法线向量

重点在处理角度上的法向量和切向量的转化 法向量规定向外你可以做个图把法向量投影到xy正方向再把切向量投影到相应方向 注意其实你可以选择逆时针的切向量和顺时针的切向量 如答案他选择逆时针的切向量 投影到xy轴 发现切向量投影到x轴时是负半轴 故前加负号 如果选择顺时针 则dy那一项前加负号 下一步用格林时顺时针方向亦为负 故选择顺时针逆时针切向量结果相同。

根据曲面局部微分性质来做 如果已知某点的向量判断是否是内外 可以在该点求U,v向的切矢（偏导）,两向量U向乘以V向 得到一个向量 再判断该向量与已知向量是否同向即可. 为什么是U乘以V向呢,这个与我们常见的坐标系是右手坐标系有关. 更简单的办法可以不用求导,用差分替代

你说的相乘应该是叉乘。向量的乘积有两种，一种是点积（又叫内积、数量积），结果是一个实数，定义是：a=(a1，a2，a3) ，b=(b1，b2，b3) ，则 a*b=a1*b1+a2*b2+a3*b3 。还有一种是叉积（又叫外积、向量积），结果是一个向量，a×b 是这样定义的：大小等于以 a、b 为邻边的平行四边形的面积，方向与 a、b 都垂直。如果 a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3) ，则 a×b=(a2b3-a3b2，-(a1b3-a3b1)，a1b2-a2b1) 。如果直线的方程是交线式，那么，那两个平面的法向量的叉积正好是直线的方向向量。

设函数F（x，y，z）=f（x，y）-z根据隐函数定义，可知曲面上任意一点的切平面法线方向向量n=（Fx，Fy，Fz）剩下就是F分别对x，y，z求偏导数得到n=（fx，fy，-1）

就是求三个偏导数。记F(x,y,z)=0，点M(x0,y0,z0)，由在点M处法向量n=(∂F/∂x,∂F/∂y,∂F/∂z)|(x0,y0,z0)

只需看法向量其中一个坐标的正负与曲面的内外是否一致

法线向量应该包含在法向量里的，法向量可以跟法线向量垂直，可以说是该法线向量的法向量

比如直线的一般式方程为AX+BY+C=0，那么它的法向量就是（A,B）,(法线就是垂直的意思)

