向量数量积运算公式？

向量数量积公式：（1）定义：a*b=|a|*|b|*cosθ ,其中 θ 是向量 a、b 的夹角.（2）公式：如果向量 a、b 的坐标分别是（a1,a2,.,an）、（b1,b2,.,bn）,那么 a*b=a1b1+a2b2+.+anbn .拓展资料向量数量积的基本性质设ab都是非零向量θ是a与b的夹角则① cosθ=a·b/|a||b|②当a与b同向时a·b=|a||b|当a与b反向时a·b=-|a||b|③ |a·b|≤|a||b|④a⊥b=a·b=0适用在平面内的两直线向量数量积运算规律1.交换律α·β=β·α2.分配律(α+β)·γ=α·γ+β·γ3.若λ为数(λα)·β=λ(α·β)=α·(λβ)若λμ为数(λα)·(μβ)=λμ(α·β)4.α·α=|α|^2 此外α·α=0=α=0向量的数量积不满足消去律即一般情况下α·β=α·γα≠0 ≠β=γ向量的数量积不满足结合律即一般α·β)·γ ≠α·β·γ相互垂直的两向量数量积为0

两个向量a,b平行：a=λb （b不是零向量）；两个向量垂直：数量积为0,即　au2022b=0。坐标表示：a=(x1,y1),b=(x2,y2)a//b当且仅当x1y2-x2y1=0a⊥b当且仅当x1x2+y1y2=0在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得：a=xi+yj，我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作：a=(x,y)。其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。扩展资料：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线的非零向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ、μ，使a= λe1+ μe2。给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)·c，所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c混合积具有下列性质：1、三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）2、上条性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=03、(abc) = (bca) = (cab) = - (bac) = - (cba) = - (acb)参考资料：百度百科——平面向量

向量a=(x1,y1),向量b=(x2,y2)a·b=x1x2+y1y2=|a||b|cosθ(θ是a,b夹角)PS:向量之间不叫"乘积",而叫数量积。如a·b叫做a与b的数量积或a点乘b向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。扩展资料向量几何表示向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，向量的大小，也就是向量的长度。长度为0的向量叫做零向量，记作长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。箭头所指的方向表示向量的方向。代数规则1、反交换律：a×b=-b×a2、加法的分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。3、与标量乘法兼容：（ra）×b=a×（rb）=r（a×b）。4、不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。5、分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数。6、两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b=0。参考资料：百度百科-向量积

数量积定义：已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积。记作a·b。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2点积有两种定义方式：代数方式和几何方式。通过在欧氏空间中引入笛卡尔坐标系，向量之间的点积既可以由向量坐标的代数运算得出，也可以通过引入两个向量的长度和角度等几何概念来求解。扩展资料求平面向量数量积的常见方法有四种：①定义法：利用平面向量的定义求解；②坐标法：通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，实现了数形的紧密结合；③分解转化法：利用平面向量基本定理将所求向量用基底表示，将所求数量积转化为易求解的数量积问题．④结合平面几何知识利用投影法求解，即等于与在方向上投影的积或与在方向上投影的积．

最低0.27元/天开通百度文库会员，可在文库查看完整内容>原发布者:青虬白鹿第三节向量的数量积和向量积一,两向量的数量积二,两向量的向量积一,两向量的数量积1定义两个向量a两个向量a和b的模与它们之间夹角的余弦之积,的模与它们之间夹角的余弦之积,称为向量a与的数量积,记作ab,b,即称为向量与b的数量积,记作b,即ab=abcos(a,b)数量积也称点积.数量积也称点积.点积力学意义:一物体在力F的作用下力学意义:一物体在力的作用下,的作用下,沿直线AB移动了F与的夹角为移动了S,的夹角为α,沿直线移动了,与AB的夹角为A如右图,则力对物体做的功为如右图,FθSBW=FScosθ2性质:性质:(1)aa=a2)a=aii=1,jj=1,kk=1(2)a⊥bab=0)ij=0,jk=0,ki=0(3)表示两非零向量a和b的夹角,则有)表示两非零向量aθ的夹角,abcosθ=ab3运算律(1)交换律ab=ba)(2)分配律(a+b)c=ac+bc)(3)结合律(λa)b=λ(ab)=a(λb))其中λ为常数.常数.其中常数4数量积的计算公式设向量a=x1i+y1j+z1k,b=x2i+y2j+z2k则有ab=x1x2+y1y2+z1z2证明:证明:ab=(x1i+y1j+z1k)(x2i+y2j+z2k)=x1x2+y1y2+z1z2abcosθ==ab=x1x2ii+x1y2ij+x1z2ik+y1x2ji+y1y2jj

1.∵ABCD为平行四边形,∴|AB|=|CD|. |AD|=|BC|. (1)向量AB.向量CD=|AB||CD|cosπ=4*4*(-1)=-16; (2)向量AB.向量DA=|AB||DA|*cos(π-60)=4*3*(-cos60°). =-6;2. ...,△ABX是(直角)三角形 .3.∵向量(a-b)⊥b, ∴(a-b).b=0. 向量(a-b).向量b=ab-b^2=0. |a||b|cos<a,b>=|b|^2 1*2cos<a,b>=2^2. cos<a,b>=2, ----这是不合理的,∴原题题设有误,无解.4. 向量a.b=|a||b|cos<a,b>=-12. 6*4cos<a,b>=-12. cos<a,b>=-1/2.∴<a,b>=(120°) ---选A.5. ∵向量(ka+b}⊥向量(ka-b) ∴(ka+b).(ka-b)=0. k^2a^2-b^2=0. k^2=(b/a)^2. =(4/5)^2 ∴k=±4/5.

向量的数量积就是数值上的积结果是数量向量的向量积是是向量在右手定则分量上的向量和

不是这样理解的向量（a,b)(c,b)数量积（a,b)·(c,b)=（ai+bj)(ci+dj)=ac+bd其中i,j为直角坐标系中x轴y轴的正向单位向量i·j=0复数也可以用平面直角坐标系上的坐标表示，只不过将y轴换成了虚轴也就是说，复数与平面直角坐标系上的点可以一一对应的同样取（a,b)(c,b)点,（a,b)·(c,b)=（a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i其中i为虚数单位，也就是虚轴的单位，i^2=-1两向量点乘积为一数量，大小等于两向量的模的积再乘以家教的余弦两复数的积也为复数，其模为两复数模的乘积，辐角等于两复数辐角相加，所以复数可以写成极坐标形式的，（模rho,辐角theta)，与直角坐标(x,y)的关系是x=rho*costheta,y=rho*sinthetarho,theta为希腊字母的英文读法，键盘上敲不出来可以介绍一下两向量叉乘积为一向量，大小等于两向量的模的积再乘以家教的正弦，方向与两向量所在平面垂直（这样有两个），符合右手定则，即第一个向量转到第二个向量时的大拇指的指向，这样就要放到三维坐标系中考虑它的坐标了，就不深入讲了

