随机变量的概率密度函数怎么求

概率密度函数是针对连续性随机变量而言的，假设对于连续性随机变量X，其分布函数为F(x)，概率密度为f(x)。可以按照下面的思路计算概率密度：由定义F(x)=∫[-∞,x]。f(y)dy可知F"(x)=f(x)，也就是分布函数的导数等于概率密度函数，所以你只需要在原来求出的分布函数基础上求导即可得到概率密度函数。分布函数是概率统计中重要的函数，正是通过它，可用数学分析的方法来研究随机变量。分布函数是随机变量最重要的概率特征，分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律，并且决定随机变量的一切其他概率特征。

y的积分范围 x<y<=1-x若x>=1-x则无法达成， x>=1/2时与上述相斥，所以x<1/2P(X+Y<=1)=∫(0~1/2)∫(1-x~x) e^(-y) dydx =∫(0~1/2)e^(x-1)-e^(-x) dx =e^(x-1)+e^(-x)|(0~1/2) =2e^(-1/2)-e^(-1)-12) 连续型联合密度函数在任何一条线上概率都是03)fX(x)= ∫(x~无穷)e^(-y) dy (x>0) = 0-(-e^(-x)) =e^(-x) fY(y)=∫(0~y)e^(-y) dx (y>0) =e^(-y)y4)P(X>2,Y<4)=∫(2~4)∫(x~4) e^(-y) dy dx= ∫(2~4)-e^(-4)+e^(-x) dx=-2e^(-4)+(-e^(-4)+e^(-2))=-3e^(-4)+e^(-2)P(X>2)=∫(2~无穷)e^(-x) dx=e^(-2)P(X>2)/P(X>2,Y<4)=[e^(-2)-3e^(-4)]/e^-2=1-3e^(-4)

这里指的是一维连续随机变量，多维连续变量也类似。随机数据的概率密度函数：表示瞬时幅值落在某指定范围内的概率，因此是幅值的函数。它随所取范围的幅值而变化。密度函数f(x) 具有下列性质：① ；② ；③

简单分析一下，详情如图所示

卡方分布(χ2分布)是概率论与统计学中常用的一种概率分布。k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布，卡方分布常用于假设检验和置信区间的计算。正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。当μ＝0，σ2＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。二项分布：在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。

在分布函数F(x)中对x求导就得到密度函数f(x)。密度函数f(x)是分布函数的导数。 函数在数学中为两不为空集的集合间的一种对应关系为，输入值集合中的每项元素皆能对应唯一一项输出值集合中的元素。函数概念含有三个要素，包括定义域

要了解这个 先得知道密度的意义 概率密度就是用概率的大小除以相应变量在那一段的大小 举个例子 就类似与一把尺子 有个点要在尺子上出现 但在尺子上每点出现概率是不一样的 需要用个函数表示 概率密度函数在对应段的积分就是相应段出现的点的概率

x是均匀分布期望：EX=(a-a)/2=0方差：DX=(a+a)^2/12=(a^2)/3

这是标准正态分布密度函数（如图）：如果是计算概率，那就要用分布函数，但是它的分布函数是不能写成正常的解析式的。一般的计算方法就是，将标准正态分布函数的分布函数在各点的值计算出来制成表，实际计算时通过查表找概率。非标准正态分布函数可以转换成标准正态分布再算。简介μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。本词条的正态分布是一维正态分布，此外多维正态分布参见“二维正态分布”。

简单分析一下即可，详情如图所示

正态分布的密度函数怎么求？正态分布的密度函数可以用下面的公式表示：f(x) = 1/√2πσexp[-(x-μ)^2/2σ^2] 其中 μ 是均值， σ 是标准差。

对概率密度函数作傅里叶变换可得特征函数。特征函数与概率密度函数有一对一的关系。因此知道一个分布的特征函数就等同于知道一个分布的概率密度函数。

P{X=k}= (λ“-k" e"-λ")/k! k =0,1,2… λ >0; 0 λ <0;引号内为上标。。。其余自己推。

对密度函数求定积分，即F(x)=∫[-∞,x]f(x)dx。在数学中，连续型随机变量的概率密度函数（在不至于混淆时可以简称为密度函数）是一个描述这个随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。分布函数是概率统计中重要的函数，正是通过它，可用数学分析的方法来研究随机变量。把-a带进去 -Aa+B=0 ，把a带进去 Aa+B=1 ，联立解出 AB给F求导就得出的是密度函数！f=a 定义域和上面是对应的！

