定积分的性质

1.当x∈[1/√3,√3]时,π/（6√3）≤xarctanx≤π/√3,所以∫（1/√3～√3）π/（6√3）dx≤∫（1/√3～√3）xarctanxdx≤∫（1/√3～√3）π/√3dx,即π/9≤∫（1/√3～√3）xarctanxdx≤2π/32.（1）原极限=lim（n...

这是没有固定条件的，对于这个题来说：是用的夹逼准则求出的0

(sinx+1/2)的定积分，将该函数分为两部分：sinx以及0.5，前者关于原点对称，而积分区域为-3到3，因此积分结果=0后者关于y轴对称，积分结果为0到3的两倍，=1.5所以，结果为0+1.5=1.5

例如∫cscxdx=∫1/sinxdx=∫1/[2sin(x/2)cos(x/2)]dx，两倍角公式=∫1/[sin(x/2)cos(x/2)]d(x/2)=∫1/tan(x/2)*sec²(x/2)d(x/2)=∫1/tan(x/2)d[tan(x/2)]，注∫sec²(x/2)d(x/2)=tan(x/2)+C=ln|tan(x/2)|+C。请点击输入图片描述例如不定积分∫1/(2+ cosx)计算设t=tan(x/2)则cosx=[cos²(x/2)-sin²(x/2)]/[cos²(x/2)+sin²(x/2)]=[1-tan²(x/2)]/[1+tan²(x/2)]=(1-t²)/(1+t²)dx=d(2arctant)=2dt/(1+t²)故：∫1/(2+cosx)dx=∫1/[2+(1-t²)/(1+t²)]*[2dt/(1+t²)]=∫2dt/(3+t²)=2/√3∫d(t/√3)/[1+(t/√3)²]=2/√3arctan(t/√3)+C请点击输入图片描述再例如∫lntanx/(sinxcosx)dx分子分母同除以cos²x=∫sec²x*lntanx/tanxdx=∫lntanx/tanx d(tanx)=∫lntanxd(lntanx)=(1/2)ln²(tanx)+C。请点击输入图片描述换元法计算不定积分例如∫ √(x²+1) dx令x=tanu，则√(x²+1)=secu，dx=sec²udu。∫sec³udu=∫ secudtanu=secutanu - ∫ tan²usecudu=secutanu - ∫ (sec²u-1)secudu=secutanu - ∫ sec³udu + ∫ secudu=secutanu - ∫ sec³udu + ln|secu+tanu|将- ∫ sec³udu移支等式左边与左边合并后除以系数得：∫sec³udu=(1/2)secutanu + (1/2)ln|secu+tanu| + C。所以：∫ √(x²+1) dx=(1/2)√(x²+1)*x+ (1/2)ln|√(x²+1)+x| + C。请点击输入图片描述不定积分概念设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。请点击输入图片描述其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。请点击输入图片描述

√[1-(x-1)^2]-x楼主没有说积分上下限，这里x∈(0,1)∫√[1-(x-1)^2]-xdx=∫√[1-(x-1)^2]dx-x^2/2设x-1=sint则原式=∫(cost)^2dt-x^2/2=1/2*∫(1+cos2t)dt-x^2/2=t/2+(sin2t)/4-x^2/2+C这里t∈(-π/2,0),x∈(0,1)定积分结果为π/4-1/2从几何角度，是以(1,0)为圆心，1为半径的半圆与y=x围成弓形的面积希望对楼主有所帮助，望采纳！

应该相等

第一题，由于 0<x<1（区间端点可以忽略不计），所以 0<x³<x²<1，所以前面大后面小，填 > .第二题，利用定积分的几何意义，它表示圆心在原点，半径为 2 的圆的上半部分的面积，因此 = 2兀 。第三题，区间长度为 0，因此积分也是 0 。

积分区间相同，就比较该积分区间上两个被积函数的大小。令f(x)=e^x-(1+x),x∈（0,1）f"(x)=e^x-1因为e^x为递增函数f"(0)=e^0-1=0所以f"(x)>0所以f(x)为递增函数f(x)>f(0)=1-1=0即e^x>1+x从而∫(0,1)e^xdx>∫(0,1)(1+x)dx

(1)∫(-a~a) √(a² - x²) dx = 2∫(0~a) √(a² - x²) dx，偶函数性质这个函数表示圆x² + y² = a²，半径为a，在-a到a上的面积，即半个圆形积分表示的面积为πa² * 1/2 = πa²/2(2)∫(0~1) [√(1 - (x - 1)²) - x] dx= ∫(0~1) √(1 - (x - 1)²) dx - ∫(0~1) x dx前面式子表示圆y² + (x - 1)² = 1，半径为1，在0到1上的面积，圆心(1，0)，即1/4个圆形面积为π/4而∫(0~1) x dx，表示由直线x - y = 0，x轴和y轴围成的三角形面积底长是1，高也是1，三角形面积为1/2 * 1 * 1 = 1/2所以该积分的值是π/4 - 1/2

相对于积分变量xn^p是常数根据定积分的性质二，常数可以提出来，所以，∫(n-1→n)1/n^p·dx=1/n^p·∫(n-1→n)1dx=1/n^p·[n-(n-1)]【这里根据定积分的性质四】=1/n^p

定积分的性质：1、当a=b时，2、当a>b时，3、常数可以提到积分号前。4、代数和的积分等于积分的代数和。定积分的介绍：定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a，b]上积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

假设下面所涉及的定积分都是存在的，则有 性质1 函数代数和（差）的定积分等于它们的定积分的代数和（差）．即 这个性质可推广到有限多个函数代数和的情形． 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号前，即 （ 为常数）． 性质3 不论 三点的相互位置如何，恒有 ． 这性质表明定积分对于积分区间具有可加性．

做差就好了

该题应该应用m(b-a)≤∫[a积到b] f(x)dx≤M(b-a) 这条定积分性质PS：m,M分别为f(x)在区间[a,b]上的最小、最大值当x∈[∏/4,5∏/4]时.易得f(x)=1+(sinx)^2∈[1,2] ∴1*(5∏/4∏-∏/4)≤∫【∏/4到5∏/4】[1+(sinx)^2]...

