垂径定理

1.过圆心 2.平分弦 3.垂直于弦 4.平分弦所对的优弧 5.平分弦所对的劣弧。若一条直线具备这五项中的任意两项，则必具备另外三项，其中由1.2得3.4.5时，被平分的弦不能是直径

如图 ，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC，AB、CD交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD   　　连结OA、OB 　　∵OA、OB是⊙O的半径 　　∴OA=OB 　　∴△OAB是等腰三角形 　∵AB⊥DC 　　∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形三线合一） 　　∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC 　　∴弧AC=弧BC

椭圆的垂径定理：直径：把过椭圆中心的弦称为椭圆的直径。若椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，则kAB*kCD=-b^2/a^2=e^2-1。椭圆垂径定理的运用将椭圆方程转化成圆的标准方程后，椭圆就被我们“转化成了”圆，那么在解决一些问题时，我们就可以使用圆的垂径定理来解决。判断直线和椭圆位置关系常规解法应该是直线与椭圆方程联立根据方程解的个数来判断直线与椭圆的位置关系。显然这样是很复杂的。但如果把椭圆圆化，此问题便转化为直线与圆的位置关系了。一般化情况下，直线Ax+By+C=0与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的位置关系讨论如前所述，首先作变换x=ax"，y=by"，那么直线和椭圆分别转化为直线aAx"+bBy"+C=0和单位圆x"^2+y"^2=1。得到圆心到直线距离公式d=丨C丨/（a^2A^2+b^2B^2）。（这个公式是不改变的）原来的直线和椭圆相交，就是转化后的直线和圆相交。那么d0同理，直线和椭圆相切，就是转化后的直线和圆相切，a^2A^2+b^2B^2-C^2=0；直线和椭圆相离，a^2A^2+b^2B^2-C^2。

垂径定理公式是AE=EB，垂径定理是数学平面几何中的一个定理，它的通俗的表达是垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。欧几里得几何原本第I卷中的第12个命题实际即为垂径定理，这可能是最早的有关于垂径定理的记载。垂径定理是圆的重要性质之一，它是证明圆内线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。

垂径定理知二推三是一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件，就可以推出其他三条结论。称为知二得三（知二推三）。五个条件是平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是，平分弦所对的两条弧）、平分弦（不是直径）、垂直于弦、过圆心。相关信息1、垂径定理是数学几何(圆）中的一个定理，它的通俗的表达是垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。垂径定理是圆的重要性质之一，它是证明圆内线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。2、垂径定理是，垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。推论一是平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。推论二是弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。3、推论三是平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。推论四:在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。

　垂径定理及其推论：　　定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧．　　推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧．　　推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．　　注意：（1）垂径定理及其推论是证明线段相等、弧相等、角相等的重要依据．在圆中解有关弦的问题时,经常做垂直于弦的直径作为辅助线．　　（2）垂径定理可改写为：如果一条直线垂直于一条弦,并且过圆心,那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧．其中有四个条件：直线垂于于弦,直线平分弦,直线过圆心,直线平分弦所对的弧．它的三个推论可看作“如果四个条件中有两个成立,那么另外两个也成立”．这样理解与记忆垂径定理,理解深刻,记忆准确,有利于应用．　定义：如果圆的一条直径垂直于一条弦,那么这条直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的弧.　　推论一:平分弦(不是直径),的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 　　推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 　　推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 　　推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 　　(证明时的理论依据就是上面的五条定理) 编辑本段证明 　　如图 ,在⊙O中,DC为直径,AB是弦,AB⊥DC,AB、CD交于E,求证：AE=BE,弧AC=弧BC,弧AD= 弧BD 垂径定理证明图连OA、OB 　　∵OA、OB是半径 　　∴OA=OB 　　∴△OAB是等腰三角形 　　∵AB⊥DC 　　∴AE=BE,∠AOE=∠BOE（等腰三角形三线合一） 　　∴弧AD=弧BD,∠AOC=∠BOC 　　∴弧AC=弧BC 编辑本段讲解 　　垂径定理又称“5-2-3”定理 　　其意为：①CD是⊙O直径AB是弦;②CD⊥AB;③AE=BE;④弧AD=弧BD;⑤弧AC=弧BC 　　在以上5个条件中满足任意2个则另外三个条件也成立.　　以下是推论 编辑本段推论 　　推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 　　推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 　　推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 　　推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 　　(证明时的理论依据就是上面的五条定理) 　　但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:　　一条直线,在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论 　　1.平分弦所对的优弧 　　2.平分弦所对的劣弧 　　（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧） 　　3.平分弦 (不是直径) 　　4.垂直于弦 　　5.经过圆心 　　6.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.

