余弦定理

由正弦定理：a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2R，得：a/（2R）＝sinA，b/（2R）＝sinB，c/（2R）＝sinC。进而得：（a^2＋b^2－2ab×cosC）/（2R）^2＝（sinA）^2＋（sinB）^2－2sinAsinBcosC＝（sinA）^2＋（sinB）^2－2sinAsinBcos（180°－A－B）＝（sinA）^2＋（sinB）^2＋2sinAsinBcos（A＋B）＝（sinA）^2＋（sinB）^2＋2sinAsinB（cosAcosB－sinAsinB）＝（sinA）^2＋（sinB）^2＋2sinAsinBcosAcosB－2（sinAsinB）^2＝［（sinA）^2－（sinAsinB）^2］＋［（sinB）^2－（sinAsinB）^2］＋2sinAcosBcosAsinB＝（sinA）^2［1－（sinB）^2］＋（sinB）^2［1－（sinA）^2］＋2sinAcosBcosAsinB＝（sinAcosB）^2＋（cosAsinB）^2＋2sinAcosBcosAsinB＝（sinAcosB＋cosAsinB）^2＝［sin（A＋B）］^2＝［sin（180°－C）］^2＝（sinC）^2＝c^2/（2R）^2两边同时乘以（2R）^2，得：a^2＋b^2－2ab×cosC＝c^2

“2a·b”其实是向量式，百度打不出来，其值为2|a||b|Cos(π-θ)。

从正弦定理推得海伦公式再从海伦公式推得余弦定理即可

怎么不是?注意是向量的减法。

平面向量证法　　∵有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）∴c·c=(a+b)·(a+b)　　∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)　　（以上粗体字符表示向量）　　又∵Cos(π-θ)=-Cosθ　　∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）　　再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC　　即CosC=(a^2+b^2-c^2)/2*a*b　　同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。定理：a/sinA=b/sinB=c/sinCa2=b2+c2-2bccosA　　例题：在三角形ABC中，已知c=4,b=7,BC边上的中线AD的长为7/2，求变长a　　在三角形ABC中，若a-b=c*cosB - c*cosA,判断三角形的形状　　在三角形ABC中，a是最大边，若a^2＜b^2+c^2，则求A的取值范围　　解：1。因为余弦定理所以(a/2)^2+(7/2)^2-16=(7a/2)*cosADB=-(7a/2)*cosADC=-[(a/2)^2+(7/2)^2-49)]，所以a^2+49=130，所以a^2=81，所以a=9。　　2。因为余弦定理所以cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc，所以(b*a^2+b*c^2-b^3-a*b^2-a*c^2+a^3)/2ab*(a-b)=1，所以(a^2+2ab+b^2-c^2)/2ab=1，所以(a^2+b^2-c^2)/2ab+1=1，所以(a^2+b^2-c^2)/2ab=0，所以a^2+b^2-c^2=0，所以是直角三角形。　　3。设b>c，因为a^2<b^2+c^2，a为最大边，所以b<a<(b^2+c^2)^(1/2)[也就是根号下b^2+c^2]

正弦定理 概述 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 正弦定理(Sine theorem) (1)已知三角形的两角与一边，解三角形 (2)已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形 (3)运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦 余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值 正弦余弦公式 正弦余弦公式证明 正弦定理证明 余弦定理证明

一、教学设计1、教学背景在近几年教学实践中我们发现这样的怪现象：绝大多数学生认为数学很重要，但很难；学得很苦、太抽象、太枯燥，要不是升学，我们才不会去理会，况且将来用数学的机会很少；许多学生完全依赖于教师的讲解，不会自学，不敢提问题，也不知如何提问题。这说明了学生一是不会学数学，二是对数学有恐惧感，没有信心，这样的心态怎能对数学有所创新呢？即使有所创新那与学生们所花代价也不成比例，其间扼杀了他们太多的快乐和个性特长。建构主义提倡情境式教学，认为多数学习应与具体情境有关，只有在解决与现实世界相关联的问题中，所建构的知识才将更丰富、更有效和易于迁移。我们在 2003级进行了“创设数学情境与提出数学问题”教学实验，通过一段时间的教学实验，多数同学已能适应这种学习方式，平时能主动思考，敢于提出自己关心的问题和想法，从过去被动的接受知识逐步过渡到主动探究、索取知识，增强了学习数学的兴趣。2、教材分析“正余弦定理”是普通高中课程标准实验教科书数学必修5的第一章第二节的主要内容，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本节课是“正弦定理、正余弦定理”教学的第二节课，其主要任务是引入并证明正余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识的探究者。教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去思考，参与知识获得的过程。因此，做好“正余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。3、设计思路建构主义强调，学生并不是空着脑袋走进教室的。在日常生活中，在以往的学习中，他们已经形成了丰富的经验，小到身边的衣食住行，大到宇宙、星体的运行，从自然现象到社会生活，他们几乎都有一些自己的看法。而且，有些问题即使他们还没有接触过，没有现成的经验，但当问题一旦呈现在面前时，他们往往也可以基于相关的经验，依靠他们的认知能力，形成对问题的某种解释。而且，这种解释并不都是胡乱猜测，而是从他们的经验背景出发而推出的合乎逻辑的假设。所以，教学不能无视学生的这些经验，另起炉灶，从外部装进新知识，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。 为此我们根据“情境 --问题”教学模式，沿着“设置情境--提出问题--解决问题--反思应用”这条主线，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为红线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境--问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。根据上述精神，做出了如下设计：①创设一个现实问题情境作为提出问题的背景；②启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决问题时需要使用正余弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和他们的夹角，求第三边。③ 为了解决提出的问题，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验，通过作边BC的垂线得到两个直角三角形，然后利用勾股定理和锐角三角函数得出正余弦定理的表达式，进而引导学生进行严格的逻辑证明。证明时，关键在于启发、引导学生明确以下两点：一是证明的起点

一种方法是利用向量的运算另一种较麻烦的方法是利用正弦定理

你好！请您给我把余弦定理的证明过程发过来好吗？

在三角形ABC中，作BC的垂线交BC于D，联结AD，设AD=h。因AB=c,AC=b,BC=a,BD=c*cosB,CD=BC-BD=a-c*cosB,1、证明正弦定理因 h=AB*sinB=AC*sinC,即：c*sinB=b*sinC整理，得：b/sinB=c/sinC,同理可得：c/sinC=a/sinA,故证得正统定理： a/sinA=b/sinB=c/sinC,2、证明余弦定理在三角形ABD中， AB^2=AD^2+BD^2 =h^2+(BD)^2 =[AC^2-(CD)^2]+(BD)^2 =b^2-(a-c*cosB)^2+(c*cosB)^2 =b^2-a^2+2ca*cosB移项，得余弦定理之一： b^2=c^2+a^2-2*c*a*cosB,同理可证： c^2=a^2+b^2-2*a*b*cosC, a^2=b^2+b^2-2*b*c*cosA,证毕。

1.三角形的正弦定理证明：　　步骤1.　　在锐角△ABC中，设三边为a，b，c。作CH⊥AB垂足为点H　　CH=a·sinB　　CH=b·sinA　　∴a·sinB=b·sinA　　得到　　a/sinA=b/sinB　　同理，在△ABC中，　　b/sinB=c/sinC　　步骤2.　　证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：　　如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.　　作直径BD交⊙O于D.　　连接DA.　　因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度　　因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.　　所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R　　a/SinA=BC/SinD=BD=2R　　类似可证其余两个等式。2.三角形的余弦定理证明：平面几何证法：　　在任意△ABC中　　做AD⊥BC.　　∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a　　则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c　　根据勾股定理可得：　　AC^2=AD^2+DC^2　　b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2　　b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB　　b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2　　b^2=c^2+a^2-2ac*cosB　　cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

楼上的已经很不错了

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余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活．对于任意三角形 三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosAb^2=a^2+c^2-2*a*c*CosBc^2=a^2+b^2-2*a*b*CosCCosC=(a^2+b^2-c^2)/2abCosB=(a^2+c^2-b^2)/2acCosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc证明：如图：∵a=b-c ∴a^2=(b-c)^2 （证明中前面所写的a,b,c皆为向量，^2为平方）拆开即a^2=b^2+c^2-2bc再拆开，得a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA同理可证其他，而下面的CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc就是将CosA移到右边表示一下。---------------------------------------------------------------------------------------------------------------平面几何证法：在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosBb^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角一定是直角,如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边所对的角是锐角.即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。