向量数量积的几何意义是：一个向量在另一个向量上的投影定义两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积两向量α与β的数量积α·β=|α|*|β|cosθ其中|α||β|是两向量的模θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π) 若有坐标α(x1,y1,z1) β(x2,y2,z2)那么 α·β=x1x2+y1y2+z1z2 |α|=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)|β|=sqrt(x2^2+y2^2+z2^2) 把|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影因此用数量积可以求出两向量的夹角的余弦cosθ=α·β/|α|*|β| 已知两个向量A和B,它们的夹角为C,则A的模乘以B的模再乘以C的余弦称为A与B的数量积(又称内积、点积。) 即已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b"·不可省略若用×则成了向量积性质 向量数量积的基本性质设ab都是非零向量θ是a与b的夹角则 ① cosθ=a·b/|a||b| ②当a与b同向时a·b=|a||b|当a与b反向时a·b=-|a||b| ③ |a·b|≤|a||b| ④a⊥b=a·b=0适用在平面内的两直线折叠 向量数量积运算规律 1.交换律α·β=β·α 2.分配律(α+β)·γ=α·γ+β·γ 3.若λ为数(λα)·β=λ(α·β)=α·(λβ) 若λμ为数(λα)·(μβ)=λμ(α·β) 4.α·α=|α|^2 此外α·α=0=α=0 向量的数量积不满足消去律即一般情况下α·β=α·γα≠0 ≠β=γ 向量的数量积不满足结合律即一般α·β)·γ ≠α·β·γ 相互垂直的两向量数量积为0 折叠 平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a=x1y1b=x2y2则有a·b=x1x2+y1y2即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和一般地设两个非零向量a=x1,y1,b=(x2,y2)根据向量的数量积的定义它们的夹角q可由 cosq=(a·b)/(|a|·|b|)=(x1x2+y1y2)/(sqr(x1^2+y1^2)·sqr(x2^2+y2^2))求得由两个向量垂直的充要条件为a·b=0,可得两个向量垂直的充要条件为x1x2+y1y2=0 平面向量的分解定理平面向量的分解定理如果e1e2是同一平面内的两个不平行向量那么对于这一平面的任意向量a有且只有一对实数n1n2使a=n1·e1+n2·e2 (粗字为向量) 在高中平面几何的应用平面向量的数量积a·b是一个非常重要的概念利用它可以很容易地证明平面几何的许多命题例如勾股定理菱形的对角线相互垂直矩形的对角线相等等如证明勾股定理 Rt△ABC中∠C=90°则|CA|^2+|CB|^2=|AB|^2 因AB=CB-CA 所以AB·AB=CB-CA·CB-CA=CB·CB-2CA·CB+CA·CA; 由∠C=90°有CA⊥CB于是CA·CB=0 所以|CA|^2+|CB|^2=|AB|^2 菱形对角线相互垂直菱形ABCD中,点O为对角线ACBD的交点求证AC⊥BD 设|AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a 因AC=AB+BC;BD=BC+CD 所以AC·BD=(AB+BC)(BC+CD)=a^2(cosπ-α+cosπ+cos0+cosα 又因为cosα=-cosπ-α cosπ=-1cos0=1 所以AC·BD=(AB+BC)(BC+CD)=a^2(2cosα+2cosπ-α =0 AC⊥BD

　　向量数量积的几何意义是：一个向量在另一个向量上的投影。 　　向量数量积的定义：两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积。 　　向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。

平面向量 1．基本概念： 向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。 2． 加法与减法的代数运算： (1) ． (2)若a=（ ）,b=（ ）则a b=（ ）． 向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。 以向量 = 、 = 为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量 = + , = － , = － 且有｜ ｜－｜ ｜≤｜ ｜≤｜ ｜+｜ ｜． 向量加法有如下规律： ＋ = ＋ (交换律); +( +c)=( + )+c （结合律）; +0= ＋(－ )=0. 3．实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量。 (1)｜ ｜=｜ ｜·｜ ｜; (2) 当 ＞0时， 与 的方向相同；当 ＜0时， 与 的方向相反；当 =0时， =0． (3)若 =（ ），则 · =（ ）． 两个向量共线的充要条件： (1) 向量b与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得b= ． (2) 若 =（ ）,b=（ ）则 ‖b ． 平面向量基本定理： 若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使得 = e1+ e2． 4．P分有向线段 所成的比： 设P1、P2是直线 上两个点，点P是 上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数 使 = ， 叫做点P分有向线段 所成的比。 当点P在线段 上时， ＞0；当点P在线段 或 的延长线上时， ＜0； 分点坐标公式：若 = ； 的坐标分别为（ ）,（ ）,（ ）；则 （ ≠－1）， 中点坐标公式： ． 5． 向量的数量积： （1）．向量的夹角： 已知两个非零向量 与b，作 = , =b,则∠AOB= （ ）叫做向量 与b的夹角。 （2）．两个向量的数量积： 已知两个非零向量 与b，它们的夹角为 ，则 ·b=｜ ｜·｜b｜cos ． 其中｜b｜cos 称为向量b在 方向上的投影． （3）．向量的数量积的性质： 若 =（ ）,b=（ ）则e· = ·e=｜ ｜cos (e为单位向量); ⊥b ·b=0 （ ，b为非零向量）;｜ ｜= ; cos = = ． (4) ．向量的数量积的运算律： ·b=b· ;( )·b= ( ·b)= ·( b);( ＋b)·c= ·c+b·c． 6.主要思想与方法： 本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。

向量数量积公式：如果向量 a、b 的坐标分别是（a1,a2,.,an）、（b1,b2,.,bn）,那么 a*b=a1b1+a2b2+.+anbn 。数量积是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积，叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。向量积(带方向):也被称为矢量积，叉积即交叉乘积，外积，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量。向量数量积的基本性质：设ab都是非零向量θ是a与b的夹角则。① cosθ=a·b/|a||daob|。②当a与b同向时a·b=|a||b|当a与b反向时a·b=-|a||b|。③ |a·b|≤|a||b|。④a⊥b=a·b=0适用在平面内的两直线。向量数量积运算规律。1.交换律α·β=β·α。2.分配律(α+β)·γ=α·γ+β·γ。3.若λ为数(λα)·β=λ(α·β)=α·(λβ)。若λμ为数(λα)·(μβ)=λμ(α·β)。4.α·α=|α|^2 此外α·α=0=α=0。向量的数量积不满足消去律即一般情况下α·β=α·γα≠0 ≠β=γ。向量的数量积不满足结合律即一般α·β)·γ ≠α·β·γ。相互垂直的两向量数量积为0。

向量积是向量，方向垂直于两个向量，数量积是一个标量

数量积定义：已知两个非零向量a,b，作OA=a,OB=b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作θ并规定0≤θ≤π。定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量（没有方向），记作a·b。在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。

一、指代不同1、数量积：是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。2、向量积：是一种在向量空间中向量的二元运算。二、几何意义不同1、数量积：在点积运算中，第一个向量投影到第二个向量上（这里，向量的顺序是不重要的，点积运算是可交换的），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样，这个分数一定是小于等于1的，可以简单地转化成一个角度值。2、向量积：叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量a，b共起点时，所构成平行四边形的面积。据此有：混合积[abc]=（a×b）·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。三、应用不同1、数量积：平面向量的数量积a·b是一个非常重要的概念，利用它可以很容易地证明平面几何的许多命题，例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、矩形的对角线相等等。2、向量积：在物理学光学和计算机图形学中，叉积被用于求物体光照相关问题。求解光照的核心在于求出物体表面法线，而叉积运算保证了只要已知物体表面的两个非平行矢量（或者不在同一直线的三个点），就可依靠叉积求得法线参考资料来源：百度百科-数量积参考资料来源：百度百科-向量积