。int_{-infty}^{infty} f_ (x),dx = 1。随机变量x在区间上的概率可以由其概率密度函数的定积分表示： p[a< xle b]=int_^ f_x (x),dx。而f(x)=p[x是x的累积分布函数，显然概率密度函数是它的导函数。[编辑]应用由机率密度函数可以求出期望值、变异数等矩量。期望值（一阶矩）：e[x]=int_{-infty}^{infty} xf(x),dx 。变异数（二阶矩）：var[x]=int_{-infty}^{infty} (x-e[x])^2f(x),dx 。[编辑]特征函数。对机率密度函数作傅利叶转换可得特徵函数。特徵函数与机率密度函数有一对一的关系。因此知道一个分布的特徵函数就等同於知道一个分布的机率密度函数。

f(x)是随机变量的密度,当且仅当 1）f(x)>=0; 2)f(x)从-∞到+∞积分为1.

大多数情况下，概率密度函数f(x)就是分布函数F(x)的导数，即dF(x0)=f(x0)dx，所以变量x落在x0附近的概率就是区间长乘f(x0)。考虑一个经典的扔小球的模型:将某一区间分成n份并向其中随机地扔球，那么f(x)越大，在点x附近的球就越多，也就是说，f(x)是小球的“密度”。考虑一个密度分布不均匀的小球，总质量为1，概率密度就相当于这个小球某处的密度，值是可以大于1的，但是这个密度乘以体积所得的质量是恒小于等于1的。然后至于概率密度越大的点，说明单位体积落在该点的质量越大。概率密度函数对系统的随机性能有更为全面的描述,因此文中将连续随机变量非线性函数的概率密度函数作为研究对象,提出一种引入辅助随机变量求解非线性密度函数的方法。首先,针对随机变量的密度函数,利用概率密度演化方法。通过引入时间变量使问题转换为关于联合概率密度的偏微分方程,获取边缘密度得到函数的解析解,而对于部分密度函数的广义函数,则需引入辅助随机变量对函数进行数值积分后通过傅里叶变换获取概率密度;其次,对于非线性系统的概率密度函数,提出基于非线性系统的状态变量子空间法。在任意一子空间上对FPK方程进行积分获取低维的FPK方程,通过等效线性化处理达到表述非线性概率密度函数的目的.实验证明,通过对非线性概率密度函数的有效研究可为非线性系统控制提供可靠的理论基础。

f(x)、g(x)、h(x)分别在负无穷到正无穷上积分得1af(x)+bg(x)+ch(x）在负无穷上到正无穷上积分也必须得1由积分的性质可知af(x)+bg(x)+ch(x）在负无穷上到正无穷上积分=a+b+c=1 因为是概率密度函数，概率密度函数在其整个积分域上的积分是得1的。概率密度函数积分是分布函数，整个积分域积分就相当于分布函数在整个域上的概率，因此必须为1.

均匀分布的概率密度函数是f(x)=1/(b-a)。在概率论和统计学中，均匀分布（矩形分布），是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。均匀分布由两个参数a和b定义，它们是数轴上的最小值和最大值，通常缩写为U（a，b）。概率论分析均匀分布对于任意分布的采样是有用的。 一般的方法是使用目标随机变量的累积分布函数（CDF）的逆变换采样方法。 这种方法在理论工作中非常有用。 由于使用这种方法的模拟需要反转目标变量的CDF，所以已经设计了cdf未以封闭形式知道的情况的替代方法。 一种这样的方法是拒收抽样。正态分布是逆变换方法效率不高的重要例子。 然而，有一个确切的方法，Box-Muller变换，它使用逆变换将两个独立的均匀随机变量转换成两个独立的正态分布随机变量。在模数转换中，发生量化误差。 该错误是由于四舍五入或截断。 当原始信号比一个最低有效位（LSB）大得多时，量化误差与信号不显着相关，并具有大致均匀的分布。 因此，RMS误差遵循该分布的方差。

