定积分的分部法

分部积分的公式，很容易找到吧？不知你究竟想问什么，我给你推一下吧。(uv)"=u"v+uv"得：u"v=(uv)"-uv"两边积分得：∫u"vdx=∫(uv)"dx-∫uv"dx即：∫u"vdx=uv-∫uv"d，这就是分部积分公式也可简写为：∫vdu=uv-∫udv希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。

首先需要去掉绝对值号。 则原式=∫（-√3到0） -arctanxdx +∫（0到√3） arctanxdx。 这一步或者用，|arctanx|是偶函数， 在对称区间上的积分可以2倍计算，即， 原式=2∫（0到√3） arctanxdx★ 分部积分公式是【∫UdV=UV-∫VdU，需带上积分限，下同。

因为(uv)"=uv"+vu"，所以移项得uv"=(uv)"-vu"，两边积分得∫uv"dx=∫(uv)"dx-∫vu"dx，即∫udv=uv-∫vdu

定积分计算时有两种技巧：1、换元法：上下限要变2、分部积分法：上下限不变

蒙逼冒个泡⊙▽⊙

分布积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。分布积分法是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的，它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。分部积分法四种典型模式一般地，从要求的积分式中将凑成dv是容易的，但通常有原则可依，也就是说不当的分部变换不仅不会使被积分式得到精简，而且可能会更麻烦，分布积分法最重要之处就在于准确地选取dv，因为一旦dv确定，则公式中右边第二项中的du也随之确定。但为了使式子得到精简，如何选取dv则要依du的复杂程度决定，也就是说选取的dv一定要使du比之前的形式更简单或更有利于求得积分，依照经验，可以得到下面四种典型的模式。记忆模式口诀反对幂三角指。常用的分布积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀反对幂三指，分别代指五类基本函数反三角函数，对数函数，幂函数，三角函数，指数函数的积分。

见图

分部积分：(uv)"=u"v+uv"。得：u"v=(uv)"-uv"。两边积分得：∫ u"v dx=∫ (uv)" dx - ∫ uv" dx。即：∫ u"v dx = uv - ∫ uv" dx，这就是分部积分公式。也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv。相关信息：u2003u2003积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出（参见条目“黎曼积分”）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间[a,b]），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。

例如xe^x，根据函数乘积的微分公式，有d(xe^x)=dx*e^x+xd(e^x)=e^xdx+xe^xdx，因此有xe^xdx=d(xe^x)-e^xdx，两边积分得，∫xe^xdx=∫d(xe^x)-∫e^xdx=xe^x-∫e^xdx，这不正是和按照分部积分公式得出的结果一样吗，继续计算就有∫xe^xdx=xe^x-e^x

如果你说统一的方法让你能根据这个方法就能得到答案，这是没有的，因为很多函数并没有原函数！而有原函数的函数求解原函数的方法也是非常复杂的。数学上很多方法只能告诉你基本原理，然后让你根据原理去推导出答案，不会给你机械的方法

∫uv"dx=uv-∫u"vdx或∫udv=uv-∫vdu

定积分的分部积分法公式如下：(uv)"=u"v+uv"。得：u"v=(uv)"-uv"。两边积分得：∫u"v dx=∫(uv)" dx -∫uv" dx。即：∫u"v dx = uv -∫uv" dx，这就是分部积分公式。也可简写为：∫v du = uv -∫u dv。（左下角的下方写下限a和左上角的上方写上限b）。定积分的相关介绍定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极限。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

　　第三十六回：绣鸳鸯梦兆绛芸轩，识分定情悟梨香院

请参考(图片)

微积分中的一类积分办法：对于那些由两个不同函数组成的被积函数，不便于进行换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别带指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。具体操作如：根据“反对幂三指”先后顺序，前者为u，后者为v（例：被积函数由幂函数和三角函数组成则按口诀先积三角函数（即：按公式∫udv = uv - ∫vdu + c把幂函数看成U，三角函数看成V，））。 原公式： (uv)"=u"v+uv" 求导公式 ： d(uv)/dx = (du/dx)v + u(dv/dx) 写成全微分形式就成为 ：d(uv) = vdu + udv 移项后，成为：udv = d(uv) -vdu 两边积分得到：∫udv = uv - ∫vdu + c

换元法（三角代换、指数代换、倒代换……）分部积分法有理函数的积分：因式分解（拼凑法、待定系数法、混合法）、万能公式

乘积微分：d(uv)=udv+vdu 两端积分：uv=积分udv+积分vdu 即 积分udv= uv-积分vdu 这就是分部积分公式,用于乘积的整体不好积分,但一部分好微分,一部分好积分,经过微分积分后的整体也能积分.但在部分的选取中须有一定的经验. 例如：积分xe^xdx, 整体不好积分,但可认为是x与e^xdx两部分组成,x好微分,e^xdx容易积分,可令： u=x dv=e^xdx 则 du=dx v=e^x 代入分部积分公式：积分xe^xdx=xe^x-积分e^xdx=xe^x-e^x+C=(x-1)e^x+C