数乘是向量的模与实数的乘积，数量积是两个向量的模与它们的夹角的cos值的乘积。

向量a*向量b=|向量a|*|向量b|*cos<a,b>向量(x1,y1) 向量b=(x2,y2)向量a*向量b=x1x2+y1y2

直接乘就好

数量积： 又称“内积”、“点积”，物理学上称为“标量积”。两向量a与b的数量积是数量｜a｜*｜b｜cosθ，记作a·b；其中｜a｜、｜b｜是两向量的模，θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π)。 若有坐标（ax,ay,az）;（bx,by,bz）那么 ab=axbx+ayby+azbz |a|=sqrt(ax^2+ay^2+az^2) 因此，用数量积可以求出两向量的夹角的余弦 已知两个向量A和B,它们的夹角为C,则A的模乘以B的模再乘以C的余弦称为A与B的数量积(又称内积) 即已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b 向量的数量积运算律： 1.a·b=b·a 2.(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb) 3.a·(b+c)=a·b+a·c 注：特殊的，我们把a·a记作a^2，则可得a^2=|a|^2

a·b=|a||b|cosθ已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积，记作a·b。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x_，y_)，b=(x_，y_)，则a·b=x_·x_+y_·y_。

两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积。两向量α与β的数量积：α·β=|α|*|β|cosθ；其中|α|、|β|是两向量的模，θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π)。 两个向量a和b的向量积写作a×b（有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆）。叉积可以被定义为： |向量a×向量b=|a||b|sinθ 向量积在这里θ表示两向量之间的角夹角（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。 两者没有关系，是两个不同的概念

向量数量积公式：如果向量 a、b 的坐标分别是（a1,a2,.,an）、（b1,b2,.,bn）,那么 a*b=a1b1+a2b2+.+anbn 。数量积是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积，叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。向量积(带方向):也被称为矢量积，叉积即交叉乘积，外积，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量。向量数量积的基本性质：设ab都是非零向量θ是a与b的夹角则。① cosθ=a·b/|a||daob|。②当a与b同向时a·b=|a||b|当a与b反向时a·b=-|a||b|。③ |a·b|≤|a||b|。④a⊥b=a·b=0适用在平面内的两直线。向量数量积运算规律。1.交换律α·β=β·α。2.分配律(α+β)·γ=α·γ+β·γ。3.若λ为数(λα)·β=λ(α·β)=α·(λβ)。若λμ为数(λα)·(μβ)=λμ(α·β)。4.α·α=|α|^2 此外α·α=0=α=0。向量的数量积不满足消去律即一般情况下α·β=α·γα≠0 ≠β=γ。向量的数量积不满足结合律即一般α·β)·γ ≠α·β·γ。相互垂直的两向量数量积为0。

向量数量积公式：（1）定义：a*b=|a|*|b|*cosθ ,其中 θ 是向量 a、b 的夹角.（2）公式：如果向量 a、b 的坐标分别是（a1,a2,.,an）、（b1,b2,.,bn）,那么 a*b=a1b1+a2b2+.+anbn .拓展资料向量数量积的基本性质设ab都是非零向量θ是a与b的夹角则① cosθ=a·b/|a||b|②当a与b同向时a·b=|a||b|当a与b反向时a·b=-|a||b|③ |a·b|≤|a||b|④a⊥b=a·b=0适用在平面内的两直线向量数量积运算规律1.交换律α·β=β·α2.分配律(α+β)·γ=α·γ+β·γ3.若λ为数(λα)·β=λ(α·β)=α·(λβ)若λμ为数(λα)·(μβ)=λμ(α·β)4.α·α=|α|^2 此外α·α=0=α=0向量的数量积不满足消去律即一般情况下α·β=α·γα≠0 ≠β=γ向量的数量积不满足结合律即一般α·β)·γ ≠α·β·γ相互垂直的两向量数量积为0

向量a乘以向量b=（向量a得模长）乘以（向量b的模长）乘以cosα［α为2个向量的夹角］。向量a（x1,y1）向量b(x2,y2)，向量a乘以向量b=(x1*x2,y1*y2)。向量的乘积公式：向量a=(x1,y1),向量b=(x2,y2)。a·b=x1x2+y1y2=|a||b|cosθ（θ是a,b夹角）。PS:向量之间不叫＂乘积＂，而叫数量积。如a·b叫做a与b的数量积或a点乘b。发展历史：向量，最初被应用于物理学。很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量。大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。

向量数量积公式：如果向量 a、b 的坐标分别是（a1,a2,.,an）、（b1,b2,.,bn）,那么 a*b=a1b1+a2b2+.+anbn 。数量积是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积，叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。向量积(带方向):也被称为矢量积，叉积即交叉乘积，外积，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量。向量数量积的基本性质：设ab都是非零向量θ是a与b的夹角则。① cosθ=a·b/|a||daob|。②当a与b同向时a·b=|a||b|当a与b反向时a·b=-|a||b|。③ |a·b|≤|a||b|。④a⊥b=a·b=0适用在平面内的两直线。向量数量积运算规律。1.交换律α·β=β·α。2.分配律(α+β)·γ=α·γ+β·γ。3.若λ为数(λα)·β=λ(α·β)=α·(λβ)。若λμ为数(λα)·(μβ)=λμ(α·β)。4.α·α=|α|^2 此外α·α=0=α=0。向量的数量积不满足消去律即一般情况下α·β=α·γα≠0 ≠β=γ。向量的数量积不满足结合律即一般α·β)·γ ≠α·β·γ。相互垂直的两向量数量积为0。

两个向量OA·OB表示的是两个向量的数量积。比如第一小题中的两个向量相乘为什么不是等于|OA|·|OB|cos西塔啊？---------是啊！不过这只是一个表达式，本题用这个表达式计算并不方便。我们用坐标表达式来计算更方便。

两个向量的数量积等于各自的模的积再乘以夹角的余弦值

不是这样理解的向量（a,b)(c,b)数量积（a,b)·(c,b)=（ai+bj)(ci+dj)=ac+bd其中i,j为直角坐标系中x轴y轴的正向单位向量i·j=0复数也可以用平面直角坐标系上的坐标表示，只不过将y轴换成了虚轴也就是说，复数与平面直角坐标系上的点可以一一对应的同样取（a,b)(c,b)点,（a,b)·(c,b)=（a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i其中i为虚数单位，也就是虚轴的单位，i^2=-1两向量点乘积为一数量，大小等于两向量的模的积再乘以家教的余弦两复数的积也为复数，其模为两复数模的乘积，辐角等于两复数辐角相加，所以复数可以写成极坐标形式的，（模rho,辐角theta)，与直角坐标(x,y)的关系是x=rho*costheta,y=rho*sinthetarho,theta为希腊字母的英文读法，键盘上敲不出来可以介绍一下两向量叉乘积为一向量，大小等于两向量的模的积再乘以家教的正弦，方向与两向量所在平面垂直（这样有两个），符合右手定则，即第一个向量转到第二个向量时的大拇指的指向，这样就要放到三维坐标系中考虑它的坐标了，就不深入讲了

