距离：绝对距离、欧式距离、切比雪夫距离 b.马氏距离 c.兰氏距离 d.名义尺度距离度量 a.夹角余弦 b.相关系数 a. 明考夫斯基距离 在实际中广泛运用，但有缺点 i. 距离的大小与各指标的观测单位有关，具 有一定的人为性。 ii. 没有考虑指标之间的相关性。 iii. 改进思路: b. 马氏距离 i. 马氏距离还考虑了观测变量之间的变异性，不再 受各指标量纲的影响 ii. 马氏距离与上述各种距离的主要不同就是它考虑 了观测变量之间的相关性。 c. 距离的选择原则 i. **要考虑所选择的距离公式在实际应用中有明确的意义。 ** h. 类的距离 a.常用的类间距离定义有8种之多，与之相应的 系统聚类法 也有8种，分别为 a. 最短距离法的主要缺点是它有链接聚合的趋势，容易形 成一个比较大的类，大部分样品都被聚在一类中，所以最短 距离法的聚类效果并不好，实际中不提倡使用。 b. 最长距离法克服了最短距离法链接聚合的缺陷，两类合 并以后与其他类的距离是原来两个类中的距离最大者，加大 了合并后的类与其他类的距离。 a. 计算距离阵: dist b. 进行系统聚类: hclust c. 绘制聚类图: plot d. 画分类框: rect.hclust e. 确认分类结果: cutree a. 定义 ：用模糊数学的方法来处理聚类问题；模糊聚类可 得到样本属于各个类别的不确定性程度，表达了样本类属的 中介性，更能客观地反映现实世界。 b. 基本思想 ：把经典集合中的隶属关系加以扩充，使元素 对“集合”的隶属程度由只能取0与1这两个值推广到可以 取单位区间[0,1]中的任意一数值。 c. 特征 ：带有较强的主观性，分类结果比较粗糙，一般 适合对大量数据进行快速聚类。 kmeans(x,centers)#centers为聚类个数 编写调用有序样品聚类函数ocluster

1、聚类分析聚类分析指将物理或抽象对象的集合分组成为由类似的对象组成的多个类的分析过程。聚类是将数据分类到不同的类或者簇这样的一个过程，所以同一个簇中的对象有很大的相似性，而不同簇间的对象有很大的相异性。聚类分析是一种探索性的分析，在分类的过程中，人们不必事先给出一个分类的标准，聚类分析能够从样本数据出发，自动进行分类。聚类分析所使用方法的不同，常常会得到不同的结论。不同研究者对于同一组数据进行聚类分析，所得到的聚类数未必一致。2、因子分析因子分析是指研究从变量群中提取共性因子的统计技术。因子分析就是从大量的数据中寻找内在的联系，减少决策的困难。因子分析的方法约有10多种，如重心法、影像分析法，最大似然解、最小平方法、阿尔发抽因法、拉奥典型抽因法等等。这些方法本质上大都属近似方法，是以相关系数矩阵为基础的，所不同的是相关系数矩阵对角线上的值，采用不同的共同性□2估值。在社会学研究中，因子分析常采用以主成分分析为基础的反覆法。3、相关分析相关分析(correlation analysis)，相关分析是研究现象之间是否存在某种依存关系，并对具体有依存关系的现象探讨其相关方向以及相关程度。相关关系是一种非确定性的关系，例如，以X和Y分别记一个人的身高和体重，或分别记每公顷施肥量与每公顷小麦产量，则X与Y显然有关系，而又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这就是相关关系。4、对应分析对应分析(Correspondence analysis)也称关联分析、R-Q型因子分析，通过分析由定性变量构成的交互汇总表来揭示变量间的联系。可以揭示同一变量的各个类别之间的差异，以及不同变量各个类别之间的对应关系。对应分析的基本思想是将一个联列表的行和列中各元素的比例结构以点的形式在较低维的空间中表示出来。5、回归分析研究一个随机变量Y对另一个(X)或一组(X1，X2，„，Xk)变量的相依关系的统计分析方法。回归分析(regression analysis)是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。运用十分广泛，回归分析按照涉及的自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析;按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。

1. 应用统计学与R语言实现学习笔记（十）——聚类分析 ) 2. 厦门大学-多元统计分析 3. DBSCAN 密度聚类法 4. 四大聚类算法（KNN、Kmeans、密度聚类、层次聚类） 俗话说，物以类聚，人以群分。聚类在日常生活中，非常常见. 就是将相似的物体，放在一起. 聚类的目的 ——根据已知数据（ 一批观察个体的许多观测指标） ， 按照一定的数学公式计算各观察个体或变量（指标）之间亲疏关系的统计量（距离或相关系数等）。 根据某种准则（ 最短距离法、最长距离法、中间距离法、重心法等），使同一类内的差别较小，而类与类之间的差别较大，最终将观察个体或变量分为若干类。 根据分类的对象可将聚类分析分为： 样品间亲疏程度的测度 研究样品或变量的亲疏程度的数量指标有两种，一种叫相似系数，性质越接近的变量或样品，它们的相似系数越接近于1，而彼此无关的变量或样品它们的相似系数则越接近于0，相似的为一类，不相似的为不同类；另一种叫距离，它是将每一个样品看作p维空间的一个点，并用某种度量测量点与点之间的距离，距离较近的归为一类，距离较远的点属于不同的类。 变量之间的聚类即R型聚类分析，常用相似系数来测度变量之间的亲疏程度。 而样品之间的聚类即Q型聚类分析，则常用距离来测度样品之间的亲疏程度。 距离 假使每个样品有p个变量，则每个样品都可以看成p维空间中的一个点， n个样品就是p维空间中的n个点，则第i样品与第j样品之间的距离可以进行计算。 几种常用方式度量： 欧式距离 L2（Euclidean distance）--- 常用 马氏距离（Mahalanobis distance）---协方差矩阵 Minkowski测度（ Minkowski metric） Canberra测度（Canberra metric） 有了距离衡量度量，我们可以计算两两的距离，就得到距离矩阵~ 比如：下面用dist 计算距离的方法 定义了距离之后，怎样找到"合理"的规则，使相似的/距离小的个体聚成一个族群？ 考虑所有的群组组合显然在计算上很难实现，所以一种常用的聚类方法为层次聚类/系统聚类（hierarchical clustering） 从系统树图中可以看出，我们需要度量族群与族群之间的距离，不同的定义方法决定了不同的聚类结果： 计算族群距离的三种方法的比较： （可以看到都是小小的族群合并在一起，因为让方差增加最小，倾向与合并小群体） 一般情况，我们得到系统树，需要对树进行切割. 如下图一条条竖线. 层次聚类族群数的选择： 1、建立n个初始族群，每个族群中只有一个个体 2、计算n个族群间的距离矩阵 3、合并距离最小的两个族群 4、计算新族群间的距离矩阵。如果组别数为1，转步骤5；否则转步骤3 5、绘制系统树图 6、选择族群个数 在层次聚类中，一旦个体被分入一个族群，它将不可再被归入另一个族群,故现在介绍一个“非层次”的聚类方法——分割法（Partition）。最常用的分割法是k-均值（k-Means）法 k-均值法试图寻找 个族群 的划分方式，使得划分后的族群内方差和（within-group sum of squares，WGSS）最小. 思路也是将相近的样本,聚在一起，使得组内方差小，组间方差大. ① 选定 个“种子”（Cluster seeds）作为初始族群代表 ② 每个个体归入距离其最近的种子所在的族群 ③ 归类完成后，将新产生的族群的质心定为新的种子 ④ 重复步骤2和3，直到不再需要移动 ⑤ 选择不同的k 值，计算WGSS,找到拐点确定最合适的K. 有多种初始种子的选取方法可供选择： 1、在相互间隔超过某指定最小距离的前提下，随机选择k个个体 2、选择数据集前k个相互间隔超过某指定最小距离的个体 3、选择k个相互距离最远的个体 4、选择k个等距网格点（Grid points），这些点可能不是数据集的点 可以想到，左侧的点收敛更快得到全局最优；左侧可能聚类效果一般，或者收敛非常慢，得到局部最优. 我们的目标是使得WGSS足够小，是否应该选取k使得WGSS最小？ 我们需要选择一个使得WGSS足够小（但不是最小）的k值.（PS: 族群内方差和最小时候，k=n,此时WGSS为0，此时是过拟合问题~） 当我们分部计算k=1,2,3,4,5... 时候，WGSS值，就可以绘制下面碎石图。及WGSS 随着k 变化过程。k 越大，WGSS越小.

对速度信号进行傅里叶谱分析之后，其纵坐标对应的幅值的物理意义是频率。傅里叶变换广泛应用于物理、电子、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域。利用计算机计算离散傅里叶变换（DFT)的高效、快速计算方法的统称，简称FFT。快速傅里叶变换是1965年由J.W.库利和T.W.图基提出的。采用这种算法能使计算机计算离散傅里叶变换所需要的乘法次数大为减少，特别是被变换的抽样点数N越多，FFT算法计算量的节省就越显著。

基数指集合论中刻画任意集合所含元素数量多少的一个概念 。有限集的基数也就是传统概念下的“个数”。 所以我认为是100如果1到100作为一个集合无疑它的基数是100

