变量分离方程

一阶隐式微分方程是变量分离方程。考虑能否化成y"=P(x)y+Q(x),则是一阶线性微分方程,一阶齐次线性微分是变量可分离,一阶非齐次线性微分方程用常数变易法。

dy/dx=y(1-y/10)dy/(y(1-y/10))=dx积分 (1/(y(1-y/10))) dy = 积分 dx + C积分 (10/(y(10-y))) dy = x + C积分 ((10-y+y)/(y(10-y))) dy = x + C积分 (10-y/(y(10-y))+y/y(10-y)) dy = x + C积分 (1/y+1/(10-y)) dy = x + Cln|y|-ln|10-y| = x + Cy/(10-y) = Ce^x10/(10-y) - 1 = Ce^x10-y = 10 / (1 + Ce^x)y = 10 - 10 / (1 + Ce^x)

我有的~看简介嗷~

令x-y=5=t,dy/dx=1-dt/dx原方程化为1-dt/dx=t/(t-7),变离分量(t-7)dt-7dx积分t^2/2-7t=-7x+cdy/dx=(x+1)^2+(4y+1)^2+8xy+1

解答：楼主的问题是两方面的问题：第一：可分离变量型的微分方程，这类方程可以写成： f(x)dx + g(y)dy = 0, 或者：f(x)dx = g(y)dy这类方程的解法：可以直接积分，也可以找积分因子。第二：可找到积分因子的微分方程，这类问题，可以写一本书，在此无法一一举例。最常见的是 dy/dx + P(x)y = Q(x), 这类微分方程问题通常不可以变量分离。积分因子是：Integration Factor (IF) = e^[∫P(x)dx]具体理解，必须结合具体的微分方程，欢迎前来讨论。

dy/dx=1+7/(x-y-2) 令x-y-2=u 1-y"=u" 1-u"=1+7/u u"=-7/u u^2=-14x+C 或：(x-y-2)^2=-14x+C

y(1+x2y2)dx=xdy设xy=u，则y=u/x,dy=d(u/x)=(xdu-udx)/x^2方程化为u/x(1+u^2)dx=x*(xdu-udx)/x^2化简得u(1+u^2)dx=xdu-udx这是可分离变量的微分方程du/(2u+u^3)=dx/x积分得1/2*ln(u)-1/4*ln(2+u^2)=lnx+lnc整理得u^2/(2+u^2)=C*x^4

对于形如 $F(x,y,y")=0$ 的变量分离方程，如果可以通过对 $x$ 和 $y$ 进行某些代数运算将其变形为 $varphi_1(x)dx varphi_2(y)dy=0$ 的形式，那么它就可以写为恰当微分方程形式：$$M(x,y)dx N(x,y)dy=0$$其中$M(x,y)=rac{partial}{partial y}F(x,y,y")$，$N(x,y)=-rac{partial}{partial x}F(x,y,y")$。因此，并不是所有的变量分离方程都可以写为恰当微分方程形式，只有部分可以。