垂径定理是：垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。推论一：平分弦（不是直径）的直径垂直与这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。证明：连接OA、OB分别交⊙O于点A、点B∵OA、OB是⊙O的半径∴OA=OB∴△OAB是等腰三角形∵AB⊥DC∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形三线合一）∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC∴弧AC=弧BC

垂径定理 [编辑本段] 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论 [编辑本段] 推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 (证明时的理论依据就是上面的五条定理) 但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断: 一条直线,在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论 1.平分弦所对的一条弧 2.平分弦所对的另一条弧 3.平分弦 4.垂直于弦 5.经过圆心(不是直径)

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垂径定理垂径定理知二推三是一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件，就可以推出其他三条结论。称为知二得三（知二推三）。五个条件是平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是，平分弦所对的两条弧）、平分弦（不是直径）、垂直于弦、过圆心。简介：1、垂径定理是数学几何(圆）中的一个定理，它的通俗的表达是垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。垂径定理是圆的重要性质之一，它是证明圆内线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。2、垂径定理是，垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。推论一是平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。推论二是弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。3、推论三是平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。推论四:在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 (证明时的理论依据就是上面的五条定理) 但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断: 在5个条件中: 1.平分弦所对的一条弧 2.平分弦所对的另一条弧 3.平分弦 4.垂直于弦 5.经过圆心(或者说直径) 只要具备任意两个条件,就可以推出其他的三个结论 参考资料：我的大脑

1 过圆心且垂直于弦的直线必平分弦 2 过圆心且平分弦的直线必垂直于弦 2 垂直于弦且平分弦的直线必过圆心（直径所在直线） PS:目前只能想到这三个.

　　垂径定理 ： 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。 　　推论一: 　　1、平分弦不是直径的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。 　　2、弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧。 　　3、平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 　　推论二： 　　圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理知二推三是一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件，就可以推出其他三条结论。称为知二得三（知二推三）。五个条件是平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是，平分弦所对的两条弧）、平分弦（不是直径）、垂直于弦、过圆心。相关信息1、垂径定理是数学几何(圆）中的一个定理，它的通俗的表达是垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。垂径定理是圆的重要性质之一，它是证明圆内线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。2、垂径定理是，垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。推论一是平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。推论二是弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。3、推论三是平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。推论四:在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理是数学平面几何（圆）中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。数学表达为：如下图，直径DC垂直于弦AB，则AE等于EB，弧AD等于弧BD（包括优弧与劣弧），半圆CAD等于半圆CBD。中文名垂径定理外文名Vertical theorem别名垂定提出者欧几里得

垂径定理及其推论：　　定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．　　推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．　　推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．　　注意：（1）垂径定理及其推论是证明线段相等、弧相等、角相等的重要依据．在圆中解有关弦的问题时，经常做垂直于弦的直径作为辅助线．　　（2）垂径定理可改写为：如果一条直线垂直于一条弦，并且过圆心，那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧．其中有四个条件：直线垂于于弦，直线平分弦，直线过圆心，直线平分弦所对的弧．它的三个推论可看作“如果四个条件中有两个成立，那么另外两个也成立”．这样理解与记忆垂径定理，理解深刻，记忆准确，有利于应用．　定义：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。　　推论一:平分弦(不是直径)，的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧　　推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧　　推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧　　推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等　　(证明时的理论依据就是上面的五条定理)编辑本段证明　　如图，在⊙o中，dc为直径，ab是弦，ab⊥dc，ab、cd交于e，求证：ae=be，弧ac=弧bc，弧ad=弧bd　　垂径定理证明图连oa、ob　　∵oa、ob是半径　　∴oa=ob　　∴△oab是等腰三角形　　∵ab⊥dc　　∴ae=be，∠aoe=∠boe（等腰三角形三线合一）　　∴弧ad=弧bd，∠aoc=∠boc　　∴弧ac=弧bc编辑本段讲解　　垂径定理又称“5-2-3”定理　　其意为：①cd是⊙o直径ab是弦;②cd⊥ab;③ae=be;④弧ad=弧bd;⑤弧ac=弧bc　　在以上5个条件中满足任意2个则另外三个条件也成立.　　以下是推论编辑本段推论　　推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧　　推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧　　推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧　　推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等　　(证明时的理论依据就是上面的五条定理)　　但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:　　一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论　　1.平分弦所对的优弧　　2.平分弦所对的劣弧　　（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）　　3.平分弦(不是直径)　　4.垂直于弦　　5.经过圆心　　6.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

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垂径定理是数学几何中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。称为知二推三。1、平分弦所对的优弧。2、平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）。3、平分弦（不是直径）。4、垂直于弦。5、过圆心。

垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧　　推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧　　推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧　　推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等　　(证明时的理论依据就是上面的五条定理)　　但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:　　一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论　　1.平分弦所对的弧　　2.平分弦(不是直径)　　3.垂直于弦　　4.经过圆心

双曲线垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。双曲线垂径定理数学表达为：如下图，直径DC垂直于弦AB，则AE等于EB，弧AD等于弧BD包括优弧与劣弧，半圆CAD等于半圆CBD。垂径定理是圆的重要性质之一，它是证明圆内线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论是证明线段相等、弧相等、角相等的重要依据。在圆中解有关弦的问题时，经常做垂直于弦的直径作为辅助线。其中有四个条件：直线垂于于弦，直线平分弦，直线过圆心，直线平分弦所对的弧，它的三个推论可看作如果四个条件中有两个成立，那么另外两个也成立。