向量数量积是两向量的模相乘再乘以两向量夹角的余弦值，而向量的向量积是两模相乘再乘夹角正弦值，此外数量积结果是个标量，向量积结果仍是矢量

一、指代不同1、数量积：是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。2、向量积：是一种在向量空间中向量的二元运算。二、几何意义不同1、数量积：在点积运算中，第一个向量投影到第二个向量上（这里，向量的顺序是不重要的，点积运算是可交换的），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样，这个分数一定是小于等于1的，可以简单地转化成一个角度值。2、向量积：叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量a，b共起点时，所构成平行四边形的面积。据此有：混合积[abc]=（a×b）·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。三、应用不同1、数量积：平面向量的数量积a·b是一个非常重要的概念，利用它可以很容易地证明平面几何的许多命题，例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、矩形的对角线相等等。2、向量积：在物理学光学和计算机图形学中，叉积被用于求物体光照相关问题。求解光照的核心在于求出物体表面法线，而叉积运算保证了只要已知物体表面的两个非平行矢量（或者不在同一直线的三个点），就可依靠叉积求得法线参考资料来源：百度百科-数量积参考资料来源：百度百科-向量积

向量的乘法分为数量积和向量积两种。对于向量的数量积，计算公式为：A=(x1,y1,z1)，B=（x2,y2,z2），A与B的数量积为x1x2+y1y2+z1z2。对于向量的向量积，计算公式为：A=(x1,y1,z1)，B=（x2,y2,z2），则A与B的向量积为代数规则：1、反交换律：a×b=-b×a2、加法的分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。3、与标量乘法兼容：（ra）×b=a×（rb）=r（a×b）。4、不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。5、分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数。6、两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b=0。

若夹角是90度呢？

数量积定义：数量积(dot product; scalar product，也称为点积、点乘)是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。两个向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的点积定为:a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。使用矩阵乘法并把(纵列)向量当作n×1 矩阵，点积还可以写为:a·b=a*b^T，这里的b^T指示矩阵b的转置。基本信息中文名：点乘外文名：dot product; scalar product别称：点积、数量积运算类型：二元运算点积的三个值：u、v、u,v夹角的余弦点积的值：u,v的点积=|u||v|cosu的大小、v的大小、u,v夹角的余弦。在u,v非零的前提下，点积如果为负，则u,v形成的角大于90度;如果为零，那么u,v垂直;如果为正，那么u,v形成的角为锐角。两个单位向量的点积得到两个向量的夹角的cos值，通过它可以知道两个向量的相似性，利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越强。

向量数量积公式：（1）定义：a*b=|a|*|b|*cosθ ,其中 θ 是向量 a、b 的夹角.（2）公式：如果向量 a、b 的坐标分别是（a1,a2,.,an）、（b1,b2,.,bn）,那么 a*b=a1b1+a2b2+.+anbn .拓展资料向量数量积的基本性质设ab都是非零向量θ是a与b的夹角则① cosθ=a·b/|a||b|②当a与b同向时a·b=|a||b|当a与b反向时a·b=-|a||b|③ |a·b|≤|a||b|④a⊥b=a·b=0适用在平面内的两直线向量数量积运算规律1.交换律α·β=β·α2.分配律(α+β)·γ=α·γ+β·γ3.若λ为数(λα)·β=λ(α·β)=α·(λβ)若λμ为数(λα)·(μβ)=λμ(α·β)4.α·α=|α|^2 此外α·α=0=α=0向量的数量积不满足消去律即一般情况下α·β=α·γα≠0 ≠β=γ向量的数量积不满足结合律即一般α·β)·γ ≠α·β·γ相互垂直的两向量数量积为0

a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)a*b=a1b1+a2b2+a3b3 叫a、b的数量积，是一个数，又叫点积或内积，a×b=(a2b3-a3b2，a3b1-a1b3，a1b2-a2b1) 叫a、b的向量积，仍是一个向量，又叫叉积或外积。

不是，这是一个标量，在实数域上定义的向量集的数量积结果是一个实数

向量数量积的运算律是：1、交换律：a·b=b·a。2、数乘结合律：（ta）·b=a·（tb）＝t（a·b）。3、分配律：a·（b+c）＝a·b+a·c。4、λ（μa)=(λμ）a。5、（λ＋μ）a=λa+μa。6、λ（a+b)=λa+λb (λμ是实数，a,b均为向量）。向量积和数量积的区别有:1、向量积（带方向）：也被称为矢量积、叉积（即交叉乘积）、外积，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量都垂直。叉积的长度｜a × b|可以解释成以a和b为边的平行四边形的面积（｜a||b|cos)。2、数量积（不带方向）：又称“内积”、“点积”，物理学上称为“标量积”。两向量a与b的数量积是数量｜a|·|b|cosθ，记作a·b；其中｜a|、｜b|是两向量的模，θ是两向量之间的夹角（0≤θ≤π）。

两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积.　　两向量α与β的数量积：α·β=|α|*|β|cosθ；其中|α|、|β|是两向量的模,θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π).若有坐标α(x1,y1,z1)；β(x2,y2,z2),那么α·β=x1x2+y1y2+z1z2；　|α|=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)；|β|=sqrt(x2^2+y2^2+z2^2).　　因此,用数量积可以求出两向量的夹角的余弦cosθ=α·β/|α|*|β|.　　已知两个向量A和B,它们的夹角为C,则A的模乘以B的模再乘以C的余弦称为A与B的数量积(又称内积)　　即已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b（"·“不可省略,若用“×”则成了向量积）

a(x1,y1) b(x2,y2)a*b=x1*x2+y1*y2向量是有方向的线段，两个有方向的向量，不同向，一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a、b的夹角，则|b|cosθ是向量b在向量a的方向上的投影|a|cosθ是向量a在向量b方向上的投影。其实向量的数量积使用三角的勾股定理推出来的，在向量中|a|表示的是距离，或者模而不是绝对值，而考试的过程中向量的数量积题目一般会提示你求出向量的数量积，这时候需要定位出两点坐标，或者其中一点的坐标和夹角。

不是这样理解的向量（a,b)(c,b)数量积（a,b)·(c,b)=（ai+bj)(ci+dj)=ac+bd其中i,j为直角坐标系中x轴y轴的正向单位向量i·j=0复数也可以用平面直角坐标系上的坐标表示，只不过将y轴换成了虚轴也就是说，复数与平面直角坐标系上的点可以一一对应的同样取（a,b)(c,b)点,（a,b)·(c,b)=（a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i其中i为虚数单位，也就是虚轴的单位，i^2=-1两向量点乘积为一数量，大小等于两向量的模的积再乘以家教的余弦两复数的积也为复数，其模为两复数模的乘积，辐角等于两复数辐角相加，所以复数可以写成极坐标形式的，（模rho,辐角theta)，与直角坐标(x,y)的关系是x=rho*costheta,y=rho*sinthetarho,theta为希腊字母的英文读法，键盘上敲不出来可以介绍一下两向量叉乘积为一向量，大小等于两向量的模的积再乘以家教的正弦，方向与两向量所在平面垂直（这样有两个），符合右手定则，即第一个向量转到第二个向量时的大拇指的指向，这样就要放到三维坐标系中考虑它的坐标了，就不深入讲了

就是两个向量的坐标相乘，例：（1.0）（0.1）数量积就是0，即1*0-0*1=0他们是垂直的

一、向量的数量积格式：a*b=|a||b|cosθ,a,b表示向量，θ表示向量a,b共起点时的夹角，很明显向量的数量积表示数，不是向量。二、拓展资料：关于向量积1、向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛，通常应用于物理学光学和计算机图形学中。2、两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆）。3、向量积可以被定义为： 。4、模长：（在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。）。5、方向：a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。）（参考资料：百度百科：向量积）