题主想问的是常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）的数值方法区别呢还是微分方程这个领域和微分方程数值解领域的区别呢？按照前面@赵永峰 的回答，我也按照前者理解吧。毕竟后者的一些区别是显而易见的。先说一点共性。微分方程的数值方法，无论是ODE还是PDE，都是将连续的、无限未知数的问题近似为离散的、有限未知数的问题求解。从经典数值分析的角度，通常会关心下面一些问题：相容性、稳定性、收敛性、收敛阶、计算量等等。相容性是指格式在局部是不是做出了正确的近似；稳定性是说局部的近似误差会不会随着计算而积累放大；收敛性是说当离散尺度无穷小的时候数值解是否会趋向于真实解；收敛阶则刻画了收敛的速度，高阶的格式可以用较大的离散尺度获得较好的数值结果，但是代价通常是单步下稍多的计算量。因此数值方法的最终表现需要在误差和计算量之间找到一个平衡。先说说ODE。在这个领域里，无论是初值问题还是边值问题，有限差分方法都是最常用的方法，比如说著名的Runge-Kutta方法。最常用的RK4方法就有稳定性条件比较宽泛、收敛阶很高（4阶）、计算量较小的优点。ODE数值方法中，差分方法是绝对的主流。尽管有限元方法、谱方法等等也可以用于解ODE，但是差分法依然更受欢迎。即便是边值问题，基于差分法的打靶法也比有限元更受欢迎。由于ODE的解行为通常比较好，只要右端项满足一定的Lipschitz连续性，解就存在唯一，对初值参数连续依赖。所以ODE数值方法的特点是有限差分法是一种适用面非常广泛的方法。也就是说，如果你是一个工程师，对数值方法并不熟悉。你在实际工作用需要求解一个（规模不太大的）ODE，那么你闭着眼睛把这个方程扔给一个RK4标准程序，效果一般不会太差……实际应用中ODE数值方法面临的最主要问题是刚性。简单说，如果把方程组理解为一组粒子的运动，那么这些粒子的运动存在时间尺度的分离，而你的数值方法应该要抓住最小的时间尺度，这就意味着超大的计算量。这种问题在分子动力学模拟（MD）中特别常见。本来MD就要计算10^6量级的粒子，再有很强的刚性就会使得模拟几乎无法进行。实际中，无论是从理论上做渐近分析或是平均化（averaging）抑或是数值上构造稳定性条件更加宽松的数值格式都是非常有挑战性的工作。ODE数值解面对的另一个困难时长时间模拟。再好的数值格式也会有误差，误差总会随着时间积累，时间充分长之后总会让数值解变得不可信。尤其是如果方程的解包含周期结构的时候数值误差很容易在长时间上破坏解的周期性（一个典型的例子是用Euler法求解地球轨道方程，数值解最终会远离太阳而去）。因此一个很有挑战性的问题就是如何在长时间的计算中保持数值解的某种结构，比如说能量守恒。如何构造这种满足特殊要求的数值格式同时还能尽量保持高精度是需要仔细设计的。实际中如果面对超大规模方程的长时间模拟，计算量的限制使得高阶格式都难以应用的时候，其结果的可信度基本属于玄学……除此之外，ODE数值解还有一些具体的问题。比如说不适定问题的求解、方程在临近分岔时的精确求解等等。总的来说，ODE数值解的领域相对成熟，理论比较完善，有一些可以作为标准方法的解法。实际应用中，可以根据实际问题的特点在这些标准方法上做出改进。说到PDE数值解，那简直就是天坑……这个领域太大了，即便你说PDE数值解就是全部的计算数学，错的也不算离谱。教授们如果不注意维护自己的个人主页，很容易发现一所高校计算数学系教授的研究兴趣都是偏微分方程数值解……还是简单说几句好了。从方法构造上，前面@赵永峰 的答案中提到的有限差分法、有限元方法和谱方法确实是最主要的几种方法。有限差分法依然是最基础的。差分法有直观清楚、构造简单、易于编程的优点，对于没有受过专门数值方法训练的工程师来说，差分法依然是最好的选择。精心构造的差分方法可以非常高效。比如在求解流体力学方程的时候，守恒型差分格式有非常成熟的理论和方法。有限差分法的缺点主要是只能用于比较规则的区域，对于复杂区域边界的处理不但困难，而且很容易损失精度，进而影响数值解在全局的精度。一种改进的方式是有限体积法（Finite Volume Method）。有限体积法的做法是将微分方程写成积分方程，在每一个小区域中用数值积分来近似精确积分，进而求解方程组。因为数值积分的方法比较灵活，有限体积法对于区域的要求宽松许多，并且可以选择合适的积分法来保持方程的物理性质。缺点则是如果使用较高阶的数值积分方法，那么计算量将非常大，甚至需要求解非线性方程组；而如果使用较低阶的数值积分法，又不如差分法简洁。差分法的思想是在局部用差商代替微商，这是一个局部的近似。从全局看，差分法相当于用分片常数近似导数，也就是用分片线性函数近似精确解。而分片线性函数在全局其实是不可导的，所以我们通常在连续函数的最大值范数下来考察收敛性。而有限元方法（Finite Element Method）则是用分片多项式来近似精确解，我们不但可以在整体上考虑函数值的收敛性，还可以考虑导数的收敛性。有限元方法的优点在于可以用于不规则的一般区域，原则上可以构造出非常高阶的格式，收敛性和收敛阶有比较成熟的理论，缺点则是有限元的构造比较困难，也不容易写程序。在一些汉译文献中经常混淆有限体积法和有限元方法两个术语，需要特别注意。（一个特别有名的例子，LeVeque的名著“Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems”就被翻译成了有限元方法……）谱方法则是一种无网格方法。它不像差分法和有限元那样需要首先将区域做剖分，而是将解按照一组正交基做展开（也就是广义的Fourier展开），截取有限项作为近似，需要求解的是对应的Fourier系数。谱方法的好处是高精度，以及搭配一些快速算法（比如快速Fourier变换）计算速度很快，缺点则是一般只适用于非常规则的区域，并且对边界条件有比较苛刻的限制。此外，将谱方法和有限元方法结合起来的谱元法也是当下比较热门的领域。可以看到，和ODE不同，PDE数值解没有一种占绝对优势地位的方法乃至于框架。一般来说，我们需要针对不同的方程设计不同的数值方法。所以PDE方程的数值求解是一件技术含量比较高的事情。如果你是一个对数值方法不熟悉的工程师，在实际应用中需要求解一个PDE，那么最好还是找一本书简单学习一下。即便是最简单的方程、最简单的差分法，也需要一些知识来设计合适的格式（举两个学生作业中常见的例子，对流方程的差分格式需要满足CFL条件，对流占优的对流扩散方程也需要仔细设计格式来避免数值耗散对解的污染，即便这些方程都是常系数的）。PDE数值解的困难主要在于PDE的解表现出的行为太丰富了。很多时候，我们对要求解的方程性质都缺少基本的认识，更说不上根据方程的特点设计有效的算法。实际中我们只能针对一类方程来设计一类格式，这一类格式对另一类方程很可能根本就不灵。我们都知道， 和 一个符号之差就是两种完全不一样的方程。适用于前者的格式根本就解不了后者。ODE中我们提到的困难对于PDE都存在，比如刚性，比如长时间行为。但是这都不是PDE数值解的主要问题。因为PDE的数值解还远到不了讨论这么精细问题的程度，当务之急还是在有限的计算时间内解出来。对ODE数值解要求4、5阶的精度不算过分，但是PDE数值解能有时空2阶精度就非常令人满意了。和ODE相比，PDE的数值解更加强调对方程物理性质的保持。因为PDE问题通常都来自物理背景。计算流体力学中要求保持物理量的守恒性，还要能够准确的捕捉激波。既要利用数值粘性来避免数值振荡，还要尽量减小数值粘性来保持解的守恒性。这些使得某一种PDE的数值求解都变成一门需要深入研究的学问。泛泛的谈PDE的数值解通常是谈不出什么来的。PDE数值解的另一个巨大困难就是维数灾难（curse of dimensionality）。一般的说，PDE需要求解的未知数数量是随着问题维数指数增加的。这就意味着合理的计算量根本处理不了高维的问题。现今，无论是差分法、有限元还是谱方法，一般都只能处理三维以下的问题。超过三维，如果没有可以利用的对称性，基本可以宣告放弃了。然而高维的PDE求解在统计物理中随处可见。即便要求解Boltzmann方程，也是7维的，远远超出了传统方法的能力范围。对于一类特殊的PDE，我们可以将它视作是某个随机变量的期望，然后利用Monte Carlo方法来计算这个期望。众所周知，Monte Carlo方法的优点就是计算量对维数的增加不敏感，可以针对少量特殊点求解方程而不必在全局解出整个解，可并行化程度高，是求解高维PDE的一种很有吸引力的方法。当然，Monte Carlo方法的缺点也很多。比如说收敛慢（通常只有半阶）、精度低、随机误差不可避免、对问题形式要求严苛等等。总的来说，PDE的求解通常是根据具体问题设计具体方法的，泛泛地说PDE的数值方法很难深入下去。PDE求解的问题和困难非常之多，如果说解ODE的时候闭着眼睛上RK4是个不算糟糕的方案，那么解PDE就一定要对待求解的方程和数值方法理论本身都有基本的认识。

个人觉得多元统计分析，因为偏微分方程实际上还是属于正常方程的一种，我们会有熟悉的感觉；但多元统计分析基本平常没接触，高考之后更是没接触，所以没什么熟悉感

AVERAGEA 请参阅 计算参数列表中数值的平均值（算数平均值）。不仅数字，而且文本和逻辑值（如 TRUE 和 FALSE）也将计算在内。 语法 AVERAGEA ( value1 ,value2,...) Value1, value2,... 为需要计算平均值的 1 到 30 个单元格、单元格区域或数值。 说明 参数必须为数值、名称、数组或引用。 包含文本的数组或引用参数将作为 0（零）计算。空文本 ("") 也作为 0（零）计算。如果在平均值的计算中不能包含文本值，请使用函数 AVERAGE。 包含TRUE 的参数作为 1 计算；包含 FALSE 的参数作为 0 计算。 =AVERAGEA(A2:A6) MAX 请参阅 返回一组值中的最大值。 语法 MAX ( number1 ,number2,...) Number1, number2, ... 是要从中找出最大值的 1 到 30 个数字参数。 说明 可以将参数指定为数字、空白单元格、逻辑值或数字的文本表达式。如果参数为错误值或不能转换成数字的文本，将产生错误。 如果参数为数组或引用，则只有数组或引用中的数字将被计算。数组或引用中的空白单元格、逻辑值或文本将被忽略。如果逻辑值和文本不能忽略，请使用函数 MAXA 来代替。 如果参数不包含数字，函数 MAX 返回 0（零）。 MIN 请参阅 返回一组值中的最小值。 语法 MIN ( number1 ,number2,...) Number1, number2,... 是要从中找出最小值的 1 到 30 个数字参数。 说明 可以将参数指定为数字、空白单元格、逻辑值或数字的文本表达式。如果参数为错误值或不能转换成数字的文本，将产生错误。 如果参数是数组或引用，则函数 MIN 仅使用其中的数字，空白单元格，逻辑值、文本或错误值将被忽略。如果逻辑值和文本字符串不能忽略，请使用 MINA 函数。 如果参数中不含数字，则函数 MIN 返回 0。

1．数论欧拉的一系列成奠定作为数学中一个独立分支的数论的基础。欧拉的著作有很大一部分同数的可除性理论有关。欧拉在数论中最重要的发现是二次反律。2．代数欧拉《代数学入门》一书，是16世纪中期开始发展的代数学的一个系统总结。3．无穷级数欧拉的《微分学原理》是有限差演算的第一部论著，他第一个引进差分算子。欧拉在大量地应用幂级数时，还引进了新的极其重要的傅里叶三角级数类。1777年，为了把一个给定函数展成在（0，“180”）区间上的余弦级数，欧拉又推出了傅里叶系数公式。欧拉还把函数展开式引入无穷乘积以及求初等分式的和，这些成果在后来的解析函数一般理论中占有重要的地位。他对级数的和这一概念提出了新的更广泛的定义。他还提出了两种求和法。这些丰富的思想，对19世纪末，20世纪初发散级数理论中的两个主题，即渐近级数理论和可和性的概念产生了深远影响。4．函数概念欧拉写的数学名著《无穷分析引论》18世纪中叶，分析学领域有许多新的发现，其中不少是欧拉自已的工作。它们系统地概括在欧拉的《无穷分析引论》、《微分学原理》和《积分学原理》组成的分析学三部曲中。这三部书是分析学发展的里程碑四式的著作。5．初等函数《无穷分析引论》第一卷共18章，主要研究初等函数论。其中，第八章研究圆函数，第一次阐述了三角函数的解析理论，并且给出了棣莫弗（de Moivre）公式的一个推导。欧拉在《无穷分析引论》中研究了指数函数和对数函数，他给出著名的表达式——欧拉恒等式（表达式中用表示趋向无穷大的数；1777年后，欧拉用表示虚数单位 ），但仅考虑了正自变量的对数函数。1751年，欧拉发表了完备的复数理论。6．单复变函数通过对初等函数的研究，达朗贝尔和欧拉在1747－1751年间先后得到了（用现代数语表达的）复数域关于代数运算和超越运算封闭的结论。他们两人还在分析函数的一般理论方面取得了最初的进展。数学中最美的公式——欧拉公式[8]7．微积分学欧拉的《微分学原理》和《积分学原理》二书对当时的微积分方法作了最详尽、最有系统的解说，他以其众多的发现丰富可无穷小分析的这两个分支。8．微分方程《积分原理》还展示了欧拉在常微分方程和偏方程理论方面的众多发现。他和其他数学家在解决力学、物理问题的过程中创立了微分方程这门学科。在常微分方程方面，欧拉在1743年发表的论文中，用代换给出了任意阶常系数线性齐次方程的古典解法，最早引人了“通解”和“特解”的名词。1753年，他又发表了常系数非齐次线性方程的解法，其方法是将方程的阶数逐次降低。欧拉在18世纪30年代就开始了对偏微分程的研究。他在这方面最重要的工作，是关于二阶线性方程的。9．变分法1734年，他推广了最速降线问题。然后，着手寻找关于这种问题的更一般方法。1744年，欧拉的《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》一书出版。这是变分学史上的里程碑，它标志着变分法作为一个新的数学分析的诞生。10．几何学欧拉解决了哥尼斯堡七桥问题，开创了图论坐标几何方面，欧拉的主要贡献是第一次在相应的变换里应用欧拉角，彻底地研究了二次曲面的一般方程。微分几何方面，欧拉于1736年首先引进了平面曲线的内在坐标概念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何研究。1760年，欧拉在《关于曲面上曲线的研究》中建立了曲面的理论。这本著作是欧拉对微分几何最重要的贡献，是微分几何发展史上的里程碑。欧拉对拓扑学的研究也是具有第一流的水平。1735年，欧拉用简化（或理想化）的表示法解决了著名的歌尼斯堡七桥游戏问题，得到了具有拓扑意义的河－桥图的判断法则，即现今网络论中的欧拉定理。[9]其他贡献欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的．欧拉还创设了许多数学符号，例如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），△x（1755年），Σ（1755年），f(x)（1734年）等．[1]欧拉线欧拉和丹尼尔·伯努利一起，建立了弹性体的力矩定律：作用在弹性细长杆上的力矩正比于物质的弹性和通过质心轴和垂直于两者的截面的惯性动量。他还直接从牛顿运动定律出发，建立了流体力学里的欧拉方程。这些方程组在形式上等价于粘度为0的纳维-斯托克斯方程。人们对这些方程的主要兴趣在于它们能被用来研究冲击波。他对微分方程理论作出了重要贡献。他还是欧拉近似法的创始人，这些计算法被用于计算力学中。此中最有名的被称为欧拉方法。在数论里他引入了欧拉函数。自然数的欧拉函数被定义为小于并且与互质的自然数的个数。例如φ（8）=4，因为有四个自然数1，3，5和7与8互质。欧拉圆在计算机领域中广泛使用的RSA公钥密码算法也正是以欧拉函数为基础的。在分析领域，是欧拉综合了莱布尼兹的微分与牛顿的流数。他在1735年由于解决了长期悬而未决的贝塞尔问题而获得名声。欧拉将虚数的幂定义为欧拉公式，它成为指数函数的中心。在初等分析中，从本质上来说，要么是指数函数的变种，要么是多项式，两者必居其一。被理查德·费曼称为“最卓越的数学公式"”的则是欧拉公式的一个简单推论（通常被称为欧拉恒等式）。在1735年，他定义了微分方程中有用的欧拉-马歇罗尼常数。他是欧拉-马歇罗尼公式的发现者之一，这一公式在计算难于计算的积分、求和与级数的时候极为有效。在1739年，欧拉写下了《音乐新理论的尝试(Tentamennovaetheoriaemusicae)》，书中试图把数学和音乐结合起来。一位传记作家写道：这是一部"为精通数学的音乐家和精通音乐的数学家而写的"著作。在经济学方面，欧拉证明，如果产品的每个要素正好用于支付它自身的边际产量，在规模报酬不变的情形下，总收入和产出将完全耗尽。欧拉的发明——数独在几何学和代数拓扑学方面，欧拉公式给出了单联通多面体的边、顶点和-(zh-hans:面;zh-hant:面)-之间存在的关系。在1736年，欧拉解决了柯尼斯堡七桥问题，并且发表了论文《关于位置几何问题的解法 》，对一笔画问题进行了阐述，是最早运用图论和拓扑学的典范。数独是欧拉发明的拉丁方块的概念，在当时并不流行，直到20世纪由平凡日本上班族锻治真起，带起流行。[7]