　　两者的定义　　概率密度函数：用于直观地描述连续性随机变量（离散型的随机变量下该函数称为分布律），表示瞬时幅值落在某指定范围内的概率，因此是幅值的函数。连续样本空间情形下的概率称为概率密度，当试验次数无限增加，直方图趋近于光滑曲线，曲线下包围的面积表示概率，该曲线即这次试验样本的概率密度函数。　　分布函数：用于描述随机变量落在任一区间上的概率。如果将x看成数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数F(x)在x处的函数值就表示x落在区间(-∞上的概率。分布函数也称为概率累计函数。　　区别　　分布函数是概率密度函数从负无穷到正无穷上的积分；　　在坐标轴上，概率密度函数的函数值y表示落在x点上的概率为y；分布函数的函数值y则表示x落在区间(-∞上的概率。　　

给定X是随机变量，如果存在一个非负函数f(x)，使得对任意实数a,b(a<b)有P（a＜X≤b)=∫f(x)dx,（积分下限是a,上限是b)则称f(x)为X的概率密度函数。这里指的是一维连续随机变量，多维连续变量也类似。

这个有公式的啊fy(y)=fx[h(y)]|h"(y)|fy（y）是所求密度函数fx（x）是原密度函数，x=h(y),是y(x)的反函数

概率密度函数:在数学中，连续型随机变里的概率密度函数（在不至于混淆时可以简称为密度函数）是一个描述这个随机变里的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。公式：其中入>0是分布的一个参数,常被称为率参数(rate par ameter)。即每单位时间内发生某事件的次数。指数分布的区间是[o, oo)。如果一个随机变里X呈指数分布，则可以写作:x~Exponential(入 )。分布：在概率论和统计学中，指数分布(Exponential distribution)是一种连续概率分布。指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况，产品的失效是偶然失效时，其寿命服从指数分布。

0和y就是指定y时联合概率密度非零区域的左右边边界，如果求X的边缘概率密度就要用上下边界了。连续型随机变量的概率密度函数是一个描述这个随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。而随机变量的取值落在某个区域之内的概率则为概率密度函数在这个区域上的积分。当概率密度函数存在的时候，累积分布函数是概率密度函数的积分。概率密度函数一般以小写标记。扩展资料：由于随机变量X的取值 只取决于概率密度函数的积分，所以概率密度函数在个别点上的取值并不会影响随机变量的表现。更准确来说，如果一个函数和X的概率密度函数取值不同的点只有有限个、可数无限个或者相对于整个实数轴来说测度为0（是一个零测集），那么这个函数也可以是X的概率密度函数。连续型的随机变量取值在任意一点的概率都是0。作为推论，连续型随机变量在区间上取值的概率与这个区间是开区间还是闭区间无关。要注意的是，概率P{x=a}=0，但{X=a}并不是不可能事件。

具体解法如下：解题思路：由已知出发得到想要的信息再进一步解答。需要注意的是：单纯的讲概率密度没有实际的意义，它必须有确定的有界区间为前提。可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。扩展资料概率密度函数的相关性质：随机数据的概率密度函数：表示瞬时幅值落在某指定范围内的概率，因此是幅值的函数。它随所取范围的幅值而变化。连续型随机变量取值在任意一点的概率都是0。作为推论，连续型随机变量在区间上取值的概率与这个区间是开区间还是闭区间无关。要注意的是，概率P{x=a}=0，但{X=a}并不是不可能事件。参考资料来源百度百科-概率密度函数百度百科-概率密度

概率密度函数是针对连续性随机变量而言的，假设对于连续性随机变量x，其分布函数为f(x)，概率密度为f(x)首先，对于连续性随机变量x，其分布函数f（x）应该是连续的，然而你给出的这个函数在x=-1，x=1点都不连续，所以是没有概率密度函数的，可能你在求解分布函数的时候求错了！如果f（x）求正确了，你可以按照下面的思路计算概率密度：由定义f(x)=∫[-∞,x]f(y)dy可知f"(x)=f(x)，也就是分布函数的导数等于概率密度函数，所以你只需要在原来求出的分布函数基础上求导即可得到概率密度函数。希望对你有帮助，如果满意请采纳！