向量积（带方向）:也被称为矢量积、叉积（即交叉乘积）、外积，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量都垂直。叉积的长度|a×b|可以解释成以a和b为边的平行四边形的面积.(|a||b|cos<a,b>)。一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，则将右手的拇指指向第一个向量的方向，右手的食指指向第二个向量的方向，那么结果向量的方向就是右手中指的方向。由于向量的叉积由坐标系确定，所以其结果被称为伪向量。数量积（不带方向）：又称“内积”、“点积”，物理学上称为“标量积”。两向量a与b的数量积是数量｜a｜·｜b｜cosθ，记作a·b；其中｜a｜、｜b｜是两向量的模，θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π)。即已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b　　

分析:打9折后卖出获利7.5元,且成本是60元,可知卖出价是(60+7.5=)67.5元, 由于此时的67.5元是打九折的售价,用67.5÷0.9可得原售价75元.原售价比成本60元多15元,即定价利润是15元,15÷60*100%可得定价利润的百分比25%. 列式 60+7.5=67.5(元) 67.5÷90%=75(元) (75-60)÷60*100%=25% 答:这种商品使按25%的利润定价

登飞来峰和游山西村和己亥杂诗翻译：Den and youshanxicun and 己 poems翻译：听说在飞来峰极高的塔上，鸡鸣时分可看到旭日初升。不怕浮云会遮住我的视线，只因为如今我身在最高层。原文：登飞来峰【作者】王安石 【朝代】宋飞来山上千寻塔，闻说鸡鸣见日升。不畏浮云遮望眼，自缘身在最高层。扩展资料：《登飞来峰》是北宋文学家、政治家王安石创作的一首七言绝句。诗的第一句中写峰上古塔之高，写出自己的立足点之高。第二句巧妙地虚写出在高塔上看到的旭日东升的辉煌景象，表现了诗人朝气蓬勃，对前途充满信心。诗的后两句承接前两句写景议论抒情，使诗歌既有生动的形象又有深刻的哲理。古人常有浮云蔽日、邪臣蔽贤的忧虑，而诗人却加上“不畏”二字。表现了诗人在政治上高瞻远瞩，不畏奸邪的勇气和决心。创作背景：宋仁宗皇祐二年（1050）夏，诗人王安石在浙江鄞县知县任满回江西临川故里时，途经杭州，写下此诗。是他初涉宦海之作。此时诗人只有三十岁，正值壮年，抱负不凡，正好借登飞来峰一抒胸臆，表达宽阔情怀，可看作实行新法的前奏。参考资料:百度百科----登飞来峰《登幽州台歌》是唐代诗人陈子昂的作品。全诗翻译：向前看不见古之贤君，向后望不见当今明主。一想到天地无穷无尽，我倍感凄凉独自落泪。《望岳》是唐代诗人杜甫的作品。全诗翻译：东岳泰山，美景如何？走出齐鲁，山色仍然历历在目。神奇自然，会聚千种美景，山南山北，分出清晨黄昏。层层白云，荡涤胸中沟壑；翩翩归鸟，飞入赏景眼圈。定要登上泰山顶峰，俯瞰群山豪情满怀。《登飞来峰》是北宋文学家、政治家王安石创作的一首七言绝句。全诗翻译：飞来峰顶有座高耸入云的塔，听说鸡鸣时分可以看见旭日升起。不怕层层浮云遮住我那远眺的视野，只因为我站在飞来峰顶，登高望远心胸宽广。《游山西村》是宋代诗人陆游的作品。全诗翻译：不要笑农家腊月里酿的酒浊而又浑，在丰收屿年景里待客菜肴非常丰繁。山峦重叠水流曲折正担心无路可走，柳绿花艳忽然眼前又出现一个山村。吹着箫打起鼓春社的日子已经接近，村民们衣冠简朴古代风气仍然保存。今后如果还能乘大好月色出外闲游，我一定拄着拐杖随时来敲你的家门。《己亥杂诗》（其五）是清代诗人龚自珍的作品。全诗翻译：浩浩荡荡的离别愁绪向着日落西斜的远处延伸， 离开北京，马鞭向东一挥，感觉就是人在天涯一般。 我辞官归乡，有如从枝头上掉下来的落花，但它却不是无情之物，化成了春天的泥土，还能起着培育下一代的作用。登幽州台歌,望岳,登飞来峰,游山西村,己亥杂诗【其五】的翻译 - ：全诗翻译:飞来峰顶有座高耸入云的塔,听说鸡鸣时分可以看见旭日升起.不怕层层浮云遮住我那远眺的视野,只因为我站在飞来峰顶,登高望远心胸宽广. 《游山西村》是宋代诗人陆游的作品. 全诗翻译:不要笑农家腊...登飞来峰和游山西村和己亥杂诗的翻译 - ： 登飞来峰和游山西村和己亥杂诗 翻译:Den and youshanxicun and 己 poems登飞来峰和己亥杂诗两者在写作手法上有何异同 - ：[答案] 存大同、、不求小异.天道、、大爱青春年少的我们,要有王安石在《登飞来峰》中“ , . ”一般的心胸气魄和高瞻远瞩,也要... - ：[答案]不畏浮云渡望眼,自缘身在最高层.山重水复疑无路,柳暗花明又一村《己亥杂诗》和《登飞来峰》的赏析问题 - ：《登飞来峰》:3.解释“不畏浮云遮望眼,自缘身在最高层”,并谈谈你的理解. 1 离愁指离别之忧,一方面,离别是忧伤的,毕竟自己寓居京城多年,故友如云,往事如烟;另一方面,离别是轻松愉快的,毕竟自己逃...思考《登幽州台歌》《己亥杂诗》《游山西村》这三首诗之间的相同与不同之处并? - ： 思想哟恩《登幽州台歌》你不扎实,嗯,《游山西村》这三首诗之间有什么嗯不相同之处,主要是私人不一样,玩在写的那个思想的地方也不一样.求人教版七年级下册语文课后必背古诗是哪十三首? - ： 人教版七年级下册语文课后必备古诗13首是:《竹里馆》《春夜洛城闻笛》《逢入京使》《晚春》《登幽州台歌》《望岳》《登飞来峰》《游山西村》《己亥杂诗》《泊秦淮》《贾生》《过松源晨炊漆公店》《约客》. 1、...有哪首诗和游山西村这首诗的意思相似? - ： 你好!是孟浩然的过故人庄 故人具鸡黍,邀我至田家. 绿树村边合,青山郭外斜. 开轩面场圃,把酒话桑麻. 待到重阳日,还来就菊花.2019语文七年级下册人教的古诗和古文有哪些? - ： 4.孙权劝学8.木兰诗12.卖油翁16.陋室铭 爱莲说20.登幽州台歌 望岳 登飞来峰 游山西村 己亥杂诗(其五)24.河中石兽 课外古诗词诵读.竹里馆 春夜洛城闻笛 逢入京使 晚春 泊秦淮 贾生 过松源晨炊漆公店(其五) 约客搜索诗――《望岳》《游山西村》(龚自珍《已亥杂诗》. - ： 望岳:岱宗夫如何?齐鲁青未了.造化钟神秀,阴阳割昏晓.荡胸生层云,决眦入归鸟.会当凌绝顶,一览众山小.游山西村:莫笑农家腊酒浑,丰年留客足鸡豚.山重水复疑无路,柳暗花明又一村.箫鼓追随春社近,衣冠简朴古风存.从今若许闲乘月,拄杖无时夜叩门.己亥杂诗:其五:浩荡离愁白日斜,吟鞭东指即天涯.落红不是无情物,化作春泥更护花.其二百二十:九州生气恃风雷,万马齐喑究可哀.我劝天公重抖擞,不拘一格降人才.