法向量是空间解析几何的一个概念,垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量.由于空间内有无数个直线垂直于已知平面,而且每条直线可以存在不同的法向量；因此一个平面都存在无数个法向量,但是这些法向量之间相互平行.从理论上述,空间零向量是任何平面的法向量,但是由于零向量不能表示平面的信息.一般不选择零向量为平面的法向量. 如果已知直线与平面垂直,可以取已知直线的两点构成的向量作为法向量；如果不存在这样的直线,可用设元法求一个平面的法向量；步骤如下：首先设平面的法向量m(x,y,z),然后寻找平面内任意两个不共线的向量AB(x1,y1,z1)和 CD(x2,y2,z2).由于平面法向量垂直于平面内所有的向量,因此得到x*x1+y*y1+z*z1=0和x*x2+y*y2+z*z2=0.由于上面解法存在三个未知数两个方程(不能通过增加新的向量和方程求解,因为其它方程和上述两个方程是等价的),无法得到唯一的法向量(因为法向量不是唯一的).为了得到确定法向量,可采用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等于1的方法(单位法向量),但是这步并不是必须的.因为确定法向量和不确定法向量的作用是一样的. 法向量的主要应用如下： 1、求斜线与平面所成的角：求出平面法向量和斜线的夹角,这个角和斜线与平面所成的角互余.利用这个原理也可以证明线面平行； 2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角,这个角与二面角相等或互补； 3、点到面的距离： 任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|(等式右边全为向量,D为平面内任意一点,向量n为平面α的法向量).利用这个原理也可以求异面直线的距离 法向量方法是高考数学可以采用的方法之一,他的优点在于思路简单,容易操作.只要能够建立出直角坐标系,都可以写出最后答案.缺点在于同一般立体几何方法相比,其计算量巨大,特别是在计算二面角的时候. （一）直线 的方向向量和平面 的法向量分别为 ,则直线 和平面 所成的角 等于向量 所成的锐角（若所成的角为钝角,则为其补角）的余角,即 . 例题 (2003全国（理）18题) 如图,直三棱柱中,底面是等腰直角三角形, ,侧棱,分别是与的中点,点在平面上的射影是的重心, （Ⅰ）求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点到平面的距离. （Ⅰ）以为坐标原点,建立如图所示的坐标系, 设,则, , , , , , ∴ , , ∴ , , 由 得, , ∴ , , ,设平面的法向量为 ,则 , ,由, 得, ,令 得, , ∴平面 的一个法向量为 , ∴ 与的夹角的余弦值是 , ∴ 与平面所成角为 . 当直线与平面平行时,直线与平面所成的角为,此时直线的方向向量与平面的法向量垂直,我们可利用这一特征来证明直线与平面平行. （二）如果不在平面内一条直线与平面的一个法向量垂直,那么这条直线和这个平面平行. 例题 （2004年高考湖南（理）19题）如图,在底面是菱形的四棱锥中, , ,点在上,且 , （I）证明： ； （II）求以为棱, 与为面的二面角的大小； （Ⅲ）在棱上是否存在一点,使?证明你的结论. （Ⅲ）以为坐标原点,直线分别为轴、轴,过点垂直平面的直线为轴,建立空间直角坐标系（如图）,由题设条件,相关各点的坐标分别为, , ∴ , , 设平面的法向量为,则由题意可知, , 由 得, ∴ 令得, , ∴平面的一个法向量为 设点是棱上的点,则 , 由 得, ∴ , ∴当是棱的中点时, . 同样,当直线与平面垂直时,直线与平面所成的角为,此时直线的方向向量与平面的法向量平行,我们可利用这一特征来证明直线与平面垂直. （三）设二面角的两个半平面和的法向量分别为,设二面角的大小为,则二面角的平面角与两法向量所成的角相等或互补,当二面角的锐角时, ；当二面角为钝角时, . 例题 2004年高考湖南（理）19题： （Ⅱ）由题意可知, , , ∵ ∴ 为平面的一个法向量, 设平面的法向量为 ,则由题意可知, , 由 得, ∴ 令 得, , ∴平面的一个法向量为, ∴向量与夹角的余弦值是 , ∴ , 由题意可知,以为棱,与为面的二面角是锐角, ∴所求二面角的大小为 . 我们知道当两个平面的法向量互相垂直时,两个平面所成的二面角为直角,此时两个平面垂直,我们可用这一特征来证明两个平面垂直. （四）设两个平面和的法向量分别为,若,则这两个平面垂直. 例题 （1996年全国（文）23题）在正三棱柱中, , 分别是上的点,且 ,求证：平面平面 . 证明：以为坐标原点,建立如图所示的坐标系, 则 , , , , ∴ , , 设平面的法向量为 ,则由题意可知, 由 得, ∴ 令得, , ∴平面的一个法向量为 , 由题意可知,平面的一个法向量为 ∴ ∴平面平面 （五）设平面的法向量为,是平面外一点, 是平面内一点,则点到平面的距离等于在法向量上的投影的绝对值,即 . 我们再来看2003年全国（理）18题： （Ⅱ）设 ,则 , , , , ∴ , , 设平面 的法向量为 ,则 , , 由 , 得, ,令 得, , ∴平面的一个法向量为 ,而 , ∴点 到平面的距离 . 我们知道直线与平面、两个平面的距离都归结为点到平面的距离,故此法同样可以解决直线与平面、两个平行平面的距离. （六）设向量与两异面直线都垂直（我们也把向量称为两异面直线的法向量）,分别为异面直线上的点,则两异面直线的距离等于法向量上的投影的绝对值,即. 例题 （1999年全国（理）21题）如图,已知正四棱柱中,点在棱上,截面 ,且面与底面所成的角为 ,求异面直线与之间的距离. 以为坐标原点,建立如图所示的坐标系 , 连结交于 ,连结 ,则就是 面 与底面所成的角的平面角, ∴= ,∴ 又∵截面 ,为的中点, ∴ 为的中点,∴ , 则 , , , ∴ , , 设向量 与两异面直线都垂直,由 ,得, ∴ ,∴ , ∴异面直线与之间的距离 前面介绍了利用法向量解决空间几何的证明与计算问题,实现了几何问题的代数化,将复杂的几何证明转化为代数运算,从而避免了几何作图,减少了逻辑推理,降低了难度.但公式的应用也有一定的局限性,一般地,在能建立空间直角坐标系的情况下,利用法向量较为有效.

设A是曲线上的一点,过A点作曲线的切线,再通过A点做切线的垂线,那么与该垂线平行,且指向曲线内部或外部的向量就是法向量,有正负之分 方向向量至于某一直线平行的非零向量,有正负之分

设A是曲线上的一点,过A点作曲线的切线,再通过A点做切线的垂线,那么与该垂线平行,且指向曲线内部或外部的向量就是法向量,有正负之分 方向向量至于某一直线平行的非零向量,有正负之分

是不一样的。法线向量要求向量垂直整个平面，而法向量只要求垂直平面中的直线。垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，而且每条直线可以存在不同的法向量；因此一个平面都存在无数个法向量，但是这些法向量之间相互平行。