同余关系

1）x≡x;2)若x≡y,则k|x-y,∴k|y-x,∴y≡x;3)若x≡y,y≡z,则k|x-y,k|y-z,x-y+(y-z)=x-z,∴k|x-z,∴x≡z.∴“≡”是Z上的等价关系 。

不是同余吧，仅仅是正负号相同而已。

a和b模p同余是指(a-b)是p的倍数

正整数集S,x,y∈S,定义关系R： ＜x,y＞∈R 当且仅当 x≡y （mod）n （x≡y （mod）n 表示x,y除以n的余数相同） 称此关系为模n的同余关系. 可以验证此关系是一个等价关系

就是除以三的余数相同比如5和2除以3都余2300和3除以三都余0这些都叫同余

一个关系满足自反、对称、传递叫做等价关系.模M同余关系作为关系的一种,也满足以上三条,当然是同余关系了.比如10与10模3同余,这是自反；10与4模3同余,则4与10模3同余,即模3同余有等价性.10与4模3同余,4与7模3同余,则10与7模3同余,这是传递性.

就是除以三的余数相同 比如5和2除以3都余2 300和3除以三都余0 这些都叫同余

搜一下：1.非空集合上的同余关系一定是等价关系吗?反之如何?(举例加以说明)

{2,4} {1,3,5}

25≡13(mod 6)就是说25和13除以6的余数相同

mod n?总得有模呀

搜一下：离散数学高手请入，关于子群，陪集和同余关系

mod n?总得有模呀

{2,4} {1,3,5}

u上的。在一个上字作文章就够了吧，恒等必定是同余的。

如同任何同余关系，对于模同余是一种等价关系，整数的等价类是一个集合，标记为。由对于模同余的所有整数组成的这个集合称为同余类（congruence class或residue class）；假若从上下文知道模，则也可标记为。同余类中的每个元素都可以拿来代表该同余类，称为该同余类的代表数。

这不是数学函数的吧，绕道

我不太清楚同余关系的定义, 按我的理解给个定义:G上的一个等价关系"≡", 若满足对任意a ≡ b, c ≡ d, 恒有ab ≡ cd, 则称"≡"为G上的一个同余关系.如果是这种定义, 那么G上的同余关系与G的正规子群是一一对应的.设"≡"是G上的一个同余关系, e为G的单位元.考虑G的子集H = {h ∈ G | h ≡ e}.可以验证H是G的一个子群:1. 任意a, b ∈ H, 有a ≡ e, b ≡ e, 由"≡"是同余关系, 得ab ≡ e, 即有ab ∈ H.2. 任意a ∈ H, 有a ≡ e, 而由"≡"是等价关系, 有a^(-1) ≡ a^(-1), 于是e = a·a^(-1) ≡ a^(-1).即a^(-1) ≡ e, 也即a^(-1) ∈ H.进而可以验证H是G的正规子群:对任意a ∈ H, g ∈ G, 有g^(-1) ≡ g^(-1), a ≡ e, g ≡ g, 于是g^(-1)·a·g ≡ g^(-1)·g = e.即g^(-1)·a·g ∈ H.设H是G的一个正规子群.定义G上的关系: a ≡ b当且仅当a^(-1)·b ∈ H (其实就是按左陪集分类).可以验证"≡"是一个等价关系:1. 对任意a ∈ G, 有a^(-1)·a = e ∈ H (H是子群, 故包含单位元), 即有a ≡ a.2. 若a, b ∈ G满足a ≡ b, 即有a^(-1)·b ∈ H.由H是子群, 有b^(-1)·a = (a^(-1)·b)^(-1) ∈ H, 即有b ≡ a.3, 若a, b, c ∈ G满足a ≡ b, b ≡ c, 即有a^(-1)·b, b^(-1)·c ∈ H.由H是子群, 有a^(-1)·c = (a^(-1)·b)·(b^(-1)·c) ∈ H, 即有a ≡ c.进而可以验证"≡"是一个同余关系:若a, b, c, d ∈ G满足a ≡ b, c ≡ d, 即有a^(-1)·b, c^(-1)·d ∈ H.由H是正规, 有c^(-1)·(a^(-1)·b)·c ∈ H.于是(ac)^(-1)·(bd) = (c^(-1)·a^(-1)·b·c)·(c^(-1)·d) ∈ H, 即有ac ≡ bd.上述由同余关系构造正规子群以及由正规子群构造同余关系的过程是互逆的.给定同余关系"≡", 可构造正规子群H = {h ∈ G | h ≡ e}.可知a ≡ b当且仅当a^(-1)·b ∈ H (即a^(-1)·b ≡ e).反之, 给定正规子群H, 可构造同余关系: a ≡ b当且仅当a^(-1)·b ∈ H.可知H = {h ∈ G | h ≡ e}.综上, G上的同余关系与正规子群可以建立一一对应.当一个有限时另一个也有限且二者个数相等.