∫adx=ax+C，a和C都是常数。分部积分适用于对象是对于反对幂指三，反三函数，对数，幂函数，指数，三角函数等等。分部积分的具体公式∫u"vdx=uv-∫uv"dx。分部积分(uv)"=u"v+uv"得u"v=(uv)"-uv"两边积分得∫u"vdx=∫(uv)"dx-∫uv"dx即∫u"vdx=uv-∫uv"dx，这就是分部积分公式也可简写为∫vdu=uv-∫udv。

分部积分公式：∫u"vdx=uv-∫uv"dx。分部积分：(uv)"=u"v+uv"得：u"v=(uv)"-uv"两边积分得：∫u"vdx=∫(uv)"dx-∫uv"dx。即：∫u"vdx=uv-∫uv"dx，这就是分部积分公式，也可简写为：∫vdu=uv-∫udv。积分基本公式1、∫0dx=c2、∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c3、∫1/xdx=ln|x|+c4、∫a^xdx=(a^x)/lna+c5、∫e^xdx=e^x+c6、∫sinxdx=-cosx+c7、∫cosxdx=sinx+c8、∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9、∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

分部积分：(uv)"=u"v+uv"。得：u"v=(uv)"-uv"。两边积分得：∫ u"v dx=∫ (uv)" dx - ∫ uv" dx。即：∫ u"v dx = uv - ∫ uv" dx，这就是分部积分公式。也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv。积分基本公式1、∫0dx=c2、∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c3、∫1/xdx=ln|x|+c4、∫a^xdx=(a^x)/lna+c5、∫e^xdx=e^x+c6、∫sinxdx=-cosx+c7、∫cosxdx=sinx+c8、∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9、∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

分部积分公式：∫u"vdx=uv-∫uv"dx。分部积分：(uv)"=u"v+uv"得：u"v=(uv)"-uv"两边积分得：∫u"vdx=∫(uv)"dx-∫uv"dx。即：∫u"vdx=uv-∫uv"dx，这就是分部积分公式，也可简写为：∫vdu=uv-∫udv。积分基本公式1、∫0dx=c2、∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c3、∫1/xdx=ln|x|+c4、∫a^xdx=(a^x)/lna+c5、∫e^xdx=e^x+c6、∫sinxdx=-cosx+c7、∫cosxdx=sinx+c8、∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9、∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

分部积分公式：∫u"vdx=uv-∫uv"dx。分部积分：(uv)"=u"v+uv"得：u"v=(uv)"-uv"两边积分得：∫u"vdx=∫(uv)"dx-∫uv"dx。即：∫u"vdx=uv-∫uv"dx，这就是分部积分公式，也可简写为：∫vdu=uv-∫udv。积分基本公式1、∫0dx=c2、∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c3、∫1/xdx=ln|x|+c4、∫a^xdx=(a^x)/lna+c5、∫e^xdx=e^x+c6、∫sinxdx=-cosx+c7、∫cosxdx=sinx+c8、∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9、∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

分部积分公式：∫u"vdx=uv-∫uv"dx。分部积分：(uv)"=u"v+uv"得：u"v=(uv)"-uv"两边积分得：∫u"vdx=∫(uv)"dx-∫uv"dx。即：∫u"vdx=uv-∫uv"dx，这就是分部积分公式，也可简写为：∫vdu=uv-∫udv。积分基本公式1、∫0dx=c2、∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c3、∫1/xdx=ln|x|+c4、∫a^xdx=(a^x)/lna+c5、∫e^xdx=e^x+c6、∫sinxdx=-cosx+c7、∫cosxdx=sinx+c8、∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9、∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

u222b v du = uv - u222b u dv

∫(xe^2x)dx=∫1/2xd(e^2x)=1/2xe^2x-1/2∫e^2xdx=1/2xe^2x-1/4∫e^2xd(2x)=1/2xe^2x-1/4e^2x+C=1/4(2x-1)e^2x+C扩展资料运用的方法：分部积分法分部积分法是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。在运用分部积分法时，恰当地选取u 和d v 是解决问题的关键。选取u 和d v 的经验顺序是反对幂指三，其表示反三角函数、对数函数、幂函数(多项式函数)、指数函数和三角函数。即被积函数中出现上述五类函数中的两个函数乘积时次序在前的通常设为u，次序在后的与d x 结合在一起设为d v 。在进行分部积分运算时，如能把上述规律和一些常用的积分技巧和方法相结合，常常能收到事半功倍的效果。参考资料：百度百科–分部积分法