椭圆的“垂径定理：已知不过原点O的直线与椭圆x2a2+y2b2=1交于A、B两点，M为弦AB的中点，则直线AB与直线OM的斜率之积：已知圆中有一条非直径的弦，那么这条弦垂直于过其中点的直径．对于椭圆也有类似的性质。圆可以看作椭圆的一个特例，即当短半轴b无限趋近于长半轴a时，椭圆近似可看作圆。注一 当a=b=r时，椭圆的垂径定理描述的内容即为圆的垂径定理；注二    这里并不要求a>b，也就是说此结论对焦点在x轴和焦点在y轴上的椭圆均适用；注三    双曲线x2a2−y2b2=1的垂径定理中的斜率之积：圆的垂径定理证明过程如下：设在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，垂足为E，求证：CE=DE，弧AC=弧AD，弧BC=弧BD。证明：连接OC、OD。则OC=OD（⊙O的半径）。∵ AB⊥CD，∴CE=DE，∠COE=∠DOE（等腰三角形三线合一）。∴弧BC=弧BD（等角对等弧），∠AOE=∠AOD（等角的补角相等）。∴弧AC=弧AD。

什么是垂经定理？？我忘了

垂径定理是数学几何中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。称为知二推三。1、平分弦所对的优弧。2、平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）。3、平分弦（不是直径）。4、垂直于弦。5、过圆心。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 注：（1）定理中的直径过圆心即可，可以是直径、半径、过圆心的直线或线段； （2）此定理是证明等线段、等角、垂直的主要依据，同时也为圆的有关计算提供了方法和依据。 垂径定理的推论： 推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等(证明时的理论依据就是上面的五条定理)但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论1.平分弦所对的优弧2.平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）3.平分弦 (不是直径)4.垂直于弦5.经过圆心

垂径定理内容如下：垂径定理是数学平面几何（圆）中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。数学表达为：如下图，直径DC垂直于弦AB，则AE等于EB，弧AD等于弧BD（包括优弧与劣弧），半圆CAD等于半圆CBD。定理定义：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。称为知二得三（知二推三）。平分弦所对的优弧。平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）。平分弦。垂直于弦。过圆心（或是直径）。定理简史：欧几里得（古希腊数学家 希腊文：Ευκλειδης. ，公元前330年~公元前275年，）几何原本第I卷中的第12个命题实际即为垂径定理，这可能是最早的有关于垂径定理的记载。 定理意义：垂径定理是圆的重要性质之一，它是证明圆内线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。几何语言：∵CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，∴AE=BE，AD=BD，AC=BC垂径定理是“圆”一章的重要内容。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦以及这条弦所对的两条弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化;它不仅是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为今后进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据。由于它在教材中处于非常重要的位置，所以成为每年中考必考的知识点之一。

　垂径定理及其推论：　　定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧．　　推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧．　　推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．　　注意：（1）垂径定理及其推论是证明线段相等、弧相等、角相等的重要依据．在圆中解有关弦的问题时,经常做垂直于弦的直径作为辅助线．　　（2）垂径定理可改写为：如果一条直线垂直于一条弦,并且过圆心,那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧．其中有四个条件：直线垂于于弦,直线平分弦,直线过圆心,直线平分弦所对的弧．它的三个推论可看作“如果四个条件中有两个成立,那么另外两个也成立”．这样理解与记忆垂径定理,理解深刻,记忆准确,有利于应用．　定义：如果圆的一条直径垂直于一条弦,那么这条直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的弧.　　推论一:平分弦(不是直径),的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 　　推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 　　推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 　　推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 　　(证明时的理论依据就是上面的五条定理) 编辑本段证明 　　如图 ,在⊙O中,DC为直径,AB是弦,AB⊥DC,AB、CD交于E,求证：AE=BE,弧AC=弧BC,弧AD= 弧BD 垂径定理证明图连OA、OB 　　∵OA、OB是半径 　　∴OA=OB 　　∴△OAB是等腰三角形 　　∵AB⊥DC 　　∴AE=BE,∠AOE=∠BOE（等腰三角形三线合一） 　　∴弧AD=弧BD,∠AOC=∠BOC 　　∴弧AC=弧BC 编辑本段讲解 　　垂径定理又称“5-2-3”定理 　　其意为：①CD是⊙O直径AB是弦;②CD⊥AB;③AE=BE;④弧AD=弧BD;⑤弧AC=弧BC 　　在以上5个条件中满足任意2个则另外三个条件也成立.　　以下是推论 编辑本段推论 　　推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 　　推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 　　推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 　　推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 　　(证明时的理论依据就是上面的五条定理) 　　但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:　　一条直线,在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论 　　1.平分弦所对的优弧 　　2.平分弦所对的劣弧 　　（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧） 　　3.平分弦 (不是直径) 　　4.垂直于弦 　　5.经过圆心 　　6.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.