在数学中，连续型随机变量的概率密度函数（在不至于混淆时可以简称为密度函数）是一个描述这个随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。而随机变量的取值落在某个区域之内的概率则为概率密度函数在这个区域上的积分。当概率密度函数存在的时候，累积分布函数是概率密度函数的积分。概率密度函数一般以小写标记。

概率密度函数:在数学中，连续型随机变里的概率密度函数（在不至于混淆时可以简称为密度函数）是一个描述这个随机变里的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。公式：其中入>0是分布的一个参数,常被称为率参数(rate par ameter)。即每单位时间内发生某事件的次数。指数分布的区间是[o, oo)。如果一个随机变里X呈指数分布，则可以写作:x~Exponential(入 )。分布：在概率论和统计学中，指数分布(Exponential distribution)是一种连续概率分布。指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况，产品的失效是偶然失效时，其寿命服从指数分布。

n的分布函数g(n)n的概率密度函数g(n)ε的分布函数f(ε)ε的概率密度函数f(ε)f(ε)=1,0<=ε<=1f(ε)=0,其他g(n)=p{n<=n}=p{3ε+1<=n}p=p{ε<=(n-1)/3}=f((n-1)/3)对其求导g(n)=1/3*f((n-1)/3)当1<=n<=4g(n)=1/3*1=1/3当n<1或n>4g(n)=1/3*0=0

Y的概率密度函数为当1＜y＜3时，P(y)=1/2，y取其他值时，P(y)=0。解：令Y的分布函数为FY(y)。因为Y=2X+1，则FY(y)=F(Y≤y)=F(2X+1≤y)=F(X≤(y-1)/2)。当(y-1)/2≤0时，即y≤1时，F(Y≤y)=F(X≤(y-1)/2)=0。当0＜(y-1)/2＜1时，即1＜y＜3时，F(Y≤y)=F(X≤(y-1)/2)=∫(0,(y-1)/2)dx=(y-1)/2。当(y-1)/2≥1时，即y≥3时，F(Y≤y)=F(X≤(y-1)/2)=1。所以Y的概率密度函数为当y≤1时，P(y)=(0)"=0。当1＜y＜3时，P(y)=((y-1)/2)"=1/2。当y≥3时，P(y)=(1)"=0。因此随机变量Y服从(1，3)上的均匀分布。扩展资料：单纯的讲概率密度没有实际的意义，它必须有确定的有界区间为前提。可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。参考资料来源：百度百科-概率密度

　1，先求分布函数：　　Y肯定是分布在（1，e）上的，X＝ln(Y)服从均匀分布　　F(X)=P(x<=X)=X；　// X在(0,1)上服从均匀分布　　P(ln(y)<=X)=X； // 代入x=ln(y)，注意是小写的　　P(y<=e^X)=X；// 内部条件变换为以y为变量的　　P(y<=Y)=ln(Y)；// 代入X=ln(Y)，注意是大写的　　即F(Y)=P(y<=Y)=ln(Y)。　2，再求概率密度：　　f(y)=F"(Y)=1/Y；// 概率密度为分布函数的导数　3，检查Y变量的取值　　没有重叠，没有超出，原解正确

密度函数指概率密度函数。密度函数是一段区间的概率除以区间长度，值为正数，可大可小；而分布函数则是可以使用数学分析方法研究随机变量的一种曲线。密度函数一般只针对连续型变量，而分布函数则是既针对连续型也针对离散型随机变量。求解分布函数的时候要进行分类讨论和定积分计算，求解密度函数的时候需要进行求导。概率密度和分布函数的区别是概念不同、描述对象不同、求解方式不同。1、概念不同：概率指事件随机发生的机率，对于均匀分布函数，概率密度等于一段区间(事件的取值范围)的概率除以该段区间的长度，它的值是非负的，可以很大也可以很小；分布函数是概率统计中重要的函数，正是通过它，可用数学分析的方法来研究随机变量。分布函数是随机变量最重要的概率特征，分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律，并且决定随机变量的一切其他概率特征。2、描述对象不同：概率密度只是针对连续性变量而言，而分布函数是对所有随机变量取值的概率的讨论，包括连续性和离散型。3、求解方式不同：已知连续型随机变量的密度函数，可以通过讨论及定积分的计算求出其分布函数；当已知连续型随机变量的分布函数时，对其求导就可得到密度函数。对离散型随机变量而言，如果知道其概率分布（分布列），也可求出其分布函数；当然，当知道其分布函数时也可求出概率分布。