定义域 x > -1.∫xln(1+x)^(1/3)dx = (1/3)∫xln(1+x)dx = (1/6)∫ln(1+x)d(x^2)= (1/6)[x^2ln(1+x) - ∫x^2dx/(1+x)]= (1/6)x^2ln(1+x) - (1/6)∫(x^2+x-x-1+1)dx/(1+x)= (1/6)x^2ln(1+x) - (1/6)∫[x-1+1/(1+x)]dx= (1/6)x^2ln(1+x) - x^2/12 + x/6 - (1/6)ln(1+x) + C

分部积分法：微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它的主要原理是利用两个相乘函数的微分公式，将所要求的积分转化为另外较为简单的函数的积分。根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分。分部积分法的公式及其推导过程：

分部积分的公式，很容易找到吧？不知你究竟想问什么，我给你推一下吧。(uv)"=u"v+uv"得：u"v=(uv)"-uv"两边积分得：∫ u"v dx=∫ (uv)" dx - ∫ uv" dx即：∫ u"v dx = uv - ∫ uv" d，这就是分部积分公式也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。

根据(uv)"=u"v+uv"移向的uv"=(uv)"-u"v，对等式两边求不定积分，得[uv"dx=uv-[u"vdx[udv=uv-[vdu这就是所谓的分部积分公式。手机上输不出那个特殊的数学符号，像f去掉一横（￡）。分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。

不定积分分部积分法公式是Sudv＝uvSvdu。不定积分的分部积分法为Sudv＝uvSvdu。由于积分号是英文字母S的拉长，为了手机编辑方便，这里我用大写英文字母S表示积分号。之所以积分号用英文字母S的拉长来表示，主要是因为S是英文单词Sum的首字母。不定积分分部积分法介绍：不定积分分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。一般地，从要求的积分式中将凑成dv是容易的，但通常有原则可依，也就是说不当的分部变换不仅不会使被积分式得到精简，而且可能会更麻烦。分部积分法最重要之处就在于准确地选取dv，因为一旦dv确定，则公式中右边第二项中的du也随之确定，但为了使式子得到精简，如何选取dv则要依du的复杂程度决定。也就是说，选取的dv一定要使du比之前的形式更简单或更有利于求得积分。依照经验，可以得到下面四种典型的模式。记忆模式口诀：反对幂三指。

分部积分：(uv)"=u"v+uv"。得：u"v=(uv)"-uv"。两边积分得：∫ u"v dx=∫ (uv)" dx - ∫ uv" dx。即：∫ u"v dx = uv - ∫ uv" dx，这就是分部积分公式。也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv。积分基本公式1、∫0dx=c2、∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c3、∫1/xdx=ln|x|+c4、∫a^xdx=(a^x)/lna+c5、∫e^xdx=e^x+c6、∫sinxdx=-cosx+c7、∫cosxdx=sinx+c8、∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9、∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

sin(x^2) 的 不定积分不能用初等函数表示

不定积分分部积分法公式是Sudv＝uvSvdu。不定积分的分部积分法为Sudv＝uvSvdu。由于积分号是英文字母S的拉长，为了手机编辑方便，这里我用大写英文字母S表示积分号。之所以积分号用英文字母S的拉长来表示，主要是因为S是英文单词Sum的首字母。不定积分分部积分法介绍：不定积分分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。一般地，从要求的积分式中将凑成dv是容易的，但通常有原则可依，也就是说不当的分部变换不仅不会使被积分式得到精简，而且可能会更麻烦。分部积分法最重要之处就在于准确地选取dv，因为一旦dv确定，则公式中右边第二项中的du也随之确定，但为了使式子得到精简，如何选取dv则要依du的复杂程度决定。也就是说，选取的dv一定要使du比之前的形式更简单或更有利于求得积分。依照经验，可以得到下面四种典型的模式。记忆模式口诀：反对幂三指。

分部积分公式：∫u"vdx=uv-∫uv"dx。分部积分：(uv)"=u"v+uv"得：u"v=(uv)"-uv"两边积分得：∫u"vdx=∫(uv)"dx-∫uv"dx。即：∫u"vdx=uv-∫uv"dx，这就是分部积分公式，也可简写为：∫vdu=uv-∫udv。积分基本公式1、∫0dx=c2、∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c3、∫1/xdx=ln|x|+c4、∫a^xdx=(a^x)/lna+c5、∫e^xdx=e^x+c6、∫sinxdx=-cosx+c7、∫cosxdx=sinx+c8、∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9、∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

分部积分的公式,很容易找到吧?不知你究竟想问什么,我给你推一下吧.(uv)"=u"v+uv"得：u"v=(uv)"-uv"两边积分得：∫ u"v dx=∫ (uv)" dx - ∫ uv" dx即：∫ u"v dx = uv - ∫ uv" d,这就是分部积分公式也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv

分部积分公式：∫u"vdx=uv-∫uv"dx。分部积分：(uv)"=u"v+uv"得：u"v=(uv)"-uv"两边积分得：∫u"vdx=∫(uv)"dx-∫uv"dx。即：∫u"vdx=uv-∫uv"dx，这就是分部积分公式，也可简写为：∫vdu=uv-∫udv。积分基本公式1、∫0dx=c2、∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c3、∫1/xdx=ln|x|+c4、∫a^xdx=(a^x)/lna+c5、∫e^xdx=e^x+c6、∫sinxdx=-cosx+c7、∫cosxdx=sinx+c8、∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9、∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

∫ u"v dx = uv - ∫ uv" dx。分部积分：(uv)"=u"v+uv"得：u"v=(uv)"-uv"两边积分得：∫ u"v dx=∫ (uv)" dx - ∫ uv" dx即：∫ u"v dx = uv - ∫ uv" dx，这就是分部积分公式也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv扩展资料：不定积分的公式1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -13、∫ 1/x dx = ln|x| + C4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 15、∫ e^x dx = e^x + C6、∫ cosx dx = sinx + C7、∫ sinx dx = - cosx + C8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C求不定积分的方法：第一类换元其实就是一种拼凑,利用f"(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。

sin(x^2)的积分是：原函数没有初等解，其中S(x)是菲涅尔积分。如果求的是(sinx)^2的不定积分，就有初等解：∫(sinx)^2dx=0.5*∫(1-cos2x)dx=x/2-1/4sin2x+C不定积分求解的一般方法：积分公式法：直接利用积分公式求出不定积分。换元积分法：不定积分换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。一、第一类换元法（即凑微分法）通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。二、注：第二类换元法的变换式必须可逆，并且ψ(x)在相应区间上是单调的。第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。常用的换元手段有两种：1、 根式代换法，2、 三角代换法。在实际应用中，代换法最常见的是链式法则，而往往用此代替前面所说的换元。链式法则是一种最有效的微分方法，自然也是最有效的积分方法。分部积分法：设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu。两边积分，得分部积分公式∫udv=uv-∫vdu。 ⑴称公式⑴为分部积分公式．如果积分∫vdu易于求出，则左端积分式随之得到．分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v。参考资料：百度百科-不定积分

分部积分法公式是∫ u"v dx = uv - ∫ uv" dx。定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。黎曼积分：定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b。

分部积分的公式。分部积分：(uv)"=u"v+uv"得：u"v=(uv)"-uv"两边积分得：∫ u"v dx=∫ (uv)" dx - ∫ uv" dx即：∫ u"v dx = uv - ∫ uv" d，这就是分部积分公式也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv求不定积分的方法：第一类换元其实就是一种拼凑，利用f"(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。（用换元法说，就是把f（x）换为t，再换回来）。分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。

分部积分∫lnx dx=xlnx-∫x d lnx=x lnx-∫dx=xlnx-x+C扩展资料不定积分的公式1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -13、∫ 1/x dx = ln|x| + C4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 15、∫ e^x dx = e^x + C6、∫ cosx dx = sinx + C7、∫ sinx dx = - cosx + C8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

分部积分=xlnx-∫xdlnx=xlnx-∫x*1/x dx==xlnx-∫dx=xlnx-x+C扩展资料不定积分的公式1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -13、∫ 1/x dx = ln|x| + C4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 15、∫ e^x dx = e^x + C6、∫ cosx dx = sinx + C7、∫ sinx dx = - cosx + C8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

分部积分=xlnx-∫xdlnx=xlnx-∫x*1/x dx==xlnx-∫dx=xlnx-x+C扩展资料不定积分的公式1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -13、∫ 1/x dx = ln|x| + C4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 15、∫ e^x dx = e^x + C6、∫ cosx dx = sinx + C7、∫ sinx dx = - cosx + C8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

可以sin(x^2)的积分是：原函数没有初等解，其中S(x)是菲涅尔积分。如果求的是(sinx)^2的不定积分，就有初等解：∫(sinx)^2dx=0.5*∫(1-cos2x)dx=x/2-1/4sin2x+C不定积分求解的一般方法：积分公式法：直接利用积分公式求出不定积分。换元积分法：不定积分换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。一、第一类换元法（即凑微分法）通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。二、注：第二类换元法的变换式必须可逆，并且ψ(x)在相应区间上是单调的。第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。常用的换元手段有两种：1、 根式代换法，2、 三角代换法。在实际应用中，代换法最常见的是链式法则，而往往用此代替前面所说的换元。链式法则是一种最有效的微分方法，自然也是最有效的积分方法。分部积分法：设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu。两边积分，得分部积分公式∫udv=uv-∫vdu。 ⑴称公式⑴为分部积分公式．如果积分∫vdu易于求出，则左端积分式随之得到．分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v。

