曲面法向量

（1）两个法向量角度关系：平行曲面的法向量和原曲面法向量角度为相等。（2）两个法向量方向关系：平行曲面的法向量和原曲面法向量方向相向或反向，即对应面的法向量同向或反向。

1.曲面的法向量有两个，它们互为反向，即（f "x，f ‘y ，-1）和（-f "x，-f ‘y ，1）2.因为它要与z轴的夹角是正的那个，所以就是第二个（-f "x，-f ‘y ，1）

曲面法向量不是都指向原点的。曲面法向量是垂直于曲面上的一点处的切线的向量，由此可知曲面法向量的指向取决于切线所在的位置，切线所在的位置取决于切线与曲面相交的所得的切点的位置。 曲面法向量的指向有二：曲面法向量向上时，曲面法向量指向曲面凸的一侧，曲面法向量向下时，曲面法向量指向曲面凹的一侧。下面以球面为例来说明什么是曲面凸的一侧和曲面凹的一侧。 在球面上任意一点作球面的切线，然后过切点作球面的法向量，球面的法向量垂直于切线，当球面的法向量向上时，球面的法向量指向球面凸的一侧（即球面的外侧），当球面的法向量向下时，球面的法向量指向球面凹的一侧（即球面的内侧，内侧即球面所围区域含球心的一侧）。 对坐标的曲面积分曲面的投影，以三维笛卡尔坐标系为例：对坐标的曲面积分曲面在xOy面上投影时，曲面上点的x,y坐标不变，z坐标为0，在xOz面上投影时，曲面上点的x,z坐标不变，y坐标为0,在yOz面上投影时，曲面上点的z,y坐标不变，x坐标为0。对坐标的曲面积分曲面的投影即把曲面上的点投影在平面上，使平面上的投影与曲面上的点的连线与平面垂直。

曲面方程 F(x,y,z)=0 的一个法向量可以为 n = { ∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z}特别的,若曲面方程能表示成 F(x,y,z)=z-z(x,y)=0 那么法向量可以为 n = ±{ ∂z/∂x, ∂z/∂y, 1},+表示法向量向上,-表示法向量向下

曲面由方程F（x,y,z）=0决定,相应的某一点M的法向量你只需要对应的求偏导数就可以了 由于法向量所在的是一条直线,所以方向来讲有两个,如果没有特别要求一般是可以随便选择的,如果是坐标的曲面积分什么的,需要注意一下和xyz正方向之间的夹角,因为这关系到面积投影的正负 至于法向量的角度这个教材上有写明的,就是对F分别求出x,y,z的偏导数之后,Fx‘,Fy",Fz‘,利用各自的分量除以对应的长度就可以了啊. 比如说和x轴的角度cosα=Fx‘/(Fx‘^2+Fy"^2+Fz"^2)^1/2 其余的类似

曲面由方程F（x，y，z）=0决定，相应的某一点M的法向量你只需要对应的求偏导数就可以了由于法向量所在的是一条直线，所以方向来讲有两个，如果没有特别要求一般是可以随便选择的，如果是坐标的曲面积分什么的，需要注意一下和xyz正方向之间的夹角，因为这关系到面积投影的正负 至于法向量的角度这个教材上有写明的，就是对F分别求出x，y，z的偏导数之后，Fx‘，Fy"，Fz‘，利用各自的分量除以对应的长度就可以了啊。比如说和x轴的角度cosα=Fx‘/(Fx‘^2+Fy"^2+Fz"^2)^1/2其余的类似

曲面由方程F（x,y,z）=0决定,相应的某一点M的法向量你只需要对应的求偏导数就可以了 由于法向量所在的是一条直线,所以方向来讲有两个,如果没有特别要求一般是可以随便选择的,如果是坐标的曲面积分什么的,需要注意一下和xyz正方向之间的夹角,因为这关系到面积投影的正负 至于法向量的角度这个教材上有写明的,就是对F分别求出x,y,z的偏导数之后,Fx‘,Fy",Fz‘,利用各自的分量除以对应的长度就可以了啊. 比如说和x轴的角度cosα=Fx‘/(Fx‘^2+Fy"^2+Fz"^2)^1/2 其余的类似

1、曲面法向量不都是指向原点的(这个问题就像是问平面上每条曲线的法向量都指向原点一样，很显然，这是不正确的，所以在空间中的曲面法向量也不都是指向原点的)2、对坐标的曲面积分曲面:按垂直投影在XoY平面上。