连续型随机变量的概率密度函数（在不至于混淆时可以简称为密度函数）是一个描述这个随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。而随机变量的取值落在某个区域之内的概率则为概率密度函数在这个区域上的积分。当概率密度函数存在的时候，累积分布函数是概率密度函数的积分。概率密度函数一般以小写标记。注意事项：单纯的讲概率密度没有实际的意义，它必须有确定的有界区间为前提。可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。

概率密度函数(probability density function, PDF)是用来描述一个随机变量的概率分布的函数。它满足以下性质：非负性：对于任意的x，f(x) >= 0总和为1：∫f(x)dx = 1 (对连续型随机变量)概率为面积：P(a <= X <= b) = ∫b a f(x)dx (对连续型随机变量)不同的概率分布对应不同的概率密度函数，如正态分布对应高斯分布。

性质：这里指的是一维连续随机变量，多维连续变量也类似。随机数据的概率密度函数：表示瞬时幅值落在某指定范围内的概率，因此是幅值的函数。它随所取范围的幅值而变化。在数学中，连续型随机变量的概率密度函数（在不至于混淆时可以简称为密度函数）是一个描述这个随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。而随机变量的取值落在某个区域之内的概率则为概率密度函数在这个区域上的积分。当概率密度函数存在的时候，累积分布函数是概率密度函数的积分。概率密度函数一般以小写标记。单纯的讲概率密度没有实际的意义，它必须有确定的有界区间为前提。可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。

给，我们学校的课件，幸好我还留着。233

具体解法如下：解题思路：由已知出发得到想要的信息再进一步解答。需要注意的是：单纯的讲概率密度没有实际的意义，它必须有确定的有界区间为前提。可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。扩展资料概率密度函数的相关性质：随机数据的概率密度函数：表示瞬时幅值落在某指定范围内的概率，因此是幅值的函数。它随所取范围的幅值而变化。连续型随机变量取值在任意一点的概率都是0。作为推论，连续型随机变量在区间上取值的概率与这个区间是开区间还是闭区间无关。要注意的是，概率P{x=a}=0，但{X=a}并不是不可能事件。参考资料来源百度百科-概率密度函数百度百科-概率密度

Y的概率密度函数为当1＜y＜3时，P(y)=1/2，y取其他值时，P(y)=0。解：令Y的分布函数为FY(y)。因为Y=2X+1，则FY(y)=F(Y≤y)=F(2X+1≤y)=F(X≤(y-1)/2)。当(y-1)/2≤0时，即y≤1时，F(Y≤y)=F(X≤(y-1)/2)=0。当0＜(y-1)/2＜1时，即1＜y＜3时，F(Y≤y)=F(X≤(y-1)/2)=∫(0,(y-1)/2)dx=(y-1)/2。当(y-1)/2≥1时，即y≥3时，F(Y≤y)=F(X≤(y-1)/2)=1。所以Y的概率密度函数为当y≤1时，P(y)=(0)"=0。当1＜y＜3时，P(y)=((y-1)/2)"=1/2。当y≥3时，P(y)=(1)"=0。因此随机变量Y服从(1，3)上的均匀分布。扩展资料：单纯的讲概率密度没有实际的意义，它必须有确定的有界区间为前提。可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。参考资料来源：百度百科-概率密度

这是标准正态分布密度函数（如图）：如果是计算概率，那就要用分布函数，但是它的分布函数是不能写成正常的解析式的。一般的计算方法就是，将标准正态分布函数的分布函数在各点的值计算出来制成表，实际计算时通过查表找概率。非标准正态分布函数可以转换成标准正态分布再算。正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