歧路亡羊意思是因岔路太多无法追寻而丢失了羊。比喻事物复杂多变，没有正确的方向就会误入歧途。接下来分享歧路亡羊故事概括及寓意。 歧路亡羊的故事 杨子的邻居家丢失了一只羊。这位邻居已经率领了他的家属亲友等人去追寻，又来请求杨子的童仆帮忙去追寻。杨子问道：“唉!丢了一只羊，为什么要这么多人去追呢?”邻居回答说：“岔路太多了。”追羊的人回来后，杨子问邻居：“找到羊了吗?”邻居回答说：“没有追到，还是让它跑掉了。”杨子问：“为什么会让它跑掉呢?”邻居回答说：“岔路之中又有岔路，我们不知道它到底从哪条路上跑了，所以只好回来了。”杨子听了，心里难过，改变了脸色，很长时间不说话，整天没有笑容。他的学生觉得奇怪，问他说：“羊是不值钱的牲口，又不是您自己的，而您却不说不笑，为什么呢?”杨子不回答，学生不知道杨子到底是什么意思。杨子的学生孟孙阳从杨子那里出来，把这个情况告诉了心都子。有一天，心都子和孟孙阳一同去谒见杨子，心都子问杨子说：“从前有兄弟三人，在齐国和鲁国一带求学，向同一位老师学习，把关于仁义的道理都学通了才回家。他们的父亲问他们说：‘仁义的道理是怎样的呢?"老大说：‘仁义使我爱惜自己的生命，而把名声放在生命之后"。老二说：‘仁义使我为了名声不惜牺牲自己的生命。"老三说：‘仁义使我的生命和名声都能够保全。"这三兄弟的回答各不相同甚至是相反的，而同出自儒家，您认为他们三兄弟到底谁是正确谁是错误的呢?”杨子回答说：“有一个人住在河边上，他熟知水性，敢于泅渡，以划船摆渡为生，摆渡的赢利，可供一百口人生活。自带粮食向他学泅渡的人成群结队，这些人中溺水而死的几乎达到半数，他们本来是学泅水的，而不是来学溺死的，而获利与受害这样截然相反，你认为谁是正确谁是错误的呢?”心都子听了杨子的话，默默地同孟孙阳一起走了出来。出来后，孟孙阳责备心都子说：“为什么你向老师提问这样迂回，老师又回答得这样怪僻呢，我越听越糊了。”心都子说：“大道因为岔路太多而丢失了羊，求学的人因为方法太多而丧失了生命。学的东西不是从根本上不相同，从根本上不一致，但结果却有这样大的差异。只有归到相同的根本上，回到一致的本质上，才会没有得失的感觉，而不迷失方向。你长期在老师的门下，是老师的大弟子，学习老师的学说，却不懂得老师说的譬喻的寓意，可悲呀! 歧路亡羊寓意 歧路亡羊告诉人们：人生的选择太多，容易迷失自我，在学习中，要有明确的目标，这样的话，会事半功倍，不然，就会迷失方向。在研究一门学问时,要把握方向,注重领会其实质,而不要被各种表象所迷惑。 正是因为面对的岔路太多，所以才会迷失方向。所以，在做学问时，一定要认准自己认为正确的一门走下去，千万不要改变，否则就会一无所获。