在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosBc，AD=sinBc，DC=BC-BD=a-cosBc根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinBc)^2+(a-cosBc)^2b^2=sin^2Bc^2+a^2+cos^2Bc^2-2accosBb^2=(sin^2B+cos^2B)c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2accosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

1.三角形的正弦定理证明：　　步骤1.　　在锐角△ABC中，设三边为a，b，c。作CH⊥AB垂足为点H　　CH=a·sinB　　CH=b·sinA　　∴a·sinB=b·sinA　　得到　　a/sinA=b/sinB　　同理，在△ABC中，　　b/sinB=c/sinC　　步骤2.　　证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：　　如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.　　作直径BD交⊙O于D.　　连接DA.　　因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度　　因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.　　所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R　　a/SinA=BC/SinD=BD=2R　　类似可证其余两个等式。2.三角形的余弦定理证明：平面几何证法：　　在任意△ABC中　　做AD⊥BC.　　∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a　　则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c　　根据勾股定理可得：　　AC^2=AD^2+DC^2　　b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2　　b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB　　b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2　　b^2=c^2+a^2-2ac*cosB　　cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

你的问题其实百度一下就有。http://wenku.baidu.com/link?url=UxLTXVQGikWhPIFxt3jtHqVLl-dee3xw66Y4kNKcAXRbGQkJtTuJUzjOQWz9rx70cZJQKReAWBfuegVsaNxSGKA0VEQmZfYcGIk3SyOg1fe

任意做三角形ABC，记BC=a，AC=b，AB=c，BC所对角为α，过B做BD⊥AC交AC于点D则有两个直角三角形Rt△ABD与Rt△BDCBD=csinα，AD=ccosα，CD=b-ccosα由勾股定理，BD^2+CD^2=BC^2(csinα)^2+(b-ccosα)^2=b^2-2bccosα+c^2[(sinα)^2+(cosα)^2]=b^2-2bccosα+c^2=a^2即证余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosα同理可证余弦定理其他式子

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活．对于任意三角形 三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosAb^2=a^2+c^2-2*a*c*CosBc^2=a^2+b^2-2*a*b*CosCCosC=(a^2+b^2-c^2)/2abCosB=(a^2+c^2-b^2)/2acCosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc证明：如图：∵a=b-c ∴a^2=(b-c)^2 （证明中前面所写的a,b,c皆为向量，^2为平方）拆开即a^2=b^2+c^2-2bc再拆开，得a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA同理可证其他，而下面的CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc就是将CosA移到右边表示一下。---------------------------------------------------------------------------------------------------------------平面几何证法：在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosBb^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角一定是直角,如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边所对的角是锐角.即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求三角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。余弦定理，欧氏平面几何学基本定理。余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。余弦（余弦函数），三角函数的一种。在Rt△ABC（直角三角形）中，∠C=90°（如概述图所示），∠A的余弦是它的邻边比三角形的斜边，即cosA=b/c，也可写为cosa=AC/AB。余弦函数：f(x)=cosx（x∈R）。

百度百科才是王道

证明余弦定理的方法如下：1、任意作三角形ABC，记BC=a，AC=b，AB=c，BC所对角为α，过B做BD⊥AC交AC于点D则有两个直角三角形Rt△ABD与Rt△BDC。2、BD=csinα，AD=ccosα，CD=b-ccosα由勾股定理，BD^2+CD^2=BC^2（csinα）^2+（b-ccosα）^2=b^2-2bccosα+c^2[（sinα）^2+（cosα）^2]=b^2-2bccosα+c^2=a^2.3、即可证余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosα同理可证余弦定理其它式子。余弦定理，欧氏平面几何学基本定理。余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求三角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。余弦地理的作用：1、已知三角形的三条边长，可求出三个内角。2、已知三角形的两边及夹角，可求出第三边。3、已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。

余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。是勾股定理在一般三角形情形下的推广。 什么是三角形余弦定理 三角形余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。 三角形余弦定理的公式 对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有： a2=b2+c2-bc·cosA b2=a2+c2-ac·cosB c2=a2+b2-ab·cosC 也可表示为： cosC=(a2+b2-c2)/ab cosB=(a2+c2-b2)/ac cosA=(c2+b2-a2)/bc 这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。 如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的(边-边-角)。要小心余弦定理的这种歧义情况。 三角形余弦定理的证明 平面向量证法(觉得这个方法不是很好，平面的向量的公式a·b=|a||b|Cosθ本来还是由余弦定理得出来的，怎么又能反过来证明余弦定理)∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小) ∴c·c=(a+b)·(a+b) ∴c2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|Cos(π-θ) (以上粗体字符表示向量) 又∵Cos(π-θ)=-Cosθ ∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ(注意：这里用到了三角函数公式) 再拆开，得c2=a2+b2-2abcosC 即cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b 同理可证其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。 平面几何证法 在任意△ABC中 做AD⊥BC. ∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC2=AD2+DC2 b2=(sinBc)2+(a-cosBc)2 b2=(sinB*c)2+a2-2accosB+(cosB)2c2 b2=(sinB2+cosB2)c2-2accosB+a2 b2=c2+a2-2accosB cosB=(c2+a2-b2)/2ac

用 向量 正

证明：令三角形ABC的三个角分别为∠A、∠B、∠C，其中∠A对应的边长为a，∠B对应的边长为b，∠C对应的边长为c。那么在三角形ABC中，向量BC=向量AC-向量AB，且|AB|=c，|AC|=b，|BC|=a则BC·BC=(AC-AB)·(AC-AB)，那么|BC|^2=|AC|^2+|AB |^2-2AC·AB，又因为AC·AB=|AC|*|AB|*cosA，a^2=b^2+c^2-2bccosA。同理可用向量证明得到，b^2=a^2+c^2-2bccosB，c^2=b^2+a^2-2bccosC。上述即用向量证明了三角形的余弦定理。扩展资料：1、向量的运算对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，c(x3,y3)则向量的运算法则如下。（1）数量积对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，且a，b之间的夹角为A，那么a·b=b·a、(λa)·b=λ(a·b)、（a+b)·c=a·c+b·c。a·b=|a|·|b|·cosA，（2）向量的加法a+b=b+a、(a+b)+c=a+(b+c)（3）向量的减法a+(-b)=a-b2、正弦定理应用在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，那么a/sinA=b/sinB=c/sinC。且三角形面积S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA。参考资料来源：百度百科-向量

由正弦定理：a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2R, 得：a/（2R）＝sinA,b/（2R）＝sinB,c/（2R）＝sinC. 进而得：（a^2＋b^2－2ab×cosC）/（2R）^2＝（sinA）^2＋（sinB）^2－2sinAsinBcosC ＝（sinA）^2＋（sinB）^2－2sinAsinBcos（180°－A－B） ＝（sinA）^2＋（sinB）^2＋2sinAsinBcos（A＋B） ＝（sinA）^2＋（sinB）^2＋2sinAsinB（cosAcosB－sinAsinB） ＝（sinA）^2＋（sinB）^2＋2sinAsinBcosAcosB－2（sinAsinB）^2 ＝［（sinA）^2－（sinAsinB）^2］＋［（sinB）^2－（sinAsinB）^2］＋2sinAcosBcosAsinB ＝（sinA）^2［1－（sinB）^2］＋（sinB）^2［1－（sinA）^2］＋2sinAcosBcosAsinB ＝（sinAcosB）^2＋（cosAsinB）^2＋2sinAcosBcosAsinB ＝（sinAcosB＋cosAsinB）^2 ＝［sin（A＋B）］^2 ＝［sin（180°－C）］^2 ＝（sinC）^2 ＝c^2/（2R）^2 两边同时乘以（2R）^2,得：a^2＋b^2－2ab×cosC＝c^2