对于一维实随机变量X，设它的累积分布函数是 ,如果存在可测函数 满足： ,那么X是一个连续型随机变量，并且 是它的概率密度函数。连续型随机变量的概率密度函数有如下性质：如果概率密度函数fX(x)在一点x上连续，那么累积分布函数可导，并且它的导数：由于随机变量X的取值 只取决于概率密度函数的积分，所以概率密度函数在个别点上的取值并不会影响随机变量的表现。更准确来说，如果一个函数和X的概率密度函数取值不同的点只有有限个、可数无限个或者相对于整个实数轴来说测度为0（是一个零测集），那么这个函数也可以是X的概率密度函数。连续型的随机变量取值在任意一点的概率都是0。作为推论，连续型随机变量在区间上取值的概率与这个区间是开区间还是闭区间无关。要注意的是，概率P{x=a}=0，但{X=a}并不是不可能事件。

概率密度函数仅对连续型（或者分段连续）的随机变量有意义，如果有连续型随机变量的分布函数F(x)，对其求导即为其概率密度函数f(x)

夏的建立时间为约公元前2070年，人物为夏禹

描绘了一个没有阶级，没有剥削，自食其力，自给自足，和平恬静，人人自得其乐的社会，是当时的黑暗社会的鲜明对照，是作者及广大劳动人民所向往的一种理想社会，它体现了人们的追求与想往，也反映出人们对现实的不满与反抗。作者虚构这个故事是有寄托的。他生活在东晋末期战乱纷乘的环境里，中年以后他长期隐居农村，对农村的现实有更深的了解，对人民的愿望更有了切身体会，于是构想出他心目中的理想社会——世外桃源。在这个社会里，没有压迫，没有剥削，没有纷扰；人人各尽所能地参加劳动，老人和孩子都生活得幸福、愉快，人与人之间都极其融洽而友好。但作者又十分清楚地看到，在当时的条件下这样的理想社会是无法实现的。因此在这篇文章里，他既通过渔人的眼睛把这个理想的社会标本展示出来，又以渔人的复寻而迷失否定了它的存在——至少是不在这个现实世界之中。要寻找它就只能飘然高举，《桃花源诗》最后说的“愿言蹑轻风，高举寻吾契”，就是这个意思。不过这也仅仅是意愿而已，谁办得到呢？由此看来，刘子骥之后而无人“问津”，似乎也表达了作者无可奈何的叹惋之情。