垂径定理是数学几何(圆）中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。数学表达为：如图，直径DC垂直于弦AB，则AE=EB，弧AD等于弧BD（包括优弧与劣弧），半圆CAD=半圆CBD。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。称为知二推三1，平分弦所对的优弧2，平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）3，平分弦（不是直径）4，垂直于弦5，过圆心扩展资料：推导定理推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。几何语言：∵DC是直径，AE=EB∴直径DC垂直于弦AB，劣弧AD等于劣弧BD，优弧ACO=优弧BCO推论二：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧。几何语言：∵DC垂直AB，AE=EB∴DC是圆的直径，劣弧AD等于劣弧BD，优弧ACO=优弧BCO推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。推论四：在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。参考资料:百度百科---垂径定理

垂径定理知二推三是一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件，就可以推出其他三条结论。称为知二得三（知二推三）。五个条件是平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是，平分弦所对的两条弧）、平分弦（不是直径）、垂直于弦、过圆心。相关信息1、垂径定理是数学几何(圆）中的一个定理，它的通俗的表达是垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。垂径定理是圆的重要性质之一，它是证明圆内线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。2、垂径定理是，垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。推论一是平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。推论二是弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。3、推论三是平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。推论四:在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理连同它的推论一共有10条定理：可以统一叙述如下：一条直线，如果具有下列5条性质中的两条，就一定具有其余3条：（1）过圆心 ，（2）垂直弦，（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧其中平分弦，作为命题的条件时，这条弦不能是直径，这点很重要！不能丢掉5个性质任取2条作为条件其余3条就是结论，共有C(5,2)=5*4/2=10条命题，都是正确的，都是定理！所以垂径定理连同它的推论一共有10个定理

垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧 标准的啊~望君采纳！

椭圆的“垂径定理：已知不过原点O的直线与椭圆x2a2+y2b2=1交于A、B两点，M为弦AB的中点，则直线AB与直线OM的斜率之积：已知圆中有一条非直径的弦，那么这条弦垂直于过其中点的直径．对于椭圆也有类似的性质。圆可以看作椭圆的一个特例，即当短半轴b无限趋近于长半轴a时，椭圆近似可看作圆。注一 当a=b=r时，椭圆的垂径定理描述的内容即为圆的垂径定理；注二    这里并不要求a>b，也就是说此结论对焦点在x轴和焦点在y轴上的椭圆均适用；注三    双曲线x2a2−y2b2=1的垂径定理中的斜率之积：圆的垂径定理证明过程如下：设在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，垂足为E，求证：CE=DE，弧AC=弧AD，弧BC=弧BD。证明：连接OC、OD。则OC=OD（⊙O的半径）。∵ AB⊥CD，∴CE=DE，∠COE=∠DOE（等腰三角形三线合一）。∴弧BC=弧BD（等角对等弧），∠AOE=∠AOD（等角的补角相等）。∴弧AC=弧AD。

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。几何语言：∵CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，∴AE=BE，AD=BD，AC=BC垂径定理是“圆”一章的重要内容。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦以及这条弦所对的两条弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化;它不仅是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为今后进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据。由于它在教材中处于非常重要的位置，所以成为每年中考必考的知识点之一。

为角A=30度,三角型ABC是直角三角型所以CB:AB=1:2 => AB=2CB(1)因为CD垂直AB,角B=60度,三角型CBD是直角三角型所以DB:BC=1:2 => DB=BC/2(2)由(1)(2)得AB:DB=4:1所以BD=四分之一AB

证明：连接OA、OB分别交⊙O于点A、点B∵OA、OB是⊙O的半径∴OA=OB∴△OAB是等腰三角形∵AB⊥DC∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形三线合一）∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC∴弧AC=弧BC扩展资料：垂径定理是圆的重要性质之一，它是证明圆内线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。几何语言：∵DC是直径，AE=EB∴直径DC垂直于弦AB，劣弧AD等于劣弧BD，优弧ACO=优弧BCO推论二：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧。几何语言：∵DC垂直AB，AE=EB∴DC是圆的直径，劣弧AD等于劣弧BD，优弧ACO=优弧BCO推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。推论四：在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。参考资料来源：百度百科——垂径定理

垂径定理及其推论：定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径；垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。1、垂径定理及其推论是证明线段相等、弧相等、角相等的重要依据。在圆中解有关弦的问题时，经常做垂直于弦的直径作为辅助线。2、垂径定理：如果一条直线垂直于一条弦，并且过圆心，那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧。条件是直线垂于于弦，直线平分弦，直线过圆心，直线平分弦所对的弧。3、如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧 。垂径定理是圆的重要性质之一，它是证明圆内线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。

垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧(如图所示)． 如果将定理的条件与结论一个换一个或两个换两个，就可得到九个逆命题，并能证明它们都是真命题．教科书把较重要的作为推论l，而其余的作为练习题。总之，一条直线，如果它五个性质中的任何两个成立，那么它也一定具有其余三个性质． 推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； (3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧， 推论1的实质是：一条直线(如图) (1)若满足：i)经过圆心，ii)平分弦，则可推出:iii)垂直于弦，iv)平分弦所对的劣弧，v)平分弦所对的优弧． (2)若满足：i)垂直于弦，ii)平分弦。则可推出：iii)经过圆心，iv)平分弦所对的劣弧，v)平分弦所对的优弧． (3)若满足；i)经过圆心，ii)平分弦所对的一条弧，则可推出：iii)垂直于弦，iv)平分弦，v)平分弦所对的另一条弧． 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 如图中，若AB‖CD，则AC＝BD 注意：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径作为辅助线。 三、例题分析： 例1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，过A，B向CD引垂线，垂足分别为E，F，求证：CE=DF。 证明：过O作OM⊥CD于M， ∴CM=DM， ∵AE⊥CD，BF⊥CD， ∴AE//OM//FB， 又∵O是AB中点， ∴M是EF中点（平行线等分线段定理）， ∴EM=MF， ∴CE=DF。 说明：此例是垂径定理及平行线等分线段定理相结合构成的命题。由于C、D两点是轴对称点，欲证CE=DF，那么E，F也必是轴对称点，由于E，F是垂足，那么E，F也应关于某条垂线成轴对称点，这样，这两个知识的结合部分仍是含有共同的对称轴。 例2．已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，⊙O的半径等于6cm，O点到BC的距离为2cm，求AB的长。 分析：因为不知道△ABC是锐角三角形，还是钝角三角形（由已知分析，△ABC不会是直角三角形，因为若是直角三角形，则BC为斜边，圆心O在BC上，这与O点到BC的距离为2cm矛盾），因此圆心有可能在三角形内部，也可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论： （1）假若△ABC是锐角三角形，如图，由AB=AC， 可知， ，∴点A是弧BC中点， 连结AO并延长交BC于D，由垂径推论 可得AD⊥BC，且BD=CD，这样OD=2cm， 再连结OB，在Rt△OBD中OB=6cm， 可求出BD的长，则AD长可求出， 则在Rt△ABD中可求出AB的长。 （2）若△ABC是钝角三角形，如图， 连结AO交BC于D，先证OD⊥BC， OD平分BC，再连结OB，由OB=6cm， OD=2cm，求出BD长，然后求出AD的长， 从而在Rt△ADB中求出AB的长。 略解：（1）连结AO并延长交BC于D，连结OB， ∵AB=AC， ∴ ，∴AD⊥BC且BD=CD， ∴OD=2，BO=6， 在Rt△OBD中，由勾股定理得：BD===4， 在Rt△ADB中，AD=OA+OD=8， 由勾股定理可得：AB===4(cm) （2）同（1）添加辅助线求出BD=4， 在Rt△ADB中，AD=AO-OD=6-2=4， 由勾股定理可得：AB===4(cm)， ∴AB=4cm或4cm。 说明：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。 例3．已知如图：直线AB与⊙O交于C，D，且OA=OB。 求证：AC=BD。 证明：作OE⊥AB于点E， ∴CE=ED， ∵OA=OB， ∴AE=BE， ∴AC=BD。 请想一下，若将此例的图形做如下变化，将如何证明。 变化一，已知：如图，OA=OB， 求证：AC=BD。 变化二：已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证：AC=BD。 说明：这三道题的共同特点是均需要过点O作弦心距，利用垂径定理进行证明，所变化的是A，B两点位置。 例4．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=600，求CD的长。 解：作OF⊥CD于F，连结OD， ∵AE=1，EB=5， ∴AB=6，∴OA==3， ∴OE=OA-AE=3-1=2， 在Rt△OEF中， ∵∠DEB=600， ∴∠EOF=300，∴EF=OE=1， ∴OF==， 在Rt△OFD中，OF=，OD=OA=3， ∴DF===(cm)， ∵OF⊥CD，∴DF=CF， ∴CD=2DF=2(cm) 说明：因为垂径定理涉及垂直关系，所以就可出现与半径相关的直角三角形，求弦长，弦心距，半径问题，常常可以利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，用其性质来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连结半径作为辅助线，然后用垂径定理来解题。参考资料：http://learning.sohu.com/training/sizhong/test/czsx/tbjx.htm

垂直于弦的直径平分这条弦这个就是垂径定理,但是它的逆定理为：平分弦的直径垂直于弦这个是错误的,比如两条不垂直的直径,其中一条平分另一条,但是它们不垂直.

椭圆的“垂径定理：已知不过原点O的直线与椭圆x2a2+y2b2=1交于A、B两点，M为弦AB的中点，则直线AB与直线OM的斜率之积：已知圆中有一条非直径的弦，那么这条弦垂直于过其中点的直径．对于椭圆也有类似的性质。圆可以看作椭圆的一个特例，即当短半轴b无限趋近于长半轴a时，椭圆近似可看作圆。注一 当a=b=r时，椭圆的垂径定理描述的内容即为圆的垂径定理；注二    这里并不要求a>b，也就是说此结论对焦点在x轴和焦点在y轴上的椭圆均适用；注三    双曲线x2a2−y2b2=1的垂径定理中的斜率之积：圆的垂径定理证明过程如下：设在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，垂足为E，求证：CE=DE，弧AC=弧AD，弧BC=弧BD。证明：连接OC、OD。则OC=OD（⊙O的半径）。∵ AB⊥CD，∴CE=DE，∠COE=∠DOE（等腰三角形三线合一）。∴弧BC=弧BD（等角对等弧），∠AOE=∠AOD（等角的补角相等）。∴弧AC=弧AD。

垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。称为知二得三（知二推三）。平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）平分弦垂直于弦过圆心（或是直径）推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等(证明时的理论依据就是上面的五条定理)但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:在5个条件中:1.平分弦所对的一条弧2.平分弦所对的另一条弧3.平分弦4.垂直于弦5.经过圆心(或者说直径)只要具备任意两个条件,就可以推出其他的三个结论

垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等(证明时的理论依据就是上面的五条定理)但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:在5个条件中:1.平分弦所对的一条弧2.平分弦所对的另一条弧3.平分弦4.垂直于弦5.经过圆心(或者说直径)只要具备任意两个条件,就可以推出其他的三个结论参考资料：我的大脑

椭圆的“垂径定理：已知不过原点O的直线与椭圆x2a2+y2b2=1交于A、B两点，M为弦AB的中点，则直线AB与直线OM的斜率之积：已知圆中有一条非直径的弦，那么这条弦垂直于过其中点的直径．对于椭圆也有类似的性质。圆可以看作椭圆的一个特例，即当短半轴b无限趋近于长半轴a时，椭圆近似可看作圆。注一 当a=b=r时，椭圆的垂径定理描述的内容即为圆的垂径定理；注二    这里并不要求a>b，也就是说此结论对焦点在x轴和焦点在y轴上的椭圆均适用；注三    双曲线x2a2−y2b2=1的垂径定理中的斜率之积：圆的垂径定理证明过程如下：设在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，垂足为E，求证：CE=DE，弧AC=弧AD，弧BC=弧BD。证明：连接OC、OD。则OC=OD（⊙O的半径）。∵ AB⊥CD，∴CE=DE，∠COE=∠DOE（等腰三角形三线合一）。∴弧BC=弧BD（等角对等弧），∠AOE=∠AOD（等角的补角相等）。∴弧AC=弧AD。

垂径定理是初中三年级学的知识点。垂径定理是数学平面几何（圆）中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。数学表达为：如下图，直径DC垂直于弦AB，则AE等于EB，弧AD等于弧BD（包括优弧与劣弧），半圆CAD等于半圆CBD。定理定义垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。称为知二得三（知二推三）。平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）

垂径定理知二推三有：过圆心，垂直弦，平分弦，平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧。5个条件中只要有2个成立另3个也成立，叫2推3，同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，叫1推2。垂径定理中，三个条件，垂直弦，平分弦，平分弧，只要其中两个条件成立，第三个就成立。垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，垂径定理的推论，平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，推论，弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧，推论，平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。方法规律，垂径定理的内容可以概括为五二三或知二推三，一条直线如果具有，经过圆心，垂直于弦，平分弦被平分的弦不是直径，平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧这五条中的任意两条，则必然具备其余的三条。

推论1(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

定理定义垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。称为知二得三（知二推三）。平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）平分弦（不是直径）垂直于弦过圆心（或直径）数学证明如图 ，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC于点E，AB、CD交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD垂径定理图示证明：连接OA、OB分别交⊙O于点A、点B∵OA、OB是⊙O的半径∴OA=OB∴△OAB是等腰三角形∵AB⊥DC∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形三线合一）∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC∴弧AC=弧BC

1、垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。 2、推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。 3、推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧。 4、推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。 5、推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。

书上有的，高中的。

1、垂径定理是数学平面几何（圆）中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。 2、数学表达为：直径DC垂直于弦AB，则AE等于EB，弧AD等于弧BD（包括优弧与劣弧），半圆CAD等于半圆CBD。

垂径定理公式是AE=EB，垂径定理是数学平面几何中的一个定理，它的通俗的表达是垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。垂径定理是数学几何(圆）中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。数学表达为：如图，直径DC垂直于弦AB，则AE=EB，弧AD等于弧BD（包括优弧与劣弧），半圆CAD=半圆CBD。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。称为知二推三1，平分弦所对的优弧2，平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）3，平分弦（不是直径）4，垂直于弦5，过圆心扩展资料：推导定理推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。几何语言：∵DC是直径，AE=EB∴直径DC垂直于弦AB，劣弧AD等于劣弧BD，优弧ACO=优弧BCO推论二：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧。几何语言：∵DC垂直AB，AE=EB∴DC是圆的直径，劣弧AD等于劣弧BD，优弧ACO=优弧BCO推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。推论四：在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理是数学几何(圆）中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。数学表达为：如右图，直径DC垂直于弦AB，则AE=EB，弧AD等于弧BD（包括优弧与劣弧），半圆CAD=半圆CBD。 并且 (1/2AB)²=DE•CE