由正弦定理：a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2R, 得：a/（2R）＝sinA,b/（2R）＝sinB,c/（2R）＝sinC. 进而得：（a^2＋b^2－2ab×cosC）/（2R）^2＝（sinA）^2＋（sinB）^2－2sinAsinBcosC ＝（sinA）^2＋（sinB）^2－2sinAsinBcos（180°－A－B） ＝（sinA）^2＋（sinB）^2＋2sinAsinBcos（A＋B） ＝（sinA）^2＋（sinB）^2＋2sinAsinB（cosAcosB－sinAsinB） ＝（sinA）^2＋（sinB）^2＋2sinAsinBcosAcosB－2（sinAsinB）^2 ＝［（sinA）^2－（sinAsinB）^2］＋［（sinB）^2－（sinAsinB）^2］＋2sinAcosBcosAsinB ＝（sinA）^2［1－（sinB）^2］＋（sinB）^2［1－（sinA）^2］＋2sinAcosBcosAsinB ＝（sinAcosB）^2＋（cosAsinB）^2＋2sinAcosBcosAsinB ＝（sinAcosB＋cosAsinB）^2 ＝［sin（A＋B）］^2 ＝［sin（180°－C）］^2 ＝（sinC）^2 ＝c^2/（2R）^2 两边同时乘以（2R）^2,得：a^2＋b^2－2ab×cosC＝c^2

余弦定理证明过程如下：在任意△ABC中，做AD⊥BC。∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a，则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c。根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosBb^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac余弦定理，欧氏平面几何学基本定理。余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求三角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2COSc=(a^2+b^2-c^2)/2abSINc^2=1-COSc^2SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2得证

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活．对于任意三角形三边为a,b,c三角为A,B,C满足性质a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosAb^2=a^2+c^2-2*a*c*CosBc^2=a^2+b^2-2*a*b*CosCCosC=(a^2+b^2-c^2)/2abCosB=(a^2+c^2-b^2)/2acCosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc证明：如图：∵a=b-c∴a^2=(b-c)^2（证明中前面所写的a,b,c皆为向量，^2为平方）拆开即a^2=b^2+c^2-2bc再拆开，得a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA同理可证其他，而下面的CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc就是将CosA移到右边表示一下。---------------------------------------------------------------------------------------------------------------平面几何证法：在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosBb^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角一定是直角,如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边所对的角是锐角.即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。这是百度上的，有些时候自己百度下就好了，希望能帮到你

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活．对于任意三角形 三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosAb^2=a^2+c^2-2*a*c*CosBc^2=a^2+b^2-2*a*b*CosCCosC=(a^2+b^2-c^2)/2abCosB=(a^2+c^2-b^2)/2acCosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc证明：如图：∵a=b-c ∴a^2=(b-c)^2 （证明中前面所写的a,b,c皆为向量，^2为平方）拆开即a^2=b^2+c^2-2bc再拆开，得a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA同理可证其他，而下面的CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc就是将CosA移到右边表示一下。---------------------------------------------------------------------------------------------------------------平面几何证法：在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosBb^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角一定是直角,如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边所对的角是锐角.即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。

用最基本的三角公式，添一条高，然后把被高分成2部分的那条边设为x，和c-x，然后列个关于x的方程，再将出来的结果往公式上凑很容易。也可以看下百度百科，http://baike.baidu.com/view/52606.htm不过没啥意思，初一的能力应该完全能推出来了

余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活．对于任意三角形三边为a,b,c三角为A,B,C满足性质a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosAb^2=a^2+c^2-2*a*c*CosBc^2=a^2+b^2-2*a*b*CosCCosC=(a^2+b^2-c^2)/2abCosB=(a^2+c^2-b^2)/2acCosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc证明：∵a=b-c∴a^2=(b-c)^2（证明中前面所写的a,b,c皆为向量，^2为平方）拆开即a^2=b^2+c^2-2bc再拆开，得a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA同理可证其他，而下面的CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc就是将CosA移到右边表示一下。平面几何证法：在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosBb^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角一定是直角,如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边所对的角是锐角.即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。注：a^2；b^2；c^2就是a的2次方;b的2次方；c的2次方

平面几何证法：在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosBb^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角一定是直角,如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边所对的角是锐角.即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。这是百度上的，有些时候自己百度下就好了，希望能帮到你参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/46903751.html?an=0&si=3

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活．对于任意三角形三边为a,b,c三角为A,B,C满足性质a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosAb^2=a^2+c^2-2*a*c*CosBc^2=a^2+b^2-2*a*b*CosCCosC=(a^2+b^2-c^2)/2abCosB=(a^2+c^2-b^2)/2acCosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc证明：如图：∵a=b-c∴a^2=(b-c)^2（证明中前面所写的a,b,c皆为向量，^2为平方）拆开即a^2=b^2+c^2-2bc再拆开，得a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA同理可证其他，而下面的CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc就是将CosA移到右边表示一下。---------------------------------------------------------------------------------------------------------------平面几何证法：在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosBb^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角一定是直角,如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边所对的角是锐角.即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。这是百度上的，有些时候自己百度下就好了，希望能帮到你

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如图1，△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC，则j与向量AB的夹角为90°－A，j与向量CB的夹角为90°－C由图1，AC+CB=AB（向量符号打不出）在向量等式两边同乘向量j,得·j·AC＋CB=j·AB∴│ｊ││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)=│j││AB│cos(90°-A)∴asinC=csinA∴a/sinA=c/sinC同理，过点C作与向量CB垂直的单位向量j，可得c/sinC=b/sinB∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

　　余弦定理：对于任意三角形,任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积.余弦定理证明：　　在任意△ABC中,做AD⊥BC.　　∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a .　　则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：　　AC^2=AD^2+DC^2　　b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2　　b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2　　b^2=(sinB2+cosB2)*c^2-2ac*cosB+a^2　　b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

余弦定理的证明方法，内容如下：如图，在锐角△ABC中，作AD⊥BC于D，则CD＝bcosC，AD＝bsinC，在△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2＋AD2，即AB2＝(a-bcosC)2＋(bsinC)2＝a2-2abcosC＋b2cos2C＋b2sinC2＝a2-2abcosC＋b2，即c2＝a2＋b2-2abcosC。当C重合于D时，在Rt△ABC中，∠C＝90°，因cosC＝0，所以c2＝a2＋b2。当C在D左侧时，△ABC为钝角三角形，如图3所示，∠ACD＝180°-C，cos∠ACD＝cos(180°-C)＝-cosC，sin∠ACD＝sin(180°-C)＝sinC，所以CD＝bcos(180°-C)＝-bcosC，AD＝b sin(180°-C)＝b sinC，在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2＋AD2，即AB2＝(a-bcosC)2＋(bsinC)2＝a2-2abcosC＋b2cos2C＋b2sinC2＝a2-2abcosC＋b2，即c2＝a2＋b2-2abcosC。

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积;平面向量证法:设向量AB＝c;AC=b,BC=a;∵有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小) ∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)又∵Cos(π-θ)=-Cosθ∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ，（以上a,b,c都表示向量）再拆开，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC（此处a,b,c表示边）同理可证其它公式；

余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。余弦定理证明方法如图所示：如图，在锐角△ABC中，作AD⊥BC于D，则CD＝bcosC，AD＝bsinC，在△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2＋AD2，即AB2＝(a-bcosC)2＋(bsinC)2＝a2-2abcosC＋b2cos2C＋b2sinC2＝a2-2abcosC＋b2，即c2＝a2＋b2-2abcosC。

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。该图中，a与b应互换位置　　对于任意三角形三边为a,b,c三角为A,B,C满足性质　　a2=b2+c2-2*b*c*CosA　　b2=a2+c2-2*a*c*CosB　　c2=a2+b2-2*a*b*CosC　　CosC=(a2+b2-c2)/2ab　　CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac　　CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc　　证明：　　∵如图，有a→+b→=c→　　∴c·c=(a+b)·(a+b)　　∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|Cos(π-θ)　　整理得到c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）　　再拆开，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC　　同理可证其他，而下面的CosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。　　---------------------------------------------------------------------------------------------------------------　　平面几何证法：　　在任意△ABC中　　做AD⊥BC.　　∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a　　则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c　　根据勾股定理可得：　　AC2=AD2+DC2　　b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2　　b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2-2ac*cosB　　b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2　　b2=c2+a2-2ac*cosB　　cosB=(c2+a2-b2)/2ac　　从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。　　注：a^2；b^2；c^2就是a的2次方、b的2次方、c的2次方；a*b、a*c就是a乘b、a乘c

在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosBb^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

正弦定理可用面积法, S ABC=ab sinC/2=ac sinB/2 两边除以abc/2即可. 余弦定理可用勾股定理证明.