　　统计学专业基本介绍 　　统计学(statistics)是应用数学的一个分支，主要通过利用概率论建立数学模型，收集所观察系统的数据，进行量化分析、总结，做出推断和预测，为相关决策提供依据和参考。它被广泛的应用在各门学科之上，从物理和社会科学到人文科学，甚至被用来工商业及政府的情报决策之上。随着数字化的进程不断加快，人们越来越多地希望能够从大量的数据中总结出一些经验规律从来为后面的决策提供一些依据。统计学专业不是仅仅像其表面的文字表示，只是统计数字，而是包含了调查、收集、分析、预测等。应用的范围十分广泛。 　　统计学专业主要包括一般统计和经济统计两类专业方向，培养具有良好的数学或数学与经济学素养，掌握统计学的基本理论和方法，能熟练地运用计算机分析数据，能在企业、事业单位和经济、管理部门从事统计调查、统计信息管理、数量分析等开发、应用和管理工作，或在科研、教育部门从事研究和教学工作的高级专门人才。 　　随着科学技术的飞速发展，统计方法与技术的应用越来越重要。19世纪统计技术为基因学说奠定了理论基础，在即将跨入21世纪的今天，科学技术对统计方法的依赖愈来愈强。世界上许多国家尤其是发达国家都非常重视统计学理论的研究和发展。根据国际统计学会(ISI)近几年的会刊及统计学方面的著名杂志，可将近几年国际统计界研究的主要问题概括如下： 　　1.统计学基本理论研究有 　　概率极限理论及其在统计中应用、树形概率、Banach空间概率、随机PDE"S、泊松逼近、随机网络、马尔科夫过程及场论、马尔科夫收敛率、布朗运动与偏微分方程、空间分 　　统计学 　　支总体的极限、大的偏差与随机中数、序贯分析和时序分析中的交叉界限问题、马尔科夫过程与狄利克雷表的一一对应关系、函数估计中的中心极限定理、极限定理的稳定性问题、因果关系与统计推断、预测推断、网络推断、似然、M——估计量与最大似然估计、参数模型中的精确逼近、非参数估计中的自适应方法、多元分析中的新内容、时间序列理论与应用、非线性时间序列、时间序列中确定模型与随机模型比较、极值统计、贝叶斯计算、变点分析、对随机PDE"S的估计、测度值的处理、函数数据统计分析等。 　　2.统计学主要应用领域有 　　社会发展与评价、持续发展与环境保护、资源保护与利用、电子商务、保险精算、金融业数据库建设与风险管理、宏观经济监测与预测、政府统计数据收集与质量保证等、分子生物学中的统计方法、高科技农业研究中的统计方法、生物制药技术中的统计方法、流行病规律研究与探索的统计方法、人类染色体工程研究中的统计方法、质量与可靠性工程等。 　　国内概况“九五”期间中国统计界出现了社会经济统计学与数理统计学相互学习、共同提高、共创未来的新局面。1996年10月，中国统计学会、中国概率统计学会、中国现场统计学会联合举办了全国统计科学讨论会，这是“九五”期间中国统计学术界一次盛会，它标志着中国社会经济统计学与数理统计学的合作已进入实质性阶段。统计界在数理统计与社会经济统计学的结合方面、风险管理与保险精算方面、空间统计学及其应用方面、政府统计数据质量研究与评价方面、信息技术、网络技术在统计学的应用方面、金融及证券理论研究方面、国民经济核算理论与应用方面、综合国力研究方面等取得了可喜的成就。“九五”期间国内统计界主要有影响的研究可概括如下： 　　1.理学类统计学一级学科地位的确立 　　“九五”期间中国统计界关于建立和完善统计学学科体系的研究与争论异常激烈。统计界对“大统计”的认识通过大量探索已逐步趋向统一。所谓“大统计”是针对中国过去数理统计、社会经济统计、生物医学统计等各学科领域的应用统计各自为政相对面窄而言。1998年9月国家教育部颁布的《普通高等学校本科专业目录和专业介绍》将统计学列为理学类一级学科，这是中国统计界“九五”期间的重大成就。教育部这项专业调整是为了适应市场经济与国际接轨的要求，在“宽口径，厚基础”的指导思想下，将原来的504个专业调整到249个专业，50%以上专业被砍掉，然而统计学不仅保留，而且列入理学类一级学科，这是中国统计界广大理论工作者辛勤努力的重要成就，是中国统计界值得庆幸的大事，它的颁布对中国统计的未来具有重大意义和深远影响。这一专业目录的确定为中国统计界长期的争论进一步指明了发展方向。这个方向就是——适应市场经济与国际接轨的统计学就是理学类统计学。统计学一级学科的地位表明统计学既不是经济学的一个子学科，也不是数学的一个子学科，统计学就是统计学。尽管统计学被教育部专业目录确定为理学类一级学科，但统计界，尤其是中国高等统计教育界经济类统计学者反对者甚多。有的学者认为理学类统计学就是数学，只有经济学其中的统计学才是统计学。赞成者认为统计学就是统计学，理学类统计学与数学有着质的区别，经济学类的统计学已被中国实践证明是前苏联的文科式统计学，根本不能代表作为方法论的整个统计学科。这一争论还将继续一段时间。 　　2.统计学基本理论与方法问题研究 　　“九五”期间中国统计界围绕与国际统计学接轨做了大量研究工作，系统地介绍了国外统计学研究的一些新进展。这方面最为突出的是国家统计局统计教育中心和中国统计出版社组织国内一流统计专家翻译出版了15本现代外国统计学优秀著作。这些著作令中国统计界不少学者大开眼界，从中汲取丰富的统计理论和方法，已在中国统计界产生了积极影响，为理学类统计学科的建立与发展奠定了基础。为适用新专业目录的需要，国内高校的统计教师们编写了一批统计方法和应用的新教材。中国统计界在抽样 　　统计学 　　方法、时间序列分析、多元统计分析、非参数统计、回归分析、指数理论、宏观经济建模等理论与应用研究方面作了大量工作。 　　3. 政府统计数据质量的研究 　　随着中国社会主义市场经济的深入发展，政府统计数据无论是在国家制定发展战略和社会、经济发展的宏观调控中，还是企业制定营销策略以及社会、经济、环境等科学研究领域都起着不可或缺的重要作用，用户对政府统计数据的内在质量以及数据的产生、提供过程的可靠性的企盼也越来越高。关于中国政府统计数据的质量近年来关注和研究的学者很多，发表的论文或报告已有近百篇之多。几乎每个省都设立了统计数据质量研究的课题，全国哲学社会科学基金还设立了“关于评估、改进和保证中国政府统计数据质量问题的研究”的重点项目。该项目从定性与定量的有机结合上开展对政府统计数据的评价与研究，主要从技术与方法上对中国政府统计数据的质量作出客观评价，对改进、提高、控制、监测中国政府统计数据的质量从理论与实践的结合上做了一些研究和探索。但总体来看，现有的大多数研究基本停留在定性的评说上，提批评的多，提实质性建议的少;指责体制的多，研究评价、改进、识别的理论与方法的少，大多数文献把统计数据的质量问题归结为中国的政治、经济体制问题。事实上，纵观北美、欧盟等许多国家的政府统计数据，无一例外地也存在数据质量问题，政府统计数据的质量是各国普遍存在和广泛关注的热点问题。 　　4. 风险管理和保险精算的研究 　　“九五”期间关于风险管理和保险精算的研究得到较快发展，主要表现在不少发达国家风险管理和保险精算名著的翻译出版，中国统计方面杂志以及几次全国概率统计学术会议这方面论文的显著增加。风险管理与保险精算的研究不仅满足中国社会主义市场经济的需要，也更大地扩展了统计学方法的应用。这方面的研究从引进国外理论已向中国的具体应用健康发展，保险精算的研究已由寿险领域向非寿险领域扩展，尤其是开始结合中国实际向社会保障领域有效延伸。 　　5. 统计学在金融、证券领域的应用研究 　　1997年开始的亚洲金融风暴，给亚洲乃至世界经济的健康发展带来危机，中国经济的发展也受到亚洲金融风暴的影响。国家的经济安全、金融安全被国家领导核心重视，为统计技术与方法的应用提供了新的机遇，在全国应运而生建立了金融数学与金融工程管理中心、证券期货模拟实验室、金融数学系等。全国有不少统计学者成为研究金融、证券、投资的主力。从发表的论文来看统计方法研究金融、证券问题主要有：(1)有效投资组合研究。最为典型的是VaR技术的运用和具有异方差的时间序列模型技术的应用。(2)结构分析研究。运用多元统计方法分析股票的投资结构、探讨股票涨跌规律、寻求证券市场发展与影响因素的关系。(3)金融安全概率的研究。有学者运用东南亚等国和中国的金融数据资料，结合金融安全给出预警概率，为国家宏观经济调控和金融风险防范提供了有力的决策依据。 　　6. 统计综合评价理论与应用的研究 　　国际竞争力的研究是近年来颇受世界各国关注的重要研究。中国学者在“九五”期间开始开展这一领域的研究、并且通过刻苦努力紧跟这一领域的世界水平，在这方面中国学者所用的统计方法与世界水平相当，结合中国国情国力取得了重要成果。这方面有国民经济核算进一步发展的国际竞争力统计研究，知识经济时代中国科技创新的国际竞争力研究，中国金融、保险等领域的国际竞争力研究还有统计方法在社会经济发展水平的综合评价中的应用，顾客满意度量测与评价的研究等。 　　7. 国民经济核算理论与应用研究 　　“九五”期间，中国的国民经济核算体系研究进一步完善。在内容上，以增加值和GDP为核心，已经能比较全面地反映中国国民经济生产全过程、收入与分配、消费、储蓄、实物投资、金融投资、国际收支、资本和财富存量的变化等。为国家制定经济政策和宏观调控发挥着积极作用。可喜的是已有一些学者在国家的可持续发展、环境与核算技术相结合方面取得了重要研究成果。 　　研究方法统计方法在企业质量管理中的应用研究“九五”期间，一股“ISO9000”认证热席卷全球，质量体系认证日益成为国际贸易中所要求的供方质量保证能力和水平的标志。ISO9000族标准中有许多要素涉及到统计技术与方法的应用，中国已有近2万家大中型企业通过了认证。这方面的认证，对统计方法的应用提供了新的机会，中国不少统计学者找到了统计应用的现场，为国有企业员工培训、提高素质、扭亏增盈，国家经济形势好转发挥了统计工作者的积极作用。特别是试验设计、ISO14000和6质量标准技术的推广对改进企业管理水平，提高产品质量，提升企业国际竞争力发挥了重要作用。 　　抽样调查方法与应用的研究折叠“九五”期间关于抽样调查方法的研究与应用在中国开展的如火如荼。例如，交通部还建立了统计抽样调查系统。交通运输的大量统计数据已基本由抽样调查方法获得。全国许多行业对本部门关心的问题进行抽样调查，不少部门就公众关注的热点问题开展公众调查，有的报刊还定期刊登公众调查的调查报告。中国90年代初成立了不少市场调查公司，经过几年的大浪淘沙，现在全国生存下来的公司经营状况不错。网上调查、电话调查在中国也健康发展。有关抽样调查的理论，如非抽样误差控制的研究也得到统计界的广泛重视。 　　空间统计与地理信息系统的应用研究折叠空间统计学是近几年统计学发展的一个新领域，其主要的应用包括遥感，国土资源估计，农业和林业，海洋学、生态学和环境观测。在遥感技术的应用中，得到的统计数据通常以网络的形式出现，而且这些数据受到大气效应、观测位置以及测量工具的影响产生误差，空间统计学的应用在于，针对这种特殊的数据，研究如何控制误差、如何建立模型、如何处理资料信息。在资源的估测中，空间统计学的应用在于，如何利用空间统计数据，估计资源的总储量、资源的地区分布、资源的开发等。在环境监测等领域也作了积极的探索。 　　海外申请折叠一、专业简介和就业前景折叠按定义来说，统计学是应用数学的一个分支，主要通过利用概率论建立数学模型，收集所观察系统的数据，进行量化的分析、总结，并进而进行推断和预测，为相关决策提供依据和参考。举个例子来说：某批药品的不合格率是否在可以允许的范围之内，以便确定它是否能投放市场，就需要通过统计学研究抽取的样本来判断。虽然统计学从属于数学类，但是从美国大学的设置来看，统计专业已经慢慢从数学系中独立出来，成为单独的统计系。现在越来越多的学校成立统计系就是最好的证明。 　　统计是近些年非常热门的申请专业之一，统计学硕士毕业年薪通常可在6至8万美元以上。导致申请热门的最主要的原因就是申请者正是听说统计专业在美国的就业前景非常好，而且录取难度相对较低，因此无论是统计本专业的申请者还是转专业的申请者都将精力放在这个专业的申请上面。于是就加剧了统计专业的申请竞争。 　　从美国开设统计学专业的学校来看，统计学大致可以分为两类，一类是偏向于理论研究的，另一类是偏向于实际应用的。参考美国几所典型的统计学学校，我们可以对统计学的研究方向加以总结。前者主要包括统计系或者数学系下的统计学，后者包含的方面就非常的广泛了，包括：数理统计、生物统计、环境统计、金融统计、经济统计、遗传统计、农业统计等等。这些是统计在其他领域的应用而形成的研究分支。每个方向未来的发展也是不同的。 　　如数理统计就是通过对随机现象有限次的观测或试验所得数据进行归纳，找出这有限数据的内在数量规律性，并据此对整体相应现象的数量规律性做出推断或判断。其在应用方面，例如可以通过统计方法进行气象、水文以及地震预报的研究;在研制新产品时，利用统计学的知识进行试验设计和数据处理，以寻求最佳的生产方案等。 　　生物统计则是运用数理统计的原理和方法，分析和解释生物界的种种现象和数据资料，以求把握其本质和规律性。其最常见的是应用于医学、生物学、农学等的研究中，合理地进行调查或实验设计，科学地整理、分析收集得来的资料。在美国，生物统计有很大一部分设置在公共健康学院 (School of Public Health) 里面，毕业后可以在医院或者科研机构进行研究工作。生物统计的发展非常快，现在很多学校都专门设立了独立的生物统计系。 　　另外，经济统计学也是比较热门的专业之一，他主要是对于经济金融活动进行数量方面的调查整理分析，目的是认识经济活动客观规律，对经济活动实行科学建议、管理与监督。 　　除了以上比较热门的分支之外，还有社会统计等一些分支。但是随着学科的发展健全，目前的美国统计专业的分支除了生物统计之外划分的也没有那么明显，反而是学科间的融合越来越明显，统计与学校其他各个系之间的合作越来越多、越来越深入。