曲面方程为z=f(x,y)时，看作F(x,y,z)=f(x,y)-z，法向量为(F对x求偏导，F对y求偏导，-1)。若看作F(x,y,z)=z-f(x,y)，法向量为(-F对x求偏导，-F对y求偏导，1)。这里∑选择上侧，上侧法向量与z轴正半轴夹角不超过90°，所以上侧法向量的z坐标非负，所以这里上侧的法向量应该是(-αz/αx,-αz/αy,1)=(2x,2y,1)

曲面方程是Z(x,y)-z=0所以对z求偏导是-1

曲面由方程F（x,y,z）=0决定,相应的某一点M的法向量你只需要对应的求偏导数就可以了 由于法向量所在的是一条直线,所以方向来讲有两个,如果没有特别要求一般是可以随便选择的,如果是坐标的曲面积分什么的,需要注意一下和xyz正方向之间的夹角,因为这关系到面积投影的正负 至于法向量的角度这个教材上有写明的,就是对F分别求出x,y,z的偏导数之后,Fx‘,Fy",Fz‘,利用各自的分量除以对应的长度就可以了啊. 比如说和x轴的角度cosα=Fx‘/(Fx‘^2+Fy"^2+Fz"^2)^1/2 其余的类似,8,如何求曲面法向量,如何确定法向量的方向? 怎么知道坐标轴与法向量的角度呢

曲面法向量方向余弦前两个cosA与cosB的正负号与第三个cosr相反。曲面Z=x^2+y^2的法向量为n=(-2x, -2y, 1)。那么曲面在三个坐标平面上的投影满足：dydz：dzdx：dxdy=(-2x)：(-2y)：1。所以，dydz= -2xdxdy，dzdx= -2ydxdy。曲面积分平面面积(Δσ)是曲面面积(ΔS)在xOy面下的投影。曲面积分中有与不同面对应的三个方向余弦。对于yoz面，dydz = cosα dS。对于zox面，dzdx = cosβ dS。对于xoy面，dxdy = cosγ dS。其中dydz、dzdx、dxdy分别是dS在三个不同的面下的面积投影区域。考虑在xoy面上，γ是曲面dS在某一点的法向量与z轴之间形成的夹角。

针对曲面，一般情况下，我们不研究它的切线，因为它如果在点可微的话，那么它就存在切平面，故可以看做是有无数条的切线，因为它的切线向量无法考虑。所以只研究它的切平面以及切平面的法向量。写出了曲面的切平面的方程，那么就能写出它的法线方向数，即法向量的方向，当然可以取两个中任一个，一般取正。写出之后，正好就是曲面方程对自变量的偏导数。其中曲面的方程是显函数还是隐函数稍微注意一下，其实情况是相同的，只是形式不同

曲面法向量不是都指向原点的。曲面法向量是垂直于曲面上的一点处的切线的向量，由此可知曲面法向量的指向取决于切线所在的位置，切线所在的位置取决于切线与曲面相交的所得的切点的位置。 曲面法向量的指向有二：曲面法向量向上时，曲面法向量指向曲面凸的一侧，曲面法向量向下时，曲面法向量指向曲面凹的一侧。下面以球面为例来说明什么是曲面凸的一侧和曲面凹的一侧。 在球面上任意一点作球面的切线，然后过切点作球面的法向量，球面的法向量垂直于切线，当球面的法向量向上时，球面的法向量指向球面凸的一侧（即球面的外侧），当球面的法向量向下时，球面的法向量指向球面凹的一侧（即球面的内侧，内侧即球面所围区域含球心的一侧）。 对坐标的曲面积分曲面的投影，以三维笛卡尔坐标系为例：对坐标的曲面积分曲面在xOy面上投影时，曲面上点的x,y坐标不变，z坐标为0，在xOz面上投影时，曲面上点的x,z坐标不变，y坐标为0,在yOz面上投影时，曲面上点的z,y坐标不变，x坐标为0。对坐标的曲面积分曲面的投影即把曲面上的点投影在平面上，使平面上的投影与曲面上的点的连线与平面垂直。

1、曲面法向量不都是指向原点的（这个问题就像是问平面上每条曲线的法向量都指向原点一样，很显然，这是不正确的，所以在空间中的曲面法向量也不都是指向原点的）2、对坐标的曲面积分曲面：按垂直投影在XoY平面上。