同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。 用向量 (AB向量）=（AC向量）—（AB向量） 等式两边同时平方 再整理一下 OVER!

在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosBb^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

(d^2)=((acos(α)-bcos(β))^2)+((asin(α)-bsin(β))^2)=(a^2)((cos(α))^2)+(b^2)((cos(β))^2)+(a^2)((sin(α))^2)+(b^2)((sin(β))^2)-2abcos(α)cos(β)-2absin(α)sin(β)=(a^2)+(b^2)-2abcos(α-β)=(a^2)+(b^2)-2abcos(θ)

答案：解析： 　　探究：第一步：建立坐标系(不妨设ABC三点为逆时针方向) 　　以A为坐标原点，AB为x轴建立坐标系．则A(0，0)，B(c，0)． 　　第二步：用三角形的元素来表示各点的坐标 　　易得A(0，0)，B(c，0)．下面我们来确定C点的坐标，为此我们过点C作CD⊥x轴于D，我们对角A分锐角、直角、钝角三种情况来讨论，座标图如所示： 　　当∠A为锐角时，则点C(x，y)在第一象限内 　　x＝AD＝|bcosA|＝bcosA，y＝DC＝|bsinA|＝bsinA． 　　所以点C的坐标为C(bcosA，bsinA)； 　　当∠A为直角时，则点C(x，y)在y轴正半轴上C(0，b) 　　也可以表示成C(bcosA，bsinA)； 　　当∠A为钝角时，则点C(x，y)在第二象限内． 　　|x|＝AD＝|bcos(π－A)|＝|bcosA|＝－bcosA 　　∴x＝bcosA，而y＝DC＝|bsinA|＝bsinA 　　所以点C的坐标为C(bcosA，bsinA)． 　　故无论∠A为锐角、直角、钝角，点C的坐标都为C(bcosA，bsinA)． 　　第三步：利用两点间距离公式建立等量关系 　　a2＝CB2＝(c－bcosA)2＋(bsinA)2 　　＝c2－2bccosA＋b2cos2A＋b2sin2A 　　＝c2－2bccosA＋b2(cos2＋sin2A) 　　＝c2－2bccosA＋b2 　　同理：b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC完成证明． 　　探究小结：坐标法是将几何问题转化为代数计算的重要手段，通过建立平面直角坐标系，将图形中的点线关系的几何问题转换成对其坐标的代数运算处理．

证明：如图：∵a=b-c ∴a^2=(b-c)^2 （证明中前面所写的a,b,c皆为向量，^2为平方）拆开即a^2=b^2+c^2-2bc再拆开，得a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA同理可证其他，而下面的CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc就是将CosA移到右边表示一下。---------------------------------------------------------------------------------------------------------------平面几何证法：在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosBb^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

1,AB+BC=AC(全是向量)两边平方展开就能得到余弦定理了2,利用正弦定理AB^2+AC^2-2AB*ACcosA=4R^2[(sinC)^2+(sinB)^2-2sinCsinBcosA]=4R^2[(sinC)^2+(sinB)^2-2sinCsinB(-cos(B+C))]=4R^2[(sinC)^2+(sinB)^2-2sinCsinB(-cosBcosC+sinBsinC)]=4R^2[(sinC)^2+(sinB)^2+2sinBsinCcosBcosC-2(sinCsinB)^2]=4R^2[(sinCcosB)^2+(sinBcosC)^2+2sinBsinCcosBcosC]=4R^2(sinCcosB+sinBcosC)^2=4R^2(sinA)^2=BC^2

就是COSX啊,就是一条直角边比一条斜边啊

平行四边形法则，测分力和合力大小，然后比较。不知道是不是你想要的。

逆时针作一三角形abc,a为上面的顶点.设向量cb=a,ca=b,ab=c,那么c=a-b,|c|^2=c*c=(a-b)*(a-b)=a*a+b*b-2a*b=a^2+b^2-2abcosc.所以c^2=a^2+b^2-2abcosc其余两个同理可证．

　逆时针作一三角形ABC,A为上面的顶点.设向量CB=a,CA=b,AB=c,那么c=a-b,|c|^2=c*c=(a-b)*(a-b)=a*a+b*b-2a*b=a^2+b^2-2abcosC.所以c^2=a^2+b^2-2abcosC其余两个同理可证．

勾股定理衍生

下面a、b、c都表示向量,|a|、|b|、|c|表示向量的模因为a=b-c 所以a^2＝(b-c)^2 = b^2 +c^2 -2*bc所以|a|^2＝|b|^2 + |c|^2 -2*|b|*|c|*cosa其它以此类推。