能问一下你这个题从哪里找的嘛？

如果x服从指数分布，那么[x]就服从几何分布。[x]是x取整的意思。一般概率统计中有关于指数分布和泊松分布的关系和演化，几何分布与指数分布如何互相演变，几何分布与指数分布之间好像也没有什么深刻的关联。分布函数：f(x)=0.5exp(-0.5x)P{X>=2}=（从2到无穷大的积分）f(x)dx=1/e注意指数分布“永远年轻”，即：P{X>=10|X>=9}=P{X>=1}=（从1到无穷大的积分）f(x)dx=e^(-0.5)扩展资料：常常把一个式子中独立变量的个数称为这个式子的“自由度”，确定一个式子自由度的方法是：若式子包含有 n 个变量，其中k 个被限制的样本统计量，则这个表达式的自由度为 n-k。比如中包含ξ1，ξ2，…，ξn这 n 个变量，其中ξ1-ξn-1相互独立，ξn为其余变量的平均值，因此自由度为 n-1。参考资料来源：百度百科-卡方分布

偏度这一指标,又称偏斜系数、偏态系数,是用来帮助判断数据序列的分布规律性的指标.x0d在数据序列呈对称分布（正态分布）的状态下,其均值、中位数和众数重合.且在这三个数的两侧,其它所有的数据完全以对称的方式左右分布.x0d如果数据序列的分布不对称,则均值、中位数和众数必定分处不同的位置.这时,若以均值为参照点,则要么位于均值左侧的数据较多,称之为右偏；要么位于均值右侧的数据较多,称之为左偏；除此无它.x0d考虑到所有数据与均值之间的离差之和应为零这一约束,则当均值左侧数据较多的时候,均值的右侧必定存在数值较大的“离群”数据；同理,当均值右侧数据较多的时候,均值的左侧必定存在数值较小的“离群”数据.x0d一般将偏度定义为三阶中心矩与标准差的三次幂之比.x0d在上述定义下,偏度系数的取值无非三种情景：x0d1.当数据序列呈正态分布的时候,由于均值两侧的数据完全对称分布,其三阶中心矩必定为零,于是满足正态分布的数据序列的偏度系数必定等于零.x0d2.当数据序列非对称分布的时候,如果均值的左侧数据较多,则其右侧的“离群”数据对三阶中心矩的计算结果影响至巨,乃至于三阶中心矩取正值.因此,当数据的分布呈右偏的时候,其偏度系数将大于零.x0d3.当数据序列非对称分布的时候,如果均值的右侧数据较多,则其左侧的“离群”数据对三阶中心矩的计算结果影响至巨,乃至于三阶中心矩取负值.因此,当数据的分布呈左偏的时候,偏度系数将小于零.x0d在右偏的分布中,由于大部分数据都在均值的左侧,且均值的右侧存在“离群”数据,这就使得分布曲线的右侧出现一个长长的拖尾；而在左偏的分布中,由于大部分数据都在均值的右侧,且均值的左侧存在“离群”数据,从而造成分布曲线的左侧出现一个长长的拖尾.x0d可见,在偏度系数的绝对值较大的时候,最有可能的含义是“离群”数据离群的程度很高（很大或很小）,亦即分布曲线某侧的拖尾很长.x0d但“拖尾很长”与“分布曲线很偏斜”不完全等价.例如,也不能排除在数据较少的那一侧,只是多数数据的离差相对于另一侧较大,但不存在明显“离群”数据的情景.所以,为准确判断分布函数的偏斜程度,最好的办法是直接观察分布曲线的几何图形.

标准误是样本均值抽bai样分布里的统计量。不是原始分布里的参数或统计量。样本均值分布是所有样本的均值呈现出的正态分布，坐标轴上的每一个数据都是一个样本的均值，而这个样本均值分布的均值则接近于总体的均值（期望的M）。标准误相当于样本均值分布的标准差，它衡量的是所有样本均值的离散趋势。峰度系数是用来反映频数分布曲线顶端尖峭或扁平程度的指标。有时两组数据的算术平均数、标准差和偏态系数都相同，但他们分布曲线顶端的高耸程度却不同。偏度系数是描述分布偏离对称性程度的一个特征数。当分布左右对称时，偏度系数为0。当偏度系数大于0时，即重尾在右侧时，该分布为右偏。当偏度系数小于0时，即重尾在左侧时，该分布左偏。扩展资料：在概率统计中最常使用作为统计分布程度（statisticaldispersion）上的测量。标准差定义是总体各单位标准值与其平均数离差平方的算术平均数的平方根。它反映组内个体间的离散程度。测量到分布程度的结果;为非负数值，与测量资料具有相同单位。一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。参考资料来源:标准差

偏度这一指标,又称偏斜系数、偏态系数,是用来帮助判断数据序列的分布规律性的指标.x0d在数据序列呈对称分布（正态分布）的状态下,其均值、中位数和众数重合.且在这三个数的两侧,其它所有的数据完全以对称的方式左右分布.x0d如果数据序列的分布不对称,则均值、中位数和众数必定分处不同的位置.这时,若以均值为参照点,则要么位于均值左侧的数据较多,称之为右偏；要么位于均值右侧的数据较多,称之为左偏；除此无它.x0d考虑到所有数据与均值之间的离差之和应为零这一约束,则当均值左侧数据较多的时候,均值的右侧必定存在数值较大的“离群”数据；同理,当均值右侧数据较多的时候,均值的左侧必定存在数值较小的“离群”数据.x0d一般将偏度定义为三阶中心矩与标准差的三次幂之比.x0d在上述定义下,偏度系数的取值无非三种情景：x0d1.当数据序列呈正态分布的时候,由于均值两侧的数据完全对称分布,其三阶中心矩必定为零,于是满足正态分布的数据序列的偏度系数必定等于零.x0d2.当数据序列非对称分布的时候,如果均值的左侧数据较多,则其右侧的“离群”数据对三阶中心矩的计算结果影响至巨,乃至于三阶中心矩取正值.因此,当数据的分布呈右偏的时候,其偏度系数将大于零.x0d3.当数据序列非对称分布的时候,如果均值的右侧数据较多,则其左侧的“离群”数据对三阶中心矩的计算结果影响至巨,乃至于三阶中心矩取负值.因此,当数据的分布呈左偏的时候,偏度系数将小于零.x0d在右偏的分布中,由于大部分数据都在均值的左侧,且均值的右侧存在“离群”数据,这就使得分布曲线的右侧出现一个长长的拖尾；而在左偏的分布中,由于大部分数据都在均值的右侧,且均值的左侧存在“离群”数据,从而造成分布曲线的左侧出现一个长长的拖尾.x0d可见,在偏度系数的绝对值较大的时候,最有可能的含义是“离群”数据离群的程度很高（很大或很小）,亦即分布曲线某侧的拖尾很长.x0d但“拖尾很长”与“分布曲线很偏斜”不完全等价.例如,也不能排除在数据较少的那一侧,只是多数数据的离差相对于另一侧较大,但不存在明显“离群”数据的情景.所以,为准确判断分布函数的偏斜程度,最好的办法是直接观察分布曲线的几何图形.

偏度系数是描述分布偏离对称性程度的一个特征数。当分布左右对称时，偏度系数为0。当偏度系数大于0时，即重尾在右侧时，该分布为右偏。当偏度系数小于0时，即重尾在左侧时，该分布左偏。

偏度这一指标，又称偏斜系数、偏态系数，是用来帮助判断数据序列的分布规律性的指标。 在数据序列呈对称分布（正态分布）的状态下，其均值、中位数和众数重合。且在这三个数的两侧，其它所有的数据完全以对称的方式左右分布。 如果数据序列的分布不对称，则均值、中位数和众数必定分处不同的位置。这时，若以均值为参照点，则要么位于均值左侧的数据较多，称之为右偏；要么位于均值右侧的数据较多，称之为左偏；除此无它。 考虑到所有数据与均值之间的离差之和应为零这一约束，则当均值左侧数据较多的时候，均值的右侧必定存在数值较大的“离群”数据；同理，当均值右侧数据较多的时候，均值的左侧必定存在数值较小的“离群”数据。 一般将偏度定义为三阶中心矩与标准差的三次幂之比。 在上述定义下，偏度系数的取值无非三种情景： 1.当数据序列呈正态分布的时候，由于均值两侧的数据完全对称分布，其三阶中心矩必定为零，于是满足正态分布的数据序列的偏度系数必定等于零。 2.当数据序列非对称分布的时候，如果均值的左侧数据较多，则其右侧的“离群”数据对三阶中心矩的计算结果影响至巨，乃至于三阶中心矩取正值。因此，当数据的分布呈右偏的时候，其偏度系数将大于零。 3.当数据序列非对称分布的时候，如果均值的右侧数据较多，则其左侧的“离群”数据对三阶中心矩的计算结果影响至巨，乃至于三阶中心矩取负值。因此，当数据的分布呈左偏的时候，偏度系数将小于零。 在右偏的分布中，由于大部分数据都在均值的左侧，且均值的右侧存在“离群”数据，这就使得分布曲线的右侧出现一个长长的拖尾；而在左偏的分布中，由于大部分数据都在均值的右侧，且均值的左侧存在“离群”数据，从而造成分布曲线的左侧出现一个长长的拖尾。 可见，在偏度系数的绝对值较大的时候，最有可能的含义是“离群”数据离群的程度很高（很大或很小），亦即分布曲线某侧的拖尾很长。 但“拖尾很长”与“分布曲线很偏斜”不完全等价。例如，也不能排除在数据较少的那一侧，只是多数数据的离差相对于另一侧较大，但不存在明显“离群”数据的情景。所以，为准确判断分布函数的偏斜程度，最好的办法是直接观察分布曲线的几何图形。

什么是偏度？偏度是理想对称概率分布不对称性的度量，由三阶标准矩给出。如果这听起来太复杂了，别担心！我来给你解释一下。简言之，偏度是衡量随机变量的概率分布偏离正态分布的程度。

总体偏斜度是指总体分布的偏度. 偏度是统计数据分布偏斜方向和程度的度量,是统计数据分布非对称程度的数字特征. 表征概率分布密度曲线相对于平均值不对称程度的特征数.直观看来就是密度函数曲线尾部的相对长度.