解:设降价了x元.依题意得 (1+0.5)(60-x)=(1+0.2)×60 x=12

洞在清溪何边处

　　“还来就菊花”上一句是“待到重阳日”。意思是：等到九九重阳节到来时，再请君来这里观赏菊花。 　　此句出自唐代诗人孟浩然的《过故人庄》，原文： 　　故人具鸡黍，邀我至田家。绿树村边合，青山郭外斜。开轩面场圃，把酒话桑麻。待到重阳日，还来就菊花。 　　译文：老朋友预备丰盛的饭菜，邀请我到他好客的农家。翠绿的树林围绕着村落，苍青的山峦在城外横卧。推开窗户面对谷场菜园，手举酒杯闲谈庄稼情况。等到九九重阳节到来时，再请君来这里观赏菊花。

人家不会的呢！嘤嘤嘤(u0ca5_u0ca5)……

过零丁洋的诗意 《过零丁洋》 作者：文天祥 原文： 辛苦遭逢起一经，干戈寥落四周星。 山河破碎风飘絮，身世浮沉雨打萍。 惶恐滩头说惶恐，零丁洋里叹零丁。 人生自古谁无死？留取丹心照汗青。 注释： 1、零丁洋：零丁洋即伶丁洋。现在广东省珠江口外。1278年底，文天祥率军在广东五坡岭与元军激战，兵败被俘，囚禁船上曾经过零丁洋。 2、遭逢：遭遇。起一经，因为精通一种经书，通过科举考试而被朝廷起用作官。文天祥二十岁考中状元。 3、干戈：指抗元战争。寥（lio）落：荒凉冷落。一作落落。四周星：四周年。文天祥从1275年起兵抗元，到1278年被俘，一共四年。 4、絮：柳絮。 5、萍：浮萍。 6、惶恐滩：在今江西省万安县，是赣江中的险滩。1277年，文天祥在江西被元军打败，所率军队死伤惨重，妻子儿女也被元军俘虏。他经惶恐滩撤到福建。 7、零丁：孤苦无依的样子。 8、丹心：红心，比喻忠心。 9、汗青：同汗竹，史册。古代用简写字，先用火烤干其中的水分，干后易写而且不受虫蛀，也称汗青。 诗意： 回想我早年由科举入仕历尽辛苦， 如今战火消歇已熬过了四个年头。 国家危在旦夕恰如狂风中的柳絮， 个人又哪堪言说似骤雨里的浮萍。 惶恐滩的惨败让我至今依然惶恐， 零丁洋身陷元虏可叹我孤苦零丁。 人生自古以来有谁能够长生不死？ 我要留一片爱国的丹心映照史册。 赏析： 首联辛苦遭逢起一经，干戈寥落四周星。起一经当指天祥二十岁中进士说的，四周星即四年。天祥于德佑元年（1275），起兵勤王，至祥兴元年（1278）被俘，恰为四个年头。此自叙生平，思今忆昔。从时间说，拈出入世和勤王，一关个人出处，一关国家危亡，两件大事，一片忠心。唐宋时期，一个人要想替国家做出一番事业，必须入仕，要入仕，作为知识分子必须通过科举考选，考选就得读经，文天祥遇难时，衣带中留有个自赞文说：读圣贤书，所学何事，而今而后，庶几无愧，就是把这两件事拴在一起的。圣人着作就叫经，经是治国安邦的。这两句诗，讲两件事，似可分开独立，而实质上是连结在一起的。干戈寥落一作干戈落落，意思相近。《后汉书耿弁传》落落难合注云：落落犹疏阔也。疏阔即稀疏、疏散，与寥落义同。《宋史》说当时谢后下勤王诏，响应的人很少，这里所讲情况正合史实。 颔联接着说山河破碎风飘絮，身世浮沉雨打萍。还是从国家和个人两方面展开和深入加以铺叙。宋朝自临安弃守，恭帝赵昰被俘，事实上已经灭亡。剩下的只是各地方军民自动组织起来抵抗。文天祥、张世杰等人拥立的端宗赵昱逃难中惊悸而死，陆秀夫复立八岁的赵昺建行宫于崖山，各处流亡，用山河破碎形容这种局面，加上说风飘絮，形象生动，而心情沉郁。这时文天祥自己老母被俘，妻妾被囚，大儿丧亡，真像水上浮萍，无依无附，景象凄凉。 颈联继续追述今昔不同的处境和心情，昔日惶恐滩边，忧国忧民，诚惶诚恐；今天零丁洋上孤独一人，自叹伶仃。皇恐滩是赣江十八滩之一，水流湍急，令人惊恐，也叫惶恐滩。原名黄公滩，因读音相近，讹为皇恐滩。滩在今江西省万安县境内赣江中，文天祥起兵勤王时曾路过这里。零丁洋在今广东省珠江15里外的崖山外面，现名伶丁洋，文天祥兵败被俘，押送过此。前者为追忆，后者乃当前实况，两者均亲身经历。一身为战将，一为阶下囚。故作战将，面对强大敌人，恐不能完成守土复国的使命，惶恐不安。而作为阶下囚，孤苦伶仃，只有一人。这里风飘絮、雨打萍、惶恐滩、零丁洋都是眼前景物，信手拈来，对仗工整，出语自然，而形象生动，流露出一腔悲愤和盈握血泪。 尾联笔势一转，忽然宕进，由现在渡到将来，拨开现实，露出理想，如此结语，有如撞钟，清音绕梁。全诗格调，顿然一变，由沉郁转为开拓、豪放、洒脱。人生自古谁无死，留取丹心照汗青。让赤诚的心如一团火，照耀史册，照亮世界，照暖人生。用一照字，显示光芒四射，英气逼人。据说张弘范看到文天祥这首诗，尤其是尾联这两句，连称：好人，好诗！诚然文天祥把做诗与做人，诗格与人格，浑然一体。千秋绝唱，情调高昂，激励和感召古往今来无数志士仁人为正义事业英勇献身。 文天祥 过零丁洋 《过零丁洋》 作者：文天祥 辛苦遭逢起一经，干戈寥落四周星。 山河破碎风飘絮，身世浮沉雨打萍。 惶恐滩头说惶恐，零丁洋里叹零丁。 人生自古谁无死，留取丹心照汗青。 注释： 1、汗青：古代在竹简上写字，先以火炙烤竹片，以防虫蛀。因竹片水分蒸发如汗，故称书简为汗青，也做杀青。这里特指史册。 2、零丁洋：即伶仃洋，现在广东省中山南的珠江口。文天祥于宋末帝赵昺祥兴元年（1278）十二月被元军所俘，囚于零丁洋的战船中，次年正月，元军都元帅张弘范攻打崖山，逼迫文天祥招降坚守崖山的宋军统帅张世杰。于是，文天祥写了这首诗。 3、辛苦句：追述早年身世及为官以来的种种辛苦。遭逢，遭遇到朝廷选拔；起一经，指因精通某一经籍而通过科举考试得官。文天祥在宋理宗宝佑四年（1256）以进士第一名及第。 4、干戈寥落：寥落意为冷清，稀稀落落。在此指宋元间的战事已经接近尾声。干戈，两种兵器，这里代指战争。寥落，荒凉冷落。南宋亡于本年（1279），此时已无力反抗。