兵多将广不如精兵强将。

1. 文言文解释：歧路亡羊全文解释 寓言《歧路亡羊》的原文见《列子·说符》，容易找到。 为了便于大家进一步研究、赏析，现将这篇寓言的全文今译如下： 列子的邻居家丢失了一只羊。这位邻居已经带领了他的家属亲友等人去追寻，又来请求杨子的童仆帮忙去追寻。 杨子问道：“嘻，丢了一只羊。为什么要这么多人去追呢？”邻居回答说：“岔路太多了。” 追羊的人回来后，杨子问邻居：“找到羊了吗？”邻居回答说：“没有追到，还是让它跑掉了。”杨子问：“为什么会让它跑掉呢？”邻居回答说：“岔路之中又有岔路，我们不知道它到底从哪条路上跑了，所以只好回来了。” 杨子听了，心里难过，改变了脸色，很长时间不说话，整天没有笑容。他的学生觉得奇怪，问他说：“羊是不值钱的牲口，又不是您自己的，而您却不说不笑，为什么呢？”杨子不回答，学生不知道杨子到底是什么意思。 杨子的学生孟孙阳从杨子那里出来，把这个情况告诉了心都子。有一天，心都子和孟孙阳一同去谒见杨子，心都子问杨子说：“从前有兄弟三人，在齐国和鲁国一带求学，向同一位老师学习，把关于仁义的道理都学通了才回家。 他们的父亲问他们说：‘仁义的道理是怎样的呢？"老大说：‘仁义使我爱惜自己的生命，而把名声放在生命之后"。老二说：‘仁义使我为了名声不惜牺牲自己的生命。 "老三说：‘仁义使我的生命和名声都能够保全。"这三兄弟的回答各不相同甚至是相反的，而同出自儒家，您认为他们三兄弟到底谁是正确谁是错误的呢？”杨子回答说：“有一个人住在河边上，他熟知水性，敢于泅渡，以划船摆渡为生，摆渡的赢利，可供一百口人生活。 自带粮食向他学泅渡的人成群结队，这些人中溺水而死的几乎达到半数，他们本来是学泅水的，而不是来学溺死的，而获利与受害这样截然相反，你认为谁是正确谁是错误的呢？”心都子听了杨子的话，默默地同孟孙阳一起走了出来。出来后，孟孙阳责备心都子说：“为什么你向老师提问这样迂回，老师又回答得这样怪僻呢，我越听越糊了。” 心都子说：“大道因为岔路太多而丢失了羊，求学的人因为方法太多而丧失了生命。学的东西不是从根本上不相同，从根本上不一致，但结果却有这样大的差异。 只有归到相同的根本上，回到一致的本质上，才会没有得失的感觉，而不迷失方向。你长期在老师的门下，是老师的大弟子，学习老师的学说，却不懂得老师说的譬喻的寓意，可悲呀！” 列子这篇寓言在结构上很有特色，采取了寓言套寓言的复合寓言的方法。 羊寓言故事本身从这个寓言引出另两个寓言，一个是心都子讲的三兄弟同学儒术领会却完全不同的寓言，另一个是心都子讲的众多人学泅水近半数人溺死的寓言，最后是心都子的评论。一些寓言选本，对这篇寓言往往只选它的前半部分即歧路亡羊寓言故事本身，而不选从这个故事引出的后两个寓言故事，更不选最后的心都子的评论。 但这种节选的做法，并不是很妥当的。因为只从歧路亡羊故事本身，是不能直接领会到，至少是很难领会到这篇寓言的深刻寓意的。 让我们先来分析歧路亡羊故事本身。在这个故事中，杨子的邻居的羊逃跑了，已经有家属亲友等人去追寻，还觉得人不够，又来请求杨子的童仆帮助去追，结果还是没有追到。 为什么呢？因为岔路太多，岔路中间又有岔路，不知道该从哪条岔路去追，所以这么多人去追，还是追不到。杨子对这事感触很深，很长时间不言不笑，他的学生问他为什么这样，杨子竟然没回答。 从整篇寓言看，当时杨子没有回答学生们的疑问，是因为杨子对歧路亡羊一事，感触很深，一时难以对学生们解释清楚，需要采取譬喻的形式，特别是寓言这种高级譬喻的形式，才能使学生们明确无误地领会到其中所蕴含的深刻的寓意，这也就是杨子对歧路亡羊一事所引起的深刻的感受。 这篇寓言最后部分的心都子的一段话“大道以多歧亡羊，学者以多方丧生。 学非本不同，非本不一，而末异若是，唯归同返一，为亡得丧。”表达了这篇寓言的深刻寓意。 “大道以多歧亡羊”一句是对“歧路亡羊”故事本事的概括；“学者以多方丧生”既是对众多人学泅水近半数人溺死故事的概括，又是对三兄弟学儒术领会完全不同故事的概括（这里“丧生”的“生”字，不能够机械地只理解为“生命”，而还要理解为“性”字，当“本性”讲，“丧”生也应当作“丧失本性”。理解前一个故事和后两个故事之间，有非常密切的联系，这就是，前一个“大道以多歧亡羊”故事是用以比喻“学者以多方丧生”的，意思是：求学的人经常改变学习内容、学习方法，就会丧失本性，迷失方向，甚至丧失生命，只有抓住根本的东西、统一的本质的东西不放，才不会误入歧途。 