偏度这一指标，又称偏斜系数、偏态系数，是用来帮助判断数据序列的分布规律性的指标。 在数据序列呈对称分布（正态分布）的状态下，其均值、中位数和众数重合。且在这三个数的两侧，其它所有的数据完全以对称的方式左右分布。 如果数据序列的分布不对称，则均值、中位数和众数必定分处不同的位置。这时，若以均值为参照点，则要么位于均值左侧的数据较多，称之为右偏；要么位于均值右侧的数据较多，称之为左偏；除此无它。 考虑到所有数据与均值之间的离差之和应为零这一约束，则当均值左侧数据较多的时候，均值的右侧必定存在数值较大的“离群”数据；同理，当均值右侧数据较多的时候，均值的左侧必定存在数值较小的“离群”数据。 一般将偏度定义为三阶中心矩与标准差的三次幂之比。 在上述定义下，偏度系数的取值无非三种情景： 1.当数据序列呈正态分布的时候，由于均值两侧的数据完全对称分布，其三阶中心矩必定为零，于是满足正态分布的数据序列的偏度系数必定等于零。 2.当数据序列非对称分布的时候，如果均值的左侧数据较多，则其右侧的“离群”数据对三阶中心矩的计算结果影响至巨，乃至于三阶中心矩取正值。因此，当数据的分布呈右偏的时候，其偏度系数将大于零。 3.当数据序列非对称分布的时候，如果均值的右侧数据较多，则其左侧的“离群”数据对三阶中心矩的计算结果影响至巨，乃至于三阶中心矩取负值。因此，当数据的分布呈左偏的时候，偏度系数将小于零。 在右偏的分布中，由于大部分数据都在均值的左侧，且均值的右侧存在“离群”数据，这就使得分布曲线的右侧出现一个长长的拖尾；而在左偏的分布中，由于大部分数据都在均值的右侧，且均值的左侧存在“离群”数据，从而造成分布曲线的左侧出现一个长长的拖尾。 可见，在偏度系数的绝对值较大的时候，最有可能的含义是“离群”数据离群的程度很高（很大或很小），亦即分布曲线某侧的拖尾很长。 但“拖尾很长”与“分布曲线很偏斜”不完全等价。例如，也不能排除在数据较少的那一侧，只是多数数据的离差相对于另一侧较大，但不存在明显“离群”数据的情景。所以，为准确判断分布函数的偏斜程度，最好的办法是直接观察分布曲线的几何图形。

问卷内部一致性Cronbach信度系数α的取值范围到底是多大？课本上普遍认为α信度系数的值一般在0和1之间。但我们在实际应用当中却发现，有时a系数是一个负数，这是怎么回事呢？小兵特地找来“舍得的博客”一篇文章，分享给SPSS自学者们。我们先看α信度系数的计算公式：其中，K为量表中题项的总数。需要强调的是σ²x是总得分的方差，而不是总离差平方和。在方差分析中，总离差一定大于组内离差差；但是总得分方差却有可能小于题内方差。经过原作者“舍得”的计算，α值的理论区间应该是(-∞，1]。比如这两组数据：1、2、3、4、5与5，4，3，2，2。经计算两列数据的α信度系数为-40。如若不信，您大可打开spss自己算一算，消除一下疑虑，所谓实践出真知。大家注意看SPSS表格的备注语句：因为项间平均协方差为负，所有此值为负。这违反了可靠性模型假定。您可能需要检查项编码。难道专家教授们错了？几百万的莘莘学子又被忽悠了？其实，倒也是不。实际中α系数检测的是数据间的内部一致性。也就是说，在潜在的前提假设中，数据内部应该是基本一致的，行话就是正相关，所以范围通常在[0，1]之间。α值用来表示这些数据间一致程度。如果出现负值，则说明多列数据（方向）不一致。但是，-α值又不能简单地理解成内部不一致系数，因为α是专门为测量一致性而设置的，α只在表示一致性上有意义，或者可以说成是只在α值大于0时才有意义。当多列数据的之间不是正相关时，总得分方差σ²x可能小于题内方差∑σ²i，所以负值就会出现。只是相关系数用于测量两变量之间的关系，而α系数可用于测量多个变量。信度检验测量的是可靠性。实际的问卷调查中，一般用a系数检验数据内部的一致性！但是，检验的前提是数据内部应该是一致的，或者理论上是一致的。比如：做一项教室卫生程度的调查，地板、桌子、玻璃，理论上洁净程度应该一致，要么都脏，要么都干净。所以可以用α系数测度内部的一致性。但是如果内部本来就不一致，检验将没有意义。比如清洁员只打扫了地板、抹桌子，却忘记了擦玻璃。那么地板和桌子可能一尘不染，但是玻璃却会满脸污脏。面对这样的事实，计算出来的a信度系数，就可能是负值了。所以，当a系数为负时，也不必大惊小怪。这可能反映了数据内部本身的不一致，但更可能的是你忘记把调查中的反向问题正向化了。最后总结一句：仔细检查自己量表数据，看看有没有反向计分题，在开始信效度分析之前，首先将反向计分题正向化处理（如果有的话）。

方差和标准差： 英文：variation and standard deviation 右图为计算公式 Variance"s formula 样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。 数学上一般用E{[X-E(X)]^2}来度量随机变量X与其均值E(X)即期望的偏离程度，称为X的方差。 定义 设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]^2}存在，则称E{[X-E(X)]^2}为X的方差，记为D(X)或DX。即D(X)=E{[X-E(X)]^2}，而σ(X)=D(X)^0.5（与X有相同的量纲）称为标准差或均方差。 由方差的定义可以得到以下常用计算公式： D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 S^2=[(x1-x拔)2+（x2-x拔)^2+(x3-x拔)^2+…+(xn-x拔)^2]/n 方差的几个重要性质（设一下各个方差均存在）。 （1）设c是常数，则D(c)=0。 （2）设X是随机变量，c是常数，则有D(cX)=(c^2)D(X)。 （3）设X，Y是两个相互独立的随机变量，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。 （4）D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c，即P{X=c}=1，其中E(X)=c。 方差是标准差的平方

【答案】：[提示]概率分布的类型主要有：依随机变量是否具有连续性来划分为离散分布与连续分布；依分布函数的来源而划分为经验分布与理论分布；依概率分布所描述的数据特征而划分为基本随机变量分布与抽样分布。心理与教育统计常用的概率分布有正态分布、二项分布与样本分布。①正态分布是连续随机变量概率分布的一种，它的分布曲线形态是对称的，对称轴是经过平均数点的垂线。正态分布曲线的中央点最高，正态曲线下的面积为1。②二项分布是指试验仅有两种不同性质结果的概率分布，是一种离散型分布，主要用于解决像猜测等含有机遇性质的问题。③抽样分布指样本统计量的分布，它是统计推论的重要依据，常见的抽样分布包括Z分布、χ2分布、t分布、F分布等。

！！！！！！！！！！概率论非常重要！！！！！！！！！！ 世界万物的不确定性如何衡量和表示呢？在统计学里用概率表示。 比如有这么几句话： 对事件发生的可能性的度量就是概率。概率介于0-1之间，用百分比的方式度量可能性大小。在古典概率的定义中，因为一个事件发生的可能性事先无法知道，所以我们可以通过多次试验获得某个观测结果发生的频率p，p就是代表了发生的概率的大小。 比如我们想知道通过试验后A发生的概率，那么我们可以做n次试验，看n次实验中记录发生A事件的次数，于是会有下面的结论： P(A) =A发生的次数÷重复试验的总次数 =m÷n =p 随着试验次数的增多，m、n会围绕一个稳定的频率上下波动 另一个例子，如何理解“硬币出现正面的概率P(A)=1/2”： 错误——抛掷多次硬币，其中有一半的硬币出现了正面结果 正确——在对硬币连续多次的抛掷中，硬币出现正面结果的概率接近或几乎稳定于一半儿（50%） 以上例子都是基于可以进行重复实验做的例子。但现实生活中很多例子没有办法进行多次重复，也正是因为这样，我们可以使用生活中已经发生的信息索求发生概率。所以概率其实是主观的，他是根据我们生活中的经验，掌握的信息进行统计意义上的求解，至于概率高低的好与坏，全凭分析者对源于生活中的判断。 实际生活中很多概率结果事先不知道，可以通过一种分布模型去确认这个时间发生的概率。 生活中要进行观测时，取值无法事先了解，比如出租房屋的价格，小学生的身高，这就是随机变量。换句话说，随机变量指的是实现不知道取值的那些变量，而性别变量事先知道取值有男、女，所以不是随机变量。随机变量表达了某特定实验可能出现的结果，由于结果未知，取值有随机性。比如抛掷硬币前，你知道你抛掷出来的结果是正面还是反面嘛？（通常意义是不会的） 取有限个值的变量为离散型随机变量。比如喜欢某个品牌的人数是一个有限固定的变量值。 可以取一个或多个区间中的值为连续型随机变量。比如机器产能数量理论上是无限个（也就是X≥0），任何一个结果都有可能。 对随机变量来说也有统计量来表述其水平和离散程度。水平的统计量成为期望值，离散的统计量成为方差，都是随机变量的概括性度量。 X所有可能的xi(i=1,2…)取值与其相应的概率pi(i=1,2…)的乘积之和，记为μ或者E(X)。 （xi-μ）的平方与其相应的概率pi乘积之和，用σ^2（西格玛二次方）或者D(X)表示。他的标准差就是σ。 如果已知某厂家每100个产品中不合格率，并测试了4次，得到4个不合格概率p，如下表：随机变量取哪些值，这些值的概率有多大，描述这个特征的就是概率分布。 常用的离散型概率分布有：二项分布、泊松分布、超几何分布； 常用的连续型概率分布有：正态分布、均匀愤怒、指数分布等 离散型概率分布的性质有两个：每个随机变量的概率≥0、随机变量概率相加后概率之和等于1. 二项分布有几种条件： 在n次试验中，成功的次数对应了一个离散随机变量X，所以出现称公司数的概率愤怒就是二项分布，记作X~B(n,p)。 当p=0.5时，概率分布对称，当p=0.1时，概率分布右偏，当p=0.9时，概率分布左偏 如果我们把实验做到极限大，几乎世间万物都服从正态分布。所以很多连续总体未知时，我们也可以假设该总体服从正态分布进行分析。从正态分布推到的其他常用的分布有：卡方分布、t分布、F分布等。 在正态分布下，不同的均值和方差对应了不同的正态分布。如果方差相同均值不同，分布图hi在X轴上以同等面积和离散程度进行水平移动；如果均值相同方差不同，则分布图会在同一个水平位置上，有不同面积的大小。 所以我们说： 再次说明一个需要熟记的数字： n个独立标准正态随机变量平方和的分布，成为有n个自由度的卡方分布，卡方就是x的平方（x2）。设标准正态随机变量X=Z,则X服从自由度为1的卡方分布。 卡方分布的形状取决于自由度n的大小。通常情况卡方分布不对称的右偏分布，但是随着自由度变大，会逐渐趋于对称。 t表示样本均值经过标准化后成为新的随机变量，服从自由度为n的t分布。同样也是类似于正态分布的对称分布，通常形状会比正态分布更平坦和分散，自由度越大，t分布越趋近于正态分布。 F分布是两个卡方分布变量的比。比如两个随机变量U、V，平方后为卡方变量n1、n2，F=n1/n2。F分布与卡方分布类似，形状取决于两个自由度。通常用于比较不同总体的方差是否有显著差异，F分布的概率即曲线下的面积的计算，可以给定自由度df1、df2时计算累计概率，或者给定累计概率与自由度df1、df2时的F值。 生活中经常要做一些推断，比如北京市的平均男性身高是多少。你不可能把这个地区所有男性都普查一遍的。所以你需要从这个地区抽出一部分样本进行推断，用于做抽取数据推断的统计量我们常用的有：样本均值（x拔）、样本比例（p）、样本方差（s^2）. 如上文所说，北京市的平均男性身高就是总体参数，他是对总体特征的概括性度量。不过参数一般都是不知道的，我们依然可以定义总体的统计量：总体均值（μ）、总体方差（σ^2）、总体比例（π）。 虽然总体参数未知，但是样本信息可以推断总体，我们从总体以抽取的数据量就是一个统计量，这个统计量就是样本的函数，可见，随着抽样取值的不同，统计量也会因此变化，换句话说统计量是一个随机变量，只要收取一个特定的样本后，统计量的值就会被计算出来。 样本统计量既然是随机变量，那么也会有概率分布，这里我们称为抽样分布，它由样本统计量的所有可能取值形成一个频数分布。但我们知道抽样是不可能把总体全部抽到的，所以，统计量的概率分布实际上是理论意义的分布。因为用它来推断总体会有不确定性，但我们依然可以度量这种不确定性的可靠程度，同时还能知道这些不确定的分布特征。 直接上结论。在有放回抽样中，样本均值=总体均值，样本均值的方差=总体方差的1/n。这就是很著名的中心极限定理。 样本均值的分布与抽样所依据的总体的分布和样本量n的大小有关系。如果总体是正态分布，无论样本量大和小，样本均值都近似服从正态分布。如果总体不是正态分布，随着样本量n的增大（通常n需要≥30），样本均值近似服从期望值为μ、方差为总体方差的1/n，这就是很著名的中心极限定理。 注意，如果总体不是正态分布，n为小样本（n小于30），样本均值则不服从正态分布。 总结： 指的总体或样本具有某种属性的个体与全部个体之和的比值。比如中国国籍的人中，男性占全部中国国际人数的比例。 从一个总体中重复选取样本量n的样本，有样本比例的所有可能取值形成的分布就是样本比例的概率分布。 样本方差的分布与卡方类似，随着样本量的增大，逐渐趋近于对称。 对两个总体的参数进行估计： 统计量的标准误指的是统计量的标准差，也叫做标准误差。用于衡量样本统计量的离散程度，在参数估计和假设检验中，它是用于衡量样本统计量与总体参数之间差距的重要尺度。样本均值的标准误差记作SE或者σ x拔，计算公式为SE=σ x拔=σ/开方n。 当总体标准差σ未知的时候，可以用样本标准差s代替计算，这时候计算的标准误也成为估计标准误。实际生活中，总体方差通常未知，所以计算的标准误基本上都是估计标准误，这么一来我们经常就把估计标准误简称为标准误。 注意：标准误和标准差是两个不同的概念。

统计里的样本有二重性，即样本既可以看作是一组观测值又可以看作是随机变量。因为在抽样之前样本观测值是未知的，所以可以看成是随机变量；而当样本抽取完之后又是一组确定的值，顾又可以看成是一组确定的值。一般情况下把样本看作是一组随机变量