左边=e^1-e^0=e-1=1.72右边=（1+1）²/2-(1+0)²/2=2-1/2=1.50左边大

积分区间相同，就比较该积分区间上两个被积函数的大小。令f(x)=e^x-(1+x),x∈（0,1）f"(x)=e^x-1因为e^x为递增函数f"(0)=e^0-1=0所以f"(x)>0所以f(x)为递增函数f(x)>f(0)=1-1=0即e^x>1+x从而∫(0,1)e^xdx>∫(0,1)(1+x)dx

f(x)=ln(1+x)-x/(1+x)=ln(1+x)-1+1/(x+1)f"(x)=1/(x+1)-1/(x+1)²0.1区间内f"(x)>0，单调递增f(x)>f(0)=0∴ln(1+x)>x/(1+x)∫ln(1+x)dx<∫x/(1+x)dx

1、f上限a+T下限a等于f上限T下限0 2、f上限a+T下限T等于f上限a下限0 例题：自己画个周期函数然后按照定积分的几何意义即面积去理解就可以了. 自己做题记住的两点.

正确，这个根据这个公式的证明可以类似证明底下的说法

利用积分中值定理  ∫【∏/4到5∏/4】[1+(sinx)^2]dx=[1+(sinm)²](5π/4-π/4)=[1+(sinm)²]π               sinm范围 [1/√2,1]=3π/2 到2π

1、区间短点连续且可积分，区间不包含无穷点。2、因为函数可积，所以在积分区间[a，b]上，积分和的极限是不变的。那么，在分积分区间是，总有c点使得[a，b]积分和=[a,c][c,b]积分和。3、积分的分段可加性是指他的积分区间分段可加，至于自然对数不恒为0 的意义就是 使得第三个不等式成立。

倒数第二行就是式子取a到b的积分 最后一行就是求定积分的啊

直接证明即可得。他可以用来求含有sinx的函数的定积分。

你求导都求错了好吧，应该用换元法

按照达到条件就可以急用这些性质。

不定积分的性质：不定积分是一个函数集合，集合不同的元素之间相差一个固定的常数。根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。不定积分的公式：1、∫adx=ax+C，a和C都是常数2、∫x^adx=[x^(a+1)]/(a+1)+C，其中a为常数且a≠-13、∫1/xdx=ln|x|+C4、∫a^xdx=(1/lna)a^x+C，其中a>0且a≠15、∫e^xdx=e^x+C6、∫cosxdx=sinx+C7、∫sinxdx=-cosx+C8、∫cotxdx=ln|sinx|+C=-ln|cscx|+C

定积分的性质：性质1：设a与b均为常数，则∫a->b[a×f(x)+b×g(x)]dx=a×∫(a->b)f(x)dx+b×∫(a->b)g(x)dx。性质2：如果在区间【a,b】上f(x)恒等于1,那么∫(a->b)1dx=∫(a->b)dx=b-a。 “定积分”的简单性质 性质1：设a与b均为常数，则∫(a->b)[a*f(x)+b*g(x)]dx=a*∫(a->b)f(x)dx+b*∫(a->b)g(x)dx。 性质2：设a<c<b,则∫(a->b)f(x)dx=∫(a->c)f(x)dx+f(c->b)f(x)dx。 性质3：如果在区间【a,b】上f(x)恒等于1,那么∫(a->b)1dx=∫(a->b)dx=b-a。 性质4：如果在区间【a,b】上f(X)>=0,那么∫(a->b)f(x)dx>=0(a<b)。 性质5：设M及m分别是函数f(x)在区间【a,b】上的最大值和最小值，则m(b-a)<=∫(a->b)f(x)dx<=M(b-a)(a<b)。 性质6（定积分中值定理）：如果函数f(x)在积分区间【a,b】上连续，那么在【a,b】上至少存在一个点c，使得∫(a->b)f(x)dx=f(c)(b-a)(a<=c<=b)成立。 性质7：若a>b则∫_a^bf(x)=-∫_b^af(x)。 定积分 定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。 一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

定积分 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数。所以，微分与积分互为逆运算。 实际上，积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，而若F(x)的导数是f(x)，那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x)，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)，C是无穷无尽的常数，所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的，我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。 而相对于不定积分，就是定积分。 所谓定积分，其形式为∫f(x) dx (上限a写在∫上面，下限b写在∫下面)。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。 定积分的正式名称是黎曼积分，详见黎曼积分。用自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a、b。 我们可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数。它们看起来没有任何的联系，那么为什么定积分写成积分的形式呢？ 定积分与积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是： 若F"(x)=f(x) 那么∫f(x) dx (上限a下限b)=F(a)-F(b) 牛顿-莱布尼兹公式用文字表述，就是说一个定积分式的值，就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。 正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。

定积分的性质：1、当a=b时，2、当a>b时，3、常数可以提到积分号前。4、代数和的积分等于积分的代数和。定积分的介绍：定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a，b]上积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。