从这篇寓言，我们还可以进一步领会到，不仅学习上要紧紧抓住根本的东西，一致的本质的东西，观察和处理一切事物都应该这样。客观事物错综复杂，干什么事情，都必须专一，不能三心二意，见异思迁。 如果毫无主见，见到岔路就想另走，那就会歧路亡羊寓言所告诫的那样，到头来是会一无所获甚至会有丧失本性甚至丧失生命的危险的。 由这篇寓言凝炼而成的成语“歧路亡羊”、“多歧亡羊”，比喻因情况复杂多。 2. 歧路亡羊文言文翻译 歧路亡羊 【译文】 杨子的邻居丢失了羊，于是率领他的朋友，还请杨子的童仆一起追赶。 杨子说：“呵！丢一只羊，干吗要这么多人去追？”邻居说：“岔路很多。”不久回来了，杨子问：“找到羊了吗？”回答：“掉了。” 问：“怎么会呢？”回答：“岔路之中还有岔路，我们不知道往那边去追，所以就回来了。”杨子的脸色边得很忧郁，不说话有两个小时，没有笑容一整天。 他的学生觉得奇怪，请教（杨子）道：“羊，不过是 *** 的畜生，而且还不是老师您的，却使您不苟言笑，这是为什么？”杨子没有回答，（他的）学生最终没有得到他的答案。 3. 歧路亡羊文言文翻译 列子 歧路亡羊 《列子·说符》 原文： 杨子之邻人亡羊，既率其党，又请杨子之竖追之。杨子曰：“嘻！亡一羊，何追者之众？”邻人曰：“多歧路。”既反，问：“获羊乎？”曰：“亡之矣。”曰：“奚亡之？”曰：“歧路之中又有歧焉，吾不知所之，所以反也。”杨子戚然变容，不言者移时，不笑者竟日。 门人怪之，请曰：“羊，贱畜，又非夫子之有，而损言笑者，何哉？”杨子不答，门人不获所命。 弟子孟孙阳出，以告以都子。心都子他日与孟孙阳偕入而问曰：“昔有昆弟三人，游齐、鲁之间，同师而学，进仁义之道而归。其父曰：‘仁义之道若何？"伯曰：‘仁义使我爱身而后名。"仲曰：‘仁义使我杀身以成名。"叔曰：‘仁义使我身名并全。"彼三术相反，而同出于儒。孰是孰非邪？” 杨子曰：“人有滨河而居者，习于水，勇于泅，操舟鬻渡，利供百口，裹粮就学者成徒，而溺死者几半。本学泅不学溺，而利害如此。若以为孰是孰非？”心都子嘿然而出。 孟孙阳让之曰：“何吾子问之迂，夫子答之僻？吾惑愈甚。” 心都子曰：“大道以多歧亡羊，学者以多方丧生。学非本不同，非本不一，而末异若是。唯归同反一，为亡得丧。子长先生之门，习先生之道，而不达先生之况也，哀哉！” 译文： 杨子的邻居丢了一只羊，于是带着他的人，又请杨子的童仆一起去追赶羊。杨子说：“哈哈，丢了一只羊罢了，为什么要这么多人去找寻呢？”邻人说：“有许多分岔的道路。”不久，他们回来了。杨子问：“找到羊了吗？”邻人回答道：“逃跑了。”杨子说：“怎么会逃跑了呢？”邻居回答道：“分岔路上又有分岔路，我不知道羊逃到哪一条路上去了。所以就回来了。”杨子的脸色变得很忧郁，不说话有很长时间，没有笑容一整天。 （他的）学生觉得奇怪，请教（杨子）道：“羊，（不过）是 *** 的畜生，（而且）还不是老师您的，却使您失去笑颜，这是为什么？”杨子没有回答，（他的）学生（最终）没有得到他的答案。 杨子的学生孟孙阳从杨子那里出来，把这个情况告诉了心都子。（有一天）心都子和孟孙阳一同去谒见杨子，心都子问杨子说：“从前有兄弟三人，在齐国和鲁国一带求学，向同一位老师学习，把关于仁义的道理都学通了才回家。他们的父亲问他们说：‘仁义的道理是怎样的呢？"老大说：‘仁义使我爱惜自己的生命，而把名声放在生命之后"。老二说：‘仁义使我为了名声不惜牺牲自己的生命。"老三说：‘仁义使我的生命和名声都能够保全。"这三兄弟的回答各不相同甚至是相反的，而同出自儒家，您认为他们三兄弟到底谁是正确谁是错误的呢？” 杨子回答说：“有一个人住在河边上，他熟知水性，敢于泅渡，以划船摆渡为生，摆渡的赢利，可供一百口人生活。自带粮食向他学泅渡的人成群结队，这些人中溺水而死的几乎达到半数，他们本来是学泅水的，而不是来学溺死的，而获利与受害这样截然相反，你认为谁是正确谁是错误的呢？”心都子听了杨子的话，默默地同孟孙阳一起走了出来。 出来后，孟孙阳责备心都子说：“为什么你向老师提问这样迂回，老师又回答得这样怪僻呢，我越听越糊涂了。” 心都子说：“大道因为岔路太多而丢失了羊，求学的人因为方法太多而丧失了生命。学的东西不是从根本上不相同，从根本上不一致，但结果却有这样大的差异。只有归到相同的根本上，回到一致的本质上，才会没有得失的感觉，而不迷失方向。你长期在老师的门下，是老师的大弟子，学习老师的学说，却不懂得老师说的譬喻的寓意，可悲呀！” 【出处】 《列子·说符》：“大道以多歧亡羊，学者以多方丧生。” ——源自在线文言文翻译网 4. 