余弦定理的三次推导（高中数学）lt;/Bgt;2006-11-17 13:02:38 阅读975次 2000-2005年笔者先后三次任教高一数学，每轮教学时，都在新课程理念指导下对上一轮的教学进行反思与改进，争取在原有基础上有所突破。下面是笔者在“余弦定理的推导”的三轮教学中，不断实践、反思、再实践，尝试激活数学课堂教学的三个课例。教学片段：余弦定理的第一次推导提问：在ΔABC中，若已知BC=a，AC=b，∠ACB=C，能否求出三角形的第三边AB的长？教师讲解：把ΔABC放在直角坐标系中，使顶点A与坐标原点重合，顶点C落在OX轴的正半轴上，顶点B落在OX轴上方：y B C（b，0） B（ccosA，csinA）∴ a2= b2+c2 -2bccosA Ao C x 同理 b2= c2+a2 –2cacosB 余弦定理c2= a2+b2 –2abcosC 这种方法，我们称为坐标法，它是处理几何问题的一种常见的重要方法。笔者在第一次讲授余弦定理的推导过程是按照教材借助于平面直角坐标系，采用坐标法直接得证的。从课堂效果来看，同学们对运用坐标法来推导余弦定理这一数形结合的思想方法很快接受，其后大量的教学时间可以投入到运用余弦定理解三角形的练习中。而余弦定理的推导过程犹如昙花一现，逐渐被学生忽略和忘却。在以后的学习中，几乎很少有同学能具体说出定理的推导过程，同时，同学们仍旧不习惯用坐标法来解决一些实际问题。因此，这堂课只是让学生接受了余弦定理的内容，而在数学思想方法的点拨培养，即让学生对坐标法的领悟是失败的。因此，笔者在第二次讲授余弦定理的推导时做了新的尝试。教学片段：余弦定理的第二次推导一、创设情境，提出问题教师活动：某工程师设计一条现代化铁路通过某座山，要预算开凿隧道BC的长， 测量人员所处的测量点为A，测得：AB=c，AC=b，∠BAC=A。如果你是工程师，你将如何计算隧道BC的长？二、探索解法，提升认识学生活动：学生找熟悉方法入手，把“斜三角形转化成两个直角三角形”，运用勾股定理和锐角三角形来证明。师生共同活动：由学生交流、讨论，发现此种方法必须对∠A分三种情况讨论，才是完整的证明。若∠A是直角 若∠A是锐角 若∠A是钝角BC2=b2+c2 BC2=b2+c2 -2bccosA BC2=b2+c2 -2bccosA通过三种情况的分类讨论，说明无论∠A是直角、锐角、钝角，都有a2=b2+c2 -2bccosA教师活动（总结点拨）：此种证明化一般为特殊，又渗透分类讨论思想，是证明余弦定理的好方法，但证明过程显得十分累赘。同学们能否想个办法避开讨论，不管∠A是锐角、直角还是钝角，都可以将它们统一起来？学生活动：把角统一，三角比定义可以做到，但必须建立直角坐标系。学生板演：把ΔABC放在直角坐标系中，使顶点A与坐标原点重合，顶点C落在OX轴的正半轴上，顶点B落在OX轴上方：y B C（b，0） B（ccosA，csinA）∴ a2= b2+c2 -2bccosA A O C x 同理 b2= c2+a2 –2cacosB 余弦定理c2= a2+b2 –2abcosC 教师活动：这种方法，我们称之为坐标法，它是处理几何问题的一种常见的重要方法。从课堂效果来看，同学们从安静地听课到积极地配合，从被动地接受到主动地思考。从课后同学反馈来看，同学们纷纷表示对余弦定理的推导过程留下了深刻的印象，感悟到重视数学思想方法要比数学结果的记忆和运用更为重要，而且更吸引他们。从第一次教学后同学们对数学精彩的毫无感觉到第二次教学后同学们对数学思想方法的领悟。无疑，第二次教学实践是有所提高的。而提高正是来自于新课程理念的指导。首先，新课程指出一堂好课应该是学生探索世界的窗口。给予学生新的视野、新的启迪比知识本身的传授更为重要。因此，笔者的第二次教学尝试，将教学重心置于余弦定理的推导过程。从重数学结果转变为重技能、方法的培养。其次，新课程强调课堂教学向生活的回归，只有植根于生活世界并为生活世界服务的课程和教学，才能具有深厚的生命力。因此，笔者创设了一个“现实的、有意义的、富有挑战性的”问题情境，从教学内容的结构、呈现方式上进行转变。做到情境化、问题化，让学生体验生活中处处有数学。再次，新课程关注学生的学习兴趣和经验，强化直接经验和间接经验的有机整合。因此，在解决实际问题的过程中，鼓励学生从已有的数学经验出发，使得学生能很自然且有信心地投入到探索问题、发现问题和解决问题的过程中。在合作、交流、完善的过程中，让学生体会原有经验在解决问题中的不足，从而激发学生另辟新径、探求新知，进而化解矛盾、化繁为简。在坐标法的探究中，让学生领悟到坐标法解决几何问题比以往用初中几何知识解决，所具有独特的魅力和优越性；更从中领悟到高中阶段学习任意角的三角比的实质意义。在经历了探究、体验、感悟后，同学们的间接经验经过整合、充实、提升为直接经验，并使直接经验不断丰富、发展、升华，从而实现知识与能力的统一。然而，第二天的课前回顾，在讲述余弦定理表达式的回答中，从几位同学吱吱唔唔的回答中，笔者又发现了新问题。在注重余弦定理推导方法的比较时，却忽略了余弦定理本身。新课程明确指出：“将课程与学习融为一体，要展示知识的生成、发展和形成的过程，提供学生亲身感受、体验的机会。”因此，笔者的第三次教学尝试，在备课时重点放在了余弦定理身上。而如何创设一个余弦定理生成的场景，让学生去自主发现、自主探究，则是问题的关键。但这一问题过去从未思考过，各类书籍参考书也从未揭示过余弦定理的来源，确实它让笔者面临一项很大的挑战。然而“功夫不负有心人”，终于在一次翻阅过去教案时，灵感降临了。笔者被余弦定理的一个相关结论所吸引：“在三角形ABC中，若a2= b2+c2，则∠A是直角；若a2gt;b2+c2，则∠A是钝角；若a2lt; b2+c2，则∠A是锐角”。这个学生显见的结论，它的证明与余弦定理的关系，三个条件式变化的背后，不正是笔者所要找的吗？因此，笔者在第三次讲授余弦定理的推导时又做了新的尝试。教学片段：余弦定理的第三次推导一、引导学生，发现余弦定理的存在教师活动：在ΔABC中，若已知BC=a，AC=b，能否求出三角形的第三边AB的长？学生活动：不能，因为三角形的大小、形状不能确定。教师活动：不能，那么添加哪一个角的条件，一定能求出三角形的第三边。学生活动：根据三角形的判定定理，只能添加BC、AC的夹角C。教师活动：既然c边可由a、b及∠C唯一确定，那么对于这类问题是否也像正弦定理一样，存在某个定理、公式可以解这种三角形？二、引导学生，探究、猜想余弦定理的形式教师活动：（几何画板展示，在ΔABC中，AC、BC长度固定不变，BC绕C点转动，AB的长度随∠C 的变化而变化），这一变化揭示AB的长度与∠C之间是怎样的数学关系？ 学生活动：AB应为∠C的函数教师活动：（几何画板的数据演示：当∠C=90°时，c2=a2+b2； 当∠Clt;90°时，c2lt;a2+b2；当∠Cgt;90°时，c2gt;a2+b2；）师生共同活动：教师组织学生观察、讨论，引导学生归纳、猜想函数关系式。学生活动：猜想c2=a2+b2+f( ) 师生共同活动：师生共同探究f( )的具体形式。（1）f( )=？（2）f( )与 的哪个三角函数有关？学生活动：学生交流、讨论，联想各个三角函数得出以下结论：（1）f( )与 的余弦值有关；（2）f( )=cosC（3）f( )=cos （4）f( )= kcos 学生经过交流、讨论、探究，一致认为f( )= kcos 即c2=a2+b2+kcos （kgt;0）教师活动：那么k又是什么形式？如何确定k呢？学生活动：（学生分组讨论，探求k）有学生由特殊值着手，发现：（1）当C=30°， c2=a2+b2- bc（2）当C=60°， c2=a2+b2-bc（3）当C=120°，c2=a2+b2+bc（4）当C=150°，c2=a2+b2+ bc有学生由临界状态发现：当C=0°或当C=180°时，k=2ab学生经过分析，大胆地猜想：c2=a2+b2-2abcosC三、鼓励学生，探究余弦定理的证明教师活动：数学猜想富于创造性，能够提供大量的新视点、有价值的设想，但是其成果必须经过严格的论证，只有经过论证的东西才是数学上可以接受的。学生活动：（学生找熟悉的方法入手，把“斜三角形转化成两个直角三角形”，运用勾股定理和锐角三角形来证明）师生共同活动：由学生讨论此种方法必须对∠C分三种情况讨论，才是完整的证明。教师活动（总结点拨）：此种证明化一般为特殊，又渗透分类讨论思想，是证明余弦定理的好方法，但证明过程十分累赘。能否避开讨论，不管∠C是锐角、直角还是钝角，都可以将它们统一起来？学生活动：把角统一，三角比定义可以做到，但必须建立直角坐标系。学生板演：把ΔABC放在直角坐标系中，使顶点A与坐标原点重合，顶点C落在OX轴的正半轴上，顶点B落在OX轴上方：y B C（b，0） B（ccosA，csinA）∴ a2= b2+c2 -2bccosA A o C x 同理 b2= c2+a2 –2cacosB 余弦定理c2= a2+b2 –2abcosC 教师活动：我们称之为坐标法，它是处理几何问题的一种常见的重要方法。从课堂效果来看，同学们情绪高涨、思维活跃，全身心地投入到探索问题、发现问题和解决问题的过程中。同学们从积极地配合到主动的探究，从单一思考到合作交流。从课后同学反馈来看，同学们纷纷欣喜地表示“原来数学可以这样学”、“原来数学规律的发现我也行”、“余弦定理我是一辈子也不会忘的”。对余弦定理的发现、猜想、论证过程留下了极为丰富的印象，体验到主动探究、合作交流这些学习方式的充实和快乐。从第二次教学后同学们对数学思想方法的感悟到第三次教学后同学们对数学学科的魅力的由衷向往。无疑，第三次教学实践是成功的。而成功更是来自于对新课程理念的追求。首先，新课程重视数学知识的生成、发展和形成的过程，提供学生亲身感受、体验的机会。因此，笔者的第三次教学尝试，将整堂教学内容定为余弦定理的推导过程。从重数学结果转变为重知识的发生、发展过程，在知识发生、发展的过程体验中，达成知识、技能、方法的提高。而这一过程的创设，则是教师钻研的真正所在，也是教师智慧的真正体现。其次，新课程积极营造“涌动着生命活力”的课堂教学。在笔者所创设的余弦定理生成的场景中，同学们释放出前所未有的积极性、创造性和想象力，在“浮想联翩”、“怦然心动”、“百感交集”、“妙不可言”的情感变化中，完成了余弦定理的猜想；在“茅塞顿开”、“豁然开朗”、“悠然心会”、“深得我心”的情感体验中，完成了余弦定理的证明。而师生之间心灵的共鸣和思维的共振，已使课堂成为师生之间生命相遇、心灵相约、质疑解难、探寻真理的场所。再次，新课程提倡让主动探究成为学生的学习方式。从第三次教学现场来看，笔者亲身感受到探究活动在学生身上激发出的学习热情，更发现了在经历探究活动的过程中学生身上焕发出巨大的学习潜质。作为新课程提倡的一种学习方式，要求教师不断引导和指导学生去主动探究，更期待着它能内化为学生经验系统的一部分，成为学生的一种学习习惯。余弦定理三次推导三次变化，变化不仅仅来自推导方法的不同，变化更是来自于设计理念的更新、教师角色的转变和学生学习方式的改变。变化最终让数学课堂焕发生命活力。作者：王 静 单位：天山中学