百姓生活安定幸福

禹在公元前2070年建立了夏朝。禹死后，他的儿子继承了禹的位置，禅让制成了世袭制，“公天下”变成了“家天下”。

东晋陶渊明的《桃花源记》虽是《桃花源诗》的“序文”，然早已被人们视为精美的散文推崇备至。《桃花源记》是现实主义的，它有故事发生的时间与地点，有故事情节的发生、发展与结局，有故事主人公渔人身份的明确，有名实可稽的刘子骥合乎情理之反应的客观交代，桃花源的自然环境与社会生活无不艺术地折射出现实社会的种种风貌，启迪人们严肃地思索社会思索人生。《桃花源记》又是积极浪漫主义的，它那仿佛真实的故事涂抹着一层神秘虚幻的色彩，亦真亦幻，扑朔迷离，激励人们追求自由幸福的美好生活。作者以现实主义与积极浪漫主义相结合的如椽神笔精心描绘了一幅理想社会的生活画面，美妙神奇而又富有醉人魅力。 作者起笔交代故事发生的时间（晋太元中）、地点（武陵）与主人公（渔人），意在表明故事的真实性，暗示读者“文生于情，情生于境”（清61尤桐《西堂杂俎》三集卷三《苍梧词序》），披文之时应不忘客观现实。渔人既以捕鱼为生，长期披星戴月，风来雨往，周围一带山川河流之形胜当会了然于心，然此次“缘溪行，忘路之远近”，看似不可理解，实则既有现实的折射，又暗示故事的虚幻。或许是因为此溪鱼儿既多且肥，良机难再，渔人迟迟不肯收手；或许是因为渔人一无所获，若空手而返，难向家中饥儿饿妇交差，因而不甘死心，仍是一路撒下渔网去。渔人艰辛的生活，惨淡的家境于此当可想见。不惟“忘路之远近”，渔船进入桃花林也是猛然之间才惊觉的。“忽逢”二字既写出了渔人撒网之专注用心，又将桃花林点染得虚幻迷离，神秘飘忽。抬眼展望两岸，渔人不禁惊奇于清一色的桃林，陶醉于“芳草鲜美，落英缤纷”的多姿多彩的优美环境中，渔人之“甚异之”、“欲穷其林”，固然是极写此处桃花林芳香与色彩的神异，又何尝不能传达出渔人“此景只应天上有，人间难得几回见”的慨叹，进而折射出现实环境之萧瑟、凄凉呢？ 与外界联结的通道之幽深将桃花源渲染得更为神秘。不为人知的无名山洞竟闪烁出忽明忽暗之微光，勉强能通过一个人的小山洞延伸数十步之后竟然另有洞天，确乎神极！作者有意将桃花源涂上神秘的浪漫色彩，显然是在暗示读者：桃花源乃理想境界，并非客观现实社会。渔人进得洞来，但见“土地平旷，屋舍俨然”，其间恰当地点缀着良田、美池、桑竹之类，好一派旖旎的田园风光！这幅静美的画面竟有“鸡犬相闻”之声飘来，撩人情怀。更有那“衣着悉如外人”之男女从从容容“往来种作”，老人们倚墙静坐于阳光下闭目养神，间或悠然地拉扯家常，小孩们则或团坐说笑或追跑嬉戏，好一幅逍遥自在、恬静安乐的生活图景！渔人见此，不免将思维触觉观照士族势力猖獗、战乱不已、百姓涂炭之黑暗现实，于是禁不住艳羡起来，神思悠悠：来到这样一个绮丽、和平的去处，莫非是在做梦吧。诚如清人刘熙载所说：“笔性墨情，皆以其人之性情为本。”（《艺概61书概》）这幅令渔人陶醉的生活画面曲致地折射出现实的丑恶情形，充分传达出作者彻底失望于丑恶现实，毅然归耕田舍之后对平等劳动自由、幸福生活的热切向往。 惊喜于眼前胜境的渔人还未缓过神来，桃花源人已经发现了他这个不速之客。桃花源人始而“大惊，问所从来”，继而热情相邀，“设酒杀鸡作食”以待。“闻有此人”到来，一村人喜气洋洋，奔走相告，纷纷涌来探询消息。听了渔人的一番介绍，桃源人不由得“皆叹惋”起来。叹甚惋啥？何以如此深沉叹惋呢？自秦以来，外界朝代更替之频繁，令他们惊讶莫名；“自先世避秦时乱”“来此绝境”之后“遂与外人间隔”，外界发生了多少大事小事奇事怪事，竟闻所未闻，令他们叹息不止。桃源人在这里流露出来的，既有对自己能够远避动乱之时代、频繁之战乱的庆幸，又有对外界百姓惨遭战争之苦、饱受阶级压迫剥削之深的同情。庆幸也好，同情也罢，桃源人依然视渔人为嘉宾贵友，“余人各复延至其家,皆出酒食”,招待得十分殷勤、周到；桃源人依然深爱自已这个平等劳动、和平自由、充满真诚的温馨社会。他们特别叮嘱渔人“不足与外人道”，他们谁都不希望因为渔人的到来而破坏自己的平静生活。如此淳朴敦厚的民风该是多么美好，这正是作者虔诚思慕的，热切追求的，而狡诈凶险、贫富悬殊之丑恶现实是与之格格不入的。作者将深厚的现实内容自然地融入到对桃花源神妙美丽生活的描写之中。 对渔人来说，在桃花源那些天的生活正赛如天堂神仙的快乐逍遥生活，因此桃源人对他的的叮嘱早被他抛到九霄云外，他在归途中“处处志之”，以期能重返桃源。不仅渔人如此，堂堂太守在闻知渔人这番经历之时，也“即遣人随其往”，高尚之士刘子骥“闻之”，也“欣然规往”。他们对桃花源也是感慨系之，心向往之，也是迫不及待地想寻到桃源去。现实社会之令人失望，遭人厌弃的程度昭然于此，自不待言。只可惜结果是“遂迷，不复得路”，“后遂无问津者”。故事写到这里嘎然而止，留给读者以深长的回味。 陶渊明将桃花源描绘得如此神奇美丽而又飘忽迷离，深深感染读者情绪，强烈振撼读者心灵，关键在于“情融乎内而深且长，景耀于外而真且实。”（清61方东树《昭昧詹言》）它融入了作者全部的人生体验，全部的思想情感，写出了他对黑暗丑恶现实的强烈不满，对自己济世壮志难酬的深沉愤慨，对诚实劳动、和平幸福生活的由衷赞美，对“抱朴含真”美好社会的热情向往。他以饱蘸现实色素的笔墨描绘出桃林去处之神秘，桃林景色之神异，桃源环境之神奇，桃源民风之神美，桃源出而不可复得之神怪，给人留下深刻而鲜活印象，令人好生陶醉。正如钟嵘所评“文体省净，殆无长语。笃意真古，辞兴婉惬，每观其文，想其人德。”（《诗品》）陶渊明以饱蘸陶醉喜悦之情的简约文笔真切描绘出蕴含着厚实的社会人生内容的优美画面，确令人深为感佩。