表示随机现象（在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象）各种结果的变量（一切可能的样本点）。例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数等等，都是随机变量的实例。一个随机试验的可能结果（称为基本事件）的全体组成一个基本空间Ω 。 随机变量X是定义在基本空间Ω上的取值为实数的函数，即基本空间Ω中每一个点，也就是每个基本事件都有实轴上的点与之对应。例如，随机投掷一枚硬币 ，可能的结果有正面朝上 ，反面朝上两种 ，若定义X为投掷一枚硬币时正面朝上的次数 ，则X为一随机变量，当正面朝上时，X取值1；当反面朝上时，X取值0。又如，掷一颗骰子 ，它的所有可能结果是出现1点、2点、3点、4点、5点和6点 ，若定义X为掷一颗骰子时出现的点数，则X为一随机变量，出现1，2，3，4，5，6点时X分别取值1，2，3，4，5，6。有些随机现象需要同时用多个随机变量来描述。例如 ，子弹着点的位置需要两个坐标才能确定，它是一个二维随机变量。类似地，需要n个随机变量来描述的随机现象中，这n个随机变量组成n维随机向量 。描述随机向量的取值规律 ，用联合分布函数。随机向量中每个随机变量的分布函数，称为边缘分布函数。若联合分布函数等于边缘分布函数的乘积 ，则称这些单个随机变量之间是相互独立的。独立性是概率论所独有的一个重要概念。

统计量是样本的函数样本是随机变量随机变量的函数是随机变量统计量是随机变量

表示随机现象（在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象）各种结果的变量（一切可能的样本点）。例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数等等，都是随机变量的实例。

定义在样本空间上的实值函数，称为随机变量。表示随机试验各种结果的实值单值函数。随机事件不论与数量是否直接有关，都可以数量化，即都能用数量化的方式表达。样本是随机变量，其不会绝对地以某种结果出现。样本的任何一种结果出现都是带有一定概率的，这种概率分布就称为样本分布。样本是受随机性影响的，但是这种影响的具体方式如何，取决于观察指标的性质、观察手段和方法等，但所有的这些影响都可以总结到样本分布中去。扩展资料：数理统计学所研究数据的随机性主要源自于两点，一是受限于一些因素，无法获取对象总体，一般只能选择一定样本，样本的选择就带有随机性。二是研究过程中的一些随机误差，比如一些未加考虑、无法控制、未知的因素，这二者就造成了数据的随机性。基于这一点，数理统计学是数学到的一个分支，其任务是研究如何用有效的方法去收集、使用带有随机性影响的数据。

问题一：统计分析的特点是什么 统计分析报告是对研究过程进行表述的文章，是统计分析结果的最终形式。与一般文章相比，它具有以下一些特点： 以统计数字为语言。统计分析报告以统计数据为主要语言，并辅之以统计表和统计图来具体而明确地进行表述。并且，统计分析报告所使用的统计数据不是个别的、简单的、杂乱无章的，而是相互联系的，具有逻辑关系的统计数据。 具有简明的表达方式和结构。统计分析报告属于说明文，在表述时不使用夸张、虚构、想象等文学表达方式,也不使用华丽的语言和过多的描写去着意渲染。它要求用尽可能少的文字，做到言简意赅、精炼准确，资料与基本观点一致，论点和论据的一致。 统计分析报告具有相对确定的结构。其突出特点是层次分明，脉络清晰。一般是先针对问题亮出观点，然后摆数据和事实进行论证，在进行科学分析的基础上最后提出对策和建议。 对研究过程的高度概括。统计分析报告是研究过程的叙述，但又不是对研究过程的全盘照搬，而是择其主要论点和论据对研究过程的高度概括。它省略了研究过程中运用多项指标、多种统计方法进行试算的过程，而且也不需要对方法的基本原理、特点、推导过程和运算步骤进行过细的讨论，而是通过论点和主要论据的联系直扣主题。 问题二：数据统计和数据分析的区别是什么 数据统计应该是指搜集数据、整理数据，并使数据易于分析。 数据分析是指根据既有的数据，通过测算，得到相应的结果。分析的对象可以是统计得来的数据，也可以是实验得来的数据。 问题三：什么是统计分析？ 根据数据看出某些产品或事物的内外规律，进行有目的的应对措施！ 问题四：该统计是什么分析 统计分析是指运用统计方法及与分析对象有关的知识，从定量与定性的结合上进行的研究活动。它是继统计设计、统计调查、统计整理之后的一项十分重要的工作，是在前几个阶段工作的基础上通过分析从而达到对研究对象更为深刻的认识。它又是在一定的选题下，集分析方案的设计、资料的搜集和整理而展开的研究活动。系统、完善的资料是统计分析的必要条件。 问题五：什么是统计评价 统计工作有时候也叫统计活动,是指搜集,整理,分析和研究统计数据资料的工作过程. 统计学是一门实用性很强的方法科学,它既...在学习过程中,要注意统计方法所隐含的统计思想,以及各种统计方法的特点,应用条件及适用场合,培养分析问题和解决问题. 问题六：统计分析string是什么变量 多变量分析(multivariable *** ysis)为统计方法的一种，包含了许多的方法，最基本的为单变量，再延伸出来的多变量分析。统计资料中有多个变量（或称因素、指标）同时存在时的统计分析，是统计学的重要分支，是单变量统计的发展。统计学中的多变量统计分析起源于医学和心理学。1930年代它在理论上发展很快，但由于计算复杂，实际应用很少。1970年代以来由于计算机的蓬勃发展和普及，多变量统计分析已渗入到几乎所有的学科。到80年代后期，计算机软件包已很普遍，使用也方便，因此多变量分析方法也更为普及。 问题七：什么是数据分析 有什么作用? 数据分析（Data Analysis） 数据分析概念 数据分析是指用适当的统计方法对收集来的大量第一手资料和第二手资料进行分析，以求最大化地开发数据资料的功能，发挥数据的作用。是为了提取有用信息和形成结论而对数据加以详细研究和概括总结的过程。 数据也称观测值，是实验、测量、观察、调查等的结果，常以数量的形式给出。 数据分析与数据挖掘密切相关，但数据挖掘往往倾向于关注较大型的数据集，较少侧重于推理，且常常采用的是最初为另外一种不同目的而采集的数据。 数据分析的目的与意义 数据分析的目的是把隐没在一大批看来杂乱无章的数据中的信息集中、萃取和提炼出来，以找出所研究对象的内在规律。 在实用中，数据分析可帮助人们作出判断，以便采取适当行动。数据分析是组织有目的地收集数据、分析数据，使之成为信息的过程。这一过程是质量管理体系的支持过程。在产品的整个寿命周期，包括从市场调研到售后服务和最终处置的各个过程都需要适当运用数据分析过程，以提升有效性。例如J.开普勒通过分析行星角位置的观测数据，找出了行星运动规律。又如，一个企业的领导人要通过市场调查，分析所得数据以判定市场动向，从而制定合适的生产及销售计划。因此数据分析有极广泛的应用范围。 数据分析的功能 数据分析主要包含下面几个功能： 1. 简单数学运算（Simple Math） 2. 统计（Statistics） 3. 快速傅里叶变换（FFT） 4. 平滑和滤波（Smoothing and Filtering） 5. 基线和峰值分析(Baseline and Peak Analysis) 数据分析的类型 在统计学领域，有些人将数据分析划分为描述性统计分析、探索性数据分析以及验证性数据分析；其中，探索性数据分析侧重于在数据之中发现新的特征，而验证性数据分析则侧重于已有假设的证实或证伪。 探索性数据分析：是指为了形成值得假设的检验而对数据进行分析的一种方法，是对传统统计学假设检验手段的补充。该方法由美国著名统计学家约翰・图基(John Tukey)命名。 定性数据分析：又称为“定性资料分析”、“定性研究”或者“质性研究资料分析”，是指对诸如词语、照片、观察结果之类的非数值型数据（或者说资料）的分析。 数据分析步骤 数据分析有极广泛的应用范围。典型的数据分析可能包含以下三个步： 1、探索性数据分析，当数据刚取得时，可能杂乱无章，看不出规律，通过作图、造表、用各种形式的方程拟合，计算某些特征量等手段探索规律性的可能形式，即往什么方向和用何种方式去寻找和揭示隐含在数据中的规律性。 2、模型选定分析，在探索性分析的基础上提出一类或几类可能的模型，然后通过进一步的分析从中挑选一定的模型。 3、推断分析，通常使用数理统计方法对所定模型或估计的可靠程度和精确程度作出推断。 数据分析过程实施 数据分析过程的主要活动由识别信息需求、收集数据、分析数据、评价并改进数据分析的有效性组成。 一、识别信息需求 识别信息需求是确保数据分析过程有效性的首要条件，可以为收集数据、分析数据提供清晰的目标。识别信息需求是管理者的职责管理者应根据决策和过程控制的需求，提出对信息的需求。就过程控制而言，管理者应识别需求要利用那些信息支持评审过程输入、过程输出、资源配置的合理性、过程活动的优化方案和过程异常变异的发现。 　　二、收集数据 有目的的收集数据，是确保数据分析过程有效的基础。组织需要对......>> 问题八：平均指标在统计分析中的作用是什么？ 要专业的回答，谢谢啦 什么是平均指标？在统计分析中的作用是什么？ 答：平均指标又称统计平均数，主要用于反映社会经济现象总体各单位某一数量标志在一定时间、地点条件下所达到的一般水平。在社会经济统计中，平均指标是最常用的一种综全指标。 作用： 第一、反映总体各单位变量分面的集中趋势。 第二、比较同类现象在不同单位的发展水平，用于说明生活水平、经济效益或工作质量的差距。 第三、分析现象之间的依存关系。 第四、平均指标经常被作为评价事物和问题决策的数量标准或参考。 问题九：统计的重要性和作用是什么 5分 统计工作的作用： 统计作为提供国民经济运行情况信息的重要工具，受到了国内与国外、 *** 与公众、学者与官员越来越广泛关注，统计工作是对社会,经济以及自然现象总体数量方面进行搜集，整理，分析过程的总称。 统计工作的重要性： 统计工作是利用科学的方法搜集、整理、分析和提供关于社会经济现象、某些特定事物发展规律的工作。它的过程就是搜集资料――整理加工――统计分析的过程，也就是从定性认识（统计设计）到定量认识（统计调查和统计整理），再到定量认识到定性认识（统计分析），（质――量――质）。因此提高统计分析的质量就是核心工作。而质量的提高要在前两项的基础上完成。提高统计数据质量作为统计工作的中心环节，是推动统计事业发展的生命线。

原假设的设法则根据题目要求做出假设，且必须保证等号放在原假设。假设检验分为双侧假设检验和单侧假设检验，双侧假设检验所针对的问题是证明总体某个参数是否等于某个特定值，而单侧检验假设是证明是否大于或是否小于某一固定数值，其基本原理是先假设总体某项假设成立，若导致结果不合理的现象产生，则拒绝原假设，若不导致不合理的现象产生，则接受原假设。假设检验中所谓“小概率事件”，并非逻辑中的绝对矛盾，而是基于人们在实践中广泛采用的原则，即小概率事件在一次试验中是几乎不发生的，但概率小到什么程度才能算作“小概率事件”，显然，“小概率事件”的概率越小，否定原假设H0就越有说服力，常记这个概率值为α(0<α<1)，称为检验的显著性水平。对于不同的问题，检验的显著性水平α不一定相同，一般认为，事件发生的概率小于0.1、0.05或0.01等，即“小概率事件”扩展资料：注意问题1、作假设检验之前，应注意资料本身是否有可比性  。2、当差别有统计学意义时应注意这样的差别在实际应用中有无意义  。3、根据资料类型和特点选用正确的假设检验方法  。4、根据专业及经验确定是选用单侧检验还是双侧检验  。5、判断结论时不能绝对化，应注意无论接受或拒绝检验假设，都有判断错误的可能性 。

如果确实是这样,应该是接受原假设,因为不管那本参考书或统计软件都是说小于a （不包括等于a ）就拒绝原假设.不过,如果你是使用统计软件的话,应该不存在这个问题,因为统计软件计算的P值可以高达十几位小数点,不可能出...