四周星：周星即岁星，岁星十二年在天空循环一周，故又以周星惜指十二年。四周星即四十八年，文天祥作此诗时四十四岁，这里四周星用整数。旧注多以四周星为文天祥1275年应诏勤王以来的四年，其实本诗前两句应当合起来理解，是诗人对平生遭遇的回顾。 5、山河句：以对偶和比喻的修辞手法，把国家的命运和个人的命运联系在一起，形象地展现了风雨飘摇的政治形势，说明国家局势和个人命运都已经难以挽回。风飘絮：运用比喻的修辞手法，形容国势如柳絮飘散，无可挽回；雨打萍：比喻自己身世坎坷，如同雨中浮萍，漂泊无根，时起时沉。 6、惶恐滩：在今江西万安赣江，水流湍急，极为险恶，为赣江十八滩之一。宋瑞宗景炎二年（1277），文天祥在江西空阬兵败，经惶恐滩退往福建。 7、零丁句：孤苦无依的样子，慨叹当前处境以及自己的孤军勇战、孤立无援。诗人被俘后，被囚禁于零丁洋的战船中。 8、　留取丹心照汗青：留取赤胆忠心，永远在史册中放光。丹心：红心，比喻忠心。汗青：因竹片水蒸发如汗，故称书简为汗青。特指史册。 翻译： 我一生的辛苦遭遇， 都开始于一部儒家经书； 从率领义军抗击元兵以来， 经过了整整四年的困苦岁月。 祖国的大好河山在敌人的侵略下支离破碎， 就像狂风吹卷着柳絮零落飘散； 自己的身世遭遇也动荡不安， 就像暴雨打击下的浮萍颠簸浮沉。 想到前兵败江西， （自己）从惶恐滩头撤离的情景， 那险恶的激流、严峻的形势， 至今还让人惶恐心惊； 想到去年五岭坡全军覆没， 身陷敌手， 如今在浩瀚的零丁洋中， 只能悲叹自己的孤苦伶仃。 自古人生在世， 谁没有一死呢？ 为国捐躯，死得其所， （让我）留下这颗赤诚之心光照青史吧！ 赏析： 这首诗是文天祥被俘后为誓死明志而作。一二句诗人回顾平生，但限于篇幅，在写法上是举出入仕和兵败一首一尾两件事以概其馀。中间四句紧承干戈寥落，明确表达了作者对当前局势的认识：国家处于风雨飘摇中，亡国的悲剧已不可避免，个人命运就更难以说起。但面对这种巨变，诗人想到的却不是个人的出路和前途，而是深深地遗憾两年前在空航自己未能在军事上取得胜利，从而扭转局面。同时，也为自己的孤立无援感到格外痛心。我们从字里行间不难感受到作者国破家亡的巨痛与自责、自叹相交织的苍凉心绪。末二句则是身陷敌手的诗人对自身命运的一种毫不犹豫的选择。这使得前面的感慨、遗恨平添了一种悲壮激昂的力量和底气，表现出独特的崇高美。这既是诗人人格魅力的体现，也表现了中华民族的独特的精神美，其感人之处远远超出了语言文字的范围。 过华清宫的诗意 过华清宫的诗意 《过华清宫》 作者：杜牧 原文： 长安回望绣成堆，山顶千门次第开。 一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来。 注释： 1、华清宫：《元和郡县志》：华清宫在骊山上，开元十一年初置温泉宫。天宝六年改为华清宫。又造长生殿，名为集灵台，以祀神也。 2、绣成堆：骊山右侧有东绣岭，左侧有西绣岭。唐玄宗在岭上广种林木花卉，郁郁葱葱。 3、千门：形容山顶宫殿壮丽，门户众多。次第：依次。 4、一骑（j古代读ji，现在一般都读qi（二声））：指一人骑着一马。 5、红尘：指策马疾驰时飞扬起来的尘土。 6、妃子：指贵妃杨玉环。 7、红尘：这里指飞扬的尘土。妃子：指杨贵妃。乐史《杨太真外传》：上曰：赏名花，对妃子，焉用旧乐词！《新唐书李贵妃传》：妃嗜荔枝，必欲生致之，乃置骑传送，走数千里，味未变已至京师。《唐国史补》：杨贵妃生于蜀，好食荔枝，南海所生，尤胜蜀者，故每岁飞驰以进。然方暑而熟，经宿则败，后人皆不知之。按：此诗或为写意之作，意在讽刺玄宗宠妃之事，不可一一求诸史实。在唐代，岭南荔枝无法运到长安一带，故自苏轼即言此时荔枝自涪州致之，非岭南也（《通鉴唐纪》注）。而荔枝成熟的季节，玄宗和贵妃必不在骊山。玄宗每年冬十月进驻华清宫，次年春即回长安。《程氏考古编》亦辨其谬，近人陈寅恪亦复考证之。 8、知是：一作知道。 诗意： 从长安回望骊山， 只见林木、花卉、建筑，宛如一堆锦绣， 山顶上一道道宫门逐层地开着。 驿马奔驰神速，看不清所载何物， 惟有杨贵妃在山上远望， 知道是最心爱的荔枝被运来，欣然而笑。 赏析： 华清宫是公元723年（唐玄宗开元十一年）修建的行宫，唐玄宗和杨贵妃曾在那里寻欢作乐。后代有许多诗人写过以华清宫为题的咏史诗，而杜牧的这首绝句尤为精妙绝伦，脍炙人口。此诗通过送荔枝这一典型事件，鞭挞了玄宗与杨贵妃骄奢淫逸的生活，有着以微见着的艺术效果。 起句描写华清宫所在地骊山的景色。诗人从长安回望的角度来写，犹如电影摄影师，在观众面前先展现一个广阔深远的骊山全景：林木葱茏，花草繁茂，宫殿楼阁耸立其间，宛如团团锦绣。绣成堆，既指骊山两旁的东绣岭、西绣岭，又是形容骊山的美不胜收，语意双关。 接着，场景向前推进，展现出山顶上那座雄伟壮观的行宫。平日紧闭的宫门忽然一道接着一道缓缓地打开了。接下来，又是两个特写镜头：宫外，一名专使骑着驿马风驰电掣般疾奔而来，身后扬起一团团红尘；宫内，妃子嫣然而笑了。几个镜头貌似互不相关，却都包蕴着诗人精心安排的悬念：千门因何而开？一骑为何而来？妃子又因何而笑？诗人故意不忙说出，直至紧张而神秘的气氛憋得读者非想知道不可时，才含蓄委婉地揭示谜底：无人知是荔枝来。荔枝两字，透出事情的原委。《新唐书杨贵妃传》：妃嗜荔枝，必欲生致之，乃置骑传送，走数千里，味未变，已至京师。明于此，那么前面的悬念顿然而释，那几个镜头便自然而然地联成一体了。 吴乔《围炉诗话》说：诗贵有含蓄不尽之意，尤以不着意见声色故事议论者为最上。杜牧这首诗的艺术魅力就在于含蓄、精深，诗不明白说出玄宗的荒淫好色，贵妃的恃宠而骄，而形象地用一骑红尘与妃子笑构成鲜明的对比，就收到了比直抒己见强烈得多的艺术效果。