垂径定理知二推三是一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件，就可以推出其他三条结论。称为知二得三（知二推三）。五个条件是平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是，平分弦所对的两条弧）、平分弦（不是直径）、垂直于弦、过圆心。相关信息1、垂径定理是数学几何(圆）中的一个定理，它的通俗的表达是垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。垂径定理是圆的重要性质之一，它是证明圆内线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。2、垂径定理是，垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。推论一是平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。推论二是弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。3、推论三是平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。推论四:在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。

一、垂径定理及其推论垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。（1）定理中的直径过圆心即可，可以是直径、半径、过圆心的直线或线段；（2）此定理是证明等线段、等角、垂直的主要依据，同时也为圆的有关计算提供了方法和依据。二、垂径定理的推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等(证明时的理论依据就是上面的五条定理)但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论1.平分弦所对的优弧2.平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）3.平分弦 (不是直径)4.垂直于弦5.经过圆心

垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 (证明时的理论依据就是上面的五条定理) 但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断: 在5个条件中: 1.平分弦所对的一条弧 2.平分弦所对的另一条弧 3.平分弦 4.垂直于弦 5.经过圆心(或者说直径) 只要具备任意两个条件,就可以推出其他的三个结论请采纳。

1、垂径定理是数学几何(圆）中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。 2、数学表达为：直径DC垂直于弦AB，则AE=EB，弧AD等于弧BD（包括优弧与劣弧），半圆CAD=半圆CBD。

垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧 推论 推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 (证明时的理论依据就是上面的五条定理) 但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断: 一条直线,在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论 1.平分弦所对的优弧 2.平分弦所对的劣弧 （前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧） 3.平分弦 (不是直径) 4.垂直于弦 5.经过圆心 6.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。几何语言：∵CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，∴AE=BE，AD=BD，AC=BC垂径定理是“圆”一章的重要内容。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦以及这条弦所对的两条弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化;它不仅是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为今后进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据。由于它在教材中处于非常重要的位置，所以成为每年中考必考的知识点之一。

垂径定理是数学几何中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。数学表达为：如右图，直径DC垂直于弦AB，则AE=EB，劣弧AD等于劣弧BD，优弧AC=优弧BC

垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 　　推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 　　推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 　　推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 　　(证明时的理论依据就是上面的五条定理) 　　但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断: 　　一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论　　1.平分弦所对的弧 　　2.平分弦 (不是直径)　　3.垂直于弦 　　4.经过圆心希望对你能有所帮助。

垂径定理及其推论：定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径；垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。1、垂径定理及其推论是证明线段相等、弧相等、角相等的重要依据。在圆中解有关弦的问题时，经常做垂直于弦的直径作为辅助线。2、垂径定理：如果一条直线垂直于一条弦，并且过圆心，那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧。条件是直线垂于于弦，直线平分弦，直线过圆心，直线平分弦所对的弧。3、如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧 。垂径定理是圆的重要性质之一，它是证明圆内线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。

垂径定理实际上和勾股定理差不多，但垂径定理要在圆的问题上使用，如果圆的内接三角形是直角三角形或者添辅助线构成个直角三角形就可以是用垂径定理

1.作OH⊥CD于H，则CH=DH，因为AE⊥CD，BF⊥CD，所以AE‖OH‖CD，又AO=OB，所以EH=HF，CH-EH=DH-FH，即CE=DF，CE+EF=DF+EF，所以CF=DE。2.OH⊥CD，EH=HF，所以OE=OF，所以∠OEF=∠OFE 。

垂径定理是数学几何(圆）中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。数学表达为：如图，直径DC垂直于弦AB，则AE=EB，弧AD等于弧BD（包括优弧与劣弧），半圆CAD=半圆CBD。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。称为知二推三1，平分弦所对的优弧2，平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）3，平分弦（不是直径）4，垂直于弦5，过圆心扩展资料：推导定理推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。几何语言：∵DC是直径，AE=EB∴直径DC垂直于弦AB，劣弧AD等于劣弧BD，优弧ACO=优弧BCO推论二：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧。几何语言：∵DC垂直AB，AE=EB∴DC是圆的直径，劣弧AD等于劣弧BD，优弧ACO=优弧BCO推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。推论四：在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。参考资料:百度百科---垂径定理

垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧(如图所示)． 如果将定理的条件与结论一个换一个或两个换两个，就可得到九个逆命题，并能证明它们都是真命题．教科书把较重要的作为推论l，而其余的作为练习题。总之，一条直线，如果它五个性质中的任何两个成立，那么它也一定具有其余三个性质． 推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； (3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧， 推论1的实质是：一条直线(如图) (1)若满足：i)经过圆心，ii)平分弦，则可推出:iii)垂直于弦，iv)平分弦所对的劣弧，v)平分弦所对的优弧． (2)若满足：i)垂直于弦，ii)平分弦。则可推出：iii)经过圆心，iv)平分弦所对的劣弧，v)平分弦所对的优弧． (3)若满足；i)经过圆心，ii)平分弦所对的一条弧，则可推出：iii)垂直于弦，iv)平分弦，v)平分弦所对的另一条弧． 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 如图中，若AB‖CD，则AC＝BD 注意：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径作为辅助线。 如果你认可我的回答，请及时点击采纳为【满意回答】按钮 手机提问者在客户端右上角评价点“满意”即可。 你的采纳是我前进的动力! 如还有新的问题，请另外向我求助，答题不易，谢谢支持……

垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等

垂径定理5条性质是：1、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦。2、平分弦的直径并且平分这条弦所对的两段弧。3、弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。4、平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。5、在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理的证明方法有：1、在圆O中，AB是一条非直径的弦，CD为垂直于弦AB的直径，垂足为M。2、证明：连接OA、OB，则OA=OB在Rt△OAM和Rt△OBM中。因为OA=OB，OM=OM。所以Rt△OAM≌Rt△OBM（HL）。所以AM=BM。所以∠AOC=∠BOC。所以∠AOD=∠BOD。所以弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。

推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 　　推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 　　推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 　　推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 　　(证明时的理论依据就是上面的五条定理) 　　但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断: 　　一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论　　1.平分弦所对的一条弧 　　2.平分弦所对的另一条弧 　　3.平分弦 (不是直径)　　4.垂直于弦 　　5.经过圆心

垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 (证明时的理论依据就是上面的五条定理) 但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断: 在5个条件中: 1.平分弦所对的一条弧 2.平分弦所对的另一条弧 3.平分弦 4.垂直于弦 5.经过圆心(或者说直径) 只要具备任意两个条件,就可以推出其他的三个结论

垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等这些其实在初中数学书上有，现在告诉你，你可能也不太懂（如果你还没上初三）如果你学过圆的知识，那么第一章就是它，这些是做关于圆的题目的重要知识，当你做题没思路时就向垂径定理靠拢，或许有用，这个知识中考出题的几率很大的，望你紧记

垂径定理是：垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。推论一：平分弦的直径垂直与这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。但是在做不需要写证明过程的题目中，可以用下面的方法进行判断：在5个条件中：1、平分弦所对的一条弧。2、平分弦所对的另一条弧。3、平分弦。4、垂直于弦。5、经过圆心，或者说直径。只要具备任意两个条件，就可以推出其他的三个结论。

垂径定理及其推论：定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．注意：（1）垂径定理及其推论是证明线段相等、弧相等、角相等的重要依据．在圆中解有关弦的问题时，经常做垂直于弦的直径作为辅助线．（2）垂径定理可改写为：如果一条直线垂直于一条弦，并且过圆心，那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧．其中有四个条件：直线垂于于弦，直线平分弦，直线过圆心，直线平分弦所对的弧．它的三个推论可看作“如果四个条件中有两个成立，那么另外两个也成立”．这样理解与记忆垂径定理，理解深刻，记忆准确，有利于应用．定义：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。推论一:平分弦(不是直径)，的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等(证明时的理论依据就是上面的五条定理)编辑本段证明如图，在⊙O中，DC为直径，AB是弦，AB⊥DC，AB、CD交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD垂径定理证明图连OA、OB∵OA、OB是半径∴OA=OB∴△OAB是等腰三角形∵AB⊥DC∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形三线合一）∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC∴弧AC=弧BC编辑本段讲解垂径定理又称“5-2-3”定理其意为：①CD是⊙O直径AB是弦;②CD⊥AB;③AE=BE;④弧AD=弧BD;⑤弧AC=弧BC在以上5个条件中满足任意2个则另外三个条件也成立.以下是推论编辑本段推论推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等(证明时的理论依据就是上面的五条定理)但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论1.平分弦所对的优弧2.平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）3.平分弦(不是直径)4.垂直于弦5.经过圆心6.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。连接圆心和弦的两个端点，△为等腰三角形，且直径⊥弦，所以直径平分弦因为圆心角平分了所以弧也平分

定义：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。推论一:平分弦(不是直径)，的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等(证明时的理论依据就是上面的五条定理)数学证明如图1 ，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC于点E，AB、CD交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD证明：连接OA、OB分别交⊙O于点A、点B∵OA、OB是⊙O的半径∴OA=OB∴△OAB是等腰三角形∵AB⊥DC∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形三线合一）∴∠AOC=∠BOC∴弧AC=弧BC

垂径定理的逆定理是：平分弦的直径垂直于弦这个是错误的，比如两条不垂直的直径，其中一条平分另一条，但是它们不垂直。1、垂径定理内容：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。2、定义：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。3、逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。相关推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。（4）在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。

弦心距就是弦中点到圆心距离垂径定理计算公式是r=d+h，垂径定理是数学平面几何（圆）中的一个定理，它的通俗的表达是垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧，半圆CAD=半圆CBD。平面几何指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学。也称欧几里得几何。

垂直于弦的直径平分这条弦这个就是垂径定理,但是它的逆定理为：平分弦的直径垂直于弦这个是错误的,比如两条不垂直的直径,其中一条平分另一条,但是它们不垂直.

垂径定理是初三的一个数学定理具体是这样垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等

垂径定理，是指垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧。垂径定理有以下四个推论：1、平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧；2、弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧；3、平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧；4、在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。