原假设的设法则根据题目要求做出假设，且必须保证等号放在原假设。假设检验分为双侧假设检验和单侧假设检验，双侧假设检验所针对的问题是证明总体某个参数是否等于某个特定值，而单侧检验假设是证明是否大于或是否小于某一固定数值，其基本原理是先假设总体某项假设成立，若导致结果不合理的现象产生，则拒绝原假设，若不导致不合理的现象产生，则接受原假设。假设检验中所谓“小概率事件”，并非逻辑中的绝对矛盾，而是基于人们在实践中广泛采用的原则，即小概率事件在一次试验中是几乎不发生的，但概率小到什么程度才能算作“小概率事件”，显然，“小概率事件”的概率越小，否定原假设H0就越有说服力，常记这个概率值为α(0<α<1)，称为检验的显著性水平。对于不同的问题，检验的显著性水平α不一定相同，一般认为，事件发生的概率小于0.1、0.05或0.01等，即“小概率事件”扩展资料：注意问题1、作假设检验之前，应注意资料本身是否有可比性  。2、当差别有统计学意义时应注意这样的差别在实际应用中有无意义  。3、根据资料类型和特点选用正确的假设检验方法  。4、根据专业及经验确定是选用单侧检验还是双侧检验  。5、判断结论时不能绝对化，应注意无论接受或拒绝检验假设，都有判断错误的可能性 。

属于与统计数学交叉的知识部分

高斯函数的图像是倒悬着的钟，而logsig函数的图像和arctanx比较像。在统计学与概率论中，高斯函数是正态分布的密度函数。

第二题：只统计小写字母，如果是大写或者混合的话原理也是一样#include<stdio.h>#include<string.h>int main() {    char str[99]; int i,j,a[26]={0}; gets(str);    for(i=0;i<strlen(str);i++)    { for(j=0;j<26;j++) if(str[i]==97+j)a[j]++;    } for(j=0;j<26;j++) if(a[j]!=0)printf("%c %d ",97+j,a[j]); printf(" "); return 0;} 第三题解密：m=Da,b(c)=a-1(c-d)(mod26) //d是什么你没给出，只做了加密部分#include <stdio.h>#include <string.h>#include <stdlib.h>#include <time.h>int main(){ unsigned a,b,i; char str[99]="asdfABC"; srand(time(0)); b=rand()%26;loop: a=rand()%26; if(a%2==0||a==13)goto loop; printf("密匙为:%d,%d ",a,b); for(i=0;i<strlen(str);i++) { if(str[i]>="a"&&str[i]<="z") str[i]=(str[i]*a+b)%26+97; if(str[i]>="A"&&str[i]<="Z") str[i]=(str[i]*a+b)%26+65; printf("%c",str[i]); } printf(" "); return 0;}

因为辛钦大数定律说明样本矩以概率1收敛于总体矩，所以当样本容量很大时，这两个可以认为相等

概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验考试要求1．了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算。2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(Bayes)公式等。3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。二、随机变量及其分布考试内容随机变量 随机变量分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率。2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布 、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布及其应用。3．掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布 、正态分布 、指数分布及其应用，其中参数为 的指数分布 的概率密度为5．会求随机变量函数的分布。三、多维随机变量及其分布 考试内容多维随机变量及其分布 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性 常用二维随机变量的分布 两个及两个以上随机变量简单函数的分布考试要求1．理解多维随机变量的分布函数的概念和性质。2．理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度，掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布。3．理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系。4．掌握二维均匀分布和二维正态分布 ，理解其中参数的概率意义。5．会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布。四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质 随机变量函数的数学期望 切比雪夫(Chebyshev)不等式 矩、协方差、相关系数及其性质 考试要求1．理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征。2．会求随机变量函数的数学期望．3. 了解切比雪夫不等式。五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律 伯努利(Bernoulli)大数定律 辛钦(Khinchine)大数定律 棣莫弗-拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理 列维-林德伯格(Levy-Lindberg)定理考试要求1．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大数定律)。2．了解棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)、列维-林德伯格定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理)，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。六、数理统计的基本概念 考试内容总体 个体 简单随机样本 统计量 经验分布函数 样本均值 样本方差和样本矩 分布 分布 分布 分位数 正态总体的常用抽样分布考试要求1． 理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为 2．了解产生 变量， 变量， 变量的典型模式；理解标准正态分布、 分布、 分布、 分布的上侧 分位数，会查相应的数值表。3．掌握正态总体的样本均值、样本方差、样本矩的抽样分布。4．了解经验分布函数的概念和性质。七、参数估计考试内容点估计的概念 估计量与估计值 矩估计法 最大似然估计法 考试要求1.了解参数的点估计、估计量与估计值的概念。2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法．

相合估计量就是要依概率收敛于待估计的量,证明一般是用辛钦大数定律,这个定律可以直接用

穷死了，买不起草稿纸

概率论发展史 概率论是一门研究随机现象规律的数学分支。其起源于十七世纪中叶，当时在误差、人口统计、人寿保险等范畴中，需要整理和研究大量的随机数据资料，这就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律性的数学，但当时 *** 数学家们首先思考概率论的问题，却是来自赌博者的问题。数学家费马向一法国数学家帕斯卡提出下列的问题：“现有两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s局就算赢了，当赌徒A赢a局[a < s]，而赌徒B赢b局[b < s]时，赌博中止，那赌本应怎样分才合理呢？”于是他们从不同的理由出发，在1654年7月29日给出了正确的解法，而在三年后，即1657年，荷兰的另一数学家惠根斯[1629-1695]亦用自己的方法解决了这一问题，更写成了《论赌博中的计算》一书，这就是概率论最早的论着，他们三人提出的解法中，都首先涉及了数学期望[mathematical expectation]这一概念，并由此奠定了古典概率论的基础。 使概率论成为数学一个分支的另一奠基人是瑞士数学家雅各布-伯努利[1654-1705]。他的主要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理，我们称为“伯努利大数定理”，即“在多次重复试验中，频率有越趋稳定的趋势”。这一定理更在他死后，即1713年，发表在他的遗著《猜度术》中。 到了1730年，法国数学家棣莫弗出版其著作《分析杂论》，当中包含了著名的“棣莫弗—拉普拉斯定理”。这就是概率论中第二个基本极限定理的原始初形。而接着拉普拉斯在1812年出版的《概率的分析理论》中，首先明确地对概率作了古典的定义。另外，他又和数个数学家建立了关于“正态分布”及“最小二乘法”的理论。另一在概率论发展史上的代表人物是法国的泊松。他推广了伯努利形式下的大数定律，研究得出了一种新的分布，就是泊松分布。概率论继他们之后，其中心研究课题则集中在推广和改进伯努利大数定律及中心极限定理。 概率论发展到1901年，中心极限定理终于被严格的证明了，及后数学家正利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从以正态分布。到了20世纪的30年代，人们开始研究随机过程，而著名的马尔可夫过程的理论在1931年才被奠定其地位。而苏联数学家柯尔莫哥洛夫在概率论发展史上亦作出了重大贡献，到了近代，出现了理论概率及应用概率的分支，及将概率论应用到不同范畴，从而开展了不同学科。因此，现代概率论已经成为一个非常庞大的数学分支。 概率论的历史 起源 概率论是一门研究事情发生的可能性的学问，但是最初概率论的起源与赌博问题有关。 16世纪，意大利的学者吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolamo Cardano）开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。 概率与统计的一些概念和简单的方法，早期主要用于赌博和人口统计模型。 随着人类的社会实践，人们需要了解各种不确定现象中隐含的必然规律性，并用数学方法研究各种结果出现的可能性大小，从而产生了概率论，并使之逐步发展成一门严谨的学科。 概率与统计的方法日益渗透到各个领域，并广泛应用于自然科学、经济学、医学、金融保险甚至人文科学中。 发展 随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中，同时这也大大推动了概率论本身的发展。 使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家伯努利，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率。 随后棣莫弗和拉普拉斯又导出了第 二个基本极限定理（中心极限定理）的原始形式。 拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了《分析的概率理论》，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。 19世纪末，俄国数学家切比雪夫、马尔可夫、李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。 20世纪初受物理学的 *** ，人们开始研究随机过程。 这方面柯尔莫哥洛夫、维纳、马尔可夫、辛钦、莱维及费勒等人作了杰出的贡献。 扩展资料 概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。 随机现象是相对于决定性现象而言的。 在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。 例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。 随机现象则是指在基本条件不变的情况下，每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。 例如，掷一硬币，可能出现正面或反面。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。 随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。典型的随机试验有掷骰子、扔硬币、抽扑克牌以及轮盘游戏等。 事件的概率是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律。 参考资料：百度百科-概率论。 概率的历史故事 概率的历史： 第一个系统地推算概率的人是16世纪的卡尔达诺。记载在他的著作《Liber de Ludo Aleae》中。书中关于概率的内容是由Gould从拉丁文翻译出来的。 卡尔达诺的数学著作中有很多给赌徒的建议。这些建议都写成短文。然而，首次提出系统研究概率的是在帕斯卡和费马来往的一系列信件中。 这些通信最初是由帕斯卡提出的，他想找费马请教几个关于由Chevvalier de Mere提出的问题。Chevvalier de Mere是一知名作家，路易十四宫廷的显要，也是一名狂热的赌徒。问题主要是两个：掷骰子问题和比赛奖金分配问题。 概率是度量偶然事件发生可能性的数值。假如经过多次重复试验，偶然事件出现了若干次（。以X作分母，Y作分子，形成了数值。 在多次试验中，P相对稳定在某一数值上，P就称为A出现的概率。如偶然事件的概率是通过长期观察或大量重复试验来确定，则这种概率为统计概率或经验概率。 扩展资料： 随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同一事件，可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种种悖论。 另一方面，随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性。 R.von米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的。 参考资料来源：百度百科—概率 概率的历史故事 概率的历史： 第一个系统地推算概率的人是16世纪的卡尔达诺。 记载在他的著作《Liber de Ludo Aleae》中。书中关于概率的内容是由Gould从拉丁文翻译出来的。 卡尔达诺的数学著作中有很多给赌徒的建议。这些建议都写成短文。 然而，首次提出系统研究概率的是在帕斯卡和费马来往的一系列信件中。 这些通信最初是由帕斯卡提出的，他想找费马请教几个关于由Chevvalier de Mere提出的问题。 Chevvalier de Mere是一知名作家，路易十四宫廷的显要，也是一名狂热的赌徒。问题主要是两个：掷骰子问题和比赛奖金分配问题。 概率是度量偶然事件发生可能性的数值。假如经过多次重复试验，偶然事件出现了若干次（。 以X作分母，Y作分子，形成了数值。 在多次试验中，P相对稳定在某一数值上，P就称为A出现的概率。 如偶然事件的概率是通过长期观察或大量重复试验来确定，则这种概率为统计概率或经验概率。 扩展资料： 随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同一事件，可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种种悖论。 另一方面，随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性。 R.von米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。 从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的。 参考资料来源：百度百科—概率。 跪求概率论19到20世纪发展史,在线等 概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。 随机现象是指这样的客观现象，当人们观察它时，所得的结果不能预先确定，而只是多种可能结果中的一种。在自然界和人类社会中，存在着大量的随机现象。 例如，掷一硬币，可能出现正面或反面；测量一物体长度，由于仪器及观察受到环境的影响，每次测量结果可能有差异；在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐；等等。这些都是随机现象。 随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件又通称随机事件，或简称事件。事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。 虽然在一次随机试验中发生某个事件是带有偶然性的，但那些可以在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律性。人们在长期实践中已逐步觉察到某些这样的规律性，并在实际中应用它。 例如，连续多次掷一均匀的硬币，出现正面的频率（出现次数与投掷次数之比）随着投掷次数的增加逐渐稳定于1/2。又如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且诸测量值大都落在此常数的近旁，越远则越少，因之其分布状况呈现“中间大、两头小”及某种程度的对称性（即近似于正态分布）。 大数律及中心极限定理就是描述和论证这些规律性的。在实际中，人们往往还需要研究在时间推进中某一特定随机现象的演变情况，描述这种演变的就是概率论中的随机过程。 例如，某一电话交换台从一确定时刻起到其后的每一时刻为止所收到的呼唤次数便是一随机过程。又如，微小粒子在液体中因受周围分子的随机碰撞而形成不规则的运动（即布朗运动）也是一随机过程。 研究随机过程的统计特性，计算与过程有关的某些事件的概率，特别是研究与过程样本轨道（即过程的一次实现）有关的问题，是现代概率论的主要课题。总之，概率论与实际有着密切的联系，它在自然科学、技术科学、社会科学、军事和工农业生产中都有广泛的应用。 概率论还是数理统计学的理论基础。 发展简史 概率论有悠久的历史，它的起源与博弈问题有关。 16世纪，意大利的一些学者开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题，例如比较掷两个骰子出现总点数为9或10的可能性大小。17世纪中叶，法国数学家b.帕斯卡、p. de.费马及荷兰数学家c.惠更斯基于排列组合的方法（见组合数学）研究了一些较复杂的赌博问题，他们解决了“合理分配赌注问题”（即“得分问题”，见概率）、“输光问题”等等。 其方法不是直接计算赌徒赢局的概率，而是计算期望的赢值，从而导致了现今称之为数学期望的概念（由惠更斯明确提出）。使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人则是瑞士数学家雅各布第一·伯努利，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数律；该定理断言：设事件a的概率p(a)=p(0概率，应理解为事件发生的机会的一个测度，即公理化概率测度（详见后）。 1716年前后，a.棣莫弗对p =1/2情形，用他导出的关于n！的渐近公式（，即所谓斯特林公式）进一步证明了 渐近地服从正态分布（德国数学家c.f.高斯于1809年研究测量误差理论时重新导出正态分布，所以也称为高斯分布）。棣莫弗的这一结果后来被法国数学家p.-s.拉普拉斯推广到一般的p(0概率论中第二个基本极限定理（见中心极限定理）的原始形式。 拉普拉斯对概率论的发展贡献很大。他在系统总结前人工作的基础上，写出了《概率的分析理论》（1812年出版，后又再版6次）。 在这一著作中，他首次明确规定了概率的古典定义（通常称为古典概率，见概率），并在概率论中引入了更有力的分析工具，如差分方程、母函数等，从而实现了概率论由单纯的组合计算到分析方法的过渡，将概率论推向一个新的发展阶段。拉普拉斯非常重视概率论的实际应用，对人口统计学尤其感兴趣。 继拉普拉斯以后，概率论的中心研究课题是推广和改进伯努利大数律及棣莫弗-拉普拉斯极限定理。在这方面，俄国数学家∏.Л.切比雪夫迈出了决定性的一步，1866年他用他所创立的切比雪夫不等式建立了有关独立随机变量序列的大数律。 次年，又建立了有关各阶绝对矩一致有界的独立随机变量序列的中心极限定理；但其证明不严格，后来由a.a.马尔可夫于1898年补证。1901年Α.М.李亚普诺夫利用特征函数方法，对一类相当广泛的独立随机变量序列，证明了中心极限定理。 他还利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。继李亚普诺夫之后，Α.Я.辛钦、Α.Η.柯尔莫哥洛夫、p.莱维及w.费勒等人在随机变量序列的极限理论方面作出了重要贡献。 到20世纪30年代，有关独立随机变量序列的极限理论已臻完备。在此期间，由于实际问题的需要，特别是受物理学的 *** ，人们开始研究随机过。 统计学的发展史是什么 “统计”一词，英语为statistics，用作复数名词时，意思是统计资料，作单数名词时，指的是统计学。 一般来说，统计这个词包括三个含义：统计工作、统计资料和统计学。这三者之间存在着密切的联系，统计资料是统计工作的成果，统计学来源于统计工作。 原始的统计工作即人们收集数据的原始形态已经有几千年的历史，而它作为一门科学，还是从17世纪开始的。英语中统计学家和统计员是同一个（statistician），但统计学并不是直接产生于统计工作的经验总结。 每一门科学都有其建立、发展和客观条件，统计科学则是统计工作经验、社会经济理论、计量经济方法融合、提炼、发展而来的一种边缘性学科。 1，关于单词statistics 起源于国情调查，最早意为国情学。 十 七世纪，在英格兰人们对“政治算术”感兴趣。1662年，John Graunt发表了他第一本也是唯一一本手稿，《natural and politics observations upon the bills of mortality》， 分析了生男孩和女孩的比例，发展了现在保险公司所用的那种类型的死亡率表。 英文的statistics大约在十八世纪中叶由德国学者 Gottfried Achenwall所创造，是由状态status和德文的政治算术联合推导得出的，第一次由John Sinclair所使用，即1797年出现在Encyclopaedia Britannica。（早期还有一个单词publicitics和statistics竞争“统计”这一含义，如果得胜，现在就开始流行 publicitical learning了）。 2，关于高斯分布或正态分布 1733年，德-莫佛（De Moivre）在给友人分发的一篇文章中给出了正态曲线（这一历史开始被人们忽略） 1783年，拉普拉斯建议正态曲线方程适合于表示误差分布的概率。 1809年，高斯发表了他的关于天体运行论的伟大著作，在这一著作的第二卷第三节中，他导出正态曲线适宜于表示误差规律，同时承认拉普拉斯较早的推导。 正态分布在十九世纪前叶因高斯的工作而加以推广，所以通常称作高斯分布。卡尔-皮尔逊指出德-莫佛是正态曲线的创始人，第一个称它为正态分布，但人们仍习惯称之高斯分布。 3，关于最小二乘法 1805年，Legendre提出最小二乘法，Gauss声称自己在1794年用过，并在1809年基于误差的高斯分布假设，给出了严格推导。 4，其它 在十九世纪中叶，三个不同领域产生的重要发展都是基于随机性是自然界固有的这个前提上的。 阿道夫·凯特莱特（A. Quetlet,1869）利用概率性的概念来描述社会学和生物学现象（正态曲线从观察误差推广到各种数据） 孟德尔（G.Mendel,1870）通过简单的随机性结构公式化了他的遗传法则 玻尔兹曼（Boltzmann,1866）对理论物理中最重要的基本命题之一的热力学第二定律给出了一个统计学的解释。 1859 年，达尔文发表了《物种起源》，达尔文的工作对他的表兄弟高尔登爵士有深远影响，高尔登比达尔文更有数学素养，他开始利用概率工具分析生物现象，对生物计 量学的基础做出了重要贡献（可以称他为生物信息学之父吧），高尔登爵士是第一个使用相关和回归这两个重要概念的人，他还是中位数和百分位数这种概念的创始 人。 受高尔登工作影响，在伦敦的大学学院工作的卡尔-皮尔逊开始把数学和概率论应用于达尔文进化论，从而开创了现代统计时代，赢得了统计之父的称号，1901年Biometrika第一期出版（卡-皮尔逊是创始人之一）。 5，关于总体和样本 在早期文献中可找到由某个总体中抽样的明确例子，然而从总体中只能取得样本的认识常常是缺乏的。 ----K.皮尔逊时代 到十九世纪末，对样本和总体的区别已普遍知道，然而这种区分并不一定总被坚持。----1910年Yule在自己的教科书中指出。 在 1900年代的早期，区分变的更清楚，并在1922年被Fisher特别强调。----Fisher在1922年发表的一篇重要论文中《On the mathematical foundation of theoretical statistics》，说明了总体和样本的联系和区别，以及其他概念，奠定了“理论统计学”的基础。 6，期望、标准差和方差 期望是一个比概率更原始的概念，在十七世纪帕斯卡和费马时代，期望概念已被公认了。K.皮尔逊最早定义了标准差的概念。 1918年，Fisher引入方差的概念。 力学中的矩和统计学中的中数两者之间的相似性已被概率领域的早期工作者注意到，而K.皮尔逊在1893年第一次在统计意义下使用“矩”。 7，卡方统计量 卡方统计量，是卡-皮尔逊提出用于检验已知数据是否来自某一特定的随机模型，或已知数据是否与已给定的假设一致。卡方检验被誉为自1900年以来在科学技术所有分支中20个尖端发明之一，甚至敌人Fisher都对此有极高评价。 8，矩估计与最大似然 卡-皮尔逊提出了使用矩来估计参数的方法。 Fisher则在1912年到1922年间提出了最大似然估计方法，基于直觉，提出了估计的一致性、有效性和充分性的概念。 9，概率的公理化 1933年，前苏联数学家柯尔莫格洛夫（Kolmogorov）发表了《概率论的基本概念》，奠定了概率论的严格数学基础。 10，贝叶斯定理 贝叶斯对统计学几乎没有什么贡献，然而贝叶斯的一篇文章成为贝叶斯学派统计学的思想模式的焦点，这一篇文章发表于1763年，由贝叶斯的朋友、著名人寿保险原理的开拓者Richard Pri。