定理：a/sinA=b/sinB=c/sinCa2=b2+c2-2bccosA例题：在三角形ABC中，已知c=4,b=7,BC边上的中线AD的长为7/2，求变长a在三角形ABC中，若a-b=c*cosB-c*cosA,判断三角形的形状在三角形ABC中，a是最大边，若a^2＜b^2+c^2，则求A的取值范围解：1。因为余弦定理所以(a/2)^2+(7/2)^2-16=(7a/2)*cosADB=-(7a/2)*cosADC=-[(a/2)^2+(7/2)^2-49)]，所以a^2+49=130，所以a^2=81，所以a=9。2。因为余弦定理所以cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc，所以(b*a^2+b*c^2-b^3-a*b^2-a*c^2+a^3)/2ab*(a-b)=1，所以(a^2+2ab+b^2-c^2)/2ab=1，所以(a^2+b^2-c^2)/2ab+1=1，所以(a^2+b^2-c^2)/2ab=0，所以a^2+b^2-c^2=0，所以是直角三角形。3。设b>c，因为a^2<b^2+c^2，a为最大边，所以b<a<(b^2+c^2)^(1/2)[也就是根号下b^2+c^2]

（a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，R就是圆的半径啊），但是余弦定理貌似不能用圆来证明……正弦定理的证明：在任意△ABC中，作△ABC外接圆，作圆的直径BD，连接CD，则A=D（∠A=∠D）又有∠BCD=90°，所以△BCD为直角三角形，sinD=a/BD=a/2R∴a/sinA=2R同理b/sinB=2R,c/sinC=2R，可得出a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

用向量 (AB向量）=（AC向量）—（AB向量） 等式两边同时平方 再整理一下 OVER!

正弦定理： http://163.32.74.20/cfc/sinelaw/sinelaw.html 余弦定理： http://163.32.74.20/cfc/cosinelaw/cosinelaw.html 和积互化公式： http://163.32.74.20/cfc/plusanddot/plusanddot.html

解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍；或在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2cacosB，c2=a2+b2-2abcosC．证法一：如图，a2＝BC2=(AC?AB)?(AC?AB)=AC2?2AC?AB+AB

BC=AC-ABBC^2=(AC-AB)^2=AC^2-2AC*AB+AB^2a^2=b^2-2bccosA+c^2

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍余弦定理证明平面向量证法：∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)（以上粗体字符表示向量）又∵Cos(π-θ)=-CosC∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。平面几何证法：在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosBb^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac余弦定理的作用(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角；(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边.例如：已知△ABC的三边之比为：2：1，求最大的内角.解设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=:2:1.由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角.由余弦定理cosA==-所以∠A=120°.再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=π3,求BC之长.解由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cosA=4+9-2×2×3×=7，所以BC=7.以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用.其他从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。

答：余弦定理的证明如下。余弦定理和正弦定理在运用的过程中，通过是和三角函数联系在一起，通过余弦和正弦的定义以及使用特点，求出关于三角形以及面积函数关系式。本文主要从向量法、三角函数法、辅助圆法来讲解证明余弦定理！1、向量法2、三角函数法3、辅助圆法余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理。直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其他知识，则使用起来更为方便、灵活。

余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍；或在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2cacosB，c2=a2+b2-2abcosC．证法一：a2=BC2=(AC-AB)2=AC2+AB2-2AB AC=b2-2bccosA+c2即a2=b2+c2-2bccosA同理可证b2=c2+a2-2cacosB，c2=a2+b2-2abcosC；证法二：已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C（bcosA，bsinA），B（c，0），∴a2=|BC|2=（bcosA-c）2+（bsinA）2=b2+c2-2bccosA=b2cos2A-2bccosA+c2+b2sin2A，同理可证b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC．求采纳为满意回答。

余弦定理的证明方法，内容如下：如图，在锐角△ABC中，作AD⊥BC于D，则CD＝bcosC，AD＝bsinC，在△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2＋AD2，即：AB2＝(a-bcosC)2＋(bsinC)2＝a2-2abcosC＋b2cos2C＋b2sinC2＝a2-2abcosC＋b2，即c2＝a2＋b2-2abcosC。当C重合于D时，在Rt△ABC中，∠C＝90°，因cosC＝0，所以c2＝a2＋b2。当C在D左侧时，△ABC为钝角三角形，如图3所示，∠ACD＝180°-C，cos∠ACD＝cos(180°-C)＝-cosC，sin∠ACD＝sin(180°-C)＝sinC。所以CD＝bcos(180°-C)＝-bcosC，AD＝b sin(180°-C)＝b sinC，在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2＋AD2，即AB2＝(a-bcosC)2＋(bsinC)2＝a2-2abcosC＋b2cos2C＋b2sinC2＝a2-2abcosC＋b2，即c2＝a2＋b2-2abcosC。

