级数的敛散性

用积分判别法。收敛级数（convergent series）是柯西于1821年引进的，它是指部分和序列的极限存在的级数。收敛级数分条件收敛级数和绝对收敛级数两大类，其性质与有限和（有限项相加）相比有本质的差别，例如交换律和结合律对它不一定成立。收敛级数的基本性质主要有：级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变；两个收敛级数逐项相加或逐项相减之后仍为收敛级数；在级数前面加上有限项，不会改变级数的收敛性；原级数收敛，对此级数的项任意加括号后所得的级数依然收敛；级数收敛的必要条件为级数通项的极限为0。性质在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。证明：我们只需证明“在级数的前面部分去掉、加上有限项，不会改变级数的收敛性”，因为其他情形（即在级数中去掉、加上或改变有限项的情形）都可以看成在级数的前面部分先去掉有限项，然后再加上有限项的结果。

1、首先，拿到一个数项级数，先判断其是否满足收敛的必要条件：若数项级数收敛，则 n→+∞ 时，级数的一般项收敛于零。（这一必要条件一般用于证明级数的发散性，即一般项不收敛于零。）2、若满足其必要性。接下来，判断级数是否为正项级数：如果级数为正项级数，则可以使用以下三种判别方法来验证其收敛性。（注：这三种判别方法的前提必须是正项级数。）（1） 比较原则；（2） 比式判别式（适用于n！的级数）；（3） 根式判别法（适用于n次方 的级数）；（注：一般可采用比值判别法的级数可采用根判别法）3、若不是正项级数，则接下来可以判断该级数是否为交错级数。4、若不是交错级数，可以再来判断其是否为绝对收敛的级数。5、如果既不是交错级数又不是正项级数，则对于这样的一般级数，可以用阿贝尔判别法和狄利克雷判别法来判断。

解：此题可转化为幂级数求解构造幂级数∑n=1→ ∞2（-1）^(n+1)*e^(n+2）*x^n求得 ρ=limn→∞|Un+1/Un|=e，所以R=1/e所以幂级数在（-1/e,1/e)收敛x=1/3在该收敛区间所以上题级数收敛级数和为0（可按等比数列求和）

咋不直接搜题呢

原式=(1/3)×(1/2-1/5+1/3-1/6+1/4-1/7+1/5-1/8+……+1/(n+1)-1/(n+4))=(1/3)×(1/2+1/3+1/4-1/(n+2)-1/(n+3)-1/(n+4))。所以收敛，收敛于13/36。

利用积分判别法即可。∫ (1/xlnx)dx = ln(lnx)+C. 由ln(lnx)无界可知。

根据积分判别法定义，若f(x)在[1,+∞)是非负递减连续函数，那么级数∑[n=1 to +∞] f(n)和积分∫[1,+∞] f(x)dx有相同的敛散性.而∫[1,+∞] x/(x²+1)dx=[ln(x²+1)]/2 | (1,+∞) 发散，所以原级数发散。

这个是收敛的

(n+1)^(1/2) - n^(1/2) = 1 / ((n+1)^(1/2) - n^(1/2)) 相当于 1/2 * n^(1/2)ln((n+1)/n) = ln(1+1/n) 相当于 1/n所以 n->无穷大时，求和号内部是 n^(-3/2) 数量级的，于是绝对收敛

莱布尼兹判别法，后面的用积分中值定理

利用积分∫(2,+∞)1/xlnxdx=ln|lnx||(2,+∞)可以发现发散。

这个是交错级数，可有莱布尼兹解，lim(n→∞) ln (e^n)/n=∞的，所以倒过来就是趋向于0上面两个不相等

利用泰勒公式：e^x=Sum{x^n/n!} {n=0到正无穷}e^x=Sum{3^n/n!}=Sum{3^n/n!}+1Sum{3^n/n!}=e^x-1

Step 1首先，拿到一个数项级数，我们先判断其是否满足收敛的必要条件：若数项级数收敛，则 n→+∞ 时，级数的一般项收敛于零。（该必要条件一般用于验证级数发散，即一般项不收敛于零。）Step 2若满足其必要性。接下来，我们判断级数是否为正项级数：若级数为正项级数，则我们可以用以下的三种判别方法来验证其是否收敛。（注：这三个判别法的前提必须是正项级数。）Step 2”三种判别法1.比较原则；2.比式判别法，（适用于含 n！ 的级数）；3.根式判别法，（适用于含 n次方 的级数）；（注：一般能用比式判别法的级数都能用根式判别法）Step 3若不是正项级数，则接下来我们可以判断该级数是否为交错级数：Step 4若不是交错级数，我们可以再来判断其是否为绝对收敛的级数：6Step 5如果既不是交错级数又不是正项级数，则对于这样的一般级数，我们可以用阿贝尔判别法和狄利克雷判别法来判断。