文言文： 解释 歧路亡羊 一天， 扬子的邻居家丢失了一只羊， 失主很着急.请许多亲友去寻找. 过了一会儿， 他来找扬子请求说.：”先生 我想请您的仆人帮助我去找羊.” 扬子了解情况后. 奇怪的说：”逃失一只羊，竟要派这么多人去寻找， 真是小题大做. ”那邻居哭笑着解释说：”村子外有几条岔路. 人少了是不行的，” 扬子无奈， 只好叫仆人帮他去找羊， 过了一段时间， 邻居及其亲友.扬子的仆人都来动扬子家， 扬子问他们：”羊找到没有.？” 邻居垂头丧气的表示没找到. 扬子惊奇的问：”你们这么多人去寻找， 怎么还会找不到呐？” 邻居说，：”出了村子上了大路后， 有几条岔路， 岔路中还有岔路， 越走越远， 岔路就越多， 简直象蜘蛛网一样， 所以即使是这么多人寻找. 到后来也弄不清楚羊究竟从那条岔路上逃走的，.” 扬子听后没有说话， 但神色严肃起来， 并带有忧伤的成分， 他的学生不解 问他道：” 先生一只羊不值多少钱， 再说逃走的那只羊也不是先生家的， 您为什么要如此忧伤呐.？” 扬子听了仍然没有说话. 有个学生把这件事告诉了一位叫心都子的学者， 他解释说：”岔路太多了， 羊容易逃失， 同样的道理， 读书人因学说不一致， 而找不到真理. 以致误入歧途. 一无收获.”。 5. 文言文： 解释 歧路亡羊 一天， 扬子的邻居家丢失了一只羊， 失主很着急.请许多亲友去寻找. 过了一会儿， 他来找扬子请求 说.：”先生 我想请您的仆人帮助我去找羊.” 扬子了解情况后. 奇怪的说：”逃失一只羊，竟要派这么多人去 寻找， 真是小题大做. ”那邻居哭笑着解释说：”村子外有几条岔路. 人少了是不行的，” 扬子无奈， 只好叫 仆人帮他去找羊， 过了一段时间， 邻居及其亲友.扬子的仆人都来动扬子家， 扬子问他们：”羊找到没有.？” 邻居垂头丧气的表示没找到. 扬子惊奇的问：”你们这么多人去寻找， 怎么还会找不到呐？” 邻居说，：”出了 村子上了大路后， 有几条岔路， 岔路中还有岔路， 越走越远， 岔路就越多， 简直象蜘蛛网一样， 所以即使是 这么多人寻找. 到后来也弄不清楚羊究竟从那条岔路上逃走的，.” 扬子听后没有说话， 但神色严肃起来， 并 带有忧伤的成分， 他的学生不解 问他道：” 先生一只羊不值多少钱， 再说逃走的那只羊也不是先生家的， 您为什么要如此忧伤呐.？” 扬子听了仍然没有说话. 有个学生把这件事告诉了一位叫心都子的学者， 他解释 说：”岔路太多了， 羊容易逃失， 同样的道理， 读书人因学说不一致， 而找不到真理. 以致误入歧途. 一无收 获.” 6. 歧路亡羊文言文翻译字少一点 杨子邻居的羊跑了，于是率领他的亲友，还请杨子的童仆一起追赶。 杨子说：“呵！丢一只羊，为什么要这么多人去追？”邻居说：“岔路很多。”不久回来了，杨子问：“找到羊了吗？”邻居说：“弄丢了。” 杨子问：“为什么会逃跑呢？”邻居说：“岔路之中还有岔路，我们不知道往哪边去追，因此返回来了。” 杨子听了邻居说的这番话，有些闷闷不乐，他眉头紧锁、脸色灰暗、一言不发多时，那一天大家再也没有见到他露出一丝笑容。 杨子的门徒都觉得有点奇怪，因此不解地问：“羊并不是什么值钱的牲畜，而且又不是先生的，您这样闷闷不乐不说话，究竟是为什么呢？”杨子不回答，他的门徒也不知道他要教导什么。 7. 文言文《歧路亡羊》的翻译 歧路亡羊 【译文】 杨子的邻居丢失了羊，于是率领他的朋友，还请杨子的童仆一起追赶。 杨子说：“呵！丢一只羊，干吗要这么多人去追？”邻居说：“岔路很多。”不久回来了，杨子问：“找到羊了吗？”回答：“掉了。” 问：“怎么会呢？”回答：“岔路之中还有岔路，我们不知道往那边去追，所以就回来了。”杨子的脸色边得很忧郁，不说话有两个小时，没有笑容一整天。 他的学生觉得奇怪，请教（杨子）道：“羊，不过是 *** 的畜生，而且还不是老师您的，却使您不苟言笑，这是为什么？”杨子没有回答，（他的）学生最终没有得到他的答案。

1、歧路亡羊告诉我们：学习的人因为学说太多而无所适从,就难以所获。2、启示：人生的选择太多,容易迷失自我.在学习中,要有明确的目标,否则,会事倍功半。3、《歧路亡羊》是一则寓言，出自《列子·说符篇》。这则寓言在结构上采取了寓言套寓言的复合寓言的方法，从因岔路太多无法追寻而丢失了羊的故事，引出两个寓言，一个是三兄弟同学儒术领会却完全不同，另一个是众多人学泅水近半数人溺死，最后进行评论。全文揭示了一个道理：事物复杂多变，没有正确的方向就会误入歧途，后果严重。