年轻时的陶渊明本有“大济苍生”之志，可是，他生活的时代正是晋宋易代之际，东晋王朝极端腐败，加深了对人民的剥削和压榨，赋税徭役繁重。在国家濒临崩溃的动乱岁月里，陶渊明的一腔抱负根本无法实现。他仓促而坚决地辞去了上任仅81天的彭泽县令，与统治者最后决裂，长期隐居田园，躬耕僻野。 他虽“心远地自偏”，但“猛志固常在”，仍旧关心国家政事。他从固有的儒家观念出发，产生了对刘裕政权的不满，加深了对现实社会的憎恨。但他无法改变、也不愿干预这种现状，只好借助创作来抒写情怀，塑造了一个与污浊黑暗社会相对立的美好境界，以寄托自己的政治理想与美好情趣。《桃花源记》就是在这样的背景下产生的。

大禹的儿子启建立了夏朝，

对于这个问题，中国学术届有争议，目前公认的是启建立的夏！　　一、支持“夏”是由禹建立的观点 在《中国古代史》（高等院校文科教材上册，福建人民出版社，1985年版）中，朱绍侯先生认为：“夏王朝的建立，从禹开始。”大禹在确立王权的过程中，有继续“征伐三苗”，取得“夏后”地位。在取得王权后，在嵩阳建阳城（河南登封县告成城）建都，之后，对不服从的部落进行了打击，杀防风氏。为巩固王权，禹又沿颍水南下，在淮水中游的涂山，大会夏、夷诸多邦国或部落首领，这称之为“涂山之会”，是所谓“禹合诸侯于涂山，执玉帛者万国”，原来众多部落的首领，到此时，已大都转化为世袭贵族，分别成为各个邦国的君长。他们前来参加大会，对禹朝贡，行臣服的礼节，成为王朝统治下的诸侯。这次大会，乃是夏王朝正式建立的重要标志。　　二、夏朝是启建立的观点 在《中国古代史新编》一书中，（陕西人民出版社，赵文润主编）在“夏朝的建立”这部分内容里，作者赵文润先生对国家的概念作了三方面的概括：（一）国家赖以存在的地域规模大体稳定；（二）经过原始社会末期部落之间的战争，产生了一个比较稳定的最高统治集团；（三）这一集团使赋予他权力的居民成为被统治者并向居民征收贡赋。赵先生认为，“大禹治水”，“使黄河中下游形成一个先进的经济共同体雏形。”在“禅让制”的权力交接过程中，“禹以皋陶为继承人；皋陶卒，禹又以伯益为继承人。禹崩，禹子启贤，而益威望不够，于是诸部落酋长以启为天子。中原部落联盟酋长一职由禅让变为父死子继，这是把一国变成一家私有的开始，也是中国的第一个国家——夏王朝诞生的标志。赵先生认为，禹传子位，并非禹本意，禹作为部落联盟首领时，仍未将一国据为己有，而推举的皋陶早卒，伯益威望才能又不及启，启才轻而易举取得王位，从此，原始社会“公天下”的历史结束，是启开创了“家天下”的历史，夏朝理应是“启”建立的。

安闲，快乐