因为f(x)单调减少 所以当x>1 f(x)<f(1)=1 又sinx在(0,1)上单增 所以sinf(x)单调减少

告诉你一个判断的诀窍：因为要考虑n趋向无穷，总可以将n加有限数的那些有限数或略，如n+1用n代替等等。再用p级数判别法。收敛的是：A,EHKLNP,其余发散。

无穷级数常见6个公式是ln(x+1)的麦克劳林级数：x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...+(-1)^(n+1)x^n/n+...。x=1得ln2=1-1/2+1/3-1/4+1/5-...（阿贝尔第二定理）-1<x<1时1 bdsfid="118" (1+x^2)="1-x^2+x^4-x^6+...+((-1)^n)(x^(2n))+...两边积分得arctanx=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+。正项级数及其敛散性：正项级数的主要特征就是如果考虑级数的部分和数列，就得到了一个单调上升数列。而对于单调上升数列是很容易判断其敛散性的：正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界。有界性可以通过许多途径来进行判断，由此我们可以得到一系列的敛散性判别法。以上内容参考：百度百科-无穷级数

先判断这是正项级数还是交错级数　　一、判定正项级数的敛散性　　1.先看当n趋向于无穷大时,级数的通项是否趋向于零（如果不易看出,可跳过这一步）.若不趋于零,则级数发散；若趋于零,则　　2.再看级数是否为几何级数或p级数,因为这两种级数的敛散性是已知的,如果不是几何级数或p级数,则　　3.用比值判别法或根值判别法进行判别,如果两判别法均失效,则　　4.再用比较判别法或其极限形式进行判别,用比较判别法判别,一般应根据通项特点猜测其敛散性,然后再找出作为比较的级数,常用来作为比较的级数主要有几何级数和p级数等.　　二、判定交错级数的敛散性　　1.利用莱布尼茨判别法进行分析判定.　　2.利用绝对级数与原级数之间的关系进行判定.　　3.一般情况下,若级数发散,级数未必发散；但是如果用比值法或根值法判别出绝对级数发散,则级数必发散.　　4.有时可把级数通项拆分成两个,利用“收敛+发散=发散”“收敛+收敛=收敛”判定.　　三、求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域　　1.若级数幂次是按x的自然数顺序递增,则其收敛半径由或求出,进而可以写出收敛区间,再考虑区间端点处数项级数的敛散性可得幂级数的收敛域.　　2.对于缺项幂级数或x的函数的幂级数,可根据比值判别法求收敛半径,也可作代换,换成t的幂级数,再求收敛半径.　　四、求幂级数的和函数与数项级数的和　　1.求幂级数的和函数主要先通过幂级数的代数运算、逐项微分、逐项积分等性质将其化为几何级数的形式,再求和.　　2.求数项级数的和,可利用定义求出部分和,再求极限；或转化为幂级数的和函数在某点的函数值.　　五、将函数展开为傅里叶级数　　将函数展开为傅里叶级数时需根据已有公式求出傅里叶系数,这时可根据函数的奇偶性简化系数的计算,然后再根据收敛性定理写出函数与其傅里叶级数之间的关系.

调和级数（英语：Harmonic series）是一个发散的无穷级数。调和级数是由调和数列各元素相加所得的和。中世纪后期的数学家Oresme证明了所有调和级数都是发散于无穷的。但是调和级数的拉马努金和存在，且为欧拉常数。历史早在14世纪，尼克尔·奥里斯姆已经证明调和级数发散，但知道的人不多。17世纪时，皮耶特罗·曼戈里、约翰·伯努利和雅各布·伯努利完成了全部证明工作。调和序列历来很受建筑师重视；这一点在巴洛克时期尤其明显。当时建筑师在建造教堂和宫殿时，运用调和序列为楼面布置和建筑物高度建立比例，并使室内外的建筑细节间呈现和谐的联系。