妃子笑三字颇有深意。春秋时周幽王为博妃子一笑，点燃烽火，导致国破身亡。读到这里时，读者是很容易联想到这个尽人皆知的故事。无人知三字也发人深思。其实荔枝来并非绝无人知，至少妃子知，一骑知，还有一个诗中没有点出的皇帝更是知道的。这样写，意在说明此事重大紧急，外人无由得知，这就不仅揭露了皇帝为讨宠妃欢心无所不为的荒唐，也与前面渲染的不寻常的气氛相呼应。全诗不用难字，不使典故，不事雕琢，朴素自然，寓意精深，含蓄有力，是唐人咏史绝句中的佳作。 过故人庄的诗意 过故人庄的诗意 《过故人庄》 唐孟浩然 故人具鸡黍， 邀我至田家。 绿树村边合， 青山郭外斜。 开筵面场圃， 把酒话桑麻。 待到重阳日， 还来就菊花。 注释： 1、过：拜访。 2、具：准备。 3、场圃：农家的小院。 5、就：赴。这里指欣赏的意思。 译文： 老友备好了黄米饭和烧鸡， 邀我做客到他朴实的田家。 村子外边是一圈绿树环抱， 郊外是苍翠的小山包平斜。 推开窗户迎面是田地场圃， 把酒对饮闲聊着耕作桑麻。 等到九月重阳节的那一天， 再一次来品尝菊花酒好啦！ 赏析： 这是一首田园诗，描写农家恬静闲适的生活情景，也写老朋友的情谊。诗由邀到至到望又到约一径写去，自然流畅。语言朴实无华，意境清新隽永。 这是一幅非常朴实的田园风景画。诚挚亲切的友情，典型农家生活场景，熔自然美、生活美、友情美于一炉，可以看出诗人的内心世界的和谐。 沈德潜称孟浩然的诗语淡而味终不薄（《唐诗别裁》）。也就是说，读孟诗，应该透过它淡淡的外表，去体会内在的韵味。《过故人庄》在孟诗中虽不算是最淡的，但它用省净的语言，平平地叙述，几乎没有一个夸张的句子，没有一个使人兴奋的词语，也已经可算是淡到看不见诗（闻一多《孟浩然》）的程度了。它的诗味究竟表现在哪里呢？ 故人具鸡黍，邀我至田家。这一开头似乎就象是日记本上的一则记事。故人邀而我至，文字上毫无渲染，招之即来，简单而随便。这正是不用客套的至交之间所可能有的形式。而以鸡黍相邀，既显出田家特有风味，又见待客之简朴。正是这种不讲虚礼和排场的招待，朋友的心扉才往往更能为对方敞开。这个开头，不甚着力，平静而自然，但对于将要展开的生活内容来说，却是极好的导入，显示了气氛特征，又有待下文进一步丰富、发展。 绿树村边合，青山郭外斜。走进村里，顾盼之间竟是这样一种清新愉悦的感受。这两句上句漫收近境，绿树环抱，显得自成一统，别有天地；下句轻宕笔锋，郭外的青山依依相伴，则又让村庄不显得孤独，并展示了一片开阔的远景。这个村庄座落平畴而又遥接青山，使人感到清淡幽静而绝不冷奥孤僻。正是由于故人庄出现在这样的自然和社会环境中，所以宾主临窗举杯，开轩面场圃，把酒话桑麻，才更显得畅快。这里开轩二字也似乎是很不经意地写入诗的，但上面两句写的是村庄的外景，此处叙述人在屋里饮酒交谈，轩窗一开，就让外景映入了户内，更给人以心旷神怡之感。对于这两句，人们比较注意话桑麻，认为是相见无杂言（陶渊明《归田园居》），忘情在农事上了，诚然不错。但有了轩窗前的一片打谷场和菜圃，在绿阴环抱之中，又给人以宽敞、舒展的感觉。话桑麻，就更让你感到是田园。于是，我们不仅能领略到更强烈的农村风味、劳动生产的气息，甚至仿佛可以嗅到场圃上的泥土味，看到庄稼的成长和收获，乃至地区和季节的特征。有这两句和前两句的结合，绿树、青山、村舍、场圃、桑麻和谐地打成一片，构成一幅优美宁静的田园风景画，而宾主的欢笑和关于桑麻的话语，都仿佛萦绕在我们耳边。它不同于纯然幻想的桃花源，而是更富有盛唐社会的现实色采。正是在这样一个天地里，这位曾经慨叹过当路谁相假，知音世所稀的诗人，不仅把政治追求中所遇到的挫折，把名利得失忘却了，就连隐居中孤独抑郁的情绪也丢开了。从他对青山绿树的顾盼，从他与朋友对酒而共话桑麻，似乎不难想见，他的思绪舒展了，甚至连他的举措都灵活自在了。农庄的环境和气氛，在这里显示了它的征服力，使得孟浩然似乎有几分皈依了。 待到重阳日，还来就菊花。孟浩然深深为农庄生活所吸引，于是临走时，向主人率真地表示将在秋高气爽的重阳节再来观赏菊花。淡淡两句诗，故人相待的热情，作客的愉快，主客之间的亲切融洽，都跃然纸上了。这不禁又使人联想起杜甫的《遭田父泥饮美严中丞》：月出遮我留，仍嗔问升斗。杜诗田父留人，情切语急；孟诗与故人再约，意舒词缓。杜之郁结与孟之恬淡之别，从这里或许可以窥见一些消息吧。 一个普通的农庄，一回鸡黍饭的普通款待，被表现得这样富有诗意。描写的是眼前景，使用的是口头语，描述的层次也是完全任其自然，笔笔都显得很轻松，连律诗的形式也似乎变得自由和灵便了。你只觉得这种淡淡的平易近人的风格，与他描写的对象──朴实的农家田园和谐一致，表现了形式对内容的高度适应，恬淡亲切却又不是平浅枯燥。它是在平淡中蕴藏着深厚的情味。一方面固然是每个句子都几乎不见费力锤炼的痕迹，另一方面每个句子又都不曾显得薄弱。比如诗的头两句只写友人邀请，却能显出朴实的农家气氛；三四句只写绿树青山却能见出一片天地；五六句只写把酒闲话，却能表现心情与环境的惬意的契合；七八句只说重阳再来，却自然流露对这个村庄和故人的依恋。这些句子平衡均匀，共同构成一个完整的意境，把恬静秀美的农村风光和淳朴诚挚的情谊融成一片。这是所谓篇法之妙，不见句法（沈德潜《唐诗别裁》）。不钩奇抉异若公输氏当巧而不巧者（皮日休《郢州孟亭记》）。他把艺术美深深地融入整个诗作的血肉之中，显得自然天成。这种不炫奇猎异，不卖弄技巧，也不光靠一两个精心制作的句子去支撑门面，是艺术水平高超的表现。譬如一位美人，她的美是通体上下，整个儿的，不是由于某一部位特别动人。她并不靠搔首弄姿，而是由于一种天然的颜色和气韵使人惊叹。正是因为有真彩内映，所以出语洒落，浑然省净，使全诗从淡抹中显示了它的魅力，而不再需要浓饰盛妆了。