其实说穿了特别简单就是除以4余数相同的数的集合[2]R = {2,6}

集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}，R是A上的模5同余关系。商集 A/R 表示的是 A 中所有元素所对应的等价类，也就是模5同余的元素所组成的集合。A/R = { [1], [2], [3], [4] }其中 [1] 表示模5余1的元素{1,6,11,16}，[2] 表示模5余2的元素{2,7,12}，[3] 表示模5余3的元素{3,8,13}， [4] 表示模5余4的元素{4,9,14}。因此商集 A/R = { [1], [2], [3], [4] }.

我觉得是的，说白了其实就是等价交换。

所谓同余关系，顾名思义：相同余数，用数学语言描述就是：x,y∈s， 当且仅当 x≡y （mod）n（x≡y （mod）n 表示x，y除以n的余数相同）称此关系为模n的同余关系。举例：5和1除以2都余1 ，300和2除以2都余0，这些都叫同余。

同余关系是代数系统的集合中的等价关系，并且在运算的作用下，能够保持关系的等价类。以二元运算为例，在a1*a2中，如果用集合S中与a1等价的任何其他元素b1代换a1，并且用与a2等价的任何其他元素b2代换a2，则所求的结果b1*b2与a1*a2位于同一等价类之中。此外，同余关系与运算密切相关。如果一个代数结构中有多个运算，则需要考察等价关系对于所有这些运算是否都有代换性质。如果等价关系在一个运算上不满足代换性质，该等价关系就不是代数系统上的同余关系。

正整数集S，x，y∈S，定义关系R：＜x，y＞∈R 当且仅当 x≡y （mod）n（x≡y （mod）n 表示x，y除以n的余数相同）称此关系为模n的同余关系。可以验证此关系是一个等价关系

在群的特殊情况下，同余关系可以用基本术语描述为: 如果 G 是群(带有单位元 e)并且 ~ 是在 G 上的二元关系，则 ~ 是同余只要:给定 G 的任何元素 a，a ~ a (自反关系)。给定 G 任何的元素 a 和 b，如果 a ~ b，则 b ~ a (对称关系)。给定 G 的任何元素 a, b 和 c，如果 a ~ b 并且 b ~ c，则 a ~ c (传递关系)。给定 G 的任何元素 a, a" , b 和 b" ，如果 a ~ a" 并且 b ~ b" ， 则 a * b ~ a" * b" 。给定 G 的任何元素 a 和 a" ，如果 a ~ a" ，则 a^(-1) ~ a"^(-1) (这个条件可以从其他四个条件证明，所以严格上是冗余的)。

Z={3k|k属于Z}U{3k+1|k属于Z}U{3k+2|k属于Z}

同余 ~ 完全确定自 G 的同余于单位元的那些元素的集合 {a ∈ G : a ~ e}，而这个集合是正规子群。特别是，a ~ b 当且仅当 b * a ~ e。所以替代谈论在群上同余，人们通常以正规子群的方式谈论它们；事实上，所有同余都唯一的对应于 G 的某个正规子群。