tan=对边/邻边(直角) sin==对边/斜边 cos==邻边/斜边 cot==邻边/对边

余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。该图中，a与b应互换位置 对于任意三角形 三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质 (注：a*b、a*c就是a乘b、a乘c 。a^2、b^2、c^2就是a的平方，b的平方，c的平方。) a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc 证明： ∵如图，有a→+b→=c→ ∴c·c=(a+b)·(a+b) ∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ) 整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式） 再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC 同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 平面几何证法： 在任意△ABC中 做AD⊥BC. ∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac 从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。勾股定理 勾股定理: 在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，作为一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形中较短得直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。 定理： 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a+b=c; 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 如果三角形的三条边a，b，c满足a+b=c ，那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理）最早的勾股定理 从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。例如公元前1700年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D。问下端（C）离墙根（B）多远？”他们解此题就是用了勾股定理，如图 设AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，则BD=l-h=5-1米=4米 a=√[l-（l-h)]=√[5-(5-1)]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股形。《周髀算经》简介 勾股。 《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。 《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法。[编辑本段]伽菲尔德证明勾股定理的故事 1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边长分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答道：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。 于是，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 如下: 解：在网格内，以两个直角边为边长的小三角形面积，等于以斜边为边长的的三角形面积。 勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方， a^2;+b^2;=c^2; 说明：我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理成为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。 举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c= a+b=9+16=25 则说明斜边为5。勾股定理部分习题 第一章 勾股定理一、 勾股定理的内容，勾股定理是怎样得到的，从定理的证明过程中你得到了什么启示？ 练习: 1、在△ABC中,∠C =90°. (1) 若a =2,b =3则以c为边的正方形面积是多少? (2) 若a =5,c =13.则b是多少? .(3) 若c =61,b =11.则a是多少? (4) 若a∶c =3∶5且c =20则 b 是多少? (5) 若∠A =60°且AC =7cm则AB = ＿cm，BC = ＿cm. 2、直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和10cm.则斜边上的高等于 ＿cm. 3、等腰三角形的周长是20cm,底边上的高是6cm,则底边的长为 ＿cm. 4、△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB=12cm,则BC边上的高AD = ＿cm. 5、已知：△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC= ,DB=2cm ,则BC＝＿ cm, AB= ＿cm, AC= ＿cm. 6、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为_______。 7、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高________米。 8、已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A、25 B、14 C、7 D、7或25 9、小丰妈妈买了一部29英寸(74cm)电视机,下列对29英寸的说法中正确的是 A. 小丰认为指的是屏幕的长度; B. 小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度; C. 小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长; D. 售货员认为指的是屏幕对角线的长度 二、 你有几种证明一个三角形是直角三角形的方法？ 练习： （×经典练习×） 据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五，后人概括为“勾三，股四，弦五”。 （1）观察：3、4、5、，5、12、13、，7、24、25，……发现这几组勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5（9＋1）与0.5（25－1）、0.5（25＋1），并根据你发现的规律，分别写出能表示7、24、25这一组数的股与弦的算式。 （2）根据（1）的规律，若用n(n为奇数且n≥3)来表示所有这些勾股数的勾，请你直接用含n的代数式来表示它们的股和弦。 答案： （1） 0.5（9+1）∧2+0.5（25-1）∧2=169=0.5（25+1）∧2 0.5（13+1）∧2+0.5（49-1）∧2=0.5（49+1）∧2 （2） 股：0.5（n^2-1) 弦：0.5（n^2+1） 三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形. 1、在ΔABC中,若AB2 + BC2 = AC2,则∠A + ∠C＝ °。 2、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（ ） （A） 直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D)以上答案都不对 已知三角形的三边长分别是2n+1,2n +2n, 2n +2n+1（n为正整数）则最大角等于_________度. 三角形三个内角度数比为1:2:3,它的最大边为M,那么它的最小边是_____. 斜边上的高为M的等腰直角三角形的面积等于_____. 3、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积。 美国总统的证明方法图各具特色的证明方法三角学里有一个很重要的定理，我国称它为勾股定理，又叫商高定理。因为《周髀算经》提到，商高说过"勾三股四弦五"的话。下面介绍其中的几种证明。 最初的证明是分割型的。设a、b为直角三角形的直角边，c为斜边。考虑下图两个边长都是a+b的正方形A、B。将A分成六部分，将B分成五部分。由于八个小直角三角形是全等的，故从等量中减去等量，便可推出：斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和。这里B中的四边形是边长为c的正方形是因为，直角三角形三个内角和等于两个直角。如上证明方法称为相减全等证法。B图就是我国《周髀算经》中的“弦图”。 下图是H．珀里加尔（Perigal）在1873年给出的证明，它是一种相加全等证法。其实这种证明是重新发现的，因为这种划分方法，labitibn Qorra（826～901）已经知道。（如：右图）下面的一种证法，是H61E61杜登尼（Dudeney）在1917年给出的。用的也是一种相加全等的证法。 如右图所示，边长为b的正方形的面积加上边长为a的正方形的面积，等于边长为c的正方形面积。 下图的证明方法，据说是L61达61芬奇（da Vinci, 1452～1519）设计的，用的是相减全等的证明法。 欧几里得（Euclid）在他的《原本》第一卷的命题47中，给出了勾股定理的一个极其巧妙的证明，如次页上图。由于图形很美，有人称其为“修士的头巾”，也有人称其为“新娘的轿椅”，实在是有趣。华罗庚教授曾建议将此图发往宇宙，和“外星人”去交流。其证明的梗概是： (AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。 同理，(BC)2=KEBL 所以 (AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2 印度数学家兼天文学家婆什迦罗（Bhaskara，活跃于1150年前后）对勾股定理给出一种奇妙的证明，也是一种分割型的证明。如下图所示，把斜边上的正方形划分为五部分。其中四部分都是与给定的直角三角形全等的三角形；一部分为两直角边之差为边长的小正方形。很容易把这五部分重新拼凑在一起，得到两个直角边上的正方形之和。事实上， 婆什迦罗还给出了下图的一种证法。画出直角三角形斜边上的高，得两对相似三角形，从而有 c/b=b/m， c/a=a/n, cm=b2 cn=a2 两边相加得 a2+b2=c(m+n)=c2 这个证明，在十七世纪又由英国数学家J．沃利斯(Wallis, 1616～1703)重新发现。 有几位美国总统与数学有着微妙联系。G61华盛顿曾经是一个著名的测量员。T61杰弗逊曾大力促进美国高等数学教育。A．林肯是通过研究欧几里得的《原本》来学习逻辑的。更有创造性的是第十七任总统J．A．加菲尔德（Garfield, 1831～1888），他在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能。在1876年，（当时他是众议院议员，五年后当选为美国总统）给出了勾股定理一个漂亮的证明，曾发表于《新英格兰教育杂志》。证明的思路是，利用梯形和直角三角形面积公式。如次页图所示，是由三个直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面积得 即 a2+2ab+b2=2ab+c2 a2+b2=c2 这种证法，在中学生学习几何时往往感兴趣。 关于这个定理，有许多巧妙的证法（据说有近400种），下面向同学们介绍几种，它们都是用拼图的方法来证明的。 证法1 如图26-2，在直角三角形ABC的外侧作正方形ABDE，ACFG，BCHK，它们的面积分别为c2，b2和a2。我们只要证明大正方形面积等于两个小正方形面积之和即可。 过C引CM‖BD，交AB于L，连接BC，CE。因为 AB=AE，AC=AG ∠CAE=∠BAG， 所以 △ACE≌△AGB SAEML=SACFG (1) 同法可证 SBLMD=SBKHC (2) (1)+(2)得 SABDE=SACFG+SBKHC， 即 c2=a2+b2 证法2 如图26-3（赵君卿图），用八个直角三角形ABC拼成一个大的正方形CFGH，它的边长是a+b，在它的内部有一个内接正方形ABED，它的边长为c，由图可知。 SCFGH=SABED+4×SABC， 所以 a2+b2=c2 证法3 如图26-4（梅文鼎图）。 在直角△ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，在直角边AC上又作正方形ACGF。可以证明（从略），延长GF必过E；延长CG到K，使GK=BC=a，连结KD，作DH⊥CF于H，则DHCK是边长为a的正方形。设 五边形ACKDE的面积=S 一方面， S=正方形ABDE面积+2倍△ABC面积 =c2+ab (1) 另一方面， S=正方形ACGF面积+正方形DHGK面积 +2倍△ABC面积 =b2+a2+ab. (2) 由(1)，(2)得 c2=a2+b2 证法4 如图26-5（项名达图），在直角三角形ABC的斜边上作正方形ABDE，又以直角三角形ABC的两个直角边CA，CB为基础完成一个边长为b的正方形BFGJ（图26-5）。可以证明（从略），GF的延长线必过D。延长AG到K，使GK=a，又作EH⊥GF于H，则EKGH必为边长等于a的正方形。 设五边形EKJBD的面积为S。一方面 S=SABDE+2SABC=c2+ab (1) 另一方面， S=SBEFG+261S△ABC+SGHFK =b2+ab+a2 由(1)，(2) 得出论证都是用面积来进行验证：一个大的面积等于几个小面积的和。利用同一个面积的不同表示法来得到等式，从而化简得到勾股定理）图见 http://ett.edaedu.com/21010000/vcm/0720ggdl.doc勾股定理是数学上证明方法最多的定理之一——有四百多种证法！但有记载的第一个证明——毕达哥拉斯的证明方法已经失传。目前所能见到的最早的一种证法，属于古希腊数学家欧几里得。他的证法采用演绎推理的形式，记载在数学巨著《几何原本》里。在中国古代的数学家中，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a） 2 。于是便可得如下的式子： 4×（ab/2）+（b-a） 2 =c 2 化简后便可得： a 2 +b 2 =c 2 亦即：c=（a 2 +b 2 ） (1/2) 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。 以下网址为赵爽的“勾股圆方图”： http://cimg.163.com/catchpic/0/01/01F9D756BE31CE31F761A75CACC1410C.gif 以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展， 只是具体图形的分合移补略有不同而已。 例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的空白区域内(入)，结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。 以下网址为刘徽的“青朱出入图”： http://cimg.163.com/catchpic/A/A7/A7070D771214459D67A75E8675AA4DCB.gif 勾股定理应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载："禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。"这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。 勾股定理在我们生活中有很大范围的运用. 勾股定理的16种验证方法（带图）：http:blog.cersp.com/UploadFiles/2007/11-25/1125862269.doc 练习题：一个等腰三角形,三个内角的比为1:1:10,腰长为10cm,则这个三角形的面积为____ 解：由题意得此三角形各角角度为15度 15的150度 设底边上的高为h 底边长为2t 易得sin15=sin60cos45-cos60sin45=h/10 解得h=5(√6-√2)/2 又tan15=(tan60-tan45)/(1-tan60tan45)=5(√6-√2)/2t 解得t=5(√6+√2) 故面积s=th=50</CN> `勾股定理的别名 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称． 我国是发现和研究勾股定理最古老的国家．我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．在公元前1000多年，据记载，商高(约公元前1120年)答周公曰“勾广三，股修四，经隅五”，其意为，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”．因此，勾股定理在我国又称“商高定理”．在公元前7~6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日． 在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”．还有的国家称勾股定理为“平方定理”． 在陈子后一二百年，希腊的著明数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理．为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．