翻开任何一本概率论教材我们都可以看到泊松分布的定义：一个离散型随机变量X 满足P（X=n）=(r^n)/n!*e^(-r),其中n为非负整数，t为大于0的参数。我们在下列两种情况下的分布采取泊松分布是合适的。一个时期内出现的稀有事件发生的个数，可以认为满足泊松分布，因为你可以把它看成数目很大n，而发生概率p很低的二项分布的近似，这是r表示n*p。为什么可以这么近似，请看概率论，（其实只是一道数学分析的证明题）另一种我们需要了解泊松过程，就是指一个随机时刻到来的粒子流在一个满足并不复杂的假设下的分布F（t，n）,当时间t固定时在t时到达的粒子数量服从泊松分布，此时的参数r是泊松过程的参数r1的t倍这些解释已经是形象化的了，如果觉得式子很多就看每段的头一句话。就是一个时期内出现的稀有事件发生的个数一个随机时刻到来的粒子流在一个满足并不复杂的假设下在某一时刻t的质子到达个数满足泊松分布。

一个事件的发生不影响其它事件的发生，即事件独立发生；Ÿ 事件的发生率是相同的，不能有些区间内发生率高一些而另一些区间低一些；Ÿ 两个事件不能在同一个时刻发生；Ÿ 一个区间内一个事件发生的概率与区间的大小成比例。满足以上条件，则X就是泊松随机变量，其分布就是泊松分布。泊松分布的概率分布为其中：λ>0是常数，是区间事件发生率的均值。泊松分布是一种描述和分析稀有事件的概率分布。要观察到这类事件，样本含量n必须很大。比如一个产品存在瑕疵的数量，广深高速每天出现交通事故的数量，放射性物质在单位时间内的放射次数，一匹布中疵点的数量等等，等等。

翻开任何一本概率论教材我们都可以看到泊松分布的定义：一个离散型随机变量X满足P（X=n）=(r^n)/n!*e^(-r),其中n为非负整数，t为大于0的参数。我们在下列两种情况下的分布采取泊松分布是合适的。一个时期内出现的稀有事件发生的个数，可以认为满足泊松分布，因为你可以把它看成数目很大n，而发生概率p很低的二项分布的近似，这是r表示n*p。为什么可以这么近似，请看概率论，（其实只是一道数学分析的证明题）另一种我们需要了解泊松过程，就是指一个随机时刻到来的粒子流在一个满足并不复杂的假设下的分布F（t，n）,当时间t固定时在t时到达的粒子数量服从泊松分布，此时的参数r是泊松过程的参数r1的t倍这些解释已经是形象化的了，如果觉得式子很多就看每段的头一句话。就是一个时期内出现的稀有事件发生的个数一个随机时刻到来的粒子流在一个满足并不复杂的假设下在某一时刻t的质子到达个数满足泊松分布。

不懂~~~~

品质统计过程中的意义　　CPK：Complex Process Capability index 的缩写，是现代企业用于表示制程能力的指标。制程能力强才可能生产出质量、可靠性高的产品。 　　制程能力指标是一种表示制程水平高低的方法，其实质作用是反映制程合格率的高低。 　　制程能力的研究在於确认这些特性符合规格的程度，以保证制程成品的良率在要求的水准之上，可作为制程持续改善的依据。而规格依上下限有分成单边规格及双边规格。只有规格上限和规格中心或只有规格下限和规格中心的规格称为单边规格。有规格上下限与中心值，而上下限与中心值对称的规格称为双边规格。 　　当我们的产品通过了GageR&R的测试之后，我们即可开始Cpk值的测试。 　　CPK值越大表示品质越佳。 　　Cpk——过程能力指数 　　CPK = Min（CPKu,CPKl) 　　USL (Upper specification limit): 规格上限。 　　LSL (Low specification limit): 规格下限。 　　ˉx = (x1+x2+...+xn) / n : 平均值。 　　T = USL - LSL : 规格公差。 　　U = (USL + LSL) / 2：规格中心。 　　CPKu = | USL-ˉx | / 3σ 　　CPKl = | ˉx -LSL | / 3σCpk应用讲议　　1. Cpk的中文定义为：制程能力指数，是某个工程或制程水准的量化反应，也是工程评估的一类指标。 　　2. 同Cpk息息相关的两个参数：Ca , Cp. 　　Ca: 制程准确度。 在衡量「实际平均值」与「规格中心值」之一致性。对於单边规格，因不存在规格中心，因此不存在Ca；对於双边规格，Ca=(ˉx-C)/(T/2)。 　　Cp: 制程精密度。 在衡量「规格公差宽度」与「制程变异宽度」之比例。对於单边规格， 　　只有上限和中心值，Cpu = | USL-ˉx | / 3σ。 　　只有下限和中心值，Cpl = | ˉx -LSL | / 3σ 　　对於双边规格：Cp=(USL-LSL) / 6σ 　　3. Cpk, Ca, Cp三者的关系： Cpk = Cp * ( 1 - |Ca|)，Cpk是Ca及Cp两者的中和反应，Ca反应的是位置关系(集中趋势)，Cp反应的是散布关系(离散趋势) 　　4. 当选择制程站别Cpk来作管控时，应以成本做考量的首要因素，还有是其品质特性对后制程的影响度。 　　5. 计算取样数据至少应有20~25组数据，方具有一定代表性。 　　6. 计算Cpk除收集取样数据外，还应知晓该品质特性的规格上下限(USL，LSL)，才可顺利计算其值。 　　7. 首先可用Excel的“STDEVP”函数自动计算所取样数据的标准差(σ)，再计算出规格公差(T)，及规格中心值(U). 规格公差T=规格上限－规格下限；规格中心值U=（规格上限+规格下限）/2； 　　8. 依据公式：Ca=(X-U)/(T/2) ， 计算出制程准确度：Ca值 (X为所有取样数据的平均值) 　　Ca的评级标准及处理：

由X~B(2，0.3)知EX=2×0.3=0.6，所以由性质可知E(样本平均值)=EX=0.6。

对某地5000人作蛔虫检查，已知该地感染率为5%，现将10人分为1组，将10人的粪便混合进行检测。如果10人组检验结果为无感染，则断定此10人无感染，这样检验次数为1；如果10人组检验结果为有感染，则对此10人再做一一检验，这样检验次数为11。此法是否可以减少工作量？答：减少49.87%的工作量，即减少2493次检验。过程：X=将10人分为1组，所需的检验次数X=1如果10人组检验结果为无感染。X=11如果10人组检验结果为有感染。P(X=1)=P(10人组检验结果为无感染)=(1-0.05)^10=0.5987P(X=11)=P(10人组检验结果为有感染)=1-(1-0.05)^10=1-0.5987=0.4013E{X}=11*P(X=11)+1*P(X=1)=11*0.4013+0.5987=5.0135000所需的检验次数为500*5.013=2506.5约2507

是协方差吧

基本定义　　协方差分析是建立在方差分析和回归分析基础之上的一种统计分析方法。 　　方差分析是从质量因子的角度探讨因素不同水平对实验指标影响的差异。一般说来，质量因子是可以人为控制的。 　　回归分析是从数量因子的角度出发，通过建立回归方程来研究实验指标与一个(或几个)因子之间的数量关系。但大多数情况下，数量因子是不可以人为加以控制的。 　　方差知道吧。。。 　　两个不同参数之间的方差就是协方差 　　若两个随机变量X和Y相互独立，则E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0，因而若上述数学期望不为零，则X和Y必不是相互独立的，亦即它们之间存在着一定的关系。 　　定义 　　E[(X-E(X))(Y-E(Y))]称为随机变量X和Y的协方差，记作COV(X，Y)，即COV(X，Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。 　　协方差与方差之间有如下关系： 　　D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2COV(X，Y) 　　D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2COV(X，Y) 　　因此，COV(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。

结论：A与C在相关性比A与B的相关性强