设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则由余弦定理：cosC = (a^2+b^2-c^2）/2ab S=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√（1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2]=1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

正弦是对边比邻边

余弦定理开放分类：数学、三角形、几何余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活．对于任意三角形三边为a,b,c三角为A,B,C满足性质a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosAb^2=a^2+c^2-2*a*c*CosBc^2=a^2+b^2-2*a*b*CosCCosC=(a^2+b^2-c^2)/2abCosB=(a^2+c^2-b^2)/2acCosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc证明：∵a=b-c∴a^2=(b-c)^2（证明中前面所写的a,b,c皆为向量，^2为平方）拆开即a^2=b^2+c^2-2bc再拆开，得a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA同理可证其他，而下面的CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc就是将CosA移到右边表示一下。---------------------------------------------------------------------------------------------------------------平面几何证法：在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosBb^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角一定是直角,如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边所对的角是锐角.即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。注：a^2；b^2；c^2就是a的2次方;b的2次方；c的2次方

　　高中数学是一个非常让人头痛的学科，但是还有有许多同学摆正态度积极学习，为了更好的帮助他们提高成绩。下面是由我为大家整理的“三角形余弦定理公式大全”，仅供参考，欢迎大家阅读。 　　 三角形余弦定理公式大全 　　余弦定理(第二余弦定理) 　　余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 　　直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值 　　我本段 　　余弦定理性质 　　对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质-- 　　a^2 = b^2+ c^2 - 2·b·c·cosA 　　b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB 　　c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC 　　cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b) 　　cosB = (a^2 + c^2 -b^2) / (2·a·c) 　　cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c) 　　(物理力学方面的平行四边形定则中也会用到) 　　第一余弦定理(任意三角形射影定理) 　　设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有 　　a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A。 　　我本段 　　余弦定理证明 　　平面向量证法 　　∵如图，有a+b=c (平行四边形定则:两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小) ∴c·c=(a+b)·(a+b) 　　∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ) 　　(以上粗体字符表示向量) 　　又∵cos(π-θ)=-Cosθ 　　∴c2=a2+b2-2|a||b|cosθ(注意:这里用到了三角函数公式) 　　再拆开，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC 　　即 cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b 　　同理可证其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。 　　平面几何证法 　　在任意△ABC中 　　做AD⊥BC. 　　∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 　　则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 　　根据勾股定理可得: 　　AC^2=AD^2+DC^2 　　b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 　　b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2 　　b^2=(sinB2+cosB2)*c^2-2ac*cosB+a^2 　　b^2=c^2+a^2-2ac*cosB 　　cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac 　　我本段 　　作用 　　(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角 　　(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边。 　　(3)已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。(见解三角形公式，推导过程略。) 　　判定定理一(两根判别法): 　　若记m(c1,c2)为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取 　　减号的值 　　①若m(c1,c2)=2,则有两解 　　②若m(c1,c2)=1,则有一解 　　③若m(c1,c2)=0,则有零解(即无解)。 　　注意:若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。 　　判定定理二(角边判别法): 　　一当a>bsinA时 　　①当b>a且cosA>0(即A为锐角)时，则有两解 　　②当b>a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解) 　　③当b=a且cosA>0(即A为锐角)时，则有一解 　　④当b=a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解) 　　⑤当b 　　二当a=bsinA时 　　①当cosA>0(即A为锐角)时,则有一解 　　②当cosA<=0(即A为直角或钝角)时，则有零解(即无解) 　　三当a 　　解三角形公式 例如:已知△ABC的三边之比为5:4:3，求最大的内角。 　　解 设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3. 　　由三角形中大边对大角可知:∠A为最大的角。由余弦定理 　　cos A=0 　　所以∠A=90°. 　　再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度，求BC之长。 　　解 由余弦定理可知 　　BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cos A 　　=4+9-2×2×3×cos60 　　=13-12x0.5 　　=13-6 　　=7 　　所以BC=√7. (注:cos60=0.5,可以用计算器算) 　　以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用。 　　其他 　　从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。 　　解三角形时，除了用到余弦定理外还常用正弦定理。 　　 30° 45° 60° 　　Sin 1/2 √2/2 √3/2 　　Cos √3/2 √2/2 1/2 　　Tan √3/3 1 √3 　　 拓展阅读：三角形的三边关系是什么 　　三角形三边关系是三角形三条边关系的定则，具体内容是在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 　　三角形三边关系是三角形三条边关系的定则，具体内容是在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 　　设三角形三边为a,b,c则a+b>c,a>c-b，b+c>a,b>a-c，a+c>b,c>b-a 　　直角三角形 　　性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 　　性质2：在直角三角形中，两个锐角互余。 　　性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 　　性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值a^2 = b^2+ c^2 - 2·b·c·cosA 　　b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB 　　c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC 　　cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b) 　　cosB = (a^2 + c^2 -b^2) / (2·a·c) 　　cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c)

余弦定理是：三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方和减去另两边及其夹角的余弦的积的两倍。若在三角形ABC中，a,b,c分别为角A、角B、角C的对边，则余弦定理可用下列等式表示： a^2=b^2+c^2--2bccosA, b^2=a^2+c^2--2accosB, c^2=a^2+b^2--2abcosC。余弦定理的应用：一。已知两边，求第三边。 二。已知三边，求三个角。

正余弦函数的图像是：性质1、单调区间正弦函数在［－π／2+2kπ，π／2+2kπ］上单调递增，在［π／2+2kπ，3π／2+2kπ］上单调递减。余弦函数在［－π＋2kπ，2kπ］上单调递增，在［2kπ，π＋2kπ］上单调递减。2、奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。3、对称性正弦函数关于x=π／2+2kπ轴对称，关于（kπ，0)中心对称。余弦函数关于x=2kπ对称，关于（π／2+kπ，0)中心对称。4、周期性正弦余弦函数的周期都是2π。三角形余弦定理的公式对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：a2=b2+c2-bc·cosAb2=a2+c2-ac·cosBc2=a2+b2-ab·cosC也可表示为：cosC=(a2+b2-c2)/abcosB=(a2+c2-b2)/accosA=(c2+b2-a2)/bc这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的（边－边－角）。要小心余弦定理的这种歧义情况。

正弦定理余弦定理公式，如下：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等。一、正弦定理公式：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。其中“R”为三角形△ABC外接圆半径。正弦定理适用于所有三角形。初中数学中，三角形内角的正弦值等于“对比斜”仅适用于直角三角形。二、正弦定理推论公式1、a=2RsinA；b=2RsinB；c=2RsinC。2、a:b=sinA:sinB；a:c=sinA:sinC；b:c=sinB:sinC；a:b:c=sinA:sinB:sinC。多用于“边”、“角”间的互化。3、由“a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R”可得：(a+b)/(sinA+sinB)=2R；(a+c)/(sinA+sinC)=2R；(b+c)/(sinB+sinC)=2R；(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R。4、三角形ABC中，常用到的几个等价不等式：“a>b”、“A>B”、“sinA>sinB”，三者间两两等价。“a+b>c”等价于“sinA+sinB>sinC”。“a+c>b”等价于“sinA+sinC>sinB”。“b+c>a”等价于“sinB+sinC>sinA”。余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。一、余弦定理公式a^2=b^2+c^2-2bccosA；b^2=a^2+c^2-2accosB；c^2=a^2+b^2-2abcosC。余弦定理及其推论适用于所有三角形。初中数学，三角形内角的余弦值等于“邻比斜”仅适用于直角三角形。二、余弦定理推论公式：cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc；cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac；cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab。三角形的正弦定理和余弦定理公式及其推论常用来解三角形。对于某些复杂题，需要把正弦定理和余弦定理及其推论综合起来运用。

1、余弦定理：cos A=(b2+c2-a2)/2bc。 2、正余弦定理指正弦定理和余弦定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决三角形的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 3、直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。

△ABC中，a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边a^2=b^2+c^2-2bc cosA